Zur Bewertung von Wetterderivaten als innovative Risikomanagementinstrumente

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1 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 Zur Bewerung von Weerderivaen als innovaive Risikomanagemeninsrumene in der Landwirschaf Pricing of weaher derivaives as innovaive risk managemen ools in agriculure Oliver Mußhoff, Marin Odening und Wei Xu Humbold-Universiä zu Berlin Zusammenfassung Die Bedeuung des Weers als Risikofakor in der Landwirschaf is sei langem bekann. Zur Reduzierung weerbedinger Risiken wurden in den lezen Jahren insbesondere Erragsausfallversicherungen diskuier. Ein relaiv neues Insrumen zur Seuerung des Mengenrisikos sellen sog. Weerderivae dar. Weerderivae sind Finanzmarkproduke, wie z.b. Forward-Konrake, Fuures, Opionen oder Swaps, die sich auf Temperaurindices, Niederschlagsindices oder andere objekiv messbare Weervariablen beziehen. Obwohl Weerderivae gegenüber radiionellen Versicherungen Voreile aufweisen, is der Mark für diese Produke in der Landwirschaf noch relaiv klein. Dies wird u.a. darauf zurückgeführ, dass es schwierig is, Weerderivae korrek zu bepreisen. In der Finanzderivaeheorie enwickele präferenzfreie Bewerungsverfahren sind wegen der Nichhandelbarkei des Weers nich oder nur eingeschränk einsezbar. In diesem Beirag wird exemplarisch anhand eines Beispiels mi realen Daen die Anwendung verschiedener Verfahren zur Bewerung von Weerderivaen verdeulich. Anschließend werden Schlussfolgerungen für die Eignung der verschiedenen Mehoden bei unerschiedlichen Bewerungssiuaionen abgeleie. Die hier behandele Fragesellung is nich nur für Landwire, sondern auch für poenzielle Anbieer von Weerderivaen (also z.b. Versicherungen, Banken, die WTB Hannover usw.) relevan. Schlüsselwörer Weerderivae; Opionspreisbewerung; versicherungsmahemaische Verfahren; kapialmarkheoreische Verfahren Absrac The imporance of weaher as a producion facor in agriculure is well esablished long ime and a significan porion of yield flucuaions is caused by weaher risks. Tradiionally, farmers have ried o hedge agains unfavorable weaher using insurance, such as crop insurance. In recen years a new class of insrumens, so called weaher derivaives, have emerged. They allows o reduce weaher based risks as well. Weaher derivaives are financial marke producs such as forwards, fuures, opions and swaps, ha have a weaher componen such as emperaure or rainfall. Alhough weaher derivaives have some advanages compared o radiional insurance, heir rading volume is sill raher small. One reason (among ohers) for why poenial users hesiae o ener he marke are he difficulies o deermine a fair price for hese producs. Financial pricing mehods such as he Black-Scholes formula canno be direcly applied since weaher is no a radable asse. In his aricle, various pricing mehods are invesigaed and applied o acual weaher daa. One imporan finding is ha here are considerable differences beween he pricing mehods. We idenify he srenghs and weaknesses of he pricing mehods and give some recommendaions for heir applicaion. Our resuls may be relevan no only for producers bu also for poenial sellers of weaher derivaives. Key words weaher derivaives; opion pricing; acuarial mehods; financial mehods 1. Einführung In einem jüngs in der Agrarwirschaf erschienenen Beirag werfen BERG e al. (005) die Frage auf, inwiewei Weerderivae, d.h. Finanzmarkproduke, die dem Ausausch von Weerrisiken dienen, ein nüzliches Insrumen für das Risikomanagemen in der Landwirschaf darsellen. Diese Frage is zweifellos relevan. Die Weerabhängigkei der landwirschaflichen Produkion welwei is offensichlich. Für die weseuropäische Landwirschaf im Besonderen haben die exremen Weerereignisse der vergangenen Jahre die Bedeuung des Weers verdeulich. Ensprechend is der Ruf nach geeigneen Maßnahmen zur Risikominderung lau geworden (LEISINGER, 003). Dabei is zu beachen, dass sich Weerderivae von radiionellen Insrumenen des Risikomanagemens, insbesondere von Versicherungen, in verschiedener Hinsich unerscheiden (ALATON e al., 00, CAMPBELL und DIEBOLD, 00). 1 Versicherungen dienen überwiegend der Abwehr von Schäden aus kaasrophenähnlichen Ereignissen (Überschwemmung, Hagel, Surm, Bliz). Weerderivae lassen sich so gesalen, dass Zahlungen auch bei weniger drasischen Ereignissen (z.b. unzureichende Niederschläge) ausgelös werden. Um Versicherungsleisungen zu erhalen, muss der Versicherungsnehmer den ensandenen Schaden nachweisen. Bei Weerderivaen werden Zahlungen auomaisch bei Einreen eines objekiv messbaren Ereignisses ausgelös und weisen somi gegenüber klassischen Versicherungspolicen adminisraive Voreile auf. Weerderivae sind im Gegensaz zu Versicherungskonraken nich von der Moral-Hazard-Problemaik beroffen. Ein Mark für Weerderivae erlaub es, Unernehmen zusammenzuführen, für die sich engegengeseze Konsequenzen aus besimmen Weerereignissen ergeben. Durch den Abschluss eines ensprechenden Verrages können die Risiken gegenseiig gehedg werden. 1 Der Übergang von Weerderivaen zu Versicherungsproduken is fließend. Beispielsweise greifen auch sog. Weaher- Index-Based-Insurances im Gegensaz zu klassischen Versicherungsproduken nich nur bei wierungsbedingen Exremschäden (MCCARTHY, 003). In anekdoischer Form wird von dem Versuch des Verkäufers einer Niederschlagsopion beriche, drohende Verluse durch die Erzeugung künslichen Regens abzuwenden (CAMPBELL und DIEBOLD, 00). 197

2 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 Für Weerderivae bilden sich Sekundärmärke, die auch für insiuionelle Invesoren arakive Anlagemöglichkeien bieen können, da die dor gehandelen Risiken relaiv schwach mi dem sysemaischen Risiko einer Volkswirschaf korrelier sind. Auch zu herkömmlichen Forward- und Fuureskonraken auf landwirschafliche Produke besehen Unerschiede, da diese der Reduzierung von Preisrisiken dienen, während Weerderivae auf weerbedinge Errags- und Absazschwankungen, d.h. die mengenbezogene Erlöskomponene, absellen. Insofern sind Commodiy Fuures und Weerderivae als komplemenäre Insrumene zu sehen. Aus dem bislang Gesagen folg nich, dass die von BERG e al. (005) geselle Frage posiiv zu beanworen is, sondern nur, dass es sinnvoll erschein, sie zu sellen. Sicher hängen die Einsazmöglichkeien von Weerderivaen von den klimaischen Bedingungen einer Region und vom Produkionsprogramm des Beriebes ab. Eben diese zu erwarende Differenzierung mach es nowendig, einzelberiebliche Wirkungsanalysen durchzuführen. Der Beirag verfolg das Ziel, alernaive Verfahrensweisen bei der einzelberieblichen Wirkungsanalyse zu beschreiben und die besehenden Unerschiede zu verdeulichen. Der Schwerpunk lieg dabei auf dem Vergleich verschiedener Bewerungsverfahren. Die Auseinandersezung mi Bewerungsverfahren für Weerderivae is nich nur aus heoreischer Sich ineressan, da diese Produke einige Besonderheien aufweisen, die eine direke Überragung von Bewerungsmehoden für Tabelle 1. Finanzderivae erschwer. Vielmehr wird die Bereisellung ransparener Verfahren zur Bepreisung als nowendige Voraussezung für das Zusandekommen einer ausreichenden Liquidiä auf den noch jungen Märken für Weerderivae angesehen (DISCHEL, 00). Ziel dieses Beirages is es nich, eine vollsändige Wirkungsanalyse für besimme landwirschafliche Beriebe durchzuführen. Vielmehr soll eine Vorleisung für solche Unersuchungen zur Verfügung gesell werden, indem verschiedene Bewerungsverfahren auf ihre Tauglichkei uner unerschiedlichen Anwendungsvoraussezungen unersuch werden. Es handel sich quasi um eine Bewerung von Bewerungsverfahren. Die Kennnis der Särken und Schwächen der einzelnen Verfahren hilf poenziellen Anwendern, ihre Wirkungsanalysen sachgerech zu gesalen. Der Haupeil des Beirages beseh aus drei Abschnien. In Abschni wird zunächs kurz die Vorgehensweise einer einzelberieblichen Wirkungsanalyse von Weerderivaen beschrieben. Auf eine Erläuerung der grundsäzlichen Wirkungsweise der verschiedenen Typen von Weerderivaen wird uner Verweis auf den Beirag von BERG e al. (005) verziche. In Abschni 3 werden verschiedene Verfahren zur Bewerung von Weerderivaen und zur Modellierung von Weerindices vorgesell, von denen einige in Abschni 4 aufgegriffen und in einem Beispiel mi realen Daen vergleichend gegenübergesell werden. Anhand der Ergebnisse werden Schlussfolgerungen für die Eignung der verschiedenen Mehoden gezogen Wirkungsanalysen von Weerderivaen Obwohl es ers sehr wenige prakische Anwendungen von Weerderivaen im Agrarbereich gib, finden sich in der Lieraur bereis einige Arbeien, die versuchen deren Anwendungspoenzial für die Landwirschaf abzuschäzen (siehe Tabelle 1). Wirkungsanalysen von Weerderivaen im Agrarbereich Auoren Risiko Region Weervariable CHEN e al. Hizesressbedinge Ohio Hizeindex (003) Milch- (THI) mengenverluse BERG e al. (005) RICHARDS e al. (004) STOPPA / HESS (003) saisongewichee Niederschlagssummen HDD ASSELDONK / Energiekosenrisiko OUDE LANDSINK im (003) Gewächshaus SCHMITZ / STARP (004) TURVEY (001) Niederlande Energiekosenrisiko im Unerglasanbau Allgemeines Niederschlagsrisiko Quelle: eigene Darsellung Im Allgemeinen zielen die einzelberieblichen Wirkungsanalysen für Weerderivae darauf ab, zu erkennen, wie sich das Risikoprofil eines Beriebes oder eines Beriebszweiges durch die Nuzung (Kauf oder Verkauf) eines oder mehrerer Weerderivae(s) veränder. Als Derivaypen kommen Fuures bzw. Forwards, Pu- und Call-Opionen und Swaps in Frage, deren Auszahlungen zum Verfallszeipunk wie folg definier sind: (1a) V ( X ) τ (für Fuures, long) X 0 (1b) V max( X K,0) τ (für Call-Opionen) (1c) V max( K X,0) (für Pu-Opionen) (1d) V ( X K ) Kalifornien Marokko Onario τ (für Swaps) τ Erragsrisiko im Karoffelanbau Erragsrisiko in der Obsprodukion Erragsrisiko im Weizenanbau Deuschland Niederschlagssumme (Mai bis Sepember) CDD, Niederschlagssumme Weseuropa LIFFE- Saisonindex Niederschlagssumme Juni + Juli Deriva Call-Opion Pu + Call- Opion Call-Opion Pu-Opion Swap Pu-Opion Pu-Opion X, 0 X bezeichnen den Weerindex am Bewerungszeipunk bzw. zum Fälligkeiszeipunk, K den Ausübungs- τ preis (Srike-Preis) und V die Tick-Size. Naürlich können mehrere Derivae mieinander kombinier werden, was die Erzeugung nichlinearer Auszahlungssröme erlaub. Bei der Wirkungsanalyse sind zwei Siuaionen zu unerscheiden: Enweder man beschränk sich auf die Analyse vorhandener Produke, die bereis an Finanzmärken gehandel werden oder man lös sich von dieser Einschränkung und berache Produke, die es zwar noch nich

3 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 gib, die es aber geben könne, beispielsweise auf dem OTC-Mark 3. Die lezgenanne Berachung wird bei der Mehrzahl der Wirkungsanalysen im landwirschaflichen Konex vorgezogen, da die relaiv wenigen, akuell verfügbaren Derivae den Anforderungen der meisen landwirschaflichen Unernehmen nur unzureichend ensprechen, in dem Sinne, dass ein hohes Basisrisiko verbleib. Durch die Analyse fikiver Insrumene enseh ein zusäzlicher Freiheisgrad in Gesal einer Designaufgabe. Die verschiedenen Konrakparameer des Weerderivas (z.b. der Weerindex oder die Tick-Size) können so gewähl werden, dass das Risikoprofil des Agrarberiebs besmöglich beeinfluss wird. Dieser Weg wird beispielsweise von BERG e al. (005) beschrien. Eine Wirkungsanalyse sez naürlich die Definiion und die Modellierung eines Weerindex voraus. Der Phanasie sind hier kaum Grenzen gesez, die größe Bedeuung für die Landwirschaf dürfen aber voraussichlich niederschlagsbezogene Indices haben (z.b. Niederschlagssumme innerhalb einer besimmen Kumulaionsperiode). Demgegenüber dominieren emperaurbezogene Indices derweil den welweien Handel, der durch Energieunernehmen geragen wird. Zu nennen sind hier der Heaing-Degree-Day- Index (HDD), der Cooling-Degree-Day-Index (CDD) und der Cumulaive-Average-Temperaure-Index (CAT), die auch in dem empirischen Beispiel in Abschni 4 verwende werden: Der HDD is der akkumuliere Wer der posiiven Differenz zwischen einer Referenzemperaur R (meis 18 Grad Celsius bzw. 65 Grad Fahrenhei) und der Tagesdurchschnisemperaur T innerhalb einer Kumulaionsperiode [ ] A E () HDD = E = max ( R T, 0) A, : Fuures und Opionen auf den HDD werden im Winer gehandel. Der im Sommer gehandele CDD is ganz analog definier, mi dem Unerschied, dass die posiiven Überschreiungen der Referenzemperaur kumulier werden. (3) CDD = E = max ( T, 0) R A Für in Europa gelegene Säde wird anselle des CDD- der CAT-Index an der CME (Chicago Mercanile Exchange) und der LIFFE (London Inernainal Financial Fuures & Opion Exchange) verwende, der die Summe der Tagesdurchschnisemperauren innerhalb der Akkumulaionsperiode miss: A E (4) CAT = = T Ein weieres wesenliches Elemen der Wirkungsanalyse is die Schäzung des Zusammenhangs zwischen dem beracheen Weerindex und den Erlösen bzw. Kosen der landwirschaflichen Produkion. Vielfach wird der Einfachhei halber von konsanen Preisen ausgegangen, so dass die Beziehung zwischen dem Weerindex und dem physischen Errag bzw. dem Fakoraufwand zu schäzen is. Dies kann 3 Zur Unerscheidung von börsengehandelen Weerderivaen und Over-he-Couner (OTC)-Produken vgl. BERG e al. (005). auf einfachse Weise durch die Berechnung von Korrelaionen oder ewas aufwändiger durch die Schäzung mehrfakorieller Produkionsfunkionen erfolgen. In solchen Produkionsfunkionen is der Weereinfluss nich, wie sons üblich, Teil des Sörerms, sondern ein (nich konrollierbarer) Produkionsfakor. Aus den Ergebnissen können sich Rückkoppelungen für die o.a. Designaufgabe ergeben, denn gesuch werden naürlich Weervariablen, die mi dem Errag bzw. Aufwand hoch korrelier sind. Weierhin muss für den Weerindex eine saisische Vereilung am Fälligkeisermin geschäz werden, um die Vereilung der Rückflüsse des Weerderivas prognosizieren zu können. Alernaiven, um dies zu un, werden in Abschni 3.3 diskuier. Schließlich, und darauf lieg das Augenmerk in diesem Beirag, müssen die Kosen für den Erwerb des Derivas ermiel werden, analog zu der Prämie einer Versicherung. In Frage kommende Verfahren werden in den Abschnien 3.1 und 3. vorgesell. Die zuvor genannen Elemene werden lezlich in einer Risikoanalyse zusammengeführ. Dabei werden meis mi Hilfe sochasischer Simulaion Vereilungsfunkionen für beriebliche Kennzahlen (Neo-Erlöse, Deckungs- oder Gewinnbeiräge) generier. Häufig wird dabei nur ein Produk berache, eine gesamberiebliche Berachung uner Einbeziehung weierer Risikoquellen is aber denkbar und erschein angesichs von Diversifikaionseffeken auch sinnvoll. Die Risikoprofile werden in Form eines Ohne- Mi-Vergleichs gegenübergesell, und anhand einschlägiger Krierien (Varianz, Value-a-Risk, Sochasische Dominanz) kann überprüf werden, ob durch den Erwerb des Derivas eine Verbesserung für das Unernehmen zu erreichen is. Abb. 1 fass noch einmal die Schrifolge einer Wirkungsanalyse für Weerderivae zusammen. Abbildung 1. Elemene einer einzelberieblichen Wirkungsanalyse von Weerderivaen Modellierung der Weervariable Schäzung des Weereinflusses auf den Errag Design eines Weerderivas Besimmung des Markpreises des Weerderivas Besimmung des Risikoprofils mi/ohne Nuzung des Weerderivas Quelle: eigene Darsellung 199

4 3. Bewerung von Weerderivaen Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 Im vorangegangenen Abschni wurde dargeleg, dass der Voreil eines Weerderivas als Insrumen zur Risikoabsicherung durch den Preis, den der Käufer dafür enrichen muss, mi besimm wird. Eine Veränderung des Preises des Weerderivas führ zu einer Parallelverschiebung des Risikoprofils. Daher soll nun der Frage nach der richigen Bepreisung von Weerderivaen nachgegangen werden. Für die Bewerung können verschiedene Mehoden herangezogen werden, die sich sowohl in der heoreischen Fundierung als auch in ihrer prakischen Implemenierung unerscheiden. Tabelle versuch, die dabei relevanen Unerscheidungsmerkmale zu srukurieren, wobei anzumerken is, dass nich alle Ausprägungen mieinander kombinierbar sind. Tabelle. Merkmal Modellyp Berücksichigung der Risikoeinsellung Gegensand der Modellierung Ar der Vereilung Unerscheidungsmerkmale von Bewerungsverfahren für Weerderivae Versicherungsmahemaische Modelle Keine Vereilung des Weerindexes zum Fälligkeiszeipunk paramerisch Mögliche Ausprägung Kapialmarkheoreische Modelle No- Arbirage- Modelle präferenzunabhängige Bewerung (Risk- Neural-Valuaion) sochasischer Prozess des Weerindexes Gleichgewichsmodelle Risikoaversion der Weervariable nich paramerisch ( hisorische Simulaion ) Ar der Lösung analyisch Simulaion Quelle: eigene Darsellung 00 Konrake, die den Ausausch von Risiken zum Gegensand haben und deren Auszahlung von unsicheren Zusandsvariablen, wie z.b. Akienkursen, Karoffelpreisen, dem Aufreen eines Erdbebens oder der Niederschlagsmenge abhäng, werden als Coningen Claims bezeichne. Eine Bewerung solcher Konrake kann auf der Grundlage von zwei Theoriegebäuden erfolgen, ersens, versicherungsmahemaischen Ansäzen (Acuarial Mehods) und zweiens, kapialmarkheoreischen Modellen (Financial Pricing, Coningen-Claim-Analyse). Versicherungsmahemaische Modelle leien Prämien für Derivae aus den zu erwarenden Rückflüssen zuzüglich von Prämien für die Risikoübernahme und Transakionskosen ab. Kapialmarkheoreische Modelle gehen meis von Gleichgewichsüberlegungen aus und versuchen die Preise für Derivae so zu besimmen, dass Arbiragefreihei gegeben is. Dabei müssen in der Regel vollkommene und vollsändige Kapialmärke unersell werden. Ineressanerweise haben sich beide Theorien bislang weigehend unabhängig voneinander enwickel, obwohl sie zum Teil ähnliche Zielsezungen haben. Ers in jüngser Zei wird auf Zusammenhänge hingewiesen (EM- BRECHTS, 000). Hinsichlich der Lösbarkei können die Bewerungsverfahren dahingehend unerschieden werden, ob sie zu einer geschlossenen analyischen Form führen oder nich. Analyische Verfahren sind einfacher anzuwenden, erfordern aber resrikive Annahmen (z.b. dass die Weervariable einem geomerischen Brown schen Prozess (GBP) folg). Is eine geschlossene Lösung nich möglich, kann der Wer des Derivaes miels sochasischer Simulaion hinreichend genau ermiel werden. Die sochasische Simulaion is aufwändig, erlaub aber auch die Bewerung komplexer Derivae (siehe z.b. MUßHOFF und HIRSCHAUER, 003). Im Folgenden sollen die wichigsen Modelle kurz erläuer werden. 3.1 Versicherungsmahemaische Modelle Versicherungsmahemaische Modelle basieren auf der Enscheidungsheorie. Von besonderer Bedeuung is der sog. faire Preis ~ F, der dem Erwarungswer der Schadensvereilung 0 ensprich: ~ rτ (5) F = e E( D ) 0 τ Darin bezeichne D τ den unsicheren Schaden bzw. rτ die Rückflüsse aus dem Konrak, e einen Diskonierungsfakor mi seiger Verzinsung und r den risikolosen Zinssaz. (5) sez Risikoneuraliä voraus, im relevanen Fall der Risikoaversion gil dagegen: ~ (6) F 0 = F0 + π, π > 0 Darin bezeichne π eine Risikoprämie, die der Käufer des Konraks berei is für die Risikoüberwälzung zu zahlen. Sofern diese Prämie größer is als die vom Verkäufer gefordere Prämie, komm ein Verrag zusande. Obwohl der faire Preis in der Regel kein Gleichgewichspreis is, finde (5) vielfach Anwendung bei der Bewerung von Weerderivaen. In Abschni 4.3 kommen wir auf den fairen Preis zurück und erläuern eine mögliche Umsezung von (5) im Rahmen der sog. Burn-Rae-Mehode. 3. Kapialmarkheoreische Modelle Ein zenrales Ergebnis der Coningen-Claim-Analyse, das auf COX e al. (1985) zurückgeh, sell die sog. fundamenale Bewerungsgleichung (Fundamenal Valuaion Equaion) dar. Dabei handel es sich um eine parielle Differenialgleichung (PDF), die für jedes Deriva gil, dessen Wer von einer sochasischen Zusandsvariablen X (z.b. einem Weerindex oder einem Akienkurs) abhäng. Angenommen, die Zusandsvariable X (synonym Bezugsobjek, Underlying, Asse) enwickel sich gemäß folgendem sochasischen Prozess (7) dx = X m d + X s dz (7) is ein GBP mi Drifrae m und Volailiä s. dz kennzeichne einen Wiener Prozess. Dann laue die fundamenale Bewerungsgleichung, die der Preis F ( X, ) eines Derivaes (z.b. einer Opion oder eines Fuures auf X ) erfüllen muss: F F 1 F (8) + X ( m λ s) + s X = rf X X Dabei bezeichnen r den risikolosen Zinssaz und λ den Markpreis des Risikos, das X innewohn. (Zur Herleiung

5 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 von (8) siehe z.b. HULL, 000: 498ff.) Um die PDF (8) lösen zu können, werden Randbedingungen benöig, die sich aus der Auszahlung des Derivas zum Verfallszeipunk τ ergeben. Für eine Call-Opion is diese Bedingung durch Formel (1b) gegeben. Alernaiv kann der Preis eines (Weer)Derivas miels risikoneuraler Bewerung (Risk Neural Valuaion) besimm werden. Die allgemeine Bewerungsformel laue (NEFTCI, 1996): rτ (9) F = e Eˆ( D ) 0 τ Ê deue an, dass bei der Erwarungswerberechnung das Prinzip der risikoneuralen Bewerung zur Anwendung komm. Obwohl (8) und (9) eine unerschiedliche Srukur aufweisen, sind beide Bewerungsansäze inhallich äquivalen und führen daher (bei Güligkei von (7)) zum selben Preis für das Deriva. (Zum Beweis der Äquivalenz siehe z.b. NEFTCI, 1996: 310ff. oder COX e al., 1985, Lemma 4.) Dieser Preis erfüll die grundlegende Eigenschaf der Arbiragefreihei. Deswegen werden Bewerungsansäze, die auf (8) oder (9) basieren, auch als No-Arbirage-Modelle bezeichne. Demgegenüber haben (5) und (9) dieselbe Srukur, denn in beiden Fällen wird der gegenwärige Preis eines Derivaes als diskonierer Erwarungswer seiner Rückflüsse zum Ausübungszeipunk besimm. Dennoch führen sie in der Regel nich zum selben Preis. Der Grund lieg darin, dass für die Erwarungswerbildung unerschiedliche Wahrscheinlichkeisvereilungen verwende werden. Im Gegensaz zu (5) wird in (9) nich die asächliche Wahrscheinlichkeisvereilung des Underlyings verwende, sondern ein risikoneurales Wahrscheinlichkeismaß. Dieser Maßwechsel bewirk, dass die Drifrae des sochasischen Prozesses des Underlyings um einen Risikoabschlag s λ verminder wird. Das bedeue, dass nich der Erwarungswer der asächlichen Rückflüsse des Derivas besimm wird, sondern ihr Sicherheisäquivalen ( Ê sa E ). Deshalb is es konsisen, den risikolosen Zinssaz zur Diskonierung zu verwenden. Der Bewerungsansaz (9) ha gegenüber (8) den Voreil, dass sich eine Operaionalisierung leicher erschließ. So kann der Erwarungswer in (9) einfach und hinreichend genau miels sochasischer Simulaion berechne werden. Ein großer Voreil beseh weierhin darin, dass bei Anwendung von sochasischer Simulaion der Erwarungswer prakisch für jeden beliebigen sochasischen Prozess berechne werden kann, während die Lösung der PDF (8) für andere sochasische Prozesse als (7) sehr komplizier wird. Wegen der inhallichen Äquivalenz is aber in beiden Ansäzen ein idenisches konzepionelles Problem zu lösen und zwar die Besimmung des Parameers λ, des Markpreises für Risiko. Hierbei sind drei Siuaionen zu unerscheiden: a) X is ein gehandeles Asse, z.b. eine Akie. In diesem Fall is λ leich zu besimmen, denn es gil (HULL, 000: 500): ( m r) / s = λ. Sez man diese Beziehung in (8) ein, reduzier sich der zweie Term der PDF zu F rx. Die risikoneurale Drifrae is der risikolose X Zinssaz, und eine explizie Schäzung von λ enfäll. Für eine Call-Opion is die Lösung dieser PDF durch die bekanne Black-Scholes-Bewerungsgleichung gegeben (BLACK und SCHOLES, 1973): (10) F call 0 0 ( 1 d rτ = c = X N d ) Ke N( ) mi d 1 = (ln( X 0 / K) + ( r + s² / ) τ ) / s τ und d = 1 d s τ Darin bezeichne N ( ) die Sandardnormalvereilung. Dieser Fall is leider für die Bewerung von Weerderivaen prakisch irrelevan, da Weervariablen nich handelbar sind: You can buy a sunny day. b) Es werden Fuures-Konrake für das Underlying gehandel. Diese Siuaion is für einige Weerindices (z.b. Degree-Day-Indices) und für einige größere Säde gegeben. In diesem Fall kann Black s Bewerungsformel für Opionen auf Fuures angewende werden (BLACK, 1976): (11) r c = e τ f N( d ) KN( )) mi ( 0 1 d 1 (ln( f 0 / K) + s d = τ / ) / s τ und d = 1 d s τ f bezeichne die Noierung des Fuures zum Zeipunk 0. 0 c) Weder das Underlying selbs, noch Fuures auf das Underlying werden gehandel. Diese Siuaion riff im Gegensaz zu Finanzderivaen für die meisen Weerderivae zu. Die Lösung der PDF für eine Call-Opion laue dann (HULL, 000: 75) 4 : (1) rτ ( d ) Ke N( ) qτ 0e N 1 d c = X mi ( ) ( ) ln X + + σ 0 K r q τ = d und 1 σ τ d = d 1 σ τ und q = r ( m λs) In der Lieraur werden verschiedene Vorschläge gemach, um den Markpreis des Weerrisikos in diesem Fall zu besimmen. aa) TURVEY (00) bezieh sich auf das Capial Asse Pricing Modell und definier den Markpreis für Weerrisiko als rm r (13) λ = β σ 4 mi r und m m σ als erwaree Rendie bzw. Volailiä m eines Markporfolios. β miss den Zusammenhang von Weerrisiken und Kapialmarkrisiken. TURVEY unersell, dass beide unkorrelier sind, d.h. ein Weerbea von Null vorlieg. Dies implizier ein λ von Null. Nimm man weierhin eine Drifrae des Weerindexes von Null an, ergib sich wiederum die Bewerungsformel (11) von BLACK (1976) für Opionen auf Fuures. Die Annahme eines Markpreises für Weerrisiken von Ein weierer Ansaz zur Bewerung opionsähnlicher Derivae, der keine Handelbarkei des Underlying bzw. Replizierbarkei voraussez, wird von CHAMBERS and QUIGGIN (004) vorgeschlagen. 01

6 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 Null wird von RICHARDS e al. (004) allerdings mi dem Hinweis kriisier, dass zwar der Kapialmark nich das Weer beeinfluss, mi Blick auf die Weerabhängigkei vieler Branchen der Volkswirschaf eine umgekehre Beeinflussung aber durchaus safinde. bb) ALATON e al. (00) greifen auf Preise für bereis gehandele Weerderivae zurück. Die Bewerungsformeln (8) bzw. (9) werden mi Hilfe des Parameers λ so kalibrier, dass die berechneen Preise mi den in der Realiä beobacheen Preisen für das Weerderiva übereinsimmen. Dieses Vorgehen ensprich dem Konzep der implizien Volailiä, hier bezogen auf die risikoneurale Drifrae m λs. cc) CAO und WEI (1999) wählen LUCAS (1978) folgend ein sog. Gleichgewichsmodell zur Preisbesimmung von Weerderivaen, das auf einer ineremporalen Nuzenmaximierung basier. Die Bewerung erfolg hierbei nich präferenzunabhängig, sondern erfass explizi die Risikoeinsellung der Wirschafssubjeke durch eine Nuzenfunkion. Das bedeue, dass der Markpreis für das Weerrisiko hier für die Preisbesimmung des Derivas nich bekann sein muss; er wird vielmehr endogen aus der Risikopräferenz der Invesoren abgeleie. Im Folgenden soll dieser Ansaz kurz skizzier werden. Berache wird ein repräsenaives Wirschafssubjek das den erwareen Nuzen aus dem über künfige Perioden aggregieren Einkommen (bzw. den dami möglichen Konsum) maximieren möche: (14) E u( b, ) = 0 max Darin is u ( b, ) eine konkave, vom (sochasischen) Einkommen b abhängige Nuzenfunkion in Periode. Aus den Opimaliäsbedingungen (Euler-Gleichungen) für das dynamische Opimierungsproblem (14) läss sich der Preis eines Derivaes F mi einer Auszahlung D τ zum Zeipunk τ durch folgende Gleichung besimmen (vgl. CAO und WEI, 1999: 6): u u (15) F 0 = E Dτ bτ b0 (15) ha insofern Ähnlichkei mi (5) und (9) als der Wer eines Derivas als Erwarungswer seiner Rückflüsse besimm wird. Die Spezifik im Vergleich zu den vorgenannen Mehoden beseh darin, dass einerseis der Erwarungswer anhand der asächlichen (und nich der risikoneuralen) Wahrscheinlichkeien gebilde wird und andererseis anselle des risikolosen Zinssazes (9) ein sochasischer Diskonierungsfakor u u verwende wird. Um (15) für die Bewerung von Weerde- bτ b 0 rivaen zu nuzen, is die Annahme einer speziellen Nuzenfunkion nowendig. DAVIS (001) zeig einen engen Zusammenhang zwischen No-Arbirage- und Gleichgewichsmodellen auf. Unersell man eine logarihmische Risikonuzenfunkion für die Enscheider und einen GBP (7) für den Weerindex, läss sich (15) in ein Black-Scholes-Modell überführen, bei dem der risikolose Zinssaz r durch m s ersez wird. 3.3 Modellierung und Schäzung des Weerindexes Aus den vorgesellen Bewerungsformeln wird deulich, dass die saisische Modellierung und Schäzung des beracheen Weerindexes wesenlichen Einfluss auf die Bewerung von Weerderivaen haben, da sie den Erwarungswer und die Sreuung des Weerindexes zum Fälligkeiszeipunk deerminieren. Hierbei is zu unerscheiden zwischen Ansäzen, die unmielbar die Vereilung des Weerindexes am Verfallsag berachen und schäzen (z.b. BERG e al., 005) und Modellen, die die zeiliche Enwicklung des Weerindexes oder der zugrundeliegenden Weervariablen mi Hilfe eines sochasischen Prozesses abbilden. Diese Verfahren werden auch als Index Value Simulaion bzw. Daily Simulaion bezeichne. SCHIRM (001) weis darauf hin, dass beide Mehoden im Prinzip äquivalen sind, denn lezlich dien der sochasische Prozess auch dazu, die Vereilung der Rückflüsse des Weerderivas zum Zeipunk τ zu besimmen; allerdings hängen die Parameer der Vereilung des Weerindexes zum Ausübungszeipunk von der Länge und der Jahreszei der Akkumulaionsperiode ab. Das bedeue, dass im Rahmen der Index Value Simulaion jede Bewerung unerschiedlicher Transakionen eine separae Schäzung der Vereilung erforder. Demgegenüber muss bei Anwendung der Daily Simulaion nur einmal ein sochasischer Prozess geschäz werden. Ein weieres Argumen für die Durchführung einer Daily Simulaion is der Umfang der Daenbasis und die dami einhergehende Schäzgenauigkei (BRIX e al., 00). Lieg beispielsweise eine 10jährige Daenreihe äglicher Durchschnisemperauren vor, so sehen Beobachungswere zur Schäzung des sochasischen Prozesses der Tagesemperaur zur Verfügung, dagegen nur 10 zur Schäzung der Vereilung eines HDD oder CDD. Der Nacheil der Daily Simulaion beseh in ihrem hohen Aufwand zur Schäzung der eilweise komplizieren Prozesse. Nachsehend sollen beide Verfahren kurz erläuer werden. a) Schäzung der Vereilung zum Verfallszeipunk Es is zu unerscheiden zwischen paramerischen und vereilungsfreien Verfahren. Paramerische Verfahren implizieren die Auswahl einer besimmen Vereilungsform. Für viele Weervariablen dürfe eine Normalvereilung plausibel sein, wenn die Laufzei ausreichend lang is (Zenraler Grenzwersaz). Für kürze Kumulaionsperioden kommen auch andere Vereilungen in Frage. Beispielsweise schäzen BERG e al. (005) eine Dreiecksvereilung für die Niederschlagssumme von Mai bis Sepember. Weierhin is zu berücksichigen, dass besimme Indices keine negaiven Were annehmen können (z.b. CDD, HDD), was durch eine Lognormalvereilung sichergesell werden kann. Ein Beispiel für die Anwendung eines vereilungsfreien Verfahrens is die sog. Burn-Rae-Mehode. Sie basier auf dem ypischen versicherungsmahemaischen Vorgehen, bei dem der aus hisorischen Daen berechnee Mielwer der Auszahlungen für das Weerderiva die Grundlage für die Besimmung eines fairen Preises bilde. Das Verfahren kann als eine spezielle Umsezung der Bewerungsformel (5) versanden werden. Der miels Burn-Rae-Mehode berechnee Preis beanwore die Frage: Was wäre zu zahlen gewesen, wenn man den Konrak in der Vergangenhei verkauf häe?. Die prakische Berechnung umfass 0

7 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 folgende Schrie: Auswahl einer geeigneen Zeireihe hisorischer Weerdaen ggf. Bereinigung der Daen Berechnung des Weerindexes Berechnung des hypoheischen Pay-offs für jede Periode Berechnung des durchschnilichen Pay-offs Diskonierung auf den Bewerungszeipunk Die Mehode weis gewisse Ähnlichkei mi der hisorischen Simulaion auf, wie sie in der Value-a-Risk-Berechnung verwende wird. Aufgrund ihrer Einfachhei wird diese Mehode vielfach von Anbieern von Weerderivaen verwende. TURVEY (001) sowie CAO e al. (003) zeigen allerdings, dass die miels Burn-Rae-Mehode ermielen Preise sehr ungenau sein können. Dies is auf folgende Gründe zurückzuführen (vgl. NELKEN, 000): Die Länge der Daenreihe is zu kurz, um die heoreische Vereilung gu zu approximieren. Die Weerdaen können Trends aufweisen. Der ermiele Preis des Weerderivaes is unabhängig von der akuellen Ausprägung der Weervariablen zum Bewerungszeipunk. Es können keine neuen Informaionen in die Bewerung einfließen, somi is auch eine Forschreibung des Weres nich möglich, was einen Handel während der Laufzei des Weerderivaes erschwer. Es fehl die Möglichkei, die Risikoeinsellung der Markeilnehmer konsisen zu berücksichigen. Dies schläg sich konkre in einer ad-hoc-annahme bezüglich des Diskonierungsfakors für die Pay-offs des Derivas zum Verfallsdaum nieder. Diese Kriikpunke schließen jedoch nich aus, dass die Burn-Rae-Mehode in besimmen Siuaionen eine prakikable Lösung darsell. b) Sochasische Prozesse Bei der Spezifikaion der sochasischen Prozesse für Weervariablen sind im Vergleich zu Finanzderivaen einige Besonderheien zu berücksichigen. Der Verlauf der Variablen Tagesdurchschnisemperaur is beispielsweise gekennzeichne durch: Saisonabhängigkei. Die Tagesdurchschnisemperauren folgen über die Jahre hinweg einem sinusförmigen Verlauf. Auokorrelaion, d.h. einem überdurchschnilich warmen Tag folg wiederum ein warmer. Mean-Reversion, d.h. es beseh eine Tendenz zur Rückkehr zum langjährigen Temperaurmielwer. Zeiveränderliche Varianz. Im Winer sind die Temperaurschwankungen größer als im Sommer RICHARDS e al. (004) unersuchen verschiedene Diffusions- und Jump-Prozesse und kombinieren diese mi ARCH- Modellen. Weiere Vorschläge für die Modellierung von Tagesdurchschnisemperauren finden sich bei CAMPBELL und DIEBOLD (00). In Bezug auf Niederschlag ri das Problem auf, dass dieser lokal sehr große Unerschiede aufweis. Insofern schein es erforderlich, auf mehrere Messsaionen in einer Region zurückzugreifen. Zur Schäzung von Niederschlagsvereilungen unerscheide MORENO (00) zwischen der Niederschlagswahrscheinlichkei und der Niederschlagsinensiä. Die Niederschlagswahrscheinlichkei wird durch eine Binomialvereilung mi zeiabhängigen Wahrscheinlichkeien approximier, um der beobacheen Auokorrelaion beim zeilichen Aufreen des Ereignisses Regen Rechnung zu ragen. Aus diesen Besonderheien der Weervariablen folg allerdings nich zwangsläufig, dass für den daraus abgeleieen (und für die Bewerung lezlich relevanen) Weerindex (z.b. HDD, CAT, Niederschlagssumme) nich auch einfache sochasische Prozesse adäqua sein können. So zeig z.b. DAVIS (001) anhand empirischer Daen für Birmingham (GB), dass der HDD sehr gu durch eine Lognormalvereilung approximier und für seine zeiliche Enwicklung folglich ein GBP (7) unersell werden kann. 4. Vergleich der Bewerungsverfahren anhand numerischer Beispiele Die Ausführungen in Abschni 3 haben deulich gemach, dass eine Vielzahl von Mehoden zur Bewerung von Weerderivaen exisier, die sich in ihrer heoreischen Fundierung und ihrer Umsezung unerscheiden. Unklar is indessen, wie sark sich diese Unerschiede in prakischen Anwendungen bemerkbar machen. Is die Diskussion um die Auswahl eines geeigneen Bewerungsverfahrens eine akademische oder ha sie praxisrelevane Auswirkungen? Um diese Frage zu beanworen, sollen einige der im vorangegangenen Abschni vorgesellen Verfahren vergleichend gegenübergesell werden. Der Vergleich erfolg im Rahmen eines Beispiels mi realen Daen, wobei für die Auswahl des Beispiels vor allem die Daenverfügbarkei und weniger die Breie des Einsazbereichs ausschlaggebend war. 4.1 Beschreibung des zu bewerenden Weerderivas und der Daengrundlage SCHMITZ und STARP (004) folgend wird ein garenbaulicher Berieb berache, der eine ganzjährige Unerglasprodukion von Zierpflanzen bereib. Die Energiekosen, die eine wesenliche Kosenkomponene in der Gewächshausprodukion darsellen, sind in sarkem Maße von der Außenemperaur abhängig. Mi einer Call-Opion auf einen Temperaurindex könne sich der Berieb zumindes eilweise gegen die negaiven Auswirkungen sehr niedriger Außenemperauren in den Monaen November bis März absichern. 5 Die Konrakspezifikaion für dieses Deriva, wie es an der CME in Chicago gehandel wird, laue folgendermaßen: Bezugsobjek is der HDD-Index. Die Kumulaionsperiode ersreck sich über den Zei- 5 Eine nähere Spezifikaion des Beriebes und eine Unersuchung des Zusammenhangs zwischen der Temperaur und den Energiekosen is in diesem Beirag nich erforderlich, da keine vollsändige Wirkungsanalyse angesreb wird und diese Informaionen für die beracheen Bewerungsverfahren nich relevan sind. Der Bezug zu dem Garenbauberieb dien vornehmlich der Moivaion emperaurbezogener Weerindices. 03

8 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 raum vom 01. November 004 bis zum 31. März 005 (5 Monae). Der Bewerungszeipunk sei der 01. Juli 004, d.h. die Laufzei der Opion beräg 9 Monae. Die Tick-Size beläuf sich auf 0. Der Srike-Preis ensprich (= 341 HDD x 0 ). 6 Der risikolose Zinssaz wird mi 5 % angenommen. Darüber hinaus wird eine Call-Opion auf einen CAT-Index bewere. Die Auswahl dieses Index is weniger durch sein Anwendungspoenzial in dem oben beschriebenen Garenbauberieb moivier, sondern durch den Wunsch, ein Deriva zu beweren, bei dem die Prämissen für die Verwendung der analyischen Bewerungsverfahren nich oder weniger gu erfüll sind. Wie bereis erwähn, sezen die auf der Black-Scholes-Bewerungsformel basierenden Verfahren eine Lognormalvereilung für das Underlying voraus. Während diese Annahme für einen HDD- oder CDD-Index plausibel erschein, is für einen CAT-Index eher von einer Normalvereilung auszugehen. Die Call-Opion auf den CAT-Index is wie folg spezifizier: Bezugsobjek is der CAT-Index. Die Kumulaionsperiode ersreck sich über den Zeiraum vom 01. Mai 005 bis zum 30. Sepember 005 (5 Monae). Der Bewerungszeipunk sei der 01. Januar 005, d.h. die Laufzei der Opion beräg 9 Monae. Die Tick-Size beläuf sich auf 0 und der Srike-Preis ensprich (= 566 CAT x 0 ). Der risikolose Zinssaz wird auch hier mi 5 % angenommen. Für die Berechnung des HDD- und des CAT-Index werden Temperaurdaen der Weersaion Berlin-Tempelhof verwende. 7 Dabei handel es sich um durchschniliche Tagesemperauren über einen Zeiraum vom 01. Januar 1980 bis zum 30. Juni 004. In Abb. sind der HDD-Index und der CAT-Index für Berlin-Tempelhof grafisch veranschaulich. 4. Schäzung der Vereilung der Temperaur und des Weerindexes Im Folgenden wird ein Modell zur Abbildung der Tagesdurchschnisemperaurenwicklung für die gewähle Messsaion Berlin-Tempelhof geschäz. Dieses Modell wird benöig, um den Derivapreis mi Hilfe der Daily-Simu- 6 7 Der Srike-Preis für ein Weerderiva wird üblicherweise ausgehend vom empirischen Erwarungswer des Underlying definier. Beispielsweise an der CME ensprich der Srike- Preis dem empirischen Erwarungswer oder dem empirischen Erwarungswer plus/minus einem besimmen absoluen Wer. In diesem Beirag wird ein Srike-Preis in Höhe des empirischen Erwarungsweres gewähl. Der HDD und der CAT werden speziell für Berlin nich an der CME gehandel. Zur Implemenierung der Bewerungsverfahren, die Fuures- oder Opionspreisnoierungen benöigen, wird ersazweise auf die Noierungen für London zurückgegriffen. Abbildung. HDD und CAT für die Messsaion Berlin-Tempelhof laion zu besimmen. Die Modellierung von Temperaurdaen is in der Lieraur bereis ausführlich diskuier worden. CAO und WEI (1999) und ALATON e. al (00) schlagen folgendes Modell vor, das die oben angesprochenen Charakerisika des Verlaufs von Tagesdurchschnisemperauren berücksichig und das hier verwende werden soll (vgl. auch SCHMITZ und STARP, 004): (16) T = T + U, =1,,... mi T U = a1 + a + a3 sin ( π ϕ) = k i = 1 ρ U i i i + σ ξ, ξ ~ i. i. d. N ( π φ ) σ = σ σ sin CAT Quelle: eigene Darsellung 0 1 HDD ( 0,1) Gemäß (16) sez sich die Tagesdurchschniemperaur T aus einem deerminisischen Term T und einem sochasischen Residuum U zusammen. T berücksichig eine Saisonkomponene sowie einen langfrisigen Temperaurrend. Das rend- und saisonbereinige Residuum U folg einem auoregressiven Prozess mi einer zeiabhängigen Volailiä σ. Die Analyse der Auokorrelaionsfunkion (ACF) und der pariellen Auokorrelaionsfunkion (PACF) zeig, dass ein AR(1)-Modell für U angemessen is. Die mi SPSS ermielen Parameer des Modells (16) sind in Tabelle 3 dargesell. Der Parameer a 1 gib die Jahresdurchschnisemperaur an, a miss den schwachen, aber signifikanen Temperauransieg der lezen 4 Jahre und a 3 erfass die Temperaurunerschiede zwischen Sommer und Winer. σ 0 is als durchschniliche Sandardabweichung der Temperaur zu versehen und σ 1 berücksichig die im Jahresverlauf unerschiedliche Volailiä. Abb. 3 zeig die akuelle Tagesdurchschnisemperaur T und den Mielwer T für einen Teil des Beobachungszeiraums. Im nächsen Schri wurde mi Hilfe des MS-EXCEL-Add- In BEST-FIT geese, welche Annahme bezüglich der Vereilung für die beiden Indices im Fälligkeisermin zureffend is. Gemäß Chi-Quadra-, Kolmogorov-Smirnovund Anderson-Darling-Tes kann die Lognormalvereilung für den HDD-Index auf einem Signifikanzniveau von 5 % nich abgelehn werden. Allerdings weis die Exreme- Value-Vereilung eine geringfügig bessere Anpassung an die empirische Vereilung auf als die Lognormalvereilung. 04

9 Tabelle 3. Parameerschäzwere für das Temperaurmodell Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 Parameer a 1 a a 3 ϕ Schäzwer ,673-1,8731 Sandardfehler 0,0500 9,764e-6 0,0353 0,0036 Parameer ρ σ 1 0 Schäzwer 0,7963 5,0405,087-0,1683 Sandardfehler 0,0065 8,159e-6 3,85e-6,6741e-6 Quelle: eigene Darsellung Um die Unerschiede der Bewerungsverfahren besser analysieren zu können, wurde roz dieses Befunds für alle Bewerungsverfahren (mi Ausnahme der Burn-Rae- Mehode) eine Lognormalvereilung und dami ein GBP für den HDD-Index unersell. Dadurch wird es möglich, Bewerungsunerschiede zu erkennen, die nich auf die Vereilungsannahmen zurückzuführen sind. Die Drifrae m und die Sandardabweichung s des GBP beragen 0,01 bzw. 13,03 %. Für die Bewerung des CAT wurde dagegen für die simulaionsbasieren Bewerungsverfahren eine Normalvereilung bzw. ein arihmeisch Brown scher Prozess (ABP) zugrunde geleg, denn die Lognormalvereilung is gemäß aller oben genannen Tesverfahren mi einer Irrumswahrscheinlichkei von 5 % abzulehnen. Der ABP laue: (17) dx = md + s dz Die Drif und die Sandardabweichung dieses Prozesses beragen 1,30 bzw. 194,9. Die Black-Scholes-Verfahren implizieren engegen den saisischen Tess auch für den CAT-Index einen GBP, für den sich eine Drifrae von Null und eine Sandardabweichung von 7,57 % ergib. 4.3 Beschreibung des Versuchsaufbaus und der eingesezen Bewerungsverfahren Zur Bewerung der Call-Opion auf den HDD- und den CAT- Index für Berlin werden folgende Mehoden angewende: Versicherungsmahemaische Modelle σ 1 Abbildung 3. Temperaurenwicklung für die Messsaion Berlin-Tempelhof Quelle: eigene Darsellung 1. Die radiionelle Burn-Rae-Mehode (s. Abschni 3.3) Es sehen 4 Beobachungswere zur Verfügung. Die hypoheischen Rückflüsse der Opion werden mi dem risikolosen Zinssaz diskonier. φ beobachee Tagesdurchschnisemperaur Mielwer der Tagesdurchschnisemperaur 05. Eine modifiziere Burn-Rae-Mehode Die Rückflüsse der Opion werden nich - wie bei der radiionellen Burn-Rae-Mehode - unmielbar auf der Grundlage der empirischen Beobachungswere für den jeweiligen Index berechne. Sadessen werden empirische Residuen in der Weise besimm, dass die Differenz zwischen den in der Vergangenhei beobacheen Realisaionen des Index und dem Erwarungswer des geomerischen (für den HDD) bzw. des arihmeischen (für den CAT) Brown schen Prozesses berechne werden. Diese empirischen Sörerme werden zu dem Wer des Index im Bewerungszeipunk (uner Berücksichigung des Zeifakors) addier. Man könne die modifiziere Burn-Rae-Mehode somi als sochasische Simulaion mi empirischen Zufallszahlen bezeichnen. Das Verfahren, das in der Lieraur in dieser Form noch nich beschrieben und angewende worden is, kombinier die Voreile eines paramerischen Verfahrens mi der Einfachhei einer hisorischen Simulaion. Zur Diskonierung komm auch hierbei der risikolose Zinssaz zur Anwendung. 3. Der faire Preis im versicherungsmahemaischen Sinne (Formel 5) Es wird der Erwarungswer einer am Srike- Preis der Opion gesuzen Vereilung für den jeweiligen Temperaurindex besimm (Lognormalvereilung für den HDD und Normalvereilung für den CAT). Grundlage bilden die asächlichen Vereilungen und nich die risikoadjusieren Vereilungen. Für die Diskonierung der Differenz zwischen dem Erwarungswer der gesuzen Vereilung und dem Srike- Preis wird der risikolose Zinssaz verwende. Kapialmarkheoreische Verfahren 4. Die Black-Scholes-Bewerungsformel (ohne Dividenden; Formel (10)) In die Berechnung fließ die Sandardabweichung σ des GBP (beim HDD-Index 13,03 % und beim CAT-Index 7,57 %) ein. Zur Diskonierung wird der risikolose Zinssaz r verwende, der gleichzeiig die risikoneurale Drifrae des Temperaurindex darsell. Die Dividendenrendie q is in diesem Fall Null. 5. Die Black-Bewerungsformel für Opionen auf Fuures (Formel (11)) Auch hier fließ die Sandardabweichung des GBP für den jeweiligen Index ein, und es wird mi dem risikolosen Zinssaz r diskonier. 8 Im Gegensaz zur Black- Scholes-Bewerungsformel ensprich die Dividendenrendie q dem risikolosen Zinssaz, so dass sich eine risikoneurale Drifrae von Null ergib. 8 Obwohl in die Black-Bewerungsformel die Sandardabweichung der Fuuresnoierung einfließen müsse, haben wir auch hier die Sandardabweichung des HDD-Index verwende. Dafür gib es zwei Gründe: Zum einen liegen Fuurespreise nur über einen sehr kurzen Zeiraum vor. Zum anderen solle die Sandardabweichung des Fuures- und HDD-Index ohnehin übereinsimmen (vgl. HULL, 000: 94).

10 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 6. Die verallgemeinere Black-Scholes-Bewerungsformel (1) Der Markpreis des Weerrisikos wird implizi aus den Noierungen der Call-Opion an der CME für den HDD- Index für London-Heahrow ermiel. Dazu wird der Parameer λ in (1) solange variier, bis sich die beobacheen Opionspreise einsellen. Dies is bei einem Wer von 0,114 der Fall. 9 Anschließend wird unersell, dass der auf diese Weise besimme Markpreis des Weerrisikos auch für die Bewerung einer Opion für den HDD-Index für Berlin-Tempelhof herangezogen werden kann. Da für den CAT-Index keine Opionspreisnoierungen an der CME verfügbar sind, kann diese Vorgehensweise nur für den HDD-Index durchgeführ werden. 7. Das Gleichgewichsmodell (14) mi der von Davis vorgeschlagenen Spezifikaion Dieses Modell führ wiederum zur Bewerungsformel (10), allerdings mi der risikoneuralen Drifrae 1,70 %. Sochasische Simulaion 8. Sochasische Simulaion für den Weerindex zum Verfallszeipunk (Index Value Simulaion; Formel (9)) Hierbei wird der HDD-Index bzw. Fuures auf den HDD-Index Mal mi der zeidiskreen Version des GBP (7) ausgehend vom Beobachungswer im Bewerungszeipunk bis zum Verfallszeipunk der Opion simulier. In jedem Simulaionslauf wird der diskoniere Rückfluss der Opion besimm. Der Mielwer der Rückflüsse ensprich dem Opionspreis. Grundsäzlich können alle Varianen der Black-Scholes basieren Opionsbewerung (4. bis 7.) auch uner Anwendung der sochasischen Simulaion berechne werden. Hier wird dies aber nur am Beispiel einer Opion auf einen Fuures gezeig, d.h. es werden bei der Simulaion dieselben Parameerannahmen wie bei der Bewerungsvariane 5 zugrunde geleg. Konkre fließen in die Simulaion die (risikoneurale) Drifrae in Höhe von 0, die Sandardabweichung des Prozesses für den jeweiligen Temperaurindex sowie der risikolose Zinssaz ein. Bei der simulaionsbasieren Bewerung einer Opion auf den CAT- Index wird die zeidiskree Version des ABP (17) verwende. 9. Sochasische Simulaion basierend auf dem Temperaurmodell (Daily Simulaion) Die Dynamik der Tagesdurchschnisemperaur wird ausgehend vom Beobachungswer im Bewerungszeipunk (18,47 C am 01. Juli, - 0,17 C am 01. Januar) gemäß Formel (16) über die Laufzei der Opion, d.h. über einen Zeiraum von 9 Monaen simulier. Ausgehend von der simulieren Temperaurenwicklung wird der HDD- bzw. CAT-Index berechne. Der Erwarungswer für den HDD-Index (CAT-Index) beräg 341 ( 566). Bei der Implemenierung dieser Mehode sell sich die Frage, wie das Prinzip der risikoneuralen Bewerung umgesez werden kann. SCHIRM (001: 41) weis darauf hin, dass unklar is, wie der sochasische Prozess der originären Temperaurvariablen zu modifi- 9 Zum Vergleich: ALATON e al. (00) errechnen einen Markpreis für Weerrisiko in Höhe von λ = 0, 08. zieren is, der sich ja von dem sochasischen Prozess des Index unerscheide ((16) versus (7)). Um dieses Problem zu umgehen, simulieren wir mi dem asächlichen (und nich mi dem risikoneuralen) sochasischen Prozess, verwenden aber für die Diskonierung des Pay-offs der Opion den risikoadjusieren Zinssaz ( = r + λ σ ) anselle des risikolosen Zinssazes. Der risikoadjusiere Zinssaz beräg 6,58 % (siehe 6.). Die Berechnung wird ebenfalls Mal wiederhol und daraus der Mielwer besimm. Nach der Beschreibung der verschiedenen Bewerungsansäze is zu klären, welche Mehode als Referenzsysem für den Vergleich herangezogen werden kann und ob ein Vergleich überhaup ohne weieres möglich is. Idealerweise würde man die richige Bewerungsmehode als Referenzsysem wählen, doch die Auswahl is hier nich eindeuig. Verfahren 1, (Burn-Rae-Mehode) und 3 ( fairer Preis ) kommen kaum in Frage, da ihnen eine fundiere heoreische Grundlage fehl. Für 4 (Black-Scholes) is die Voraussezung eines gehandelen Asses nich gegeben. Gesez den Fall, dass ein vollkommener Fuuresmark exisier, liefer Variane 5 (das Black-Modell) eine korreke Bewerung. Für die beracheen Indices exisieren Fuuresmärke, die gehandelen Umsäze sind aber rech gering. Verfahren 6 komm ohne die Voraussezung eines Fuuresmarkes aus, allerdings birg die Schäzung des Markpreises für Risiko, wie sie hier vorgenommen wurde, Probleme und Ungenauigkeien. Verfahren 7 (Davis-Modell) is konzepionell das allgemeinse, sez jedoch eine spezielle Risikonuzenfunkion voraus. Den Verfahren 8 und 9 sind mi 5 und 6 vergleichbar. Ihnen hafe der Makel der Simulaion an, aber sie können beliebige Vereilungen nuzen. In Anberach dieser Merkmale, kann keines der Verfahren a priori als eindeuig überlegen angesehen werden. Das Augenmerk lieg daher auf der Beschreibung und Erklärung der Unerschiede zwischen den Verfahren und die Frage, inwiewei sich die Resulae gegenseiig süzen oder widersprechen. 4.4 Beschreibung und Inerpreaion der Ergebnisse Tabelle 4 zeig die Preise der beiden Weerderivae, die sich für die oben genannen Bewerungsverfahren und für unerschiedliche Were für das Underlying zum Bewerungszeipunk ergeben. Der Begriff Underlying ha in diesem Zusammenhang eine Doppelbedeuung: Zum einen is dami der HDD- bzw. CAT-Index und zum anderen ein Fuures auf den HDD- bzw. CAT-Index gemein. Die Beobachungswere für das Underlying im Bewerungszeipunk wurden so gewähl, dass sie dem Erwarungswer des Temperaurmodells (16) ensprechen (milere Zeilen). Ausgehend von diesen Weren ( 341 bzw. 566) wurde jeweils ein Zuschlag und ein Abschlag in Höhe von 1 % vorgenommen. Diese Variaion ensprich der Dynamik, wie sie für Fuures mi ensprechender Laufzei zu beobachen is. Die Berachung verschiedener hypoheischer Beobachungswere für das Underlying zum Bewerungszeipunk erfolg, um die Bedeuung des Sarweres bei Anwendung der verschiedenen Mehoden aufzeigen zu können. Für die Daily Simulaion (Spale 9) is diese Variaion nich möglich, da nich der Beobachungswer des HDD bzw. CAT, sondern die akuelle Temperaur den Sarwer der Simulaion bilde. 06

11 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 Tabelle 4. Were für Call-Opionen auf den HDD- und den CAT-Index für Berlin-Tempelhof bei Anwendung verschiedener Bewerungsverfahren Spale 1 Spale Spale 3 Spale 4 Spale 5 Spale 6 Spale 7 Spale 8 Spale 9 Versicherungsmahemaische Modelle Burn-Rae-Mehode Kapialmarkheoreische Verfahren Sochasische Simulaion Wer des Underlying zum Bewerungszeipunk konvenionell modifizier Faire Prämie (r=5%, μ=0%) Black-Scholes (r=μ=5%) Black (r=q=5%) Black-Scholes mi Dividende Gleichgewichs modell (Davis) Index Value Sim. (r=q=5%) Daily Simulaion HDD- Index CAT- Index Quelle: eigene Darsellung n.a n.a n.a Zunächs fallen die hohen Unerschiede zwischen den Bewerungsverfahren auf. Im Exremfall unerscheiden sich die Ergebnisse um den Fakor. Spale 1 besäig den konsrukionsbedingen Mangel der radiionellen Burn- Rae-Mehode, dass der ausgewiesene Opionswer unabhängig vom Wer des Temperaurindex zum Bewerungszeipunk is. Dies seh im Widerspruch zur Opionspreisheorie. Durch die vorgeschlagene Modifikaion der Burn- Rae-Mehode läss sich dieser Mangel beheben. Für die Opion auf den HDD-Index liegen die Were der modifizieren Burn-Rae-Mehode zwischen denjenigen, die mi der Black-Scholes-Formel (ohne Dividendenrendie) bzw. der Black-Formel berechne wurden. Eine pauschale Werung der konvenionellen Burn-Rae-Mehode is anhand der durchgeführen exemplarischen Rechnungen nich möglich. Während die ausgewiesenen Opionswere für den HDD endenziell zu niedrig erscheinen, riff dies für den CAT nich zu. Die Burn-Rae-Mehode und die Daily Simulaion führen hier zu ähnlichen Ergebnissen. Die möglicherweise aufreenden Unerschiede zwischen der konvenionellen Burn-Rae-Mehode und den anderen Verfahren (mi Ausnahme der fairen Prämie) sind darauf zurückzuführen, dass im einen Fall die Beobachungswere für den HDD bzw. CAT als Realisaion der Zufallsvariable Temperaurindex im Fälligkeiszeipunk und im anderen Fall als Realisaion eines sochasischen Prozesses inerpreier werden, für den Drif und Volailiä geschäz werden. Beide Sichweisen können, müssen aber nich zu unerschiedlichen Bewerungen kommen. Die faire Prämie (Spale 3) is ebenfalls nich sensiiv gegenüber dem akuellen Wer des Weerindexes. Im Vergleich zu den anderen Verfahren komm es eils zur einer Über- und eils zu einer Unerschäzung. Allerdings liefer die faire Prämie einen ähnlichen Preis, wenn die Drif Null is und der Erwarungswer für die Vereilung des Index im Fälligkeiszeipunk mi dem Indexwer im Bewerungszeipunk zusammenfäll (milere Zeilen). Im vorliegenden Beispiel wurde der Diskonierungsfakor so gewähl, dass sich dieselben Ergebnisse wie in der Black-Bewerungsformel ergeben. Dies is aber nich zwangsläufig der Fall. Der Vergleich von Spale 4 mi Spale 5 und 6 zeig, welcher Fehler ensünde, wenn man die Black-Scholes-Formel (ohne Dividendenrendie) ohne jegliche Korrekur auf die Bewerung von Weerderivaen überragen würde. Es käme zu einer Überschäzung des Weres einer Call-Opion, da eine impliziere Drifrae in Höhe des risikolosen Zinssazes zu hoch is. Es mag überraschen, dass die Ergebnisse der Black-Formel und der Black-Scholes-Formel mi Dividendenrendie (Spale 5 und 6) deulich voneinander abweichen. Technisch kann dies durch den relaiv hohen Wer, der für den Markpreis für das Weerrisiko implizi ermiel wurde, erklär werden. Es is aber zu beonen, dass die beiden Verfahren nich unmielbar vergleichbar sind. Zum einen beziehen sich, wie bereis erwähn, der Weerindex und der Markpreis für das Weerrisiko auf unerschiedliche Ore. Zum anderen ha die implizie Ermilung von Parameern des Black-Scholes-Modells immer den Nacheil, dass Abweichungen zwischen dem heoreischen Preismodell und den realen Preisen in die implizi zu ermielnden Parameer projizier werden. 10 Die Preise des Gleichgewichsmodells mi der von DAVIS vorgeschlagenen Spezifikaion (Spale 7) liegen zwischen denen des Black- Modells und des Black-Scholes-Modells mi Dividende. Diese Fessellung kann aber nich verallgemeiner werden; die Preisrelaion dieser drei Modelle is durch das Verhälnis der drei Parameer r, m, und s deerminier. Bei der sochasischen Simulaion in Gesal der Index Value Simulaion (Spale 8) wurden für den HDD-Index die gleichen Parameerannahmen geroffen wie in Spale 5. Insofern überrasch es nich, dass die Ergebnisse abgesehen von geringfügigen Abweichungen infolge der Zufalls- 10 Dieses Problem is im Zusammenhang mi der implizien Schäzung von Volailiäen uner dem Begriff volailiy smile bekann. 07

12 Agrarwirschaf 54 (005), Hef 4 zahlenziehung - übereinsimmen. Dieses Resula besäig die vorliegenden posiiven Erfahrungen zur Eignung von Simulaionsverfahren zur Bewerung von Finanzderivaen (vgl. z.b. MUßHOFF und HIRSCHAUER, 003). Die Daily Simulaion (Spale 9) führ wie zu erwaren nich zu denselben Opionsweren wie die Index Value Simulaion. Ursächlich hierfür sind die unerschiedlichen saisischen Modelle, die der Temperaurdynamik zugrunde liegen. Schäz man die Parameer der Lognormalvereilung des HDD zum Fälligkeiszeipunk direk aus den 4 empirischen Beobachungsweren, so ergeben sich für den Erwarungswer und die Varianz andere Were, als wenn diese mi simulieren Weren des Temperaurmodells (16) geschäz werden. Aufgrund der Sensiiviä des Opionsweres gegenüber diesen Parameern ergeben sich unerschiedliche Preise. Zudem sell die Lognormalvereilung ohnehin weder für die empirischen noch für die simulieren Daen die bese Annahme dar. Beim CAT komm hinzu, dass die saisischen Tess eine Normalvereilung für diesen Index nahe legen. Folglich können die analyischen Bewerungsverfahren, die an eine Lognormalvereilung gebunden sind, ohnehin keine Referenz für den richigen Opionspreis darsellen. Diese Befunde unersreichen die Bedeuung einer präzisen saisischen Schäzung des Weerindexes. 5. Schlussfolgerungen Die beispielhaf aufgezeigen Unerschiede der Bewerungsverfahren besäigen die eingangs posuliere Relevanz der Bepreisung von Weerderivaen sowohl für den Handel mi diesen Produken als auch für deren einzelberiebliche Wirkungsanalyse. Wenn poenzielle Markeilnehmer mi unerschiedlichen Verfahren kalkulieren und zu ganz verschiedenen Ergebnissen kommen, is eine mögliche Folge, dass kein eindeuiger Preis gefunden wird, den die Markparner als fair und angemessen berachen. Dem Mark mangel es dann an Liquidiä, womi wiederum die Orienierung für andere poenzielle Markeilnehmer fehl. Das Ausmaß der Unerschiede zwischen den Bewerungsverfahren wird uner anderem besimm durch: Die Unerschiede in der Anfangserwarung des Weerindexes für den Fälligkeiszeipunk Wie bereis herausgesell wurde, unerscheiden sich die Verfahren in der Fähigkei, differenziere Erwarungen zu berücksichigen. Inwiewei dies einen prakisch relevanen Mangel darsell, häng davon ab, wie sark die Erwarungswere im Bewerungszeipunk differieren. Wenn beispielsweise im November eines Jahres ses dieselbe Erwarung für den HDD-Index Ende März vorherrsch, spiel es keine Rolle, ob die Bewerungsverfahren unerschiedliche Erwarungen erfassen können oder nich. Die Laufzei des Derivas Die Laufzei ha einen zweifachen Einfluss auf die Unerschiede der Bewerungsverfahren. Einerseis können bei einer kurzen Laufzei Weerprognosen greifen, so dass der zuvor genanne Aspek der Erwarungsbildung eine särkere Rolle spiel. Andererseis schlagen bei einer längeren Laufzei die Unerschiede in den bewerungsrelevanen Parameern Drifrae und Zinssaz särker durch. Die Vereilung des Underlyings Je särker die asächliche Vereilung des Weerindexes von einer Lognormalvereilung abweich, umso särker werden die Unerschiede zwischen Verfahren, die diese Vereilung voraussezen und solchen, die davon unabhängig sind. Welche Schlussfolgerungen lassen sich aus den heoreischen Überlegungen und numerischen Rechnungen für die Auswahl eines geeigneen Bewerungsverfahrens ziehen? Zur Beanworung der Frage, welcher grundlegende Ansaz zu wählen is, erschein die Unerscheidung zwischen börsengehandelen Weerderivaen und OTC-Produken sinnvoll. Welche der beiden Kaegorien mielfrisig für das Agribusiness die größere Bedeuung haben wird, is derzei noch nich klar abzusehen. Die bislang exisierenden Konrake fallen in die lezgenanne Kaegorie. Sie wurden speziell für die Bedürfnisse besimmer Produzenen in abgegrenzen Regionen konsruier und waren nach dem Erwerb nich handelbar. Die Preise waren zum Teil saalich subvenionier und fixier. Das Problem der Eablierung solcher Konrake beseh in der erforderlichen Losgröße, um die Einführung aus Sich eines Anbieers (z.b. einer Bank oder einer Versicherung) arakiv zu machen. Für Deuschland is fraglich, ob die Mindesmasse erreich werden kann. Für diese OTC-Konrake erscheinen versicherungsmahemaische Bewerungsverfahren geeigneer als kapialmarkheoreische. Wenn die Produke nach Verragsabschluss nich handelbar sind, dann bring der Informaionszuwachs bezüglich des Underlyings nichs, der bis zum Erfüllungszeipunk aufri und der in die kapialmarkheoreischen Modelle einfließ und dor zu einer permanenen Neubewerung führ. Dass unerschiedliche Erwarungen zum Zeipunk des Erwerbs des Derivas auch in versicherungsmahemaische Modelle einfließen können, wurde am Beispiel der modifizieren Burn-Rae-Mehode gezeig. Kapialmarkheoreische Modelle zielen auf die Bewerung börsengehandeler Derivae ab. Speziell für Deuschland gib es derzei keine börsennoieren Derivae. Dies wird sich vermulich in Zukunf ändern, doch es erschein unwahrscheinlich, dass es eine umfangreiche Palee verschiedenser Bezugsobjeke geben wird. Daher werden die Landwire diese Produke kaum als Perfec-Hedge sondern nur im Sinne eines Cross-Hedge einsezen können. Angesichs der Vor- und Nacheile der beiden Markformen besehen auch für beide Grundypen von Bewerungsmodellen sinnvolle Einsazmöglichkeien. Ob sie in analyischer Form oder simulaionsbasier zur Anwendung kommen, häng dabei von der Komplexiä der Anwendung ab. Unabhängig von der heoreischen Grundlage des Bewerungsansazes verlang die saisische Schäzung des Weerindexes besondere Aufmerksamkei. Für emperaurbasiere Indices liegen Modelle vor, die in Gesal einer Daily Simulaion eine Alernaive zur direken Simulaion der Vereilung des Temperaurindex zulassen; für niederschlagsbezogene Indices dagegen fehlen derarige Modelle zur Zei. Hier beseh weierer Forschungsbedarf. Lieraur ALATON, P., B. Djehiche and D. Sillberger (00): On Modelling and Pricing Weaher Derivaives. In: Applied Mahemaical Finance 9 (1): 1-0. ASSELDONK, M. A.P.M. VAN and A.G.J.M. OUDE LANSINK (003): Weaher based Index Insurance o Hedge Temperaure Exposure of Greenhouse Horiculural Farms. In: Wesseler, J., H.- P. Weikard and R.D. Weaver (eds.): Rsik and Uncerainy in 08

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