Alles zu seiner Zeit Projektplanung heute

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1 Alles zu seiner Zeit Projektplanung heute Nicole Megow Matheon

2 Überblick Projektplanung Planen mit Graphentheorie Maschinenscheduling Ein 1 Mio. $ Problem Schwere & leichte Probleme?

3 Zeitplanungsprobleme? Teilaufgaben müssen zeitlich geplant werden Viele Nebenbedingungen, knappe Ressourcen Ziel: Projektdauer minimieren Bauprojekt Hauptbahnhof Stahlproduktion Autoproduktion Prozessorbelegung

4 Beispiel Käferproduktion 1 4

5 Käferproduktion Gantt Chart Zeit

6 Käferproduktion Gantt Chart Zeit

7 Käferproduktion Gantt Chart optimal Zeit

8 Käferproduktion Lösung durch Hinsehen Klappt bei größeren Problemen nicht Keine Garantie für Optimalität Erkennen und Ausnutzen mathematischer Struktur im Problem Algorithmus Vorschrift zur Lösung eines Problems

9 Zeitplanung Graphen Graph besteht aus Knoten (Job) Kanten (Reihenfolgebeziehung) mit Längen E 9

10 S Wege in Graphen E 4 1 Längster Weg im Graphen = minimale Projektdauer 1 Zeit

11 Graphen können komplexer sein! Graphentheorie effiziente Algorithmen zum Finden eines längsten Weges

12 Ressourcen mit beschränkter Kapazität In Praxisproblemen haben Ressourcen beschränkte Kapazität (Personal, Werkzeuge, Maschinen, ) Zeit Planungsproblem wird schwieriger auch ohne Vorrangbeziehungen zwischen Jobs!

13 Beispiel Maschinenscheduling Gegeben m identische Maschinen n unabhängige Jobs Gesucht Maschinenbelegungsplan minimaler Gesamtlänge

14 Beispiel Maschinenscheduling Gegeben m identische Maschinen n unabhängige Jobs Idee: Sortieren nach Jobdauern Gesucht Maschinenbelegungsplan minimaler Gesamtlänge aufsteigend

15 Beispiel Maschinenscheduling Gegeben m identische Maschinen n unabhängige Jobs Idee: Sortieren nach Jobdauern Gesucht Maschinenbelegungsplan minimaler Gesamtlänge aufsteigend

16 Beispiel Maschinenscheduling Gegeben m identische Maschinen n unabhängige Jobs Idee: Sortieren nach Jobdauern Gesucht Maschinenbelegungsplan minimaler Gesamtlänge absteigend

17 Beispiel Maschinenscheduling Gegeben m identische Maschinen n unabhängige Jobs Idee: Sortieren nach Jobdauern Gesucht Maschinenbelegungsplan minimaler Gesamtlänge absteigend

18 Bleibt nur Ausprobieren? Bisher kein effizienter Algorithmus gefunden, der die optimale Lösung liefert Enumerieren = Aufzählen aller möglichen Lösungen Anzahl der Jobs n Anzahl möglicher Lösungen (m=) GHz = Operat./Sek.

19 Bleibt nur Ausprobieren? Bisher kein effizienter Algorithmus gefunden, der die optimale Lösung liefert Geschätztes Alter des Universums Jahre Enumerieren = Aufzählen aller möglichen Lösungen Anzahl der Jobs n Anzahl möglicher Lösungen (m=) Rechenzeit (10 GHz und 1 Lösg. pro Takt) < 1 Sek. 17 Min. Tage 17 Std. 81 Jahre 1 10 Jahre

20 Bleibt nur Ausprobieren? Rechenzeit steigt exponentiell in Anzahl der Jobs! Nachdenken statt blind ausprobieren!

21 Algorithmus Bilde eine Jobliste L (Jobs in beliebiger Reihenfolge) Wähle ersten Job der Liste L Weise ihn der Maschine zu, die bei derzeitiger Belegung als erste fertig werden würde Entferne Job aus der Liste 7 0

22 Algorithmus Bilde eine Jobliste L (Jobs in beliebiger Reihenfolge) Wähle ersten Job der Liste L Weise ihn der Maschine zu, die bei derzeitiger Belegung als erste fertig werden würde Entferne Job aus der Liste 7 0

23 Approximation ein theoretisches Resultat Theorem: Der Algorithmus errechnet für jede Probleminstanz eine Projektdauer, die nie länger ist als die doppelte Optimaldauer, d.h. ALG OPT Für eine beliebige Anzahl von Maschinen!

24 Beweis: ALG OPT m 18 Anzahl der Maschinen m = Lösung des Algorithmus ALG = 18

25 Beweis: ALG OPT m l 10 OPT l = Anzahl der Maschinen m = Lösung des Algorithmus ALG = 18

26 Beweis: ALG OPT l OPT m t S 10 / m OPT 1 t = 8 l = Anzahl der Maschinen m = Lösung des Algorithmus ALG = 18 Summe aller Jobdauern S = 80

27 Beweis: ALG OPT l OPT m t S 10 / m OPT 1 t = 8 l = ALG = t + l OPT Anzahl der Maschinen m = Lösung des Algorithmus ALG = 18 Summe aller Jobdauern S = 80 18

28 Ein 1 Mio. $ Problem Clay Mathematics Institute (Cambridge, USA) hat je 1 Mio. $ für die Lösung eines von 7 Problemen ausgeschrieben (000) Idee nach David Hilbert (18-194) P = NP? Leichte Probleme (P) es gibt einen effizienten, schnellen Algorithmus Schwere Probleme (NP-schwer) bisher kein effizienter Algorithmus gefunden Rechenzeit für Finden optimaler Lösung groß (Jahre, )

29 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)

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