HINWEISE ZUR ADS-KLAUSUR SS06 für BACHELOR (für beide Termine)

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1 HINWEISE ZUR ADS-KLAUSUR SS06 für BACHELOR (für beide Termine) Für DIPLOMER gelten, wie bereits bekannt, die Bedingungen und Inhalte der Klausuren aus SS04 bzw. WS04/05 weiter klicken sie sich auf unserer Webseite ganz unten zu den alten Unterlagen aber schauen sie sich die Lösungen ruhig hier an! , Prof. Dr. W. Conen, Version 1.0α UNTERLAGEN sind nicht erlaubt. Sonstige Hilfsmittel auch nicht (zur Not dürfen sie einen einfachen Taschenrechner benutzen, falls sie einen brauchen). SCHAUEN SIE AUCH IN DEN NÄCHSTEN TAGEN NOCH INS WEB, ES KANN SEIN, DASS DORT NOCH LETZTE MELDUNGEN VERÖFFENTLICHT WERDEN. Fehler teilen sie mir bitte per mit. WICHTIGE AUFGABEN, einige Lösungen, die ich schon verschriftlicht hatte, habe ich beigefügt (kein Hinweis auf die Wichtigkeit) A1 Bucketsort bzw. Radixsort, Darstellung in der knapperen Variante aus der Übung 99, 17, 89, 5, 13, 66, 65, 9, 71, 43, 21, 0 Ergebnis 1. Runde: Topf Folge: 0,71,21,13,43,5,66,17,99,89,9 (Topfweise auslesen von links nach rechts, oben nach unten) Ergebnis 1. Runde: Topf Endergebnis: 0,5,9,13,17,21,66,71,89,99 Denken sie auch an die Variation, die wir in den Übungen hatten, bei denen m eine andere 1

2 Basis war (m=8 haben wir für die Zahlen oben gemacht dann muß man mit MOD und DIV hantieren) A3 Couting Sort, eventuell sollen sie die stabile Variante ausführen (die relative Reihenfolge bei identischen Schlüsselwerten bleibt erhalten). Dazu müssen sie beim Einsortieren in das Array von hinten nach vorne durch die Eingabe laufen. Hier nochmal die Aufgabe nebst Lösung: Gegeben ist die Zahlenfolge 2, 4, 6, 3, 6, 4, 5, 3, 2, 3, 1 Sortieren Sie diese Zahlenfolge mit einem Counting-Sort. Verwenden Sie bitte die folgende Tabelle: C-Index: C (Count) B-Index C ( -Summe) B: 2 C 2 B: 2 4 C 7 B: C 10 B: C 5 B: C 9 B: C 6 B: C 8 B: C 4 B: C 1 B: C 3 B: C C ist hier das Array, in dem die Vorkommen der Zahlenwerte zunächst gezählt und dann aufsummiert werden. B ist das Ergebnisarray, in das die Zahlen der Eingabe einsortiert werden. Sortieren sie dort nach und nach die Eingaben ein (von links nach rechts, ein Wert je Zeile) und passen sie jeweils C an (einige Werte habe ich bereits vorgegeben). Hinweis: Wenn die Sortierung stabil sein soll (also die relative Reihenfolge von Objekten mit gleichen Schlüsselwerten nicht verändert werden darf, wichtig z.b. bei Verwendung von Counting Sort in den Phasen vom Radixsort), dann muß man die Eingabe von hinten nach vorne durchgehen und einsortieren. Man kann das auch so in die Tabelle eintragen, dass nur Änderungen vermerkt werden (so, wie in der Übung). A5 Beweis(e) zu Spannbäumen. Ein ähnlicher Beweis ist denkbar. Vermutlich als Lückentextbeweis. Sie (oder ein Kommilitone) haben den Beweis in den Unterlagen. Genau dieser wird es natürlich höchstwahrscheinlich nicht! A6 Union-Find mit Pfadkompression. Achten sie bei der Auswahl des Vater bei der Union- Operation genau auf die Aufgabenstellung. Init(P), Find(P,7), Union(P,1,7), Find(P,7), Union(P,2,3), Union(P,4,6), Find(P,6), Union(P,1,5), 2

3 Union(P,2,4), Union(P,1,2), Find(P,6), Find(P,6) Verwenden Sie die folgende Tabelle zur Darstellung: Ergänzende Fragen: Operation Zerlegung Ergebnis (von Find) Init(P) Find(P,7) Union(P,1,7) Find(P,7) Union(P,2,3) Union(P,4,6) Find(P,6) Union(P,1,5) Union(P,2,4) Union(P,1,2) Find(P,6) Find(P,6) unverändert 1 Wieviele Aufrufe von Find (inkl. der rekursiven Aufrufe) sind für das vorletzte Find und wieviele für das letzte Find nötig? 4 (nämlich für 6, dann für 4 (Vater von 6), dann für 2 (Vater von 4), dann für 1 (Vater von 2, zeigt auf sich selbst, ist also der Repräsentant der Komponente 1) bzw. 2 (nur noch für 6 und dann für 1). Hier noch die Lösung zur Ranking-Aufgabe vom Extrablatt: Operation Zerlegung Ranking Find-Ergebnis Init(P) Union(P,1,2) Union(P,7,8) Union(P,6,5) Union(P,4,3) Union(P,4,1) Union(P,6,7) Union(P,6,4) Find(P,5) 6 Find(P,2) Find(P,2) 6 Find-Aufrufe hier: je 2 für das Find(P,5) und das zweite Find(P,2), 4 für das erste Find(P,2). A7 Kruskal (auch etwa in der Größe, Achtung: sie brauchen nicht bzw. sollen nicht die Arraystruktur des Union-Find verwenden, es ist hier sinnvoller, direkt die abstrakte Mengennotation für die Komponenten anzugeben, also {A} {B, C} usw.) 3

4 POR LIS AVE COI FAR GUI BRA POR - LIS AVE COI FAR GUI BRA (i) Finden Sie einen minimalen Spannbaum mit dem KRUSKAL-Algorithmus, verwenden Sie dabei die folgende Tabelle (ganz rechts brauchen Sie nur neue Komponenten eintragen). Betrachtete Kante Hinzugefügt?/Wenn ja: Gewicht Aktuelle Zerlegung [Initialisierung] {L}{P }{F }{A}{C}{G}{B} GUI-BRA (oder G-B) JA/30 {G, B} P-B JA/50 {P, B, G} P-G A-C JA/100 {A, C} A-P JA/100 {P, B, G, A, C} B-A C-L JA/160 {P, B, G, A, C, L} G-A C-P B-C G-C A-L L-F JA/250 {P, B, G, A, C, L, F } FERTIG, STOP! (ii) Welches Gewicht hat der bestimmte minimale Spannbaum? 690 A8/A9 Heapsort in ARRAYs in allen Varianten (Top-Down/Bottom-Up, aufsteigend/absteigend, linker/ rechter/ zufällig gewählter/ normalerweise besserer (= rechter) Sohn) vergessen sie nicht, die Vergleiche zu zählen! Beim Bottom-Up können sie die knappe Notation (Einsinken und Tauschen auf einmal) oder eine zweizeilige Notation (je Einsinken und Tauschen) für die Phase 2 wählen, je nachdem, wie sie besser zurecht kommen. Das Programm auf der Webseite erzeugt eine Tabelle in der knappen Variante. (A8, Top-Down-Heap, rechter Sohn, aufsteigend sortieren)

5 Pos Anfang Ende i S l S r Tausch? 1. Ph Ph Sortiert: 1, 5, 6, 6, 8, 11, 15, 17 Anzahl der Vergleiche: 24 Hinweis: Bei Top-Down-Heapsort zählen sie einfach die Einträge in den Spalten für die Söhne, um die Vergleiche zu bestimmen. (A9, Bottom-Up-Heap, rechter Sohn, aufsteigend sortieren) Tiebreaking: rechter Sohn Down Up Pos Anfang Ende Weg Epos Ringtausch Vergl. 1. Ph > > >4->8 8 2->8->4-> >2->4-> Ph >2->4 4 1->4->2-> >3->6 6 1->6->3-> >2->4 4 1->4->2-> >3 3 1->3-> >2 2 1->2-> >

6 Sie können auch gern nach der letzten Zeile der Phase 1 noch eine Zwischenergebniszeile einführen (also nach Ausführung eines eventuellen Ringtauschs, aber vor dem Tausch von erstem und (aktuell) letztem Element. Das können sie auch jeweils nach jeder Zeile der Phase 2 tun, wenn sie mögen und sich dann sicher fühlen aber es macht die Darstellung deutlich länger! Denken sie daran, dass in den Zwischenergebniszeilen (ZE) keine Vergleiche stattfinden. (ii) Wieviele Vergleiche haben Sie durchgeführt? 23 Hierbei müssen sie schon ein wenig genauer überlegen, wenn es ans Zählen geht. Vergleiche bis der Down-Phase (wenn der mögliche Einsinkpfad bestimmt wird) finden immer nur statt, wenn ein Knoten zwei Kinder hat. Vergleiche in der Up-Phase (wenn wir die Einfügeposition bestimmen) finden solange statt (beginnend von unten), bis der Einfügepunkt gefunden wurde wenn der Wert allerdings dort bleibt, wo er bereits ist (also an der momentanen Wurzel), dann merkt man das ohne Vergleich (weil die Indizes übereinstimmen). Erinnern sie sich an die Übung und die Vorlesung! A10 Boruvka. Sie sollten die Tabelle direkt ausfüllen können (achten sie darauf, das in der Phase 1 allerdings nie in der ersten Runde auch Kanten entfernt werden können!). Die Daten entsprechen denjenigen der vorstehenden Aufgabe 7. Runde Hinzugefügt/Gewicht Entfernt Zerlegung bzw. Minimale Kanten [Init] {L} {P} {F} {A} {C} {G} {B} 0, Phase LC PB LF AC CA GB GB 0, Phase 2 LC/160 PB/50 LF/250 LC,PB,LF, {L,C,A,F} {P,B,G} AC/100 GB/30 AC,GB 1, Phase 1 -- LA,CF,AF,PG AP PA 2, Phase 2 AP/100 AP {L,C,A,F,P,B,G} STOP! (ii) Welches Gewicht hat der minimale Spannbaum? 690 Natürlich muss das Gewicht des minimalen Spannbaums mit dem Ergebnis des Kruskal- Algo übereinstimmen! Denken Sie daran, dass in der Phase 1 jeweils alle Kanten angeschaut werden, die noch im Graphen sind. Dann gibt es für jede Kante zwei mögliche Fälle entweder, sie verbindet Knoten, die gemeinsam in EINER Komponente liegen, dann wird die Kante entfernt. Oder sie verbindet ZWEI getrennte Komponenten, dann ist sie ein Kandidat für die kürzeste Kante (und wird unter die passende Komponente geschrieben, wenn sie eine der kleinsten Kanten ist, die von der Komponente, in der der gerade betrachtete Startpunkt liegt, zu einer anderen Komponente geht). 6

7 Wenn Sie den Ablauf noch besser verstehen wollen, dann schauen sie sich die Vorlesung nochmal genau an insbesondere den Algorithmus! A11: Vermutlich bzw. möglicherweise gibt es noch eine Aufgabe vom Typ: Löst der folgende Algo (angegeben in Pseudocode oder anders beschrieben) das folgende Problem (aber nicht wieder zu einem MST-Problem), wie macht er das (oder warum nicht)? Das kann auch zu einem Problem sein, das Ihnen bisher noch nicht begegnet ist, aber es wird aus dem Kontext Problemlösen stammen. Gehen sie da locker ran, wenn es eine solche Aufgabe gibt, werden auch Bonuspunkte eine Rolle spielen. Wenn sie mögen, können sie noch ein wenig zu Themen wie z.b. dynamische Programmierung, Branch-und-Bound oder Alpha-Beta-Suche lesen, aber sie werden das auch so meistern! A12 Huffman wie in der Übungsaufgabe, also mit PQUEUE, zwei raus, eins rein, von unten aufgebaut, bitte beschriften sie den Baum genauso, wie in der Übungsaufgabe (ein Scan der Lösung finden sie auf unsere Webseite). Schreiben sie auch 0 und 1 an die jeweiligen Kanten im Baum; der Baum, der nach und nach die Buchstabenmengen zerlegt (der, den wir in der Vorlesung zuerst gemacht haben), war zur Hinführung gedacht. Er entspricht im wesentlichen dem Shannon-Fano-Verfahren. Bei der Huffman-Codierung ist der NICHT gefragt! A13 Shannon-Fano (Achten sie auf die Wahl des Splitpunktes: oberer oder unterer) Buchstabe D O N A U M P F S C H I R T G E L Häufigkeit Füllen Sie die folgende Tabelle aus: Buchstabe/ Teilung Code Häufigkeit F/ A/ S/ H/ D/ C/ T/ E/ L/ O/ N/ U/ M/ P/ I/ R/ G/ Codieren Sie das vorgegebene Wort. 7

8 Wieviele Bits benötigt ihre Codierung? 132 A18, A19, A20 Suchen sollten sie in den dort gewünschten Varianten können. Gefragt sind als Antwort nur die Knotenbesuchssequenzen (also z.b. K0, K1, K4, K7, K2...). Vorgegeben wird der Suchbaum. Weitere Infos können sie mitführen (PQueue, Closed-List, K11 nicht expandiert etc.), wenn es Ihnen hilft. Üben Sie aber, ohne auszukommen. Die Lösungen zu den Aufgaben finden sie in einer eigenen Präsentation im Web. ETWAS WENIGER WICHTIGE AUFGABEN (aber gute Kandidaten für Ergänzungsoder Ankreuzfragen): A14 - Geburtstagsparadox, mögliche Frage hierzu etwa: 365 Einträge in einem Array, eine Hashfunktion, die die möglichen Schlüsselwerte gleichwahrscheinlich auf die Einträge abbildet (d.h. ein zufällig gezogener Schlüssel wird mit der Wahrscheinlichkeit 1/365 auf einen Eintrag abgebildet). Wenn sie 26 Schlüsselwerte abbilden, ist die Chance auf eine Kollision dann > 50 Prozent? (Na? Genau...bei 23 Leuten auf dem Platz war die Chance für ein Paar mit gleichem Geburtstag bereits größer 50 Prozent sehen sie die Ähnlichkeit der Situation?) A22 Tabelle mit Werten zu verschiedenen Kostenfunktionen. Schauen sie sich die Tabelle nochmal an, möglichen Fragen hierzu: Ist n log n größer als n log log n? Ist für n > 100 n log n > n hoch 3/2? A23 zum Hashing, s. gemeinsame Übung am Mittwoch bzw. Freitag. An A21 haben sie hoffentlich gesehen, dass es nicht unbedingt leicht ist, eine perfekte Hashfunktion zu finden selbst, wenn man alle vorkommenden Schlüssel kennt! (Die nicht so arg wichtige Lösung zu A21 finden sie auch im Netz). Zweite ergänzende Frage zu A6, amortisierte Kostenanalyse: Eine amortisierte Kostenanalyse versucht, die voraussichtliche weitere Verwendung der Datenstruktur zu berücksichtigen, so, dass durchschnittliche Kosten der Verwendung von Operationen auf lange Sicht ermittelt werden können in der normalen Kostenanalyse würde eine Datenstruktur, die sich mit einem gewissen Aufwand selbst verbessert (so wie die Union-Find-Struktur durch das Umhängen von Zeigern auf die Komponentenväter bei einem FIND) bestraft, weil das Umorganisieren die (worst bzw. average) Kosten der einzelnen Operationen erhöht. Das kann sich aber eben durchaus lohnen (z.b. eine Garbage Collection oder eine Reorganisation eines Datenbank-Indexes), weil es sich auf längere Sicht rechnet (also: amortisiert). Und das möchte man berücksichtigen in der Kostenanalyse, wenn man die amortisierten Kosten betrachtet. Weitere Ankreuzfragen können zu allen Aspekten der Vorlesung vorkommen, auch zur letzten (TSP, Approximation etc., steht im Web)! A4 8

9 Gegeben ist die Eingabefolge Sie haben 5 Buckets zur Verfügung, um die Zahlen in einem Durchgang vorzusortieren (danach könnte man dann jeden Bucket mit einem normalen Sortierverfahren sortieren). Ihre Aufgabe ist es, die Intervallgrenzen für die Buckets vorab so zu bestimmen, dass die 15 Eingabewerte gleichmäßig auf die Buckets verteilt werden. Beispiel: bei 2 Buckets würden die Werte 7 und 9 z.b. von den Grenzen [0..7] für den linken und [8..12] für den rechten Bucket gleichmäßig aufgeteilt. Antwort: Wir haben m = 5 Buckets und n = 15 Eingabewerte, bei gleichmäßiger Verteilung müssen also n/m = 3 Werte in jedem Bucket landen. Ein einfaches Vorgehen ist das folgende: wir sortieren die Folge zunächst und nehmen dann jeden dritten Wert als Obergrenze eines Buckets. Die Untergrenzen beginnen mit 0 (oder dem kleinsten Wert) und werden dann jeweils auf Obergrenze des vorigen Buckets + 1 gesetzt (oder auf den ersten Wert nach dem zuletzt verwendeten Dritten ). Sortierte Folge: Variante 1: (ohne Löcher, mit der Annahme, dass alle Werte zwischen 0 und 100 liegen): [0..23] [24..32] [33..67] [68..80] [81..99] Variante 2: (mit Löchern, eng ): [7..23] [25..32] [44..67] [73..80] [89..99] Wenn noch weitere Werte einzusortieren wären, wäre die zweite Variante natürlich nicht ungefährlich (wo würde z.b. 70 einsortiert). Natürlich kann man vor der Angabe der Bucketgrenzen nicht zunächst die Eingabe sortieren...das soll ja der Bucketsort tun. Es lohnt sich aber, Überlegungen zu den Bucketgrenzen anzustellen, wenn man vorab etwas über die zu erwartende Verteilung der Werte weiß (wie z.b. bei Werten vom Typ Alter von Studenten, die sich um 22 herum ballen). Zusatzfrage: Nehmen Sie an, sie würden zum abschließenden Sortieren der Buckets ein Sortierverfahren mit Kosten von O(n 2 ) verwenden. Warum ist es sinnvoll, eine gleichmäßige Verteilung der Werte auf die Buckets anzustreben (Tipp: verteilen Sie die Werte ungleichmäßig und vergleichen Sie die entstehenden Kosten)? Bei krummen Bucketgrenzen müssen wir in beiden Fällen nach dem passenden Bucket suchen, z.b., wie in der Vorlesung besprochen, durch Vergleich mit den Bucketsgrenzen (wir betrachten Variante 1 ohne Löcher), also mit Kosten von O(log m). Die Kosten für das Sortieren der Buckets unterscheidet sich dann aber je nach Gleichmäßigkeit, nehmen wir mal den Extremfall an, dass bei ungleichmäßiger Verteilung alle Eingabewerte in einem Bucket landen, dann haben wir Kosten von O(15 2 ), ungefähr c c 2 für Konstanten c 1, c 2 (die wir hier vernachlässigen können, da sie sich für beide Varianten in 9

10 ähnlichen Größen bewegen werden). Für die oben bestimmten Intervallgrenzen kommen wir zu = 5 9 = 45, eine deutliche Ersparnis! Merke: eine gleichmäßige Verteilung führt zu optimalen Sortierkosten beim Sortieren der Buckets (auch für Verfahren zum Sortieren einzelner Buckets mit O(n log n)- Verfahren, wie Heapsort). VIEL ERFOLG BEI DER KLAUSUR! 10