Numerische Analyse von Long Run Risk Modellen mit zwei Bäumen und Sprungrisiko

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1 Numerisce Analyse von Long Run Risk Modellen mit zwei Bäumen und Sprungrisiko Wissenscaftlice Arbeit zur Diplom-Hauptprüfung im Fac Matematik vorgelegt von Joannes Härtel Tema gestellt von Prof. Dr. Martin Burger und Prof. Dr. Nicole Branger Münster, Juni 2012

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3 Danksagung Ic möcte mic bei all denjenigen bedanken, die es mir ermöglict aben diese Arbeit zu erstellen. Mein besonderer Dank rictet sic an: Herrn Professor Dr. Martin Burger, für die ser gute Betreuung meiner Arbeit und die vielen Antworten auf meine Fragen. Frau Professorin Dr. Nicole Branger, für die Auswal des interessanten Temas und die umfangreice nterstützung bei dieser Arbeit. Daniel Tenbrinck, Tomas Kils und Micael Dörr für die ilfreicen und anregenden Diskussionen und das Korrekturlesen meiner Arbeit. Meiner Freundin Meike Krabbe für den bedingungslosen Rückalt. Meinen Eltern Elke und Gerard Härtel für die finanzielle nterstützung, die mein Studium und somit auc diese Diplomarbeit ermöglic at. 3

4 Abstract Nowadays considerable attention is given to general equilibrium models of te pricing of capital assets. Tis tesis was concerned wit a numerical analysis of a long-run risk model wit rare events. Te partial differential equation for te wealt-consumption ratio arises from a model wit two stocastic consumption growt rates, a stocastic volatility and a stocastic jump intensity. In particular, te partial differential equation was analysed wit respect to existence and uniqueness as well as to convergence of a numerical solution. In addition, te numerical approximation was implemented and tested in a realistic setup. 4

5 INHALTSVERZEICHNIS Inaltsverzeicnis 1 Einleitung 1 2 Grundlagen der Optionspreisberecnung Betriebswirtscaftlice Grundbegriffe Asset Pricing Optionen Finanzwirtscaftlice Grundbegriffe Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Hilfsmittel der Warsceinlickeitsteorie Monte-Carlo Simulation Hilfsmittel der Numerik Hilfsmittel der Analysis Das matematisce Modell Die Modelldynamik Die Dynamik des Konsumverlaufes Die Nutzenfunktion Wolstands-Konsum-Quotient Risikofreie Zinsrate und der Marktpreis des Risikos Preis-Dividenden-Quotient Matematisce Analyse des Wolstands-Konsum-Quotienten Allgemeine Strukturbetractung der PDGL Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für eine elliptisce PDGL Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für den Wolstands- Konsum-Index Existenz der Lösung für den Wolstands-Konsum-Index Eindeutigkeit der Lösung für den Wolstands-Konsum- Qoutient Numerisce Approximation des Wolstands-Konsum-Quotienten Diskretisierung Realistisce Randbedingungen Numerisce Analyse der Lösung Feleranalyse i

6 INHALTSVERZEICHNIS 6 Numerisce Approximation des Preis-Dividenden-Quotienten Diskretisierung Randbedingungen Numerisce Analyse der Lösung Programmierung des Modells Implementierung der Approximation des Wolstands-Konsum-Quotienten Implementierung der Approximation des Preis-Dividenden-Quotienten Implementierung der Monte-Carlo Simulation Implementierung des Callpreises Ergebnisse 84 9 Zusammenfassung und Ausblick 87 Literaturverzeicnis 89 ii

7 ABBILDNGSVERZEICHNIS Abbildungsverzeicnis Auszalungsfunktion für den Ausübungspreis K = 50. Quelle: eigene Darstellung, Daten entnommen aus [Wür07, Seite 4] Eine Realisierung des Wiener Prozesses im Verlauf der Zeit.. 10 iii

8 1 Einleitung 1 Einleitung Die banbrecenden Arbeiten von Fiscer Black, Myron Samuel Scoles und Robert Carart Merton [BS11] im Jare 1973 gelten als Meilenstein der Finanzwirtscaft. Sie entwickelten das sogenannte Black-Scoles-Modell, welces ein finanzmatematisces Modell zur Bewertung von Optionen ist. Scoles und Merton wurden 1997 für diese Arbeiten mit dem Nobelpreis für Wirtscaftswissenscaften geert ( for a new metod to determine te value of derivatives [BS11], Black war bereits 1995 verstorben. Dieses Modell dient noc eute äufig als Grundlage für Weiterentwicklungen, jedoc bildet das Black-Scoles-Modell die Wirklickeit noc nict gut genug ab, weswegen immer wieder Modifizierungen vorgenommen werden. nter anderem auc die Modellierung extremer Kurseinbrüce inneralb eines kurzen Zeitraums. Der erste überlieferte Zusammenbruc einer Börse gesca am 7. Februar Der Börsencras am 19. Oktober ging als Black Monday in die Gescicte ein. Doc auc die jüngste Vergangeneit zeigt massive Wertpapierverluste in kürzester Zeit (Finanzkrise ab Auc andere Finanzmarktgrößen, wie zum Beispiel eine eigenständige Volatilität, werden vermert in Modellen berücksictigt. Zu Beginn der Arbeit werden wir in Kapitel 2 die Grundlagen der Optionspreisberecnung erläutern. Hier definieren wir betriebs- und finanzwirtscaftlice Grundbegriffe. Des Weiteren werden erste matematisce Hilfsmittel eingefürt und ein Einblick in die Monte-Carlo Simulation gegeben. Anscließend motivieren wir im Kapitel 3 ein Modell, welces wir noc weiterentwickeln. Liegt ein geeignetes Modell vor, können wir mit der Berecnung des fairen Preises einer Option beginnen. nter der Berücksictigung der Nutzenfunktion (Epstein-Zin Nutzenfunktion, [EZ89] eines Investors leiten wir für unser Optionbewertungsmodell eine elliptisce partielle Differentialgleicung zweiter Ordnung er, wobei wir durc das Lösen dieser Differentialgleicung, im Abscnitt 3.2, den Wolstands-Konsum-Quotienten eralten. Da das Lösen der Differentialgleicung nict oder nur ser scwer auf analytiscem Weg möglic ist, werden wir die Lösung numerisc approximieren. Im vierten Kapitel beweisen wir zuerst die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung, um im darauf folgenden Kapitel 5 den Differentialoperator auf einem Gitter zu diskretisieren. Sind die Randbedingungen aufgestellt, folgt im Abscnitt 5.2 eine numerisce Analyse der approximierten Lösung. Wir zeigen, dass unsere Diskretisierung mittels finiter Differenzen sowol stabil als auc konsistent ist, was zur Folge at, dass unsere Lösung gegen die kontinuierlice Lösung, in einem noc zu klärenden Sinn, konvergiert. Mittels des numerisc berecneten Wolstands-Konsum-Quotienten können 1

9 1 Einleitung wir den Pricing Kernel angeben, der den Wert einer Eineit im jeweiligen volkswirtscaflicen Zustand wieder gibt. Der wiederum ermöglict uns die Formulierung der risikofreien Zinsrate und des Marktpreises des Risikos. m nun Optionen mit untersciedlicen Dividendenströmen zu berecnen, leiten wir eine weitere partielle Differentialgleicung er. Das Lösen dieser partiellen Differentialgleicung gibt uns den Preis-Dividenden-Quotienten. Weiter werden wir in Kapitel 7 die Implementierung der numeriscen Approximation des Wolstands-Konsum-Quotienten und des Preis-Dividenden- Quotienten erläutern und auf die Programmierung der Modelldynamiken eingeen, wobei die Modelldynamiken einen möglicen Verlauf des Finanzmarktes simulieren. Abscließend werden wit mit Hilfe der Monte-Carlo Simulation zeigen, wie man nun eine Call-Option bewertet. 2

10 2 Grundlagen der Optionspreisberecnung 2 Grundlagen der Optionspreisberecnung Im ersten Kapitel wollen wir die wictigsten betriebswirtscaftlicen und matematiscen Grundbegriffe klären, die für die Optionspreisberecnung erforderlic sind. Der Aufbau ist angelent an die Diplomarbeiten [Heu10], [Wür07] und [Zoc10]. 2.1 Betriebswirtscaftlice Grundbegriffe Asset Pricing Die grundlegende Frage beim Asset Pricing ist: Wie bewertet man unsicere Zalungsströme (Wertpapiere, Projekte, Firmen, etc.? Der Preis eines Assets wird durc Aufsummieren der diskontierten Payoffs berecnet. Die Kunst ist geeignet (stocastisc zu diskontieren, also einen guten Diskontfaktor zu finden. Die Scwierigkeit bestet im Messen und Formalisieren von Risiko, denn im Ergebnis ist der Preis riskanter Assets geringer als der Preis weniger riskanter Assets. Bekannte Asset Pricing Modelle sind: Black-Scoles Modell (siee [BS11], CAPM (Capital Asset Pricing Modell, siee [Sa64], APT (Arbitrage Pricing Teory, (siee [Ros76] Optionen Zunäcst werden wir den betriebswirtscaftlicen Begriff Option näer erläutern und definieren, um mit im auc später matematisc arbeiten zu können. In der Wirtscaft bezeicnet eine Option das Rect, ein bestimmtes Finanzgut, zum Beispiel eine Aktie, zu einem vertraglic festgelegten Zeitpunkt, zu einem vorer fixierten Preis zu kaufen, bezieungsweise zu verkaufen. Dieses Rect kann der Besitzer der Option ausüben oder verfallen lassen (siee auc [Gab11]. Wir bescäftigen uns ausscließlic mit der Europäiscen Option, diese ist aufgrund ires festen Ausübungszeitpunktes matematisc einfacer zu beandeln. Weitere bekannte Optionsarten sind zum Beispiel die Amerikanisce Option oder die Asiatisce Option. Der Käufer einer Amerikaniscen Option at das Rect, an einem beliebigen Zeitpunkt inneralb eines festgelegten Zeitraums seine Option auszuüben. Das Auszalungsprofil einer Asiatiscen Option ängt ingegen von der Differenz zwiscen dem Ausübungspreis 3

11 2.1 Betriebswirtscaftlice Grundbegriffe und einem Durcscnittswert vergangener Kurse des Basiswertes ab. Die Ausübungsart kann sowol vom amerikaniscen als auc vom europäiscen Typ sein. Folglic würde sic durc die größeren Handlungsspielräume der faire Preis einer Option ändern. Nun wollen wir eine Europäisce Standard- Option genauer definieren. Definition (Optionen, vgl. [Mar99] Definition 2.2. Optionen (engl. options sind zins- und dividendenlose Wertpapiere, die dem Inaber das Rect einräumen, zu einem bestimmten Zeitpunkt, dem Verfallsoder Fälligkeitsdatum (expiry date oder maturity einen bestimmten Basiswert (z.b. Aktien zu einem im Voraus festgesetzten Ausübungspreis (exercise price oder strike price zu kaufen (Call-Optionen oder zu verkaufen (Put- Optionen. Bewertung von Optionen Im Folgenden sei C(t, S(t der Wert einer Call-Option mit Kurs S zur Zeit t. P (t, S(t bezeicne den entsprecenden Wert einer Put-Option. K sei der vorer vereinbarte Ausübungspreis. One Bescränkung der Allgemeineit wird als Basispapier eine Aktie angenommen. Nun wollen wir den Wert einer Option im Falle der Ausübung (intrinsiscer Wert, engl. intrinsic value angeben. Eine Call-Option wird ausgeübt, falls der vorer vereinbarte Ausübungspreis kleiner ist, als der Preis des Basiswertes zum Verfallszeitpunkt T (K < S(T. In diesem Fall kann der Optioneninaber die Aktie zum Preis K kaufen und am Markt für S(T weiterverkaufen. Somit erält er einen Gewinn in Höe von S(T K. Ansonsten ist die Option zum Zeitpunkt T wertlos und der Optionsinaber übt sein Kaufrect nict aus. Genau gegensätzlic verält sic eine Put-Option. In diesem Fall wird die Option ausgeübt, falls der Preis des Basiswertes zum Verfallszeitpunkt T kleiner als der vorer vereinbarte Ausübungspreis ist (S(T < K. Hier wird der Optioneninaber für S(T kaufen und um K weiterverkaufen, also einen Gewinn in Höe von K S(T macen. Es gelten also sogenannte Auszalungsfunktionen (payoff functions: Call : C(T, S(T = (S(T K + := max{s(t K, 0} (1a P ut : P (T, S(T = (K S(T + := max{k S(T, 0} (1b Liegt der Ausübungspreis beim aktuellen Preis des Basiswertes zum Fälligkeitstermin (S(T = K, nennt man die Option am Geld (engl. at te money, ATM, im Geld (engl. in te money, ITM, falls die Call-Option ausgeübt wird, also K < S(T gilt (K > S(T, Put-Option. Ansonsten wird eine Call- 4

12 2.1 Betriebswirtscaftlice Grundbegriffe Auszalungsfunktion des Calls C S Auszalungsfunktion des Puts P S Abbildung 2.1.1: Auszalungsfunktion für den Ausübungspreis K = 50. Quelle: eigene Darstellung, Daten entnommen aus [Wür07, Seite 4]. oder Put-Option aus dem Geld (engl. out of te money, OTM genannt. Es ist klar, dass die Funktionen 1a und 1b nictnegativ sind, also sicert eine Option eine nictnegative zukünftige Zalung. Aus diesem Grund muss der Optionskäufer eine Optionsprämie für das Optionsrect an den Optionsverkäufer zalen. Jedoc ist die Höe der zukünftigen Zalung unsicer. Es ist irrelevant, ob man den Wert einer Call- oder Put-Option berecnet, da folgender Satz gilt. Satz (Put-Call-Parität, vgl. [Mar99] Satz 2.8 Für europäisce Optionen gilt S(t + P (S(t, t C(S(t, t = Ke r(t t, mit obigen Bezeicnungen und r sei der risikofreie Zinssatz. Zwei Hauptanwendungsgebiete von Optionen sind das Spekulieren und das Hedging. Spekulanten versucen durc Kursprognosen iren Gewinn durc den Kauf von Call-Optionen zu maximieren, da diese eine öere Hebelwirkung aben als Aktien. Das eißt, Gewinne fallen öer aus, jedoc gilt das Gleice für Verluste. Prognostiziert man fallende Kurse, kauft der Spekulant Put-Optionen. Hedger versucen sic vor Kursverlusten zu scützen. Mit Hilfe von Put- Optionen baut man sic eine Gegenposition auf, da diese bei fallenden Kursen Gewinn bringen. 5

13 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Finanzwirtscaftlice Grundbegriffe m den Wert einer Option zu berecnen müssen wir Annamen an den Finanzmarkt stellen. Wir geen in dieser Diplomarbeit von einem perfekten Finanzmarkt (siee auc [FHH04] aus, wobei alle Investoren den selben Informationsstand aben, verzögerungsfrei andeln können und Folgendes gilt: Keine Arbitragemöglickeiten, keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einscränkungen beim Leerverkauf, kein gespaltener Kapitalmarkt, also der Habenzinssatz ist gleic dem Sollzinssatz (r H = r S = r, alle Wertpapiere sind beliebig teilbar. Da es keine Arbitragemöglickeiten gibt, bestet also nict die Möglickeit sofort und risikolos Gewinne zu erzielen. Zum Beispiel durc das Ausnutzen von Preisdifferenzen gleicer Güter auf untersciedlicen Märkten. In einem perfekten Finanzmarkt fallen auc keine Transaktionskosten oder Steuern an. Es wird also immer nur der Kaufpreis bei einer Transaktion gezalt und nict etwa noc Transportkosten, Informationsbescaffungskosten oder Steuern. Ferner ist es möglic beliebig kleine Mengen an Aktien zu kaufen (Wertpapiere sind beliebig teilbar und sogar Aktien zu verkaufen, die der Verkäufer zum Verkaufszeitpunkt nict besitzt und sic erst zum Erfüllungszeitpunkt bescafft (Leerverkauf. Da wir keinen gespaltenen Kapitalmarkt aben, recnen wir in unserem Modell nur mit einem allgemeinen Zinssatz r. 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel m später den Wolstands-Konsum-Quotienten (siee Abscnitt 3.2 berecnen zu können, benötigen wir einige Hilfsmittel aus den Bereicen der Warsceinlickeitsteorie, der Numerik und der Analysis. Die wictigsten Grundbegriffe wollen wir ier kurz auffüren. 6

14 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Hilfsmittel der Warsceinlickeitsteorie Bei der Optionspreisberecnung, insbesondere bei der Aufstellung des Modells, benötigt man die Warsceinlickeitsteorie, da wir scließlic ein Modell mit nsicereiten aben werden (siee auc [Mun] und [Mar99]. Der Warsceinlickeitsraum Jedes Modell mit nsicereiten benötigt einen Warsceinlickeitsraum. Dieser bestet aus einem Tripel (Ω, A, P, dabei ist Ω der Ergebnisraum, A die σ-algebra und P das Warsceinlickeitsmaß. Wir definieren zuerst den Ergebnisraum. Definition (Ergebnisraum Der Ergebnisraum (engl. state space Ω ist die Menge aller möglicen Ergebnisse eines unsiceren Modells. Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω. Weiter benötigen wir die σ-algebra. Definition (σ-algebra, vgl. [Mar99] Definition 3.1. Eine Menge A P(Ω eißt σ-algebra, falls (i Ω A, (ii A A = Ω\A A, (iii A i A i N = i A i A. Zuletzt das Warsceinlickeitsmaß. Definition (Warsceinlickeitsmaß, vgl. [Mar99] Definition 3.2. Die Abbildung P : A [0, 1] eißt Warsceinlickeitsmaß auf A, falls gilt: (i P(A 0 A A, (ii P(Ω = 1, (iii Für paarweise disjunkte A 1, A 2,... A ist P( i=1 A i = i=1 P(A i ( σ-additivität. Die Elemente A A eißen Ereignisse. nsicere Objekte, wie zum Beispiel der Verlauf einer Aktie, werden wir mit Zufallsvariablen auf einem Warsceinlickeitsraum modellieren. 7

15 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Definition (Zufallsvariable, vgl. [Mar99] Definition 3.3. Sei (Ω, A, P ein beliebiger Warsceinlickeitsraum. Eine Funktion X : Ω R eißt Zufallsvariable (A-meßbare Funktion, falls Informationsverlauf {ω Ω X(ω x} A x R. Des Weiteren muss in einem Asset Pricing Modell die zunemende Information wärend der Laufzeit berücksictigt werden. Dieser Informationsverlauf wird mit einer sogenannten Filtration F bescrieben. Definition (Filtration, vgl. [Mar99] Definition Sei T eine beliebige geordnete Indexmenge und (Ω, A, P ein Warsceinlickeitsraum. (i nter einer Filtration F versteen wir eine Familie von nter-σ- Algebren {A t t T } von A, so dass A s A t für s < t. (ii Ein stocastiscer Prozeß (X t t T eißt adaptiert zur Filtration F, wenn X t A t -meßbar ist, wobei ein stocastiscer Prozess eine Familie von Zufallsvariablen ist. Möcte man betonen, dass die Information in einem stocastiscen Prozess durc die Filtration F gegeben ist, so kann man den gefilterten Warsceinlickeitsraum mit (Ω, F, P angeben. Stocastisce Prozesse Mit der Hilfe von stocastiscen Prozessen wollen wir die nsicereiten in unserem Modell bescreiben. Wir werden ein sogenanntes zeitstetiges Modell betracten. In diesem Modell wird der Wiener-Prozess eine große Rolle spielen. Definition (Wiener-Prozess, vgl. [Mar99] Definition Sei T = [t 0, T ] und t T. Ein (pfadweise stetiger L 2 -Prozess X t (d.. X t L 2 t mit Parameterraum T eißt Brownsce Bewegung mit Volatilität σ und Drift µ, falls (i X t0 (ω = 0 für fast alle ω Ω, (ii die Zuwäcse normalverteilt sind mit X t X s N (µ(t s, σ 2 (t s 0 s < t, 8

16 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel (iii für gegebenes s mit t > s 0 sind die Zuwäcse X t X s unabängig. 2. Eine Brownsce Bewegung mit µ = 0 und σ = 1 eißt Wiener Prozess (auc Standard Brownian motion und wird mit W t bezeicnet. Im Allgemeinen wird dazu t 0 = 0 gewält. Bemerkung (Eigenscaften des Wiener Prozesses Der Wiener Prozess ist ein Prozess mit stationären unabängigen Inkrementen. Die Inkremente W t W s für 0 s < t sind unabängig und ire Verteilung ist nur von t s abängig, also ist W t+τ W s+τ genauso verteilt, wie W t W s. Der Wiener Prozess ist ein Markov-Prozess. Das eißt das Veralten zu einem Zeitpunkt t > t 0 ängt nur vom Stand zum Zeitpunkt t 0 ab, nict von s < t 0. Es gilt also für A A: P(W t A (W s s t0 = P(W t A W t0. Der Wiener Prozess ist ein Martingal. Das eißt, für (W t t T mit einer gegebenen Filtration (F t t T, einem Warsceinlickeitsmaß P, gilt für alle s, t T mit s < t: E s [W t ] = W s. Der Erwartungswert einer Beobactung ist also gleic dem Wert der vorigen Beobactung. Der Wiener Prozess ist ein Gaußscer Prozess, das eißt die gemeinsame Verteilung beliebiger endlic vieler W tk ist eine Normalverteilung. Weitere stocastisce Prozesse, die wir für die Modellierung unseres Modells benötigen, sind Folgende. Definition (Diffusionsprozess, vgl. [Mun] Ein Diffusionsprozess ist ein stocastiscer Prozess (X t t T, falls er folgende stocastisce Differentialgleicung löst: dx t = µ(x t, tdt + σ(x t, tdw t. Hierbei ist W t ein Wiener Prozess. µ(x t, t wird als Driftterm bezeicnet und ist eine Funktion in Abängigkeit von der Zeit t und dem Wert von X t. Gleices gilt für die Funktion σ(x t, t, die die Volatilität des stocastiscen Prozesses ist. 9

17 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel W t 1 Wiener Prozess t Abbildung 2.2.1: Eine Realisierung des Wiener Prozesses im Verlauf der Zeit. Diffusionsprozesse sind spezielle Ito-Prozesse (siee [Mun] 2.6.3, die das folgende Lemma erfüllen. Lemma (Lemma von Ito, vgl. [Heu10] Lemma Sei (X t t T ein n-dimensionaler Ito-Prozess, zum Beispiel mit X t = X (1 t... X (n t dx t = µ(x t, tdt + σ(x t, tdw t, W t = W (1 t... W (m t, µ(x t, t = µ 1 (X (1 t µ n (X (1 t,..., X (n t, t...,..., X (n t, t und σ(x t, t = (σ ik (X t, t k=1,...,m i=1,...,n. Weiter sei g : R n [0, [ R p aus C 2 (R n [0, [. Dann ist Y t = g(x t, t 10

18 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel wieder ein Ito-Prozess. Für k = 1,..., p gilt dy (k t = g k t (X t, tdt + wobei (dt 2 = dt dw (i t n i=1 g k x i (X t, tdx (i t n i,j=1 = 0 und dw (i t dw (j t = dt gilt. Beweis. Siee Beweis zu in [Irl98]. 2 g k (X t, tdx (i t x i x j dx (j t, Definition (Poisson-Prozess, vgl. [Zoc10] Definition 1.9 Wir nennen einen stocastiscen Prozess (P λ,t t T auf dem Warsceinlickeitsraum (Ω, F, P Poisson-Prozess mit Intensität λ, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: (i P λ,0 (ω = 0 für fast alle ω Ω, (ii P λ,t P λ,s P λ (t s s < t, wobei P λ (t s die Poisson-Verteilung mit Parameter λ (t s ist (P λ (t s (X = k = (λ (t sk k! e λ (t s, (iii sei n N eine Folge 0 < t 1 <... < t n gegeben. Dann ist die Familie {P λ,ti P λ,ti 1 2 i n} von Zufallsvariablen stocastisc unabängig. Der Poisson-Prozess ermöglict es uns ser seltene Ereignisse in unserem Modell einzubauen. Diesen stocastiscen Prozess nutzen wir später um plötzlice, unvorergeseene Kursscwankungen zu modellieren. 11

19 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Monte-Carlo Simulation Hier soll ein kurzer Einblick in die Monte-Carlo Simulation gegeben werden. Diese ser gängige Metode, um derivative Bewertungsproblem numerisc zu lösen, berut vor allem auf dem starken Gesetz der großen Zalen. Satz (starke Gesetz der große Zalen, vgl. [Vei06] Kapitel 5 Seien ξ i unabängig, identisc verteilte Zufallszalen. Dann gilt, dass der Mittelwert einer fortlaufenden Summe X n = 1 n fast sicer gegen dessen Erwartungswert E[ξ i ] = µ ξ konvergiert, also gilt. X n n i=1 f.s. µ ξ Des Weiteren braucen wir noc eine Aussage über das Veralten der Verteilung der fortlaufenden Summe S n = n i=1 ξ i. Diese eralten wir mit dem zentralen Grenzwertsatz. Satz (zentraler Grenzwertsatz, vgl. [Vei06] Kapitel 5 Seien ξ i unabängig, identisc verteilte Zufallszalen mit Erwartungswert E[ξ i ] = µ ξ und Varianz V [ξ i ] = σξ 2. Dann gilt, dass die neue Zufallsvariable ξ i Z n = S n nµ ξ σ ξ n für n gegen die Standardnormalverteilung konvergiert, das eißt Für X n = 1 n S n gilt dann X n Z n i.v. N(0, 1. i.v. N(µ ξ, σ2 ξ n. nser Bewertungsmodell für eine Call-Option siet wie folgt aus C(S(x 0, x t, K, t = E Q [e T 0 r(xsds max(0, S(x T K] (siee auc [Vei06] Kapitel 5. Hier ist Q das risikoneutrale Maß. Wir werden später nict die risikolose Warsceinlickeit Q erleiten, sondern nutzen den in Abscnitt 3.3 ermittelten stocatiscen Diskontfaktor Π t, so dass E Q [e T 0 r(xsds max(0, S(x T K] = E P [Π T max(0, S(x T K] 12

20 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel gilt, wobei P unser üblices Maß ist. x t ist ein k-dimensionaler Zustandsvektor mit k stocastiscen Zustandsvariablen, die den Kapitalmarkt modellieren, also den Optionspreis beeinflussen. Es wird der Erwartungswert über alle abgezinsten Basiswertkurse genommen, wobei ier der Diskontfaktor T 0 r(x sds aus der risikolosen Momentanverzinsung durc Integration gewonnen wird. Die Scwierigkeit liegt in der Berecnung des Erwartungswertes, ierfür wollen wir die Monte-Carlo Simulation anwenden. Diese Metode simuliert n Zufallspfade der dem Bewertungsproblem zugrunde liegenden Zustandsvariablen x entsprecend den risikoadjustierten Warsceinlickeitsverteilungen. Nun diskontieren wir die Auszalungscarakteristik max(0, S(x T K mit dem risikofreien Zinssatz T r(x 0 sds (später mit Π t. Abscließend berecnet man den Mittelwert der diskontierten Auszalungscarakteristiken mit dem Satz , wobei wir ξ i = e T 0 r i(x sds max(0, S i (x T K aben. So eralten wir den gesucten Erwartungswert µ ξ. Die Verteilung von ξ ist mit Satz gegeben durc N(µ ξ, σ2 ξ. Der Nacteil der Monte-Carlo Simulation ist die ser langsame n Konvergenz. Für eine gute Approximation muss man eine große Anzal von Simulationen durcfüren. Es ist möglic ein optimales Verältnis von Wiederolungsanzal n und Zeitintervall t bei vorgegebener Berecnungsdauer R zu bestimmen, ierfür siee [Vei06] Kapitel

21 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Hilfsmittel der Numerik Aus dem Bereic der Numerik benötigen wir vor allem die Begriffe Finite Differenzen, Konsistenz, Stabilität und Konvergenz, wobei Konvergenz durc Konsistenz und Stabilität impliziert wird. Hier alten wir uns an die Definitionen aus [Bur07] Seite 15 ff. Durc das in Kapitel 3 aufgestellte Modell eralten wir eine partielle Differentialgleicung. m diese approximieren zu können benötigen wir folgende Differenzen-Scemata. Wir bescränken uns auf den 3-dimensionalen Fall und notieren exemplarisc die Ableitungen in x 1 -Rictung. u D v u(x 1, x 2, x 3 = u(x 1 +, x 2, x 3 u(x 1, x 2, x 3 x 1 (Vorwärtsdifferenzenquotient, u D r u(x 1, x 2, x 3 = u(x 1, x 2, x 3 u(x 1, x 2, x 3 x 1 (Rückwärtsdifferenzenquotient, u D z u(x 1, x 2, x 3 = u(x 1 +, x 2, x 3 u(x 1, x 2, x 3 x 1 2 (zentraler Differenzenquotient. Die natürlice Approximation für die zweite Ableitung ist 2 u x 2 1 D 2 u(x 1, x 2, x 3 = u(x 1 +, x 2, x 3 2u(x 1, x 2, x 3 + u(x 1, x 2, x 3 2. Bei der Approximation mit dem Vor- und Rückwärtsdifferenzenquotienten macen wir einen Feler erster Ordnung in, man sprict von einer Konsistenzordnung eins. Für den zentralen Differenzenquotienten und die Approximation der zweiten Ableitung, wie oben, aben wir Konsistenzordnung zwei. Mer dazu erfaren wir in Kapitel 5.2. Zunäcst folgende Definitionen und Sätze aus [Bur07] Seite

22 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Definition (Diskrete Konsistenz Sei L : C k (Ω C 0 (Ω ein Differentialoperator der Ordnung k und L eine diskrete Approximation auf einem Gitter G. Die Approximation eißt diskret konsistent, falls L (u G (Lu G 0, für 0 gilt. Die Konsistenzordnung der Approximation ist m, falls für alle u C k+m (Ω gilt. L (u G (Lu G C m Neben der Konsistenz braucen wir noc eine weitere Eigenscaft, um die Güte einer numeriscen Approximation zu bewerten. Definition (Diskrete Stabilität Sei L : G R N die diskrete Approximation eines Differentialoperators. Dann eisst L diskret stabil, wenn L 1 existiert, für > 0 inreicend klein und L 1 gleicmäßig in bescränkt ist. Oder äquivalent, falls K > 0 unabängig von existiert, so dass gilt. u K L u Wie bereits oben angedeutet eralten wir aus den beiden Definitionen die Konvergenz. Satz (Konvergenz Sei L : C k (Ω C 0 (Ω eine stabile und konsistente Approximation eines Differentialoperators L : C k (Ω C 0 (Ω. Sei u die Lösung der Differentialgleicung Lu = f und u die Lösung von L u = f, so dass f f für 0. Dann ist die Approximation konvergent, d.. u u für 0. Beweis. Wir subtraieren die Gleicungen L u = f und Lu = f voneinander und eralten Lu L u = f f. Weiter addieren wir L u und eralten durc umformen Wegen der Stabilität folgt L (u u = (L Lu + f f. u u = L 1 ((L Lu + f f L 1 ( (L Lu + f f, wobei L 1 gleicmäßig bescränkt ist. Da (L Lu 0 (Konsistenz und f f 0, folgt scon die Konvergenz u u 0. 15

23 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Aus dem Satz können wir direkt ein Korollar für die Felerabscätzung zieen. Korollar (Felerabscätzung Sei L : C k (Ω C 0 (Ω eine stabile und konsistente Approximation eines Differentialoperators L : C k (Ω C 0 (Ω mit Konsistenzordnung m. Sei u die Lösung der Differentialgleicung Lu = f und u die Lösung von L u = f, so dass f f = O( m für 0. Dann gilt die Felerabscätzung für eine Konstante C > 0. u u C m Beweis. Mit der obigen Abscätzung eralten wir die Felerabscätzung direkt aus der Stabilität und Konsistenzordnung. m zu zeigen, dass unsere Approximation von Integralen ebenfalls konsistent ist, benötigen wir folgenden Satz aus [Nat05]. Satz Sei f C 2 [a, b], I = b f(xdx und I a 1 = b a (f(a + f(b. Dann gilt 2 I I max x [a,b] f (2 (x. Beweis. Siee Beweis zu Satz in [Nat05] Hilfsmittel der Analysis Die Taylorsce Formel, doc insbesondere den Satz benötigen wir um die Konsistenz unserer Diskretisierung zu zeigen. Satz (Taylorsce Formel, siee [For04] 22 Satz 1 Sei I R ein aus mer als einem Punkt besteendes Intervall. Sei f : I R eine (n+1-mal stetig differenzierbare Funktion und a I. Dann gilt für alle x I f(x = f(a + f (a 1! wobei (x a + f (a 2! R n+1 (x = 1 n! (x a f n (a (x a n + R n+1 (x, n! x a (x t n f n+1 (tdt. Beweis. Der Beweis folgt mit Induktion nac n. Siee auc [For04] 22 Beweis zu Satz 1. 16

24 2.2 Matematisce Grundbegriffe und Hilfsmittel Mit dem Mittelwertsatz eralten wir diese Form: Satz (Lagrangesce Form des Restglieds, siee [For04] 22 Satz 2 Sei I R wieder ein aus mer als einem Punkt besteendes Intervall. Sei f : I R eine (n + 1-mal stetig differenzierbare Funktion und a, x I. Dann existiert ein ζ zwiscen a und x, so dass f(x = n k=0 f (k (a k! (x a k + f (n+1 (ζ (x an+1 (n + 1! ist. Beweis. Siee [For04] 22 Beweis zu Satz 2. 17

25 3 Das matematisce Modell 3 Das matematisce Modell nser Modell berut auf der so genannten Lucas tree economy. Hier wird die Produktion von Gütern der ganzen Wirtscaft mit einem Baum ( Lucas Tree, [Mar09] der Frücte abwirft verglicen. Diese Frücte sind die produzierten Güter ( aggregate endowment der Wirtscaft und können konsumiert werden. Diesen Prozess werden wir als gegeben annemen. Des Weiteren at jeder Investor eine bestimmte Nutzenfunktion. Der Investor nimmt die Preise als gegeben an und entsceidet, ob er investiert. Zur Vereinfacung wird äufig angenommen, dass ein Investor alle repräsentiert. Durc die Annamen im Kapitel liegt ein geräumter Markt vor, das eißt alle Güter werden geandelt, also alle produzierten Güter konsumiert. 3.1 Die Modelldynamik Wir geen zuerst auf die Dynamik des Konsumverlaufes ein und anscließend auf die Nutzenfunktion des Investors, um später eine partielle Differentialgleicung erzuleiten Die Dynamik des Konsumverlaufes Wir modellieren unseren Konsumverlauf wie folgt: dc t C t = (µ c + φ c X t dt + σ C Vt dw t. Wir erkennen, dass die erwartete Wacstumsrate des Komsumprozesses mit einer Gewictung φ c von einem stocastiscen Prozess X t und die Volatilität des Konsums mit einer Gewictung σ C von einem Prozess V t abängt. Der Zustandsverlauf X t ], + [ und die Volatilität V t [0, + [ sind wie folgt definiert: dx t = κ X X t dt + σ X (λ V t + 1 λdw t, dv t = κ V (V V t dt + σ V Vt dw t mit λ [0, 1]. κ x und κ v sind jeweils die Gescwindigkeiten der Mittelwertrückker (Mean Reversion Speed, X t zu Null und V t zu V. Des Weiteren können der Zustandsverlauf X t, der den Wolstandsverlauf der Ökonomie widerspiegelt, und die Volatilität V t Sprünge entalten, also ser starke 18

26 3.1 Die Modelldynamik Scwankungen aufweisen. Dann ergibt sic mit dem Modell von oben dc t C t = (µ c + φ c X t dt + σ C Vt dw t, dx t = κ X X t dt + σ X (λ V t + 1 λdw t + ξ x dn x t, dv t = κ V (V V t dt + σ V Vt dw t + ξ v dn v t. N x t und N v t sind Poisson Prozesse mit Intensitäten (l x,o + l x,1 V t und (l v,0 + l v,1 V t. Die Intensitäten sind also linear von der Volatilität abängig. Die Sprungöen sind ξ x und ξ v, wobei ξ x eine normalverteilte und ξ v eine exponentialverteilte Zufallsvariable ist. Zuletzt erweitern wir unseren Komsumverlauf durc einen weiteren Baum der Frücte abwirft ( Lucas orcard, siee ierfür auc [Mar09]. Es soll also C t = C 1,t + C 2,t gelten. nser Modell siet also wie folgt aus: C t = C 1,t + C 2,t, dc 1,t = (µ c1 + φ c1 X t dt + σ C1 Vt dw t, C 1,t dc 2,t = (µ c2 + φ c2 X t dt + σ C2 Vt dw t, C 2,t dx t = κ X X t dt + σ X (λ V t + 1 λdw t + ξ x dn x t, dv t = κ V (V V t dt + σ V Vt dw t + ξ v dn v t. In diesen stocastiscen Differentialgleicungen sind σ C1, σ C2, σ X und σ V Vektoren im R 4. Diese Volatilitätsvektoren geben an, wie stark C 1, C 2, X und V auf den vier-dimensionalen Wiener-Prozess reagieren. Im Folgenden sei σ C 1 = (σ 1, 0, 0, 0, σ C 2 = (0, σ 2, 0, 0, σ X = (0, 0, σ X, 0 und σ V = (0, 0, 0, σ V das eißt, die zwei Konsumprozesse C 1 und C 2 und die beiden Zustandsgrößen X und V sind alle unkorreliert Die Nutzenfunktion m die Präferenz des repräsentativen Investors für den vorliegenden Konsumprozess (C t t T zu messen, werden wir die von Epstein und Zin ([EZ89] entwickelte rekursive Nutzenfunktion (t = [(1 e βdt C 1 ρ t + e βdt E t ((t + dt 1 γ 1 ρ 1 γ ] 1 1 ρ (2 19

27 3.2 Wolstands-Konsum-Quotient verwenden. Hierbei ist γ > 0 die relative Risikoaversion, Ψ = 1 > 0 die ρ Elastizität der intertemporalen Substitution (elasticity of intertemporal substitution (EIS und β 0 ist die Zeitpräferenzrate (time preference rate (typisce Werte: γ [2; 10], Ψ [0.1; 2], β [0.0; 0.1]. Der Vorteil dieser Nutzenfunktion ist, dass die Elastizität der intertemporalen Substitution unabängig von der Risikoaversion ist. Genauer werden wir die Funktion J t = E t [ t f(c s, J s ds] (3 nutzen (für Details siee [BCDG10]. Hierbei bezeicnet f die aggregator function mit θ = 1 γ. 1 1 ψ f(c, J = βc 1 1 ψ (1 1 [(1 γj] βθj 1 1 θ ψ 3.2 Wolstands-Konsum-Quotient Da J(t + t 0 f(c s, J(sds ein Martingal ist (transversality condition: lim T E[J(T ] = 0 ist erfüllt eralten wir aus (3 nd wir setzen E[dJ t + f(c t, J t dt] = 0. (4 J t = C1 γ t 1 γ βθ I(s t, X t, V t θ, (5 wobei I(s t, X t, V t der Wolstands-Konsum-Quotient ist (siee [BCDG10]. Das Bestimmen dieses Quotienten wird der Hauptteil dieser Diplomarbeit sein. Hierfür werden wir (4 mit Hilfe von Ito s Lemma in eine partielle Differentialgleicung von I(s t, X t, V t (für s t siee (6 screiben. Wir screiben unser Modell nocmal auf C t = C 1,t + C 2,t, dc 1,t = (µ c1 + φ c1 X t dt + σ c1 dw t, C 1,t dc 2,t = (µ c2 + φ c2 X t dt + σ c2 dw t, C 2,t dx t = µ x dt + σ x dw t + ξ x dn x t, dv t = µ v dt + σ v dw t + ξ v dn v t, 20

28 3.2 Wolstands-Konsum-Quotient wobei wir σ C1 Vt = σ c1, σ C2 Vt = σ c2, κ X X t = µ x, σ X (λ V t +1 λ = σ x, κ V (V V t = µ v und σ V Vt = σ v gesetzt aben. Nun soll s t [0, 1] der Anteil des ersten Baums an den insgesamt produzierten Gütern sein, also Dann folgt via Ito mit s t = C 1,t C 1,t + C 2,t. (6 ds t = µ s dt + σ s dw t, µ s = s t (1 s t [µ c1 µ c2 + (φ c1 φ c2 X t s t σ c 1 σ c1 + (1 s t σ c 2 σ c2 + (2s t 1σ c 1 σ c2 ], σ s = s t (1 s t [σ c1 σ c2 ]. Weiter folgt für die Dynamik des ganzen Konsumverlaufs: mit dc t C t = µ c dt + σ c dw t, µ C = (s t µ c1 + (1 s t µ c2 + (s t φ c1 + (1 s t φ c2 X t, σ C = s t σ c1 + (1 s t σ c2. nd somit für c t = log(c t dc t = (µ c 1 2 σ2 c dt + σ c dw t. Diesen Konsumprozess (C t t T bewertet unser repräsentativer Investor mit der Nutzenfunktion (3, woraus wir (4 eralten, mit J t = C1 γ t 1 γ βθ I θ und Dann gilt f(c, J = βc 1 1 ψ (1 1 [(1 γj] βθj. 1 1 θ ψ E[dJ t + f(c t, J t dt] = 0 E[ dj t J + f(c t, J t dt ] = 0 J E[ d( C 1 γ t (1 γ βθ I θ + θ dt βθdt] = 0 J I βθ d( (1 γ E[ e(1 γln(ct+θln(i + θ dt βθdt] = 0. J I 21

29 3.2 Wolstands-Konsum-Quotient Wir wenden das Lemma von Ito an, wobei die Sprungprozesse separat berücksictigen ([dj] T otal = [dj] BB + [dj] Jump. Diese Aufteilung kann vorgenommen werden, da die Volatilität zwar die Aktie, aber die Aktie nict die Volatilität beeinflusst (siee auc [For11] oder [CT04] Kapitel 8.3.2: E [(1 γ[ dc C 1 2 γ (dc2 ] + θ( di C 2 I + 1 (θ 1(dI2 + θ(1 γ dc 2 I 2 C + θ dt βθdt I + J(s t, X t + ξ x, V t J(s t, X t, V t dnt x J(s t, X t, V t + J(s t, X t, V t + ξ v J(s t, X t, V t ] dnt v = 0. J(s t, X t, V t di I Hier ist zum Beispiel X t der Wert von X t vor dem Sprung. Wir recnen nun di, (di 2, dc (dc2 und aus, wobei wir Terme mit (dt 2 vernaclässigen und C C 2 (dw t 2 mit seinem Erwartungswert dt approximieren (siee Lemma Setzen wir dies ein und nutzen J t = C1 γ t 1 γ βθ I θ, eralten wir [ E (1 γ[(µ C dt σ C dw t 1 2 γσ Cσ C dt] + θ I [ Is (µ s dt + σ s dw t + I x (µ x dt + σ x dw t + I v (µ v dt + σ v dw t (I ssσs σ s dt + I xx σx σ x dt + I vv σv σ v dt + 2I sx σs σ x dt + 2I sv σs σ v dt + 2I xv σx σ v dt ] + 1 θ(θ 1 [ (I 2 2 I 2 s σs σ s + Ixσ 2 x σ x + Iv 2 σv σ v + 2I s I v σs σ v + 2I s I x σs σ x + 2I x I v σx σ v dt ] + θ(1 γ I [ σ C (I s σ s + I x σ x + I v σ v ] dt + θ dt βθdt I + I(s t, X t + ξ x, V t θ I(s t, X t, V t θ dn x I(s t, X t, V t θ t + I(s t, X t, V t + ξ v θ I(s t, X t, V t θ dn v I(s t, X t, V t θ t ] = 0. 22

30 3.2 Wolstands-Konsum-Quotient Abscließend recnen wir den Erwartungswert aus. Hierbei gilt = = = = E[(I(s t, X t + ξ x, V t θ I(s t, X t, V t θ dnt x ] ( E[I(s t, X t + ξ x, V t θ I(s t, X t, V t θ ] E[dNt x ] ( E[I(s t, X t + ξ x, V t θ ] E[I(s t, X t, V t θ ] (l x,o + l x,1 V t dt (E[I(s t, X t + ξ x, V t θ ] I(s t, X t, V t θ (l x,o + l x,1 V t dt ( + g(ξ x I(s t, X t + ξ x, V t θ dξ x I(s t, X t, V t (l θ x,o + l x,1 V t dt, wobei g(ξ x die Dictefunktion von ξ x ist. Weiter aben wir stillscweigend vorausgesetzt, dass die Sprünge unkorreliert zueinander sind und das Auftreten eines Sprunges unabängig von dessen Sprungöe ist. Die Recnung für den Sprung in V t ist analog mit (ξ v als Dictefunktion von ξ v. Wir eralten unsere partielle Differentialgleicung in I: (1 γ[µ C 1 2 γσ Cσ C ] (7 + θ I [ Is µ s + I x µ x + I v µ v I ssσ s σ s I xxσ x σ x I vvσ v σ v + I sx σ s σ x + I sv σ s σ v + I vx σ v σ x ] θ(θ 1 I 2 θ(1 γ I + (l x,0 + l x,1 V t + (l v,0 + l v,1 V t [ I 2 s σs σ s + Ixσ 2 x σ x + Iv 2 σv σ v ] + 2I s I x σs σ x + 2I s I v σs σ v + 2I x I v σx σ v [ σ C (I s σ s + I x σ x + I v σ v ] + θ I βθ + g(ξx I(s t, X t + ξ x, V t θ dξ x I(s t, X t, V t θ I(s t, X t, V t θ + (ξv I(s t, X t, V t + ξ v θ dξ v I(s t, X t, V t θ = 0. I(s t, X t, V t θ 23

31 3.3 Risikofreie Zinsrate und der Marktpreis des Risikos 3.3 Risikofreie Zinsrate und der Marktpreis des Risikos m die risikofreie Zinsrate und den Marktpreis für das Risiko zu bestimmen, benötigen wir den Pricing Kernel. Der Pricing Kernel in unserer Wirtscaft ist gegeben durc ([BCDG10] Seite 22: Π t = e βθt (1 θ t 0 I(su,Xu,Vu 1 du C γ t I(s t, X t, V t θ 1. Der Pricing Kernel spiegelt den Wert einer monetären Eineit im jeweiligen volkswirtscaftlicen Zustand wider ([Zai06] Seite 12. Die Drift des Pricing Kernels gibt uns den risikolosen Zins mit umgekerten Vorzeicen. Die Dynamik des Pricing Kernels bekommen wir wieder mit dem Lemma von Ito, wobei dπ = Π( βθ 1 θ dt I +Π( γc 1 dc +Π(θ 1I 1 di +Π 1 2 ( γ( γ 1C 2 (dc 2 +Π 1 2 (θ 1(θ 2I 2 (di 2 +Π( γ(θ 1C 1 I 1 dcdi ( I θ 1 (s t, X t + ξ x, V t +Π 1 I θ 1 (s t, X t, V t ( I θ 1 (s t, X t, V t + ξ v +Π 1 I θ 1 (s t, X t, V t gilt und wir anscließend ( dπ I θ 1 Π = µ (s t, X t + ξ x, V t Πdt + σ Π dw t + I θ 1 (s t, X t, V t ( I θ 1 (s t, X t, V t + ξ v + 1 dn I θ 1 t v, (s t, X t, V t dn x t dn v t 1 dnt x 24

32 3.3 Risikofreie Zinsrate und der Marktpreis des Risikos mit µ Π = βθ 1 θ + γ( µ C + 1 I 2 (γ + 1σ C σ C + θ 1 (I s µ s + I x µ x + I v µ v + 1 I 2 I ssσ s σ s I xxσ x σ x I vvσ v σ v +I sx σ s σ x + I sv σ s σ v + I xv σ x σ v + 1 (θ 1(θ 2 (I 2 2 I 2 s σs 2 + Ixσ 2 x 2 + Iv 2 σv 2 +2I s I x σ s σ x + 2I s I v σ s σ v + 2I x I v σ x σ v γ θ 1 σ C (I s σ s + I x σ x + I v σ v I und σ Π = γσ C + θ 1 (I s σ s + I x σ x + I v σ v I eralten. Die risikofreie Zinsrate ist dann wobei und E r t = [ dπ Π ] dt = µ Π (l x,0 + l x,1 V t J I θ 1 (X (l v,0 + l v,1 V t J I θ 1 (V, J I(X = J I(V = + g(ξx I(s t, X t + ξ x, V t dξ x I(s t, X t, V t I(s t, X t, V t + (ξv I(s t, X t, V t + ξ v dξ v I(s t, X t, V t I(s t, X t, V t ist. Diese Gleicung können wir mit der partiellen Differentialgleicung (7 (multipliziert mit θ 1 aus Kapitel 3.2 vereinfacen und eralten θ r t = β + 1 Ψ µ C 1 2 γ(1 + 1 Ψ σ Cσ C (θ 1 [ I 2 I 2 s σs σ s + Ixσ 2 x σ x + Iv 2 σv σ v ] +2I s I x σs σ x + 2I s I v σs σ v + 2I x I v σx σ v [ σ C (I s σ s + I x σ x + I v σ v ] (1 θ I ( θ 1 +(l x,0 + l x,1 V t J I θ (X J I θ 1 (X θ ( θ 1 +(l v,0 + l v,1 V t J I θ (V J I θ 1 (V. θ 25

33 3.4 Preis-Dividenden-Quotient Formulieren wir die Dynamik des Pricing Kernels mit r t, erkennen wir die Risikoprämien sowol für die Diffusion als auc für den Sprung: dπ Π = r tdt (γσ C θ 1 (I s σ s + I x σ x + I v σ v dw t ( I I θ 1 (s t, X t + ξ x, V t + 1 dn I θ 1 t x (l x,0 + l x,1 V t J I θ (Xdt (s t, X t, V t ( I θ 1 (s t, X t, V t + ξ v + 1 dn I θ 1 t v (l v,0 + l v,1 V t J I θ (V dt. (s t, X t, V t 3.4 Preis-Dividenden-Quotient Mit Hilfe des Pricing Kernels können wir nun die Preise von Wirtscaftsgütern, z.b. Aktien, mit versciedenen zukünftigen Dividenden berecnen. Die Dynamiken der Dividenden sind wie folgt modelliert: dd 1,t = (µ D1 + φ D1 X t dt + σ D1 Vt (ρ C1,D D 1 dw C1,t + 1,t dd 2,t = (µ D2 + φ D2 X t dt + σ D2 Vt (ρ C2,D D 2 dw C2,t + 2,t Also gilt für die log-dividende dδ 1,t =(µ D1 + φ D1 X t 1 2 σ2 D 1 V t dt + σ D1 Vt (ρ C1,D 1 dw C1,t + 1 ρ 2 C 1,D 1 dw D1,t, 1 ρ 2 C 2,D 2 dw D2,t. 1 ρ 2 C 1,D 1 dw D1,t, mit δ 1,t = log(d 1,t. Die Korrelationskoeffizienten ρ C1,D 1 bzw. ρ C2,D 2 bescreiben die Abängigkeit zum jeweiligen Konsumprozess. Der Preis eines Assets P (s t, X t, V t, D t berecnet sic mit der Standard Diskontierungsformel (siee auc [BCDG10] [ ] Π t P t = E t Π s D s ds. Da Π t P t + t 0 Π sd s ds ein Martingal ist, eralten wir genauso wie oben beim Wolstands-Konsum-Quotienten die Gleicung Daraus eralten wir E[d(Π t P t + Π t D t dt] = 0. 1 E[dΠP + dp Π + dπdp ] + ΠD = 0. dt t 26

34 3.4 Preis-Dividenden-Quotient Nun teilen wir durc D und Π und nutzen E[ dπ ] = rdt, weiter definieren Π wir den Preis-Dividenden-Quotient L(s t, X t, V t mit L := P und eralten D rl + L [ dl dt E L + dd D + dldd ] LD + L [ dπ ( dl dt E Π L + dd D + dldd ] + 1 = 0. LD Wenden wir das Lemma von Ito an, um die Dynamik von L zu eralten und setzen die Dynamik von Π ein, eralten wir eine partielle Differentialgleicung für L: rl + L s µ s + L x µ x + L v µ v ( (L ssσ s σ s + L xx σ x σ x + L vv σ v σ v + σ D (L s σ s + L x σ x + L v σ v + σ Π (L s σ s + L x σ x + L v σ v + Lσ D + Lµ D (l x,0 + l x,1 V t [ ( ] I θ 1 (s t, X t, V t E I θ 1 (s t, X t + ξ x, V t L(s t, X t + ξ x, V t L(s t, X t, V t + (l v,0 + l v,1 V t [ ( ] I θ 1 (s t, X t, V t E I θ 1 (s t, X t, V t + ξ v L(s t, X t, V t + ξ v L(s t, X t, V t = 0. Die Differentialgleicung ist also unabängig von einem Dividend-Sare, da man die Dividenden einzelnd bewertet und sie voneinander unkorreliert sind. µ D und σ D steen für den Drift bzw. für die Volatilität der zu bewertenden Dividende. Möcte man den Stream von D 1 bewerten, gilt σ D = σ D 1 = ( σ D1 Vt ρ C1,D 1, 0, 0, 0, σ D1 Vt 1 ρ 2 C 1,D 1, 0 und µ D = µ D1 + φ D1 X t. Hier sind wir wieder zur Vektorscreibweise übergegangen, wobei ier nun die Vektoren aus dem R 5 sind. Dementsprect gilt (W t = (W C1, W C2, W X, W V, W D1. Bewertet man den Konsum, setzt also D = C 1 + C 2, erkennt man, dass die partielle Differentialgleicung (8 natürlic auc von I gelöst wird und bestätigt, dass I der Wolstands-Konsum-Quotient ist. 27

35 4 Matematisce Analyse des Wolstands-Konsum-Quotienten 4 Matematisce Analyse des Wolstands-Konsum-Quotienten Wir wollen nun die im Kapitel 3 ergeleitete partielle Differentialgleicung für den Wolstands-Konsum-Quotienten genauer untersucen. Zuerst wollen wir ermitteln, ob sie elliptisc, parabolisc oder yperbolisc ist, um anscließend die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zu zeigen. 4.1 Allgemeine Strukturbetractung der PDGL m unsere partielle Differentialgleicung (7 einem Grundtyp zuzuordnen und den nictlinearen Anteil in einem Term zu bündeln, werden wir sie mit I(s t, X t, V t θ multiplizieren und setzen I(s t, X t, V t θ = u(s t, X t, V t. So eralten wir (1 γ[µ C 1 2 γσ Cσ C ]u + u s µ s + u x µ x + u v µ v u ssσ s σ s u xxσ x σ x u vvσ v σ v + u sx σ s σ x + u sv σ s σ v + u xv σ x σ v + (1 γσ C(u s σ s + u x σ x + u v σ v + θu 1 1 θ βθu + (l x,0 + l x,1 V t + (l v,0 + l v,1 V t + + wobei Folgendes zu beacten ist: u = I θ, u s = θi θ 1 I s, u x = θi θ 1 I x, u v = θi θ 1 I v, u ss = θi θ 1 [I ss + (θ 1 I2 s I ], u xx = θi θ 1 [I xx + (θ 1 I2 x I ], u vv = θi θ 1 [I vv + (θ 1 I2 v I ], g(ξ x u(s t, X t + ξ x, V t dξ x (l x,0 + l x,1 V t u (ξ v u(s t, X t, V t + ξ v dξ v (l v,0 + l v,1 V t u = 0, 28

36 4.1 Allgemeine Strukturbetractung der PDGL u sx = θi θ 1 [I sx + (θ 1 I si x I ], u xv = θi θ 1 [I xv + (θ 1 I xi v I ], u sv = θi θ 1 [I sv + (θ 1 I si v I ]. Nutzen wir aus, dass sowol die Volatilität σ s zu σ x und σ v, als auc σ C zu σ x und σ v unkorreliert ist (also z.b σ s σ x = 0, so aben wir nur noc (1 γ[µ C 1 2 γσ Cσ C ]u + u s µ s + u x µ x + u v µ v u ssσ s σ s u xxσ x σ x u vvσ v σ v + (1 γσ Cu s σ s + θu 1 1 θ βθu + (l x,0 + l x,1 V t + (l v,0 + l v,1 V t oder äquivalent + + g(ξ x u(s t, X t + ξ x, V t dξ x (l x,0 + l x,1 V t u (ξ v u(s t, X t, V t + ξ v dξ v (l v,0 + l v,1 V t u = (u ssσs σ s + u xx σx σ x + u vv σv σ v (9 + u s µ s + u x µ x + u v µ v + (1 γσcu s σ s [ + (1 γ[µ C 1 ] 2 γσ Cσ C ] βθ (l x,0 + l x,1 V t (l v,0 + l v,1 V t u + θu 1 1 θ + (l x,0 + l x,1 V t + (l v,0 + l v,1 V t + + g(ξ x u(s t, X t + ξ x, V t dξ x (ξ v u(s t, X t, V t + ξ v dξ v = 0. m das Aufscreiben zu erleictern soll (s t, X t, V t = (x 1, x 2, x 3 gelten und = {x R 3 : 0 x 1 1, x 2min x 2 x 2max, 0 x 3 x 3max }, wobei x 2min, x 2max und x 3max so gewält sind, dass für die Integrale + u(x 1, x 2 + ξ x, x 3 dξ x u(x 1, x 2 + ξ x, x 3 dξ x 29

37 4.1 Allgemeine Strukturbetractung der PDGL und + u(s t, X t, V t + ξ v dξ v u(x 1, x 2 + ξ x, x 3 dξ v gilt. Im weiteren Verlauf werden noc zusätzlice Bedingungen an folgen. Wir screiben die Gleicung (9 nun in der Form Es ist dann mit Lu =(L 0 + L 1 + L 2 u, 3 L 0 u = a ij (x 2 u(x + c(xu(x, x i x j i,j=1 Lu = F (u. (10 3 L 1 u = b i (x u(x + d(xu(x, x i=1 i L 2 u = (l x,0 + l x,1 x 3 g(ξ x u(x 1, x 2 + ξ x, x 3 dξ x (l v,0 + l v,1 x 3 (ξ v u(x 1, x 2, x 3 + ξ v dξ v, A(x = (a ij (x 3 i,j=1 = 1 x 2 1(1 x 1 2 x 3 (σ σ σ 2 X (λ x 3 + (1 λ 2 0, σ 2 V x 3 b 1 b(x = κ x x 2, κ v (V x 3 mit c(x = (1 γ(x 1 µ c1 + (1 x 1 µ c2 + (l x,0 + l x,1 x 3 + (l v,0 + l v,1 x 3, d(x = 1 2 γ(1 γ(x2 1x 3 σ (1 x 1 2 x 3 σ βθ (1 γ(x 1 φ c1 + (1 x 1 φ c2 x 2, b 1 = x 1 (1 x 1 [µ c1 µ c2 + (φ c1 φ c2 x 2 x 1 σ 2 1x 3 + (1 x 1 σ 2 2x 3 ] + (1 γ(x 2 1(1 x 1 x 3 σ 2 1 x 1 (1 x 1 2 x 3 σ 2 2 und F (u = θu 1 1 θ. 30

38 4.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für eine elliptisce PDGL Bemerkung Es sind a(x, b(x, c(x, d(x C (Ū und für θ 1 2 gilt F (u L2 ( u H 1 (. ( Beweis. F (u L 2 ( = θu 1 1 θ 2 dx falls 0 θu 1 1 θ 2 dx 1. Ist θu 1 1 θ 2 dx > 1, gilt 1 2 <, ( F (u L 2 ( = θu 1 1 θ dx θu 1 1 θ 2 dx θ 2 θ 2 u 2 2 θ dx <. } {{ } <, da H 1 ( L 6 ( (u 1 1 θ 2 dx Definition (elliptiscer Differentialoperator (i Der Differentialoperator n 2 u Lu = a ij (x + x i x j i,j=1 n i=1 b i (x u x i + (c(x + d(xu eißt elliptisc in x, falls alle n Eigenwerte der Matrix A(x das gleice Vorzeicen (±1 besitzen (d.. falls A(x positiv oder negativ definit ist. (ii Der Differentialoperator eißt elliptisc in Ω R, wenn er in allen x Ω elliptisc ist. Korollar Die Differentialgleicung (10 ist elliptisc. 4.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für eine elliptisce PDGL Nacdem wir gezeigt aben, dass wir eine elliptisce partielle Differentialgleicung zweiter Ordnung vorliegen aben, wollen wir die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung unter bestimmten Voraussetzungen zeigen. Dafür werden 31

39 4.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für eine elliptisce PDGL wir zunäcst unser Problem vereinfacen. nser Problem sei nun wie folgt: { Lu = f in (11 u = g auf. Hier ist unser f noc nict abängig von u. Weiter sei f L 2 (. m zu zeigen, dass ein u H 1 ( für das Problem (11 existiert, betracten wir das äquivalente Problem { Lũ = f in (12 ũ = 0 auf, wobei ũ = u w H 1 0(, f = f Lw H 1 ( und w aus der Spur von g ist (siee auc [Eva08] S Nun geen wir vor wie in [Bur08] Seite 58ff. und nemen an, dass a L ( und c L ( gilt. Weiter fordern wir für a eine gleicmässige untere Scranke und für c nur eine untere Scranke, d.. a(x α > 0, c(x 0 für fast alle x. (13 Wir erlauben aber ein negatives d. Zusätzlic sollen alle Koeffizienten bescränkt sein. Da die Koeffizienten nac der Bemerkung aus C (Ū sind, reict es aus die Scranken zu überprüfen. Gilt im Folgenden, dass x 1 {x 1 R : 0 < x 1min x 1 x 1max < 1} und zusätzlic noc x 3 {x 3 R : 0 < x 3min x 3 x 3max }, finden wir eine gleicmäßige untere Scranke für a(x. Sind γ 1 und µ c1, µ c2, (l x,0 +l x,1 x 3, (l v,0 +l v,1 x 3 0, so gilt auc c(x 0. Da alle Koeffizienten stetige Funktionen auf einem kompakten Gebiet sind, sind sie auc durc ir Minimum und Maximum bescränkt. Wir wollen nun die Sictweise einer Operatorgleicung übernemen und definieren wie in [Bur08] auf Seite 59 die Operatoren (ier ist I die Eineitsmatrix L 0 = L 0, L 1 = I L 2 H 1L 1, L 2 = I L 2 H 1L 2, 32

40 4.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für eine elliptisce PDGL wobei für L 0, L 1 und L 2 gilt: L 0 : H 1 0( H 1 (, u 3 2 u a ij (x + c(xu, x i x j i,j=1 3 L 1 : H0( 1 L 2 (, u b i (x u + d(xu, x i=1 i L 2 : H0( 1 L 2 (, u (l x,0 + l x,1 x 3 g(ξ x u(x 1, x 2 + ξ x, x 3 dξ x (l v,0 + l v,1 x 3 (ξ v u(x 1, x 2, x 3 + ξ v dξ v. L i operiert für i = {0, 1, 2} wie folgt: L i : H 1 0( H 1 (. Die Differentialgleicung (12 können wir auc als L 0 ũ + L 1 ũ + L 2 ũ = f (14 screiben. Mit dem nacfolgenden Satz zeigen wir, dass L 0 ũ = f eine eindeutige Lösung at. Satz (vergleice [Bur08] Satz Seien die Funktionen a L ( und c L (, so dass sie (13 erfüllen. Sei f H 1 (. Dann existiert ein eindeutiger Minimierer ũ H0( 1 des Energiefunktionals Ẽ = 1 (a(x ũ 2 + c(x ũ 2 dx 2 f, ũ, der als eindeutige Lösung der Variationsgleicung (a ũ ϕ + cũϕdx = f, ϕ ϕ H0( 1 carakterisiert ist. Beweis. Siee Beweis von Satz 3.18 in [Bur08]. Also wissen wir, dass L 0 stetig invertierbar ist und können (14 screiben als ũ + 1 L 0 L 1 ũ + 1 L 0 L 2 ũ = L 1 0 f. (15 33

41 4.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für eine elliptisce PDGL Wir aben nun ein System der Form (I + Kũ = g (16 1 zu lösen, mit g = L 0 f H0( 1 1 und K = L 0 ( L 1 + L 2 : H0( 1 H0(. 1 L 1 und L 2 sind stetige lineare Operatoren und L 2 H 1 ist eine kompakte Einbettung, somit sind, mit der unten steenden Definition und dem unten steenden Lemma 4.2.3, L 1 und L 2 kompakte Operatoren. Definition (Kompakte Abbildung, [Wer07] Definition IV Seien X und Y normierte Räume, M X sowie F : M Y ein Abbildung. Dann eißt F eine kompakte Abbildung, wenn F stetig ist und bescränkte Teilmengen von M auf relativkompakte Teilmengn von Y abbildet. Lemma (vgl. Lemma 8.3 in [Alt06] Seien A : X Y und B : Y Z stetige Abbildungen, dann gilt: A oder B kompakt BA kompakt. Beweis. Siee Beweis zu Lemma 8.3 in [Alt06]. Ferner impliziert die Kompakteit von L 1 und L 2 die Kompakteit von K. Diese ser spezielle Form von (16 nennt man kompakte Störung der Identität. Für solce Operatoren gilt der Satz von Riesz-Scauder (siee [Wer07] Satz VI.2.1, aus dem wir den näcsten Satz folgern. Satz Sei K ein kompakter Operator auf einem Hilbertraum. Der Operator I+K ist genau dann surjektiv, wenn er injektiv ist. Mit anderen Worten, genügt es die Eindeutigkeit des omogenen Problems (I + Kũ = 0 zu überprüfen, um scon die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für eine beliebige recte Seite zu eralten. Beweis. Siee allgemeinen Beweis in [Wer07] von Satz VI.2.1 m die Eindeutigkeit einer scwacen Lösung ũ H0( 1 zu zeigen, multiplizieren wir unser Problem (12 (omogene Variante, f = 0 mit ϕ und integrieren partiell. So eralten wir die scwace Formulierung ( 3 a ij (x ũ ϕ + x i,j=1 i x j (l x,0 + l x,1 x 3 ϕ (l v,0 + l v,1 x 3 ϕ 3 i=1 b i (x ũ x i ϕ + (c(x + d(xũϕ (17 g(ξ x ũ(x 1, x 2 + ξ x, x 3 dξ x (ξ v ũ(x 1, x 2, x 3 + ξ v dξ v dx = 0 ϕ H 1 0(. 34

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