Vorlesung 24: Topological Sort 1: Hintergrund. Einführung in die Programmierung. Bertrand Meyer. Topological sort

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1 Einführung in ie Progrmmierung Vorlesung 4: Topologil Sort : Hintergrun Bertrn Meer Letzte Üerreitung 3. Jnur 4 3 Topologil sort 4 Prouziere eine zu einer gegeenen Prtiellen Ornung komptile Vollstänige Ornung 5 Crn Ahe 6

2 Ds Prolem 7 Drgestellt ls Grph 8 Prouziere eine zu einer gegeenen Prtiellen Ornung komptile Vollstänige Ornung Üetlierg Prtielle Ornung: Reihenfolge-Beshränkungen zwishen Elementen einer Menge, z.b. Geshirr räumen vor Politik iskutieren Spziergng zum Üetlierg vor Mittgessen Meizin einnehmen vor Mittgessen Mittgessen eenen vor Geshirr räumen Vollstänige Ornung: Reihenfolge üer lle Elemente er Menge Komptiel: Reihenfolge respektiert lle Beshränkungen Üetlierg, Meizin, Essen, Aräumen, Diskutieren : OK Meizin, Üetlierg, Essen, Aräumen, Diskutieren : OK Diskutieren, Meizin, Essen, Aräumen, Üetlierg : niht OK Meizin Essen Geshirr Politik Geshirr räumen vor Politik iskutieren Spziergng zum Üetlierg vor Essen Meizin einnehmen vor Essen Essen eenen vor Geshirr räumen Mnhml git es keine Lösung 9 Topologil sort: Anwenungen Rekursion einführen eingt, ss Stuenten Stks kennen Prouziere eine Liste von Definitionen us einem Wörteruh so, ss kein Wort vor seiner Definition ersheint Astrt Dt Tpes müssen esprohen weren, evor Stks eingeführt weren Astrt Dt Tpes sin uf Rekursion ngewiesen Beingungen enthlten einen Zklus Prouziere einen vollstänigen Pln zur Ausführung einer Menge von Aufgen mit Reihenfolge-Beshränkungen (Benutzt zur Plnung von inustriellen Unterhltsufgen, oft mit Tusenen von Beshränkungen) Prouziere eine Version einer Klsse mit umgeorneten Fetures, so ss kein Aufruf eines Fetures vor seiner Definition ersheint Üergeornete Struktur () Mthemtisher Hintergrun Gegeen: Ein Tp G lss ORDERABLE [G] feture Eine Menge von Elementen es Tps G elements: LIST [G] Eine Menge von Beshränkungen zwishen en Elementen Gesuht: Eine Aufzählung er Elemente in einer zu en Beshränkungen komptilen Reihenfolge onstrints: LIST [TUPLE [G, G]] omptile (Result, onstrints) en

3 Binäre Reltion uf einer Menge 3 Beispiel: Die vor-reltion 4 Jee Eigenshft, ie zwishen zwei Elementen einer Menge gilt oer niht gilt Beispiel-Reltionen uf einer Menge PERSON von Personen: mother: mother gilt genunnwenn ie Mutter von ist fther: hil: sister: siling: (rother oer sister) Nottion: r um uszurüken, ss r für un gilt. Die interessierene Menge: Aufgen = {Politik, Essen, Meizin, Aräumen, Üetlierg} Die einshränkene Reltion: Aräumen vor Politik Üetlierg vor Essen Meizin vor Essen Essen vor Aräumen Geshirr räumen vor Politik iskutieren Spziergng zum Üetlierg vor Essen Meizin einnehmen vor Essen Essen eenen vor Geshirr räumen Spezielle Reltionen uf einer Menge X 5 Reltionen: Präzisere mthemtishe Siht 6 universl [X]: gilt für zwei elieige Elemente von X i [X]: gilt für jees Element von X un sih selst empt [X]: gilt für keine Elemente von X Wir etrhten eine Reltion r uf einer Menge P ls Menge von Pren in P x P, ie lle Pre [x, ] enthält, für ie x r gilt. Dnn eeutet x r einfh [x, ] r Besipiel: Beispiel: Die vor-reltion 7 Normle Mengenopertoren enutzen 8 Geshirr räumen vor Politik iskutieren Spziergng zum Üetlierg vor Essen Meizin einnehmen vor Essen Essen eenen vor Geshirr räumen spouse = wife husn siling = sister rother i [Person] Die interessierene Menge: Aufgen = {Politik, Essen, Meizin, Aräumen, Üetlierg} sister siling fther nestor Die einshränkene Reltion: onstrints = {[Aräumen, Politik], [Üetlierg, Essen], [Meizin, Essen], [Essen, Aräumen]} universl [X] = X x X empt [X] = (krtesishes Proukt) 3

4 Möglihe Eigenshften einer Reltion 9 Beispiele (uf einer Personenmenge) (uf einer Menge X. Alle Definitions müssen für lle,, X gelten) Vollstänig: ( r ) ( r ) Reflexiv: r Smmetrish: r r Antismmetrish: ( r ) ( r ) = Trnsitiv: ( r ) ( r ) r siling sister fmil_he mother Reflexiv, smmetrish, trnsitiv Smmetrish, trnsitiv Reflexiv, ntismmetrish ( fmil_he eeutet ist s Fmilienoerhupt von, ei einem einzigen Fmilienoerhupt) (Keines) Vollstänig: ( r ) ( r ) Reflexiv: r Smmetrish: r r Antismmetrish: ( r ) ( r ) = Trnsitiv: ( r ) ( r ) r Vollstänige Ornungsreltion Prtielle Ornungsreltion Reltion ist Vollstänige Ornung wenn: Vollstänig Reflexiv Trnsitiv Antismmetrish Vollstänig: ( r ) ( r ) Reflexiv: r Smmetrish: r r Antismmetrish: ( r ) ( r ) = Trnsitiv: ( r ) ( r ) r Reltion ist eine Prtielle Ornung wenn: Reflexiv Trnsitiv Antismmetrish Vollstänig: ( r ) ( r ) Reflexive: r Smmetri: r r Antismmetri: ( r ) ( r ) = Trnsitive: ( r ) ( r ) r Beispiel: kleiner gleih uf Integer (oer Rel) 3 4 5,,, 3, 4,,, 3, 4,, 3, 4, [, ] [, ] 3 [3, ] [4, ] x Beispiel: Reltion zwishen Punkten uf er Eene: p q wenn sowohl x p x q ls uh p q Beispiel Prtielle Ornung 3 Möglihe topologishe Sortierungen 4 [, ] [, ] [4, ] p q wenn sowohl x p x q ls uh p q 3 [3, ] 3 Hier gilt s Folgene: Keine Verinung zwishen un, un : z.b. weer noh 4

5 Topologil sort verstnen 3 Hier ist ie Reltion : {[, ], [, ], [, ], [, ]} Eine er Lösungen ist: {[, ], [, ], [, ], [, ], [, ], [, ], [, ], [, ], [, ], [, ]} Suhen Vollstänige Ornungsreltion t so, ss t 5 Shlussemerkung üer topologil sort- Prolem Prouziere eine zu einer gegeenen Prtiellen Ornung komptile Vollstänige Ornung woei: Eine Prtielle Ornung p ist zu einer Vollstänigen Ornung t komptiel genu nn wenn p t 6 Von Einshränkungen zu Prtiellen Ornungen 7 Potenzen un Ashluss einer Reltion r 8 Die urh eine Menge von Einshränkungen efiniert Reltion, wie onstrints = {[Aräumen, Politik], [Üetlierg, Essen], [Meizin, Essen], [Essen, Aräumen]} ist selst keine Prtielle Ornung (owohl mn einfh eine Prtielle Ornung rus leiten knn). Üetlierg r = i [X] r i+ = r i ; r woei X ie Grunmenge ist woei ; Komposition eeutet Trnsitiv geshlossen r + = r r immer trnsitiv Ü M E A P r r Meizin Essen Aräumen Politik Reflexiv trnsitiv geshlossen r * = r r r immer reflexiv un trnsitiv r r 3 Kein Zklus in einer Reltion 9 Von Einshränkungen zu Prtiellen Ornungen 3 r + i [X] = Die interessierene Prtielle Ornung ist onstrints* Ü M E A P vor + i [X] onstrints = {[Aräumen, Politik], [Üetlierg, Essen], [Meizin, Essen], [Essen, Aräumen]} Üetlierg Meizin Essen Aräumen Politik 5

6 Zurük zur Softwre 3 Üergeornete Struktur () 3 Gegeen: Ein Tp G Eine Menge von Elementen es Tps G lss ORDERABLE [G] feture onstrints: LIST [TUPLE [G, G]] Gesuht: Eine Aufzählung er Elemente in einer zu en Beshränkungen komptilen Reihenfolge omptile (Result, onstrints) en Niht-Eineutigkeit 33 Üergeornete Struktur () 34 Im Allgemeinen git es mehrere möglihe Lösungen require no_le (onstrints) omptile (Result, onstrints) 3 In er Prxis enutzt topologil sort ein Optimierungskriterium, um zwishen möglihen Lösungen uszuwählen. Zklen 35 Üergeornete Struktur () 36 muss eine Prtielle Ornung sein: Kein Zklus im Trnsitiven Ashluss von onstrints Keine zirkuläre Kette er Form e e, e n e Wenn es Zklen git, nn existiert keine Lösung für s topologil sort-prolem! require no_le (onstrints) omptile (Result, onstrints) Nehme n, es git keine Zklen in en Beshränkungen Niht relistish, ie Einge fehlerhft sein knn 6

7 Üergeornete Struktur (3) Triff keine Annhmen; fine Zklen ls Neeneffekt eim Versuh, topologish zu sortieren Ene er Vorlesung 4 Versuhe topologish Sortieren, rehne mit möglihen Zklen in en Beshränkungen if Cles foun then Report presene of one or more les in onstrints en 7