Computational Finance

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1 Computational Finance : Simulationsbasierte Optionsbewertung Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude Bremen 1

2 Gliederung 1. Einführung, Motivation und Problemstellung 2. Simulationsbasierte Bewertung von Plain-Vanilla Optionen 3. Antithetic-Variates-Schätzer 4. Double-Barrier Optionen 5. Asiatische Optionen 6. Basket Optionen Anhang: Theoretische Grundlagen 2

3 1. Einführung, Motivation und Problemstellung Optionen gehören zu den Termingeschäften. Beidseitig bindende Termingeschäfte Forwards Futures Einseitig bindende Termingeschäfte OTC-Optionen börsengehandelte Optionen 3

4 Eine Option gewährt dem Inhaber das Recht, nicht aber die Pflicht vom Stillhalter (in der Option) die Lieferung (Call-) oder Abnahme (Put-) eines vorher bestimmten Gutes (underlying) zu vorher festgelegten Konditionen (insbes. Preis: Basispreis) während eines festgelegten Zeitraums (amerikanische Option) oder zu einem festgelegten Zeitpunkt (europäische Option) zu verlangen. 4

5 Beispiel: Europäische Calloption auf die Aktie X, Basispreis 250,--, Ausübungsdatum 15.3.XX, Prämie 15,--: Käufer erhält das Recht, nicht die aber Pflicht die Aktie X am XX zu einem Preis von 250,-- vom Stillhalter (Verkäufer der Option) kaufen zu können Preis der Option (Prämie): 15,-- 5

6 Gewinn- und Verlustpositionen beider Parteien (Call): Gewinn Gewinn-/Verlustposition des Inhabers Gewinn Gewinn-/Verlustposition des Stillhalters Verlust Wert der Aktie X zum 15.3.XX 0-15 Verlust Wert der Aktie X zum 15.3.XX 6

7 Gewinn- und Verlustpositionen beider Parteien (Put): Gewinn Gewinn-/Verlustposition des Inhabers Gewinn Gewinn-/Verlustposition des Stillhalters Verlust Wert der Aktie X zum XX Verlust Wert der Aktie X zum 15.3.XX 7

8 Unterscheidung von Optionen nach ihrer Konstruktion a) Plain-Vanilla Optionen Europäische Calls und Puts Amerikanische Calls und Puts dividenden- und nicht-dividendengeschützte Optionen b) Exotische Optionen, z.b.: Barrier-Optionen Asiatische Optionen Lookback-Optionen Basket-Optionen 8

9 Gängige Standardbewertungmodelle für Plain-Vanilla Optionen Black-Scholes-Modell Binomial-Modell Anmerkungen: Spezifische Anpassungen für besondere Konstruktionsmerkmale erforderlich Einfache rechentechnische Bewertung 9

10 Beispiel: Black-Scholes Modell: C K ( d1) B exp( i t) ( d 2) mit: d 1 K 2 ln ( i 0.5 ) t B t d 2 d 1 t 10

11 Dabei bedeuten die Symbole: C: Optionspreis (auch Prämie genannt) K: Kassakurs des Basisobjektes B: Ausübungspreis der Option (Basispreis) exp(x): Exponentialfunktion e x mit e: Eulersche Zahl ( ) i: risikoloser Zinssatz p.a. (.): Wert der Standardnormalverteilung : zukünftige Volatilität des Basisobjektes (p.a.) t: Restlaufzeit der (Call-) Option in Jahren (z.b. 3 Monate = 0.25 Jahre) 11

12 Beispiel: Europäischer Call Aktueller Kurs 100 Basispreis 100 Laufzeit 1 Jahr risikoloser Zinssatz 4% p.a. Volatilität 40% Welchen Preis besitzt die Option nach der Black-Scholes-Formel? 12

13 Lösung im Beispiel: d ln ( ) d (d1)= (d2)= C exp( 0.041)

14 Probleme der analytischen Bewertungsformeln: Restriktive Annahmen bei der Herleitung der Bewertungsformeln Nur Plain-Vanilla Optionen bewertbar Komplexere Optionskonstruktionen erfordern aufwändige Anpassungen Auch dann oftmals nur Approximationen möglich Schwer verständlich für exotische Optionen 14

15 Vorteile simulationsbasierter Bewertungen: Universell einsetzbar Manche exotische Optionen nur damit bewertbar Hohe Flexibilität, schnelle Anpassbarkeit an neue Optionen Weniger restriktive Annahmen erforderlich, realitätsgerechtere Bewertung Leichter und intuitiv verständlich 15

16 Nachteile simulationsbasierter Bewertungen Programmierung erforderlich, gerade wenn Anpassbarkeit an neue Optionen gewünscht Leistungsfähige Hard- und Software erforderlich Liefern nur Approximationen mit eingeschränkter Genauigkeit Lange Rechenzeiten bei hoher Präzision erforderlich 16

17 2. Simulationsbasierte Bewertung von Plain-Vanilla Optionen Hinweis: Standard-Vorgehensweise kompakt bei Wilkens/Röder (2001) dargestellt. Schematische Vorgehensweise: a) Simulation des Kursverlaufs des Underlyings b) Auswertung der Auszahlungsfunktion anhand der simulierten Kursverläufe c) Diskontierung der simulierten Auszahlungen d) Bestimmung des Optionspreises als Mittelwert der diskontierten Auszahlungen e) Bestimmung der Genauigkeit des Ergebnisses 17

18 a) Simulation des Kursverlaufs des Underlyings Übliche Vorgehensweise ist oftmals: Annahme eines Wiener-Prozesses ( zeitstetige Version eines Random-Walk-Modells ) Diskretisierung des Wiener-Prozesses Durchführung der Simulation Vorgehensweise in den einzelnen Schritten: a1) Festlegung der Standardperiode t (üblich 1 Jahr) 18

19 a2) Festlegung der Laufzeit der Option T in Einheiten der Standardperiode, z.b. T = 1,5 für 18 Monate. a3) Festlegung der Anzahl N an Subperioden für die Simulation Daraus folgt die Zeitlänge einer Subperiode: t T N a4) Formulierung des diskretisierten Wiener-Prozesses: 2 S( j 1) t S j t exp(( i 0.5 ) t j t ) für alle Subperioden j = 1,, N 19

20 Beispiel: wie oben Anfangskurs (aktueller Kurs) 100 Volatilität 40% stetiger Zinssatz i = 0.04 Standardperiode 1 Jahr Unterteilung in 250 Subperioden (Börsentage) Aufgabenstellung: Simulation des o.g. Prozesses Erstellung einer Matlab-Routine Erstellung eines Diagramms für zehn Pfade 20

21 Simulation von 10 Kurspfaden

22 b) Auswertung der Auszahlungsfunktion Konkrete Auszahlungsfunktion hängt ab vom Typ der Option (grundlegender Konstruktion) und den konkreten Optionsparametern der speziell zu bewertenden Option Aufgabe: Fortführung des o.g. Beispiels Implementierung der Auszahlungsfunktion in Matlab Berechnung der Auszahlungen ggf. gleich mit Diskontierung auf den heutige Zeitpunkt 22

23 c) Diskontierung der Auszahlungen V k h k exp( i T) h k : V k : Wert der Option bei Fälligkeit im k-ten Simulationslauf Gegenwartswert des Optionswerts bei Fälligkeit im k-ten Simulationslauf d) Bestimmung des Optionspreises als Mittelwert Vˆ 1 K K k1 V k 23

24 Aufgabe: Bestimmung des Optionspreises im Beispiel! Kurssimulation Bestimmung der Auszahlungen Diskontierung Mittelwertbildung e) Bestimmung der Genauigkeit Mittelwert der diskontierten Auszahlungen ist Schätzer des Optionspreises Bestimmung der Standardabweichung des Schätzers 24

25 Berechnung der Standardabweichung nach: sˆ 1 K( K 1) K k1 ( V k Vˆ) 2 Berechnung eines Konfidenzintervalls mit Signifikanzniveau α: Vˆ ˆ sˆ (1 ); V sˆ (1 )

26 Z.B. für α = 5% ist Φ(0,975) 1,96. Im Beispiel ergibt die Simulation: Vˆ B/S-Wert: ˆ s Daraus folgt als 95%-Konfidenzintervall: [ ; ] 26

27 3. Antithetic-Variates-Schätzer Probleme der MC-Simulationen: Sehr rechenintensiv Langsame Konvergenz Halbierung des Standardabweichung erfordert Vervierfachung des Simulationsumfangs Frage: Wie kann der Simulationsumfang möglichst billig erhöht werden? 27

28 Antithetic-Variates-Technik Basierend auf einer gezogenen Folge von standardnormalverteilten Zufallszahlen ε j mit j = 1,, N werden die Kurse S j erzeugt: 2 S( j 1) t S j t exp(( i 0.5 ) t j t ) Mit derselben Folge von Zufallszahlen lässt sich ein alternativer Pfad generieren: 2 S ( 1) S j t jt exp(( i 0.5 ) t ( j ) t ) 28

29 Aufgabe: Simulationsbasierte Bewertung der Option mit Beispiel ohne Antithetic-Variates Technik mit Antithetic-Variates Technik Vergleich der Genauigkeit der Ergebnisse Vergleich der Rechnenzeiten in beiden Fällen Würdigung des Verfahrens 29

30 4. Double-Barrier Option Europäischer Call wie oben, jedoch zusätzlich: Option verfällt wertlos, wenn während der Laufzeit der Option der Kurs des Underlying unter eine Untergrenze fällt oder über eine Obergrenze steigt. Beispiel: wie oben, jedoch zusätzlich: Untergrenze sei 50 Obergrenze sei

31 Aufgabe: Simulationsbasierte Bewertung dieser Double-Barrier- Option Kurssimulation mit Antithetic-Variates Technik Implementation der Auszahlungsfunktion Achtung: gesamter Pfad muss ausgewertet werden Bestimmung des Optionspreises Bestimmung des 95%-Konfidenzintervalls Frage: Wie reagiert die Bestimmung des Optionspreises auf die Wahl der Subperioden N? Warum? 31

32 5. Asiatische Optionen Europäischer Call wie oben, jedoch nicht Kurs am Verfallstag ist maßgeblich, sondern das arithmetische oder geometrische Mittel während der Laufzeit Beispiel: wie bisher am Verfallstag wird das arithmetische Mittel verwendet welchen Optionspreis bestimmen Sie? 32

33 6. Basket Optionen Europäischer Call wie oben, jedoch Underlying ist ein Korb aus mehreren einzelnen Underlyings Beispiel für eine Basket Option Drei Aktien A, B und C Aktuelle Kurse sind 35, 95 und 50 Laufzeit ist ein Jahr Basispreis ist 300 Kurswert des Baskets am Verfalls ist Summe der 3 Aktien 33

34 Folgende weitere Angaben liegen vor: Volatilität der 3 Aktien: 0.3, 0.4 und 0.45 Zinssatz i sei 4% Die Korrelationsmatrix der drei Aktien sei: Aufgabe: Bestimmung des Optionspreises! 34

35 Anhang: Theoretische Grundlagen A1. Duplikation A2. Diskontierung und risikoneutrale Bewertung A3. Konzept der risikoneutralen Bewertung A4. Preismodell von Black/Scholes 35

36 A1. Duplikation Bewertung durch Duplikation Konstruiere zwei gleiche Güter Folgere, dass im arbitragefreien Gleichgewicht beide Güter denselben Preis besitzen Löse die Wertgleichung nach dem unbekannten Instrument auf Voraussetzungen Duplikation Arbitragefreiheit 36

37 Bewertung einer Call-Option im Ein-Periodenmodell Beispiel: Call auf Aktie A mit E = 105; Aktie A notiert mit S 0 = 100; Stärke der Aufwärtsbewegung u = 1.1; Stärke der Abwärtsbewegung d = 0.9; risikoloser Bond B mit Kurswert in t und 1% p.p Welchen Wert besitzt der Call? 37

38 u = 1.1 Wert Aktie 110 Wert Call 5 Aktie S 0 = 100 d = Welches Portfolio P aus Aktie A und Bond B besitzt in t 1 denselben Zahlungsstrom wie der Call? 38

39 Das Portfolio P muss offensichtlich folgenden Bedingungen genügen: Im Up-Fall: 110 * w A * w B = 5 Im Down-Fall: 90 * w A * w B = 0 w A : w B : (unnormierte) Anteilsgewicht (Menge) der Aktie A (unnormierte) Anteilsgewicht (Menge) des Bonds B 39

40 Lösung des Gleichungssystems liefert (im Beispiel): w A : 0.25 w B : Interpretation: Kauf von 0.25 Einheiten der Aktie A mit Kurswert 100; Leerverkauf (Kreditaufnahme) von Einheiten des Bonds B mit Kurswert 100 Ergebnis: In beiden Marktzuständen besitzt das Portfolio P denselben Zahlungsstrom wie der Call C. 40

41 Folgerung: Im arbitragefreien Gleichgewicht müssen P und C denselben Wert besitzen! Damit gilt für t 0 : Anmerkung: C = 0.25 * * 100 = 2.72 Wert C ist abhängig von u und d z.b. folgt für u = 1.25 und b = 0.85 für C =

42 A2. Diskontierung und risikoneutrale Bewertung Durch die Existenz eines risikolosen Bonds B oder risikofreien Zinssatzes i lassen sich die vom Markt gegebenen Diskontierungssätze berechnen. Im Beispiel gilt etwa: df B t B (1 0 t i)

43 Bei einer geeignet gewählten Eintrittswahrscheinlichkeit p für u (bzw. 1-p für d) ergibt sich der heutige Wert der Aktie S 0 als diskontierter Erwartungswert seiner zukünftigen Werte. Im Beispiel gilt für das geeignet gewählte p: (110 * p + 90 * (1-p)) * = 100 Daraus folgt im Beispiel: p = 0.55 (1-p) =

44 Dann kann auch der Callpreis durch Diskontierung des Erwartungswertes ermittelt werden: C = (0.45 * * 0) * = 2.72 Begründung: Wegen Duplikation gilt C = P = S 0 * w A + B 0 * w B Die heutigen Werte der Aktie und des Bonds lassen sich durch deren diskontierte Erwartungswerte ersetzen: 44

45 w E S ) df w E( B ) df A ( 1 B 1 w E( S ) w E( B )] df [ A 1 B 1 E( w S ) E( w B )] df [ A 1 B 1 E w S w B ] df [ A 1 B 1 S 1 w B C Wegen Duplikation ist A B 1 1 w zukünftigen Umweltzustand, also folgt: in jedem 45

46 C E C ] df [ 1 Schlussfolgerung: Die Bewertung eines Calls mit Hilfe der Duplikation ist äquivalent zu einer Bewertung mit Hilfe des diskontierten Erwartungswertes und geeignet gewählter Eintrittswahrscheinlichkeit p. 46

47 Anmerkung: Ein Entscheider, der eine Handlungsalternative allein anhand des Ergebniserwartungswertes bewertet, heißt risikoneutral. Bei Duplikation führt die risikoneutrale Bewertung mit geeignet gewählter Wahrscheinlichkeit p zu demselben Ergebnis. Die risikoneutrale Bewertung ist einfacher, aber trotzdem ökonomisch begründbar: keine Verhaltensannahme (üblich: Risikoaversion) sondern folgt aus Duplikation und Arbitragefreiheit 47

48 A3. Konzept der risikoneutralen Bewertung Bei gegebenem risikofreien Zinssatz ergibt sich der Diskontierungsfaktor als df B0 1 B T (1 i) T zeitdiskrete Variante, mit T ganzzahlig df exp( i T) zeitstetige Variante, T beliebig 48

49 Bei risikoneutraler Bewertung gilt für jeden Zeitpunkt t: E( S t ) S0 exp( i t) Der erwartete Kurswert einer Aktie entspricht dem mit i aufgezinsten heutigen Kurswert S 0. Anmerkung: Die risikoneutrale Bewertung muss mit der Duplikation begründet werden; dies erfordert die geeignete Konstruktion von Hedge-Portfolios und Arbitragefreiheitsannahme! 49

50 Achtung: Die Wahrscheinlichkeiten zur Berechnung des Erwartungswertes p im Einperioden-Fall bzw. Binomialmodell Parameter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind nicht beliebig, sondern müssen konsistent aus der Duplikation bestimmt werden (siehe Beispiel). Dann gilt: C E ( CT ) df 50

51 In der Monte-Carlo Simulation wird der Erwartungswert geschätzt mit Eˆ( C ) 1 K K T h k k1 mit h k : Wert der Option bei Fälligkeit im k-ten Simulationslauf Anmerkung: Ob erst diskontiert und dann gemittelt; oder umgekehrt vorgegangen wird spielt keine Rolle; führt zum selben Ergebnis! 51

52 A4. Preismodell von Black/Scholes Lognormalverteilung Eine Zufallsvariable X heißt lognormalverteilt, wenn ln X normalverteilt ist: ln X ~ N(, 2 ) Ist X normalverteilt, dann ist e X lognormalverteilt. 52

53 Für eine lognormalverteilte Zufallsvariable X gilt: E( X ) exp( 2 2 ) Var( X ) 2 exp(2 ) (exp( ) 2 1) Lognormalverteiltes Preismodell: Das underlying folgt einem zeitkontinuierlichen Verzinsungsprozess mit stochastischer Rendite R bis Fälligkeit 53

54 Annahmegemäß gilt: S T S 0 exp( R) R ~ N(, 2 ) Offensichtlich ist S T damit lognormalverteilt mit Erwartungswert: E( S T ) S 0 2 exp( 2 ) 54

55 Der Parameter τ 2 wird im Black/Scholes-Modell gesetzt als: 2 2 T mit σ: Volatilität (annualisierte Standardabweichung der Jahresrendite) T: Laufzeit der Option in Einheiten der Standardperiode Der Parameter ν wird mit dem Ansatz der risikoneutralen Bewertung bestimmt. 55

56 Bei risikoneutraler Bewertung muss gelten: E( S T ) S0 exp( ) S0 exp( i T) 2 Daraus folgt: i T und wegen: 2 2 T 56

57 folgt schließlich: 2 i T 2 Die mit N(ν,τ 2 ) verteilte Rendite R kann auch unter Verwendung einer standardnormalverteilten Zufallsvariable Z geschrieben werden: R Z mit Z ~ N(0,1 ) 57

58 Damit folgt schließlich: S T S 0 S 0 exp( R) S exp i T exp( T Z Z) Wert eines geometrischen Prozesses mit normalverteilten Störvariablen im Endzeitpunkt T 58

59 Dieses im Black/Scholes-Modell angenommene Preismodell ST S 0 exp i 2 T T Z war dann im Rahmen der Monte-Carlo-Simulation der Ausgangspunkt für Zeitdiskretisierung: 2 S( j 1) t S j t exp(( i 0.5 ) t j t ) 2 für alle Subperioden j = 1,, N 59

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