Lösungen zu Kapitel 7

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen zu Kapitel 7"

Transkript

1 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 1: Nach Definition 7.1 ist eine Verknüpfung auf der Menge H durch eine Abbildung : H H H definiert. Gilt H = {a 1,..., a m }, so wird eine Verknüpfung auch vollständig durch ein Element ( (a 1, a 1 ), (a 1, a 2 ),..., (a 1, a m ), (a 2, a 1 ),..., (a m, a m )) H m2 beschrieben. Es gibt (m 2 ) m = m 2m derartige Elemente, also m 2m verschiedene Verknüpfungen auf H. Lösung zu Aufgabe 2: Nach der vorhergehenden Aufgabe gibt es 16 Verknüpfungen. Inspektion der verschiedenen Fälle liefert beispielsweise: (a) H = ({a, b}, ) mit x y = a für x = y = a und sonst b. Jedes Produkt, in dem ein b vorkommt, liefert b. Daher sind das Kommutativund das Assoziativgesetz erfüllt. H ist also eine kommutative Gruppe. (b) H = ({a, b}, ) mit x y = x für alle x, y H : Wegen a b = a = b = b a ist H nicht kommutativ, wegen (x y) z = x z = x = x y = x (y z) gilt das Assoziativgesetz. H ist eine nicht kommutative Gruppe. (c) X = ({a, b}, ) mit x y = a für x = a, y = b und x y = b sonst. Das Assoziativgesetz ist nicht erfüllt: X ist also keine Halbgruppe. (a a) a = b a = b = a = a b = a (a a). Lösung zu Aufgabe 3: Wir beginnen mit (, ggt). Für a, b gilt offenbar ggt(a, b), so dass ggt eine innere Verknüpfung von ist. Wegen ggt(a, b) = ggt(b, a) (Satz 6.4(b)) ist sie kommutativ. Es fehlt der Nachweis der Assoziativität. Wir beachten, dass wegen der Bemerkung nach dem Beweis von Satz 6.6 die Gleichung T (ggt(a, b) = T (a) T (b) (Gleichung (a)) für alle a, b gilt mit T (a) = {c c 0, c a}. Damit erhalten wir unter Benutzung der Gleichung ggt(a, b) = max{n n T (a) T (b)} ( a + b = 0) ggt(ggt(a, b), c) = max{n n T (ggt(a, b)) T (c)} = max{n n T (a) T (b) T (c)} = max{n n T (a) T (ggt(b, c))} = ggt(a, ggt(b, c). Folglich ist, ggt) eine kommutative Halbgruppe. Da T (ggt(a, b) = T (a) T (b) für alle a, b gilt und für den Fall abc = 0 die Gültigkeit der Assoziativität unmittelbar überprüft werden kann, sind auch ( 0, ggt) und (, ggt) kommutative Halbgruppen. 1

2 2 Lösungen zu Kapitel 7 Wir betrachten (, kgv). Es gilt kgv(a, b) = min{n n V (a) V (b)} mit V (a) = {b b > 0, a b}. Offenbar ist kgv eine kommutative Verknüpfung auf. Wenn wir V (kgv(a, b)) = V (a) V (b) (Gleichung (b)) für alle a, b beweisen können, dann erhalten wir analog wie zuvor (Ersetzung von max durch min sowie Gleichung (a) durch (b)) die Assoziativität von kgv, so dass (. kgv) eine kommutative Halbgruppe ist. Wir beweisen die Gleichung (b). Es sei g V (kgv(a, b)). Dann gilt g > 0 und kgv(a, b) g. Wegen a kgv(a, b), b kgv(a, b) folgt a g und b g und damit g V (a), b V (b), also g V (a) V (b). Umgekehrt sei g V (a) V (b). Dann folgt a g und b g. Wir betrachten die eindeutigen Primfaktordarstellungen Nach Satz 6.25 gilt a = p α pα k k, b = pβ pβ k k und g = p γ pγ k k. kgv(a, b) = p max{α 1,β 1 } 1 p max{α k,β k } r. Wegen a g und b g sowie Satz 6.20 (Fundamentalsatz der Arithmetik) folgt α i, β i γ i, i {1,..., k}. Wir schließen max{α i, β i } γ i und damit kgv(a, b) g. Dies bedeutet g V (kgv(a, b)). Beide Teile der Aufgabe können ohne Benutzung der Gleichungen (a) und (b) mithilfe von Satz 6.25 direkt bewiesen werden. Lösung zu Aufgabe 4: Man wähle die Halbgruppen (, ) und (, +). Wegen f (nm) = log 10 (nm) = log 10 (n) + log 10 (m) = f (n) + f (m) ist f ein Halbgruppenhomomorphismus. Lösung zu Aufgabe 5: Die beiden unteren Alternativen der Definition von zeigen, dass e das Einselement von M ist. Es muss noch gezeigt werden, dass das Assoziativgesetz (x y) z = x (y z) auch gilt, wenn mindestens eins dieser Elemente e ist. Man erkennt sofort, dass sich für x = e (bzw. y = e oder z = e) auf beiden Seiten y z (bzw. x z oder x y) ergibt. Wegen e 1 = 1 = e ist 1 nicht das neutrale Element von M. Lösung zu Aufgabe 6: Angenommen, (, ggt) ist ein Monoid. Dann existiert ein e mit ggt(e, a) = a für alle a. Wegen ggt(1, a) = 1 für alle a folgt e > 1. Es gilt dann ggt(e, 2e) = e = 2e, ein Widerspruch. Folglich ist (, ggt) kein Monoid. Es gilt ggt(0, a) = a für alle a 0. Damit ist 0 dass neutrale Element in dem Monoid ( 0, ggt). Für alle a gilt V (1) V (a) = V (a) und daher kgv(1, a) = min{n n V (a)} = a. Es ist also (, kgv) ein Monoid mit neutralem Element 1.

3 Lösungen zu Kapitel 7 3 Lösung zu Aufgabe 7: Das Programm lautet begin begin begin y := 0; w := 1 end; n := 1 end; while u x do begin begin y := y + 1; w := w + n + 2 end; n := n + 2 end od end Eine gewünschte Ableitung ist < program >= < stmt >= < compstmt > = begin < stmt >; < stmt > end = begin < compstmt >; < stmt > end = begin < compstmt >; < whilestmt > end = begin begin < stmt >; < stmt > end; < whilestmt > end = begin begin < compstmt >; < stmt > end; < whilestmt > end = beginbegin begin < stmt >; < stmt > end; < stmt > end; < whilestmt > end = 3 begin begin begin < assignstmt >; < assignstmt > end; < assignstmt > end; < whilestmt > end (in 3 Ableitungsschritten) = begin begin begin < assignstmt >; < assignstmt > end; < assignstmt > end; while < test > do < stmt > od end = begin begin begin < assignstmt >; < assignstmt > end; < assignstmt > end; while < expr >< relation >< expr > do < stmt > od end = 2 begin begin begin < assignstmt >; < assignstmt > end; < assignstmt > end; while < expr > < expr > do < compstmt > od end (in 2 Schritten) = 6 begin begin begin < assignstmt >; < assignstmt > end; < assignstmt > end; while < expr > < expr > do begin begin < assignstmt >; < assignstmt > end; < assignstmt > end od end (in 6 Schritten) Das Nichtterminalzeichen < compstmt > aus der fünftletzten Zeile (innerhalb des while-statements) wird genau so wie < compstmt > aus der 4. Zeile in 6 Schritten zu abgeleitet. begin begin < assignstmt >; < assignstmt > end; < assignstmt > end

4 4 Lösungen zu Kapitel 7 Lösung zu Aufgabe 8: (a) Wir definieren für alle z Z, w X, x X. (b) Die erste Gleichung folgt aus δ (z, ε) = z und δ (z, wx) = δ(δ (z, w), x) δ (z, x) = δ (z, εx) = δ(δ (z, ε), x) = δ(z, x). Die zweite wird durch Induktion über die Länge von w 2 bewiesen. Für w 2 = 0 gilt w 2 = ε, und aus der Definition von δ (siehe (a)) folgt dann δ (z, w 1 ε) = δ (z, w 1 ) = δ (δ (z, w 1 ), ε) für alle z Z, w 1 X. Die Behauptung sei nun für alle z Z, w 1 X und alle Wörter w 2 X einer festen Länge erfüllt. Dann gilt für w = w 2 x mit x X δ (z, w 1 w 2 x) = δ(δ (z, w 1 w 2 ), x) = δ(δ (δ (z, w 1 ), w 2 ), x) = δ (δ (z, w 1 ), w 2 x). Das erste und das letzte Gleichheitszeichen gelten aufgrund der Definition von δ, das zweite wegen der Induktionsannahme. Lösung zu Aufgabe 9: (a) Wir definieren eine Abbildung ϕ : Y (Z X) (Y Z ) X durch ϕ( f ) = f, wobei f für alle x X durch f (x) Y Z mit f (x)(z) = f (z, x) für alle z Z gegeben ist. Wir zeigen, dass die Bedingungen aus Definition 2.16 erfüllt sind. Es ist ϕ surjektiv: Es sei f (Y Z ) X beliebig. Wir definieren f : Z X Y durch f (x)(z) für alle x X, z Z. Es ist ϕ injektiv: Für f, f Y (Z X) gilt f = ϕ( f ) = ϕ( f ) = f = f (x) = f (x) für alle x X = f (x)(z) = f (x)(z) für alle x X, z Z = f (z, x) = f (z, x) für alle x X, z Z = f = f Insgesamt ist also ϕ bijektiv. (b) Wir gehen von einer Abbildung δ : Z X Z aus. Nach (a) ist dieser bijektiv die Abbildung δ : X Z Z mit δ(x)(z) = δ(z, x) für alle z Z, x X zugeordnet. Da Z Z ein Monoid ist, existiert nach Satz 7.6 ein Monoidhomomorphismus ˆδ : X Z Z mit ˆδ η = δ. Es gilt also ˆδ(x) = δ(x) für alle x X.

5 Lösungen zu Kapitel 7 5 Nach (a) ist der Abbildung ˆδ bijektiv die Abbildung δ : Z X Z mit δ (z, w) = ˆδ(w)(z) für alle z Z, w X zugeordnet. Daher gilt δ (z, x) = ˆδ(x)(z) = δ(x)(z) = δ(z, x) für alle z Z, x X. Damit ist die erste Gleichung aus Aufgabe 8(b) gezeigt. Da ˆδ ein Monoidhomomorphismus ist, gilt ˆδ(ε) = 1 Z und ˆδ(w 1 w 2 ) = ˆδ(w 1 ) ˆδ(w 2 ) für alle w 1, w 2 X. Mit der Bijektion aus (a) folgen daraus die Gleichungen und δ (z, ε) = ˆδ(ε)(z) = 1 Z (z) = z δ (z, w 1 w 2 ) = ˆδ(w 1 w 2 )(z) = (ˆδ(w 1 ) ˆδ(w 2 ))(z) = ˆδ(w 2 )(ˆδ(w 1 )(z)) = ˆδ(w 2 )(δ (w 1, z)) = δ (δ (w 1, z), w 2 ) für alle z Z und w 1, w 2 X. Damit sind insgesamt alle Gleichungen aus Aufgabe 8 erfüllt.

6

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006

Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Wintersemester 2012/2013 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 1. Wiederholung: Gruppen, Ringe, Körper 2 2. Teilbarkeitslehre

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9

4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 4. ggt und kgv (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: GGT 0 ) g 0 GGT 1 ) g a und g b GGT 2 )

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin

2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin Die Menge der ganzen Zahlen von Peter Franzke in Berlin Das System der natürlichen Zahlen weist einen schwerwiegenden Mangel auf: Es gibt Zahlen mn, derart, dass die lineare Gleichung der Form mx n keine

Mehr

Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) ggt und kgv

Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) ggt und kgv ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 8 3 ggt und kgv Wir erinnern uns hoffentlich an die folgenden Definitionen des ggt s und des kgv s zweier ganzer Zahlen (31) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 4 Das Lemma von Bezout Satz 1. (Lemma von Bézout) Jede Menge von ganzen Zahlen a 1,...,a n besitzt einen größten gemeinsamen Teiler

Mehr

Inoffizielles Skriptum zur Vorlesung Höhere Mathematik für Informatiker basierend auf Vorlesungen an der Universität Karlsruhe (TH) 2000 2004

Inoffizielles Skriptum zur Vorlesung Höhere Mathematik für Informatiker basierend auf Vorlesungen an der Universität Karlsruhe (TH) 2000 2004 Höhere Mathεmatik für Informatiker Inoffizielles Skriptum zur Vorlesung Höhere Mathematik für Informatiker basierend auf Vorlesungen an der Universität Karlsruhe (TH) 2 24 ii Inhaltsverzeichnis I Eindimensionale

Mehr

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern

Mehr

Primzahlzertifikat von Pratt

Primzahlzertifikat von Pratt Primzahlzertifikat von Pratt Daniela Steidl TU München 17. 04. 2008 Primzahltests in der Informatik "Dass das Problem, die Primzahlen von den Zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren

Mehr

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit Kapitel 2 Ganze Zahlen In diesem Kapitel setzen wir voraus, dass die Menge Z der ganzen Zahlen, ihre Ordnung und die Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen dem Leser vertraut sind.

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R

8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8.1 Konvergenz monotoner Folgen 8.2 Die Zahl e 8.3 Existenz monotoner Teilfolgen 8.4 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 8.5 Konvergenzkriterium

Mehr

01. Gruppen, Ringe, Körper

01. Gruppen, Ringe, Körper 01. Gruppen, Ringe, Körper Gruppen, Ringe bzw. Körper sind wichtige abstrakte algebraische Strukturen. Sie entstehen dadurch, dass auf einer Menge M eine oder mehrere sogenannte Verknüpfungen definiert

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

Mehr

6.2 Perfekte Sicherheit

6.2 Perfekte Sicherheit 04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da

Mehr

Analysis I III. Vorlesungsskriptum WS 2005/06 WS 2006/07. Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum

Analysis I III. Vorlesungsskriptum WS 2005/06 WS 2006/07. Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum Analysis I III Vorlesungsskriptum WS 2005/06 WS 2006/07 R. Verfürth Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum Inhaltsverzeichnis Kapitel I. Aufbau des Zahlsystems 5 I.1. Die natürlichen Zahlen

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Rechnen modulo n. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden

Rechnen modulo n. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden Rechnen modulo n Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n > 0 kann auf eindeutige Weise in der

Mehr

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010 Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver

Mehr

1 Modulare Arithmetik

1 Modulare Arithmetik $Id: modul.tex,v 1.11 2012/04/16 19:15:39 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.11 2012/04/17 10:30:56 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.3 Restklassen Wir waren gerade damit beschäftigt eine Beispiele zum Rechnen

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

1.3 Abbildungen. Definition : Abbildung, Definitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge

1.3 Abbildungen. Definition : Abbildung, Definitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge Abbildungen Grundlagen der Mathematik Abbildungen Deinition : Abbildung, Deinitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge Eine Abbildung : D Z ordnet jedem Element D eindeutig ein Z zu D heißt Deinitionsbereich

Mehr

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4) FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Aufgabe 1: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also D := { M 2 Q M is Dedekind-Menge }. Auf der Menge D definieren wir

Mehr

1.) Rekursion und Induktion: Rechnen mit natürlichen Zahlen

1.) Rekursion und Induktion: Rechnen mit natürlichen Zahlen 1) Rekursion und Induktion: Rechnen mit natürlichen Zahlen Aufbauend auf: "Anwendungen: Sätze, Beweise, Algorithmen und Programme", "Fasern" Aufgaben: 9 > restart; Axiomatik der natürlichen Zahlen Wir

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Algorithmen und deren Programmierung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Definition Algorithmus Ein Algorithmus ist eine präzise formulierte Handlungsanweisung zur Lösung einer gleichartigen

Mehr

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie Kapitel 3 Elementare Zahletheorie 89 Kapitel 3.1 Ganze Zahlen, Gruppen und Ringe 90 Die ganzen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Es gibt zwei Operationen Addition: Z Z Z, (a,b)

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Zahlentheorie. Daniel Scholz im Winter 2006 / 2007. Überarbeitete Version vom 7. September 2007.

Zahlentheorie. Daniel Scholz im Winter 2006 / 2007. Überarbeitete Version vom 7. September 2007. Zahlentheorie Daniel Scholz im Winter 2006 / 2007 Überarbeitete Version vom 7. September 2007. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Grundlagen 4 1.1 Einleitung............................. 4 1.2 Zahlensysteme..........................

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 111

Beispiellösungen zu Blatt 111 µ κ Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Beispiellösungen zu Blatt 111 Aufgabe 1 Ludwigshafen hat einen Bahnhof in Dreiecksform. Markus, Sabine und Wilhelm beobachten den Zugverkehr

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

2. Symmetrische Gruppen

2. Symmetrische Gruppen 14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen

Mehr

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.13 2012/04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.11 2012/04/24 15:35:17 hk Exp $ 2 Gruppen 2.3 Zyklische Gruppen Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

2. Universelle Algebra

2. Universelle Algebra 2. Universelle Algebra Die Theorie der universellen Algebra verallgemeinert die Theorien der klassischen Algebren. Obwohl ursprünglich nur eine Sorte betrachtet wurde, werden wir hier gleich den mehrsortigen

Mehr

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:

Mehr

Mathematik und Logik

Mathematik und Logik Mathematik und Logik 5. Übungsaufgaben 2006-11-21 1. Beweisen Sie, daß die Aussage allgemeingültig ist. A = A Beweis. Dies ist ein Spezialfall von (((A = B) = B) = B) = (A = B), was wir wie folgt beweisen.

Mehr

Kanonische Primfaktorzerlegung

Kanonische Primfaktorzerlegung Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n kann auf eindeutige Weise in der Form n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k geschrieben werden, wobei k N 0, α i N

Mehr

Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems

Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems 1 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen Wir wollen erklären, wie man natürliche Zahlen addiert und multipliziert und dabei nur den Begriff das Zählens verwenden.

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Lineare Algebra I. Lösung 3.1:

Lineare Algebra I. Lösung 3.1: Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 3 Prof. Dr. Markus Schweighofer 18.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 3.1: (a) Sei

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers. 1.2.0 1 Teilbarkeit Einstieg 1.1 Zeige, dass 900 ein Teiler von 10! ist. Tipp: Schreibe 900

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik Einheit 1 Mathematische Methodik 1. Problemlösen 2. Beweistechniken 3. Wichtige Grundbegriffe Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Welche Begriffe sind zum Verständnis

Mehr

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Für eine Grammatik G = (N, T, P, S) führen wir die folgenden drei Komplexitätsmaße ein: Var(G) = #(N), Prod(G) = #(P ), Symb(G) = ( α + β + 1). α β

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.

Mehr

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Peter Feigl JKU Linz peter.feigl@students.jku.at 0055282 Claudia Hemmelmeir JKU Linz darja@gmx.at 0355147 Zusammenfassung Wir möchten in diesem Artikel die ganzen

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

Exkurs: Polnische Räume

Exkurs: Polnische Räume Ein normaler Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis kann auf viele Weisen metrisiert werden; man kann insbesondere eine einmal gewonnene Metrik in vielerlei Weise abändern, ohne die von ihr erzeugte Topologie

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Kapitel IV. Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen. IV.1 Abzählbare Mengen

Kapitel IV. Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen. IV.1 Abzählbare Mengen Kapitel IV Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen Wir haben schon einige Mengen in den Kapiteln I und II kennengelernt, etwa die Zahlenmengen N, Z, Q und R. Jede dieser Zahlenmengen enthält unendlich

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013

Übung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013 Übung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory of the

Mehr

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz

Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz Tobias Kraushaar Kaiserstr. 178 44143 Dortmund Matr.- Nr.: 122964 Euklidischer Algorithmus, Restklassenring und seine Struktur, Chinesischer Restklassensatz 1. EINLEITUNG... 2 2. HAUPTTEIL... 3 2.1. Der

Mehr

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 3. Der euklidische Algorithmus

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 3. Der euklidische Algorithmus Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2008 Zahlentheorie Vorlesung 3 Der euklidische Algorithmus Euklid (4. Jahrhundert v. C.) Definition 3.1. Seien zwei Elemente a, b (mit b 0) eines euklidischen Bereichs

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2 Lösungsblatt 3. April 2 Einführung in die Theoretische Informatik

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume

2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume 2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

3. Der größte gemeinsame Teiler

3. Der größte gemeinsame Teiler Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 18 3. Der größte gemeinsame Teiler (3.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen. a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt t a und t

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20.

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: Rekursionsgleichungen (K4) Übersicht. Binäre Suche. Joost-Pieter Katoen. 20. Übersicht Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 5: (K4) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.informatik.rwth-aachen.de/i2/dsal12/ 20.

Mehr