Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung

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1 Vorbeerkungen zur Optionsscheinbewertung Matthias Groncki 24. Septeber 2009 Einleitung Wir wollen uns it den Grundlagen der Optionsscheinbewertung beschäftigen. Dazu stellen wir als erstes einige Vorraussetzungen an unsere Modell auf, u aus diesen dann die Put-Call-Parität und eine Ober- und Untergrenze für den Preis von Optionsscheinen abzuleiten. Anschliessend wollen wir den Preis eines Calls it steigender Laufzeit untersuchen. Existenz der risikolose Verzinsung a Kapitalarkt Voraussetzung 1. Wir nehen an, dass wir jederzeit jede beliebige Sue risikolos a Kapitalarkt zu eine jährlichen Zinssatz r anlegen oder leihen können. Die Verzinsung erfolgt stetig. Dies ist ein Spezialfall der Zinseszinsrechnung. Sie wird auch Moentanverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung genannt. Das Kapital wird zu jede Zeitpunkt it Zinseszinsen verzinst. Die Zeiträue der Zinsperioden strebt gegen Null bzw. die Anzahl der Zinsperioden strebt gegen unendlich. Sei nun t der Zeitrau in Jahren über den wir das Geld anlegen oder leihen. Dann wächst unser angelegtes Geld u den Faktor e rt, so dass wir den Wert einer Kapitalanlage zu Zeitpunkt t it der Funktion Dt) = e rt D 0 bestien können, wobei D 0 unsere Anlagesue zu Zeitpunkt t 0 = 0 Anlagezeitpunkt) ist. Wir können auch die Sue bestien, die wir zu de Zinssatz r anlegen üssen, u in T Jahren die Sue D T zu erhalten: e rt D T Es lässt sich it dieser Forel der gegenwärtiger Wert einer zukünftigen Zahlung bestien. Unterschied zwischen stetiger Verzinsung und Verzinsung it Zinseszins Betrachten wir nun zuerst die Verzinsung it Zinseszins. Sei t die Anzahl der Jahre, in denen das Kapital angelegt wird. Sei r c der jährliche Zinssatz und die Anzahl der Verzinsungen. Falls es 1

2 sich u eine jährliche Verzinsung handelt gilt = t und bei einer unterjährigen Verzinsung gilt > t. Den Wert unserer Anlage nach t Jahren lässt sich it der folgenden Forel berechnen: Dt) = 1 + r ) ct D0. Beispiel: Wir legen 100 Euro zu eine Zinssatz von 2 % für 2 Jahre an, und die Bank verzinst uns das Geld 2 Mal pro Jahr. Es gilt D 0 = 100, t = 2, = 4 und r c = 0.02, daraus folgt D2) = ) = Dies lässt sich auch it einer Zahlungsreihe nachrechnen: Jahr Kontostand ,01 103, ,0604 Aus n )n < ) für alle n < folgt, dass it steigender Anzahl an Zinsperioden auch der Wert der Kapitalanlage steigt. Bei der stetigen Verzinsung strebt gegen unendlich. Wir berechen nun den Zinsatz r c, bei de die Zinseszinsrechnung die gleiche Auszahlung wie die stetige Verzinsung liefert: 1 + r ) ct D0 =e rt D r ) ct =e rt 1 + r ) ct =e rt rc t ) =e rt 1 rt e 1) r c = t Für kleine x gilt e x 1 + x. Wählt an hinreichend groß, so folgt e rt 1 + rt. Man sieht, dass r c r. Für eine hinreichend große Anzahl an Zinsperioden liefern die Zinseszinsrechnung und stetige Verzinsung annähernd gleiche Auszahlungen. Leiten wir nun die Forel für die stetige Verzinsung her: Wir wollen den Wert unserer Kapitalanlage D 0 zu Zeitpunkt t berechnen. Wir teilen das Intervall [0,t] in L N äquidistante Teilintervalle [t 0,δt],[δt,2δt],...,[L 1)δt,Lδt], wobei δ = 1 L ist. In jede dieser Teilintervalle wird die Anlage it de Zinssatz rδt verzinst. Dt i+1 ) = 1 + rδt)dt i ) }{{} :=D i 2

3 Soit hat die Anlage zu Zeitpunkt t den Wert: bzw. it Hilfe der rekrusiven Definition Dt) = Dt L ) = 1 + rδt)d L 1 Dt) = Dt L ) = 1 + rδt) L D 0. Bei der stetigen Verzinsung strebt L gegen unendlich und it log1 + ε) = ε + Oε 2 ) Taylorentwicklung) für ε 0 folgt Dt L ) = 1 + rδt) L D 0 li Dt rt Llog1+ L) = li e L ) D 0 rt L = li e L +rt)2 OL 2 )) D 0 = li e rt e rt)2 OL 1) D 0 = e rt D 0. Betrachten wir nun zwei andere Modelle zur Erklärung der stetigen Verzinsung, die einen abweichenden Zinssatz für die Perioden verwendet.als erstes betrachen wir Dt i+1 ) = 1 + r ) δt Dt i ) Dt) = e L log1+r t/l) D 0 li Dt) = li e L r t/l+r 2 to 1 L )) D 0 = li e L r t/l e r2to1) D 0 e r tl = li } {{ } e r2to1) D 0 =. Bei diese Modell wird das Kapital ins Unendliche wachsen. Als Nächstes wollen wir das folgende Modell betrachten: ) Dt i+1 ) = 1 + rδt) 3 2 Dt i ) ) Dt) = 1 + rδt) 3 L 2 Dt0 ) Dt) = e L log1+rδt) 3 2 ) Dt 0 ) li Dt) = li e L rδt) 3 2 +r 2 t 3 OL 3 )) Dt 0 ) = li e rt 3 2 L e r2 t 3 OL 2) D 0 = li e rt = 1 D L D 0 Bei diese Model würde keine Verzinsung stattfinden. 3

4 Leerverkauf Definition 1. Ein Leerverkauf ist der Verkauf eines geliehenen Anlagegutes oder Optionsschein it der Absicht, diesen nach einer einiger Zeit zurückzukaufen und dann die Schuld auszugleichen. Voraussetzung 2. Wir setzten vorraus, dass es in unsere Modell jederzeit öglich ist, beliebige Menge kostenlos leerzuverkaufen. Sei t 1 der Zeitpunkt des Leerverkaufs, t 2 der Zeitpunkt der Rückkaufs, St) der Marktwert des Gutes zu Zeitpunkt t und r der aktuelle jährliche Zinssatz, dann gilt für den Gewinn des Leerverkaufs: e rt 2 t 1 ) St 1 ) St 2 ). Bei eine Leerverkauf setzt an auf fallende Marktpreise. In der Praxis werden bei Aktienleerverkäufe die Aktien per Wertpapierleihe von Banken, Investentsfonds oder ähnliche gegen eine Leihgebühr geliehen. Diese werden dann a Kassaarkt verkauft. Bis zu Ende der Leihfrist uss die Aktien a Kassaarkt zurückgekauft werden. Definition 2. Als Portfolio bezeichnen wir ein Bündel an Anlagegütern, Optionsscheinen und Zahlungsittel ZM). Es soll öglich sein, negative Mengen jeder Position zu halten. Bei den Zahlungsitteln entspricht ein negativer Betrag geliehenes Geld. Die negative Sue an Optionsscheinen oder Anlagegütern entspricht der leerverkauften Menge. Arbitrage Definition 3. Unter Arbitrage versteht an einen risikolosen Gewinn der größer ist, als der Gewinn aus der risikolosen Geldanlage a Kapitalarkt. Voraussetzung 3. Wir nehen für unser Modell an, dass es keine Möglichkeit für Arbitagegewinne gibt. Sollte es Möglichkeiten zur Erzielung von Arbitagegewinnung geben, würden sich die Preise durch die Selbstregulierung der Märkte Angebot und Nachfrage) so einstellen, dass die Möglichkeit beseitigt wird. Put-Call Parität Lea 1. Für die Preise eines europäischen Calls C und Puts P, it gleicher Laufzeit T, Basiswert S und Ausführungspreis E gelten C + E e rt = P + S. Diese Beziehung wird Put-Call-Parität genannt. 4

5 Beweis. Die Herleitung der Parität erfolgt it Hilfe der Annahe der Arbitragefreiheit des Marktes. Betrachten wir dazu zwei Portfolios: π A : Ein Call zu Basispreis E und E e rt an Zahlungsittel π B : Ein Put und eine Einheit des zugrunde liegenden Basiswertes Die Auszahlung des Portfolios π A beträgt: Die Auszahlung des Portfolios π B beträgt: axst ) E,0) + E = axst ),E) axe ST ),0) + ST ) = axe,st )) Beide Portfolio liefern zu Zeitpunkt T die gleiche Auszahlung. Soit folgt it der Annahe der Arbitragefreiheit, dass beide Portfolios den gleichen Wert zu Zeipunkt t 0 haben üssen. Angenoen π A > π B, dann könnte an das Portfolio π A leerverkaufen und it de Erlös das Portfolio π B kaufen. A Zeitpunkt T liefert uns die Auszahlung des Portfolio π B genau den Betrag u die Schuld aus de Leerverkauf zu decken, da nun beide Portfolios den gleichen Wert haben. Wir hätten einen risikolosen Gewinn in Höhe von π A π B )e rt t 0) erzielt. Analog für π A < π B. Soit üssen beide Portfolios den gleichen Wert in t 0 haben. Daraus folgt die Parität. Preis Ober- und Untergrenze für Optionen Aus diesen Vorraussetzungen an unser Modell können wir nun eine Ober- und Untergrenze für den Preis der Optionen herleiten und zeigen, dass eine Call-Option it zunehender Laufzeit i Wert nicht fallend ist. Hat an zwei Calloptionen zu gleichen Basispreis, Basiswert und it zwei verschiedenen Laufzeiten, so wird die Calloption it der längeren Laufzeit nie weniger Wert sein als die Calloption it der kürzeren Laufzeit. Ober- und Untergrenze für Calls Lea 2. Für die Ober- und Untergrenze des Preises eines Calls C, it der Laufzeit T und den Ausführungspreis E gilt wobei S der Preis des Basiswertes ist. axs Ee rt,0) C S, Beweis. Betrachten wir zur Bestiung der Grenzen folgende Portfolios: π A : Ein Call zu Basispreis E it der Laufzeit T und Ee rt an ZM π B : Eine Einheit des Basiswertes Aus den Überlegungen zu der Put-Call-Parität wissen wir, dass das Portfolio π A eine Auszahlung von axst ),E) zu Zeitpunkt T hat. Das Portfolio π B hat eine Auszahlung von ST ). 5

6 Die Auszahlung von π A ist also indestens so groß wie die Auszahlung von π B. Angenoen der Wert des Portfolios π B in t 0 wäre höher als der Wert von π A. Man kann nun π B leerverkaufen u it de Erlös π A zu kaufen. Dies liefert einen Überschuss von π B π A, den wir nun risikolos a Kapitalarkt anlegen. Zu Zeitpunkt T liefert π A eine Auszahlung von axst ), E). Da wir nun eine Einheit des Basiswertes kaufen üssen u unsere Verpflichtung aus de Leerverkauf zu decken, liefert dies ein Gesatgewinn von π B π A )e rt + axst ),E) ST ) = π B π A )e rt + axe ST ),0) > 0. Dieser Gewinn wäre risikolos erzielt worden und dies ist ein Widerspruch zur Annahe, dass der Markt arbitragefrei ist. Soit uss gelten S C + Ee rt C S Ee rt. 2.3) Da der Preis für einen Call nicht negativ sein kann, gilt für die Untergrenze C axs Ee rt,0). 2.4) Wäre der Preis eines Call höher als der Preis des Basiswertes, so würde sich durch ein Leerverkauf des Calls und den Erwerb des Basiswertes ein risikoloser Gewinn in Höhe von e rt C S) + inst ), E) erzielen lassen. Dies wäre wieder ein Widerspruch zur Arbitargefreiheit. Soit kann der Call nicht teurer sein als der zugrunde liegende Basiswert Aus 2.4) und 2.5) folgt die Behauptung. Ober- und Untergrenze für Puts C S. 2.5) Lea 3. Für die Ober- und Untergrenze des Preises eines Puts P, it der Laufzeit T und den Ausführungspreis E gilt Ee rt S P Ee rt, S ist der Preis des Basiswertes. Beweis. U die Grenzen eines Puts herzuleiten betrachten wir folgende Portfolios: π A : Ein Put zu Basispreis E it der Laufzeit T und eine Einheit des Basiswertes π B : Ee rt an ZM Das Portfolio π A hat zu Zeitpunkt T eine Auszahlung von axst ),E), die Auszahlung des Portfolios π B beträgt E. Die Auszahlung von π A ist also indestens so groß wie die Auszahlung von π B. Aus der Arbitragefreiheit folgt, dass in t 0 das Portfolio π b axial so viel Wert sein kann wie das Portfolio π A : Ee rt P + S P Ee rt S P axee rt S,0) 6

7 Die Auszahlung eines Puts beträgt axe ST ),0). Wäre nun der Put teurer als der abgezinste Bezugspreis Ee rt, dann würde der Leerverkauf des Puts und die risiklose Verzinsung des Ertrages einen risikolosen Gewinn in Höhe von P Ee rt )e rt + inst ),E) generieren. Dies wäre ein Widerspruch zur Arbitragefreiheit. Der Put kann also nicht ehr kosten als der abgezinste Bezugspreis. P < E rt Alternativer Beweis it 2.2), 2.4) und 2.5): Beweis. }{{} 2.2) Und aus 2.5) folgt it 2.2) C }{{} 2.4) axst ) Ee rt,0) P + S Ee rt axst ) Ee rt,0) P ax0,ee rt S) C S P + S Ee rt S P Ee rt. Preisverlauf eines Calls it zunehender Laufzeit Betrachten wir nun zwei Calls it gleiche Bezugswert und Bezugspreis. Der erste Call hat eine Laufzeit von T 1 und der zweite Call eine Laufzeit von T 2. Sei nun T 1 < T 2. Wir wollen zeigen, dass der zweite Call indestens die gleiche Auszahlung liefert wie der erste Call. Daraus folgt dann, dass der Wert des zweiten Calls indestens genauso hoch ist wie der des ersten Calls. Ansonsten wäre dies ein Widerspruch zur Arbitragefreiheit. In T 1 liefert der erste Call eine Auszahlung von axst ) E,0) in T 1, diese wird dann risikolos verzinst. In T 2 haben wir dann einen Wert in Höhe von e rt 2 T 1 ) axst ) E,0). Der zweite Call uss indestens diese Auszahlung erreichen. Unterscheiden wir nun zwei Fälle: ST 1 ) E: Die Auszahlung des ersten Calls beträgt Null. Die Auszahlung der zweiten Option wird nicht schlechter sein. Soit stit unsere Aussage in diese Fall. ST 1 ) > E: In diese Fall tätigen wir einen Leerverkauf des Basisgutes u uns gegen einen späteren Preisverfall zu sichern. Den Ertrag werden wir risiklos verzinsen. Dies liefert uns in T 2 folgende Zahlungen: 7

8 1.) axst 2 ) E,0) die Auszahlung des zweiten Calls) 2.) e rt 2 T 1 ) ST 1 ) verzinster Ertrag des Leerverkaufs) 3.) ST 2 ) Kauf des Basiswerts in T 2 u die Schuld aus de Leerverkauf auszugleichen) Insgesat erhalten wir die Auszahlung axst 2 ) E,0) + e rt 2 T 1 ) ST 1 ) ST 2 ) =axe rt 2 T 1 ) ST 1 ) E,e rt 2 T 1 ) ST 1 ) ST 2 )) e rt 2 T 1 ) ST 1 ) E e rt 2 T 1 ) ST 1 ) E) =e rt 2 T 1 ) axst 1 ) E,0) In beiden Fällen liefert der zweite Call indestens die Auszahlung der ersten Option. Soit kann der Preis einer Calloption it zunehender Laufzeit nicht fallend sein. Dies wäre ein Widerspruch zur Arbitragefreiheit. Beerkung 1. Mit der gleichen Arguentation zeigt an, das es für den Besitzer eines aerikanischen Call-Optionsschein nie optial ist, die Option während der Laufzeit auszuüben. 8

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