Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung.

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1 Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Die heutige Sitzung dient dem ersten Kennenlernen von MATLAB. Wir wollen MATLAB zuerst wie einen normalen Taschenrechner verwenden und einfache Rechnungen in R durchführen. Danach werden wir mit MATLAB lineare Gleichungssysteme im R n lösen. Das Programm MATLAB dienst uns als Schnittstelle für unsere Arbeit mit der MATLAB-Programmiersprache. MATLAB bezeichnet also sowohl ein Programm als auch eine Programmiersprache. In dieser Sitzung werden wir nur einzelne Befehle in MATLAB eingeben, in späteren Sitzungen hingegen ganze Programme in MATLAB schreiben. Beschaffung der Software Um die Aufgaben der Vorlesung und dieses Skripts auch zu Hause bearbeiten zu können, können Sie entweder MATLAB mit der Universitätslizenz oder die kostenfreie Variante GNU Octave verwenden. Beide Programme sind für alle Betriebssysteme (Windows, Linux, Mac) verfügbar. GNU Octave bietet für die Zwecke dieses Praktikums dieselben Funktionen wie MATLAB, lediglich die Bedienung ist nach unserer Erfahrung ein bisschen unkomfortabler. Im Praktikum werden wir mit MATLAB arbeiten. GNU Octave kann direkt von der Homepage des Programms heruntergeladen werden: https://www.gnu.org/software/octave/. MATLAB ist kostenpflichtig, die Universität Heidelberg stellt jedoch kostenlose Lizenzen für alle Studenten zur Verfügung. Die Beschaffung der Lizenz ist jedoch etwas aufwendiger: Auf https://urz.asknet.de/cgi-bin/home unter MathWorks Campus kann man die Variante von MATLAB für 0 unter dem Punkt Weitere Varianten wählen. Bevor man allerdings eine Lizenz erhält, muss man sich registrieren und per eine Studienbescheinigung einschicken. Erst dann erhält man eine Lizenz, welche man auf der Homepage des Herstellers von MATLAB, aktivieren kann. 1

2 Auf die eigentliche Installation von Octave bzw. MATLAB wollen wir hier aus Platzgründen nicht weiter eingehen. MATLAB als Taschenrechner Heute wollen wir MATLAB nur als Taschenrechner verwenden, der auch mit Matrizen und Vektoren arbeiten kann, damit werden wir zwar noch keine komplexen Programme schreiben, aber lineare Gleichungssysteme lösen können. Wenden wir uns nun dem Programm MATLAB zu. Für die Anwendung als Taschenrechner ist zuerst nur der zentrale Bereich des Fensters mit der Überschrift Command Window 1 von Bedeutung. In diesem Fenster sehen Sie zu Beginn eine Zeile mit >>. Klicken Sie einmal irgendwo in das Command Window und tippen Sie anschließend: >> Die >> am Anfang sollen Sie dabei nicht abtippen, diese dienen nur der Orientierung. Nachdem Sie die obigen Terme eingegeben haben, drücken Sie Enter um die Eingabe von MATLAB auswerten zu lassen. MAT- LAB gibt Ihnen dann das Ergebnis Ihrer Rechnung zurück: >> Die Zeile bedeutet, dass das Ergebnis der Berechnung in einer Variable mit dem Namen ans gespeichert wurde. Wir werden Variablen erst in der nächsten Sitzung genauer besprechen, Sie können diesen Teil der Ausgabe daher für diese Stunde ignorieren. Aufgabe 1. Führen Sie in MATLAB die folgenden Rechnungen durch, die Symbole für die Grundrechenarten sind +, -, * und /. Auch in MATLAB gilt Punkt- vor Strichrechnung, benutzen Sie daher wenn nötig runde Klammern zur Klammerung. a) Berechnen Sie b) Berechnen Sie Wir verwenden hier und im Folgenden die Namen der englischen Version von MATLAB. 2

3 Eventuell haben Sie in der letzten Aufgabe bereits ungewollt mit einer Fehlermeldung zu tun bekommen. Diese werden in MATLAB in Rot dargestellt und beginnen mit Error. Erst einmal: Don t panic!. Der Computer ist geduldig und wird nach dem Fehler einfach auf eine neue Eingabe von Ihnen warten. Wenn eine Fehlermeldung erscheint, sollten Sie diese zuerst gründlich lesen und versuchen, den Fehler selbst zu finden. Jedem Programmierer unterlaufen Fehler und diese zu Finden und zu Beheben ist ein wesentlicher Teil der Programmierung. Falls Sie keine Fehlermeldung zu sehen bekommen haben, können Sie sich an Hand des unteren Beispiels selbst ein Bild machen (die Fehlermeldung wurde aus Formatgründen umgebrochen): >> * ( * ( Error: Expression or statement is incorrect --possibly unbalanced (, {, or [. Die Fehlermeldung besagt, dass die Anzahl der öffnenden und schließenden Klammern nicht ausgeglichen ist. Das tatsächlich eine schließende Klammer fehlt, ist in diesem Beispiel recht einfach zu sehen. Oft sehr praktisch ist die Tatsache, dass MATLAB zusätzlich durch einen vertikalen Strich markiert, wo MATLAB festgestellt hat, dass ein Fehler vorliegt. Das Beispiel zeigt jedoch, dass nicht notwendigerweise an diese Stelle auch die schließende Klammer kommen sollte: Sowohl (4+ 5) 2 als auch (4+5 2) sind sinnvolle Klammerungen. Die Markierung ist daher lediglich als Orientierungshilfe zu sehen. In diesem Beispiel haben wir es mit einem syntaktischen Fehler zu tun gehabt: Unsere Eingabe entsprach nicht den Regeln, wie ein Ausdruck in der MATLAB-Programmiersprache auszusehen hat. Auf solche Fehler weist uns MATLAB direkt hin, sie bemerkt man daher sofort und sind mit etwas Erfahrung meist leicht zu korrigieren. Daneben kann man auch semantische Fehler machen. Bei solchen Fehlern entspricht das, was man programmiert hat, nicht dem, was man eigentlich machen wollte. Wollen wir beispielsweise (4+5) 2 berechnen, so entspricht der Befehl >> * (4 + 5) - 1 zwar den Regeln der MATLAB-Programmiersprache, ist also kein syntaktischer Fehler, jedoch ein semantischer, da (4 + 5) 2 (4 + 5) 1. Natürlich weiß MATLAB nicht, was wir programmieren wollten. Oftmals führen daher semantische Fehler zu keinen Fehlermeldungen und

4 sind dadurch schwerer zu bemerken und zu korrigieren. Wir widmen uns in einer späteren Sitzung diesem Thema. Aufgabe 2. In speziellen Fällen liefert MATLAB als Ergebnis einer Rechnung keine Zahl, sondern die Konstanten Inf (für infinity) und NaN (für not a number, d.h. der Ausdruck ist undefiniert). a) Finden Sie einen Bruch, welcher +Inf (bzw. -Inf) als Ergebnis liefert. b) Finden Sie einen Bruch, welcher NaN als Ergebnis liefert. Vektoren und Matrizen in MATLAB MATLAB steht für MAtrix LABoratory, daher wollen wir den letzten Teil dieser Sitzung der Rechnung mit Vektoren und Matrizen in MATLAB widmen, genauer gesagt mit der Matrix-Vektor-Multiplikation und dem Lösen von linearen Gleichungssystemen. Für MATLAB ist praktisch jedes Objekt auch gleichzeitig eine Matrix. Selbst Skalare werden als 1 1-Matrix interpretiert. Es verwundert daher nicht, dass auch Vektoren nur spezielle Matrizen sind, nämlich n 1- Matrizen für Spalten- und 1 n-matrizen für Zeilenvektoren. Wir brauchen daher nur angeben, wie in MATLAB Matrizen definiert werden und können sofort mit Spalten- und Zeilenvektoren als spezielle Matrizen arbeiten. In MATLAB sind alle Matrizen mit eckigen Klammern umgeben. Innerhalb dieser eckigen Klammern werden alle Einträge einer Zeile durch Leerzeichen getrennt aufgelistet, die Zeilen werden mit einem Semikolon ; getrennt. Die Syntax lässt sich am einfachsten an Beispielen verstehen. Es folgen die Befehle für eine -Matrix: >> [1 2 ; ; 7 8 9] Einen Spaltenvektor (2 1-Matrix): >> [1 ; 2] 1 2 Und einen Zeilenvektor (1 4-Matrix): 4

5 >> [1 2 4] Es kann jede beliebige n m-matrix mit diesen Regeln in MATLAB erzeugt werden. Wir befassen uns nun mit drei einfachen Operationen für Matrizen und Vektoren und verschieben alle weiteren Details auf spätere Sitzungen. Um einen Vektor oder eine Matrix zu transponieren, für MATLAB sind diese wie gesagt alle gleich, können wir ein Apostroph ' hinter den Vektor schreiben: >> [1 2 4]' Die Matrix-Vektor-Multiplikation (oder allgemein: beliebige Matrix- Matrix-Multiplikation) funktioniert wie bei Skalaren durch das Multiplikationszeichen *. Man beachte, dass man in MATLAB diesen Operator tatsächlich angeben muss und nicht, wie in der Mathematik oft üblich, weglassen kann. >> [1 2 ; 0 2 ] * [5 ; 10] Bei dieser Operation müssen Sie lediglich darauf achten, dass die Dimensionen der beiden Matrizen stimmen, ansonsten erhalten Sie einen entsprechenden Fehler. Die wohl wichtigste einfache Anwendung von MATLAB ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dazu verwendet man den speziellen Backslash-Operator \. Ein Ausdruck der Form A \ b ergibt die Lösung x des Gleichungssystems Ax = b. Mathematisch entspricht der Operator \ also der Multiplikation mit dem Inversen der Matrix 2. Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung des Backslash-Operators, vergleichen Sie es mit dem vorherigen Beispiel. Beachten Sie auch, dass der Vektor als Spalten- und nicht als Zeilenvektor geschrieben wurde. 2 Tatsächlich wird jedoch nie eine Matrix explizit invertiert, sondern eines der Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen verwendet, welches Sie im Laufe des Semesters kennenlernen werden. 5

6 >> [ 1 2 ; 0 2 ] \ [25 ; 20] 5 10 Aufgabe. a) Geben Sie die folgenden drei Objekte in MATLAB ein. Stellen Sie insbesondere sicher, dass Sie Zeilen und Spalten nicht vertauscht haben: ( ) , 4, b) Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren aus a). c) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem: x = Machen Sie die Probe, in dem Sie das Residuum berechnen. Wie Sie sicherlich bemerkt haben, wird das erneute Eintippen von Matrizen und Vektoren schnell sehr aufwändig und bei komplexeren Rechnungen auch unübersichtlich. Mit Variablen können wir, wie in der Mathematik, Objekten einen Namen geben. Die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Variablen in der Mathematik und MATLAB werden wir im nächsten Abschnitt kennenlernen. 6

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