3.1 Grundlagen der Multivariaten Modellierung

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1 Semnar: Quanttatves Rskomanagement Multvarate Moelle I Prof: Hanspeter.Schml Betreuung: Jula Esenberg Zhou,Yng 3. Multvarate Moelle I Fnanzelle Rskomoelle für en Absatzmarkt oer für Kretrsken sn grunsätzlch multvarat.z.b De Wertänerung es Bestanes ener gehanelten Ware über enen festen Zetraum hängt von enem zufällgen Vektor von Rskofaktoren oer em Ertrag ab. Im weteren betrachten wr enge Moelle für Zufallsvektoren, e telwese nützlch für fnanzelle Daten sn. 3.1 Grunlagen er Multvaraten Moellerung In eserm Abschntt betrachten wr e multvarate Normalvertelung un hre Egenschaften. Dese Vertelung st wchtg für klasssche multvarate Analyss un st er Start für Moellerung es Markrskos Zufallsvektoren un hre Vertelungen Gemensame- un Ranvertelung Betrachte enen -mensonal Zufallsvektor von Rsko-Faktor Veränerung (oer returns) X = (X,..., X 1 ). Vertelungsfunkton (f) De Vertelung von X st beschreben urch e gemensame F X(x) = F X(x 1,..., x ) = P(X x) = P(X 1 x 1,..., X x ) De Ranvertelungsfunkton von X kann lecht aus er gemensamen f berechnet weren: F (x ) = P (X x ) = F (,...,, x,,..., ) Falls F (x) absolut stetg st, ann nennen wr hre Abletung f (x) Ranchte von X. Es st möglch ene k-mensonale Ranvertelung von X für k 1 zu efneren. Wr können X n X 1, X zerlegen wobe X1 ( X1,..., X k ), X ( X k 1,..., X ) e Ranvertelungsfunkton von X 1 :, ann st F (x ) = P(X x ) = F(x,..., x,,..., ). X k 1

2 De f von enem Zufallsvektor X heßt absolut stetg, falls x1 x F( x,... x )... f ( u,..., u ) u... u, wobe f als gemensame Dchte von X ncht negatv st. Bemerkung. Exstenz von gemensamer Dchte => Exstenz von Ranchte für alle k-m. Ranwerte. Defntonen : Überlebensfunkton st efnert als De Ranüberlebensfunkton von X st efnert als: Bengte Vertelung un Unabhänggket Falls wr en multvarates Moell für Rsken haben n er Form ener gemensamen f, Überlebensfunkton oer Dchte, ann haben wr auch e Abhänggketsstruktur für Rsken beschreben. Zerlegen X n X, X,un angenommen f von X st absolut stetg. Se 1 f X 1 gemensame Dchte von k-m. Ranvertelung F X 1. Dann hat bengte Vertelung von X mt gegebenem X x Dchte : 1 1 Un e zugehörge f: X1 un X unabhängg F( x) F ( x ) F ( x ) X1 1 X x. Bestzt X ene gemensame Dchte, f ( x) f ( x ) f ( x ). X1 1 X De Komponenten von X sn unabhängg vonenaner F( x) F ( x ) x R, n 1

3 esem Fall bestzt X ene Dchte f ( x) f ( x ). 1 Momente un charakterstsche Funkton Erwartungsvektor von X, falls er exstert: Kovaranzmatrx, falls se exstert: Das (,j)te Element von st. De Dagonalelemente sn Varanzen V ( X ) von Komponenten von X. D.h Var( X ),..., Var( X ) 11 1 Bezechnen e Korrelatonsmatrx von X mt ( X ). Defneren Y mt Y X / Var( X) ann bezechnen P ( X ) Cov( Y ), un as (,j) Element: Verhältns zwschen Korrelaton un Kovaranz-Matrx: P ( ) k Für B R, b R k Kovaranzmatrx (un auch Korrelatonsmatrx) sn also postv sem efnt; Aus (3.8) folgt var( ax ) a a 0 a R Wr können e Cholesky-Zerlegung er postv-efnten Kovaranzmatrx häufg benutzen. Se AA, A se untere Dreecksmatrx mt postven Dagonalelementen. A heßt Cholesky Faktor: 1/, un e Inverse avon st 1/. 3

4 Charakterstsche Funkton: 3.1. Stanar Schätzer von Kovaranz un Korrelaton Angenommen, wr haben n Beobachtungen enes -m Rsko-Faktor Return Vektors X,... 1 X n. Des sn täglche, wöchentlche, monatlche oer jährlche Beobachtungen, e ene multvarate Zetrehenfolge blen. In esem Abschntt nehmen wr an, ass e Beobachtungen entsch vertelt sn un entweer unabhängg oer zumnest unkorrelert. Wr nehmen an, ass e Betrachtungen X,... 1 X n vom Erwartungsvektor, enlcher Kovaranzmatrx un Korrelatonsmatrx P entstammen. Stchprobenmttelwertvektor un Stchprobenkovaranzmatrx: X st erwartungstreu, aber S ncht. Setze S : ns /( n 1), ann st S erwartungstreu. u wobe cov( X ) 1 n, falls er Vektor oer entsch vertelt st. Stchprobenkorrelatonsmatrx R mt Elementen Stchprobenkovaranzmatrx. rjk kann lecht berechnet weren urch Ihr (j,k)tes Element st r s / s s un R ( s). jk jk jj kk De multvarate Normalvertelung Defnton 3.1 X = (X,..., X 1 ) hat ene multvarate normal oer Gaußsche Vertelung, falls X +AZ, wobe Z = (Z,..., Z 1 k ) en Vektor von. Unvarat Stanar normalvertelten Zufallsvarablen ( mt Erwartungswert 0 un Varanz 1), A k R, R, 4

5 Es st lecht zu bewesen, ass E(X)=, un Cov(X)=,wobe AA postv semefnt. 1 Wr wssen, ass Z (t)=ext(- t ) e charakterstsche Funkton ener Stanar unvarat normalvertelten Z. Daraus folgt, ass e charakterstsche Funkton von X urch gegeben st. Notaton: X ~ N (, ) Bemerkung. De Komponenten von X sn ann un nur ann unabhängg, wenn ene Dagonalmatrx st. Betrachte Rang(A) = k, hat en Rang un eswegen nverterbar un postv efnt. X hat ene gemensame Dchte: Dese Form zegt, ass sch Punkte mt glechen Dchten auf er selben Ellpse befnen. Falls ene multvarate Dchte f(x) von x nur von abhängt, ann st f(x) e 1 ( x ) ( x ) Dchte ener ellptschen Vertelung.(Abschntt 3.3). Im Bl 3.1 sehen wr Konturen glecher Dchten sn Ellpsen. Bl 3.1 5

6 (a) Perspektve un Kontur Plots für e Dchte ener bvarate Normalvertelung mt Stanar Normalranvertelung un Korrelaton 70%. (b) e entsprechenen Plots für ene bvarate t-dchte mt Frehetsgra 4 un glechem Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx. Algorthmus 3. (Smulaton er multvaraten Normalvertelung) (1) Zerlegen urch Cholesky Zerlegung um zu erhalten. () Erzeugen 1/ (3) Setze X= + Z Egenschaften: Lneare Kombnaton 1/ Z = (Z,..., Z 1 ) von unanh. Stanar normalvertelten ZV. Lneare Kombnaton von multvarat normalen Zufallsvektoren blebt multvarat normal. Se X ~ N (, ), B k R, b R k ann urch charakterstsche Funkton (3.10) haben wr Falls a R ann (Dese Egenschaft st anwenbar n er Varanz-Kovaranz Ansatz n Rskomanagement.) Ranvertelung: De unvarate Ranvertelung von X muss unvarat normal sen. (wegen 3.13) Bengte Vertelung Angenommen st postv efnt, ann st e bengte Vertelung von X gegeben X 1 un von X1 gegebenen X auch mutvarat Normal-vertelt. Quaratsche Formen Falls X ~ N (, ) mt postv efnert, ann ene Vertelung mt Frehetsgraen. 1/ Her betrachten wr Z ( X ) ~ N (0, I ) un ( X ) ( X ) ZZ ~ X 1 Faltung Seen X un Y unabhängge -m. Zufallsvektoren mt X ~ N (, ) un, ann mt Hlfe er char. Funktonen bekommen wr Tests für Normaltät un multvarate Normaltät Unvarate Tests 6

7 Seen X,... 1 X n multvarat normal, für 1 j, so muss e unvarate Stchprobe X,... X auch unvarat normal sen. Wssen, jee unvarate Stchprobe konstruert urch 1, j n, j ene Lnearkombnaton von er Form ax,... 1 ax n muss auch unvarat normal sen. Das kann auch mttels QQ-Plot grafsch gezegt weren. (QQ-Plot st en grafsches Stanarwerkzeug, as e Bezehung zwschen emprschen Quantlen un theoretschen Quantlen ener Referenzvertelung zegt.) In Bl 3. sehen wr en QQ-Plot von täglchen Returns vom Dsney Hanelspres von 1993 bs 000 gegnüber ener Normal Referenzvertelung. Wr sehen ass e emprschen Quantle tenert größer zu sen als e entsprechenen Quantle er Normalvertelung. D.h. e Normalvertelung st en schlechtes Moell für ese Returns. Bl 3. Quantle er Stanar Normalvertelung Der anwenbare Jarque-Bera Test schätzt glechzetg ab ob e Schefe un Wölbung er Vertelung mt em gaußschen Moell überenstmmen. Der Schefe- un Wölbungskoeffzent ener unvaraten Stchprobe Z,..., 1 Zn sn efnert urch Theoretsche Schefe un Wölbung sn efnert urch 3 3 E( Z ) / un 4 4 E( Z ) / un nehmen e Werte 0 un 3 entsprechen an für ene Normal-vertelt Z. Jarque-Bera Test Statstk: 7

8 un hat ene asymptotsch ch-quarat-vertelung mt Frehetsgra unter Nullhypothese von Normaltät. De Wölbung Werte er Stchprobe wechen stark von 3 ab un e Schefe wecht stark von 0 ab,.h. e Hypothese er Normaltät trfft ncht zu. Multvarate Tests: Wr testen gemensame Normaltät. Wssen: (3.14) hat ene ch-quaratsche-vertelung. Wenen (3.9) an um un zu schätzen un konstrueren Wel e Schätzer von Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx n jeer Konstrukton von D benutzt weren, sn se ncht unabhängg. Wssen n( n 1) D ~ Beta(, ( n 1)) so ass e wahre Vertelung ene skalerte 1 1 beta Vertelung st. Wr erwarten D,..., 1 Dn verhalten sch we ene Stchprobe von ener x -Vertelung, un wr konstrueren QQ-Plot gegen ese Vertelung. Numersche Tests er multvaraten Normaltät, baseren auf multvaraten Massen er Schefe un Wölbung sn auch möglch. Defnere: wobe D gegeben n (3.16) un bekannt als Mahalanobs Dstanz zwschen X un X un D X X S X X als Mahalanobs Wnkel zwschen ( X X ) un ( X X ). 1 j ( ) ( j ) Dese Masse weren zu unvaraten Maßen b un k m Fall =1. Unter er Nullhypothese er multvaraten Normaltät st e asymptotsche Vertelung für n j Maras Test enthält Verglech von Schefe un Wölbung Statstken mt obgen theoretschen Referenzvertelungen. Bespel 3.3 (über e Nomaltät von Returns von Dow Jones 30 Akten.) Wr wenen en Test von Normaltät zu ener bel. Telmenge von 10 Akten an. Wr betrachten täglch, wöchentlch un verteljährlch logarthmsche Returns. Fr jee Akten berechnen wr e Stchproben-Schefe un Wölbung un wenen Jarque-Beta Test zu er unvarate Zetfolge an. Für täglch un wöchentlche Returnaten fallen alle Tests urch. 8

9 Insbesonere, es gbt mache große Wert fr Stchprobe Wölbung. Fr monatlche Daten st Nullhypothese ncht formal abgelehnt (ablehnen her heßt p-value größer als 0.05) fr 4 Akten. Fr verteljährlche Daten st ncht abgelehnt fr 5 Akten, obwohl e Stchprobegröße klen st. Wr wenen Mara's Tests von multnomaltät an, e auf multvarat Schefe un Wölbung fr alle 10 Akten basert. Das Ergebns st n Tabelle 3. gezegt. n Tabelle 3.3 verglechen D Daten(3.16) zu ener -Vertelung mt ener QQPlot. 10 9

10 Bl 3.3 Für e täglchen, wöchentlchen un monatlchen Returnaten fallen e multvaraten Tests von Normaltät urch. Fr verteljährlche Return Daten lehnt e multvarate Wölbung Test e Nullhypothese ncht ab, aber er Schefe Test schon. De QQPlot m Bl 3.3() schent lecht lnear zu sen. Das st Bewes afr, ass Return ber ene verteljährlche Zetspanne näher an er Normalvertelung st. Das Bespel west arauf hn, ass n velen Rsk-Management Anwenungen e multvarate Normalvertelung kene gute Beschrebung er Wrklchket st. De Nachtele sn: (1). De Flanken er unvaraten Ranvertelungen sn zu nn; Se ornen ncht genug "Gewcht" en extremfällen zu. (). De gemensame Flanken er Vertelung ornet ncht genug Gewcht en gemensamen Extremfällen zu. (3). Dese Vertelung st symmetrsch.( so genannte ellptsche Symmetre ) 3. Gemschte Normalvertelungen In esem Abschntt wr er Zufall zuerst n e Kovaranzmatrx un ann n en Erwartungsvektor ener multvaraten Normalvertelung urch ene postve Mschvarable W engeführt. 10

11 3..1 Normal Varanz-Mschungen Defnton. Der Zufallsvektor X hat ene (multvarate) Normal Varanz Mschvertelung, falls Wobe () Z ~ N (0, I ); k k () W 0 st ene ncht negatve, skalar wertge ZV, e unabhängg von Z st () A k R, R Solche Vertelungen sn bekannt als Varanz Mschung. Be er multvaraten Normalvertelung nteressert man sch nsbesonere für en Fall: rang( A) k, un hat en Vollrang, postv-efnt; as brngt uns ene ncht-snguläre normal Varanz-Mschung. Vorausgesetzt W hat ene enlche Erwartung, ann un Wr bezehen uns auf un als Locaton Vector un sperson matrx eser Vertelung. Bem. 1. (Kovaranzmatrx von AZ) st Kovaranzmatrx von X nur, falls E(W) = 1. st er Erwartungsvektor nur, falls E(X) efnert st,.h E W 1/ ( ) < 3. Dese Vertelungen sn en gutes Bespel er Moelle, wobe Korrelaton = 0 ncht notwengwese e Unabhänggket von Komponenten von X beeutet. 4. De Korrelatonsmatrzen von X un Z sn glech, falls E(W) < Lemma 3.5 Hat ( X1, X ) ene gemschte Normalvertelung mt A= I un E(W) <, so ass cov ( X1, X ) =0. Dann sn X1 un X ann un nur ann unabhängg, wenn X fast scher konstant st..h ( X1, X ) sn normal vertelt. Bewes: De Glechhet glt nur wenn W konstant st. Durch Anwenung von (3.10) können wr e charakterstsche Funkton von ener normal Varanz Mschung berechnen. 11

12 wobe ˆ ( ) v H e H ( v ) Laplace-Steltjes Transformaton von f H von W. Aufgrun (3.1) 0 benutzen wr X ~ M (,, Hˆ ) für ene gemschte Normal Varanz. Angenommen, st postv efnt, un e Vertelung von W hat ken Punktmass n 0, ann können wr e gemensame Dchte von er normal Varanz-Mschung Vertelung ableten. Se f X W e bengte Dchte von X gegeben W. De Dchte von X st gegeben urch: mt Lebesque-Steltjes Integral; falls H Dchte h hat, menen wr as Remannsche Integral 0 f x w h w w. Alle solche Dchten weren von x nur urch e quaratsche Form ( ) ( ) X W abhängen. Das beeutet, se sn e Dchten von ellptschen Vertelungen. 1 ( x ) ( x ) Bespel 3.6 (Gemschte zwe-punkte Normal-Vertelungen) En enfaches Bespel von gemschten Normalvertelungen erhält man, falls W ene skrete ZV st. z.b as zwe-punkte gemschte Normal moell wr aurch erhalten, ass W n (3.19) ene skrete rv wr, e nmmt an, ass e postve Werte k1 un k mt Wahrschenlchket p un 1-p angenommen weren. Wähle k relatv groß zu k1 un wähle p groß, ese Vertelung können angewenet weren um Verläufe zu efneren. (1) En gewöhnlche Verlauf, er meste Zet glt. () En Stress-Verlauf, er mt Wahrschenlchket 1-p passert. Bespel 3.7 (multvarate t Vertelung) 1 1 Setze W n (3.19) zu ener rv mt ener Inversen Gamma Vertelung W Ig( v, v), ann hat X ene mutvarate t Vertelung mt Frehetsgra 4. Notaton für e Multvarate t : X ~ t ( v,, ). st ncht e Kovaranzmatrx von X n er Defnton von Multvarate t. Wegen E(W)=v/(v-) haben wr Cov(X)=(v/(v-)) Kovaranzmatrx(un Korrelatonsmatrx) von eser Vertelung sn efnert falls v>. Wr wenen (3.) an, um e Dchte zu berechnen, un Offenschtlch st e Ortskurve von Punkten mt glecher Dchte weer en Ellpso mt 1

13 Glechung x x c für c>0. Im Verglech mt er multvarate normal Vertelung 1 ( ) ( ) stegen e Konturen glecher Dchte schnell n as Zentrum er Vertelung un verfallen schrttwese auf en nergeren Hang von er Vertelung. Bespel 3.8 (symmetrsche verallgemenerte hyperbolsche Vertelung) Ene flexble Famle von gemschte Normal Varanz st enthalten urch ensetzen von W n (3.19) un wr bekommen ene verallgemenerte Inverse Gaußsche Vertelung(GIG), W ~ N (,, ). Mt er Anwenung von (3.) wr gezegt, ass ene gemschte Normal Varanz konstruert mt eser gemschten Dchte ene gemensame Dchte hat. wobe K e mofzerte Bessel Funkton 3. Gattung st. De GIG gemschte Vertelung st sehr flexbel un enthält Gamma un Inverse Gamma Vertelung als besoneren Grenzenfall. (n Bezug auf >0, =0, auf <0, =0 ) In esem Fall wr e Dchte n (3.4) als en Lmt nterpretert als 0 oer 0. De gemschte Gamma Vertelung ergbt ene Laplace Vertelung oer en sogenanntes symmetrsches Varanz-Gamma Moell un e Inverse Gamma ergbt t we m Bespel 3.7; t entspcht n em Fall =-v/ un =v. De besoneren Fälle =-0.5 un =1 haben Aufmerksamket be en fnanzellen Moellen; Das zwete führt zu ener symmetrschen Multvaraten Vertelung, essen en-m. Ranvertelung als hyperbolsche Vertelung bekannt st. Um e Kovaranz-Matrx von en Vertelungen n er verallgemenerten symmetrschen Hyperbelfamle zu berechnen, verlangen wr en Erwartungswert er GIG-Vertelung, e n (A9) für >0 un >0 gegeben st. De Kovaranzmatrx von er multvaraten Vertelung n (3.4) kommt vom (3.0), Proposton 3.9 Falls X ~ Y ~ M ( B b, B B, Hˆ ) : k M (,, Hˆ ) un Y= BX+b, wobe B Bewes: Wr wenen e charakterstsche Funkton n (3.1) an, k R un b k R,ann So wr e Unterklasse er Mschvertelung, e urch Ĥ angegeben st, unter enen lnear Transformaton geschlossen. z.b falls X ene multvarate t Vertelung mt Frehetsgra v st, ann st jee lnear Transformaton von X auch so; De lneare Kombnaton ax würe ene unvarate t Vertelung mt Frehetsgra v haben. Normal Varanz Mschvertelung weren lecht smulert urch Def.3.4. Um ene Varate X ~ M (,, Hˆ ) mt postv efnt verwenen wr en folgenen Algorthmus. 13

14 Algorthmus 3.10 (Smulaton von Normal Varanz-Mschung) (1) Erzeugen Z ~ N (0, ) mt Algo.3.. () Erzeugen unabhängg ene postve gemschte Varable W mt f H (entsprechen zur Laplace-Steltjes Transformaton Ĥ ) (3) Setze X= W Z Um X ~ t ( v,, ) zu erzeugen, sollte e gemschte varable W ene Ig 1 v, 1 v v Vertelung haben; un n em Fall v/w ~ hat ene ch-quaratsche Vertelung Frehetsgra v. Um ene Stchprobe von ener verallgemenerten hyperbolschen Vertelung mt Dchte (3.4) zu nehmen, müssen wr W ~ N (,, ) erzeugen. Um ene Stchprobe von er GIG Vertelung zu nehmen, können wr ene Ablehnen-Algorthmus von Atknson benutzen. 3.. Gemschte Erwartungswert-Varanz Normalvertelung Alle multvaraten Vertelungen, e wr bs jetzt betrachtet haben, haben ellptsche Symmetren un as kann en verenfachtes Moell für wahre rsko-faktor return Daten sen. Unter anerem beeutet ellptsche Symmetre ass alle enmensonalen Ranvertelungen symmetrsch sn, er e häufge Beobachtung für Akten Returns wersprcht, wel negatve Returns ckere Flanken als postve Returns hat. Das Moell,as wr jetzt enführen, versucht ene Asymmetre zu er Klase von gemschten Normalvertelungen hnzufügen, un er gbt e Klasse er multvarate normalen Erwartungs-Varanz Mschung. Defnton 3.11 Der Zufallsvektor X hat ene (multvarate) Normal Erwarungswert-Varanz Mschungvertelung, falls Wobe () Z ~ N (0, I ) () () k k W 0 st ncht negatv, Skalar-bewertet rv, e von Z unabhängg st. A k R (v) M:[0, ) st ene Matrx R st ene messbare Funkton In esem Fall haben wr X W = w ~ N ( m( w), w ) (3.6) Wobe AA. Im allgemen sn solche Vertelung ncht ellptsch. Ene möglche konkrete Spezfzerung für e Funkton m(w) n (3.6) st 14

15 wobe un sn Parametervektor n R. Wegen E(X W)= +W un cov(x W)=W haben wr falls e gemschte Varable W ene enlche Varanz hat. Von (3.8) un (3.9) wssen wr ass un sn er Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx von X sn. Nur wenn =0, st e Vertelung ene gemschte normale Varanz un e gegebene Moment-Formel n (3.0) glt Verallgemenerte hyperbolsche Vertelungen Im Bespel 3.8 schauten wr auf e spezelle Unterklasse er verallgemenerten hyperbolschen Vertelung, e aus em ellptsch symmetrschen normalen Varanz Mschvertelung bestehen. De volle verallgemenerte Hyperbelfamle wr aurch erhalten, ass Erwartungswert-Varanz Mschung Konstrukton (3.5) un e bengte Erwartungswert Spezfzerung (3.7). Für e Vertelungsmschung nahmen wr an W~ N (,, ), ene GIG Vertelung mt Dchte (A.8). Bemerkung 3.1. Dese Klasse er Vertelungen hat vel Aufmerksamket n er Lteratur über fnanzell Moelle erhalten, besoners m unvaraten Fall. En wchtger Grun st hre Verbnung zu Levy-Prozessen mt unabhänggen un statonären Zuwächsen (we e Brownsche Bewegung), e zum Presprozessen moelleren verwenet weren n er stetger Zet. Für jeen verallgemenerte Hyperbolsche Vertelung st es möglch um enen Levy Prozess zu bauen, so ass er Wert er Zunahme es Prozesses über en festes Zetntervall ese Vertelung hat; as st nur möglch wel as verallgemenerte Hyperbolche Gesetz ene sogenannte unenlch telbare Vertelung st, ene Egenschaft e von er GIG gemschte Vertelung von W st. De gemensame Dchte m ncht-sgulär Fall ( hat rang ) : wobe h(w) e Dchte von W st. Daurch erhalten wr e verallgemenerte hyperbolsche Dchte wobe e normalserene Konstant st 15

16 Falls =0,wr e Vertelung zu ener symmetrsch verallgemenert hyperbolschen besoners m Fall von Bespel 3.8. Im allgemenen haben wr ene ncht-ellptsche Vertelung mt asymmetrscher Ranvertelung. Der Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx von eser Vertelung st lecht berechenbar urch (3.8) un (3.9). De char. Funkton von er verallgemenerten hyperbolschen Vertelung kann berechnet weren urch (3.1): wobe Ĥ e Laplace-Steltjes Transformaton von er GIG Vertelung. Wr übernehmen e Notaton X ~ GH (,,,,, ). Bem. 1. Vertelungen GH (, / k, k,, k, k ) un GH (,,,,, ) sn entsch für k>0, welcher en Ientfzerbarket Problem verursacht, wenn wr versuchen e Parameter zu schätzen. Das kann gelöst weren, e Determnante mt besonerem Wert (we 1) azu beschränken, nem Se passen.. Währen solch ene Enschränkung wr ene Wrkung auf e zu schätzene Werte von un haben, un es wr kene Wrkung auf, so st eses Proukt en nützlcher zusammenfassener Parameter für en GH Vertelung. Lneare Kombnaton. De verallgemenerte hyperbolsche Klasse st abgeschlossen unter em lnearen Operatonen. Proposton 3.13 Seen X ~ GH (,,,,, ) un Y=BX+b, wobe B k b R,ann Y ~ GH (,,, B B, B B, B ). k Bewes. Wenen (3.31) un Proposton 3.9, ann k R,un So bleben e von er GIG Mschvertelung übernommenen Parameter unveränert unter e lnearen Operatonen. D.h z,b e Ranvertelung von X st lecht berechenbar : X ~ GH1(,,,,, ). Es beeutet auch, es würe relatv lecht sen, ene Verson er Varanz-Kovaranz Methoe arauf en verallgemenertes Hyperbolsche Moell für Rskofaktoren zu stützen. Parametrserung. Es gbt ene verwrrene Rehe er alternatven parametrserungen für e verallgemenerte Hyperbolsche Vertelung n er Lteratur un es st üblcher esen Vertelung n ener weerparametrserten Form zu sehen. In ener allgemener Verson von Kovaranzmatrx, e wr nennen, wr umbenannt, un e Enschränkung wr auf = 1 ; as rchtet as Ientfzerbarket Problem von oben. De Schefe-Parameter wr ersetzt uch, un e nchtnegatven un weren ersetzt urch ncht negatv un, gemäß: 16

17 Dese Parameter müssen e Enschränkung 0,, falls >0; >0,,falls =0; >0, falls <0 Blaesl verwenet ese Parametrserung, um zu zegen, ass e verallgemenerter Hyperbolsche Vertelungsform ene geschlossene Klasse er Vertelungen unter lnearen Operatonen un Bengen. Jeoch, Parametrserung hat as Problem, aass e wchtgen Parameter un ncht allgemen nvarant unter jeer eser Operatonen sn. Es st nützlch m Stane zu sen, sch lecht zwschen zu bewegen we n (3.30) un Parametrserung; Falls verwenet, ann e anere Parametrserung wr aurch errecht: Falls verwenet st, ann erhalten wr Parametrserung uch ensetzen: Besonerer Fall. Der multvarate verallgemenerte Hypobolsche Famle st flexbel un enthält vele spezelle Fälle. 1 Falls ( 1), ann lassen wr as Wort Verallgemenert fallen un bezehen uns auf e Vertelung als ene -m.hyperbolsche Vertelung. De unvarate Ranvertelung 1 von eser Vertelung hat ( 1) un st kene en-m. hyperbolsche Vertelungen. Falls =1, ann haben wr ene multvarate Vertelung, eren unvarate Ranvertelungen en-m. hyperbolsche Vertelungen sn. De en-m. hyperbolsche Vertelung st wet verwenet n er unvaraten Analyss von Fnanzellen Return Daten. 1 Falls, ann st ese Vertelung ene NIG Vertelung. In em unvaraten Fall, wr eses Moell für e Analyse von Return Daten verwenet; Sene funktonelle Form st ähnlch zu er hyperbolschen mt enem en bsschen schwereren Flanke.. Falls >0 un =0 bekommen wr enen Begrenzungsfall von er Vertelung, er verscheen als ene verallgemenerte Laplace, Bessel Funkton oer Varanz-Gamma Vertelung st. 1 Falls, v,un =0 bekommen wr enen aneren Begrenzungsfall, er wenger gut stuert woren zu sen schent, aber er kann asymmetrsche oer verrehte t 17

18 Vertelung genannt weren. Durch Schätzen as Grenzwert von (3.30) für 0 bekommen wr e multvarate Dchte Wobe 1 Q( x) ( x ) ( x ) un 3..4 Ftten er verallgemenerten hyperbolschen Vertelungen De unvaraten verallgemenerten hyperbolschen Moelle sn für Return Daten n velen emprschen Stuen geegnet, aber se weren relatv weng mt en multvaraten Vertelungen verwenet. Jeoch kann e gemschte Normalvertelung mt Algorthmus er Typ EM (expectatonmaxmzaton) ausgerüstet weren. Angenommen, wr haben X,... 1 X n un möchten en multvaraten verallgemenerten hyperbolschen Fall passen. Wr fassen e Parameter zusammen n (,,,,, ), un as Problem st zu maxmeren wobe f X ( x; ) e verallgemenerte hyperbolsche Dchte n (3.30) st. Wr können e latent gemschte Varablen W,... 1 Wn vom (3.5) beobachten. De gemensame Dchte von belebgen Paaren X un W st gegeben urch ann können wr Lkelhoo konstrueren abe können e zwe Terme getrennt maxmert weren. Der erste Term kann urch e Gaußschen Form lecht geschätzt weren. Um e Latenz er W Daten zu überwnen, wr er Algorthmus von EM verwenet. Das 18

19 st en weerholenes Verfahren, as aus enem E-Schrtt un enem M-Schrtt besteht. Nehmen wr an, ass wr am Anfang es Schrtts k Parameter Schätzer [ k ] haben. E-Schrtt. Wr berechnen en bengten Erwartungswert von er erweterten Lkelhoo (3.35) mt gegebenen X,... 1 X n. M-Schrtt. Wr maxmeren e Zelfunkton mt Beachtung von un bekommen as nächste [ k 1]. Durch abwechseln eser Schrtte erzeugt er Algorthmus von EM verbesserte Parameter Schätzer n jeen Schrtt, un wr nähen uns an em maxmalen lkehoo Schätzer an. Druchführen von E-Step beeutet tauschen funktonen g( W ) n (3.35) mt [ k ] E( g( W ) X ; aus. Um es zu berechnen betrachten wr e bengte Dchte von W mt gegebenem X,e f ( w x; ) f, ( w x; ) erfüllt. Dann haben wr aus (3.34) W X W X wenn wr lkelhoo (3.35) ausschreben urch Verwenen von (3.6) für en ersten Term, un e GIG Dchte für en zweten Term, ann haben wr g ( w) 1 w, g ( w) 1/ w, g ( w) ln( w) 3. Un [k] E (ln (W ) X ; ) schleßt Abletungen von ener Bessel-Funkton n Bezug auf e Ornung en un muss numersch approxmert weren. Der folgen Notaton erlaubt uns, as grunlegene Schema von EM zu beschreben. Im M-Step gbt es zwe Terme zu maxmeren : Q (,, ; [ k ] ) 1 un Q. (,, ; [ k ] ) Um as Ientfzerbarket Problem n 3..3 anzugehen, beschränken wr e Determnante von en fester Wert n er Maxmerung von Q1 zu sen. De Maxmerungswerte von,, können abgeletet weren urch berechnen er partellen Abletungen, un setzen e glech 0. De Maxmerung von Q (,, ; [ k ] ) n Bezug auf Parameter von er gemschten Vertelung wr numersch urchgeführt. Q (,, ; [ ] ) st 19

20 Wr nehmen an, ass e Parameter,, efneren zuerst n er Iteraton aktualsert weren. Wr Rechnen e Gewchte,, [ k,] [ k,] [ k,] n (3.37) nach, ann maxmeren Q (,, ; [ k,] ) n (3.38). De ergbt sch n enen sogenannten MCECM algorthmus. Algorthmus 3.14 (EM Schätzen er verallgemenerten hyperbolschen Vertelung) (1). Setze k=1 un suche Startwert aus für [1].Angemessene Startwert für,, sn er Stchproben Erwartungswert, null Vektor un e Stchproben Kovaranz Matrx S. () Berechne Gewchte,. Mtteln er Gewchte [ k ] [ k ] (3). Für ene symmetrsches Moell setzen wr [ k 1] =0. Sonst setzen (4) Akulseren en Schätzer von Mttelwertvektor un Varanzmatrx (5.) setze un berechnen Gewchte, un [ k,]. [ k,] [ k,] (6).Maxmeren Q n Bezug auf,,un um e Berechnung von (,, ; [ k,] ) 0

21 [ k,] zu beenen. Erhöhen Iteratonsschrtt k k+1 un gehen zu Schrtt () Emprsche Bespele In esem Abschntt passen wr e multvarate verallgemenerte hyperbolsche (GH) Vertelung an wahren Daten an un untersuchen welche er Unterklassen - we t, hyperbolsch oer NIG - e nützlchsten sn. Wr untersuchen auch ob as allgemene Mttelwert-Varanz Mschmoell urch (ellptsch symmetrsch) mxture Moell ersetzt weren kann. Unser erstes Bespel blet e Grunlage für multvarate Bespele nem wr uns kurz e unvartaten Moelle ansehen. Bespel 3.15 (unvarate Akten returns) In er Lteratur waren e NIG, hyperbolsch un t Moelle telwese populäre Spezalfälle. Wr passen e symmetrschen un asymmetrschen Fälle eser Vertelungen an e m Bespel 3.3 verweneten Daten an. Dabe beschränken wr unsere Aufmerksamket auf e täglchen un wöchentlchen returns be enen rechlch Daten vorlegen (n=00 un n=468). De Moelle weren unter Verwenung es maxmum lkelhoo, mt er enfachen Annahme as returns Bespele formen, angepasst; Ene enfache quas-newton Methoe st ene gute Alternatve zu em EM Algorthmus m unvaraten Fall. In en been oberen Abschntten von Tabelle 3.3 zegen wr e Ergebnsse er Symmetrschen Moelle. De NIG, hyperbolsche un t Moelle können rekt unter Verwenung es log-lkelhoo bem Maxmum verglchen weren, a alle e gleche Anzahl an Parametern bestzen. Für täglche Daten haben wr herausgefunen as 8 von 10 returns e t Vertelung er hyperbolschen un NIG Vertelung vorzehen; Für wöchentlche returns wr e t Vertelung n 6 von 10 Fällen bevorzugt. Zusammengefasst schent e NIG Vertelung as zwetbeste Moell zu sen. De gemxten Moelle passen n allen Fällen besser als as Gaußsche Moell un es kann enfach mttels es Akake Informatons Krterum (AIC) verfzert weren. Für Asymmetrsche Moelle zegen wr nur e Fälle n enen mnestens enes er asymmetrschen NIG, hyperbolsch un t Moelle eneutge Verbesserungen (p < 0.05) gegenüber em entsprechenen symmetrschen Moell, baseren auf em lkelhoo rato Test, zegt. Deses passerte für wöchentlche returns von er Ctgroup (C) un Intel (INTC), jeoch ncht für täglche returns. Für e Ctgroup waren e p-werte er Tests 0.06, 0.04 un 0.04 für e t, NIG un hyperbolschen Fälle; Für Intel waren e p-werte n allen Fällen 0.01, was ene starke Asymmetre erkennen lässt. Im Fall von Intel haben wr e Dchten von verscheenen angepassten asymmetrschen Vertelungen n enem Hstogramm (Abblung 3.4) überlagern argestellt. En Druck er log-dchten längssets zegt e Unterschee zwschen en Vertelungen m Enberech. Das lnke Ene (entsprechen er Verluste) schent stärker für ese Daten zu sen un e best passene Vertelung es lkelhoo Vergleches st e asymmetrsche t Vertelung. Bespel 3.16 (multvarate stock returns) Wr haben e multvaraten Moelle an as volle 10 mensonale Datenset er log-returns aus em vorhergen Bespel angepasst. De Ergebnsse es maxmerten log-lkelhoo weren n Tabelle 3.4, zusammen mt en p-werten für enen lkelhoo rato test mt allen spezellen Fällen gegenüber em (asymmetrsch) verallgemenerte hyperbolsche (GH), gezegt. De Anzahl er Parameter jees Moells st also gegeben. Beachten Se as as allgemene -mensonale GH Moel 1/(+1) sperson parameter, Schefe parameter un re parameter von er GIG 1

22 Mschertelung hat, jeoch Gegenstan zu ener erkennbaren Enschränkung st; Das sn 1/((+5)+4) free Parameter. Tabelle 3.3 Für e täglchen Daten st er beste Spezalfall e verrehte t Vertelung, welche enen Wert für as maxmum lkelhoo ergbt er ncht erkennbar, urch as allgemenere Moell mt senen zusätzlchen Parametern, verbessert weren kann. Allen aneren ncht ellptschen symmetrschen Untermoelle weren be enem lkelhoo rato Test abgelehnt. Jeoch kann e ellptsche symmetrsche t Vertelung ncht abgelehnt weren wenn se mt en mesten gänggen Moellen verglchen wr, so as es en enfaches sparsames Moell für ese Daten zu sen schent (er geschätzte Frehetsgra st 6.0). Für wöchentlche Daten st er beste Spezalfall e NIG Vertelung, e gefolgt von er verrehte t Vertelung. Dr hyperbolsche un varance gamma weren abgelehnt. Der beste ellptsche symmetrsche Spezalfall schent e t Vertelung zu sen (mt geschätztem Frehetsgra 6.).

23 Bespel 3.17 (multvarate Währungskurs returns) Wr haben e selben multvarate Moelle an en ver-mensonales Datenset von Währungskurs log-returns angepasst. Des waren GB Pfun, Euro, japansche Yen un schwezer Franken gegenüber em US Dollar für en Zetraum von Januar 000 bs Ene März 004(1067 täglche returns un wöchentlche returns). De Ergebnsse es maxmerten log-lkelhoo sn n Tabelle 3.5 abgeblet. Für e täglchen Daten st er beste Spezalfall (m allgemenen un sogar begrenzt auf symmetrsche Moelle) e NIG Vertelung gefolgt von er hyperbolschen t un varance-gamma (VG) Vertelung. In enem lkelhoo rato test von en Spezalfällen gegenüber ener allgemenen GH Vertelung musste nur as VG Moell auf em 5% Level abgewesen weren. Das verrehte t Moell wr auf em 10% Level abgelehnt. Im erneuten Verglech zum vollen Moell konnten schere ellptsche Moelle ncht zurückgewesen weren abe st as beste von hnen as NIG Moell. Für wöchentlche Daten st er beste Spezalfall e t Vertelung gefolgt von er NIG, hyperbolsch un varance gamma Vertelung. Kener von esen Spezalfällen kann urch enen 5% Level Test abgelehnt weren obwohl as VG Moell mt em 10% Level Test abgelehnt weren kann. Unter en ellptsch symmetrschen Vertelungen st e Gaußsche Vertelung klar abgelehnt un e VG st erneut auf em 10% Level abgelehnt, anerersets jeoch weren e ellptschen Spezalfälle akzeptert; De beste unter hnen schent e t Vertelung zu sen (mt enem geschätzten Frehetsgra von 5.99). 3

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