Einführung und Begriffe

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1 Einführung und Begriffe 1 Geschichte Terminmärkte gibt es bereits seit der Antike. Auf ihnen handelte man damals überwiegend Waren aus dem Agrarbereich. An diesen Warentermingeschäften hat sich bis heute nichts Wesentliches

2 2 Finanzmarkt 2 geändert. Auch weiterhin werden auf einen zukünftigen Termin genau sezifizierte Waren, beisielsweise die in Chicago gehandelten Schweinebäuche, ge- bzw. verkauft. Auch Otionen gab es schon vor diesem Jahrhundert, jedoch waren diese in Deutschland für viele Jahre verboten. Erst eine Änderung des Börsengesetzes machte 1970 den Handel mit Otionen an der Frankfurter Wertaierbörse wieder möglich. Heute werden sie in Deutschland ausschließlich an der 1990 gegründeten Deutschen Terminbörse (DTB) börslich gehandelt. 2 Finanzmarkt Der Finanzmarkt teilt sich in den Kassa- und den Terminmarkt auf. Auf dem Kassamarkt werden die zugrundeliegenden Finanzinstrumente gehandelt, welche zum jeweiligen Erfüllungstag (Sot-Tag), der zwei Börsentage 1 säter liegt, abgewickelt werden. Jedes neu abgeschlossene

3 2 Finanzmarkt 3 Geschäft, dessen Erfüllung nicht zu diesem Zeitunkt erfolgt, ist definitionsgemäß ein Termingeschäft. 2 In der Regel liegt die Erfüllung eines Termingeschäftes nach dem eines entsrechenden Kassageschäftes. Anderenfalls sricht man auch von einem Backward Forward Geschäft. Gebräuchlicher als die Einteilung von Termingeschäften nach dem Erfüllungszeitunkt ist jedoch die nach der Art des Geschäftes. So unterscheidet man auf dem Terminmarkt unbedingte und bedingte Termingeschäfte. 1 Im internationalen Handel sind drei Börsentage üblich. Als Börsentage gelten dabei die Handelstage der Frankfurter Wertaierbörse. 2 In Ausnahmefällen, wie etwa am letzten Handelstag eines Kontraktes, können jedoch Termingeschäfte auch eine identische Laufzeit wie ein Kassageschäft besitzen.

4 2.1 Unbedingte Termingeschäfte Unbedingte Termingeschäfte Zu den unbedingten Termingeschäften gehören die Futures und Forwards. Beide beinhalten die Verflichtung zum Kauf (Long) oder Verkauf (Short) eines Instrumentes oder Gegenstandes (Basiswert). Im Gegensatz zum Forward ist der Future jedoch standardisiert und börslich notiert. Sämtliche Future-Kontrakte werden am letzten Handelstag durch eine am Erfüllungstag stattfindende Lieferung des Future zugrundeliegenden Basiswertes oder durch Barausgleich abgerechnet. Um sicherzustellen, daß Future-Geschäfte stets honoriert werden und können, müssen Sicherheiten (Margins) hinterlegt werden. Sollten sich die Kurse günstig entwickeln, so kann über die Wertveränderung bar verfügt werden. Bei ungünstigen Entwicklungen werden andererseits jedoch zusätzliche Sicherheiten in bar fällig. Die Forwards gehören hingegen zu den sogenannten Over-The-Counter (OTC) Geschäften, weil sie mit einer Gegenartei individuell vereinbart werden. Im Unterschied zu Börsengeschäf-

5 2.2 Bedingte Termingeschäfte 5 ten haftet für die Einhaltung der Vertragsbedingungen eines OTC-Geschäftes meist nur die jeweilige Gegenartei. Sollte diese ausfallen (Gegenartei-Risiko), sowirddervertragwertlos.dieses Risiko begründet neben den Marginmodalitäten beim Future hautsächlich mögliche Differenzen zwischen Future- und Forward-Preisen. Ein weiterer Grund könnte in den Transaktionskosten der effektiven Lieferung liegen, die bei OTC-Geschäften regelmäßig vorkommen, da Positionen mit unterschiedlichen Kontrahenten (counterarts) nicht verrechnet werden können. 2.2 Bedingte Termingeschäfte Im Gegensatz zu den unbedingten Termingeschäften kommt es bei den bedingten Termingeschäften nicht notwendigerweise zu einer zukünftigen Transaktion. Zu den bedingten Termingeschäften gehören daher die Otionen. Eine Otion gibt dem Besitzer das Recht, ein Instrument, einen Gegenstand oder Kontrakt (Basiswert) zu einem festgelegten Preis (Basisreis, Strikereis)

6 2.2 Bedingte Termingeschäfte 6 bis zu einem (amerikanische Otion) oder an einem (euroäische Otion) bestimmten Zeitunkt zu kaufen (Call Otion) oder zu verkaufen (Put Otion), vgl. Abb. 1. Nach diesem Zeitunkt verfällt die Otion wertlos. Käufer liefert Käufer erhält Strikereis + Call - Aktie Aktie + Put - Strikereis Verkäufer erhält Verkäufer liefert Abbildung 1 Otionsausübung Je nach dem Verhältnis von Aktienkurs zum Strikereis werden Otionen als im-, am- und als aus-dem-geld liegend bezeichnet. Eine Otion liegt im-geld, wenn es rofitabel wäre, die Otion

7 2.2 Bedingte Termingeschäfte 7 bei augenblicklicher Fälligkeit auszuüben. Sollte der Strikereis der Otion dem Kassakurs ihres Basiswertes entsrechen, so liegt die Otion am- und anderenfalls aus-dem-geld (vgl. Abb. 2). Call: aus-dem-geld am-geld z } {? 0 Strikereis im-geld z } { - Aktienkurs Put: {z } 6 {z } im-geld am-geld aus-dem-geld Abbildung 2 Am-, im- und aus-dem-geld Beisiel 1 Ein amerikanischer 1000 MAI BMW Call gibt dem Besitzer bis zu einem genau sezifizierten Verfalltag im Mai das Recht, die Call Otion und den Strikereis (DM

8 2.2 Bedingte Termingeschäfte ) gegen den Basiswert (eine BMW-Aktie) einzutauschen. Nur wenn der Tausch für ihn vorteilhaft ist, der Kurs der BMW-Aktie also über dem Strikereis beziehungsweise die Otion im-geld liegt, wird er ihn vornehmen. Anderenfalls wird er die Otion verfallen lassen, da er die Aktie ohne Verwendung der Otion günstiger am Markt erwerben kann. Da es sich bei der Otion um ein Recht und nicht um eine Pflicht handelt, muß der Otionskäufer dem Otionsverkäufer (Stillhalter oder Schreiber) eine Otionsrämie bezahlen. 3 Mit Zahlung dieser Prämie sind alle Verbindlichkeiten des Käufers abgedeckt. 3 Eine Ausnahme von dieser Regel bilden die beisielsweise an der DTB gehandelten Otionen auf Future- Kontrakte. Bei diesen future-style Otionen wird keine Otionsrämie beim Kauf wie bei Kassa-Otionen bezahlt. Die Abrechnung erfolgt analog zum Future hingegen durch tägliche Marginzahlungen. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird sich jedoch ausschließlich auf Kassa-Otionen bezogen.

9 3 Arbitrage 9 3 Arbitrage DerKassa-,derdavonabhängige derivative Termin- und der Geldmarkt 4 sind durch die Arbitragemöglichkeit miteinander verbunden, da sich jedes Geschäft des einen Marktes synthetisch als eine Kombination von Geschäften der anderen beiden Märkte darstellen läßt. Unter Arbitragemöglichkeit versteht man die Möglichkeit, einen risikolosen Gewinn ohne Kaitaleinsatz zu erzielen ( free lunch ). Für einen Kaitalmarkt im Gleichgewicht kann man deshalb Arbitrage-Freiheit annehmen. Zwei zu einem säteren Zeitunkt immer identische Positionen müssen also heute schon den gleichen Wert besitzen, sofern Transaktionskosten vernachlässigbar sind und keine Vor- oder Nachteile aus dem zwischenzeitlichen Halten resultieren. 4 Der Geldmarkt ist der Teil des Kassamarktes auf dem Geldanlagen mit unterschiedlicher Fälligkeit gehandelt werden.

10 3 Arbitrage 10 Finanzmarkt P PPPPPP ) Geldmarkt Pq Kassamarkt P -Terminmarkt PPPPPP ) Pq unbedingte bedingte Termingeschäfte Termingeschäfte (Futures, Forwards etc.) (Otionen etc.) Abbildung 3 Finanzmarkt Würde diese Annahme nicht gelten, so könnte man die billigere Position einnehmen und gleichzeitig die teurere leer verkaufen. Die Preisdifferenz bildet einen risikolos realisierten Arbi-

11 3 Arbitrage 11 tragegewinn. Diese Arbitragetransaktionen könnten solange durchgeführt werden, bis sich die Preise der veränderten Angebot-Nachfrage Situation angeaßt haben und dadurch diese Gewinnmöglichkeit verschwunden ist. Das Prinzi der Arbitrage stellt somit sicher, daß die Preisunterschiede zwischen verwandten Produkten auf den Kassa- und Terminmärkten richtig bewertet werden, insbesondere, daß alle risikolosen bzw. erfekt gehedgten Portefeuilles über denselben Zeitraum dieselbe Rendite, nämlich die des risikolosen Zinssatzes, erwirtschaften. Beisiel 2 Für euroäische Put und Call Otionen mit gleicher Restlaufzeit und gleichem Strikereis auf dieselbe Aktie, die während der Laufzeit keine Ausschüttungen vornimmt, gilt die sogenannte Put-Call Parität: Basiswert + Put = Call + Barwert des Strikereises (1)

12 3 Arbitrage 12 beziehungsweise Call {z, Put } Forward = Basiswert, Barwert des Strikereises: (2) {z } Wert des Forwards Die Ausdrücke auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen in der Gleichung (1) besitzen zur Fälligkeit der Otionen den gleichen Wert, nämlich den Wert der Aktie, mindestens jedoch den des Strikereises. Folglich muß der Wert der beiden Portefeuilles auch vor Fälligkeit identisch sein. Die relativ unscheinbar aussehende Gleichung (1) hat weitreichende Imlikationen: Verändert sich beisielsweise der Preis einer Call Otion, obwohl der Zinssatz und der Preis des Basiswertes konstant bleiben, dann muß sich der Preis einer ansonsten identischen Put Otion ebenfalls verändern und zwar um den gleichen Betrag.

13 4 Rendite 13 4 Rendite Als Rendite einer Investition ohne zwischenzeitliche Ausschüttungen bezeichnet man den Ausdruck Rendite = Wertsteigerung der Investition in einer Periode Preis der Investition am Anfang der Periode : In der realen Welt sind jedoch die Preise am Periodenende nicht schon am Anfang der jeweiligen Periode bekannt, so daß sich die wirklichen Renditen nicht vorweg bestimmen lassen. Es kann vielmehr nur eine versrochene oder erwartete Rendite berechnet werden. Beisiel 3 Die in einer Periode fällige Null-Kuon Anleihe der Firma Marode AG mit einem Nominalwert von DM 100 werde bei einem Kurs von DM 50 gehandelt. Die ver-

14 4 Rendite 14 srochene Rendite der Anleihe beträgt folglich 100,50 = 100%. Da die Firma jedoch 50 kurz vor dem Konkurs steht, erwarten die Gläubiger, statt der DM 100 nur DM 54 zu erhalten. Die erwartete Rendite beträgt somit 54,50 = 8%. Tatsächlich kann jedoch die 50 Firma den Gläubigern nur DM 40 zurückzahlen. Damit beträgt die tatsächliche Rendite 40,50 50 = -20%. Für die Renditeberechnung von Teilerioden insbesondere unterjährig sind verschiedene Methoden gebräuchlich. Zu den wichtigsten Methoden gehört neben der jährlichen ISMA 5 Rendite die im Geldmarkt übliche einfache Rendite (simle yield). Während bei der ISMA Rendite geometrisch zwischen den Diskontfaktoren gemittelt wird, geschieht dies bei der einfachen Rendite linear. Die beiden Methoden führen daher zu unterschiedlichen Ergebnissen. 5 ISMA steht für die International Securities Market Association.

15 4 Rendite 15 Beisiel 4 Wenn man DM 1000 für ein Quartal zu einem ISMA-Zinssatz von 8%.a. anlegte, erhielte man 1000 (1 + 8%) 1/4 = Für eine einfache Rendite von 8%.a. erhielte man hingegen 1000 ( %) = Legte man diese Beträge mit 4 den jeweiligen Zinssätzen für drei weitere Quartale an, so erhielte man nach einem Jahr für die ISMA-Rendite 1000 (1 + 8%) 1/4 (1 + 8%) 1/4 (1 + 8%) 1/4 (1 + 8%) 1/4 = , also eine Verzinsung von genau 8%, bei der einfachen Rendite jedoch % % % % = , also eine effektive Verzinsung von über 8%. Je kürzer die Zeitabschnitte (t=n) der betrachteten Periode (t)sind, desto häufiger (n)können die bis dahin erzielten Zinsen zum einfachen Zinssatz (r) wieder angelegt werden und um so

16 4 Rendite 16 größer wird der effektive Zins (Zinseszins-Effekt). Wenn die Anzahl der Teilerioden über alle Grenzen wächst (n!1) und dieteilerioden (t=n) somit infinitesimalklein werden, dann entsricht dies der in der Finanztheorie häufig verwendeten Form der stetigen Rendite (continuously comounded yield): e tr = lim n!1 1 + t n r n mit e Beisiel 5 Durch eine Unterteilung in n = 4 Teilabschnitte ist die Rendite aus dem Beisiel 4 von 8% auf 8.243% angestiegen. Wenn die Anzahl der Abschnitte wachsen würde, dann stiege die Rendite bis zur stetigen Rendite von 8.329% an. Das Rechnen mit der stetigen Rendite bietet einige Vorteile. So läßt sich zunächst einmal

17 4 Rendite 17 feststellen, daß das Differenzieren der Diskontfaktoren bei der stetigen Rendite einfacher ist. 6 Auch kann ein Mittel von erzielten Renditen einfach als arithmetisches Mittel berechnet werden. 7 Schließlich wird die natürliche Untergrenze (Totalverlust) von Aktien durch eine Rendite von minus unendlich dargestellt, so daß eine symmetrische Renditenverteilung nicht nur sinnvoll, sondern auch aroximativ in der Realität beobachtbar ist. In den folgenden Abschnitten wird sich deshalb ausschließlich auf die stetige Rendite bezogen. 6 Man beachte, daß die zeitliche Verzinsung bei der ISMA und der stetigen Methode gleich hoch ist, jedoch unterscheiden sie sich hinsichtlich ihrer zugrunde gelegten Zinssätzen (r I bzw. r s ):! e rs t =(e rs ) t =(1 + r I ) t. 7 Bei den ISMA-Renditen besteht ein komlizierter multilikativer Zusammenhang.

18 5 Risiko 18 5 Risiko Da der zukünftige Wert einer Anlage X meistens nicht im voraus bekannt ist, interessiert man sich für seinen erwarteten Wert E[X] und für ein Maß, welches Aufschluß über die Schwankungsbreite des tatsächlichen um den erwarteten Wert gibt (Risiko). Dieses Risiko wird dabei meist in Form der Varianz oder der Standardabweichung (, srich: sigma) gemessen. Es gilt dabei: Varianz = (Standardabweichung) 2 = E h(x, 2i E[X]) E[] : Erwartungswert-Oerator: Der Erwartungswert einer Zufallsgröße X ist im diskreten Fall das mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten xk gewichtete Mittel ihrer möglichen Ausrägungen x k (vgl. Gleichung (3)).

19 5 Risiko 19 Die Wahrscheinlichkeiten xk entsrechen dabei den relativen Häufigkeiten der entsrechenden Ausrägungen x k. E[X] = nx k=1 xk x k (3) Kann eine Zufallsvariable hingegen nicht nur diskrete, sondern beliebige Werte eines Intervalles I annehmen, dann wird der Erwartungswert über die Gleichung (4) definiert. Im Vergleich zur Gleichung (3) übernimmt hier das Integral die Summenbildung und die Dichte Funktion () die Wahrscheinlichkeitsgewichtung xk der Ausrägungen x k. Z E[X] = (x) x dx (4) I

20 5 Risiko 20 Da absolut ausgedrückte Werte des Kursgewinnes für den erzielten Erfolg und die Standardabweichung oder Varianz für das eingegangene Risiko wenig aussagekräftig sind, wird im Finanzbereich überwiegend die auf ein Jahr bezogene Rendite als Erfolgsgröße und ihre annualisierte Standardabweichung (Volatilität) als Risikomaß verwendet. Dies geschieht auch im weiteren Verlauf dieser Arbeit. Beisiel 6 Die Aktie der Allianz Holding besitze bei einem Kurs von DM 2700 eine Standardabweichung von DM 324 bzw. eine Volatilität von 12%. Vergleicht man die Standardabweichung der Allianz mit der der Lufthansa AG (DM 46), dann könnte man zunächst meinen, daß die Aktie der Allianz riskanter als die der Lufthansa sei. Jedoch besitzt die Lufthansa bei einem Kurs von nur DM 200 eine Volatilität von 23%, und daher ist eine reine Investition in Lufthansa mit einem fast doelt so großem Risiko verbunden wie eine gleichgroße Investition in ausschließlich Allianz-Aktien.

21 5 Risiko 21 Schätzungen von zukünftigen Volatilitäten von Finanzzeitreihen ist eine nicht triviale Aufgabe. Als Grundlage dient meistens eine historische Volatilität. Sie ist diejenige Volatilität, durch die die historisch beobachteten Schwankungen am besten erklärt werden können. Da jedoch sowohl lang- als auch kurzfristige Veränderungen der Volatilitäten möglich sind, 8 wird häufig eine stärkere Gewichtung der letzten Schwankungen vorgenommen. 9 Ferner haben emirische Tests 10 gezeigt, daß die Volatilität im wesentlichen handelsbedingt zu sein scheint. So treten vom Handelsschluß am Freitag bis zu dem am Montag signifikant geringere Schwankungen auf als über 8 Es scheint eine ositive Autokorrelation zwischen aufeinander folgende Schwankungshöhen zu geben (vgl. [1, S ] und [5, S ]). 9 Siehe beisielsweise das von J. P. Morgan entwickelte RiskMetrics, bei dem eine geometrische Gewichtung stattfindet. 10 Vgl. [1, S ] und [3].

22 5 Risiko 22 den gleichlangen Zeitraum vom Handelsschluß am Montag bis zu dem am Donnerstag. Dies hat zu unterschiedlichen Gewichtungen der Tage bei der Bestimmung der Restlaufzeit geführt. In einer einfachen Variante werden deshalb nur Handelstage für die Bestimmung der Volatilität berücksichtigt. 11 LEONG 12 zeigt jedoch, daß gerade kürzlich aufgetretene Schwankungen nicht reräsentativ für die Zukunft sein müssen: Wenn die Märkte informationseffizient sind, dann wird sich vor wichtigen Ereignissen, zum Beisiel der Bekanntgabe von Wirtschaftsdaten, die mögliche Unsicherheit in den Preisen niederschlagen und unmittelbar nach dem Ereignis die in den Preisen enthaltenevolatilität fallen. Zwischen der kürzlichbeobachtetenhohen undder zukünftigentiefen Volatilität kann deshalb sogar eine negative Korrelation bestehen. 11 Vgl. [2, S. 557]. 12 Vgl. [4, S. 61].

23 6 Normal- und Log-Normalverteilung 23 6 Normal- und Log-Normalverteilung Häufig reicht eine Beschreibung einer Zufallsgröße durch ihren Erwartungswert () und ihre Standardabweichung () nicht aus. Es wird eine konkrete Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Realisationen zu erwarten sind. Eine oft verwendete Verteilungsannahme ist die um ihren Erwartungswert symmetrische Normalverteilung. Bei ihr treten die Realisationen verstärkt um ihren Erwartungswert auf und werden um so unwahrscheinlicher, je weiter sie von diesem entfernt liegen (vgl. Abb. 4). Bei ihr ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 68.3% die Abweichung vom Erwartungswert kleiner als. 95.5% die Abweichung vom Erwartungswert kleiner als % die Abweichung vom Erwartungswert kleiner als 3.

24 6 Normal- und Log-Normalverteilung 24-6, 3, , + {z } 68.3% {z } 95.5% {z } 99.7% Abbildung 4 Normalverteilung: Die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung vom Erwartungswert von weniger als einer Standardabweichung () entsricht dem relativen Flächenanteil (68.3%) der gekennzeichneten Fläche an der gesamten Fläche unterhalb der Kurve.

25 6 Normal- und Log-Normalverteilung 25 Beisiel 7 Bei einer Standardabweichung von 20% und einer erwarteten normalverteilten Aktienrendite von 10% liegt mit 68.3% Wahrscheinlichkeit die tatsächliche Rendite zwischen -10% und 30%. Meistens ist aber nicht die normalverteilte Rendite aus dem Beisiel 7 von maßgeblichem Interesse, sondern vielmehr die Verteilung der daraus resultierenden Aktienkurse. Die Verteilung der Aktienkurse, die aus einer Normalverteilung der stetigen Rendite resultiert, wird als Log- Normalverteilung bezeichnet. Ihr tyischer Verlauf wird in der Abbildung 5 dargestellt. Durch das Stauchen unter- und Dehnen der Wahrscheinlichkeitsmasse oberhalb des Medians 13 (e ), ist der Erwartungswert (^) der Log-Normalverteilung größer als der transformierte der Normalverteilung (e ). Zwischen ihnen gilt die Beziehung (5), bei der die Standardabweichung der Rendite (Volatilität) bezeichnet. 13 Der Median kann als Mittelunkt der ungewichteten Wahrscheinlichkeitsmasse aufgefaßt werden: So ist bei einer kontinuierlichen Verteilung die Wahrscheinlichkeit größerer und kleinerer Realisationen jeweils 50%.

26 6 Normal- und Log-Normalverteilung 26-6 e,3 e,2e, e e + e +2 e +3 0 {z } 68.3% {z } 95.5% {z } 99.7% ^ Abbildung 5 Log-Normalverteilung: Die nicht symmetrische Log-Normalverteilung ist links steiler als die Normalverteilung. Ihr Erwartungswert (^) ro investierte DM ist größer als der transformierte der Normalverteilung (e ).

27 Literaturverzeichnis 27 ln(^) = (5) Literatur [1] FAMA, E. E. The behavior of stock market rices. Journal of Business 38 (Jan. 1965), [2] FRENCH, D. W. The weekend effect on the distribution of stock rices: Imlications for otion ricing. Journal of Finacial Economics 13 (Set. 1984), [3] FRENCH, K. R. Stock returns and weekend effect. Journal of Finacial Economics 8 (Mär. 1980),

28 Literaturverzeichnis 28 [4] LEONG, K. Exorcising the demon. In From Black-Scholes to Black Holes, R. Jaycobs, Hrsg. Risk Magazine Ltd, London, 1992, Ka. 6, S [5] TAYLOR, S.Modelling financial time series. John Wiley & Sons, Chichester, 1986.

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