3.1 Grundlagen der Multivariaten Modellierung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3.1 Grundlagen der Multivariaten Modellierung"

Transkript

1 Semnar: Quanttatves Rskomanagement Multvarate Moelle I Prof: Hanspeter.Schml Betreuung: Jula Esenberg Zhou,Yng 3. Multvarate Moelle I Fnanzelle Rskomoelle für en Absatzmarkt oer für Kretrsken sn grunsätzlch multvarat.z.b De Wertänerung es Bestanes ener gehanelten Ware über enen festen Zetraum hängt von enem zufällgen Vektor von Rskofaktoren oer em Ertrag ab. Im weteren betrachten wr enge Moelle für Zufallsvektoren, e telwese nützlch für fnanzelle Daten sn. 3.1 Grunlagen er Multvaraten Moellerung In eserm Abschntt betrachten wr e multvarate Normalvertelung un hre Egenschaften. Dese Vertelung st wchtg für klasssche multvarate Analyss un st er Start für Moellerung es Markrskos Zufallsvektoren un hre Vertelungen Gemensame- un Ranvertelung Betrachte enen -mensonal Zufallsvektor von Rsko-Faktor Veränerung (oer returns) X = (X,..., X 1 ). Vertelungsfunkton (f) De Vertelung von X st beschreben urch e gemensame F X(x) = F X(x 1,..., x ) = P(X x) = P(X 1 x 1,..., X x ) De Ranvertelungsfunkton von X kann lecht aus er gemensamen f berechnet weren: F (x ) = P (X x ) = F (,...,, x,,..., ) Falls F (x) absolut stetg st, ann nennen wr hre Abletung f (x) Ranchte von X. Es st möglch ene k-mensonale Ranvertelung von X für k 1 zu efneren. Wr können X n X 1, X zerlegen wobe X1 ( X1,..., X k ), X ( X k 1,..., X ) e Ranvertelungsfunkton von X 1 :, ann st F (x ) = P(X x ) = F(x,..., x,,..., ). X k 1

2 De f von enem Zufallsvektor X heßt absolut stetg, falls x1 x F( x,... x )... f ( u,..., u ) u... u, wobe f als gemensame Dchte von X ncht negatv st. Bemerkung. Exstenz von gemensamer Dchte => Exstenz von Ranchte für alle k-m. Ranwerte. Defntonen : Überlebensfunkton st efnert als De Ranüberlebensfunkton von X st efnert als: Bengte Vertelung un Unabhänggket Falls wr en multvarates Moell für Rsken haben n er Form ener gemensamen f, Überlebensfunkton oer Dchte, ann haben wr auch e Abhänggketsstruktur für Rsken beschreben. Zerlegen X n X, X,un angenommen f von X st absolut stetg. Se 1 f X 1 gemensame Dchte von k-m. Ranvertelung F X 1. Dann hat bengte Vertelung von X mt gegebenem X x Dchte : 1 1 Un e zugehörge f: X1 un X unabhängg F( x) F ( x ) F ( x ) X1 1 X x. Bestzt X ene gemensame Dchte, f ( x) f ( x ) f ( x ). X1 1 X De Komponenten von X sn unabhängg vonenaner F( x) F ( x ) x R, n 1

3 esem Fall bestzt X ene Dchte f ( x) f ( x ). 1 Momente un charakterstsche Funkton Erwartungsvektor von X, falls er exstert: Kovaranzmatrx, falls se exstert: Das (,j)te Element von st. De Dagonalelemente sn Varanzen V ( X ) von Komponenten von X. D.h Var( X ),..., Var( X ) 11 1 Bezechnen e Korrelatonsmatrx von X mt ( X ). Defneren Y mt Y X / Var( X) ann bezechnen P ( X ) Cov( Y ), un as (,j) Element: Verhältns zwschen Korrelaton un Kovaranz-Matrx: P ( ) k Für B R, b R k Kovaranzmatrx (un auch Korrelatonsmatrx) sn also postv sem efnt; Aus (3.8) folgt var( ax ) a a 0 a R Wr können e Cholesky-Zerlegung er postv-efnten Kovaranzmatrx häufg benutzen. Se AA, A se untere Dreecksmatrx mt postven Dagonalelementen. A heßt Cholesky Faktor: 1/, un e Inverse avon st 1/. 3

4 Charakterstsche Funkton: 3.1. Stanar Schätzer von Kovaranz un Korrelaton Angenommen, wr haben n Beobachtungen enes -m Rsko-Faktor Return Vektors X,... 1 X n. Des sn täglche, wöchentlche, monatlche oer jährlche Beobachtungen, e ene multvarate Zetrehenfolge blen. In esem Abschntt nehmen wr an, ass e Beobachtungen entsch vertelt sn un entweer unabhängg oer zumnest unkorrelert. Wr nehmen an, ass e Betrachtungen X,... 1 X n vom Erwartungsvektor, enlcher Kovaranzmatrx un Korrelatonsmatrx P entstammen. Stchprobenmttelwertvektor un Stchprobenkovaranzmatrx: X st erwartungstreu, aber S ncht. Setze S : ns /( n 1), ann st S erwartungstreu. u wobe cov( X ) 1 n, falls er Vektor oer entsch vertelt st. Stchprobenkorrelatonsmatrx R mt Elementen Stchprobenkovaranzmatrx. rjk kann lecht berechnet weren urch Ihr (j,k)tes Element st r s / s s un R ( s). jk jk jj kk De multvarate Normalvertelung Defnton 3.1 X = (X,..., X 1 ) hat ene multvarate normal oer Gaußsche Vertelung, falls X +AZ, wobe Z = (Z,..., Z 1 k ) en Vektor von. Unvarat Stanar normalvertelten Zufallsvarablen ( mt Erwartungswert 0 un Varanz 1), A k R, R, 4

5 Es st lecht zu bewesen, ass E(X)=, un Cov(X)=,wobe AA postv semefnt. 1 Wr wssen, ass Z (t)=ext(- t ) e charakterstsche Funkton ener Stanar unvarat normalvertelten Z. Daraus folgt, ass e charakterstsche Funkton von X urch gegeben st. Notaton: X ~ N (, ) Bemerkung. De Komponenten von X sn ann un nur ann unabhängg, wenn ene Dagonalmatrx st. Betrachte Rang(A) = k, hat en Rang un eswegen nverterbar un postv efnt. X hat ene gemensame Dchte: Dese Form zegt, ass sch Punkte mt glechen Dchten auf er selben Ellpse befnen. Falls ene multvarate Dchte f(x) von x nur von abhängt, ann st f(x) e 1 ( x ) ( x ) Dchte ener ellptschen Vertelung.(Abschntt 3.3). Im Bl 3.1 sehen wr Konturen glecher Dchten sn Ellpsen. Bl 3.1 5

6 (a) Perspektve un Kontur Plots für e Dchte ener bvarate Normalvertelung mt Stanar Normalranvertelung un Korrelaton 70%. (b) e entsprechenen Plots für ene bvarate t-dchte mt Frehetsgra 4 un glechem Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx. Algorthmus 3. (Smulaton er multvaraten Normalvertelung) (1) Zerlegen urch Cholesky Zerlegung um zu erhalten. () Erzeugen 1/ (3) Setze X= + Z Egenschaften: Lneare Kombnaton 1/ Z = (Z,..., Z 1 ) von unanh. Stanar normalvertelten ZV. Lneare Kombnaton von multvarat normalen Zufallsvektoren blebt multvarat normal. Se X ~ N (, ), B k R, b R k ann urch charakterstsche Funkton (3.10) haben wr Falls a R ann (Dese Egenschaft st anwenbar n er Varanz-Kovaranz Ansatz n Rskomanagement.) Ranvertelung: De unvarate Ranvertelung von X muss unvarat normal sen. (wegen 3.13) Bengte Vertelung Angenommen st postv efnt, ann st e bengte Vertelung von X gegeben X 1 un von X1 gegebenen X auch mutvarat Normal-vertelt. Quaratsche Formen Falls X ~ N (, ) mt postv efnert, ann ene Vertelung mt Frehetsgraen. 1/ Her betrachten wr Z ( X ) ~ N (0, I ) un ( X ) ( X ) ZZ ~ X 1 Faltung Seen X un Y unabhängge -m. Zufallsvektoren mt X ~ N (, ) un, ann mt Hlfe er char. Funktonen bekommen wr Tests für Normaltät un multvarate Normaltät Unvarate Tests 6

7 Seen X,... 1 X n multvarat normal, für 1 j, so muss e unvarate Stchprobe X,... X auch unvarat normal sen. Wssen, jee unvarate Stchprobe konstruert urch 1, j n, j ene Lnearkombnaton von er Form ax,... 1 ax n muss auch unvarat normal sen. Das kann auch mttels QQ-Plot grafsch gezegt weren. (QQ-Plot st en grafsches Stanarwerkzeug, as e Bezehung zwschen emprschen Quantlen un theoretschen Quantlen ener Referenzvertelung zegt.) In Bl 3. sehen wr en QQ-Plot von täglchen Returns vom Dsney Hanelspres von 1993 bs 000 gegnüber ener Normal Referenzvertelung. Wr sehen ass e emprschen Quantle tenert größer zu sen als e entsprechenen Quantle er Normalvertelung. D.h. e Normalvertelung st en schlechtes Moell für ese Returns. Bl 3. Quantle er Stanar Normalvertelung Der anwenbare Jarque-Bera Test schätzt glechzetg ab ob e Schefe un Wölbung er Vertelung mt em gaußschen Moell überenstmmen. Der Schefe- un Wölbungskoeffzent ener unvaraten Stchprobe Z,..., 1 Zn sn efnert urch Theoretsche Schefe un Wölbung sn efnert urch 3 3 E( Z ) / un 4 4 E( Z ) / un nehmen e Werte 0 un 3 entsprechen an für ene Normal-vertelt Z. Jarque-Bera Test Statstk: 7

8 un hat ene asymptotsch ch-quarat-vertelung mt Frehetsgra unter Nullhypothese von Normaltät. De Wölbung Werte er Stchprobe wechen stark von 3 ab un e Schefe wecht stark von 0 ab,.h. e Hypothese er Normaltät trfft ncht zu. Multvarate Tests: Wr testen gemensame Normaltät. Wssen: (3.14) hat ene ch-quaratsche-vertelung. Wenen (3.9) an um un zu schätzen un konstrueren Wel e Schätzer von Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx n jeer Konstrukton von D benutzt weren, sn se ncht unabhängg. Wssen n( n 1) D ~ Beta(, ( n 1)) so ass e wahre Vertelung ene skalerte 1 1 beta Vertelung st. Wr erwarten D,..., 1 Dn verhalten sch we ene Stchprobe von ener x -Vertelung, un wr konstrueren QQ-Plot gegen ese Vertelung. Numersche Tests er multvaraten Normaltät, baseren auf multvaraten Massen er Schefe un Wölbung sn auch möglch. Defnere: wobe D gegeben n (3.16) un bekannt als Mahalanobs Dstanz zwschen X un X un D X X S X X als Mahalanobs Wnkel zwschen ( X X ) un ( X X ). 1 j ( ) ( j ) Dese Masse weren zu unvaraten Maßen b un k m Fall =1. Unter er Nullhypothese er multvaraten Normaltät st e asymptotsche Vertelung für n j Maras Test enthält Verglech von Schefe un Wölbung Statstken mt obgen theoretschen Referenzvertelungen. Bespel 3.3 (über e Nomaltät von Returns von Dow Jones 30 Akten.) Wr wenen en Test von Normaltät zu ener bel. Telmenge von 10 Akten an. Wr betrachten täglch, wöchentlch un verteljährlch logarthmsche Returns. Fr jee Akten berechnen wr e Stchproben-Schefe un Wölbung un wenen Jarque-Beta Test zu er unvarate Zetfolge an. Für täglch un wöchentlche Returnaten fallen alle Tests urch. 8

9 Insbesonere, es gbt mache große Wert fr Stchprobe Wölbung. Fr monatlche Daten st Nullhypothese ncht formal abgelehnt (ablehnen her heßt p-value größer als 0.05) fr 4 Akten. Fr verteljährlche Daten st ncht abgelehnt fr 5 Akten, obwohl e Stchprobegröße klen st. Wr wenen Mara's Tests von multnomaltät an, e auf multvarat Schefe un Wölbung fr alle 10 Akten basert. Das Ergebns st n Tabelle 3. gezegt. n Tabelle 3.3 verglechen D Daten(3.16) zu ener -Vertelung mt ener QQPlot. 10 9

10 Bl 3.3 Für e täglchen, wöchentlchen un monatlchen Returnaten fallen e multvaraten Tests von Normaltät urch. Fr verteljährlche Return Daten lehnt e multvarate Wölbung Test e Nullhypothese ncht ab, aber er Schefe Test schon. De QQPlot m Bl 3.3() schent lecht lnear zu sen. Das st Bewes afr, ass Return ber ene verteljährlche Zetspanne näher an er Normalvertelung st. Das Bespel west arauf hn, ass n velen Rsk-Management Anwenungen e multvarate Normalvertelung kene gute Beschrebung er Wrklchket st. De Nachtele sn: (1). De Flanken er unvaraten Ranvertelungen sn zu nn; Se ornen ncht genug "Gewcht" en extremfällen zu. (). De gemensame Flanken er Vertelung ornet ncht genug Gewcht en gemensamen Extremfällen zu. (3). Dese Vertelung st symmetrsch.( so genannte ellptsche Symmetre ) 3. Gemschte Normalvertelungen In esem Abschntt wr er Zufall zuerst n e Kovaranzmatrx un ann n en Erwartungsvektor ener multvaraten Normalvertelung urch ene postve Mschvarable W engeführt. 10

11 3..1 Normal Varanz-Mschungen Defnton. Der Zufallsvektor X hat ene (multvarate) Normal Varanz Mschvertelung, falls Wobe () Z ~ N (0, I ); k k () W 0 st ene ncht negatve, skalar wertge ZV, e unabhängg von Z st () A k R, R Solche Vertelungen sn bekannt als Varanz Mschung. Be er multvaraten Normalvertelung nteressert man sch nsbesonere für en Fall: rang( A) k, un hat en Vollrang, postv-efnt; as brngt uns ene ncht-snguläre normal Varanz-Mschung. Vorausgesetzt W hat ene enlche Erwartung, ann un Wr bezehen uns auf un als Locaton Vector un sperson matrx eser Vertelung. Bem. 1. (Kovaranzmatrx von AZ) st Kovaranzmatrx von X nur, falls E(W) = 1. st er Erwartungsvektor nur, falls E(X) efnert st,.h E W 1/ ( ) < 3. Dese Vertelungen sn en gutes Bespel er Moelle, wobe Korrelaton = 0 ncht notwengwese e Unabhänggket von Komponenten von X beeutet. 4. De Korrelatonsmatrzen von X un Z sn glech, falls E(W) < Lemma 3.5 Hat ( X1, X ) ene gemschte Normalvertelung mt A= I un E(W) <, so ass cov ( X1, X ) =0. Dann sn X1 un X ann un nur ann unabhängg, wenn X fast scher konstant st..h ( X1, X ) sn normal vertelt. Bewes: De Glechhet glt nur wenn W konstant st. Durch Anwenung von (3.10) können wr e charakterstsche Funkton von ener normal Varanz Mschung berechnen. 11

12 wobe ˆ ( ) v H e H ( v ) Laplace-Steltjes Transformaton von f H von W. Aufgrun (3.1) 0 benutzen wr X ~ M (,, Hˆ ) für ene gemschte Normal Varanz. Angenommen, st postv efnt, un e Vertelung von W hat ken Punktmass n 0, ann können wr e gemensame Dchte von er normal Varanz-Mschung Vertelung ableten. Se f X W e bengte Dchte von X gegeben W. De Dchte von X st gegeben urch: mt Lebesque-Steltjes Integral; falls H Dchte h hat, menen wr as Remannsche Integral 0 f x w h w w. Alle solche Dchten weren von x nur urch e quaratsche Form ( ) ( ) X W abhängen. Das beeutet, se sn e Dchten von ellptschen Vertelungen. 1 ( x ) ( x ) Bespel 3.6 (Gemschte zwe-punkte Normal-Vertelungen) En enfaches Bespel von gemschten Normalvertelungen erhält man, falls W ene skrete ZV st. z.b as zwe-punkte gemschte Normal moell wr aurch erhalten, ass W n (3.19) ene skrete rv wr, e nmmt an, ass e postve Werte k1 un k mt Wahrschenlchket p un 1-p angenommen weren. Wähle k relatv groß zu k1 un wähle p groß, ese Vertelung können angewenet weren um Verläufe zu efneren. (1) En gewöhnlche Verlauf, er meste Zet glt. () En Stress-Verlauf, er mt Wahrschenlchket 1-p passert. Bespel 3.7 (multvarate t Vertelung) 1 1 Setze W n (3.19) zu ener rv mt ener Inversen Gamma Vertelung W Ig( v, v), ann hat X ene mutvarate t Vertelung mt Frehetsgra 4. Notaton für e Multvarate t : X ~ t ( v,, ). st ncht e Kovaranzmatrx von X n er Defnton von Multvarate t. Wegen E(W)=v/(v-) haben wr Cov(X)=(v/(v-)) Kovaranzmatrx(un Korrelatonsmatrx) von eser Vertelung sn efnert falls v>. Wr wenen (3.) an, um e Dchte zu berechnen, un Offenschtlch st e Ortskurve von Punkten mt glecher Dchte weer en Ellpso mt 1

13 Glechung x x c für c>0. Im Verglech mt er multvarate normal Vertelung 1 ( ) ( ) stegen e Konturen glecher Dchte schnell n as Zentrum er Vertelung un verfallen schrttwese auf en nergeren Hang von er Vertelung. Bespel 3.8 (symmetrsche verallgemenerte hyperbolsche Vertelung) Ene flexble Famle von gemschte Normal Varanz st enthalten urch ensetzen von W n (3.19) un wr bekommen ene verallgemenerte Inverse Gaußsche Vertelung(GIG), W ~ N (,, ). Mt er Anwenung von (3.) wr gezegt, ass ene gemschte Normal Varanz konstruert mt eser gemschten Dchte ene gemensame Dchte hat. wobe K e mofzerte Bessel Funkton 3. Gattung st. De GIG gemschte Vertelung st sehr flexbel un enthält Gamma un Inverse Gamma Vertelung als besoneren Grenzenfall. (n Bezug auf >0, =0, auf <0, =0 ) In esem Fall wr e Dchte n (3.4) als en Lmt nterpretert als 0 oer 0. De gemschte Gamma Vertelung ergbt ene Laplace Vertelung oer en sogenanntes symmetrsches Varanz-Gamma Moell un e Inverse Gamma ergbt t we m Bespel 3.7; t entspcht n em Fall =-v/ un =v. De besoneren Fälle =-0.5 un =1 haben Aufmerksamket be en fnanzellen Moellen; Das zwete führt zu ener symmetrschen Multvaraten Vertelung, essen en-m. Ranvertelung als hyperbolsche Vertelung bekannt st. Um e Kovaranz-Matrx von en Vertelungen n er verallgemenerten symmetrschen Hyperbelfamle zu berechnen, verlangen wr en Erwartungswert er GIG-Vertelung, e n (A9) für >0 un >0 gegeben st. De Kovaranzmatrx von er multvaraten Vertelung n (3.4) kommt vom (3.0), Proposton 3.9 Falls X ~ Y ~ M ( B b, B B, Hˆ ) : k M (,, Hˆ ) un Y= BX+b, wobe B Bewes: Wr wenen e charakterstsche Funkton n (3.1) an, k R un b k R,ann So wr e Unterklasse er Mschvertelung, e urch Ĥ angegeben st, unter enen lnear Transformaton geschlossen. z.b falls X ene multvarate t Vertelung mt Frehetsgra v st, ann st jee lnear Transformaton von X auch so; De lneare Kombnaton ax würe ene unvarate t Vertelung mt Frehetsgra v haben. Normal Varanz Mschvertelung weren lecht smulert urch Def.3.4. Um ene Varate X ~ M (,, Hˆ ) mt postv efnt verwenen wr en folgenen Algorthmus. 13

14 Algorthmus 3.10 (Smulaton von Normal Varanz-Mschung) (1) Erzeugen Z ~ N (0, ) mt Algo.3.. () Erzeugen unabhängg ene postve gemschte Varable W mt f H (entsprechen zur Laplace-Steltjes Transformaton Ĥ ) (3) Setze X= W Z Um X ~ t ( v,, ) zu erzeugen, sollte e gemschte varable W ene Ig 1 v, 1 v v Vertelung haben; un n em Fall v/w ~ hat ene ch-quaratsche Vertelung Frehetsgra v. Um ene Stchprobe von ener verallgemenerten hyperbolschen Vertelung mt Dchte (3.4) zu nehmen, müssen wr W ~ N (,, ) erzeugen. Um ene Stchprobe von er GIG Vertelung zu nehmen, können wr ene Ablehnen-Algorthmus von Atknson benutzen. 3.. Gemschte Erwartungswert-Varanz Normalvertelung Alle multvaraten Vertelungen, e wr bs jetzt betrachtet haben, haben ellptsche Symmetren un as kann en verenfachtes Moell für wahre rsko-faktor return Daten sen. Unter anerem beeutet ellptsche Symmetre ass alle enmensonalen Ranvertelungen symmetrsch sn, er e häufge Beobachtung für Akten Returns wersprcht, wel negatve Returns ckere Flanken als postve Returns hat. Das Moell,as wr jetzt enführen, versucht ene Asymmetre zu er Klase von gemschten Normalvertelungen hnzufügen, un er gbt e Klasse er multvarate normalen Erwartungs-Varanz Mschung. Defnton 3.11 Der Zufallsvektor X hat ene (multvarate) Normal Erwarungswert-Varanz Mschungvertelung, falls Wobe () Z ~ N (0, I ) () () k k W 0 st ncht negatv, Skalar-bewertet rv, e von Z unabhängg st. A k R (v) M:[0, ) st ene Matrx R st ene messbare Funkton In esem Fall haben wr X W = w ~ N ( m( w), w ) (3.6) Wobe AA. Im allgemen sn solche Vertelung ncht ellptsch. Ene möglche konkrete Spezfzerung für e Funkton m(w) n (3.6) st 14

15 wobe un sn Parametervektor n R. Wegen E(X W)= +W un cov(x W)=W haben wr falls e gemschte Varable W ene enlche Varanz hat. Von (3.8) un (3.9) wssen wr ass un sn er Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx von X sn. Nur wenn =0, st e Vertelung ene gemschte normale Varanz un e gegebene Moment-Formel n (3.0) glt Verallgemenerte hyperbolsche Vertelungen Im Bespel 3.8 schauten wr auf e spezelle Unterklasse er verallgemenerten hyperbolschen Vertelung, e aus em ellptsch symmetrschen normalen Varanz Mschvertelung bestehen. De volle verallgemenerte Hyperbelfamle wr aurch erhalten, ass Erwartungswert-Varanz Mschung Konstrukton (3.5) un e bengte Erwartungswert Spezfzerung (3.7). Für e Vertelungsmschung nahmen wr an W~ N (,, ), ene GIG Vertelung mt Dchte (A.8). Bemerkung 3.1. Dese Klasse er Vertelungen hat vel Aufmerksamket n er Lteratur über fnanzell Moelle erhalten, besoners m unvaraten Fall. En wchtger Grun st hre Verbnung zu Levy-Prozessen mt unabhänggen un statonären Zuwächsen (we e Brownsche Bewegung), e zum Presprozessen moelleren verwenet weren n er stetger Zet. Für jeen verallgemenerte Hyperbolsche Vertelung st es möglch um enen Levy Prozess zu bauen, so ass er Wert er Zunahme es Prozesses über en festes Zetntervall ese Vertelung hat; as st nur möglch wel as verallgemenerte Hyperbolche Gesetz ene sogenannte unenlch telbare Vertelung st, ene Egenschaft e von er GIG gemschte Vertelung von W st. De gemensame Dchte m ncht-sgulär Fall ( hat rang ) : wobe h(w) e Dchte von W st. Daurch erhalten wr e verallgemenerte hyperbolsche Dchte wobe e normalserene Konstant st 15

16 Falls =0,wr e Vertelung zu ener symmetrsch verallgemenert hyperbolschen besoners m Fall von Bespel 3.8. Im allgemenen haben wr ene ncht-ellptsche Vertelung mt asymmetrscher Ranvertelung. Der Erwartungsvektor un Kovaranzmatrx von eser Vertelung st lecht berechenbar urch (3.8) un (3.9). De char. Funkton von er verallgemenerten hyperbolschen Vertelung kann berechnet weren urch (3.1): wobe Ĥ e Laplace-Steltjes Transformaton von er GIG Vertelung. Wr übernehmen e Notaton X ~ GH (,,,,, ). Bem. 1. Vertelungen GH (, / k, k,, k, k ) un GH (,,,,, ) sn entsch für k>0, welcher en Ientfzerbarket Problem verursacht, wenn wr versuchen e Parameter zu schätzen. Das kann gelöst weren, e Determnante mt besonerem Wert (we 1) azu beschränken, nem Se passen.. Währen solch ene Enschränkung wr ene Wrkung auf e zu schätzene Werte von un haben, un es wr kene Wrkung auf, so st eses Proukt en nützlcher zusammenfassener Parameter für en GH Vertelung. Lneare Kombnaton. De verallgemenerte hyperbolsche Klasse st abgeschlossen unter em lnearen Operatonen. Proposton 3.13 Seen X ~ GH (,,,,, ) un Y=BX+b, wobe B k b R,ann Y ~ GH (,,, B B, B B, B ). k Bewes. Wenen (3.31) un Proposton 3.9, ann k R,un So bleben e von er GIG Mschvertelung übernommenen Parameter unveränert unter e lnearen Operatonen. D.h z,b e Ranvertelung von X st lecht berechenbar : X ~ GH1(,,,,, ). Es beeutet auch, es würe relatv lecht sen, ene Verson er Varanz-Kovaranz Methoe arauf en verallgemenertes Hyperbolsche Moell für Rskofaktoren zu stützen. Parametrserung. Es gbt ene verwrrene Rehe er alternatven parametrserungen für e verallgemenerte Hyperbolsche Vertelung n er Lteratur un es st üblcher esen Vertelung n ener weerparametrserten Form zu sehen. In ener allgemener Verson von Kovaranzmatrx, e wr nennen, wr umbenannt, un e Enschränkung wr auf = 1 ; as rchtet as Ientfzerbarket Problem von oben. De Schefe-Parameter wr ersetzt uch, un e nchtnegatven un weren ersetzt urch ncht negatv un, gemäß: 16

17 Dese Parameter müssen e Enschränkung 0,, falls >0; >0,,falls =0; >0, falls <0 Blaesl verwenet ese Parametrserung, um zu zegen, ass e verallgemenerter Hyperbolsche Vertelungsform ene geschlossene Klasse er Vertelungen unter lnearen Operatonen un Bengen. Jeoch, Parametrserung hat as Problem, aass e wchtgen Parameter un ncht allgemen nvarant unter jeer eser Operatonen sn. Es st nützlch m Stane zu sen, sch lecht zwschen zu bewegen we n (3.30) un Parametrserung; Falls verwenet, ann e anere Parametrserung wr aurch errecht: Falls verwenet st, ann erhalten wr Parametrserung uch ensetzen: Besonerer Fall. Der multvarate verallgemenerte Hypobolsche Famle st flexbel un enthält vele spezelle Fälle. 1 Falls ( 1), ann lassen wr as Wort Verallgemenert fallen un bezehen uns auf e Vertelung als ene -m.hyperbolsche Vertelung. De unvarate Ranvertelung 1 von eser Vertelung hat ( 1) un st kene en-m. hyperbolsche Vertelungen. Falls =1, ann haben wr ene multvarate Vertelung, eren unvarate Ranvertelungen en-m. hyperbolsche Vertelungen sn. De en-m. hyperbolsche Vertelung st wet verwenet n er unvaraten Analyss von Fnanzellen Return Daten. 1 Falls, ann st ese Vertelung ene NIG Vertelung. In em unvaraten Fall, wr eses Moell für e Analyse von Return Daten verwenet; Sene funktonelle Form st ähnlch zu er hyperbolschen mt enem en bsschen schwereren Flanke.. Falls >0 un =0 bekommen wr enen Begrenzungsfall von er Vertelung, er verscheen als ene verallgemenerte Laplace, Bessel Funkton oer Varanz-Gamma Vertelung st. 1 Falls, v,un =0 bekommen wr enen aneren Begrenzungsfall, er wenger gut stuert woren zu sen schent, aber er kann asymmetrsche oer verrehte t 17

18 Vertelung genannt weren. Durch Schätzen as Grenzwert von (3.30) für 0 bekommen wr e multvarate Dchte Wobe 1 Q( x) ( x ) ( x ) un 3..4 Ftten er verallgemenerten hyperbolschen Vertelungen De unvaraten verallgemenerten hyperbolschen Moelle sn für Return Daten n velen emprschen Stuen geegnet, aber se weren relatv weng mt en multvaraten Vertelungen verwenet. Jeoch kann e gemschte Normalvertelung mt Algorthmus er Typ EM (expectatonmaxmzaton) ausgerüstet weren. Angenommen, wr haben X,... 1 X n un möchten en multvaraten verallgemenerten hyperbolschen Fall passen. Wr fassen e Parameter zusammen n (,,,,, ), un as Problem st zu maxmeren wobe f X ( x; ) e verallgemenerte hyperbolsche Dchte n (3.30) st. Wr können e latent gemschte Varablen W,... 1 Wn vom (3.5) beobachten. De gemensame Dchte von belebgen Paaren X un W st gegeben urch ann können wr Lkelhoo konstrueren abe können e zwe Terme getrennt maxmert weren. Der erste Term kann urch e Gaußschen Form lecht geschätzt weren. Um e Latenz er W Daten zu überwnen, wr er Algorthmus von EM verwenet. Das 18

19 st en weerholenes Verfahren, as aus enem E-Schrtt un enem M-Schrtt besteht. Nehmen wr an, ass wr am Anfang es Schrtts k Parameter Schätzer [ k ] haben. E-Schrtt. Wr berechnen en bengten Erwartungswert von er erweterten Lkelhoo (3.35) mt gegebenen X,... 1 X n. M-Schrtt. Wr maxmeren e Zelfunkton mt Beachtung von un bekommen as nächste [ k 1]. Durch abwechseln eser Schrtte erzeugt er Algorthmus von EM verbesserte Parameter Schätzer n jeen Schrtt, un wr nähen uns an em maxmalen lkehoo Schätzer an. Druchführen von E-Step beeutet tauschen funktonen g( W ) n (3.35) mt [ k ] E( g( W ) X ; aus. Um es zu berechnen betrachten wr e bengte Dchte von W mt gegebenem X,e f ( w x; ) f, ( w x; ) erfüllt. Dann haben wr aus (3.34) W X W X wenn wr lkelhoo (3.35) ausschreben urch Verwenen von (3.6) für en ersten Term, un e GIG Dchte für en zweten Term, ann haben wr g ( w) 1 w, g ( w) 1/ w, g ( w) ln( w) 3. Un [k] E (ln (W ) X ; ) schleßt Abletungen von ener Bessel-Funkton n Bezug auf e Ornung en un muss numersch approxmert weren. Der folgen Notaton erlaubt uns, as grunlegene Schema von EM zu beschreben. Im M-Step gbt es zwe Terme zu maxmeren : Q (,, ; [ k ] ) 1 un Q. (,, ; [ k ] ) Um as Ientfzerbarket Problem n 3..3 anzugehen, beschränken wr e Determnante von en fester Wert n er Maxmerung von Q1 zu sen. De Maxmerungswerte von,, können abgeletet weren urch berechnen er partellen Abletungen, un setzen e glech 0. De Maxmerung von Q (,, ; [ k ] ) n Bezug auf Parameter von er gemschten Vertelung wr numersch urchgeführt. Q (,, ; [ ] ) st 19

20 Wr nehmen an, ass e Parameter,, efneren zuerst n er Iteraton aktualsert weren. Wr Rechnen e Gewchte,, [ k,] [ k,] [ k,] n (3.37) nach, ann maxmeren Q (,, ; [ k,] ) n (3.38). De ergbt sch n enen sogenannten MCECM algorthmus. Algorthmus 3.14 (EM Schätzen er verallgemenerten hyperbolschen Vertelung) (1). Setze k=1 un suche Startwert aus für [1].Angemessene Startwert für,, sn er Stchproben Erwartungswert, null Vektor un e Stchproben Kovaranz Matrx S. () Berechne Gewchte,. Mtteln er Gewchte [ k ] [ k ] (3). Für ene symmetrsches Moell setzen wr [ k 1] =0. Sonst setzen (4) Akulseren en Schätzer von Mttelwertvektor un Varanzmatrx (5.) setze un berechnen Gewchte, un [ k,]. [ k,] [ k,] (6).Maxmeren Q n Bezug auf,,un um e Berechnung von (,, ; [ k,] ) 0

21 [ k,] zu beenen. Erhöhen Iteratonsschrtt k k+1 un gehen zu Schrtt () Emprsche Bespele In esem Abschntt passen wr e multvarate verallgemenerte hyperbolsche (GH) Vertelung an wahren Daten an un untersuchen welche er Unterklassen - we t, hyperbolsch oer NIG - e nützlchsten sn. Wr untersuchen auch ob as allgemene Mttelwert-Varanz Mschmoell urch (ellptsch symmetrsch) mxture Moell ersetzt weren kann. Unser erstes Bespel blet e Grunlage für multvarate Bespele nem wr uns kurz e unvartaten Moelle ansehen. Bespel 3.15 (unvarate Akten returns) In er Lteratur waren e NIG, hyperbolsch un t Moelle telwese populäre Spezalfälle. Wr passen e symmetrschen un asymmetrschen Fälle eser Vertelungen an e m Bespel 3.3 verweneten Daten an. Dabe beschränken wr unsere Aufmerksamket auf e täglchen un wöchentlchen returns be enen rechlch Daten vorlegen (n=00 un n=468). De Moelle weren unter Verwenung es maxmum lkelhoo, mt er enfachen Annahme as returns Bespele formen, angepasst; Ene enfache quas-newton Methoe st ene gute Alternatve zu em EM Algorthmus m unvaraten Fall. In en been oberen Abschntten von Tabelle 3.3 zegen wr e Ergebnsse er Symmetrschen Moelle. De NIG, hyperbolsche un t Moelle können rekt unter Verwenung es log-lkelhoo bem Maxmum verglchen weren, a alle e gleche Anzahl an Parametern bestzen. Für täglche Daten haben wr herausgefunen as 8 von 10 returns e t Vertelung er hyperbolschen un NIG Vertelung vorzehen; Für wöchentlche returns wr e t Vertelung n 6 von 10 Fällen bevorzugt. Zusammengefasst schent e NIG Vertelung as zwetbeste Moell zu sen. De gemxten Moelle passen n allen Fällen besser als as Gaußsche Moell un es kann enfach mttels es Akake Informatons Krterum (AIC) verfzert weren. Für Asymmetrsche Moelle zegen wr nur e Fälle n enen mnestens enes er asymmetrschen NIG, hyperbolsch un t Moelle eneutge Verbesserungen (p < 0.05) gegenüber em entsprechenen symmetrschen Moell, baseren auf em lkelhoo rato Test, zegt. Deses passerte für wöchentlche returns von er Ctgroup (C) un Intel (INTC), jeoch ncht für täglche returns. Für e Ctgroup waren e p-werte er Tests 0.06, 0.04 un 0.04 für e t, NIG un hyperbolschen Fälle; Für Intel waren e p-werte n allen Fällen 0.01, was ene starke Asymmetre erkennen lässt. Im Fall von Intel haben wr e Dchten von verscheenen angepassten asymmetrschen Vertelungen n enem Hstogramm (Abblung 3.4) überlagern argestellt. En Druck er log-dchten längssets zegt e Unterschee zwschen en Vertelungen m Enberech. Das lnke Ene (entsprechen er Verluste) schent stärker für ese Daten zu sen un e best passene Vertelung es lkelhoo Vergleches st e asymmetrsche t Vertelung. Bespel 3.16 (multvarate stock returns) Wr haben e multvaraten Moelle an as volle 10 mensonale Datenset er log-returns aus em vorhergen Bespel angepasst. De Ergebnsse es maxmerten log-lkelhoo weren n Tabelle 3.4, zusammen mt en p-werten für enen lkelhoo rato test mt allen spezellen Fällen gegenüber em (asymmetrsch) verallgemenerte hyperbolsche (GH), gezegt. De Anzahl er Parameter jees Moells st also gegeben. Beachten Se as as allgemene -mensonale GH Moel 1/(+1) sperson parameter, Schefe parameter un re parameter von er GIG 1

22 Mschertelung hat, jeoch Gegenstan zu ener erkennbaren Enschränkung st; Das sn 1/((+5)+4) free Parameter. Tabelle 3.3 Für e täglchen Daten st er beste Spezalfall e verrehte t Vertelung, welche enen Wert für as maxmum lkelhoo ergbt er ncht erkennbar, urch as allgemenere Moell mt senen zusätzlchen Parametern, verbessert weren kann. Allen aneren ncht ellptschen symmetrschen Untermoelle weren be enem lkelhoo rato Test abgelehnt. Jeoch kann e ellptsche symmetrsche t Vertelung ncht abgelehnt weren wenn se mt en mesten gänggen Moellen verglchen wr, so as es en enfaches sparsames Moell für ese Daten zu sen schent (er geschätzte Frehetsgra st 6.0). Für wöchentlche Daten st er beste Spezalfall e NIG Vertelung, e gefolgt von er verrehte t Vertelung. Dr hyperbolsche un varance gamma weren abgelehnt. Der beste ellptsche symmetrsche Spezalfall schent e t Vertelung zu sen (mt geschätztem Frehetsgra 6.).

23 Bespel 3.17 (multvarate Währungskurs returns) Wr haben e selben multvarate Moelle an en ver-mensonales Datenset von Währungskurs log-returns angepasst. Des waren GB Pfun, Euro, japansche Yen un schwezer Franken gegenüber em US Dollar für en Zetraum von Januar 000 bs Ene März 004(1067 täglche returns un wöchentlche returns). De Ergebnsse es maxmerten log-lkelhoo sn n Tabelle 3.5 abgeblet. Für e täglchen Daten st er beste Spezalfall (m allgemenen un sogar begrenzt auf symmetrsche Moelle) e NIG Vertelung gefolgt von er hyperbolschen t un varance-gamma (VG) Vertelung. In enem lkelhoo rato test von en Spezalfällen gegenüber ener allgemenen GH Vertelung musste nur as VG Moell auf em 5% Level abgewesen weren. Das verrehte t Moell wr auf em 10% Level abgelehnt. Im erneuten Verglech zum vollen Moell konnten schere ellptsche Moelle ncht zurückgewesen weren abe st as beste von hnen as NIG Moell. Für wöchentlche Daten st er beste Spezalfall e t Vertelung gefolgt von er NIG, hyperbolsch un varance gamma Vertelung. Kener von esen Spezalfällen kann urch enen 5% Level Test abgelehnt weren obwohl as VG Moell mt em 10% Level Test abgelehnt weren kann. Unter en ellptsch symmetrschen Vertelungen st e Gaußsche Vertelung klar abgelehnt un e VG st erneut auf em 10% Level abgelehnt, anerersets jeoch weren e ellptschen Spezalfälle akzeptert; De beste unter hnen schent e t Vertelung zu sen (mt enem geschätzten Frehetsgra von 5.99). 3

Geld- und Finanzmärkte

Geld- und Finanzmärkte Gel- un Fnanzmärkte Prof. Dr. Volker Clausen akroökonomk 1 Sommersemester 2008 Fole 1 Gel- un Fnanzmärkte 4.1 De Gelnachfrage 4.2 De Bestmmung es Znssatzes I 4.3 De Bestmmung es Znssatzes II 4.4 Zwe alternatve

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen

Mehr

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder - Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole

Mehr

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen 6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

Methoden zur Bewertung von Credit Default Swaps

Methoden zur Bewertung von Credit Default Swaps Methoen zur Bewertung von Cret Default Swas Dr. Walter Gruber ( PLUS GmbH); Sylva Lause (Sarasse Hannover) Inhalt Enführung... Moell er Dscounte Sreas... 3 Moell er Ajuste Sreas... 4 Moell von JPMorgan...

Mehr

VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE

VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE Karl Rudolf KOCH Knut RIESMEIER In: WELSCH, Walter (Hrsg.) [1983]: Deformatonsanalysen 83 Geometrsche Analyse und Interpretaton von Deformatonen

Mehr

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte ** Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,

Mehr

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt: Informatk I 6. Kaptel Raner Schrader Zentrum für Angewandte Informatk Köln 4. Jun 008 Wr haben bsher behandelt: Suchen n Lsten (lnear und verkettet) Suchen mttels Hashfunktonen jewels unter der Annahme,

Mehr

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt Kaptel 3 Zwe Personen Spele 3.1 Matrxspele 3.2 Matrxspele n gemschten Strategen 3.3 B Matrxspele und quadratsche Programme 3.4 B Matrxspele und lneare Komplementartätsprobleme 3.1 Matrxspele Wr betrachten

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

Spiele und Codes. Rafael Mechtel

Spiele und Codes. Rafael Mechtel Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,

Mehr

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm): Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über

Mehr

2. Spiele in Normalform (strategischer Form)

2. Spiele in Normalform (strategischer Form) 2. Spele n Normalform (strategscher Form) 2.1 Domnante Strategen 2.2 Domnerte Strategen 2.3 Sukzessve Elmnerung domnerter Strategen 2.4 Nash-Glechgewcht 2.5 Gemschte Strategen und Nash-Glechgewcht 2.6

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Statistik und Wahrscheinlichkeit Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse

Mehr

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II Onlne Algorthmen k-server randomsert Tel II Ausarbetung für das Semnar Onlne Algorthmen Prof. Dr. Ro. Klen Anette Ebbers-Baumann Ansgar Grüne Insttut für Informatk Theorethsche Informatk und formale Methoden

Mehr

Standardnormalverteilung / z-transformation

Standardnormalverteilung / z-transformation Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblock

Lösungen zum 3. Aufgabenblock Lösungen zum 3. Aufgabenblock 3. Aufgabenblock ewerber haben n enem Test zur sozalen Kompetenz folgende ntervallskalerte Werte erhalten: 96 131 11 1 85 113 91 73 7 a) Zegen Se für desen Datensatz, dass

Mehr

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage Fnanzmärkte H 2006 Tr V Dang Unverstät Mannhem. Das Prnzp von No Arbtrage..A..B..C..D..E..F..G..H Das Framework Bespele Das Fundamental Theorem of Fnance Interpretaton des Theorems und Zustandsprese No

Mehr

Nomenklatur - Übersicht

Nomenklatur - Übersicht Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen

Mehr

5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE

5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE 5. ZWEI ODER MEHRERE METRISCHE MERKMALE wenn an ener Beobachtungsenhet zwe (oder mehr) metrsche Varablen erhoben wurden wesentlche Problemstellungen: Frage nach Zusammenhang: Bsp.: Duxbury Press (sehe

Mehr

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer: Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.

Mehr

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord

Kreditrisikomodellierung und Risikogewichte im Neuen Baseler Accord 1 Kredtrskomodellerung und Rskogewchte m Neuen Baseler Accord erschenen n: Zetschrft für das gesamte Kredtwesen (ZfgK), 54. Jahrgang, 2001, S. 1004-1005. Prvatdozent Dr. Hans Rau-Bredow, Lehrstuhl für

Mehr

9 Diskriminanzanalyse

9 Diskriminanzanalyse 9 Dskrmnanzanalyse Zel ener Dskrmnanzanalyse: Berets bekannte Objektgruppen (Klassen/Cluster) anhand hrer Merkmale charakterseren und unterscheden sowe neue Objekte n de Klassen enordnen. Nötg: Lernstchprobe

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte

Boost-Schaltwandler für Blitzgeräte jean-claude.feltes@educaton.lu 1 Boost-Schaltwandler für Bltzgeräte In Bltzgeräten wrd en Schaltwandler benutzt um den Bltzkondensator auf ene Spannung von engen 100V zu laden. Oft werden dazu Sperrwandler

Mehr

3. Lineare Algebra (Teil 2)

3. Lineare Algebra (Teil 2) Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw

Mehr

AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE

AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE AUFGABEN ZUR INFORMATIONSTHEORIE Aufgabe Wr betrachten das folgende Zufallsexperment: Ene fare Münze wrd so lange geworfen, bs erstmals Kopf erschent. De Zufallsvarable X bezechne de Anzahl der dazu notwendgen

Mehr

Beschreibende Statistik Mittelwert

Beschreibende Statistik Mittelwert Beschrebende Statstk Mttelwert Unter dem arthmetschen Mttel (Mttelwert) x von n Zahlen verstehen wr: x = n = x = n (x +x +...+x n ) Desen Mttelwert untersuchen wr etwas genauer.. Zege für n = 3: (x x )

Mehr

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe

Portfoliothorie (Markowitz) Separationstheorem (Tobin) Kapitamarkttheorie (Sharpe Portfolothore (Markowtz) Separatonstheore (Tobn) Kaptaarkttheore (Sharpe Ene Enführung n das Werk von dre Nobelpresträgern zu ene Thea U3L-Vorlesung R.H. Schdt, 3.12.2015 Wozu braucht an Theoren oder Modelle?

Mehr

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt - Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche

Mehr

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I) Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

18. Dynamisches Programmieren

18. Dynamisches Programmieren 8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02 1 BWL 4 Tutorum V vom 15.05.02 1.1 Der Tlgungsfaktor Der Tlgungsfaktor st der Kehrwert des Endwertfaktors (EWF). EW F (n; ) = (1 + )n 1 T F (n; ) = 1 BWL 4 TUTORIUM V VOM 15.05.02 (1 ) n 1 Mt dem Tlgungsfaktor(TF)

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

Anwendungsmöglichkeiten von Lernverfahren

Anwendungsmöglichkeiten von Lernverfahren Künstlche Neuronale Netze Lernen n neuronalen Netzen 2 / 30 Anwendungsmöglcheten von Lernverfahren Prnzpelle Möglcheten Verbndungsorentert 1 Hnzufügen neuer Verbndungen 2 Löschen bestehender Verbndungen

Mehr

Fallstudie 4 Qualitätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung

Fallstudie 4 Qualitätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung Fallstude 4 Qualtätsregelkarten (SPC) und Versuchsplanung Abgabe: Lösen Se de Aufgabe 1 aus Abschntt I und ene der beden Aufgaben aus Abschntt II! Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 31.10.2012

Mehr

Einführung in Origin 8 Pro

Einführung in Origin 8 Pro Orgn 8 Pro - Enführung 1 Enführung n Orgn 8 Pro Andreas Zwerger Orgn 8 Pro - Enführung 2 Überscht 1) Kurvenft, was st das nochmal? 2) Daten n Orgn mporteren 3) Daten darstellen / plotten 4) Kurven an Daten

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert

Mehr

Stochastik - Kapitel 4

Stochastik - Kapitel 4 Aufgaben ab Sete 5 4. Zufallsgrößen / Zufallsvarablen und hre Vertelungen 4. Zufallsgröße / Zufallsvarable Defnton: Ene Zufallsgröße (Zufallsvarable) X ordnet jedem Versuchsergebns ω Ω ene reelle Zahl

Mehr

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07 Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage

Mehr

12 UMPU Tests ( UMP unbiased )

12 UMPU Tests ( UMP unbiased ) 89 1 UMPU Tests ( UMP unbased ) Nach Bemerkung 11.8(b) exstert m Allgemenen ken zwesetger UMP- Test zu enem Nveau α. Deshalb Enschränkung auf unverfälschte Tests: ϕ Φ α heßt unverfälscht (unbased) zum

Mehr

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen 196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen

Mehr

Gruppe. Lineare Block-Codes

Gruppe. Lineare Block-Codes Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung

Mehr

Anpassungstest für Copulas

Anpassungstest für Copulas Anpassngstest für Coplas Anwenngen af nanzmarktaten Semnar für Wrtschafts- n Sozalstatstk Dpl. math. oec. Jaran Dobrć Überblck. Defntonen, Enführng n Bespele. Inferenz 3. Vorhanene Anpassngstest 4. Dobrć

Mehr

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar. . Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen

Mehr

Nernstscher Verteilungssatz

Nernstscher Verteilungssatz Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.

Mehr

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /

Mehr

Statistische Regressionsmodelle

Statistische Regressionsmodelle Statstsche Regressonsmodelle Tel II: Verallgemenerte Lneare Modelle Werner Stahel Semnar für Statstk, ETH Zürch März 2005 / Ma 2008 Zweter Tel der Unterlagen zu enem Kurs über Regressonsmodelle, gehalten

Mehr

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften Bassmodul Makroökonomk /W 2010 Grundlagen der makroökonomschen Analyse klener offener Volkswrtschaften Terms of Trade und Wechselkurs Es se en sogenannter Fall des klenen Landes zu betrachten; d.h., de

Mehr

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher. PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs

Mehr

Nullstellen Suchen und Optimierung

Nullstellen Suchen und Optimierung Nullstellen Suchen und Optmerung Typsche Probleme: De optmale Bahnkurve De Mnmerung des Erwartungswertes ür den Hamltonan Wr möchten ene Funkton mnmeren oder mameren solch en Problem wrd Optmerung genannt!

Mehr

8 Logistische Regressionsanalyse

8 Logistische Regressionsanalyse wwwstatstkpaketde 8 Logstsche Regressonsanalyse De logstsche Regressonsanalyse dent der Untersuchung des Enflusses ener quanttatven Varable auf ene qualtatve (n unserem Fall dchotomen Varable Wr gehen

Mehr

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale 3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche

Mehr

Zweck... 2. Geltungsbereich... 2. I. Generelles zur Risikoquantifizierung im SST... 2. I.1 Analytisches Modell... 3. I.1.1 Vollversion...

Zweck... 2. Geltungsbereich... 2. I. Generelles zur Risikoquantifizierung im SST... 2. I.1 Analytisches Modell... 3. I.1.1 Vollversion... WEGLEITUNG zum SST-Martrso-Stanarmoell Ausgabe vom 23. Dezember 2015 Inhaltsverzechns Zwec... 2 Geltungsberech... 2 I. Generelles zur Rsoquantfzerung m SST... 2 I.1 Analytsches Moell... 3 I.1.1 Vollverson...

Mehr

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny

Franzis Verlag, 85586 Poing ISBN 978-3-7723-4046-8 Autor des Buches: Leonhard Stiny eseproben aus dem Buch "n mt en zur Elektrotechnk" Franzs Verlag, 85586 Pong ISBN 978--77-4046-8 Autor des Buches: eonhard Stny Autor deser eseprobe: eonhard Stny 005/08, alle echte vorbehalten. De Formaterung

Mehr

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis

Free Riding in Joint Audits A Game-Theoretic Analysis . wp Wssenschatsorum, Wen,8. Aprl 04 Free Rdng n Jont Audts A Game-Theoretc Analyss Erch Pummerer (erch.pummerer@ubk.ac.at) Marcel Steller (marcel.steller@ubk.ac.at) Insttut ür Rechnungswesen, Steuerlehre

Mehr

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1

Finanzwirtschaft. Kapitel 3: Simultane Investitions- und Finanzplanung. Lehrstuhl für Finanzwirtschaft - Universität Bremen 1 Fnanzwrtschaft Kaptel 3: Smultane Investtons- und Fnanzplanung Prof. Dr. Thorsten Poddg Lehrstuhl für Allgemene Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Fnanzwrtschaft Unverstät Bremen Hochschulrng 4 / WW-Gebäude

Mehr

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT Smulaton von Hybrdfahrzeugantreben mt optmerter Synchronmaschne 1 SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT OPTIMIERTER SYNCHRONMASCHINE H. Wöhl-Bruhn 1 EINLEITUNG Ene Velzahl von Untersuchungen hat sch

Mehr

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz): LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

Statistische Datenanalyse und Optimierung

Statistische Datenanalyse und Optimierung Statstsche Datenanalyse und Optmerung.0.00 Glederung Vertelungsfunktonen Normalvertelung Normalvertelung mehrerer Vayrablen Abgeletete Vertelungen: χ -Vertelung, Student-t-Vertelung Statstsche ests Fehlerfortpflanzung

Mehr

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1 Vorlesung Entschedungslehre h SS 205 Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, nsb. Fnanzdenstlestungen Unverstät Regensburg Prof. Dr. Klaus Röder Fole Organsatorsches Relevante Informatonen önnen Se stets

Mehr

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2

Mehr

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten

Mehr

Seminar über Algorithmen. Load Balancing. Slawa Belousow Freie Universität Berlin, Institut für Informatik SS 2006

Seminar über Algorithmen. Load Balancing. Slawa Belousow Freie Universität Berlin, Institut für Informatik SS 2006 Semna übe Algothmen Load Balancng Slawa Belousow Fee Unvestät Beln, Insttut fü Infomatk SS 2006 1. Load Balancng was st das? Mt Load Balancng ode Lastvetelung weden Vefahen bescheben, um be de Specheung,

Mehr

8. MARKOVKETTEN 127. Abbildung 8.1: Reduzible und periodische Markovkette. p ji IIP[X n 1 = j] = [(IIP[X n 1 = j]) j E P ] i. j=0

8. MARKOVKETTEN 127. Abbildung 8.1: Reduzible und periodische Markovkette. p ji IIP[X n 1 = j] = [(IIP[X n 1 = j]) j E P ] i. j=0 8. MARKOVKETTEN 17 8. Marovetten Abbldung 8.1: Reduzble und perodsche Marovette 8.1. Homogene Marovetten n dsreter Zet En Prozess {X n : n IIN} hesst homogene Marovette (n dsreter Zet) mt (abzählbarem)

Mehr

5. Transmissionsmechanismen der Geldpolitik

5. Transmissionsmechanismen der Geldpolitik Geldtheore und Geldpoltk Grundzüge der Geldtheore und Geldpoltk Sommersemester 2013 5. Transmssonsmechansmen der Geldpoltk Prof. Dr. Jochen Mchaels Geldtheore und Geldpoltk SS 2013 5. Transmssonsmechansmen

Mehr

Ordnungsstatistiken und Quantile

Ordnungsstatistiken und Quantile KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der

Mehr

13.Selbstinduktion; Induktivität

13.Selbstinduktion; Induktivität 13Sebstndukton; Induktvtät 131 Sebstndukton be En- und Ausschatvorgängen Versuch 1: Be geschossenem Schater S wrd der Wderstand R 1 so groß gewäht, dass de Gühämpchen G 1 und G 2 gech he euchten Somt snd

Mehr

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl 0. STRÖMUNG INKOMPRESSIBLER FLUIDE IN ROHRLEITUNGEN Enführung Vorlesung Strömungslehre Prof. Dr.-Ing. Chrstan Olver Pascheret C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs olver.pascheret@tu-berln.de

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik

Einführung in die Finanzmathematik 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg

Mehr

Y 1 (rein) Y 2 (rein) Mischphase Bezeichnung (g) (g) (g) Mischung (l) (l) (l) Mischung,Lösung (l) (s) (l) Lösung. (s) (g) (s) Lösung

Y 1 (rein) Y 2 (rein) Mischphase Bezeichnung (g) (g) (g) Mischung (l) (l) (l) Mischung,Lösung (l) (s) (l) Lösung. (s) (g) (s) Lösung 3 Lösungen 3. Mschungen und Lösungen Homogene Phasen, n denen alle Komonenten glechartg behandelt werden, heßen Mschungen. Wenn ene Komonente m Überschuß vorlegt, kann man von Lösungen srechen. Sezfsche

Mehr

Neuronale Netze, Deep Learning

Neuronale Netze, Deep Learning Unverstät Potsam Insttut für Informatk Lehrstuhl Neuronale Netze, Deep Learnng Tobas Scheffer Motvaton Moelle neuronaler Informatonsverarbetung Hoffnung: Bessere Lösungen für Probleme, n enen Computer

Mehr

Der Satz von COOK (1971)

Der Satz von COOK (1971) Der Satz von COOK (1971) Voraussetzung: Das Konzept der -Band-Turng-Maschne (TM) 1.) Notatonen: Ene momentane Beschrebung (mb) ener Konfguraton ener TM st en -Tupel ( α1, α2,..., α ) mt α = xqy, falls

Mehr

9 Phasengleichgewicht in heterogenen Mehrkomponentensystemen

9 Phasengleichgewicht in heterogenen Mehrkomponentensystemen 9 Phasenglechgewcht n heterogenen Mehrkomonentensystemen 9. Gbbs sche Phasenregel α =... ν Phasen =... k Komonenten Y n (α) -Molzahl der Komonente Y n der Phase α. Für jede Phase glt ene Gbbs-Duhem-Margules

Mehr

Lineare Regressionsanalyse mit SPSS

Lineare Regressionsanalyse mit SPSS Unverstät Trer Zentrum für Informatons-, Medenund Kommunkatonstechnologe (ZIMK) Bernhard Baltes-Götz Lneare Regressonsanalyse mt SPSS 850 800 750 Y 0 700 5 5 X 0 0 X 0 5 5 04 (Rev. 40804) Herausgeber:

Mehr

Innovative Handelssysteme für Finanzmärkte und das Computational Grid

Innovative Handelssysteme für Finanzmärkte und das Computational Grid Innovatve Handelssysteme für Fnanzmärkte und das Computatonal Grd von Dpl.-Kfm. Mchael Grunenberg Dr. Danel Vet & Dpl.-Inform.Wrt. Börn Schnzler Prof. Dr. Chrstof Wenhardt Lehrstuhl für Informatonsbetrebswrtschaftslehre,

Mehr

Netzsicherheit I, WS 2008/2009 Übung 3. Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008

Netzsicherheit I, WS 2008/2009 Übung 3. Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008 Netzscherhet I, WS 2008/2009 Übung Prof. Dr. Jörg Schwenk 27.10.2008 1 Das GSM Protokoll ufgabe 1 In der Vorlesung haben Se gelernt, we sch de Moble Staton (MS) gegenüber dem Home Envroment (HE) mt Hlfe

Mehr

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: (91 888 5598 De Zahl phantastsch, praktsch, anschaulch De Geschchte der Zahl war dre Jahrhunderte lang dadurch geprägt, dass se und damt de kompleen Zahlen n Mathematkerkresen

Mehr

Der technische Stand der Antriebstechnik einer Volkswirtschaft läßt sich an ihrem Exportanteil am Gesamtexportvolumen aller Industrieländer messen.

Der technische Stand der Antriebstechnik einer Volkswirtschaft läßt sich an ihrem Exportanteil am Gesamtexportvolumen aller Industrieländer messen. - 14.1 - Antrebstechnk Der technsche Stand der Antrebstechnk ener Volkswrtschaft läßt sch an hrem Exportantel am Gesamtexportvolumen aller Industreländer messen. Mt 27,7 % des gesamten Weltexportvolumens

Mehr

Wechselstrom. Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets wie folgt dargestellt werden : U t. cos (! t + " I ) = 0 $ " I

Wechselstrom. Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets wie folgt dargestellt werden : U t. cos (! t +  I ) = 0 $  I Wechselstrom Dr. F. Raemy Wechselspannung und Wechselstrom können stets we folgt dargestellt werden : U t = U 0 cos (! t + " U ) ; I ( t) = I 0 cos (! t + " I ) Wderstand m Wechselstromkres Phasenverschebung:!"

Mehr

Definitorische Konstruktion induktiver Datentypen in Isabelle/HOL

Definitorische Konstruktion induktiver Datentypen in Isabelle/HOL TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN INSTITUT FÜR INFORMATIK Defntorsche Konstrukton nduktver Datentypen n Isabelle/HOL Dplomarbet Stefan Berghofer INSTITUT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Defntorsche

Mehr

4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls

4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls 34 35 4. Energe, Arbet, Lestung, Ipuls Zentrale Größen der Physk: Energe E, Enhet Joule ( [J] [N] [kg /s ] Es gbt zwe grundsätzlche Foren on Energe: knetsche Energe: entelle Energe: Arbet, Enhet Joule

Mehr

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie) III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,

Mehr

11 Chemisches Gleichgewicht

11 Chemisches Gleichgewicht 11 Chemsches Glechgewcht 11.1 Chemsche Reaktonen und Enstellung des Glechgewchts Untersucht man den Mechansmus chemscher Reaktonen, so wrd man dese enersets mt enem mkroskopschen oder knetschen Blck auf

Mehr

Steuerungsverfahren und ihre Datenstrukturen 09 - Netzplantechnik

Steuerungsverfahren und ihre Datenstrukturen 09 - Netzplantechnik und hre Datenstrukturen 9-9....2 9. Zetplanung...2 9.. CPM... 3 9..2 PERT... 9..3 MPM... 5 9..4 Verglech zwschen CPM und MPM... 22 9.2 Ausblck: Kosten- und Kapaztätsplanung...23 9.3 Entschedungsnetzpläne...24

Mehr

PARAMETERSTABILITÄT IN HEDONISCHEN BODENPREISMODELLEN

PARAMETERSTABILITÄT IN HEDONISCHEN BODENPREISMODELLEN PARAMETERSTABILITÄT IN HEDONISCHEN BODENPREISMODELLEN ROBERT WIESER Fachberech Fnanzwssenschaft und Infrastrukturpoltk Department für Raumentwcklung, Infrastruktur- und Umweltplanung Technsche Unverstät

Mehr

Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung

Übung zur Vorlesung. Informationstheorie und Codierung Übung zur Vorlesung Informatonstheore und Coderung Prof. Dr. Lla Lajm März 25 Ostfala Hochschule für angewandte Wssenschaften Hochschule Braunschweg/Wolfenbüttel Postanschrft: Salzdahlumer Str. 46/48 3832

Mehr

Hat die Wahl des Performancemaßes einen Einfluss auf die Beurteilung von Hedgefonds-Indizes?

Hat die Wahl des Performancemaßes einen Einfluss auf die Beurteilung von Hedgefonds-Indizes? Hat de Wahl des Performancemaßes enen Enfluss auf de Beurtelung von Hedgefonds-Indzes? Von Martn Elng, St. Gallen, und Frank Schuhmacher, Lepzg Ene zentrale Fragestellung n der wssenschaftlchen Ausenandersetzung

Mehr

Quantitatives Prognosemodell für die Anwendung des Black-Litterman-Verfahrens

Quantitatives Prognosemodell für die Anwendung des Black-Litterman-Verfahrens Quanttatves Prognosemodell für de Anwendung des Black-Ltterman-Verfahrens Franzska Felke* und Marc Gürtler** Abstract: De chätzung erwarteter Wertpaperrendten stellt ene der zentralen Aufgaben n der praktschen

Mehr

Lagrangesche Mechanik

Lagrangesche Mechanik Kaptel Lagrangesche Mechank De Newtonsche Mechank hat enge Nachtele. 1) De Bewegungsglechungen snd ncht kovarant, d.h. se haben n verschedenen Koordnatensystemen verschedene Form. Z.B., zwedmensonale Bewegungsglechungen

Mehr