Inhaltsverzeichnis: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 1 von 35 Prof. Dr. Gabriele Gühring, Fakultät Grundlagen

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1 Inhaltsverzeichnis: Übungsaufgaben zu Finanz- und Risikomanagement... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe... 3 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe... 5 Aufgabe... 5 Aufgabe... 5 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe... 7 Aufgabe... 7 Aufgabe... 8 Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 8 (vgl. Aufgabe 9)... Aufgabe 9... Aufgabe 3... Aufgabe 3... Aufgabe 3... Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 4... Lösungen zu den Übungsaufgaben... Lösung zu Aufgabe... Lösung zu Aufgabe :... 3 Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite von 35

2 Lösung zu Aufgabe 3:... 3 Lösung zu Aufgabe 4:... 4 Lösung zu Aufgabe 5:... 4 Lösung zu Aufgabe 6:... 5 Lösung zu Aufgabe 7:... 5 Lösung zu Aufgabe 8:... 5 Lösung zu Aufgabe 9:... 6 Lösung zu Aufgabe :... 6 Lösung zu Aufgabe :... 7 Lösung zu Aufgabe :... 7 Lösung zu Aufgabe 3:... 8 Lösung zu Aufgabe 4:... 8 Lösung zu Aufgabe 5:... 9 Lösung zu Aufgabe 6:... Lösung zu Aufgabe 7:... Lösung zu Aufgabe 8:... Lösung zu Aufgabe 9:... Lösung zu Aufgabe :... 3 Lösung zu Aufgabe :... 5 Lösung zu Aufgabe :... 7 Lösung zu Aufgabe 3:... 8 Lösung zu Aufgabe 4:... 9 Lösung zu Aufgabe 5:... 9 Lösung zu Aufgabe 6:... 9 Lösung zu Aufgabe 7:... 3 Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Lösung zu Aufgabe Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite von 35

3 Übungsaufgaben zu Finanz- und Risikomanagement Aufgabe a) Wie sieht das Payoff-Profil für den Verkäufer einer Call-Option aus? Geben Sie zusätzlich eine Formel für das Payoff-Profil an. b) Wie sieht das Payoff-Profil für den Verkäufer einer Put-Option aus? Geben Sie zusätzlich eine Formel für das Payoff-Profil an. Aufgabe Ein Händler nimmt eine short Position in einem Future-Kontrakt auf Baumwolle mit einem Future-Preis von USD/kg Baumwolle ein. Im Kontrakt wird eine Liefergröße von 5 kg Baumwolle vereinbart. Wie hoch ist der Gewinn bzw. Verlust des Händlers, wenn der Baumwoll-Preis am Ende der Future-Laufzeit a),964 USD/kg b),6 USD/kg beträgt? Aufgabe 3 Ein Investor geht eine short forward position in einem Devisen-Forward ein. Darin verpflichtet er sich. GBP gegen USD zu einem Wechselkurs von,5 USD pro GBP zu verkaufen. Welchen Gewinn oder Verlust macht er, wenn am Ende der Laufzeit der Wechselkurs bei a),49 USD pro GBP steht. b),5 USD pro GBP steht. Aufgabe 4 Ein Spekulant setzt darauf, dass der Kurs der Amazon-Aktie in den nächsten Monaten ansteigen wird. Er hat USD in bar zur Verfügung. Er überlegt sich entweder eine Call-Option auf Amazon zu kaufen oder die Amazon-Aktien direkt zu kaufen. Der Aktienkurs der Amazon-Aktie beträgt derzeit USD. Eine Call-Option auf Amazon mit einem Strike von,5 USD wird an der Börse derzeit für USD angeboten Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 3 von 35

4 Der Spekulant hat also Alternativen:. Alternative: Kauf von Amazon Aktien. Alternative: Kauf von Call-Optionen auf Amazon Welchen Gewinn oder Verlust macht der Spekulant, wenn sich der Aktienkurs von Amazon in Monaten auf a) 7 USD erhöht? b) 5 USD fällt? Aufgabe 5 a) Angenommen Sie spekulieren auf den Anstieg des Aktienkurses einer bestimmten Aktie. Derzeit beträgt der Aktienkurs der Aktie 9 EUR. Eine Call-Option mit 3 Monaten Laufzeit und einem Strike-Preis von 3 EUR kostet an der Börse derzeit,9 EUR. Sie haben 5 8 EUR zur Verfügung. Geben Sie zwei alternative Investment Strategien an (direkter Kauf der Aktie, Kauf von Call-Optionen). Welchen Gewinn oder Verlust machen Sie, wenn die Aktie in 3 Monaten auf einen Kurs von 3 EUR ansteigt? b) Angenommen Sie spekulieren auf den Fall des Aktienkurses. Welche Art von Finanzinstrument würden Sie kaufen? Aufgabe 6 Händler A in New York bietet an Euros zu einem Kurs von,39 USD pro EUR Euros zu kaufen. Gleichzeitig bietet Händler B in Frankfurt Euros zu einer Rate von,35 USD pro EUR zum Verkauf an. Wie kann ein Investor, der kein Geld hat, zu einem kleinen Vermögen kommen? Aufgabe 7 Angenommen Händler A bietet in New York an Euros in einem Jahr für eine Rate von,58 USD pro EUR zu kaufen. Gleichzeitig bietet Händler B in Frankfurt Euros zum sofortigen Verkauf bei einem Wechselkurs von,6 USD pro Euro an. Weiterhin sei angenommen, dass US-Dollars zur Zeit mit einer jährlichen Zinsrate von 4% geliehen werden können und Euros zu einem jährlichen Zinssatz von 6% angelegt werden können. Wie kann ein Investor, der kein Geld hat, zu einem kleinen Vermögen kommen? Aufgabe 8 Der Preis von Gold notiere derzeit bei 5 USD pro Feinunze Gold. Der Forward-Preis für den Verkauf von Gold in einem Jahr liegt bei 7 USD pro Feinunze. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 4 von 35

5 Ein Marktteilnehmer hat die Möglichkeit sich USD zu einem Zinssatz von % pro Jahr zu leihen. Weiterhin sei angenommen, dass die Lagerungskosten von Gold gleich Null sind, Wie kann der Marktteilnehmer einen risikofreien Gewinn machen? Aufgabe 9 Für die risikolose Anlage gelte A()= EUR und A()= EUR. Der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = sei S()= EUR es gilt außerdem, dass S() = mit einer Wahrscheinlichkeit p S()= 8 mit einer Wahrscheinlichkeit von -p Berechnen Sie den Wert einer Call-Option mit Laufzeit bis t= und Strike-Preis 9 EUR (bzw. EUR) im einfachen Marktmodell. Aufgabe Für die risikolose Anlage gelte A()= und A()=. Der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = sei S()= Euro es gilt außerdem, dass S() = mit einer Wahrscheinlichkeit p S()= 8 mit einer Wahrscheinlichkeit von -p Berechnen Sie den Wert einer Put-Option mit Laufzeit bis t= und Strike-Preis EUR im einfachen Marktmodell. Aufgabe Angenommen der Wert meines Sparbuches zum Zeitpunkt t= sei A() = EUR und der Wert einer bestimmten Aktie, die keine Dividenden zahlt, zum Zeitpunkt t= sei S() = 5 EUR. Zum Zeitpunkt t= sei mein Sparbuch EUR wert. Zeigen Sie dass dann unter den Vorraussetzungen des einfachen Marktmodells der Forward-Preis K der Aktie gleich 55 EUR ist. Aufgabe Betrachten wir wieder den Fall des einfachen Marktmodells. Der Wert der Aktie zum Zeitpunkt t = sei S()=5 EUR. Zum Zeitpunkt t = kann sich der Wert der Aktie entweder um 5% erhöhen oder um 4% fallen. Der risikolose Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann betrage 3%. Der Strike-Preis einer Call-Option mit Endlaufzeit t= betrage 55 Euro. a) Welche Prämie muss für die Option unter der Vorraussetzung des No-Arbitrage- Prinzips angesetzt werden. b) Wie sieht das zugehörige duplizierende Portfolio aus? Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 5 von 35

6 Aufgabe 3 Für eine Aktie wird das Black-Scholes Modell mit Drift μ =, 5 und Volatilität σ =,35 bezogen auf ein Jahr angenommen. a) Wie hoch ist der Erwartungswert für die wöchentliche Drift? b) Wie hoch ist die Volatilität bezogen auf eine Woche? c) Wenn zum Zeitpunkt t = der Aktienkurs 5 EUR betrug, in welchem Intervall liegt dann der Aktienkurs mit einer Wahrscheinlichkeit von 9 % nach einer Woche? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit übersteigt der Kurs 7 EUR? Aufgabe 4 Für eine Aktie wird das Black-Scholes Modell mit Drift μ =, 5 und Volatilität σ =, 4 angenommen. Diese Kenngrößen beziehen sich auf ein Jahr. Der Schlusskurs der Aktie in der 35. Woche liege bei 5 EUR. a) Geben Sie die Verteilung der Rendite und des Aktienkurses am Schluss der 36. Woche an. Berechnen Sie für beide Zufallsgrößen den Erwartungswert und die Varianz. b) Geben Sie ein Intervall an, in dem der Aktienkurs am Schluss der 36. Woche mit 95% Sicherheit liegen wird. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Schlusskurs kleiner als 7 EUR? Aufgabe 5 Der Erwartungswert der logarithmischen Rendite eines Aktienkurses betrage 6 % pro Jahr, die Volatilität betrage 3 %.pro Jahr. Angenommen der Aktienkurs am Tagesende betrage 5 EUR. Berechnen Sie im Black-Scholes Modell a) den Erwartungswert des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, b) die Standardabweichung des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, c) einen Bereich in dem sich der Aktienkurs zu 95 % am Ende des nächsten Tages befindet. Aufgabe 6 Die jährliche Volatilität der Allianz Aktie beträgt derzeit 5,65 % (Angaben aus Internet z.b. Die Aktie notiert aktuell bei 5, EUR. Wir nehmen an, dass die Aktie eine jährliche Drift von 4,9 % hat. Eine Put-Option auf diese Aktie mit Strike-Preis 48 EUR und Laufzeit 3 Monate wird derzeit an der EUREX für 9,3 EUR zum Verkauf angeboten. Überprüfen Sie diesen Preis durch ein 5-Perioden Binomialmodell, wenn der risikolose Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann, derzeit ebenfalls 4,9% p.a. beträgt. Aufgabe 7 Gegeben seien die Drift μ =, und die Volatilität σ =, 8 bezogen auf einen Tag (historisch gemessener Erwartungswert und Standardabweichung der logarithmischen Rendite) der deutschen Bank Aktie. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 6 von 35

7 Simulieren Sie die Entwicklung des Aktienkurses für den Zeitraum bis heute 9..8 im Black-Scholes Modell. Aufgabe 8 Für die Aktie der Deutschen Bank sei die Drift μ =, und die Volatilität σ =,8 bezogen auf einen Tag (historische berechnete Werte über den Zeitraum bis 5.9.8). Simulieren Sie die Entwicklung des Aktienkurses für den Zeitraum bis im Binomialmodell. Aufgabe 9 Die logarithmische Rendite der Aktie X habe eine Jahresdrift von μ =, 55. Die jährliche Volatilität betrage σ = 4%. Der Aktienkurs der Aktie X notiere an der Frankfurter Börse bei 78 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann sei 3,35 % p.a. Eine Call-Option auf diese Aktie mit Strike 85 Euro und einem Verfallstermin in 5 Monaten kostet an der Börse EUREX 6,57 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe eines 5-Perioden Binomialmodells. Aufgabe Wir nehmen an, dass die logarithmische Rendite der Deutschen Telekom Aktie eine Jahresdrift von μ = hat. Die jährliche Volatilität beträgt σ = 4,8%. Der Aktienkurs der Deutschen Telekom notiert derzeit an der Börse XETRA, 69 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann ist 3,96 % p.a (EURIBOR). Eine europäische Put-Option auf diese Aktie mit Strike 3 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen kostet an der Börse EUREX,8 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe eines 3-Perioden Binomialmodells. Wieviel würden Sie für eine Call-Option mit gleicher Laufzeit und gleichem Strike verlangen? Aufgabe Vom.3. bis 4.8. wurden die Schlusskurse der Deutschen Bank AG Aktien an der Frankfurter Börse notiert und die täglichen logarithmischen Renditen berechnet. Nach einer Klasseneinteilung ergab sich folgende Häufigkeitstabelle für die logarithmischen Renditen: Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 7 von 35

8 Klasse Klassenmitte Häufigkeit (-,65, -,55] -,6 (-,55, -,45] -,5 (-,45, -,35] -,4 6 (-,35, -,5] -,3 9 (-,5, -,5] -, 4 (-,5, -,5] -, 8 (-,5,,5] 3 (,5,,5], 9 (,5,,5], (,5,,35],3 4 (,35,,45],4 6 (,45,,55],5 (,55,,65],6 (,65,,75],7 (,75,,85],8 a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel μˆ Tag und die Standardabweichung σˆ Tag dieser Daten. b) Rechnen Sie die zugehörigen μˆ und σˆ als Schätzwerte für die Jahresdrift und die Jahresvolatilität der Aktie. Legen Sie dabei 5 Tage für ein Jahr zugrunde. Den Wert σˆ nennt man auch die historische Volatilität der Aktie, da sie eine Schätzung der Volatilität liefert, die auf historischen Daten beruht. c) Berechnen Sie den Preis einer europäischen Call-Option auf die Deutsche Bank AG mit Fälligkeit Dezember und Ausübungspreis 65 Euro am 9.8. mithilfe eines 4-Perioden-Binomialmodells. Erstellen Sie dazu ein vollständiges Schema. Der Aktienkurs am 9.8. liege bei 6 Euro. Der risikolose Zinssatz für die Geldaufnahme bzw. anlage betrage 3,376 % pro Jahr. d) Führen Sie im selben Schema wie in Teilaufgabe b) die Berechnung des Preises einer europäischen Put-Option mit denselben Parametern durch. Aufgabe Wir nehmen an, dass die logarithmische Rendite der Deutschen Telekom Aktie eine Jahresdrift von μ = hat. Die jährliche Volatilität beträgt σ = 4,8%. Der Aktienkurs der Deutschen Telekom notiert derzeit an der Börse XETRA, 69 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann ist 3,96 % p.a (EURIBOR). a) Berechnen Sie den Wert einer amerikanischen Call-Option auf diese Aktie mit Strike 3 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 8 von 35

9 b) Berechnen Sie den Wert einer amerikanischen Put-Option auf diese Aktie mit Strike 3 Euro und einem Verfallstermin in 6 Wochen mittels eines 3-Perioden Binomialmodells. Aufgabe 3 Ein Aktienindex notiert derzeit bei 8 USD und hat eine Jahresvolatilität von % und eine kontinuierliche Dividendenrate von %. Die Drift des Aktienindex kann als μ = angenommen werden. Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann, betrage 5% p.a.. Berechnen Sie den Wert einer europäischen Call-Option mit einem Strike-Preis von 8 und einer Laufzeit von 6 Monaten in einem -Perioden Binomialmodell. Aufgabe 4 Der Aktienkurs einer dividendenlosen Aktie notiere bei 9 EUR. Der Wert einer europäischen Call-Option auf diese Aktie mit einem Strike-Preis von EUR und einer Laufzeit von 3 Monaten ist derzeit EUR. Der risikofreie Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, betrage 4% p.a. Wie hoch ist dann der Wert einer europäischen Put-Option mit einem Strike-Preis von EUR und einer Laufzeit von 3 Monaten? Aufgabe 5 Der Wert einer amerikanischen Call-Option auf eine dividendenlose Aktie beträgt 4 EUR. Der Aktienkurs der zugrunde liegenden Aktie notiere bei 3 EUR, der Strike-Preis der Option sei 3 EUR und die Laufzeit betrage 3 Monate. Der risikolose Zinssatz, zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann sei 8% p.a.. Finden Sie obere und untere Schranken für den Wert einer amerikanischen Put-Option auf dieselbe Aktie mit derselben Laufzeit und dem gleichen Strike-Preis. Aufgabe 6 Eine europäische Call-Option und eine europäische Put-Option auf die gleiche Aktie beide mit einem Strike-Preis von 4 USD und einer Laufzeit von 6 Monaten werden derzeit für 5,9 USD bzw. für 7,78 USD angeboten. Die zugrunde liegende Aktie notiert derzeit bei,37 USD und der risikolose Zinssatz, zu dem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann beträgt 7,48% p.a.. Finden Sie eine Arbitrage Möglichkeit. Aufgabe 7 Eine amerikanische Call-Option auf eine dividendenlose Aktie mit Strike-Preis USD und Laufzeit 5 Monate ist derzeit,5 USD wert. Angenommen der derzeitige Aktienkurs liegt bei 9 USD und der risikolose Zinssatz betrage %. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 9 von 35

10 Geben Sie eine obere und eine untere Schranke für eine Put-Option auf die gleiche Aktie, mit gleicher Laufzeit und gleichem Strike, wie die Call-Option an. Aufgabe 8 (vgl. Aufgabe 9) Die jährliche Volatilität der Aktie X betrage σ = 4%. Der Aktienkurs der Aktie X notiere an der Frankfurter Börse bei 78 Euro. Der risikofreie Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann sei 3,35 % p.a. Eine Call-Option auf diese Aktie mit Strike 85 Euro und einem Verfallstermin in 5 Monaten kostet an der Börse EUREX 6,57 EUR. Überprüfen Sie diesen Preis mit Hilfe des Black-Scholes Modells. Aufgabe 9 Betrachten Sie eine Option auf eine dividendenlose Aktie, wenn der Aktienkurs bei 3 EUR notiert. Der Strike-Preis sei jeweils 9 EUR, der risikolose Zinssatz betrage 5 % p.a. Die Volatilität der Aktie sei 5 % pro Jahr und die Laufzeit der entsprechenden Option betrage 4 Monate. a) Wieviel ist die Option wert, wenn es sich um eine europäische Call-Option handelt? b) Wieviel ist die Option wert, wenn es sich um eine amerikanische Call-Option handelt? c) Wieviel ist die Option wert, wenn es sich um eine europäische Put-Option handelt? Aufgabe 3 Es wird angenommen, dass sich ein Aktienkurs gemäß dem Black-Scholes Model entwickelt mit einer Jahresdrift von 6% und einer Volatilität von 35 % pro Jahr. Der derzeitige Preis der Aktie liege bei 38 EUR. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine europäische Call-Option auf diese Aktie mit einem Strike-Preis von 4 EUR und einer Laufzeit von 6 Monate tatsächlich ausgeübt wird? Aufgabe 3 Eine europäische Put-Option auf die BMW-Aktie hat eine Restlaufzeit von einem Jahr und einen Ausübungspreis von 4 EUR. Der jährliche Marktzins betrage 6%, der heutige Aktienkurs 38 EUR. Außerdem finden wir für die BMW-Aktie eine geschätzte Volatilität von 5% pro Jahr. Wieviel ist die Put-Option wert? Aufgabe 3 Angenommen Sie sind der Verkäufer von Call-Optionen auf die Aktie der Deutschen Bank mit einem Ausübungspreis von K = 9 EUR und einer Restlaufzeit von 9 Monaten. Der aktuelle Aktienkurs notiere bei 9,5 EUR und die Jahresvolatilität der Aktie betrage 9%. Der risikofreie Zinssatz betrage 3 % p.a. und wir nehmen an, dass keine Dividenden gezahlt werden. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite von 35

11 Wieviele Aktien müssen Sie kaufen, damit ihre Gesamtposition gegenüber kleinen Aktienkursveränderungen risikoneutral wird? Aufgabe 33 Um welchen Betrag ändert sich näherungsweise der Wert, der in Aufgabe 3 erwähnten Put-Option auf die BMW-Aktie, wenn der Aktienkurs der BMW Aktie sich um einen EUR erhöht? Aufgabe 34 Berechnen Sie das Delta einer Europäischen Call-Option auf eine dividendenlose Aktie, mit Laufzeit 6 Monate, wenn der risikofreie Zinssatz bei % p.a. liegt, die Jahres- Volatilität der Aktie 5 % beträgt und der Wert der Aktie derzeit gleich dem Strike-Preis der Option ist. Aufgabe 35 Angenommen der risikofreie Zinssatz beträgt 8% p.a. Gehen Sie davon aus, dass Sie Call-Optionen mit einer Laufzeit von 9 Tagen und einem Strike-Preis von 6 EUR auf eine Aktie mit einem derzeitigem Kurs von 6 EUR verkaufen. Die Jahresvolatilität der Aktie betrage 3 %. a) Wie hoch ist der Wert der Option? b) Wie groß ist das Delta der Option? c) Angenommen Sie verkaufen Optionen, wie viele Aktien müssen Sie kaufen oder verkaufen um risikofrei zu sein? Aufgabe 36 Betrachten Sie eine Put-Option auf eine Aktie mit einer Laufzeit von 4 Monaten. Der aktuelle Wert der Aktie beträgt 35 EUR, der Strike-Preis der Option beträgt 3 EUR. Der risikolose Zinssatz zu dem Geld aufgenommen oder angelegt werden kann liege bei 8% p.a. und die Volatilität der Aktie betrage 5% pro Jahr. Wie stark erhöht sich näherungsweise der Wert der Option, wenn sich die jährliche Volatilität von 5% auf 6% erhöht? Aufgabe 37 Angenommen ein Aktienhändler einer Bank managed ein Portfolio, das aus den folgenden Positionen besteht: -. gekaufte Call-Optionen auf eine Aktie X mit einem Strike-Preis von 55 EUR und einer Laufzeit von 3 Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei, verkaufte Call-Optionen auf Aktie X mit einem Strike-Preis von 56 EUR und einer Laufzeit von 5 Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei, verkaufte Put-Optionen auf Aktie X mit einem Strike-Preis von 56 EUR und einer Laufzeit von Monaten. Das Delta dieser Optionen liege bei -,58. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite von 35

12 Wieviel Aktien X muss der Händler kaufen um sein Portfolio Delta-neutral zu stellen? Aufgabe 38 Ein Händler einer Bank hat für 3 EUR Call-Optionen auf eine dividendenlose Aktie X verkauft. Der Strike-Preis dieser Optionen liege bei 5 EUR, der derzeitige Aktienkurs der Aktie X betrage 49 EUR. Der risikolose Zinssatz, zudem Geld angelegt oder aufgenommen werden kann, betrage 5% p.a. Die Volatilität der Aktie X sei % pro Jahr und die Laufzeit der Option betrage Wochen (,3846 Jahre). a) Wie hoch ist der Black-Scholes Preis aller Call-Optionen? b) Um wie viel hat die Bank die Call-Optionen über dem theoretischen Black- Scholes Preis verkauft? c) Wieviele Aktien muss der Händler kaufen, um sein Portfolio Delta-neutral zu gestalten? d) Angenommen der Aktienkurs sinkt innerhalb einer Woche auf 48, EUR, wie viele Aktien muss der Händler kaufen oder verkaufen, um das Gesamtportfolio wieder Delta-neutral zu haben? e) Was kostet ihn insgesamt der Zu- bzw. Verkauf der Aktien? f) Simulieren Sie den Aktienkurs mit einer Drift von 3 % in Zeitschritten von einer Woche und berechnen Sie für jede neue Woche die Kosten des Delta-Hedges um Delta-Neutralität herzustellen. Aufgabe 39 Sie kaufen Puts mit einem Delta von jeweils -,3. Wieviele Puts mit einem Delta von -,85 sollten Sie zur Konstruktion einer Delta-neutralen Position verkaufen? Aufgabe 4 Ein Portfolio, bestehend aus einem europäischen long Call mit Ausübungspreis K und einem europäischen short Put mit Ausübungspreis K < K mit gleichem Verfallstag heißt Collar. Zeichnen Sie das Auszahlungsdiagramm eines Collars. Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung zu Aufgabe a) Der Verkäufer einer Call-Option hat das Payoff-Profil: Prämie-max(S-K;) Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite von 35

13 Payoff-Profil Verkäufer Call-Option Prämie K b) Der Verkäufer einer Put-Option hat das Payoff-Profil_ Prämie-max (K-S;) Payoff-Profil für Verkäufer einer Put-Option - Prämie K Lösung zu Aufgabe : a) Der Händler macht einen Gewinn von (,964) 5 b) Der Händler macht einen Verlust von (,6 ) 5 Lösung zu Aufgabe 3: USD = 9 USD. USD = 65 USD a) Der Investor macht einen Gewinn von. (,5,49) USD = USD. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 3 von 35

14 b) Der Investor macht einen Verlust von. (,5,5 ) USD = USD. Lösung zu Aufgabe 4: a) Der Aktienkurs erhöht sich von USD auf 7 USD.. Alternative: Gewinn von ( 7 ) USD = 7 USD. Alternative: Durch Ausüben von Optionen erhält man max( 7,5; ) = 9 USD. Nach Abzug der ursprünglichen Kosten für die Optionsprämie macht der Spekulant also einen Gewinn von ( 9 ) USD = 7 USD. b) Der Aktienkurs fällt von auf 5 USD.. Alternative: Verlust von ( 5) USD = 5 USD.. Alternative: Die Put-Option wird nicht ausgeübt. Daraus folgt ein Verlust von USD. Payoff-Profile 5 Payoff-Profil Call-Optionen Payoff Profil Kauf Aktien Man erkennt, dass Optionen gegenüber einer direkten Investition in Aktien einen größeren Hebel ( Leverage ) besitzen. Damit verstärken sich die finanziellen Konsequenzen (Gewinn oder Verlust). Lösung zu Aufgabe 5: a). Alternative: Kauf von 58 9 = Aktien. Wenn die Aktien auf 3 EUR ansteigt, dann folgt daraus ein Gewinn von ( 3 9) = 4 EUR.. Alternative: Kauf von 58,9 = Call-Optionen. Wenn die Aktie auf 3 EUR ansteigt, dann folgt aus der Ausübung der Call-Option ein Gewinn von Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 4 von 35

15 ( 3 3) = EUR. Davon muss aber noch die Optionsprämie abgezogen werden, so dass ein Verlust von 58 = 38 EUR übrig bleibt. b) Spekuliert man auf den Fall des Aktienkurses, dann sollte man sich eine Put- Option kaufen. Lösung zu Aufgabe 6:. Schritt: Der Investor leiht sich von einem Freund EUR. Schritt: Der Investor zahlt an Händler A EUR und erhält dafür, 39USD 3. Schritt: Der Investor zahlt an Händler B, 35USD und erhält dafür EUR. 4. Schritt: Der Investor zahlt seinem Freund wieder EUR zurück. Der Gewinn des Investors beträgt dann: (,39,35) USD = 4 USD Lösung zu Aufgabe 7:. Schritt: Der Investor leiht sich. USD zu einem jährlichen Zinssatz von 4%.. Schritt: Der Investor wechselt die. USD unmittelbar bei Händler B in EUR. und erhält EUR = 65 EUR,6 3. Schritt: Der Investor legt 65 EUR für ein Jahr auf einem Bankkonto zu einem Zinssatz von 6% an. Gleichzeitig schließt er mit Händler A einen Forward Kontrakt ab (Händler A hat die long forward Position auf EUR inne, der Investor hat die short forward Position auf EUR inne). 4. Schritt: Nach einem Jahr erhält der Investor 65 EUR plus 375 EUR an Zinsen zurück. 5. Schritt: Der Investor verkauft im Zuge seines Forward Kontraktes 665 EUR an Händler A und erhält dafür 665, 58 USD =.467,5 USD. 6. Schritt: Der Investor zahlt an die Bank. USD plus 4 USD an Zinsen zurück Der Gewinn des Investors beträgt dann 67,5 USD Lösung zu Aufgabe 8: Der Marktteilnehmer kann sich 5 USD zu einem Zinssatz von % leihen, davon eine Feinunze Gold kaufen und gleichzeitig eine short Forward Position auf eine Feinunze Gold eingehen. Nach einem Jahr verkauft er die Feinunze Gold im Rahmen der Forward Position zu 7 USD. Nachdem er den Kredit mit Zinsen zurückgezahlt hat bleiben ihm noch ( 7 55) USD = 5 USD an risikofreiem Gewinn. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 5 von 35

16 Lösung zu Aufgabe 9: Wir bezeichnen mit S u ( ) = den Wert der Aktie zum Zeitpunkt, wenn der Aktienkurs ansteigt und mit S d ( ) = 8 den Wert der Aktie zum Zeitpunkt t =, wenn der Aktienkurs fällt. Dementsprechend wird auch der Wert der Call-Option zum Zeitpunkt t= mit C u ( ) = 3 und Cd ( ) = bezeichnet. Das duplizierende Portfolio ergibt sich durch Auflösen des linearen Gleichungssystems nach x und y : x Su () + y A() = Cu () x S () + y A() = C () d Also x + y = 3 x 8 + y = d 3 6 Nach Auflösen des linearen Gleichungssystems erhält man x = und y =. 4 Aus diesem Grund beträgt der Preis der Call-Option zum Zeitpunkt t = im einfachen 3 6 Marktmodell: C ( ) = =, 45 EUR. 4 Lösung zu Aufgabe : Wir bezeichnen mit S u ( ) = den Wert der Aktie zum Zeitpunkt, wenn der Aktienkurs ansteigt und mit S d ( ) = 8 den Wert der Aktie zum Zeitpunkt t =, wenn der Aktienkurs fällt. Dementsprechend wird auch der Wert der Put-Option zum Zeitpunkt t= mit P u ( ) = und Pd ( ) = bezeichnet. Das duplizierende Portfolio ergibt sich durch Auflösen des linearen Gleichungssystems nach x und y : x Su () + y A() = Pu () x S () + y A() = P () d Also x + y = x 8 + y = d 6 Nach Auflösen des linearen Gleichungssystems erhält man x = und y =. Aus diesem Grund beträgt der Preis der Put-Option zum Zeitpunkt t = im einfachen 6 Marktmodell: P ( ) = + = 4, 5454 EUR. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 6 von 35

17 Lösung zu Aufgabe : Wir zeigen, dass wann immer der Forward Preis K 55 EUR ist, eine Arbitrage- Möglichkeit existiert.. Fall: Angenommen F > 55 EUR. Ein Arbitrageur geht dann zum Zeitpunkt t = folgendermaßen vor: o Er leiht sich 5 EUR zu einem Zinssatz von %. o Er kauft sich eine Aktie zum Preis von 5 EUR. o Er schließt einen Forward Kontrakt zum Forward Preis K ab, indem er die short Forward Position einnimmt. Zum Zeitpunkt t = läuft der Forward Kontrakt aus und der Arbitrageur erhält K EUR durch den Verkauf der Aktie. Gleichzeitig muss er aus seinem Kredit = 55 EUR zurückzahlen. Es bleiben ihm also als risikoloser Gewinn ( K 55) EUR >.. Fall: Angenommen F < 55 EUR. Ein Arbitrageur geht dann zum Zeitpunkt t = folgendermaßen vor: o Er verkauft die Aktie für 5 EUR, (wenn er sie nicht besitzt, macht er einen Leerverkauf). o Er investiert den Betrag von 5 EUR in eine risikolose Anlage (Sparbuch). o Er schließt einen Forward Kontrakt zum Forward Preis K ab, indem er die long Forward Position einnimmt. Zum Zeitpunkt t = läuft der Forward Kontrakt aus und der Arbitrageur kann sich die Aktie zum Preis von K EUR zurückkaufen. Gleichzeitig erhählt er aus seiner risikolosen Anlage den Wert von 55 EUR ausbezahlt. Es bleiben ihm also als 55 K EUR >. risikoloser Gewinn ( ) Weil im einfachen Marktmodelle das No-Arbitrage-Prinzip vorausgesetzt wird, kann damit nur gelten K = 55 EUR. Lösung zu Aufgabe : a) Wir bezeichnen mit u ( ) = 5 ( +,5) = 57, 5 Zeitpunkt, wenn der Aktienkurs ansteigt und mit S ( ) = 5 (,4) = 44 S EUR den Wert der Aktie zum EUR den Wert der Aktie zum Zeitpunkt t =, wenn der Aktienkurs fällt. Dementsprechend wird auch der Wert der PCall-Option zum Zeitpunkt t= mit C ( ) =,5 und C ( ) = bezeichnet. u d Das duplizierende Portfolio ergibt sich durch Auflösen des linearen Gleichungssystems nach x und y : x Su () + y A() = Cu () x S () + y A() = C () d d d Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 7 von 35

18 Also x 57,5 + y 3 =,5 x 44 + y 3 = Nach Auflösen des linearen Gleichungssystems erhält man x =, 85 und y =,589. Aus diesem Grund beträgt der Preis der Put-Option zum Zeitpunkt t = im C =,85 55,589 =, EUR. einfachen Marktmodell: ( ) 837 b) Das duplizierende Portfolio besteht aus,85 Aktien und einer Kreditaufnahme von 5,89 EUR. Lösung zu Aufgabe 3: a) Die wöchentliche Drift beträgt,5 =, b) Die Volatilität bezogen auf eine Woche beträgt,35 =, c) Gesucht ist ein zweiseitiger 9%-Zufallsstreubereich für den Aktienkurs. Wir berechnen dazu zuerst einen 9%-Zufallsstreubereich für die logarithmische Rendite des Aktienkurses in einer Woche: μ z σ μ + z σ [ ] wöchentlich,95 wöchentlich; wöchentlich, 95 wöchentlich [,88,645,485;,88 +,645,485] = [,77;,83] = Damit gilt für den Aktienkurs in einer Woche, dass er mit einer Wahrscheinlichkeit von 9% im Bereich,77,83 5 e ;5 e = 3,48;7,56 liegt. [ ] [ ] d) P 7 5 Rt ( S 7) = P( 5 e > 7) = P R > ln = P( R >,77) t > t t,77,88 = Φ =,937 =,63 = 6,3%,485 Lösung zu Aufgabe 4: a) Die wöchentliche Drift beträgt:,5 =, 88. Die wöchentliche Volatilität 5 beträgt:,4 =, Aus diesem Grunde ist die Rendite in einer Woche 5 Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 8 von 35

19 normalverteilt mit Erwartungswert ( R, ) =, 3 ( R ) =, 38 ~, E und Varianz Var. Es gilt also (,3;,38) R., N Außerdem ist der Aktienkurs lognormal verteilt mit einem Erwartungswert von E σ,6 μ+, ( S ) = S e = 5 e = 5, 8 Var, σ μ+ t σ t ( S ) = S e ( e ) 93,9., = und einer Varianz von b) Am Schluss der 36. Woche wird der Aktienkurs mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,89;79,5 liegen. 95% im Intervall [ ] c) P Rt ( S 7) = P( 5 e < 7) = P R < ln = P( R <,77),77,88 = Φ = Φ, t < t t (,34) =,999 = 9,99% Lösung zu Aufgabe 5: Der Erwartungswert der Rendite eines Aktienkurses betrage 6 % pro Jahr, die Volatilität betrage 3 % pro Jahr. Angenommen der Aktienkurs am Tagesende betrage 5 EUR. Berechnen Sie im Black-Scholes Modell d) den Erwartungswert des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, e) die Standardabweichung des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages, f) einen Bereich in dem sich der Aktienkurs zu 95 % am Ende des nächsten Tages befindet.,3,6+ 5 a) ( S ) = 5 e = 5, 4 E EUR.,4,3,6+ 5 b) ( ) = 5 =, ,3 Var S,4 e e Standardabweichung des Aktienkurses am Ende des nächsten Tages :, c) Zufallsstreubereich für die logarithmische Rendite ist,6,96,3 ;,6 +,96,3 = [,3655;,3788] ,557;5,9765 ein Zufallsstreubereich für den Aktienkurs. Damit ist [ ] Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite 9 von 35

20 Lösung zu Aufgabe 6: JahresvolatilitäZeitintervall EURIBOR Drift (u-d)r d,565,5 4,9%,4% 4,9%,84, ,75, 89,5347, 7,3 7,383578,, 63,7 63,58,38, 56,36 56,64 56,94338,64,73, 5, 5, , ,78,76,38 44,93 45,6 45,3786 5,7 4,59,6 4, 4, ,36 7,47 36, 36,847,77,8 3,798 5,66 8, ,5 Lösung zu Aufgabe 7: Gegeben seien die Drift μ =, und die Volatilität σ =, 8 bezogen auf einen Tag (historisch gemessener Erwartungswert und Standardabweichung der logarithmischen Rendite) der deutschen Bank Aktie. Simulieren Sie die Entwicklung des Aktienkurses für den Zeitraum bis heute 9..8 im Black-Scholes Modell. Aufgaben zur Vorlesung Finanz- und Risikomanagement Seite von 35

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