4. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) Markowitz-Modell: Werkzeug zur optimalen Portfolio-Selection.

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1 4. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) The Tool is cool, but be leery of the Theory (Robert A. Haugen) Markowitz-Modell: Werkzeug zur optimalen Portfolio-Selection. CAPM: Theorie der Gleichgewichtspreise P t, wenn die Wertpapiernachfrage der Anleger durch optimale Portfolio-Selection bestimmt ist, mit den Annahmen: Portfolio Selection SS

2 1. Gleiche Information für alle Marktteilnehmer: Für den Preisvektor P t+1 verwenden alle Anleger: π = E t (P t+1 ) und Ω = V t (P t+1 ), bzw. für die Renditen R t+1, abhängig vom aktuellen P t : µ i = E t (R i,t+1 ) = π i P i,t 1, σ ij = Cov t (R i,t+1, R j,t+1 ) = ω ij P i,t P j,t. Portfolio Selection SS

3 2. Risikoaversion der Marktteilnehmer: Die Nutzenfunktionen der einzelnen Marktteilnehmer können unterschiedlich sein, sie müssen aber konkav sein. Die Anlageentscheidungen sind in Einklang mit der µ σ Regel. 3. Leerverkäufe sind unbegrenzt möglich. 4. Die Wertpapiere sind beliebig teilbar. 5. Transaktionskosten sind vernachlässigbar. Portfolio Selection SS

4 4.1 CAPM nach Sharpe/Lintner (mit risikoloser Anl.) 1 Angebotsmengen der riskanten Wertpapiere i = 1,..., N : a i > 0, Mengenvektor: a = (a 1,..., a N ). Dann sind zum Preisvektor P t die Marktwertanteile w Mi = a i P it /a P t. 1 W. Sharpe (1964), Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, J. of Finance, 19, , J. Lintner (1965), The Valuation of risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets, Rev. of Econ. and Stat., 47, Portfolio Selection SS

5 Für die Gleichgewichtspreise P it sind die Marktwertanteile w Mi gleich den Wertanteilen der aggregierten Nachfrage (nach effizienten Portfolios). Im Marktgleichgewicht gilt µ G > Y 1, denn für µ G Y 1 wären einzelne Anteile w Mi (diejenigen, die alle Investoren leerverkaufen würden) negativ. Die Gleichgewichtspreise P it müssen also hinreichend niedrig sein, damit µ G > Y 1 gilt, wobei Y 1 der risikolose Zinssatz ist. Portfolio Selection SS

6 Bei µ G > Y 1 hält jeder Anleger ein Aktienportfolio αw T, α 0 und w T das Tangentialportfolio (Zero-Kovarianz-Portfolio zum MVP zu Y 1 ). Für die Gleichgewichtspreise P t gilt also w M = w T, mit w T i = w Mi > 0 für alle i = 1,..., N. Im Folgenden bezeichnen R i bzw. R M = w M R = w Mi R i die Renditen des Wertpapiers i bzw. des Marktportfolios bei Gleichgewichtspreisen P t, µ i bzw. µ M deren Erwartungswerte und σ 2 i bzw. σ2 M deren Varianzen. Portfolio Selection SS

7 Dann gilt für i = 1,..., N: µ i Y 1 = β i (µ M Y 1 ) und R i Y 1 = β i (R M Y 1 ) + ε i bzw. R i = β i R M + (1 β i )Y 1 + ε i mit β i = Cov t (R i, R M ), Var t (R M ) E t (ε i ) = 0, Cov t (ε i, R M ) = 0 und σ 2 i = β 2 i σ 2 M + σ 2 ε i. Portfolio Selection SS

8 Zum Beweis: Das Wertpapier i kann als Portfolio verstanden werden, das durch eine Umschichtung des Minimum-Varianz- Portfolios zur erwarteten Rendite µ i entsteht, d.h. R i = R MV P (µ i ) + ε i mit E t (ε i ) = 0, Cov t (ε i, R M ) = 0, wobei R MV P (µ i ) = β i R M + (1 β i )Y 1 mit β i so, dass µ i = β i µ M + (1 β i )Y 1, also β i = µ i Y 1 µ M Y 1. Außerdem gilt Cov t (R i, R M ) = β i Var t (R M ), also β i = Cov t(r i,r M ) Var t (R M ). Portfolio Selection SS

9 Für den Vektor der erwarteten Überschussrenditen folgt aus Folie 87 dessen Proportionalität zu dem Vektor β: µ Y 1 ι = (µ M Y 1 )β, mit β = Cov t (R, R M ) Var t (R M ) = Σw M w M Σw. M Wenn man die Risikoprämie µ M Y 1 auf σ M bezieht, erhält man die Steigung der sogenannten Kapitalmarktlinie im (σ, µ) Diagramm, µ = Y 1 + ( ) µm Y 1 σ M σ. Portfolio Selection SS

10 Auf der Ebene der Gleichgewichtspreise P t lassen sich die durch das CAPM impizierten Rendite-Beziehungen umformen zu π i (1 + Y 1 )P it = η βi, wobei η = a π (1 + Y 1 )a P t die Risikoaversion charakterisiert und β = Ωa a Ωa = Cov t (P t+1, a P t+1 ) Var t (a. P t+1 ) Portfolio Selection SS

11 Wenn man die Kapitalmarktlinie vergleicht mit der Geraden durch die Punkte (0, Y 1 ) (risikolose Anlage) und (σ i, µ i ) (Anlage im Wertpapier i), ist die Steigung dieser Geraden ein Maß für die Effizienz des Wertpapiers i und wird als Sharpe-Ratio SR i bezeichnet: SR i = µ i Y 1 σ i (Sharpe-Ratio des Wertpapiers i). Offensichtlich wird SR durch das Tangentialportfolio, also durch das Marktportfolio, maximiert. Portfolio Selection SS

12 Vergleich der CAPM-Gleichungen R i Y 1 = β i (R M Y 1 ) + ε i mit dem Marktmodell, der statistischen Regressionsbeziehung zwischen R i Y 1 und R M Y 1 : R i N µ i, σ2 i σ im, R M µ M σ im σ 2 M mit σ im := Cov t (R i, R M ), impliziert für die bedingte Verteilung von R i R M R i R M N ( ) µ i + β i (R M µ M ), σi 2 βi 2 σm 2, mit βi = σ im σm 2. Portfolio Selection SS

13 Als lineare Regressionsgleichung für R i auf R M gilt somit: R i = (µ i β i µ M ) + β i R M + ε i bzw. R i Y 1 = α i + β i (R M Y 1 ) + ε i mit α i = µ i [β i µ M + (1 β i )Y 1 )] und Cov t (ε i, R M ) = 0, E t (ε i ) = 0, w Mα = 0, w Mβ = 1. Bei Gültigkeit des CAPM gilt α = (α 1,..., α N ) = 0. Portfolio Selection SS

14 Interpretation der CAPM Restriktionen α i = 0 (mit β i > 0): Im Marktmodell, d.h. ohne CAPM Annahmen, gilt bereits σi 2 = β } i 2 {{ σm 2 } +σε 2 i mit β i = σ im σ 2 σ i,syst 2 M = σ i,syst σ M. Nur im CAPM ist aber die erwartete Risikoprämie pro systematische Risikoeinheit für jede Aktie i gleich: µ i Y 1 σ i,syst = µ i Y 1 β i σ M = α i β i σ M + µ M Y 1 σ M CAPM = µ M Y 1 σ M. Portfolio Selection SS

15 4.2 CAPM nach Black (ohne risikoloser Anlagemögl.) 2 Bezüglich der realen Renditen gibt es keine risikolose Anlagemöglichkeit, wenn die Inflationsrate p C = (P C,t+1 P Ct )/P Ct stochastisch ist. Die nominale risikolose Rendite Y 1 führt zur risikobehafteten realen Rendite 1 + Y p C 1 Y 1 p C. 2 F. Black (1972), Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing, Journal of Business, 45, Portfolio Selection SS

16 Vereinbarung: In diesem Abschnitt sollen die bisher verwendeten Bezeichnungen und Verteilungsannahmen für die Renditen sich immer auf die realen Renditen beziehen; entsprechend sollen auch die Auszahlungen bzw. Wertpapierpreise in t + 1 um die Inflationsrate p C der Konsumgüter bereinigt sein, also die realen Auszahlungen bezeichnen. Portfolio Selection SS

17 Im Marktgleichgewicht stimmen die angebotenen, positiven Marktwertanteile w Mi = a i P it /a P t mit der Aufteilung der aggregierten Nachfrage nach effizienten Portfolios überein. Das aggregierte Portfolio der Anleger ist als eine konvexe Kombination von effizienten Portfolios wieder effizient, also w = w G + (µ µ G )d U mit µ > µ G w M = w G + (µ M µ G )d U mit µ M > µ G. Portfolio Selection SS

18 Somit liegt (σ M, µ M ) auf dem oberen Hyperbelast der Minimum-Varianz-Portfolios, µ M = µ G + σ 2 M σ 2 G σ U. Das Minimum-Varianz-Portfolio zu jeder gegebenen erwarteten Rendite µ i kann als Linearkombination β i w M + (1 β i )w M0 gebildet werden, wobei mit w M0 das Zero-Kovarianz-Portfolio zum Marktportfolio w M bezeichnet wird und µ i = β i µ M + (1 β i )µ M0 bzw. µ i µ M0 = β i (µ M µ M0 ). Portfolio Selection SS

19 Die Aktien i = 1,..., N mit (σ i, µ i ) unterscheiden sich von den entsprechenden Minimum-Varianz-Portfolios jeweils durch eine selbstfinanzierende Umschichtung, deren Zusatzrendite ε i unkorreliert ist mit den Renditen der beiden Minimum-Varianz- Portfolios R M, R M0, also R i = β i R M + (1 β i )R M0 + ε i = (1 β i )µ M0 + β i R M + ε } i + (1 β i )(R {{ M0 µ M0 } ), u i wobei u i, R M unkorreliert sind und E (u i ) = 0. Portfolio Selection SS

20 Damit gilt wieder (mit β i > 0) - wie auch im Marktmodell der Regression der (realen) Rendite R i auf die (reale) Marktrendite R M - die Varianzzerlegung σi 2 = β } i 2 {{ σm 2 } +σu 2 i mit β i = σ im σ 2 σ i,syst 2 M = σ i,syst σ M. Über das Marktmodell R i = α i +β i R M +u i mit µ i = α i +β i µ M und w M α = 0, w Mβ = 1 hinaus, folgt im Zero-Beta CAPM: α i = (1 β i )µ M0 und µ i µ M0 = β i (µ M µ M0 ). Portfolio Selection SS

21 Das Zero-Beta CAPM impliziert somit, dass die erwartete Risikoprämie µ i µ M0 pro systematische Risikoeinheit σ i,syst für jede Aktie i gleich ist: µ i µ M0 σ i,syst = µ i µ M0 β i σ M = = CAPM = α i + β i µ M µ M0 β i σ M µ M µ M0 σ M µ M µ M0 σ M. + α i (1 β i )µ M0 β i σ M Im Zero-Beta CAPM spielt µ M0 die Rolle von Y 1. Portfolio Selection SS

22 Wie im letzten Abschnitt können die Beziehungen für die Gleichgewichtsrenditen auch auf der Ebene der Gleichgewichtspreise dargestellt werden. Dann erhält man für den Gleichgewichtspreisvektor P t : π i (1 + µ M0 )P it = η β i, mit η = a π (1 + µ M0 )a P t und β = Ωa a Ωa. Portfolio Selection SS

23 4.3 Schätzung und Tests im CAPM Das CAPM-Modell für die Renditen von n Aktien wird aus Zeitreihendaten geschätzt: 1) Unrestringierte Schätzung der n Marktmodellgleichungen 2) Tests des Sharpe-Lintner-CAPM für Überschussrenditen 3) Schätzung und Test des Zero-Beta-CAPM für reale Renditen Portfolio Selection SS

24 Regressionsmodell der n Marktgleichungen: (t = 1,..., T ) y 1t. y nt = α 1. α n + β 1. β n x t+ ε 1t. ε nt, ε 1t. ε nt bzw. kurz: y t = α + βx t + ε t, mit ε t iid N(0, Φ). iid N(0, Φ), Sharpe-Lintner: x t = R Mt Y 1,t 1, y it = R it Y 1,t 1 Zero-Beta: x t = R Mt, y it = R it. Portfolio Selection SS

25 Bedingte gemeinsame Dichte von (y 1,..., y T x 1,..., x T ): T [ f(y 1,..., y T ) = (2π) n 2 (det Φ 1 ) 1 2 exp 1 ] 2 ε tφ 1 ε t t=1 [ = (2π) nt 2 (det Φ 1 ) T 2 exp 1 2 mit ε t = y t α βx t. Log-Likelihoodfunktion L: ] T ε tφ 1 ε t t=1, L(α, β, Φ) = nt 2 ln (2π) + T 2 ln(det Φ 1 ) 1 2 T t=1 ε tφ 1 ε t. Portfolio Selection SS

26 Maximum-Likelihood-Schätzung (notwend. Bedingungen): L α = Φ 1 L β = Φ 1 L T (y t α βx t ) = 0 t=1 T (y t α βx t )x t = 0 t=1 Φ 1 = T 2 Φ 1 2 T ε t ε t = 0 t=1 Portfolio Selection SS

27 Maximum-Likelihood-Schätzfunktionen: ˆα i = ȳ i ˆβ i x, ˆα = ȳ ˆβ x T t=1 ˆβ i = (x T t x)(y it ȳ i ) T t=1 (x, ˆβ = t=1 (x t x)(y t ȳ) t x) 2 T t=1 (x t x) 2 ˆφ ij = 1 T T t=1 ˆε itˆε jt, ˆΦ = 1 T T t=1 ˆε tˆε t = 1 T E E mit der (n T ) Matrix E mit den Spalten ˆε t, t = 1,..., T : E = [ˆε 1 ˆε T ], ˆε it = y it ˆα i ˆβ i x t. Portfolio Selection SS

28 Die Varianz-Kovarianz-Matrix der ML-Schätzfunktion ( ˆα, ˆβ ) kann als Inverse der Informationsmatrix I bestimmt werden: 2 L 2 L I = E α α α β 2 L 2 L = T Φ 1 xφ 1, xφ 1 x 2 Φ 1 β α β β Vˆα, ˆβ = 1 T ) (1 + x2 Φ s 2 x s 2 x ( ) x Φ ( ) x Φ s 2 x ( 1 s 2 x ) Φ. Portfolio Selection SS

29 Mit der Regressormatrix X := (ι, x) gilt auch die folgende Schreibweise (mit dem Kroneckerprodukt ): I = (X X) 11 Φ 1 (X X) 12 Φ 1 =: X X Φ 1 (X X) 21 Φ 1 (X X) 22 Φ 1 und Vˆα, ˆβ = (X X) 1 11 Φ (X X) 1 12 Φ (X X) 1 21 Φ (X X) 1 22 Φ =: (X X) 1 Φ. Portfolio Selection SS

30 Tests des CAPM in der Sharpe-Lintner Version Unterschiedliche Möglichkeiten für Tests der Hypothese H 0 : α = 0 gegen H 1 : α 0 Wald-Test: J 0 misst die Verletzung der mit H 0 formulierten Restriktionen J 0 = ˆα [Var( ˆα)] 1 ˆα = T (1 + x2 s 2 x ) 1 ˆα Φ 1 ˆα = ˆα Φ 1 ˆα (X X) 1 11 und ist verteilt mit der χ 2 Verteilung mit n Freiheitsgraden. Portfolio Selection SS

31 Die operationale Teststatistik Ĵ0 mit dem Schätzer ˆΦ für Φ ist unter H 0 nicht exakt, sondern nur asymptotisch χ 2 (n) verteilt: Ĵ 0 = T (1 + x2 s 2 x ) 1 ˆα ˆΦ 1 ˆα = ˆα ˆΦ 1 ˆα (X X) 1 11 Zum Signifikanzniveau p wird H 0 abgelehnt, wenn Ĵ 0 > χ 2 (n) 1 p. Bei endlichem T führt der Test, wenn H 0 gilt, approximativ mit Wahrscheinlichkeit p zum Fehler erster Art. Portfolio Selection SS

32 F-Test (als exakter Test): Die exakte Verteilung der Teststatistik Ĵ0 und den exakten (1 p) Quantilswert erhält man mit Hilfe der F Verteilung. Verwendet man statt der ML-Schätzung für Φ die Schätzfunktion Φ = 1 T n 1 E E = T T n 1 ˆΦ und bezeichnet den entsprechenden Schätzer von J 0 mit J 0, dann gilt: J 1 := J 0 n = T n 1 Ĵ0 nt H 0 F (n, T n 1). Portfolio Selection SS

33 Zum Signifikanzniveau p ist H 0 also abzulehnen, wenn J 1 > F (n, T n 1) 1 p bzw. Ĵ 0 > nt T n 1 F (n, T n 1) 1 p. Beispiel zum Vergleich der Quantilswerte aus dem exakten und dem asymptotischen Test (p = 0.05, n = 30, T = 121) : Dann ist F (30, 90) 0.95 = 1.59 und c 0.95 = = für Ĵ 0 ; dagegen ist χ 2 (30) 0.95 = ; dazu ist die exakte Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art 37%! Portfolio Selection SS

34 Andere Darstellung und Interpretation der F Statistik: J 1 = det E 0E 0 det E E det E E (T n 1), n wobei E 0 die T n-matrix der ML-Residuen unter der Restriktion H 0 : α = 0 bezeichnet, also E 0 = [ˆε 1,0 ˆε T,0 ] mit ˆε t0 = y t ˆβ 0 x t und ˆβ0 = T t=1 x ty t. T t=1 x2 t Die Test-Statistik ist also auch ein Maß für die Verschlechterung der Anpassung durch die Restriktionen, die unter H 0 gelten. Portfolio Selection SS

35 Likelihood-Ratio-Test: Die Test-Statistik ist definiert als J 2 = 2LR = 2(L 0 L ) = T ln [ ] det E 0 E 0 det E, wobei E L 0 = max α,β,φ H 0 L(α, β, Φ) = L(0, ˆβ 0, ˆΦ 0 ) = c T 2 ln(det ˆΦ 0 ), L = max L(α, β, Φ) = L(ˆα, ˆβ, ˆΦ) = c T α,β,φ 2 mit c = nt 2 ln 2π nt 2. ln(det ˆΦ), Portfolio Selection SS

36 Die Test-Statistik J 2 des Likelihood-Ratio-Tests ist unter H 0 asymptotisch χ 2 verteilt mit n Freiheitsgraden, wobei n die Anzahl der Restriktionen ist. Da J 2 als eine Transformation der exakt F (n, T n 1) verteilten Teststatistik J 1 geschrieben werden kann, sind auch die exakten Quantile zu bestimmen: J 2 = T ln [ ] det E 0 E 0 det E E [ ] n = T ln (T n 1) J 1 + 1, also [ ] n J 2,1 p = T ln (T n 1) F (n, T n 1) 1 p + 1. Portfolio Selection SS

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