Raumtiefe in Malerei und Computergrafik

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1 Raumtiefe in Malerei und Computergrafik Peter Deuflhard, Hans-Christian Hege 1. Juni 2012 Inhaltsverzeichnis Einführung 1 1 Raumdarstellung in der Malerei 1 2 Raumdarstellung in der Computergrafik 9 Literatur 19 1

2 Einführung Die Tiefenwirkung dreidimensionaler Räume in einem zweidimensionalen Bild einzufangen, ist ein Faszinosum nahezu aller Kulturen der Menschheitsgeschichte. Der vorliegende Aufsatz folgt den Spuren dieses Faszinosums, vergleichend in der Malerei und der mathematisierten Computergrafik. Die Entdeckung der Zentralperspektive in der italienischen Renaissance zeigt bereits den engen Zusammenhang von Malerei und Mathematik. Auf der Suche nach Maltechniken, mit denen Raumtiefe bildnerisch dargestellt werden kann, beginnen wir in Kap. 1 mit einem chronologischen Gang durch verschiedene Epochen der europäischen Malerei. Hieraus abgeleitete Prinzipien, soweit sie im Rechner realisierbar scheinen, stellen wir in Kap. 2 am Beispiel moderner Methoden der mathematischen Visualisierung vor. 1 Raumdarstellung in der Malerei Um verschiedene Methoden der Darstellung von Raumtiefe kennenzulernen, wandern wir zunächst durch eine kleine Galerie von wenigen, aber mit Bedacht ausgewählten Bildern, beginnend in einer Zeit vor der Entdeckung der Zentralperspektive bis hin zu einer Zeit, in der die Zentralperspektive ihre herrschende Rolle als Maltechnik verloren hatte. Stefan Lochner: Madonna im Rosenhag (Abb. 1). Obwohl vor der Einführung der Zentralperspektive in die europäische Kunst entstanden, zeigt dieses Tafelbild die Madonna ganz offensichtlich vor einem goldenen Hintergrund. Der räumliche Eindruck entsteht durch drei Elemente: (a) Das blaue Gewand tritt durch seine bloße Farbe vor dem goldenen Hintergrund und dem pflanzenfarbenen Boden optisch in den Vordergrund, unterstützt durch die Schatten des Faltenwurfs. (b) Der Rosenhag 1 ist mit schrägen Linien als Vorahnung der Zentralperspektive gezeichnet. Allerdings ist auf den ersten Blick nicht klar, ob diese Linien nach vorne offen oder nach hinten offen verlaufen, es scheint ein Vexierbild vorzuliegen. Man erkennt jedoch eindeutig, dass die Aureole der Madonna die horizontalen Stäbe des Rosenhags partiell verdeckt, dass also die Madonna vor dem bewachsenen Gitter sitzt. (c) Im Mittelgrund wird der Boden begrenzt durch zwei nach hinten über Eck verlaufende Hecken, partiell verdeckt, die wie ein Koordinatensystem Raum aufspannen. Rein konstruktiv gesehen, ist das Gitter in den Hecken verankert. So ergibt sich schließlich auf den zweiten Blick doch 1 Rosenhag ist eine rosenbewachsene Pergola 1

3 Abbildung 1: Stefan Lochner: Madonna im Rosenhag (etwa 1448), Wallraf- Richartz-Museum, Köln. Mischtechnik auf Holz. Maße: 51 x 40 cm. noch, dass sich das Gitter nach vorne öffnet. Der Vexiercharakter lässt sich somit auflösen. Eine echte Perspektive ist allerdings nicht gelungen: man muss zu lange hinschauen und nachdenken, um die räumliche Anordnung zweifelsfrei sehen zu können. Albrecht Dürer: Zentralperspektive (Abb. 2 und 3). Auf seiner Italienreise hatte Albrecht Dürer die Zentralperspektive studiert. Der Holzschnitt in Abb. 2 diente als Illustration zu Dürers Buch Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt (veröffentlicht 1538, posthum). Obwohl doch eigentlich die didaktische Darstellung einer Zeichen- und Maltechnik, erschließt sich dem unbefangenen Betrachter unmittelbar der Widerspruch zwischen dem im wörtlichen Sinne verklemmt sitzenden Zeichner und dem atmenden Leben auf der anderen Seite des vertikal aufgestellten Netzrahmens, bei Alberti [4] in seinem 1435 erschienenen Werk De Pictura als velum bezeichnet. Sollte Dürer, der in seinem Kupferstich Melencolia I schöpferisch tief in die Depression eingetaucht ist, die Zentralperspektive 2

4 Abbildung 2: Albrecht Dürer: Der Zeichner des liegenden Weibes ( ). Holzschnitt, veröffentlicht 1538, posthum. Maße: 7.5 x 21.5 cm Abbildung 3: Albrecht Dürer: Der Zeichner der Laute (1525). Holzschnitt. Maße: 13.1 x 18.8 cm mit humorvollem Abstand betrachtet haben, im Sinne von hier die Technik, dort das sinnliche Leben? Im Aphilia-Forum [1] heißt es dazu: Die Illustration mit der Größe von nur 7,5 auf 21,5 cm vereint Sujets, die eigentlich nicht zueinander passen. Es geht gleichermaßen um Voyeurismus wie um eine Zeichentechnik: Und Dürers Coup gelingt prächtig. Das Motiv hätte als großes Ölgemälde vermutlich einen großen Skandal ausgelöst. Die posthume Veröffentlichung, erst für die zweite Auflage autorisiert durch Dürers Frau, erhält so eine besondere Bedeutung. Zu Lebzeiten, in der ersten Auflage, erschien ein funktionell vergleichbares Bild, siehe Abb. 3, diesmal ohne die Zweideutigkeit des Ausdrucks. Eine humorvolle Distanz zur vielleicht allzu technischen Maltechnik ist allerdings auch hier zu spüren. 3

5 Abbildung 4: Francisco de Goya: El Coloso ( ). Aquatinta. Maße: 28.7 x 20.8 cm. Francisco de Goya: El Coloso (Abb. 4). Dieses Bild eines Riesen ist erstaunlich klein. Es befindet sich heute im Prado in Madrid. Die räumliche Plastizität der Gestalt erwächst hier durch keinerlei spezielle Perspektive, sondern eindeutig aus dem Effekt von Licht und Schatten. Die vorgestellte Größe der Figur entsteht, bei tiefliegendem Augenpunkt, assoziativ durch die geniale Hinzukomposition der Mondsichel. Als Experiment versuche man nur, die Mondsichel abzudecken, sodann die Augen zu schließen und wieder zu öffnen: Jetzt lässt sich dem Riesen keine Größe mehr zuordnen, er kann sowohl groß als auch klein sein! Zum Vergleich: Es gibt ein Gemälde gleichen Namens, das jedoch vermutlich nicht von Goya selbst stammt. Es benutzt ebenfalls Licht und Schatten zur Raumdarstellung des Riesen, jedoch Menschen als Größenvergleich (einen Heereszug über ein Schlachtfeld), also eine eher traditionelle Technik zur Darstellung räumlicher Proportionen. Caspar David Friedrich: Felsenlandschaft (Abb. 5). In den meisten Quellen wird dieses Ölgemälde als Felsenlandschaft im Elbsandsteingebirge bezeichnet, in manchen auch als Felsenschlucht im Harz (Friedrich 4

6 Abbildung 5: Caspar David Friedrich: Felsenlandschaft im Elbsandsteingebirge (1822/1823). Öl auf Leinwand, Österreichische Galerie, Wien. Maße: 91 x 74 cm. selbst hat seine Bilder nur selten mit Titeln versehen). In der Tat existieren Felsen mit der markanten Wollsackverwitterung in beiden Mittelgebirgen. Die suggestive Tiefenwirkung gründet sich hier auf zwei Techniken: (a) schneidende Linien (z. B. umgestürzter Baum), die ein klares vorne und hinten definieren, (b) frische Farben im Vordergrund, blaugetönte Farben im Hintergrund, die frequenzabhängige Lichtstreuung im Dunst darstellend. Ernst Barlach: Stürzende Frau (Abb. 6). Die hier ausgewählte Lithographie zeigt klar, dass Ernst Barlach wohl eher ein Bildhauer war, weniger ein Zeichner. Sie ist das 27. Blatt aus der Begleitmappe zu seinem symbolisch-schwülstigen Drama Der tote Tag, das 1912 im Druck (bei Paul Cassirer, Berlin) erschienen ist, siehe Fromm/Thiem [10]. Die Frauengestalt ist durch gekrümmte Schraffurlinien plastisch modelliert, wodurch bereits eine räumliche Form entsteht. Die emotionale Wucht des Bildes ergibt sich aus zwei Kompositionselementen: (a) der Bewegung, die sich im 5

7 Abbildung 6: Ernst Barlach: Stürzende Frau (1910/11). Lithographie. Maße: 26.0 x 30.0 cm auf 51.5 x 67.5 cm. Stürzen der Gestalt und im Fallen des Messers ausdrückt, wodurch Raum durch Bewegung ausgeschöpft wird, (b) der Korrespondenz der beiden Schattenflächen, derjenigen auf der Unterseite der Frau und derjenigen am Boden, die den Raum dazwischen aufspannen. Das Licht kommt von hinten oben, wobei allerdings der Effekt verfremdet ist durch einen dunklen Hintergrundstreifen. Die Frau stürzt quasi in ihren Schatten, was die Assoziation zum Suizid auslöst. 2 August Macke: Blick in eine Gasse (Abb. 7). Auf der berühmten Tunisreise gemeinsam mit Paul Klee und Louis Moilliet hat August Macke eine Fülle von Aquarellen erstellt, vergleiche Moeller [19]. Das ausgewählte ist eines der ersten. Die atmosphärische Dichte, die geniale farbliche Komposition, mit der die Szene in flirrender Sonnenhitze eingefangen ist, steht hier nicht im Fokus. Stattdessen interessieren wir uns für die äußerst ungewöhnliche Raumdarstellung. Bei Moeller [19, S. 12] heisst es dazu: Ein starker Tiefenzug, eine ausgeprägte Perspektive ist gegeben, die allerdings durch die Rückenfigur im Vordergrund gebremst wird. Die Gebäude, die ku- 2 In der Tat begeht die Mutter im letzten Akt von Barlachs Drama Selbstmord. 6

8 Abbildung 7: August Macke: Blick in eine Gasse (1914). Aquarell. Maße: 29 x 22.5 cm bisch aufgefassten Blo cke wie die fu r die tunesische Architektur typischen Bogenelemente betonen den raumbildenden Charakter. Bei genauerer Betrachtung zeigt sich, dass der Eindruck von Raumtiefe durch drei Elemente erzeugt wird: (a) Schra g nach hinten verlaufende Kantenlinien kubischer Geba ude deuten eine ra umliche Perspektive an, die Linien haben jedoch keinen gemeinsamen Fluchtpunkt. Auch hier liegt, wie schon weiter oben in Abb. 1, wieder ein Vexierbildcharakter vor. Seine Auflo sung gelingt auch hier nur durch weitere Details: (b) Die Kantenlinien des zentral gesetzten Torbogens schneiden farblich nur wenig abgesetzte kubische Geba udefla chen, was aber dennoch mit (a) sowie den von links einfallenden schra gen Schattenlinien einen klaren Bezug von vorne und hinten herstellt. (c) Die große Ru ckenfigur im Vordergrund, mit gelbem Gewand und rotem Schal, stellt einen klaren Proportionsbezug zu den beiden kleinen Hintergrundfiguren mit rotem Gewand her, die dadurch als entfernt wirken (hier ist Moeller [19] eindeutig zu widersprechen). Die Proportionen stehen als Ersatz fu r die Zentralperspektive, auch hier vergleichbar den mittelalterlichen Maltechniken, womit sich ein Kreis schließt. 7

9 Zusammenfassung (Kap. 1) Aus der Betrachtung der ausgewählten Bilder können wir eine Reihe von Elementen herausfiltern, durch die Maler räumliche Tiefe darstellen: Schneiden von Linien, z.b. Aureole der Madonna vor Rosenhag (Stefan Lochner), umgestürzter Baum vor Felsenlandschaft (Caspar David Friedrich), Torbogen vor kubischen Häusern (August Macke); Licht und Schatten, z.b. Faltenwurf des Gewandes der Madonna (bei Stefan Lochner), Plastizität des Riesen (bei Francisco de Goya), zwei Schatten bei stürzender Frau (bei Ernst Barlach), manchmal auch durch Schraffur (ebenfalls bei Ernst Barlach); Zentralperspektive, z.b. in penibler Ausführung (bei Albrecht Dürer) oder auch in nur ungefährer Ausführung (bei Stefan Lochner und August Macke); Dunst und Farbverschiebung in der Distanz, z.b. Felsenlandschaft (bei Caspar David Friedrich); angedeutete Bewegung, z.b. die Venus von Sandro Botticelli, siehe etwa Deuflhard [9], oder die Stürzende Frau (bei Ernst Barlach). Im Zusammenhang mit dem zweiten oben genannten Punkt (Licht und Schatten) sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass sich die visuelle Wahrnehmung des Menschen nicht an Linien, sondern an Flächen und Schattenfeldern orientiert, siehe dazu etwa die Untersuchung von Mahr [15] zur Physik des Sehens. Diese neurologisch fixierte Mustererkennung hat sich wohl evolutionär entwickelt, damit wir Gesichter rasch erkennen; in der Tat scheinen wir Gesichtsbereiche wie tektonische Platten wahrzunehmen, siehe etwa McNeill [17, S. 122]. Von besonderer Bedeutung ist dabei, dass wir als natürlich gegeben annehmen, dass Licht von oben kommt; beleuchtet man ein bekanntes Gesicht von unten, wird es in vielen Fällen nicht mehr spontan erkannt (siehe ebenfalls McNeill [17]). 8

10 2 Raumdarstellung in der Computergrafik Mathematik als historisch gewachsene Wissenschaftsdisziplin ist erst im letzten Jahrhundert im Zuge ihrer Globalisierung kulturunabhängig geworden. Allerdings gilt dies auch heute nicht, sobald sie auf die Herstellung von Bildern angewendet wird, also in der Computergrafik: Auf dem Weg über das grafische Design und die Ästhetik entsteht zwangsläufig eine Kulturabhängigkeit. Es gibt jedoch weiterhin kulturunabhängige Elemente. So scheinen etwa globale Prinzipien der Raumwahrnehmung zu existieren, die evolutionsbedingt der Menschheit als Ganzes zu eigen sind. Die Gestalttheorie, siehe Metzger [18], stellt einen ersten Versuch dar, solche Prinzipien axiomatisch zu fassen. In Weiterentwicklung dieses Entwurfs hat sich in jüngster Zeit eine Mathematisierung der Gestalttheorie entwickelt, siehe Desolneux/Moisan/Morel [8]. Diese Theorien passen in ihrer Abstraktheit gut zur Abstraktheit der Mathematik. Zur Zeit stellen sie allerdings eher ein Programm für die Zukunft dar, vorzugsweise für die algorithmische Bildanalyse. Im nun folgenden Kapitel wählen wir eine etwas konkretere Sicht auf die Bildsynthese, wie sie sich in der gegenwärtigen Computergrafik etabliert hat. Abbildung 8: Raumszene in Euklidischer Geometrie und Bildentstehung in einer Kamera oder alternativ im Auge des Beobachters, durch Lichtstrahlen die von einer Lichtquelle ausgehen. 9

11 Vorab sei der zur Malerei sehr unterschiedliche Prozess der Bilderzeugung angesprochen: Mathematische Bilderzeugung ist immer Bildberechnung. In der heutigen Computergrafik hat sich deshalb im Wesentlichen das in Abb. 8 dargestellte Paradigma etabliert. Jede Raumszene ist charakterisiert durch geometrische Objekte, die im virtuellen Raum positioniert sind, Lichtquellen, die ebenfalls im virtuellen Raum positioniert werden müssen, die optischen Eigenschaften der Objekte und eine virtuelle Kamera, mit der die Szene abgebildet wird. Unter Geometrie ist meist die Euklidische Geometrie zu verstehen, da sie unserer alltäglichen Wahrnehmung entspricht. Es sind jedoch auch andere Geometrien denkbar, wie wir weiter unten unter dem Stichwort Nichteuklidische Geometrien ausführen. Jede denkbare Geometrie lässt sich in mathematische Formeln fassen und als solche algorithmisch im Zuge der Bilderzeugung realisieren. Die Wirkung der Lichtquellen auf die Objekte wird durch Beleuchtungsmodelle festgelegt, die mit der geometrischen Beschreibung der Objekte unmittelbar verknüpft sind. Positionierung von Lichtquellen, Definition der optischen Eigenschaften aller Objekte sowie die Positionierung und Einstellung der Kamera sind die ersten Festlegungen, die ein Computergrafiker vorab zu treffen hat. Euklidische Geometrie Darstellungsmethoden. Die Objekte werden alternativ durch Oberflächen- oder Volumenbeschreibungen im Rechner repräsentiert. Zur Bildberechnung wird die Szene auf die gerasterte Bildebene in der virtuellen Kamera projiziert. Dabei ist das Problem der Verdeckung zu lösen. Dies geschieht in moderner Grafikhardware mit dem Tiefenpuffer-Verfahren, das zeitgleich von dem Deutschen Wolfgang Straßer [23] und dem Amerikaner Edwin Catmull [7] erfunden wurde. Im Fall von Objekten, die durch ihre Oberflächen repräsentiert sind, sind eventuell auftretende schneidende Linien algorithmisch zu identifizieren. Bei halbtransparenten, volumenhaften Objekten, wie Wolken, Dunst oder Rauch, die typischerweise durch räumliche Dichtefunktionen repräsentiert werden, werden einzelne Volumenelemente 10

12 auf die Bildebene projiziert, die sich wechselseitig jedoch nicht vollständig überdecken (volume rendering). Geometrisch ist die 3D-Szene auf eine 2D-Abbildung zu reduzieren, die trotzdem für den Betrachter räumlich wirkt. Mathematisch gesprochen, wird dies durch Projektionsverfahren geleistet, die in der Bildwissenschaft meist mit dem Ausdruck Perspektiven bezeichnet werden. Die Zentralperspektive ist nur eine von vielen Möglichkeiten. Daneben gibt es noch Parallelprojektionen, deren Spezialfall isometrische Projektion in der Architektur und Bauplanung gerne verwendet wird, weil sie winkel- und längentreu ist. Leidlich bekannt ist auch die sphärische Projektion bzw. Fischaugenprojektion. Abbildung 9: Virtueller Patient in der Mund-Kiefer-Gesichts-Chirurgie [24]. Operationsplanung in der MKG-Chirurgie (Abb. 9). Dieses Bild stammt aus dem Kontext einer Operationsplanung in der Mund-Kiefer- Gesichts-Chirurgie, siehe Zachow/Hege/Deuflhard [24]. Algorithmisch wurde die Zentralperspektive festgelegt. Der Kopf ist aufgebaut aus Dreiecksgittern für Oberflächen und innere Grenzflächen zwischen unterschiedlichen Materialien sowie Tetraedergittern im Volumen. Der Raumeffekt ergibt sich hier im Wesentlichen aus zwei geometrischen Aspekten: (a) der krümmungsabhängigen Dichte der gezeigten Gitterpunkte (sog. adaptive Gitter), (b) schneidenden Linien am Rand der Öffnung ins Innere des Schädels. Bei ge- 11

13 nauerem Hinsehen beobachtet man eine Schattierung der Oberflächen, die von einer virtuellen Lichtquelle oberhalb des Kopfes erzeugt ist dies bringt uns direkt zum nächsten Abschnitt. Beleuchtung Globale Beleuchtungsmodelle. Kehren wir zurück zu Abb. 8 und verfolgen den Weg von Lichtstrahlen in der schematisch dargestellten Raumszene. Ausgehend von der Lichtquelle fallen Strahlen auf die geometrischen Objekte und werden von diesen absorbiert, reflektiert oder transmittiert (abhängig von der Oberflächenbeschaffenheit der Körper). Mehrfache Reflexionen sind möglich, bis das Licht schließlich die Szene verlässt oder in die Kamera fällt. Rendering-Gleichung. Zum tieferen Verständnis gestatten wir uns einen Exkurs für mathematisch/physikalisch interessierte Leser: Eine sorgfältige mathematische Modellierung dieser physikalischen Phänomene führt auf die folgende lineare Transportgleichung, siehe Krüger [13] und, in genauerer Ausarbeitung, Hege/Höllerer/Stalling[11], n I = (κ+σ)i+q+ 1 4π σ(x, n, ν ) p(x, n, n, ν, ν )I(x, n, ν )dω dν. Hierin bezeichnet x die Raumvariable, n die Richtung der Lichtstrahlen und ν deren Frequenz, I(x, n, ν) die Lichtintensität, κ(x, n, ν) den materialabhängigen Absorptionskoeffizienten, σ(x, n, ν) den Streukoeffizienten des durchstrahlten Materials sowie schließlich p(x, n, n, ν, ν ) die Phasenfunktion, die Frequenz- und Richtungsänderungen durch Streuung beschreibt. Mathematisch gesprochen handelt es sich hierbei um eine Integro-Differentialgleichung. Sie wird erst durch zusätzliche Randbedingungen formal lösbar, die wir hier jedoch nicht eigens entwickeln. Im Spezialfall frequenzunabhängiger Streuung (was etwa die Blaufärbung durch Dunst ausschließt) lassen sich die Randbedingungen zu einer einzigen Integralgleichung zusammenfassen: I(x, n) = E(x, n) + k(x, n, n )I in (x, n )dω, x S, worin k den Oberflächenstreuungskern, S die Oberfläche aller geometrischen Objekte und E die vorgegebene Intensität am Rand S bezeichnet. Dies ist die sogenannte rendering equation von Kajiya [12]. 12

14 Die volle numerische Simulation dieser Gleichungen fu hrt auf globale Beleuchtungsmodelle, die allerdings a ußerst rechenaufwendig sind. Es gilt also, einen fu r den jeweiligen Zweck vertretbaren Kompromiss zu finden zwischen algorithmischer Komplexita t und verfu gbarer Computerhardware auf der einen Seite sowie erwu nschter optischer Wirkung auf der anderen Seite. Daraus ergibt sich eine Hierarchie von sukzessive weniger rechenaufwendigen globalen Beleuchtungsmodellen. Die derzeit popula rste Mo glichkeit der na herungsweisen Lo sung der obigen Transportgleichung ist die sogenannte ray tracing - Methode (zu deutsch: Strahlverfolgungsmethode ). Bei dieser wird ein große Zahl von einzelnen Lichtstrahlen durch die Szene algorithmisch verfolgt, d.h. es werden alle ihre Auftreffpunkte auf Ko rpern und die unter Umsta nden mehrfache Reflexion an Ko rperoberfla chen unter Beru cksichtigung ihrer Verdeckung durch andere Ko rperoberfla chen berechnet. Anschließend werden deren ortsabha ngige Intensita ten in jedem Raumpunkt aufsummiert, gerade so, wie es in Abb. 8 skizziert ist. Derartige Methoden sind heute auf hochparallelen, extrem schnellen Grafikprozessoren implementiert und werden zum Beispiel in der Filmindustrie standardma ßig verwendet. Abbildung 10: Turbulente Stro mung. Links: Leonardo da Vinci ( ), siehe Zo llner [26, S. 523]. Rechts: Visualisierung durch beleuchtete Stromlinien (ZIB, Software Amira [22, 2]). Lokale Beleuchtungsmodelle. Weniger rechenaufwendig und fu r wissenschaftliche Visualisierungen in der Regel ausreichend sind sogenannte lokale Beleuchtungsmodelle, bei denen keine Mehrfachreflektionen beru cksichtigt werden. Eine dieser Methoden, die sich weltweiter Popularita t erfreut, sei im Folgenden na her dargestellt: die Methode der beleuchteten Linien. In 13

15 Abb. 10 sind zwei Darstellungen einer turbulenten Strömung nebeneinandergestellt, deren Entstehungszeit um fünf Jahrhunderte differiert. Wie in der linken Abbildung gezeigt, hatte Leonardo da Vinci die bahnbrechende Idee, eine von ihm beobachtete Strömung durch Strömungslinien zu charakterisieren; allerdings weist dieses Bild keine räumliche Tiefe auf. Im rechten Bild wurde der bei Zöckler/Stalling/Hege [25] beschriebene besonders effiziente Algorithmus FastLIC zur Darstellung von Strömungslinien angewendet; hier entsteht ganz offenbar ein räumlicher Eindruck durch die Lichteffekte auf den Linien. Die Technik, einzelne beleuchtete Linien zu malen und so einen Raumeindruck zu erzeugen, beherrschte Leonardo da Vinci durchaus und verwendete sie etwa, um gelocktes Haar darzustellen. Ein Beispiel hierfür ist das berühmte Gemälde Madonna in der Felsengrotte ( ), siehe die beiden Versionen bei Zöllner [26, S. 65/66] sowie die Ausschnittsvergrößerung auf S. 63 im gleichen Band. Nichteuklidische Geometrien Die Euklidische Geometrie ist, physikalisch gesprochen, die lokale Geometrie des Raumes, in dem wir leben. Was die genaue geometrische Struktur des Weltalls betrifft, ist das Tor für mathematische Spekulation noch offen. Zur Illustration geben wir zwei Beispiele. Abbildung 11: Pflasterung eines regulären Dodekaeders im hyperbolischen Raum. Bild erzeugt von Levy (National Center for Supercomputing Applications, Urbana-Champaign) und Munzner (damals Stanford University, jetzt UBC Vancouver) für den Artikel [6]. 14

16 Hyperbolische Geometrie. In Abb. 11 ist eine typische hyperbolische Geometrie gezeigt, siehe Levy/Munzner [3] und Bucher/Spergel [6]. Es handelt sich um eine Pflasterung eines regulären Dodekaeders. Im Euklidischen Raum wäre eine solche Pflasterung nicht möglich. Die Größe der Zellen harmoniert mit der Skala der Krümmung. Obwohl lokal Euklidische Geometrie vorliegt, fällt die Winkelgröße mit wachsender Distanz der Objekte exponentiell ab, wie die Abbildung zeigt. Lorentzgeometrie. In der Speziellen Relativitätstheorie gilt Invarianz unter Lorentztransformation, d.h. die Geometrie ist vierdimensional, zu den drei Raumdimensionen x, y, z kommt noch die zeitartige Dimension ict hinzu, wobei i die imaginäre Einheit mit i 2 = 1 bezeichnet, c die Lichtgeschwindigkeit und t die Zeit. Die veränderte Geometrie wird erst sichtbar, wenn sich Objekte mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die Physiker und Computergrafiker Ruder und Weiskopf [21] haben einen Film gedreht, der einen Flug durchs Brandenburger Tor von West nach Ost mit einer Geschwindigkeit 0.99 c beschreibt. In Abb.12 stellen wir vier Schnappschüsse aus diesem Film vor. Abbildung 12: Relativistischer Flug durch das Brandenburger Tor, nach Ruder/Weiskopf [21]. Links oben: Annäherung von Westen, Straße des 17. Juni. Rechts oben: Kurz vor Durchflug von Westen. Links unten: Im Tor während des Durchflugs. Rechts unten: Rückblick bei Entfernung nach Osten, Unter den Linden. 15

17 Zusammenfassung (Kap. 2) Wir kehren zurück zu den vier grundsätzlichen Methoden der Raumdarstellung, die wir in Kap. 1 genannt haben. Schneiden von Linien: dies führt auf das algorithmisch durchaus anspruchsvolle geometrische Verdeckungsproblem, das auf heutigen Rechnern einfach lösbar ist; Licht und Schatten: diese Thematik wird mit Beleuchtungsmodellen unterschiedlicher Komplexität behandelt, wobei das Hauptproblem in der realistischen Modellierung und Simulation optischer Eigenschaften von Oberflächen besteht; Perspektive: alle Arten von Perspektiven unter Einschluss der Zentralperspektive lassen sich quasi per Knopfdruck algorithmisch durch Projektionsmethoden realisieren; Dunst und Farbverschiebung in der Distanz 3 : Je nach angestrebter Realitätsnähe kann diese Methodik sehr rechenaufwendig werden, siehe etwa Krueger[14], Max [16], Preetham/Peter/Smits [20] oder Bruneton/Peyret [5]; angedeutete Bewegung: diese Methodik ist wie in der Malerei mit dem Motiv immanent verknüpft. Zusammenschau Malerei und Computergrafik haben sehr unterschiedliche technische Voraussetzungen. Der Zugang der Computergrafik ist dabei eher mathematisch als intuitiv. Wie in den obigen Zusammenfassungen zu Kap. 1 und Kap. 2 ausgeführt, ist die heutige Computergrafik durchaus in der Lage, Methoden der Raumdarstellung nachzuahmen, die in der Malerei entstanden sind. Darstellungen in nichteuklidischer Geometrie gehen sogar weit über das in der Malerei Denkbare hinaus. Es muss jedoch betont werden, dass unsere ganzheitliche Raumwahrnehmung vor der Bilderstellung sowohl von der Malerei als auch von der Computergrafik einen je eigenen schöpferischen Akt der Bildkomposition verlangt; die Auswahl von Farben, Kontrasten, Formen und Proportionen mit Blick auf die angestrebte Wirkung auf den Betrachter [15]. 3 Dieser Zusammenhang findet sich bereits bei Alberti 1435 [4], siehe Abb. 7 in Mahr 16

18 geschieht mit völlig unterschiedlichen Techniken. Verglichen mit den Jahrhunderten Entwicklung in der Malerei befindet sich die Computergrafik hierbei noch in ihren Anfängen. Und doch liefert sie uns schon vollständig im Computer berechnete Filme mit synthetischen Schauspielern auch wenn bisher noch menschliche Schauspieler den künstlichen ihre Mimik, Gestik und Statur verleihen. Literatur [1] [2] (Software). [3] [4] Alberti, Leon Baptista: De Pictura, [5] Bruneton, E. und F. Neyret: Precomputed atmospheric scattering. Computer Graphics Forum, 27(4): , [6] Bucher, M.A. und D.N. Spergel: Inflation in a low-density universe. Scientific American, 280:42 49, [7] Catmull, E.: A subdivision algorithm for computer display of curved surfaces. Doktorarbeit, Utah University, Salt Lake City, UT, [8] Desolneux, A., L. Moisan und J.-M. Morel: From Gestalt Theory to Image Analysis, Band 34 der Reihe Interdisciplinary Applied Mathematics. Springer, [9] Deuflhard, P.: Was ist ein schönes Gesicht? Auf der Suche nach Kriterien. Zeitschrift für Literaturwissenschaft und Linguistik (LiLi), 38:42 71, [10] Fromm, A. und H. Thiem (Herausgeber): Barlach auf der Bühne: Inszenierungen Ernst Barlach Haus, Hamburg, und Ernst Barlach Stiftung, Güstrow, [11] Hege, Hans-Christian, Tobias Höllerer und Detlev Stalling: Volume Rendering Mathematical Models and Algorithmic Aspects. ZIB Technical Report TR 93-7, Zuse Institute Berlin (ZIB), Berlin, Germany, June pp. 17

19 [12] Kajiya, J.T. und B.P. Von Herzen: Ray tracing volume densities. In: ACM SIGGRAPH Computer Graphics, Band 18:3, Seiten ACM, [13] Krueger, W.: The application of transport theory to visualization of 3-D scalar data fields. Computers in Physics, 5: , [14] Krueger, Wolfgang: Volume rendering and data feature enhancement. SIGGRAPH Computer Graphics, 24:21 26, [15] Mahr, B.: Zur Perspektivität des Objektbezugs. Alberti s Definition des Bildes und Frege s Objektivität des Sinns. In: Lepper, V., C. Markschies und P. Deuflhard (Herausgeber): Arbeitstitel: Perspektiven, Seite??? Akademie-Verlag, [16] Max, Nelson: Optical Models for Direct Volume Rendering. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 1:99 108, June [17] McNeill, D.: Das Gesicht: Eine Kulturgeschichte. Magnus-Verlag, [18] Metzger, W.: Die Gesetze des Sehens. Die Lehre vom Sehen der Formen und Dinge des Raumes und der Bewegung. Verlag Dietmar Klotz, 3. Auflage, [19] Moeller, M. M.: August Macke. Die Tunisreise. Prestel, 3. Auflage, [20] Preetham, A. J., Peter Shirley und Brian Smits: A practical analytic model for daylight. In: Proceedings of the 26th annual conference on Computer graphics and interactive techniques, SIGGRAPH 99, Seiten , New York, NY, USA, ACM Press/Addison- Wesley Publishing Co. [21] Ruder, H. und D. Weiskopf: Simulation und Visualisierung in der Astrophysik oder die wundersame Reise des Christoph Zenger mit der U.S.S. Enterprise. In: Bungartz, H.J. und S. Zimmer (Herausgeber): Numerische Simulation als interdisziplinäre Herausforderung: Beiträge zum 60. Geburtstag von C. Zenger, Band 3 der Reihe Texte, die die Wissenschaft nicht braucht, Seiten Springer,

20 [22] Stalling, D., M. Westerhoff und H.-C. Hege: Amira: A highly interactive system for visual data analysis. In: Hansen, C.D. und C.R. Johnson (Herausgeber): The Visualization Handbook, Kapitel 38, Seiten Elsevier, [23] Straßer, W.: Schnelle Kurven-und Flächendarstellung auf grafischen Sichtgeräten. Doktorarbeit, Institut für Informationsverarbeitung, Technische Universität Berlin, [24] Zachow, S., H.-C. Hege und P. Deuflhard: Computer Assisted Planning in Cranio-Maxillofacial Surgery. J. Computing and Information Technology, 14:53 64, [25] Zöckler, M., D. Stalling und H.-C. Hege: Interactive visualization of 3D-vector fields using illuminated streamlines. In: IEEE Visualization 1996, Seiten , [26] Zöllner, F.: Leonardo da Vinci. Sämtliche Gemälde und Zeichnungen. Verlag Taschen, Köln,