Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II. Gliederung. Teil 2: Strukturgleichungsmodelle. Wintersemester 2012/13

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II. Gliederung. Teil 2: Strukturgleichungsmodelle. Wintersemester 2012/13"

Transkript

1 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Gliederung Wintersemester 2012/13 Ingo Klein Teil 1: Ökonometrie interdependenter Systeme Teil 2: Strukturgleichungsmodelle (inkl. PLS-Pfadanalyse) Teil 3: Copulamodelle Teil 4: Kausalität im Vergleich (inkl. VAR und Granger-Kausalität) Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 1 Teil 1: Ökonometrie interdependenter Systeme Teil 2: Strukturgleichungsmodelle Endogenität, Instrumentvariablen, GMM (Verbeek, Chapter 5) Systeme von Regressionsgleichungen (Greene, Chapter 14) Interdependente Systeme von Regressionsgleichungen (Greene, Chapter 15) Literatur: Verbeek, M. (2001). A Guide to Modern Econometrics. Wiley, New York. Greene, W.H. (2003). Econometric Analysis. Prentice Hall, Upper Saddle River, 5. Auflage. Fox, J. (2008). An Introduction to Structural Equation Modeling. Software: R packages systemfit und sem Pfadanalyse (Schlittgen, Kapitel 16) Faktorenanalyse (Schlittgen, Kapitel 17) LISREL (Schlittgen, Kapitel 18, Fahrmeir et al., Kapitel 8) Partial Least Squares (Schlittgen, Kapitel 19) Literatur: Fahrmeir, L., Hamerle, A., Tutz, G. (1996). Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter-Verlag. Schlittgen, R. (2009). Multivariate Statistik. Oldenbourg-Verlag. Fox, J. (2008). An Introduction to Structural Equation Modeling. Software: R packages sem und lavaan Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 2 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 3

2 Teil 3: Copulamodelle Endogenität, Instrumentvariablen und GMM Familie elliptischer Verteilungen Copulamodelle Anwendung von Copulamodellen (z.b. Risikomodellierung) Literatur: Klein, I. (2003). Rüschendorf-Copulas. Diskussionspapier des Lehrstuhls für Statistik und Ökonometrie. Nr. 56. Embrechts, Embrechts, P.; Frey, R.; McNeil, A.J. (2005) Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools. Princeton Univ. Press. Software: R packages copula Fälle, in denen der OLS-Schätzer nicht zu retten ist Instrumentvariablenschätzung (IV) Fallstudie: Returns to Schooling Verallgemeinerte Instrumentvariablenschätzung (GIVE) Generalized Methods of Moments (GMM) Fallstudie: Intertemporales Asset Pricing Modell Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 4 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 5 Fälle, in denen der OLS-Schätzer nicht zu retten ist Autokorrelation und verzögert abhängige Variable E(ε t x t ) = 0 ist eine notwendige Bedingung für die Unverzerrtheit und Konsistenz des OLS-Schätzers. Modell: y t = β 1 + β 2 x t + β 3 y t 1 + ε t. E(ε t x t ) = 0 heißt, dass Störterm und erklärende Variablen nicht kontemporär korreliert sind. Statistische und ökonomische Gründe, warum Störterm und erklärende Variablen kontemporär korreliert sein können, sind z.b. 1. Autokorrelation und verzögert abhängige Variable, 2. Messfehler in den Regressoren, 3. Simultanität oder Endogenität der Regressoren. Wenn E(ε t x t ) = E(ε t y t 1 ) = 0 sind, ist der OLS-Schätzer konsistent. Autokorrelation 1. Ordnung für den Störterm: ε t = ρε t 1 + v t mit v t IID(0, σv) 2 führt zu y t = β 1 + β 2 x t + β 3 y t 1 + ρε t 1 + v t. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 6 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 7

3 Wegen y t 1 = β 1 + β 2 x t 1 + β 3 y t 2 + ε t 1 sind y t 1 und ε t 1 und damit y t 1 und ε t korreliert. D.h.: Für ρ 0 ist der OLS-Schätzer verzerrt und inkonsistent. Alternative Argumentation: Bei Autokorrelation 1. Ordnung gilt E(y t x t, y t 1 ) = β 1 + β 2 x t + β 3 y t 1 + E(ε t x t, y t 1 ). Da OLS immer dann konsistent ist, wenn ein bedingter Erwartungswert zu schätzen ist und b 1 + b 2 x t + b 3 y t 1 kein Schätzer von E(y t x t, y t 1 ) ist, folgt notwendig die Inkonsistenz des OLS-Schätzers. Modell: mit der Messfehlergleichung Messfehler y t = β 1 + β 2 w t + v t x t = w t + u t, wobei x t der beobachtete und w t der wahre Wert des Regressors ist. Annahmen: 1. u t IID(0, σ 2 u), 2. u t, v t sind stochastisch unabhängig, 3. u t und w t sind stochastisch unabhängig. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 8 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 9 Eingesetzt ist y t = β 1 + β 2 x t β 2 u t + v t = β 1 + β 2 x t + ε t, so dass x t und ε t via u t korreliert sind und damit der der OLS-Schätzer inkonsistent ist. Beachte: Wenn β 2 > 0 ist, sind x t und ε t wegen ε t = v t β 2 u t negativ korreliert. Direkter Nachweis der Inkonsistenz des OLS-Schätzers für β 2 : b 2 = Für y t eingesetzt ergibt sich T t=1 (x t x)(y t y) T t=1 (x t x) 2. b 2 = β 2 + (1/T ) T t=1 (x t x)(ε t ε) (1/T ) T t=1 (x, t x) 2 so dass plim b 2 = β 2 + plim(1/t T t=1 (x t x)(ε t ε)) plim(1/t T t=1 (x = β 2 + E(x tε t ) t x) 2 ) V (x t ). Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 10 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 11

4 Mit und ist E(x t ε t ) = E((w t + u t )(v t β 2 u t )) = β 2 σ 2 u V (x t ) = σ 2 w + σ 2 u ( ) plim b 2 = β 2 1 σ2 u σw 2 + σu 2. wegen und b 1 = y b 2 x β 1 = E(y t β 2 x t ). Wiederum korrespondiert das interessierende Modell nicht mit dem bedingten Erwartungswert, da D.h. b 2 ist konsistent, falls σ 2 u = 0 ist, womit kein Messfehler vorliegt. b 2 ist asymptotisch in Richtung 0 verzerrt. Die Verzerrung ist umso größer, je größer das noise-to-signal - Verhältnis σ 2 u/σ 2 w ist. E(y t x t ) = β 1 + β 2 x t β 2 E(u t x t ). Beachte: Auch der OLS-Schätzer für b 1 ist inkonsistent, da plim(b 1 β 1 ) = plim(b 2 β 2 )E(x t ) Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 12 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 13 Simultanität im Keynesianischen Modell Reduzierte Form: Simultanes makroökonomisches Gleichungssystem in struktureller Form: Konsumgleichung: C t = β 1 + β 2 Y t + ε t. Identität für die Einkommensgleichung Y t = C t + I t. Damit ist C t = β 1 + β 2 (C t + I t ) + ε t = β 1 + β 2 I t + 1 ε t, 1 β 2 1 β 2 1 β 2 Y t = β I t + 1 ε t. 1 β 2 1 β 2 1 β 2 cov(y t, ε t ) = 1 1 β 2 cov(i t, ε t ) β 2 V (ε t ) = σ2 1 β 2 0. Annahme: I t und ε t stochastisch unabhängig, d.h. I t ist exogen. Problem: Y t und ε t sind korreliert. Wiederum gilt plim b 2 = β 2 + cov(y t, ε t ), V (Y t ) Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 14 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 15

5 wobei so dass V (Y t ) = 1 (1 β 2 ) 2(V (I t) + σ 2 ), σ 2 plim b 2 = β 2 + (1 β 2 ) V (I t ) + σ 2. D.h. wenn 0 < β 2 < 1 und σ 2 > 0 überschätzt der OLS-Schätzer die wahre marginale Konsumneigung β 2. Vorbemerkungen Instrumentvariablenschätzer Schätzung mit einem einzigen endogenen Regressor und einem Instrument Zurück zum Keynesianischen Modell Zurück zum Messfehlerproblem Multiple endogene Regressoren Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 16 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 17 Vorbemerkungen Aufgabe: Lösung der Inkonsistenz der OLS-Schätzung durch Modifikation der Schätzmethode. Spezialfall: y i = x i1β 1 + x i2 β 2 + ε i. Notwendig für die Konsistenz des OLS-Schätzers: E(ε i x i1 ) = 0 und E(ε i x i2 ) = 0. Endogenitätsproblem:..., when we interpret the model as a conditional expectation, then ceteris paribus condition only refers to the included variables, while for a causal interpretation it also includes the observables (omitted variables) in the error term. Definition: x 2i heißt endogen, wenn E(ε i x 2i ) 0. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 18 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 19

6 Schätzung mit einem einzigen endogenen Regressor und einem Instrument Dies sind die zu E(ε i x 1i ) = 0 und E(ε i x 2i ) = 0. Wenn E(ε i x 2i ) = E((y i x 1iβ 1 x 2i β 2 )x 2i ) 0, suche sog. Instrumentvariablen z 2i mit E(ε i z 2i ) = E((y i x 1iβ 1 x 2i β 2 )z 2i ) = 0. Der OLS-Schätzer ist Lösung von 1 N 1 N N (y i x 1ib 1 x 2i b 2 )x 1i = 0 i=1 N (y i x 1ib 1 x 2i b 2 )x 2i = 0. i=1 korrespondierenden Bedingungen für die Stichprobenmomente. Der Instrumentvariablenschätzer ergibt sich als Lösung von was zu gehört. 1 N 1 N N (y i x ˆβ 1i 1,IV x 2i ˆβ2,IV )x 1i = 0 i=1 N (y i x ˆβ 1i 1,IV x 2i ˆβ2,IV )z 2i = 0, i=1 E(ε i x 1i ) = 0 und E(ε i z 2i ) = 0 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 20 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 21 Die Auflösung nach ˆβ IV = ( ˆβ 1,IV, ˆβ 2,IV ) ergibt ( N ) 1 N ˆβ IV = z i x i z i y i i=1 i=1 mit x i = (x 1i, x 2i) und z i = (x 1i, z 2i). In Matrixschreibweise ist ˆβ IV = (Z X) 1 Z y. Unter der Bedingung E(ε i z i ) = 0 und mit Σ zx plim 1 N N z i x i i=1 finite und invertierbare (K K)-Matrix, ist der Instrumentvariablenschätzer konsistent. Dies setzt voraus, dass die Instrumente z i korreliert mit x i sind. z 2i darf jedoch nicht Linearkombination von x 1i sein. Asymptotische Normalverteilung des Instrumentvariablenschätzers ergibt sich für ε i IID(0, σ 2 ), ε i, z i stochastisch unabhängig und Σ zz = plim 1 N N z i z i. i=1 symmetrische, invertierbare (K K)-Matrix als ˆβ IV approx N (β, 1 N σ2 (Σ zxσ 1 zz Σ zx ) 1 ). Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 22 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 23

7 In endlichen Stichproben lassen sich mit ( N ) ( ˆV ( ˆβ N ) 1 ( i) N IV ) = ˆσ 2 x i z i z i z i z i x V ( ˆβ IV ) und mit σ 2 konsistent schätzen. i=1 ˆσ 2 = 1 N i=1 N (y i x ˆβ i IV ) 2 i=1 Problem der Wahl der Instrumente: Bedingung E(ε i z i ) = 0 dient der Identifikation des bedingten Erwartungswertes und ist nicht mittels Daten testbar. i=1 1 Zurück zum Keynesianischen Modell Lösung des Problems der Instrumentenwahl: Jede exogene Variable des Gleichungssystems, die nicht in der interessierenden Gleichung enthalten ist, kann als Instrument benutzt werden. Beispiel des Keynesianischen Modells: C t = β 1 + β 2 Y t + ε t Y t = C t + I t. D.h. I t ist als Instrument geeignet. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 24 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 25 Instrumentvariablenschätzer für β = (β 1, β 2 ) : D.h. ( T ( 1 ˆβ IV = It t=1 ) ) 1 T (1, Y t ) t=1 ( 1 It T t=1 ˆβ 2,IV = (I t I)(C t C) T t=1 (I t I)(Y t Y ) Wegen cov(c t, I t ) = β 2 cov(y t, I t ) + cov(ε t, I t ) und der Annahme der Exogenität E(ε t I t ) = 0 folgt ) C t. Modell: Zurück zum Problem des Messfehlers y t = β 1 + β 2 x t + ε t mit ε t = v t β 2 u t. Beachte: Instrument muss mit x t korrelieren, darf aber nicht mit u t und v t und damit nicht mit ε t korrelieren. Fazit: Mainly due to the problem of finding suitable instruments, the problem of measurement errors is often ignored in empirical work. β 2 = cov(c t, I t ) cov(y t, I t ), so dass ˆβ 2,IV das Stichprobenäquivalent von β 2 unter der Annahme E(ε t I t ) = 0 ist. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 26 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 27

8 Multiple endogene Regressoren Fallstudie: Returns to Schooling Anzahl der im Gleichungssystem vorhandenen exogenen Variablen (potentielle Instrumente) bestimmt die Zahl der endogenen Regressoren. Ist die Zahl der exogenen größer als die Zahl der endogenen Regressoren, so stehen alternative Instrumente zur Auswahl. In diesem Fall können aber auch alle Instrumente gemeinsam verwendet werden (siehe verallgemeinerter Instrumentvariablenschätzer). Offensichtlich verdienen Personen mit mehr Ausbildung im Durchschnitt auch mehr Geld. Unklar ist aber die Kausalitätsrichtung: Verdienen sie mehr Geld wegen der Ausbildung oder haben Personen, mit dem Potential für einen höheren Lohn, einen Hang zu längerer Ausbildung? Wenn die zweite Kausalrichtung richtig ist, misst der OLS-Schätzwert für den Einfluß der Ausbildung auf die Entlohnung nur unbeobachtete Merkmale der arbeitenden Personen, so dass sich ein exogener Schock auf die Ausbildungsdauer nicht auf den Lohn auswirkt. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 28 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 29 Human capital earning s function : Spezifikation: mit w i = β 1 + β 2 S i + β 3 E i + β 4 E 2 i + ε i w i : logarithmierter individueller Lohn, S i : Anzahl der Schuljahre, E i : Anzahl an Jahren der Berufserfahrung. Da die aktuelle Berufserfahrung nicht bekannt ist, wird manchmal die potentielle Berufserfahrung age i S i 6 betrachtet. Zusätzlich werden noch Variablen wie Region, Geschlecht etc. aufgenommen, für die man kontrollieren möchte. Schließlich darf der Einfluß Schulausbildung von Individuum zu Individuum schwanken. w i = z iβ + γ i S i + u i = z iβ + γs i + u i + (γ i γ)s } {{ } i, ε i wobei z i alle Regressoren außer der Ausbildungsdauer S i umfaßt. Annahme: E(ε i z i ) = 0. γ gibt c.p. den durchschnittlichen Ertrag eines zusätzlichen Ausbildungsjahres an. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 30 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 31

9 Modell der reduzierten Form für S i : mit E(v i z i ) = 0. S i = z iπ + v i Beachte: Dieses Modell stellt lediglich eine lineare Approximation von S i durch eine Linearkombination der in z i enthaltenen Variablen dar und muss keine ökonomische Interpretation besitzen. Konsistente OLS-Schätzung von β und γ ist nur dann möglich, wenn E(ε i S i ) = 0 ist. Dies führt aber E(ε i v i ) = 0 nach sich. In diesem Fall gibt es keine unbeobachteten Merkmale, die gemeinsam die Schulwahl (d.h. die Schuldauer) und die späteren Verdienste beeinflussen. Gründe, warum ε i und v i korreliert sein können: 1. Ability bias : Wenn Personen über eine allgemeine unbeobachtete Disposition verfügen, sowohl länger zur Schule zu gehen als auch höhere Einkommen zu verdienen, so sind ε i und v i positiv korreliert und der OLS-Schätzer für γ nach oben verzerrt. 2. ε i und v i können aufgrund von Messfehlern in S i negativ korreliert sein, was zu einer Verzerrung nach unten führt. 3. Wenn γ i (individueller c.p.-effekt der Schulbildung auf das individuelle Einkommen) höher ist für Personen mit niedrigem Niveau der Schulbildung, dann ist (γ i γ)s i negativ korreliert mit S i und der OLS-Schätzer wiederum negativ verzerrt. Problem: Da alle verfügbaren Variablen in z i enthalten sind, ist kein Instrument für S i verfügbar. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 32 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 33 Problem: Es stehen mit E(ε i z i ) = E((w i z iβ γs i )z i ) = 0 eine Momentenbedingungen weniger zur Identifikation von β und γ zur Verfügung als Parameter zu schätzen sind. Mögliche Lösung: Wenn z i mindestens eine Variable z 2i enthält, die Ausbildung aber nicht die Löhne beeinflußt, kann diese aus z i als Regressor herausgenommen und als Instrument für S i verwendet werden. Die Anzahl der Momentenbedingungen ändert sich dadurch nicht, aber die Anzahl der zu schätzenden Parameter verringert sich um 1. Problem in der Arbeitsökonomie: Welche Variable kann als Instrument verwendet werden? Ideen: 1. Als Instrument kann eine Variable dienen, die die Kosten der Ausbildung, aber nicht den potentiellen Verdienst betrifft. Card (1995) verwendet als Instrument die Tatsache, dass sich eine High School in unmittelbarer Nähe befindet. 2. Eine andere Variable bezieht sich auf den familiären Hintergrund wie das Ausbildungsniveau der Eltern. 3. Institutionelle Faktoren des Schulsystems können auch als Instrument in Frage kommen. 4. Angrist & Krueger (1991) haben festgestellt, dass das Quartal, in dem die Individuen geboren wurden, einen Einfluß auf das Ausbildungsniveau besitzt. Früh im Jahr geborene Personen neigen zu geringerer Schuldauer. Das Geburtsquartal könnte als Instrument verwendet werden. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 34 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 35

10 Datensatz: 3010 Männer des US National Longitudinal Survey of Young Men. Spezifikum: Paneldatensatz, in dem seit 1966 eine Gruppe von Personen im Alter von 14 bis 24 Jahre über eine Reihe von Jahren regelmäßig befragt wurde. Hier wird die Welle des Jahres 1976 verwendet. smsa = 1: Großstadt, south = 1: Süden der USA, lived near college = 1: Wohnort nahe College. Deskriptive Charakteristiken: Durchschnittliche Schuldauer: ca. 13 Jahre, Maximale Schuldauer: 18 Jahre, Durchschnittliche Berufserfahrung: 8.86 Jahre (Personen sind zwischen 24 und 34 Jahre alt), Durchschnittlicher Stundenlohn: 5.77 USD. Zusätzliche Variablen: age: Lebensalter, black = 1: schwarze Hautfarbe, Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 36 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 37 Ergebnisse einer OLS-Schätzung der Einkommensfunktion: Abhängige Variable: log(wage) Variable Schätzwert Standardfehler t-wert Konstante schooling exper exper black smsa south s = 0.374, R 2 = , R 2 = , F = Problem der OLS-Schätzung: Per Konstruktion 3 endogene Regressoren: schooling, exper, exper 2. Alter ist als exogen anzusehen, so dass age und age 2 als Instrumente für exper und exper 2 dienen können. Vorschlag für Instrument für schooling: lived near college. Wenn lived near college ein geeignetes Instrument sein soll, muss diese Variable mit der Variablen schooling (gegeben die anderen exogenen Variablen) gut korrelieren. Überprüfung durch Schätzung der reduzierten Form für die Variable schooling. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 38 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 39

11 Ergebnisse einer OLS-Schätzung der reduzierten Form für die Variable schooling: Abhängige Variable: schooling Variable Schätzwert Standardfehler t-wert Konstante age age black smsa south lived near college s = , R 2 = , R 2 = , F = Fazit: Das Instrument hat ein signifikanten Einfluß. D.h. c.p. hat eine Person, die in der Nähe eines College lebt, im Durchschnitt eine um 0.35 Jahre längere Ausbildungsdauer. Problem des Tests, ob das Instrument keine Linearkombination der anderen Modellvariablen ist, läßt sich nicht lösen, da eine Bedingung dafür ist, dass es unkorreliert mit dem Störterm der Lohngleichung ist. Dann wären aber β und γ mit OLS konsistent schätzbar. Lösung: Da es keinen formalen Test für ein Instrument gibt, wird auf ökonomische statt statistische Gründe vertraut. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 40 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 41 Instrumentvariablenschätzung der Lohngleichung: Abhängige Variable: log(wage) Variable Schätzwert Standardfehler t-wert Konstante schooling exper exper black smsa south Instrumente: age, age 2, lived near college für: exper, exper 2, schooling Interpretation der Schätzergebnisse: 1. Die erwarteten Erträge der Schulbildung sind c.p. 13%. Der Standardfehler der Schätzung ist allerdings relativ groß (verglichen mit der OLS-Schätzung) und der t-wert nicht allzu deutlich über den Signifikanzschranken. 2. Ursache für die hohen Standardfehler ist, dass die Instrumente mit dem endogenen Regressor wage relativ schwach korrelieren. Dies zeigt sich auch am niedrigen R 2 von der OLS-Schätzung der reduzierten Form. 3. Der IV-Schätzer ist im allg. weniger effizient als der OLS-Schätzer; dafür ist dieser u.u. verzerrt und inkonsistent, womit die Varianz als Effizienzmaß unbrauchbar wird. 4. Für die IV-Schätzung wurde kein Wert für das Bestimmtheitsmaß ausgewiesen. Wenn nicht OLS geschätzt wird, ist der Nutzen des Bestimmtheitsmaßes fragwürdig. Die IV-Schätzung hat ohnehin nicht das Ziel einer guten Anpassung. Das Ziel ist die Konsistenz der Schätzung. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 42 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 43

12 5. Die Brauchbarkeit der Instrumente (speziell: lived near college) ist diskussionswürdig. So können sich Familien, die eine höhere Schulbildung für ihre Kinder anstreben, bewusst für einen Wohnort in der Nähe eines College entscheiden. 6. Der IV-Schätzwert für schooling ist deutlich größer als der OLS- Schätzwert. Diese Unterschätzung durch OLS steht im Widerspruch zum ability bias, ist aber konform mit der Messfehlerhypothese und der Heterogenität der individuellen Ausbildungseffekte. Verallgemeinerte Instrumentvariablenschätzung (GIVE) Ausgangspunkt: Multiple endogene Regressoren mit einer beliebigen Zahl von Instrumenten. D.h. K Regressoren und R Instrumente. Fallunterscheidung: 1. K = R: Exakte Identifikation. Instrumentvariablenschätzer: ˆβ IV = (Z X) 1 Z y. 2. K < R: Überidentifikation. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 44 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 45 Es existieren mehr Bestimmungsgleichungen: 1 N N (y i x iβ)z i = 0 i=1 als Parameter. Statt auf Bestimmungsgleichungen zu verzichten, wird für alle Instrumente ( ) ( 1 N N ) Q N (β) = (y i x N iβ)z i W N (y i x iβ)z i minimiert. i=1 i=1 Beachte: W N ist eine positiv definite symmetrische Gewichtungsmatrix, die den R Momentengleichungen unterschiedliches Gewicht zu geben erlaubt. In Matrixschreibweise ist ( ) ( ) 1 1 Q N (β) = N Z (y Xβ) W N N Z (y Xβ). Differentiation bezüglich β führt zur Optimierungsbedingung erster Ordnung 2X ZW N Z y + 2X ZW N Z X ˆβ GIV = 0, was zu dem System von K Gleichungen mit K Unbekannten führt. X ZW N Z y = X ZW N Z X ˆβ GIV Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 46 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 47

13 Der verallgemeinerte Instrumentvariablenschätzer lautet dann ˆβ GIV = (X ZW N Z X) 1 X ZW N Z y. Spezialfall: Für R = K ist X Z invertierbar, so dass sich wegen ˆβ GIV = (Z X) 1 W 1 N (X Z) 1 X ZW N Z y = (Z X) 1 Z y der einfache Instrumentvariablenschätzer ergibt. Die Gewichtungsmatrix entfällt. Optimale Wahl der Gewichtsmatrix W N (informell): Unterschiedliche Gewichtsmatrizen W N liefern unterschiedliche konsistente Schätzer für β mit unterschiedlichen asymptotischen Kovarianzmatrizen. Es liegt nahe, die optimale Gewichtungsmatrix W N so zu wählen, dass der zugehörige Instrumentvariablenschätzer asymptotisch effizient ist. Es läßt sich zeigen, dass die optimale Gewichtungsmatrix proportional zur Inversen der Kovarianzmatrix der Stichprobenmomente ist. Intuitiv liefern damit Stichprobenmomente mit kleiner Varianz genauere Information über β und erhalten damit bei der Schätzung ein größeres Gewicht. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 48 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 49 Formelle Betrachtung: Die Kovarianzmatrix der Stichprobenmomente 1 N N ε i z i i=1 hängt von den Annahmen über ε i und z i ab. Wenn ε i IID(0, σ 2 ) und unabhängig von z i ist, ist die asymptotische Kovarianzmatrix der Stichprobenmomente durch σ 2 Σ zz = σ 2 plim 1 N N z i z i i=1 Damit ist die optimale Gewichtungsmatrix durch W opt N = ( 1 N 1 N z i z i) = i=1 ( ) 1 1 N Z Z gegeben, womit der Instrumentvariablenschätzer zum verallgemeinerten Instrumentvariablenschätzer bzw. zu dem sog. zweistufigen Kleinstquadratschätzer (2SLS) wird. ˆβ GIV = (X Z(Z Z) 1 Z X) 1 X Z(Z Z) 1 Z y Beachte: Im Falle von Heteroskedastie und/oder Autokorrelation muss die optimale Gewichtungsmatrix angepaßt werden. gegeben. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 50 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 51

14 Die Grenzverteilung von ˆβ GIV ist unter schwachen Voraussetzungen durch N( ˆβGIV β) N (0, σ 2 (Σ xz Σ 1 zz Σ zx ) 1 ) gegeben. Beachte: Dieser Ausdruck ist identisch mit dem für den einfachen Instrumentvariablenschätzer. Lediglich die Dimension der Matrizen sind unterschiedlich, da mehr Instrumente als zur Identifikation benötigt eingesetzt werden können. Als geschätzte asymptotische Kovarianzmatrix kann ˆV ( ˆβ GIV ) = ˆσ 2 (X Z(Z Z) 1 Z X) 1 verwendet werden, wobei ˆσ 2 mittels der Regressionsfehler der Instrumentvariablenschätzung durch ˆε i = y i x i ˆβ GIV ˆσ 2 = 1 N konsistent geschätzt werden kann. N i=1 ˆε 2 i Beachte: Voraussetzung für diese asymptotischen Eigenschaften ist die korrekte Spezifikation der Momentenbedingungen. Gesucht wird deshalb ein Test, ob die Daten mit den Momentenbedingungen verträglich sind. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 52 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 53 Im exakt identifizierten Fall muss per Konstruktion 1 N N ˆε i z i = 0 i=1 sein, so dass nichts über die Verträglichkeit der Daten mit der zugehörigen Momentenrestriktion ausgesagt werden kann. Fazit: Im exakt identifizierten Fall kann es keinen Test auf die Gültigkeit der Momentenrestriktionen geben. Overidentifying Restrictions Test : Im Fall K < R gibt es mehr Momentenbedingungen als zur Schätzung benötigt werden (Fall der Überidentifikation). Zur Schätzung von K Parametern ist lediglich nötig, dass K von R Elemente von N i=1 ˆε iz i gleich 0 sind. Wenn aber sämtliche Momentenbedingungen in der Grundgesamtheit gültig sind, müssen aber alle R Elemente von 1/N N i=1 ˆε iz i nahe 0 liegen. Prüfgröße unter H 0 : ( N ) ( ξ = NQ N ( ˆβ IV ) = ˆε i z i ˆσ 2 i=1 N i=1 ) 1 ( N ) z i z i ˆε i z i i=1 asy χ 2 R K. Beachte: Wenn die Nullhypothese, dass alle R Momentenrestriktionen gültig sind, abgelehnt wird, ist noch immer nicht klar, welche der Momentenrestriktionen die Ablehnung verursacht haben. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 54 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 55

15 Zweistufige Kleinstquadratschätzung und das Keynesianische Modell Die Bezeichnung 2SLS des verallgemeinerten Instrumentvariablenschätzers stammt aus dem Kontext der simultanen Gleichungssysteme, da sich dann dieser Schätzer in zwei Schritten berechnen läßt. Im ersten Schritt wird mittels OLS die reduzierte Form geschätzt. Dies bedeutet eine Regression jeder einzelnen endogenen Variablen auf sämtliche Instrumente. Im zweiten Schritt werden sämtliche endogenen Variablen auf der rechten Seite der strukturellen Form durch die mittels der Schätzung der reduzierten Form ausgeglichenen (vorhergesagten) Werte ersetzt und die strukturelle Form ebenfalls mit OLS geschätzt. Die reduzierte Form für die k-te erklärende Variable x k ist durch gegeben. Eine OLS-Schätzung führt zu Die ausgeglichenen Werte sind x k = Zπ k + v k ˆπ k = (Z Z) 1 Z x k. ˆx k = Zˆπ k = Z(Z Z) 1 Z x k. Ist x k selbst Instrument und damit eine Spalte in Z, so folgt ˆx k = x k. Sei ˆX die Matrix der ausgeglichenen Werte für sämtliche erklärenden Variablen, so ist ˆX = Z(Z Z) 1 Z X. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 56 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 57 Dann lautet der OLS-Schätzer im zweiten Schritt ˆβ GIV = ( ˆX ˆX) 1 ˆX y. Durch Einsetzen von ˆX erhält man die Formel des verallgemeinerten Instrumentvariablenschätzers. Wegen ˆX ˆX = (X Z(Z Z) 1 Z )(Z(Z Z) 1 Z X) = X Z(Z Z) 1 Z X = ˆX X kann der 2SLS-Schätzer auch als ˆβ GIV = ( ˆX X) 1 ˆX y geschrieben werden, so dass ˆX auch direkt als Matrix von Instrumenten interpretiert werden kann. Beispiel: Das Keynesianische Modell soll um die staatlichen Ausgaben G t erweitert werden, d.h. Y t = C t + I t + G t. Damit sind I t und G t mögliche Instrumente für Y t in der Konsumgleichung. Die simultane Verwendung beider Instrumente führt zu einem effizienteren Schätzer. Setze z t = (1, G t, I t ), x t = (1, Y t ) und y t = C t und seien Z, X, y die zugehörigen Matrizen bzw. Vektoren, dann ist der 2SLS-Schätzer durch gegeben. ˆβ IV = (X Z(Z Z) 1 Z X) 1 X Z(Z Z) 1 Z y Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 58 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 59

16 Generalized Method of Moments (GMM): Motivation am Beispiel Ausgangspunkt: Momentenbedingung, die nicht-linear in den Regressionsparametern sind. Beispiel für nicht-lineare Momentenbedingungen liefert intertemporale Nutzenmaximierung nach Hansen und Singleton (1982). Problemstellung: Ein Wirtschaftssubjekt will seinen erwarteten Nutzen aus dem laufenden und zukünftigen Konsum maximieren: ( S ) max E t δ s U(C t+s ), s=0 U(C t+s ) ist der zugehörige Nutzen, der mittels der Diskontrate 0 < δ 1 auf die Periode t abdiskontiert wird. E t bezeichnet den bedingten Erwartungswert gegeben sämtliche bis zum Zeitpunkt t verfügbare Information. Wenn q t+s das Vermögen am Ende der (t + s)-ten Periode, w t+s das Arbeitseinkommen und r t+s den Zinssatz auf das Vermögen in der (t + s)-ten Periode bezeichnen, dann lautet die intertemporale Budgetbeschränkung C t+s + q t+s = w t+s + (1 + r t+s )q t+s 1. wobei C t+s den Konsum in der Periode t + s bezeichnet. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 60 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 61 Obwohl das dynamische Maximierungsproblem unter Nebenbedingungen schwierig analytisch zu lösen ist, lassen sich die Parameter der Maximierungsbedingungen schätzen. Diese Bedingung lautet nämlich E t (δu (C t+1 )(1 + r t+1 )) = U (C t ) mit U als erster Ableitung der Nutzenfunktion U. Zusammengefaßt ergibt sich die folgende Momentenbedingung ( δu ) (C t+1 ) E t U (1 + r t+1 ) 1 = 0. (C t ) dann ist (( δu ) ) (C t+1 ) E U (1 + r t+1 ) 1 z t = 0. (C t ) z t kann als ein Vektor von Instrumenten aufgefaßt werden. Speziell kann man für die Potenznutzenfunktion U(C) = C1 γ 1 γ betrachten, wobei γ den konstanten Koeffizienten der relativen Risikoaversion bezeichnet. Je größer γ ist, desto größer ist die relative Risikoaversion. Beachte: Diese Bedingung betrifft bedingte Momente. Wenn aber E(x t z t ) = 0 ist, dann gilt E(x t g(z t )) = 0 für jede Funktion g. Gehört z t zur Informationsmenge bis zum Zeitpunkt t, Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 62 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 63

17 Diese Spezifikation führt zu der Momentenbedingung E (( δ ( Ct+1 C t ) γ (1 + r t+1) 1) z t ) = 0, die eine implizite nicht-lineare Funktion der unbekannten Parameter δ und γ ist. Daten liegen für die Variablen C t+1 /C t, r t+1 und z t vor. Generalized Method of Moments Allgemein sollen der Vektor der endogenen oder exogenen Variablen w t, der Vektor der Instrumente z t und der K-dimensionale Parametervektor θ betrachtet werden. R Momentenbedingungen lassen sich mittels der vektorwertigen Funktion f als E(f(w t, z t, θ)) = 0 formulieren. Im Beispiel der intertemporalen Nutzenmaxinierung ist w t = (C t+1 /C t, r t+1 ) und θ = (δ, γ). Im linearen Modell ist w t = (y t, x t). Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 64 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 65 Das Stichprobenanalogon der theoretischen Momentenbedingung ist falls R = K ist. g T (θ) = 1 T T f(w t, z t, θ) = 0, t=1 Dies ergibt eine konsistente Schätzung für θ, die allerdings wegen der Nicht-Linearität von f nicht als analytische Lösung ermittelbar sein muss. Beachte: Wenn R < K ist, kann θ nicht identifiziert werden. Falls R > K ist, läßt sich der Schätzer für θ nicht als eindeutige Lösung des vorstehenden Nullstellenproblems ermitteln. Stattdessen wird θ derart bestimmt, dass Q T (θ) = g T (θ) W T g T (θ) minimal wird. Dabei ist W T wiederum eine positiv definite Gewichtsmatrix mit plim W T = W. Die Lösung des Minimierungsproblems heißt GMM-Schätzer ˆθ GMM von θ. Unter schwachen Bedingungen ist dieser Schätzer konsistent und asymptotisch normalverteilt. Es stehen diverse numerische Verfahren zur Bestimmung des GMM- Schätzers zur Verfügung. W T kann wiederum in dem Sinne optimal festgelegt werden, dass der zugehörige GMM-Schätzer die kleinste asymptotische Kovarianzmatrix besitzt. Liegt keine Autokorrelation vor, so ist W opt = (E(f(w t, z t, θ)f(w t, z t, θ) )) 1. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 66 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 67

18 Da θ nicht bekannt ist, muss W opt zunächst konsistent geschätzt werden. Dies kann mittels eines GMM-Schätzers mit zum Beispiel der Einheitsmatrix als Gewichtungsmatrix geschehen. Mit der zu diesem GMM-Schätzwert gehörenden Gewichtsmatrix wird in einem zweiten Schritt der optimale GMM-Schätzer ermittelt. Für Testzwecke wird die asymptotische Verteilung des GMM-Schätzers benötigt. Für diesen gilt unter schwachen Bedingungen T (ˆθGMM θ) N (0, V ) mit V = (DW opt D ) 1 und der K R-Matrix ( ) f(wt, z t, θ) D = E θ. Die Elemente von D messen, wie sensitiv ein spezielles Moment auf eine kleine Variation von θ reagiert. V und D lassen sich durch die entsprechenden Stichprobenausdrücke schätzen, die bei der numerischen Bestimmung von ˆθ GMM ohnehin benötigt werden. Der große Vorteil der GMM-Schätzung besteht darin, keine spezifischen Verteilungsannahmen zu erfordern, kein Problem mit Heteroskedastie beliebiger Form zu besitzen und Parameterschätzwerte auch dann zu liefern, wenn das Modell nicht analytisch aus den Bedingungen erster Ordnung bestimmt werden kann. Im Gegensatz zum Problem der Messfehler stellt die Festlegung der Instrumente kein Problem dar, solange eine bedingte Momentenrestriktion betrachtet wird und z t zur Bedingungsmenge gehört. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 68 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 69 Der overidentifying restrictions test läßt sich auf nicht-lineare Modelle erweitern. Sei wiederum R > K. Die Logik dieses Tests geht dann wieder davon aus, dass g T (ˆθ GMM ) 0, wenn die theoretische Momentenbedingung E(f(w t, z t, θ) = 0 korrekt ist. Falls alle R theoretischen Momentenbedingungen korrekt sind, ist ξ = T g T (ˆθ GMM ) W opt T g T (ˆθ GMM ) asymptotisch χ 2 -verteilt mit R K Freiheitsgraden. GMM: Einige einfache Beispiele Es soll der Mittelwert µ der Grundgesamtheit aufgrund einer Zufallsstichprobe y 1,..., y N geschätzt werden. Die unbedingte Momentenbedingung lautet E(y i µ) = 0 und das Stichprobenanalogon ist 1 N N (y i ˆµ) = 0, i=1 womit sich das Stichprobenmittel als Momentenschätzer ergibt. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 70 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 71

19 Betrachtet man das lineare Modell y i = x iβ + ε i, dann ergeben sich unter Verwendung der Instrumente z i die unbedingten Momentenbedingungen d.h. E(ε i z i ) = E((y i x iβ)z i ) = 0, f(w i, z i, θ) = (y i x iβ)z i. Die optimale Festlegung der Gewichtungsmatrix W ist W opt = (E(f(w i, z i, θ)f(w i, z i, θ) )) 1 = ( E(ε 2 i z i z i) ) 1, so dass sich als GMM-Schätzer der verallgemeinerte Instrumentvariablenschätzer ergibt, falls ε i i.i.d. sind. Die Matrix D ist dann ( ) f(wi, z i, θ) D = E θ = E(x i z i). Mit den Stichprobenäquivalenten und W opt N = ( 1 N D N = 1 N N ˆε 2 i z i z i i=1 N x i z i i=1 ) 1 lautet die geschätzte asymptotische Kovarianz des optimalen GMM- Schätzers ( N ) 1 ˆV ( ˆβ N ( N 1 GMM ) = x i z i ˆε 2 i z i z i z i x i). i=1 i=1 i=1 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 72 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 73 Dies ist eine Verallgemeinerung der White-Heteroskedastiekonsistenten Kovarianzmatrix auf den Fall der Instrumentvariablenschätzung. D.h. Heteroskedastie der ε i wird automatisch berücksichtigt. Fallbeispiel: Intertemporales Asset Pricing-Modell (APT) Es wird als spezielles Asset Pricing-Modell das CCAPM betrachtet, womit das konsumbasierte CAPM gemeint ist. Betrachtet werden J alternative risikobehaftete Anlagemöglichkeiten mit Verzinsung r j,t+1 für j = 1, 2,..., J und eine risikolose Anlage mit Verzinsung r f,t+1 in der Periode t + 1. Wenn der Anleger mit rationalen Erwartungen ausgestattet ist und den Nutzen der Anlage via dynamische Optimierung unter Budgetbeschränkung maximiert, ergeben sich die Bedingungen erster Ordnung: E t (δu (C t+1 )(1 + r f,t+1 )) = U (C t ) E t (δu (C t+1 )(1 + r j,t+1 )) = U (C t ), j = 1, 2,..., J. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 74 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 75

20 Verwendet man als Instrumente z t = 1, dann ergibt sich daraus ein System von unbedingten Momentenbedingungen E E ( ( δ δ ( Ct+1 C t ( Ct+1 C t ) γ (1 + r f,t+1) 1) ) γ (r j,t+1 r f,t+1)) = 0 = 0, j = 1, 2,..., J. Die letztgenannten Momentenbedingungen sind in der Überschußrendite formuliert. Man definiert die intertemporale marginale Substitutionsrate als m t+1 (θ) := δ ( Ct+1 C t wobei θ alle unbekannten Parameter umfaßt. ) γ, m t+1 (θ) wird als stochastische Diskontierungsrate oder pricing kernel bezeichnet. Unterschiedliche Spezifikationen von m t+1 (θ) legen unterschiedliche Asset Pricing-Modelle fest: Die Bedingungen erster Ordnung lassen sich mit m t+1 (θ) als 0 = E(m t+1 (θ)(r j,t+1 r f,t+1 )) = cov(m t+1 (θ), r j,t+1 r f,t+1 ) formulieren. Dies führt zu +E(m t+1 (θ))e(r j,t+1 r f,t+1 ) E(r j,t+1 r f,t+1 ) = cov(m t+1(θ), r j,t+1 r f,t+1 ). E(m t+1 (θ)) D.h. die erwartete Überschußrendite einer jeden Anlage wird durch eine Risikoprämie bestimmt, die linear von der Kovarianz zwischen der Überschußrendite und dem stochastischen Diskontfaktor abhängt. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 76 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 77 Kenntnis des stochastischen Diskontfaktors erklärt die Unterschiede der erwarteten Renditen zwischen den verschiedenen Anlagen. Im konsumbasierten Modell hat diejenige Anlage eine hohe erwartete Rendite, deren Kovarianz zwischen Überschußrendite und Konsumwachstum negativ und absolutbetragsmäßig groß ist. D.h. Eine Anlage wird insbesondere dann geschätzt, wenn hohe Rendite und geringes Konsumwachstum zusammenfallen (z.b. Gefahr der Arbeitslosigkeit). Vorbemerkung zur Schätzung für monatliche Renditedaten für 10 verschiedene Portfolios in der Zeit von Februar 1959 bis November 1993: Portfolio i umfaßt die 100 i Prozent kleinsten Unternehmen, die an der NYSE notiert sind (Überprüfung des small firm effects ). Als risikoloser Zinssatz wird die dreimonatige US Treasury Bill Rate verwendet. Konsum wird durch den gesamten privaten US-Konsum für nichtdauerhafte Konsumgüter und Dienstleistungen gemessen. 11 Momentenbedingungen für zwei zu schätzende Parameter δ und γ. Schätzmethode I: Ein-Schritt GMM mit der Einheitsmatrix als Startgewicht. Schätzmethode II: Iterierter GMM (mit u.u. besseren Klein- Stichproben-Eigenschaften). Schätzergebnisse: Iterierter GMM One step GMM Schätzwert Standardfehler Schätzwert Standardfehler δ γ ξ (df= 9) (p = 0.77) (p = 0.77) Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 78 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 79

21 Interpretation der Schätzergebnisse: 1. Der Koeffizient der Risikoaversion wird zu groß und sehr ungenau geschätzt ( Equity premium puzzle : Hohe Risikoprämien können im Modell nur durch hohe Risikoaversion erklärt werden.) 2. Overidentifying Restriction Test : Gemeinsame Gültigkeit der Momentenrestriktionen kann nicht abgelehnt werden. D.h. das CCAPM kann durch die Daten nicht abgelehnt werden! Beachte: Statistische Insignifikanz heißt nicht ökonomische Bedeutsamkeit. 3. Effizienzgewinn durch iterierte GMM-Schätzung beträgt nur ca. 20 Prozent. Beurteilung des ökonomischen Wertes des CCAPM: Berechnung von Pricing Errors : Vergleich der Überschußrenditen, die sich mit den Schätzwerten für δ und γ durch Einsetzen der Stichprobenmomente ergeben mit den tatsächlichen, aus den Daten berechneten Überschußrenditen. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 80 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 81 Interpretation des Vergleichs: 1. Modell kann die Querschnittsvariation der Überschußrenditen nicht voll einfangen. 2. Die zwei Portfolios mit kleinen Firmen unterschätzen die Überschußrendite deutlich. 3. Kein empirischer Nachweis des Small firm effects. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 82 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 83

22 Systeme von Regressionsgleichungen (Multivariates Regressionsmodell) Kombination von Zeitreihen- und Querschnittsdaten I Kombination von Zeitreihen- und Querschnittsdaten Seemingly unrelated regression (SUR) Interdependente Gleichungssysteme Daten: M = n Querschnittseinheiten und T Zeitreihenbeobachtungen Modell mit identischen Regressionskoeffizienten y it = β x it + ε it für i = 1, 2,..., n und t = 1, 2,..., T. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 84 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 85 Beispiel: Grunfelds Investitionsdaten 5 Unternehmen werden über 20 Jahre hinweg beobachtet und ein Regressionszusammenhang der Form Kombination von Zeitreihen- und Querschnittsdaten II I it = β 1 + β 2 F it + β 3 C it + ε it untersucht, wobei I it die Bruttoinvestitionen, F it der Marktwert des Unternehmens und C it der Wert des Kapitalstocks des i-ten Unternehmens am Ende der Periode t 1 angeben. Modell: bzw. mit y i = X i β + ε i y = Xβ + ε y = (y 1,..., y n), X = (X 1,..., X n ), ε = (ε 1,..., ε n) Gestackte Daten: Pooled Regression Modell. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 86 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 87

23 Kombination von Zeitreihen- und Querschnittsdaten III 4. Intertemporäre Korrelation: E(ε it ε js ) 0 für t s Annahmen bezüglich des Störterms: 1. E(ε = 0) 2. Querschnittsweise Heteroskedastie: V (ε it ) V (ε jt ) für i j 3. Kontemporäre Korrelation: Es gibt gesamtwirtschaftliche Daten, die alle 5 Unternehmen gemeinsam tangieren und nicht im Regressionsmodell enthalten sind. Allgemein: für i, j = 1, 2,..., n und V = V (ε) = E(εε ) = E(ε i ε j) = σ ij Ω ij σ 11 Ω 11 σ 12 Ω σ 1n Ω 1n σ 21 Ω 21 σ 22 Ω σ 2n Ω 2n σ n1 Ω n1 σ n2 Ω n2... σ nn Ω nn E(ε it ε jt ) 0 für i j Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 88 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 89 Spezialfall: Pooled OLS Wenn V = σ 2 I nt, dann geht GLS-Schätzung in pooled OLS-Schätzung über. bzw. für V ij = E(ε i ε j ) = σ iji T V (b) = ( n i=1 ) 1 X ix i n i=1 j=1 ( n n ) 1 σ ij X ix i X ix i, i=1 wobei σ ij durch e i e j/t konsistent geschätzt werden kann. Kontemporäre Korrelation -konsistenter Standardfehler des OLS- Schätzers (nach Beck & Katz (1995)): V (b) = (X X) 1 X V X(X X) 1 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 90 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 91

24 Beispiel: Grunfelds Investitionsdaten I Querschnittsweise Heteroskedastie Im Falle der über 20 Jahre hinweg betrachteten 5 Unternehmen liegen für die gepoolte OLS-Schätzung 100 Beobachtungen vor. Die OLS-Schätzung liefert folgendes Ergebnis: Erklärende Variable OLS-Schätzwert Standardfehler Standardfehler nach Beck & Katz Achsenabschnitt F it C it R 2 = , ˆσ 2 = , log L = Kovarianzmatrix: V = σ 11 I T σ 22 I T σ nn I T GLS-Schätzer bei bekannten Varianzen σ ii. Zweistufiger FGLS-Schätzer oder ML-Schätzer bei unbekannten Varianzen. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 92 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 93 Test auf querschnittsweise Heteroskedastie (bei Normalverteilung) für die OLS-Residuen e i und für i = 1, 2,..., n. 1. VLV-Test ˆσ 2 = 1/(nT ) n e ie i, i=1 LR = (nt ) log ˆσ 2 ˆσ 2 i = 1/T e ie i n T log ˆσ i 2 asy χ 2 (n 1) i=1 Beispiel: Grunfelds Investitionsdaten II Wenn querschnittsweise Heteroskedastie zugelassen wird, können die Daten für die 5 Unternehmen nicht mehr ausgetauscht werden. Eine Identifikation der Unternehmen ist wichtig: GM=General Motors, CH=Chrysler, GE=General Electrics, WE=Westinghouse, US=U.S. Steel 2. LM-Test n 2 LM = T/2 (ˆσ i /ˆσ 2 1 ) 2 asy χ 2 (n 1) i=1 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 94 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 95

25 Schätzergebnisse: Parameter OLS FGLS ML Schätzw. Standardf. White Schätzw. Standardf. Schätzw. Standardf. β β β σ GM σ CH σ GE σ WE σ US σ Test auf querschnittsweise Heteroskedastie: LR = 100 log ˆσ 2 n 20 log ˆσ i 2 = , χ ;4 = i=1 Kovarianzmatrix: Kontemporäre Korrelation I V = V (ε) = E(εε ) = Schätzung mittels FGLS oder (iterierter) ML. σ 11 I T σ 12 I T... σ 1n I T σ 21 I T σ 22 I T... σ 2n I T σ n1 I T σ n2 I T... σ nn I T. Darstellung der Kovarianzmatrix mittels Kronecker-Produkt: V = Σ I T Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 96 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 97 mit Σ = Inverse der Kovarianzmatrix: σ 11 σ σ 1n σ 21 σ σ 2n σ n1 σ n2... σ nn V 1 = Σ 1 I T. Kontemporäre Korrelation II GLS-Schätzer: n n ˆβ = σ ij X ix j 1 n i=1 j=1 i=1 j=1 n σ ij X iy j. mit Σ 1 = σ 11 σ σ 1n σ 21 σ σ 2n σ n1 σ n2... σ nn FGLS-Schätzer: n n ˆβ = ˆσ ij X ix j 1 n i=1 j=1 i=1 j=1 n ˆσ ij X iy j mit ˆσ ij = 1/T (y iy j + ˆβ X ix j ˆβ ˆβ X iy j ˆβ X jy i ). Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 98 Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 99

26 Test auf kontemporäre Korrelation: 1. VLV-Test: ( n ) LR = T log ˆσ i 2 log ˆΣ asy χ 2 (n(n 1)/2), i=1 mit ˆσ i 2 als Schätzer für σ ii bei gruppenweiser Heteroskedastie und ˆΣ als freier Schätzer für Σ. 2. LM-Test: n i 1 LM = T i=1 j=1 mit r 2 ij als Korrelationskoeffizient e i und e j der Residuen bei gruppenweiser Heteroskedastie oder asymptotisch äquivalent mittels der FGLS-Residuen. r 2 ij Gemeinsamer Test auf kontemporäre Korrelation und querschnittsweise Heteroskedastie: Ein VLV-Test ist als Summe der LR-Teststatistiken für einen Test auf querschnittsweise Heteroskedastie und für kontemporäre Korrelation gegeben: LR = (nt ) log ˆσ 2 T log ˆΣ asy χ 2 ((n + 2)(n 1)/2). Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Grunfelds Investitionsdaten III Test auf kontemporäre Korrelation bei querschnittsweiser Heteroskedastie: LR = 88.83, LM = , χ ;10 = Test auf querschnittsweise Heteroskedastie und kontemporäre Korrelation: = , χ ;14 = Geschätzte Varianzen und Korrelationen (FGLS) GM CH GE WE US GM CH GE WE US Schätzergebnisse: FGLS ML Parameter Schätzw. Standardf. Schätzw. Standardf. β β β Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 103

27 Autokorrelation Fallunterscheidung: 1. Identische Autokorrelation und E(u it u js ) = 0 für i j: ε it = ρε i,t 1 + u it, so dass V (ε it ) = σi 2 = σ2 ui /(1 ρ2 ). 2. Unterschiedliche Autokorrelation und E(u it u js ) = 0 für i j: ε it = ρ i ε i,t 1 + u it, 3. Unterschiedliche Autokorrelation und E(u it u jt ) = σ uij, so dass mit und V = V (ε) = Ω ij = σ 11 Ω 11 σ 12 Ω σ 1n Ω 1n σ 21 Ω 21 σ 22 Ω σ 1n Ω 2n σ n1 Ω n1 σ n2 Ω n2... σ nn Ω nn σ uij σ ij = 1 ρ i ρ j 1 ρ j ρ 2 j... ρ T 1 j ρ i 1 ρ j... ρ T 2 j ρ 2 i ρ i 1... ρ T 3 j ρ T 1 i ρ T 2 i ρ T 3 i so dass V (ε it ) = σ 2 i = σ2 ui /(1 ρ2 i ). Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Durch Zerlegung von V kann eine gewohnte autokorrelationsbereinigende Transformation der Daten und damit eine GLS- bzw. eine FGLS-Schätzung durchgeführt werden. SURE-Modell SURE=Seemingly unrelated regression equations. M Regressionsgleichungen mit y i = X i β i + ε i für i = 1, 2,..., M. X i ist T K i -Matrix der Regressoren der i-ten Gleichung mit dem gleichungsspezifischen K i 1-Vektor der Regressionskoeffizienten β i. Gesamtzahl der Regressoren: K = M i=1 K i. Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 107

28 Beispiel: CAPM Annahmen über die Störgrößen r it r ft = α i + β i (r mt r ft ) + ε it mit r it Rendite des i-ten Assets, r ft Rendite der risikolosen Anlage, r mt Marktrendite zum Zeitpunkt t. Allgemein: ε = (ε 1, ε 2,..., ε M ) : 1. E(ε) = 0 2. V (ε) = E(εε ) = V mit V positiv definite (M T ) (M T )-Matrix Speziell: Kontemporäre Korreliertheit und intertemporäre Unkorreliertheit: E(ε is ε jt ) = σ ij für t = s und 0 sonst Kovarianzmatrix: E(ε i ε j ) = σ iji T, so dass V (ε) = σ 11 I T σ 12 I T... σ 1M I T σ 21 I T σ 22 I T... σ 2M I T σ M1 I T σ M2 I T... σ MM I T Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Setze dann ist Σ = σ 11 σ σ 1M σ 21 σ σ 2M σ M1 σ M2... σ MM V (ε) = Σ I T., Schreibe GLS-Schätzung y = Xβ + ε mit y = (y 1,..., y M ), β = (β 1,..., β M ) und X = X X X M, Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/ Multivariate Zeitreihen- und Strukturmodelle II Wintersemester 2012/13 111

Mehrgleichungsmodelle

Mehrgleichungsmodelle Mehrgleichungsmodelle Stichwörter: Typen von Mehrgleichungsmodellen multivariates Regressionsmodell seemingly unrelated Modell interdependentes Modell Schätzen der Parameter Bestimmtheitsmass Spezifikationstests

Mehr

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen 1.3 Die Beurteilung von Testleistungen Um das Testergebnis einer Vp zu interpretieren und daraus diagnostische Urteile ableiten zu können, benötigen wir einen Vergleichsmaßstab. Im Falle des klassischen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen) Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst

Mehr

Interne und externe Modellvalidität

Interne und externe Modellvalidität Interne und externe Modellvalidität Interne Modellvalidität ist gegeben, o wenn statistische Inferenz bzgl. der untersuchten Grundgesamtheit zulässig ist o KQ-Schätzer der Modellparameter u. Varianzschätzer

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8

Profil A 49,3 48,2 50,7 50,9 49,8 48,7 49,6 50,1 Profil B 51,8 49,6 53,2 51,1 51,1 53,4 50,7 50 51,5 51,7 48,8 1. Aufgabe: Eine Reifenfirma hat für Winterreifen unterschiedliche Profile entwickelt. Bei jeweils gleicher Geschwindigkeit und auch sonst gleichen Bedingungen wurden die Bremswirkungen gemessen. Die gemessenen

Mehr

AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME

AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME UweGresser Stefan Listing AUTOMATISIERTE HANDELSSYSTEME Erfolgreich investieren mit Gresser K9 FinanzBuch Verlag 1 Einsatz des automatisierten Handelssystems Gresser K9 im Portfoliomanagement Portfoliotheorie

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008 Aufgabe 1 Ihnen liegt

Mehr

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe

Mehr

Angewandte Ökonometrie, WS 2012/13, 1. Teilprüfung am 6.12.2012 - Lösungen. Das folgende Modell ist ein GARCH(1,1)-Modell:

Angewandte Ökonometrie, WS 2012/13, 1. Teilprüfung am 6.12.2012 - Lösungen. Das folgende Modell ist ein GARCH(1,1)-Modell: Angewandte Ökonometrie, WS 2012/13, 1. Teilprüfung am 6.12.2012 - Lösungen LV-Leiterin: Univ.Prof.Dr. Sylvia Frühwirth-Schnatter 1 Wahr oder falsch? 1. Das folgende Modell ist ein GARCH(1,1)-Modell: Y

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 22. Juni 2012 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Überblick über die Tests

Überblick über die Tests Anhang A Überblick über die Tests A.1 Ein-Stichproben-Tests A.1.1 Tests auf Verteilungsannahmen ˆ Shapiro-Wilk-Test Situation: Test auf Normalverteilung H 0 : X N(µ, σ 2 ) H 1 : X nicht normalverteilt

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Portfolioselection. Zentrale Frage: Wie stellen rationale Investoren ihr Portfolio zusammen?

Portfolioselection. Zentrale Frage: Wie stellen rationale Investoren ihr Portfolio zusammen? Portfolioselection Zentrale Frage: Wie stellen rationale Investoren ihr Portfolio zusammen? Investieren in Aktien ist riskant Risiko einer Aktie kann in 2 Teile zerlegt werden: o Unsystematisches Risiko

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Einfache Varianzanalyse für abhängige

Einfache Varianzanalyse für abhängige Einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben Wie beim t-test gibt es auch bei der VA eine Alternative für abhängige Stichproben. Anmerkung: Was man unter abhängigen Stichproben versteht und wie diese

Mehr

einfache Rendite 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110

einfache Rendite 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110 Übungsbeispiele 1/6 1) Vervollständigen Sie folgende Tabelle: Nr. Aktie A Aktie B Schlusskurs in Schlusskurs in 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110 Arithmetisches Mittel Standardabweichung

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005

Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005 Statistik II Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik Erste Klausur zum Sommersemester 2005 26. Juli 2005 Aufgabe 1: Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung 19 P. Als Manager eines großen

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER

METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK IV INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN FÜR ZUSAMMENHÄNGE UND UNTERSCHIEDE Inferenzstatistik für Zusammenhänge Inferenzstatistik für Unterschiede

Mehr

ε heteroskedastisch BINARY CHOICE MODELS Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS?

ε heteroskedastisch BINARY CHOICE MODELS Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS? BINARY CHOICE MODELS 1 mit Pr( Y = 1) = P Y = 0 mit Pr( Y = 0) = 1 P Beispiele: Wahlentscheidung Kauf langlebiger Konsumgüter Arbeitslosigkeit Schätzung mit OLS? Y i = X i β + ε i Probleme: Nonsense Predictions

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt 25 12 = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil):

Die Laufzeit muss nun ebenfalls in Monaten gerechnet werden und beträgt 25 12 = 300 Monate. Damit liefert die Sparkassenformel (zweiter Teil): Lösungen zur Mathematikklausur WS 2004/2005 (Versuch 1) 1.1. Hier ist die Rentenformel für gemischte Verzinsung (nachschüssig) zu verwenden: K n = r(12 + 5, 5i p ) qn 1 q 1 = 100(12 + 5, 5 0, 03)1, 0325

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik

Mehr

Statistische Auswertung:

Statistische Auswertung: Statistische Auswertung: Die erhobenen Daten mittels der selbst erstellten Tests (Surfaufgaben) Statistics Punkte aus dem Punkte aus Surftheorietest Punkte aus dem dem und dem Surftheorietest max.14p.

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Risikoeinstellungen empirisch

Risikoeinstellungen empirisch Risikoeinstellungen empirisch Risk attitude and Investment Decisions across European Countries Are women more conservative investors than men? Oleg Badunenko, Nataliya Barasinska, Dorothea Schäfer http://www.diw.de/deutsch/soep/uebersicht_ueber_das_soep/27180.html#79569

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

4. Versicherungsangebot

4. Versicherungsangebot 4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil

Mehr

In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert.

In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert. Konstante Modelle: In konstanten Modellen wird davon ausgegangen, dass die zu prognostizierende Größe sich über die Zeit hinweg nicht verändert. Der prognostizierte Wert für die Periode T+i entspricht

Mehr

Die Optimalität von Randomisationstests

Die Optimalität von Randomisationstests Die Optimalität von Randomisationstests Diplomarbeit Elena Regourd Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Düsseldorf im Dezember 2001 Betreuung: Prof. Dr. A. Janssen Inhaltsverzeichnis

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Tutorial: Homogenitätstest

Tutorial: Homogenitätstest Tutorial: Homogenitätstest Eine Bank möchte die Kreditwürdigkeit potenzieller Kreditnehmer abschätzen. Einerseits lebt die Bank ja von der Vergabe von Krediten, andererseits verursachen Problemkredite

Mehr

4. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) Markowitz-Modell: Werkzeug zur optimalen Portfolio-Selection.

4. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) Markowitz-Modell: Werkzeug zur optimalen Portfolio-Selection. 4. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) The Tool is cool, but be leery of the Theory (Robert A. Haugen) Markowitz-Modell: Werkzeug zur optimalen Portfolio-Selection. CAPM: Theorie der Gleichgewichtspreise

Mehr

Einfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS

Einfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS Einfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS Datensatz: fiktive_daten.sav Dipl. Päd. Anne Haßelkus Dr. Dorothea Dette-Hagenmeyer 11/2011 Überblick 1 Deskriptive Statistiken; Mittelwert berechnen...

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Versuchsplanung. Inhalt. Grundlagen. Faktor-Effekt. Allgemeine faktorielle Versuchspläne. Zweiwertige faktorielle Versuchspläne

Versuchsplanung. Inhalt. Grundlagen. Faktor-Effekt. Allgemeine faktorielle Versuchspläne. Zweiwertige faktorielle Versuchspläne Inhalt Versuchsplanung Faktorielle Versuchspläne Dr. Tobias Kiesling Allgemeine faktorielle Versuchspläne Faktorielle Versuchspläne mit zwei Faktoren Erweiterungen Zweiwertige

Mehr

Binäre abhängige Variablen

Binäre abhängige Variablen Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen

Mehr

Umverteilung als Versicherung

Umverteilung als Versicherung Umverteilung als Versicherung Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Fachbereich Finanzwissenschaft Alfred Weber Institut für Wirtschaftswissenschaften Ruprecht-Karls- Universität

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Portfoliorisiko und Minimum Varianz Hedge

Portfoliorisiko und Minimum Varianz Hedge ortfoliorisiko und Minimum Varianz Hedge Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft rof. Dr. Mark Wahrenburg Überblick Messung von Risiko ortfoliodiversifikation Minimum Varianz ortfolios ortfolioanalyse und

Mehr

Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

QM: Prüfen -1- KN16.08.2010

QM: Prüfen -1- KN16.08.2010 QM: Prüfen -1- KN16.08.2010 2.4 Prüfen 2.4.1 Begriffe, Definitionen Ein wesentlicher Bestandteil der Qualitätssicherung ist das Prüfen. Sie wird aber nicht wie früher nach der Fertigung durch einen Prüfer,

Mehr

Finanzwirtschaft. Teil II: Bewertung. Zinssätze und Renten

Finanzwirtschaft. Teil II: Bewertung. Zinssätze und Renten Zinssätze und Renten 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Zinssätze und Renten Agenda Zinssätze und Renten 2 Effektivzinsen Spot-Zinsen Forward-Zinsen Bewertung Kennziffern Zusammenfassung Zinssätze und

Mehr

Multiple Regression. Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren)

Multiple Regression. Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren) Multiple Regression 1 Was ist multiple lineare Regression? Ziel: Vorhersage der Werte einer Variable (Kriterium) bei Kenntnis der Werte von zwei oder mehr anderen Variablen (Prädiktoren) Annahme: Der Zusammenhang

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Biostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test

Biostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test 1/29 Biostatistik, WS 2015/2016 Der zwei-stichproben-t-test (t-test für ungepaarte Stichproben) Matthias Birkner http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/biostatistik1516/ 11.12.2015 2/29 Inhalt 1 t-test

Mehr

Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung 2014 1. Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

Nerreter, Grundlagen der Elektrotechnik Carl Hanser Verlag München. 8 Schaltvorgänge

Nerreter, Grundlagen der Elektrotechnik Carl Hanser Verlag München. 8 Schaltvorgänge Carl Hanser Verlag München 8 Schaltvorgänge Aufgabe 8.6 Wie lauten für R = 1 kω bei der Aufgabe 8.1 die Differenzialgleichungen und ihre Lösungen für die Spannungen u 1 und u 2 sowie für den Strom i? Aufgabe

Mehr

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen

Beispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Einführendes Beispiel ( Erhöhung der Sicherheit bei Flugreisen ) Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges ein Sprengsatz an Bord

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Lineare Strukturgleichungsmodelle (LISREL) Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA)

Lineare Strukturgleichungsmodelle (LISREL) Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) Interdisziplinäres Seminar Lineare Strukturgleichungsmodelle (LISREL) Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) WS 2008/09 19.11.2008 Julia Schiele und Lucie Wink Dozenten: Prof. Dr. Bühner, Prof. Dr. Küchenhoff

Mehr

Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten

Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Verfahren zur Analyse ordinalskalierten Daten 1 Überblick über die Verfahren für Ordinaldaten Unterschiede bei unabhängigen Stichproben Test U Test nach Mann & Whitney H Test nach Kruskal & Wallis parametrische

Mehr

Erwin Grüner 09.02.2006

Erwin Grüner 09.02.2006 FB Psychologie Uni Marburg 09.02.2006 Themenübersicht Folgende Befehle stehen in R zur Verfügung: {}: Anweisungsblock if: Bedingte Anweisung switch: Fallunterscheidung repeat-schleife while-schleife for-schleife

Mehr

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 3, 4, 5 und 6, SS 2012 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Einsendearbeit 2 (SS 2012)

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Darstellung des Zusammenhangs, Korrelation und Regression Daten liegen zu zwei metrischen Merkmalen vor: Datenpaare (x i, y i ), i = 1,..., n Beispiel: x: Anzahl

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

(Lineare) stochastische Optimierung

(Lineare) stochastische Optimierung (Lineare) stochastische Optimierung Bsp: Aus zwei Sorten Rohöl wird Benzin und Heizöl erzeugt. Die Produktivität sowie der Mindestbedarf (pro Woche) und die Kosten sind in folgender Tabelle angegeben:

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen

Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Media Teil III. Begriffe, Definitionen, Übungen Kapitel 1 (Intermedia- Vergleich: Affinität) 1 Affinitätsbewertung als Mittel des Intermedia-Vergleichs Um die Streugenauigkeit eines Werbeträgers zu bestimmen,

Mehr

Der Leverage-Effekt wirkt sich unter verschiedenen Umständen auf die Eigenkapitalrendite aus.

Der Leverage-Effekt wirkt sich unter verschiedenen Umständen auf die Eigenkapitalrendite aus. Anhang Leverage-Effekt Leverage-Effekt Bezeichnungs- Herkunft Das englische Wort Leverage heisst Hebelwirkung oder Hebelkraft. Zweck Der Leverage-Effekt wirkt sich unter verschiedenen Umständen auf die

Mehr

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4 1. Kennlinien Der Transistor BC550C soll auf den Arbeitspunkt U CE = 4 V und I C = 15 ma eingestellt werden. a) Bestimmen Sie aus den Kennlinien (S. 2) die Werte für I B, B, U BE. b) Woher kommt die Neigung

Mehr

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik

Schleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik Aufgabe 6: Stochastik Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignisse ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen. Eine repräsentative

Mehr

Nullserie zur Prüfungsvorbereitung

Nullserie zur Prüfungsvorbereitung Nullserie zur Prüfungsvorbereitung Die folgenden Hilfsmittel und Bedingungen sind an der Prüfung zu beachten. Erlaubte Hilfsmittel Beliebiger Taschenrechner (Der Einsatz von Lösungs- und Hilfsprogrammen

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft

90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff SS08 90-minütige Klausur Statistik für Studierende der Kommunikationswissenschaft am 22.7.2008 Anmerkungen Überprüfen Sie bitte sofort, ob Ihre Angabe vollständig ist. Sie sollte

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr