Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14

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1 Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Walter Sanddorf-Köhle Statistik und Ökonometrie Foliensatz Nr. 8 Version vom 10. Dezember / 72

2 5.3 Historische Simulation Ein von der BaFin anerkanntes Verfahren zur Ermittlung des VaR ist die sogenannte historische Simulation. Dabei handelt es sich nicht um eine Simulationstechnik im Sinn einer Monte-Carlo-Simulation [s.u.]. Die historische Simulation ist ein nichtparametrisches Verfahren zur Bestimmung des VaR. Man nutzt aus, dass x (k), mit k = [T α] + 1 eine konsistente Schätzfunktion für das α-quantil der Verteilung ist [s.o.]. Es werden fiktive, potenzielle Wertänderungen eines Portefeuilles generiert. 2 / 72

3 5.3 Historische Simulation Beispiel: Das Handelsportefeuille einer Bank setze sich zum Zeitpunkt T aus den folgenden Positionen zusammen: mit: P H,T = n C,T P C,T + n F,T P F,T + n A,T P A,T P H,T : Wert des Handelportefeuilles zum Zeitpunkt T P C,T : Wert eines (European) Calls auf die Aktie B zum Zeitpunkt T n C,T : Anzahl der Optionen im Besitz der Bank zum Zeitpunkt T P F,T : Preis einer ausländischen Aktie zum Zeitpunkt T (in inländischer Währung) n F,T : Anzahl der ausländischen Aktien im Besitz der Bank zum Zeitpunkt T P A,T : Preis einer (inländischen) Aktie zum Zeitpunkt T n A,T : Anzahl der Aktien im Besitz der Bank zum Zeitpunkt T 3 / 72

4 5.3 Historische Simulation Die historische Simulation erfolgt in den folgenden Schritten: 1 Im ersten Schritt werden die aktuellen Portefeuillegewichte bestimmt: w i,t = n i,t P i, i = C, F, A P H,T 2 Nun werden für die einzelnen Risikopositionen die Wertänderungen in Abhängigkeit ihrer Risikofaktoren mit historischen Preisen simuliert. 1. Bestimmung der Wertänderungen für den Call: Der Call auf die Aktie B mit dem strike (Basispreis) K ist von den Risikofaktoren, Preis des underlying P B,t und Zins r F,t abhängig. 4 / 72

5 5.3 Historische Simulation Die Restlaufzeit der Option zum Zeitpunkt T + 1, bezeichnet mit R, wird selbstverständlich bei den Berechnungen unverändert gelassen. Es sollen ja gerade die potenziellen Wertänderungen der Option mit dieser bestimmten Restlaufzeit bestimmt werden. Für die Volatilität wird hier die zum Zeitpunkt T geschätzte Volatilität ˆσ B angesetzt. Mit den Zeitreihen für den Zins r F,t und den Preis der Aktie B P B,t werden nun die Optionspreise für die letzten 251 Tage berechnet, wobei f ( ) die Black-Scholes-Formel (s.o.) zur Berechnung des Werts eines European Calls bezeichne. P C,t = f (r F,t, P B,t ; R, K, ˆσ B ), t = T 250,..., T 5 / 72

6 5.3 Historische Simulation 2. Bestimmung der Wertänderungen für die ausländische Aktienposition: Für die ausländische Aktienposition ist, wenn davon ausgegangen wird, dass die Aktie nicht an einer inländischen Börse gehandelt wird, neben dem Preisrisiko auch das Wechselkursrisiko zu berücksichtigen. Wird mit P F,t der Preis der Aktie in ausländischer Währung und mit S t der Wechselkurs bezeichnet, dann ergibt sich: P F,t = P F,t S t, t = T 250,..., T 6 / 72

7 5.3 Historische Simulation 3. Bestimmung der Wertänderungen für die inländische Aktienposition: Für die inländische Aktienposition ist lediglich das eigene Preisrisiko von Bedeutung. P A,t, t = T 250,..., T. 7 / 72

8 5.3 Historische Simulation 3 Nun werden für die simulierten Preise die diskreten Renditen ermittelt: R i,t = P i,t P i,t 1 P i,t 1, i = C, F, A, t = T 249,..., T und die Porfeuillerendite berechnet: R H,t = w C,T R C,t +w F,T R F,t +w A,T R A,t, t = T 249,..., T. 4 Im letzten Schritt der historischen Simulation wird unter der Annahme, dass die Portefeuillerendite identisch unabhängig verteilt ist, das 1%-Quantil der Portefeuilleverteilung mit R H,(3) geschätzt. Als VaR erhält man damit: VaR(w T, h = 1, α = 0.99) = max(0, R H,(3) P H,T ). 8 / 72

9 5.3 Historische Simulation Vorteile der historischen Simulation: Einfachheit des Verfahrens Ohne großen formalen Aufwand ist es möglich, auch für komplexe Finanzinstrumente im Portfolioverband Risikopotenziale zu ermitteln. Die Annahme eines bestimmten Verteilungssmodells ist nicht notwendig und die beobachtete Leptokurtosis von Wertpapierrenditen wird implizit bei diesem Ansatz berücksichtigt. VaR für eine Haltedauer von 10 Tagen (Wurzel-10-Approximation): VaR(w T, h = 10, α = 0.99) 10VaR(w T, h = 1, α = 0.99). 9 / 72

10 5.3 Historische Simulation Zahlenbeispiel. Portfolio: DAX Handelstag: Wert am : Modell: 1,000, EUR Historische Simulation Schätzzeitraum: (T 249) bis (T ) entspricht 250 Beobachtungen Schätzung des 1%-Quantils R (1) R (2) R (3) R (4)... R (250) / 72

11 5.3 Historische Simulation Berechung des VaR(h = 1, α = 0.99): VaR(h = 1, α = 0.99) = R (3) P T = , 000, 000 = 20, EUR Berechnung des VaR(h = 10, α = 0.99): VaR(h = 10, α = 0.99) = 10 VaR(h = 1, α = 0.99) = 10 20, EUR = 64, EUR 11 / 72

12 5.4.1 Die Familie der stabilen Pareto-Verteilung Analysen von Mandelbrot (1963), Fama (1965) und Granger und Morgenstern (1970) und insbesondere von Westerfield (1977) sowie McFarland, Pettit und Sung (1982), die Wechselkursrenditen untersuchten, konnten die Annahme unabhängig normalverteilter Preisveränderungen nicht bestätigen. Die allgemeine Akzeptanz leptokurtischer Verteilungen von Wertpapierrenditen veranlasste Mandelbrot (1963) eine stabile Pareto-Verteilung anzunehmen. 12 / 72

13 Die grundlegende Idee ist: Wie auch immer die Verteilung von Preisänderungen geartet sei, die Summe der Einflüsse, die für das Zustandekommen von Preisänderungen verantwortlich sind, soll dem verallgemeinerten zentralen Grenzwertsatz von Gnedenko und Kolmogorov (1954) folgen, wonach die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen gegen eine stabile Pareto-Verteilung konvergiert. Die Dichtefunktionen der Familie der stabilen Paretoverteilungen lassen sich nur in zwei Fällen (Normal- und Cauchy-Verteilung) explizit angeben. In den übrigen Fällen ist die Verteilungsfamilie jedoch eindeutig durch ihre charakteristische Funktion φ(t) bestimmt. 13 / 72

14 Die Familie der stabilen Pareto-Verteilung besitzt die folgende charakteristische Funktion φ(t): mit: { ln φ(t) = iδt γ t α 1 + iβt } ω(t, α), t IR, i 2 = 1 t { ( tan πα ) ω(t, α) = 2 für α 1 2 ln( t ) für α = 1 und α charakteristischer Exponent 0 < α 2 β Symmetrieparameter β 1 γ Skalierungsparameter γ 0 δ Lageparameter < δ < + π 14 / 72

15 Dichtefunktion Die Dichtefunktion existiert in geschlossener Form nur in zwei Fällen 1. α = 1 und β = 0 : Cauchy-Verteilung 2. α = 2 und β = 0 : Normalverteilung Momente für 0 < α 1 existieren weder Erwarungswert noch Varianz für 1 < α < 2 existiert nur der Erwartungswert für α = 2 und β = 0 existieren die Momente der Ordnung k = 1, 2, / 72

16 Schiefe Die Schiefe existiert für α = 2, β = 0. SK= 0. Die Dichtefunktion ist symmetrisch für β = 0 rechtssteil (linksschief) für β < 0 linkssteil (rechtsschief) für β > 0 16 / 72

17 Kurtosis Die Kurtosis existiert für α = 2, β = 0 (Normalverteilung). κ = 3. Allgemein gilt: im Zentrum und an den Rändern der Dichtefunktion der stabilen Paretoverteilung ist für α < 2 und β = 0 mehr Wahrscheinlichkeitsmasse als unter der Dichte der Normalverteilung (mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor). 17 / 72

18 5.4.2 Generalized-Error-Distribution [GED-Verteilung] Modell: CMM r t = µ + ε t, ε t Independent White Noise Standardisierte Renditen: v t = r t µ σ, E (v t) = 0, und Var (v t ) = 1. Damit kann man das CMM auch wie folgt notieren: r t = µ + v t σ. Für die v t wird nun angenommen, dass sie i.i.d. Standard-GED verteilt sind. 18 / 72

19 Dichtefunktion f (x) = ν exp { ( ) 1 x ν } 2 λ λ ν Γ ( ), 1 ν < x < +, 0 < ν < +, mit Spezialfälle λ [ ( ) / ( )] ν Γ Γ ν ν für ν = 1 : Standard-Laplace-Verteilung für ν = 2 : Standardnormalverteilung für ν + : Standard-Gleichverteilung 19 / 72

20 Verteilungsfunktion F (x) = x f (u) d u nicht elementar darstellbar Schiefe SK = 0 Kurtosis κ = Γ ( ) 5 Γ ν ( ) 1 Γ ν ( ) 3 2 ν 20 / 72

21 Erwartungswert von X α-quantil E ( X ) = λ2 1 ν Γ(2/ν) Γ(1/ν) x α = F 1 (α) nicht elementar darstellbar 21 / 72

22 1.00 SP = 0.8 SP = 1.0 SP = 2.0 SP = unendlich Dichten der GED-Verteilung für ν = 0.8, 1.0, 2.0, + 22 / 72

23 Log-Likelihood-Funktion [für CMM] ln L(µ, σ 2, ν) = T [ ( ) ] 1 ln λ (1 + 1/ν) ln 2 ln Γ + ln ν ν T 2 ln σ2 1 T (r t µ) 2 σλ t=1 ν 23 / 72

24 5.4.3 Standard-t-Verteilung Dichtefunktion f (x) = 1 Γ (ϕ 2)π ( ϕ+1 2 Γ ( ϕ 2 ) ) (1 + x 2 ϕ 2 ) (ϕ+1) 2, < x < +, 2 < ϕ <, Verteilungsfunktion F (x) = x f (u) d u nicht elementar darstellbar 24 / 72

25 Schiefe SK = 0, für ϕ > 3 Kurtosis κ = ϕ 4, für ϕ > 4 α-quantil x α = F 1 (α) nicht elementar darstellbar 25 / 72

26 0.84 DF= 2.5 DF= 4.5 DF= Dichten der t-verteilung für ϕ = 2.5, 4.5, / 72

27 Log-Likelihood-Funktion [für CMM] ln L(µ, σ 2, ϕ) = T 2 ln [(ϕ 2)π] T 2 ln σ2 ( ) ϕ + 1 ( ϕ ) +T ln Γ T ln Γ 2 2 (ϕ + 1) 2 T t=1 ln (1 + (r t µ) 2 ) σ 2 (ϕ 2) 27 / 72

28 5.4.4 Verallgemeinerte t-verteilung Dichtefunktion f (x; ν, ψ) = ν 2dB(1/ν, ψ) ) (ψ+1/ν) (1 + x ν d ν, x IR, mit: Γ(ψ)Γ(1/ν) ψ > 1, ν > 0, ψν > 2, d = Γ(3/ν)Γ(ψ 2/ν), B(1/ν, ψ) = Γ(1/ν)Γ(ψ) Γ(1/ν + ψ). 28 / 72

29 Spezialfälle 1. ν = 2 und ψ = 1 2 ϕ : Standard-t-Verteilung mit ϕ Freiheitsgraden, 2. ν > 0 und ψ = : Standard-GED-Verteilung, 3. ν = 1 und ψ = : Standard-Laplace-Verteilung, 4. ν = 2 und ψ = : Standardnormalverteilung, 5. ν = und ψ = : Standard-Gleichverteilung. Als sechsten Spezialfall kann man die Cauchy-Verteilung anführen, wenn man auch die Parameterkonstellation (ψ, ν) = (1/2, 2) zulässt und für Γ(ψ)Γ(1/ν) d = Γ(3/ν)Γ(ψ 2/ν) ansetzt. 29 / 72

30 Verteilungsfunktion F (x) = x f (u) d u nicht elementar darstellbar Schiefe SK = 0, für ψν > 3 Kurtosis κ = d 4 B(5/ν, ψ 4/ν), für ψν > 4 B(1/ν, ψ) α-quantil x α = F 1 (α) nicht elementar darstellbar 30 / 72

31 0.5 nu = 2.0, psi = 2.5 Kurtosis = nu = 2.0, psi = 10.0 Kurtosis = nu = 1.0, psi = 5.0 nu = 10.0, psi = Kurtosis = Kurtosis = Dichten der verallgemeinerten t-verteilung (gestrichelte Line: Dichte der Standardnormalverteilung) 31 / 72

32 Log-Likelihood-Funktion [für CMM] ln L(µ, σ 2, ν, ψ) = T ln ν T ln [2dB(1/ν, ψ)] T 2 ln σ2 ( ψ + 1 ) T ( ln 1 + ν t=1 r t µ ν) σ 2 d mit: Γ(ψ)Γ(1/ν) d = Γ(3/ν)Γ(ψ 2/ν), Γ(1/ν)Γ(ψ) B(1/ν, ψ) = Γ(1/ν + ψ). 32 / 72

33 5.4.5 Schiefe verallgemeinerte t-verteilung Dichtefunktion ( νb 1 + 2dB(1/ν, ψ) f (x) = ( νb 1 + 2dB(1/ν, ψ) ) (ψ+1/ν) bx + a ν (1 λ) ν d ν ) (ψ+1/ν) bx + a ν (1 + λ) ν d ν für für x a/b x > a/b, mit: ψ > 1, ν > 0, ψν > 2, 1 < λ < 1 und a = 2λd B(2/ν, ψ 1/ν) B(1/ν, ψ) b 2 = 1 + 3λ 2 a 2 33 / 72

34 Spezialfälle Für λ = 0 erhält man die symmetrische verallgemeinerte t-verteilung und damit auch die in ihr enthaltenen Spezialfälle. Für 1 < λ < 0 ergeben sich die entsprechenden linksschiefen Versionen der angegebenen Spezialfälle. Und entsprechend für 0 < λ < 1 die rechtsschiefen Versionen. Dies gilt für alle angesprochenen Verteilungsmodelle bis auf die Gleichverteilung, denn auch für λ 0 konvergiert die Dichte der verallgemeinerten t-verteilung für ν und ψ punktweise gegen die Dichte einer Gleichverteilung. 34 / 72

35 Verteilungsfunktion F (x) = x f (u) d u nicht elementar darstellbar m 1 = 2λd B(2/ν, ψ 1/ν) B(1/ν, ψ) a m 2 = 1 + 3λ 2 m 3 = 4λ(1 + λ 2 )d m 4 = (1 + 10λ 2 + 5λ 4 )d 3 B(4/ν, ψ 3/ν), ψν > 3, B(1/ν, ψ) 4 B(5/ν, ψ 4/ν), ψν > 4. B(1/ν, ψ) 35 / 72

36 Schiefe SK = m 3 3m 1 m 2 + 2m 3 1 b 3, für ψν > 3 Kurtosis κ = m 4 4m 1 m 3 + 6m 2 1 m 2 3m 4 1 b 4, für ψν > 4 α-quantil x α = F 1 (α) nicht elementar darstellbar 36 / 72

37 0.56 nu = 2.0, psi = 2.5, lambda = -0.5 Schiefe = , Kurtosis = nu = 2.0, psi = 10.0, lambda = 0.5 Schiefe = , Kurtosis = nu = 1.0, psi = 5.0, lambda = -0.5 nu = 10.0, psi = 10.0, lambda = Schiefe = , Kurtosis = Schiefe = , Kurtosis = Dichten der schiefen verallgemeinerten t-verteilung (gestrichelte Line: Dichte der Standardnormalverteilung) 37 / 72

38 Log-Likelihood-Funktion [für CMM] ln L(µ, σ 2, ν, ψ, λ) = T [ln ν + ln b ln 2 ln d ln B(1/ν, ψ)] T 2 ln σ2 ( ψ + 1 ν ) T t=1 [ I t ln (1 + b(r t µ)/σ + a ν (1 λ) ν d ν +(1 I t ) ln (1 + b(r t µ)/σ + a ν )] (1 + λ) ν d ν ) mit: 1 für I t = 0 für r t µ σ r t µ σ a b > a b 38 / 72

39 3.4.6 Ein empirisches Beispiel Deutscher Aktienindex DAX [30] Beobachtungszeitraum: Stetige Tagesschlusskursrenditen [in %] r t = 100 [ln P t ln P t 1 ] Modell: CMM r t = µ + ε t, ε t iid mit E (r t ) = 0 und Var (r t ) = σ 2 = µ + v t σ, v t iid mit E (v t ) = 0 und Var (v t ) = / 72

40 Verteilungsmodelle 1 Normalverteilung Spezialfall der schiefen verallgemeinerten t Verteilung mit ν = 2, ψ = und λ = 0 2 GED Verteilung Spezialfall der schiefen verallgemeinerten t Verteilung mit ψ = und λ = 0 3 t Verteilung Spezialfall der schiefen verallgemeinerten t Verteilung mit ν = 2 und λ = 0 4 Verallgemeinerte t Verteilung Spezialfall der schiefen verallgemeinerten t Verteilung mit λ = 0 5 schiefe verallgemeinerte t Verteilung 40 / 72

41 Modellevaluation Residuen ε t = r t µ mit E (ε t ) = 0 und ε t = σ 2 Standardisierte Residuen v t = r t µ σ U-Transformierte u t = vt Z-Transformierte mit v t iid mit E (v t ) = 0 und Var (v t ) = 1 f (x) dx mit u t iid U(0, 1). z t = Φ 1 (u t ) mit z t iid N(0, 1) 41 / 72

42 Normal GED Student t Gen. t Sk. Gen. t µ (1.790) (5.022) (4.127) (4.235) (1.923) σ (91.852) (36.454) (17.479) (19.477) (19.933) ν (44.200) (12.923) (12.982) ψ (16.153) (4.623) (4.568) λ ( 2.910) LogLike SC Mean(ẑ) StDev(ẑ) Skewness(ẑ) (0.000) (0.002) (0.019) (0.017) (0.801) Kurtosis(ẑ) (0.000) (0.000) (0.524) (0.833) (0.915) JB(ẑ) (0.000) (0.000) (0.052) (0.055) (0.963) KS(ẑ) t-values in parentheses; : p-values in parentheses; JB: Jarque-Bera test. KS: Kolmogorov-Smirnov test at significance level α = 0.05 tabulated critical value / 72

43 1 Überprüfen Sie im CMM [GED] die folgenden Hypothesen zum Konfidenzniveau α = 0.05: H 0 : ν = 2 vs H 1 : ν 2 H 0 : ν = 1 vs H 1 : ν 1 2 Überprüfen Sie im CMM [Gen. t] die Nullhypothese H 0 : ν = 2 vs H 1 : ν 2 mit Hilfe eines LR-Tests (α = 0.05). 3 Überprüfen Sie im CMM [SK Gen. t] die Nullhypothese H 0 : λ = 0 vs H 1 : λ 0 zum Signifikanzniveau α = Schlussfolgerung! 43 / 72

44 4 Welches Modell würden Sie nach dem Schwarz-Kriterium auswählen? 5 Überprüfen Sie für die Z-Transformierten und zwar für alle Modelle die folgenden Hypothesen (α = 0.05): H 0 : SK = 0 vs H 1 : SK 0 H 0 : κ 3 = 0 vs H 1 : κ 3 0 H 0 : die Z-Transformierten sind normalverteilt 6 Welches Modell würden Sie auf Grund der durchgeführten Tests auswählen? 44 / 72

45 Neben den formalen Tests werden mit grafischen Hilfsmitteln die konkurrienden Modelle miteinander verglichen. Für die jeweiligen Modelle wurden die folgenden Grafiken erstellt: Histogramm für die U-Transformierten, P-P-Plot für die U-Transformierten, Kerndichteschätzer für die Z-Transformierten. Kommentieren Sie die Grafiken! 45 / 72

46 Histogram U-Transformed (Normal) 2.0 DAX 1.5 Relative Frequency Bins 46 / 72

47 P-P Plot (Normal) percent confidence interval DAX 0.75 u(k) k/(t+1) 47 / 72

48 Kerndichte vs. Normalvert Kerndichte Normal z-transformierte (Normal) f(x) x 48 / 72

49 2.0 Histogram U-Transformed (GED) DAX 1.5 Relative Frequency Bins 49 / 72

50 percent confidence interval P-P Plot (GED) DAX 0.75 u(k) k/(t+1) 50 / 72

51 0.40 Kerndichte Normal 0.35 Kerndichte vs. Normalvert. z-transformierte (GED) f(x) x 51 / 72

52 2.0 Histogram U-Transformed (Student t) DAX 1.5 Relative Frequency Bins 52 / 72

53 percent confidence interval P-P Plot (Student t) DAX 0.75 u(k) k/(t+1) 53 / 72

54 0.45 Kerndichte Normal 0.40 Kerndichte vs. Normalvert. z-transformierte (Student t) f(x) x 54 / 72

55 2.0 Histogram U-Transformed (Gen. t) DAX 1.5 Relative Frequency Bins 55 / 72

56 percent confidence interval P-P Plot (Gen. t) DAX 0.75 u(k) k/(t+1) 56 / 72

57 0.40 Kerndichte Normal 0.35 Kerndichte vs. Normalvert. z-transformierte (Gen. t) f(x) x 57 / 72

58 2.0 Histogram U-Transformed (Skewed Gen. t) DAX 1.5 Relative Frequency Bins 58 / 72

59 percent confidence interval P-P Plot (Skewed Gen. t) DAX 0.75 u(k) k/(t+1) 59 / 72

60 0.40 Kerndichte Normal 0.35 Kerndichte vs. Normalvert. z-transformierte (Skewed Gen. t) f(x) x 60 / 72

61 1%-Quantile der Standard-Verteilungen Verteilung µ σ 2 ν ψ λ 1%-Quantil Normal GED t Gen. t SK. Gen. t Aufgabe. Berechnen Sie für das von Ihnen ausgewählte Modell den Value at Risk, wenn der Wert des Handelsportfolios am (T ) 1,000, EUR beträgt, für eine Haltedauer von einem Tag und für eine Haltedauer von 10 Tagen ( 10-Approximation). 61 / 72

62 Die verschiedenen Methoden im Vergleich Portfolio: Wert am : DAX 1,000, EUR Modell VaR[h = 1, α = 0.99] 10VaR[h = 1, α = 0.99] CMM (Normal,T=250) 17, EUR 54, EUR Historische Simulation 20, EUR 64, EUR CMM (SK Gen. t) 38, EUR 123, EUR 62 / 72

63 Literatur zum 5. Kapitel Bachelier, L. (1900), Theory of speculation, wiederabgedruckt in: Cootner,P. (Hrsg.) (1964), The random character of stock market prices, Cambridge, MA: M.I.T. Press. Baillie, R. und P. McMahon (1989), The foreign exchange market theory and econometric evidence, Cambridge: Cambridge University Press. Berkowitz, J., (2001), Testing density forecasts, with applications to risk mangement. Journal of Business & Economic Statistics 19, Boothe,P. and D. Glassman, (1987), The statistical distribution of exchange rates, Journal of International Economics 22, / 72

64 Literatur zum 5. Kapitel Bünning, H. und G. Trenkler (1994), Nichtparametrische statistische Methoden, Berlin: Walter de Gruyter. Diebold, F.X. (1988), Empirical modeling of exchange rate dynamics, Berlin: Springer Verlag. Diebold, F.X., T.A. Gunther und A.S. Tay (1998), Evaluating density forecasts with applications to financial risk management. International Economic Review 39, Embrechts, P., C. Klüppelberg und T. Mikosch (2000), Modelling extremal events, Berlin: Springer Verlag. Epanechnikov, V. (1969), Nonparametric estimates of a multivariate probability density, Theory of Probability and its Applications, 14, S Fama, E.F. (1965), The behaviour of stock market prices, Journal of Business, 38, S / 72

65 Literatur zum 5. Kapitel Friedman, B. und D.I. Laibson (1989), Economic implications of extraordinary movements in stock prices, Brookings Papers on Economic Activity, 2, S Franke, J., W. Härdle und C. Haffner (2000), Einführung in die Statistik der Finanzmärkte, Berlin: Springer Verlag. Friedman, B. und D.I. Laibson (1989), Economic implications of extraordinary movements in stock prices, Brookings Papers on Economic Activity, 2, S Gnedenko, B.V. & A.N. Kolmogorov (1954), Limit distributions for sum of independent random variables, Reading, MA: Addison-Welsey Publishing Company. Granger, C.W.J. und O. Morgenstern (1970), Spectral analysis of New York stock market prices, Kyklos, 16, S / 72

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67 Literatur zum 5. Kapitel Jarque, C.M. und A.K. Bera, (1980), Efficient tests for normality, homoskedasticity and serial independence of regression residuals, Economics Letters 6, Jarque, C.M. und A.K. Bera, (1987), A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review 55, Jondeau, E., S. Poon und M. Rockinger, (2007), Financial modeling under non-gaussian distributions, London: Springer Limited. Johnson, N.L., Kotz, S., Balakrishnan, N., (1995), Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd edition, New Yorck: Wiley & Sons. J.P. Morgan/Reuters (1996), RiskMetrics TM - Technical document, New York: J.P Morgan. 67 / 72

68 Literatur zum 5. Kapitel Kendall, M.G. (1953), The analysis of economic time series - Part I:prices, Journal of the Royal Statistical Society, 96, S Küchler, U., K. Neumann, M. Sørensen und A. Streller (1994), Stock returns and hyperbolic distributions, mimeo, SfB 373, Humboldt Universität Berlin. Lilliefors, H.W., (1967), On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown, Journal of the American Statistical Association 62, Loretan, M. und P.C.B Phillips (1994), Testing the covariance stationarity of heavy-tailed time series: An overview of the theory with applications to several financial datasets, Journal of Empirical Finance, 1, S / 72

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