gleichgerichteten Alternativen Thomas Bregenzer

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1 En SAS-Macro zur multvaraten nchtparametrschen Analyse be glechgerchteten Alternatven Thomas Bregenzer Insttut fur Mathematk und Datenverarbetung n der Medzn, Unverstatskrankenhaus Eppendorf, Hamburg Zusammenfassung Zur Analyse multvarater Probleme be glechgerchteten Alternatven egnen sch besonders (nchtparametrsche) Summentests, de sch gegenuber den klassschen Verfahren (z.b. Hotellngs T 2 )durchhohere Power auszechen. Dabe bereten auch unvollstandge Beobachtungsvektoren kene Schwergketen, ebensoweng we gemschte Vektoren aus metrschen und ordnalen kategorellen Daten. En Macro n SAS/IML ermoglcht ene bequeme Anwendung verschedener Summentests n parametrscher und nchtparametrscher Form. Enletung Werden zur Beurtelung enes Behandlungseekts mehrere glechbedeutende Zelvarablen herangezogen, so kann oft nur dann von ener endeutgen Uberlegenhet enes Verfahrens gesprochen werden, wenn sch be allen relevanten Zelgroen der gewunschte Eekt n der gewunschten Rchtung nachwesen lat. Unvarate statstsche Methoden fuhren so zu ener Velzahl von p{werten, wohngegen en enzelner p{wert zur Beurtelung enes Behandlungseekts von Vortel ware. Testverfahren zum Aufdecken deser glechgerchteten Alternatven m Fall zweer unverbundener Stchproben we z.b. de Summenstatstken nach O'Bren [2] und We{Lachn[8, 3], snd derzet Gegenstand ntensver Dskussonen. Unter Voraussetzung normalvertelter Daten mt glechen Varanzen n den Gruppen st der klasssche T 2 { Test von Hotellng zum Test auf belebge Abwechungen von der Nullhypothese " n kener der Zelgroen en Behandlungseekt\ glechmag bester unverfalschter Test zum Aufdecken glechgerchteter Alternatven st er aber gerade wegen sener Egenschaften als Omnbus{Test ncht geegnet. Herzu lassen sch mt Summenstatstken, gebldet durch gewchtetes oder ungewchtetes Aufsummeren der Mttelwertsderenzen uber de Zelvarablen, Tests mt groerer Power nden [4]. 2 Summenstatstken von O'Bren{Typ Se X (k) j = 2 j = ::: n k = ::: K de k{te gemessene Groe be Patent j n Gruppe, wobe enge der X (k) j fehlen konnen (mssng at random). De Vektoren X 0 j =(X () j ::: X(K) j ) sollen folgende Bedngungen erfullen:. De X j snd unabhangge Zufallsvektoren 2. E(X j )= =( ::: K ) 0 3. cov(x j )= (ncht sngular), = 2 =: =( kl ) k l= ::: K N := n + n 2,undn k bezechne P de Anzahl vorhandener Werte n Gruppe fur de k{te Varable. De Summen P bzw. Mttelwerte X (k) : := j X(k) j, X(k) : := n k j X(k) j werden dabe stets aus den vorhandenen Beobachtungen gebldet.

2 2. Konsstente Schatzer von und En konsstenter Schatzer fur ergbt sch komponentenwese aus X,wobe jede Komponente aus den n k vorhandenen Beobachtungen geschatzt wrd. De Kovaranz{Matrx kann geschatzt werden durch b := (b kl ) k l mt b kl = Xn j= (X (k) j der gepoolte Schatzer von st b =(b :kl ) k l mt ; X (k) : )(X (l) j ; X (l) : )=(n kl ; 2+ fk=lg ) 2X (n kl ; )bs kl = b :kl = X : nkl ; 2 De Kovaranz{Matrx des Mttelwertvektors X st cov(x )= cov(x (k) : X (l) : ) =: (! kl ) k l mt! kl = k l n kl n kn l kl = n2 kl n kn l cov (X (k) : X (l) : )wobe cov () debedngte Kovaranz st, baserend auf den n kl Beobachtungen mt vorhandenen Daten fur bede Varablen. Der Faktor n2 kl n kn l spelt dabe de Rolle enes Korrektur{Faktors be fehlenden Werten mt der Egenschaft, da de so bestmmte bedngte\ Kovaranz{Matrx postv semde- " nt st. Der Korrekturfaktor kann Werte zwschen 0 und annehmen:, wenn de Daten vollstandg snd, und 0, wenn jedem beobachteten Wert en fehlender gegenuberlegt\. In letzterem Fall werden de Varablen also " als bedngt unabhangg betrachtet. De so unter Ausnutzung aller verfugbaren Daten konstruerten X und b snd konsstente Schatzer fur und. 2.2 Asymptotsche Vertelung De Mttelwerts{Derenzvektoren der beden Behandlungsgruppen, (X (k) ;X (k) 2 ) k= ::: K, snd en konsstenter Schatzer fur den Eekt ; 2. Indem man zusatzlch zudenvektoren der Beobachtungen X (k) j de Vektoren der Indkatorvarabeln, de ja beschreben, ob en Wert vorhanden st oder fehlt, als Zufallsvarablen, stochastsch unabhangg von den X (k) j, enfuhrt, kann en multvarater Zentraler Grenzwertsatz angewandt werden um de asymptotsche Normaltat der standardserten Mttelwertsvektoren nachzuwesen: p N(X ; X 2 ) ;! D U N K (0 ;) mt ; =( kl ) k l und kk = N :kk n k + n 2k k = ::: K kl = N :kl nkl n k n l + ; kann konsstent ausb geschatzt werden. n 2kl k 6= l: n 2k n 2l 3 Multvarate Teststatstken fur unvollstandge Daten 3. Parametrsche Tests fur glechgerchtete Alternatven O'Bren schlagt zwe parametrsche Verfahren zum Test von H 0 : = 2 vs. H : ; 2 = cj vor, dabe st c en reellwertger Skalar und J en Enservektor mt K Komponenten. De modzerten OLS{ und GLS{ Statstken hre Namen bezehen sch auf ordnary least squares und generalzed least squares{ Technken O'Bren setzt standardserte Varablen voraus m allgemenen Fall wrd also J durch denvektor mt den Inversen der Standardabwechungen zu ersetzen sen.

3 snd nun T OLS = J0 (X ; X 2 ) (J 0 b ;J) =2 und T GLS = J0 b ; ; (X ; X 2 ) (J b 0 ; ; J) =2 wobe X, X 2 und b ; aus den vorhandenen Beobachtungen bestmmtwerden, we m vorgen Abschntt gezegt. Bede Statstken snd asymptotsch standardnormalvertelt unter H Ene allgemene lneare Rangstatstk m unverbundenen a{stchproben{fall O'Bren schlagt auch enen nchtparametrschen Test vor, der sch allerdngs schon n ahnlcher Form be Kozol et al 98 [6] ndet. Her wrd nun en allgemenes nchtparametrsches Verfahren fur den Fall von a unabhanggen Stchproben angegeben, zunachst be vollstandgen Daten: 3.2. Modell und Eekte X =(X () j ::: X(K) j ) 0 = ::: a j = ::: n bezechne de nach F vertelten unabhanggen Zufallsvektoren mt K Komponenten n a Gruppen. De Randvertelungen F (k+) := P (X (k) j x) werden ncht notwendg als stetg vorausgesetzt. Im weteren Verlauf wrd allerdngs ene normalserte\ Verson der Vertelungsfunkto- " nen verwendet: Bezechnet F (k+) Vertelungsfunkton und F (k;) we oben gezegt de (ublcherwese gebrauchlche) rechtsstetge Verson der <x) de lnksstetge Verson, so wrd mt := P (X (k) j F (k) (x) := 2 hf (k+) + F (k;) de gemttelte ( " normalserte\) Verson der Vertelungsfunkton bezechnet. De Verwendung deser Vertelungsfunkton hat den Vortel, da auch Bndungen und sogar ordnale kategorelle Daten zugelassen werden konnen. Ausgeschlossen sollen ledglch Enpunktvertelungen sen. De emprschen Vertelungsfunktonen bf (k) := n Xn j= c(x ; X (k) j ) seen ebenfalls mt normalserten Versonen der Zahlfunkton c gebldet. De (a K{Komponenten{) Vektoren der Vertelungsfunktonen werden mt bezechnet. F =(F (k) ) 0 = ::: a k = ::: K Das gewchtete Mttel der Vertelungsfunktonen st mt N = P a = n. H (k) = bzw. bh (k) = = = n N F (k) n F b(k) = N N Xn = j= bzw. F b =( F b(k) ) 0 = ::: a k = ::: K c(x ; X (k) j )

4 3.2.2 De nchtparametrschen Eekte Der Erwartungswert der Zufallsvarablen X j (auf den Index k fur de Varablennummer m oben betrachteten Vektor soll zunachst verzchtet werden) E(X j )= R xdf (x) lat sch als Spezalfall enes " verallgemenerten Erwartungswerts\ mt belebger Integrandenfunkton h (eben fur h = d) E h (X j ):= R h(x) df (x) auassen. Im ren nchtparametrschen Kontext stehen neben der Identtat ncht vele " snnvolle\ Funktonen fur h zur Auswahl, m Grunde nur de Vertelungsfunktonen der zugrundelegenden Daten. Ene Moglchket ware R F 0(x) df (x) 6= 0 de Proversonswahrschenlchketen P (X j X 0 j) also. Da aber ncht a pror ene Gruppe vor den anderen ausgezechnet sen mu, erschent es snnvoll, das gewchtete Mttel der Vertelungsfunktonen zu verwenden, womt sch, vgl. [3], de ({ten) relatven (Behandlungs{)Eekte p := Z H(x) df (x) als gemttelte Verson der Proversonswahrschenlchketen ergeben. Lat man zusatzlch noch ene Scorefunkton J zu, so erhalt man de ({ten) allgemenen relatven Eekte p (J) := Z J[H(x)] df (x): Im multvaraten Kontext, also be K{komponentgen Zufallsvektoren X j =(X () j ::: X(K) j ) 0 = ::: a j = ::: n mt Vertelungsfunktonen F und Randvertelungen F (k) betrachtet man nun also de Vektoren (bzw. deren Schatzer) der relatven Eekte p (k) (J (k) ) := bp (k) (J (k) ) := Z Z J (k) [H (k) (x)] df (k) (x) J (k) [ H b (k) (k) (x)] db F (x): Dabe setzten sch deschatzer aus den durch varablenwese Rangvergabe gebldeten Rangen (R (k) j ) (bzw. Rangscores) zusammen, denn j ; 2 J (k) ( H b (k) (X (k) j )) R (k) =! J (k) N Da das n Abschntt 5 beschrebene SAS{Macro nur Wlcoxon{Scores verwendet, wrd m Abschntt 3.3 uber drektonale Tests auf de Scorefunktonen J (k) ncht weter engegangen und J (k) = d verenbart.! : Hypothesen m nchtparametrschen Modell Im nchtparametrschen Modell werden de Vertelungsfunktonen analog zur ANOVA addtv zerlegt, so z.b. m 2{faktorellen Modell de Vertelungsfunktonen F j der Zufallsgroen X jm n F j = M + A + B j + C j P P P P mt den Nebenbedngungen: A = j B j = C j = j C j =0(wobe 0 her de konstante Nullfunkton bezechnet). Mt den we oben gebldeten Mtteln der Vertelungsfunktonen X X XX F = b j F j F j = a F j F = ab lat sch nun so z.b. de ren nchtparametrsche Hypothese " ken Eekt von A\ formuleren: H (A) 0 : A = F ; F =0 8 = ::: a Allgemene Hypothesen lassen sch nun mttels ener Kontrastmatrx C formuleren als H 0 (C) :CF = 0, z.b. st m her besprochenen Enfaktor{Modell m Fall K = (unvarat) C = P a := I a ; a J a,mmultvaraten Fall C = P a K. j F j

5 3.2.4 Asymptotk und Teststatstken Durch Anwendung geegneter Grenzwertsatze [2] lat sch de multvarate Normaltat von bp(j) =:bp unter H 0 (C) :CF = 0 zegen, sofern folgende Bedngungen erfullt snd: (A) mn f= ::: ag n!, (A2) 0 < 0 n =N ; 0 < (A3) J (k) :[0 ]! IR snd beschrankte Scorefunktonen. N = P a = n st de Anzahl der Beobachtungsvektoren. Fur de asymptotschen Betrachtungen st es snnvoll, zunachst ncht bp zu betrachten, sondern ene aus pro Varable unabhanggen Komponenten zusammengesetzte Verglechsstatstk, der asymptotschen Rangtransformaton Y mt Komponenten Z J (k) [H (k) (k) ] db F = ::: a k = ::: K und Y (k) j := J (k) (H (k) (X (k) j ), von der sch zegen lat, da unter H 0 : CF = 0 de Statstken Cbp und CY asymptotsch aquvalent snd. Grenzwertaussagen fur CY gelten somt auch fur Cbp. De Covaranzmatrx von p N Y st wegen der Unabhanggket der Y (k) und Y (k) 0 fur 6= 0, de durch de asymptotsche Rangtransformaton aus den Ursprungsdaten erhalten bleb, ene Kroneckersumme Cov( p N Y )=:V = wobe V n der klassschen Wese geschatzt wrd. Mt der zusatzlchen Voraussetzung (B) Se mn der klenste Egenwert der Covaranzmatrx V von p N Y. Dann gelte mt ener Konstanten 0 : j mn j 0 > 0. lat sch zegen THEOREM 3. (Multvarate NV der Rang(score{)statstk) Unter den Bedngungen (A) bs (A3) und (B) st p NCbp unter H 0 : CF = 0 multvarat normalvertelt mt Erwartungswertvektor 0 und Covaranzmatrx V. am = V 3.3 Nchtparametrsche Tests be glechgerchteten Alternatven De m vorgen Abschntt gezegte multvarate Normaltat (unter Hypothese) der allgemenen lnearen Rangstatstk Cbp lat ch zur Konstrukton geegneter nchtparametrscher Tests be glechgerchteten Alternatven heranzehen. Dazu se zunachst nur der Fall von vollstandge Daten betrachtet ene Erweterung auf Daten mt Fehlstellen ndet sch am Ende des Abschntts. Dem Test der Nullhypothese F (k) = F (k) 2 = :::= F a (k) k = ::: K entsprcht n Matrxnotaton mt der (a K a K){Matrx K a := P a I K. K a F = 0 Be Tests auf strukturerte Alternatven m Snne von patterned alternatves, vgl.[], mt ener (K a K){ Gewchtsmatrx W konnen prnzpell fur jede Varable egene Gewchtsvektoren w (k) fur de (Behandlungs{)

6 Gruppen festgelegt werden (wenn man bespelswese bem Verglech zwschen Behandlungs{ und Placebogruppe be ener Varablen enen Ansteg und be ener anderen enen Abfall erwartet) W hat dann de Form W = 0 w () 0 ::: 0 ::: w a () 0 ::: 0 0 w (2) 0 ::: ::: 0 w a (2) 0 ::: ::: 0 w (K) ::: 0 ::: 0 w a (K) C A : Oft wrd allerdngs auch de Stuaton w () = :::= w (K) = w vorlegen dann kann W enfach alsw = w 0 I K geschreben werden, und ene a{pror erwartete Ordnung der F (k) ::: F a (k) kann durch enena{komponentgen Gewchtsvektor w reprasentert werden. Rechnet man bespelswese mt enem Ansteg der outcome{varaben von Dossstufe I uber II nach III und be IV weder mt enem Abfall, so lat sch des mt dem Gewchtsvektor ( 2 4 3) 0 charakterseren. Desweteren kann nun auch fur de K Varablen m multvaraten Problem en belebger Gewchtsvektor v = (v ::: v K ) 0 angegeben werden, we er be den Summenstatstken, vgl. [2, 3] oder [0] m parametrschen Kontext, Verwendung ndet, so z.b. v = K be O'Brens OLS{Test (de Standardserung durch Dvson mt den Standardabwechungen der Varablen kann her entfallen, da de Varabeln durch de varablenprobenwese Rangvergabe schon standardsert\ snd.) oder " (;) (;) v = b R K mt enem Schatzer b R der Covaranzmatrx der (rangtransformerten) Varablen oder v = d() mt ener endeutgen vektorwertgen Funkton d der Produktsummenmatrx der Daten, vgl. [9, 0]. Mt Gewchtsmatrx W fur de strukturerte Alternatven und Gewchtsvektor v fur de Bldung der Summenstatstk kann nun ene lneare Rangstatstk T N := p Nv 0 W 0 K a bp (3.) gebldet werden, de sch als T N = p N KX k= v k = (w (k) ; w (k) )R (k) (3.2) schreben lat. Unter Hypothese st nun T weder asymptotsch normalvertelt mt Erwartungswert 0 und Varanz 2 = v 0 W 0 K a VK a Wv : De Covaranzmatrx V kann weder konsstent aus den Rangen geschatzt werden. Dabe ergbt sch aber be hochdmensonalen Versuchen das Problem, da sehr vele Parameter zu schatzen snd. Ist W = w I K (was n der Praxs oft der Fall sen durfte 2 ) st de Schatzung der gesamten Covaranzmatrx be der Verwendung der Summenstatstk ncht notg, da nur de Varanz der lnearen Rangstatstk bestmmt werden mu, und de lat sch dann schreben als T N = p N KX k= v k = (w ; w)r (k) Da de Gewchtsvektoren m Prnzp vollg fre wahlbar snd, wurde be der Bezechnung der Alternatven der Begr " strukturert\ gewahlt " geordnete Alternatven\ ware auch moglch gewesen, bezechnet aber konventonell eher enen etwas engeschrankteren Sachverhalt. 2 d.h. fur jede Varable st bezuglch der Stchproben der gleche Gewchtsvektor anzuwenden des st der " klasssche\ Fall n anschenend allen vorlegenden Arbeten zum Thema " Summenstatstken\, z.b. be [9, 2,3]

7 mt R (v) j und P K := v k= kr (k) j. Dann st b b 2 = = p N = p N 2 = = = = N n (n ; ) X (w ; w) n n (w ; w) n n KX j= k= X j= R (v) j v k R (k) j (w ; w) 2 b 2 (3.3) Xn (R (v) j j= ; R (v) ) 2 : (3.4) Zusammenhang mt O'Brens Testverfahren De von O'Bren n [2] empfohlene nchtparametrsche Varante sener OLS{Statstk zum Test auf glechgerchtete Unterschede zwschen den Stchproben beruht, ubertragen auf de Notaton deses Betrags, auf der standardserten Mttelwertsderenz der pro unabhangger Beobachtung (j) gebldeten Rangsumme (uber de K Varablen be varablenweser Rangvergabe), also (mt den R (v) aus dem vorgen Absatz) auf der Teststatstk T OB = R (v) ; R (v) 2 : Der Vorschlag O'Brens, mt den Rangsummen R (v) enen zwe{stchproben{t-test auszufuhren, entsprcht also genau dem Fall a =2 v = K W = w 0 I K w =( ;) 0 m her besprochenen Test zu denn H 0 :(K a )F = 0, H 0 : F (k) = F (k) k= ::: K 2 vs. H : F (k) >F (k) 2 k= ::: K bzw. H 2 : F (k) <F (k) 2 k= ::: K R (v) ; R (v) 2! = Nv 0 W 0 K a bp K a = P a I K,undbp setzt sch aus den varablenwese vergebenen Rangen (bzw. Scores) zusammen: Xn bp = J R (k) j ; N 2 A n j= = ::: a k= ::: K wobe her J als de Identtat zu wahlen st. Da de Rangvergabe pro Varable schon standardserte Groen bldet, wrd auf de be dem parametrschen OLS{Test erforderlche Transformaton der Orgnaldaten (Subtrakton des Gesamtmttels der Varablen und nachfolgend Dvson durch de Standardabwechungen) verzchtet. Analog (;) (;) zum parametrschen GLS{Test lat sch her en Test mt v = b R K mt enem Schatzer b R der Rangkorrelatonsmatrx der (rangtransformerten) Varablen konstrueren, der von O'Bren m nchtparametrschen Kontext ncht vorgeschlagen wurde. Es st noch zuerwahnen, da de Teststatstk (3.) fur belebg vertelte Zufallsvarablen anwendbar st, also auch auf ordnale kategorelle Daten und somt auf gemschte Varablenvektoren mt sowohl ordnalen als auch metrschen Daten. Daruberhnaus konnen belebge Gewchtsvektoren bzw. -Matrzen sowohl fur de K Varablen als auch fur de a Gruppen abgegeben werden, und wenn be allen Varablen derselbe Gewchtsvektor fur de Gruppen Verwendung ndet (also we be O'Bren), kann de Zahl der abhanggen Varablen (K) belebg gro sen und de Zahl der unabhanggen Beobachtungen (N) uberschreten, da de Schatzung der gesamten Covaranzmatrx ncht notg st und durch de enfache Schatzung der Varanz der lnearen Rangstatstk nach (3.3) ersetzt werden kann.

8 Erweterung be unvollstandgen Daten Be unvollstandgen Daten kann das vorgestellte Verfahren analog zum Vorgehen bem parametrschen Fall erwetert werden. De emprsche Vertelungsfunkton fur de k{te Varable st nun mt n k als Anzahl der fur Varable k n Gruppe vorhandenen Beobachtungen bf (k) := n k X beob. j De gemttelten Vertelungsfunktonen H (k) snd nun H (k) = bzw. bh (k) = = = n k F (k) N k n k N k b F (k) = N k c(x ; X (k) j ) : X = beob. j c(x ; X (k) j ) mt N k = P a = n k. Damt werden weder de nchtparametrschen Eekte denert und m asymptotschen Verhalten untersucht. Daher mussen de Bedngungen (A) und (A2) aus nur an de unterschedlchen Anzahlen von Beobachtungen pro Varable angepat werden, es gelte also fur alle k = ::: K: (A') mn f= ::: ag n k!, (A2') 0 < k n k =N k ; k < De Resultate der Asymptotk oben bleben so unverandert bestehen, Nur de Denton der Verglechsstatstk mu angepat werden, denn nun st mt Y (k) j := J (k) (H (k) (X (k) j )) und damt wrd Y := beobachteten Werten. Y (k) Y (k) := n k X beob. j Y (k) j = ::: a k= ::: K gebldet. N b kh (k) (X (k) )stnun der Rang von X(k) unter den N k j De asymptotsche multvarate Normaltat von p N Y ergbt sch we oben mt der vorangestellten Bedngung (B) und da unter H 0 : CF = 0 p N Cbp und p N CY asymptotsch aquvalent snd, erhalt man dadurch auch de asymptotsche Normaltat der Rangstatstk p N Cbp: j THEOREM 3.2 Unter den Bedngungen (A'), (A2'), (A3) und (B) st p N Y normalvertelt. asymptotsch multvarat De Schatzung der Covaranzmatrx V von p N Y mu nun auch auf de unvollstandgen Daten angepat werden. Zur Schatzung von Cov( p NY (k) j p NY (l) j )konnen n kl vorhandene Beobachtungen verwendet werden: dcov(y (k) j Y (l) j )= n kl ; X beob. j beob. j Y (k) j ; Y (k) Y (l) j ; Y (l) gebldet aus den unbeobachtbaren asymptotschen Rangtransformatonen, wrd aus den vorhandenen Daten geschatzt durch dcov(y (k) j Y (l) j )= X by (k) j ; b Y (k) by (l) j ; b Y (l) n kl ; und de her engehenden Werte snd Range bzw. Scores, denn fur de Y b (k) j glt:! by (k) j = J (k) ( H b (k) (X (k) j )) R (k) =! J (k) j ; 2 N k

9 P a mt N k = n = k. We m Abschntt be den parametrschen Verfahren dargestellt, ergbt sch auch her be der Berechnung bzw. den Schatzern von Cov( Y b (k) Y b (l) dcov( p N Y b (k) p N Y b (l) )=:(k l) = n kl n k n l ) en Korrekturfaktor, soda de analoge Glechung nun N X by (k) j ; b Y (k) by (l) j ; b Y (l) n kl ; beob. j lautet, de m Fall von vollstandgen Daten weder de bekannte Form hat. Damt st jedes Element von V = Cov( p L N Y )= a V mt (k l) konsstent geschatzt. = Mt ener Gewchtsmatrx W fur de strukturerten Alternatven und enem Gewchtsvektor v fur de Bldung der Summenstatstk kann nun weder ene lneare Rangstatstk T N := p Nv 0 W 0 K a bp gebldet werden (mt K a := P a I K und P a := I a ; a J a). Unter Hypothese st T N dann asymptotsch normalvertelt mt Erwartungswert 0 und Varanz 2 = v 0 W 0 K a VK a Wv : V wrd we eben angegeben aus den Rangen bzw. Scores der vorhandenen Daten geschatzt. De oben angegebene verenfachte Varanzschatzung durch Schatzung der Varanz der lnearen Rangstatstk statt der gesamten Covaranzmatrx P V st be unvollstandgen Daten ncht anwendbar, denn nun lassen sch de K Summatonen uber de Varablen ( )unduber de Beobachtungsenheten (P n k k= j= )ncht mehr vertauschen. Daher entfallt be unvollstandgen Daten auch de angenehme Egenschaft der genannten Summenstatstken, m Prnzp belebg hochdmensonale Probleme be relatv gerngem Stchprobenumfang bearbeten zu konnen: Durch de Notwendgket der Schatzung der gesamten Covaranzmatrx wrd de Anzahl der Varablen durch de Anzahl der unabhanggen Beobachtungen begrenzt. De allgemene Form der Summenstatstk m a{stchprobenproblem zum Test von H 0 : F = :::= F a gegen ene durch de Gewchtsmatrx W denerte strukturerte Alternatve st also T N := p N v 0 W 0 K a bp q v 0 W 0 K a b VKa Wv D ;! U N(0 ) : (3.5) De Schatzer bp und b V werden we n oben angegeben aus den vorhandenen Daten geschatzt. Ist fur alle Varablen der gleche Gewchtsvektor w anwendbar zur Beschrebung der Alternatve (z.b. w =(; ) 0 m klassschen 2-Stchprobenproblem be [2] oder[3]), so st zum Test von H 0 : F = :::= F a vs. H : F ::: F a (das st her komponentenwese zu verstehen) verenfacht W = w 0 I K zu verwenden, wobe w aus der aufstegenden Folge von Gewchten w ::: w a gebldet wrd. Legen de Daten zudem noch vollstandg vor, so verenfacht sch (3.5) zu T N = P a = (w;w) n P n j= R(v) j pp a = (w;w)2 b 2 D ;! U N(0 ) P mt b 2 = n n (n;) j= (R(v) j P ; R (v) ) 2 und R (v) K j := v k= kr (k) j. Trotz der Tatsache, da de Grenzwertsatze nur ene asymptotsche Normalvertelung lefern, kann man naturlch versuchen, de nten Vertelungen annahernd durch ene geegnete t{vertelung zu bestmmen. Dabe ergaben Smulatonsstuden, da ene t{vertelungs{approxmaton mt N;2 Frehetsgraden sehr brauchbare Ergebnsse lefert (ene exakte t{vertelung ergbt sch auch be ener bestmmten Klasse von Summenstatstken m Fall normalvertelter Zufallsvarablen, vgl. [9]).

10 3.4 Hotellng's T 2 be unvollstandgen Daten Nun lat sch auch ene modzerte T 2 Statstk fur unvollstandge Daten angeben: T 2 := (X ; X 2 ) b 0 ;(X ; X 2 ) mt ; b = cov(x c ; X 2 ) wobe b ; aus allen vorhandenen Daten geschatzt wrd (we n Abschntt 2.2. beschreben). T 2 st asymptotsch 2 vertelt mt K Frehetsgraden. Ene nchtparametrsche Verson (Notaton we m vorangegangenen Abschntt) von Hotellngs T 2 {Test, analog zu Kozol et al, 98, st nun TR 2 := bp0b R bp mt R b = cov(bp): c R und bp werden weder aus den vorhandenen Daten geschatzt. Auch T 2 R st asymptotsch 2 vertelt mt K Frehetsgraden. 4 Ergebnsse von Smulatonen Untersuchungen uber asymptotsche Optmaltatsegenschaften lassen allerdngs kaum Ruckschlusse auf das Verhalten der Tests be klenen und mttleren Stchprobenumfangen zu. Durch Smulatonen kann gezegt werden, da asymptotsch n gewsser Hnscht optmale Tests m nten Fall zu kaum mehr brauchbaren Ergebnssen fuhren (Antkonservatvtat, Guteverluste, vgl. auch [7, ]). In de Smulatonen fanden de parametrschen und nchtparametrschen Formen der O'Bren{Statstken Engang, ebenso we Hotellngs T 2 und, ohne da her naher darauf engegasngen wurde, de Standardzed{Sum{ und Prncpal{Component{Statstk von Lauter [9]. Zu letzteren se nur erwahnt, da de Rangverson der Standardzed{Sum{Statstk dentsch st mt der Rangverson von O'Brens OLS mt t{vertelungs{approxmaton. Insbesondere ergab sch De GLS{Formen der Summenstatstken sollten kene Verwendung nden, da de Antkonservatvtat auch noch be mttleren Stchprobenumfangen recht deutlch st. Auch der zu erwartende Vortel von GLS gegenuber OLS stellt sch.a. eher als margnal heraus. De parametrsche und nchtparametrsche OLS{Form st be klenen Stchprobenumfangen noch etwas antkonservatv, wobe de Anwendung ener t{vertelungs{approxmaton (statt Normalvertelung) desem Eekt entgegenwrkt, soda dann de Rangverson auch be klenen Fallzahlen (schon be 5 pro Gruppe) gut anwendbar st. Unengeschrankt anwendbar (m Snne von Enhaltung des Nveaus) st be vollstandgen Daten ene OLS{ Rangvarante, de ohne Schatzung der Covaranzmatrx auskommt, denn be vollstandgen Daten st es ausrechend, de Varanz der lnearen Rangstatstk (3.) zu bestmmen. Der resulterende Test entsprcht dann enem unverbundenen 2{Stchproben{t{Test, angewandt auf de pro unabhangger Beobachtungsenhet gebldeten Rangsummen. Mt t{vertelungs{approxmaton erhalt man so ene OLS{Rangvarante, de das Nveau auch be klenen Stchprobenumfangen enhalt. Be unvollstandgen Daten wrd n jedem Fall ene fur mssngs adjusterte Schatzung der gesamten Covaranzmatrzen notwendg be Anwendung der OLS{Rangverson mt t{vertelungs{approxmaton st schon be n = n 2 =5kene Antkonservatvtat feststellbar. De OLS{Rangvaranten zegen n allen untersuchten Stuatonen ene Power, de den das Nveau ebenfalls enhaltenden anderen drektonalen Tests (z.b. Lauter's PC{Test [9]) mndestens verglechbar st. Bem Verglech zu Hotellngs T 2 zegt sch en umso deutlcherer Vortel der OLS{(Rang)versonen, je hoher der Antel an nformatven Varablen st erst be etwa glechvel nformatven we ncht{nformatven Varablen begnnt sch deser Vortel umzukehren des durfte dann allerdngs.a. auch ken fur de Anwendung von Summenstatstken relevantes drektonales Testproblem mehr sen. Be unvollstandgen Daten st der Powerverlust be allen betrachteten Varanten der Summenstatstken verglechswese gerng.

11 Fur de praktsche Anwendung sollte daher de nchtparametrsche Varante von O'Brens OLS das Verfahren der Wahl sen be vollstandgen Daten n der Fassung, be der ene t{vertelung mt N ; 2 Frehetsgraden zugrundegelegt wrd und nur de Varanz der lnearen Rangstatstk und ncht (gruppenwese) de gesamte Covaranzmatrx geschatzt werden mu n desem Fall kann de Zahl der abhanggen Varablen belebg gro sen (und de der unabhanggen Beobachtungsenheten ubertreen), be unvollstandgen Daten mttels fur mssngs adjusterter Schatzung der Covaranzmatrzen und weder t{vertelungs{approxmaton. Der Powervortel der Summentests be glechgerchteten Alternatven zegt sch gegenuber Hotellngs T 2 be allen verwendeten Varanten. In nebenstehender Abbldung snd de Ergebnsse von je 0000 Durchlaufen ener Smulaton mt 5 normerten normalvertelten Zufallsvarablen mt autoregressver Struktur der Covaranzmatrx ( = 0:6) dargestellt, dabe bezechnet Delta de Enheten n Rchtung der Wnkelhalberenden des. Quadranten (Tests: grt=gls, hor=hotellng, ort=ols, pcr=prncpal{component alle n Rangverson und be Summentests mt t{vertelungs{approxmaton). 5 Das SAS{Macro Das SAS/IML{Macro OB erlaubt de Durchfuhrung von nchtparametrschen Summentests m unverbundenen Zwestchprobenfall zum Aufdecken glechgerchteter Alternatven mt engen der m Abschntt 3.3 genannten Gewchtsvektoren. So werden de Rangversonen von OLS und GLS, jewels mt t{vertelungs{approxmaton, ausgegeben, ebenso de nchtparametrsche Verson von Lauters Prncpal{Component{Tests. Daneben ndet sch noch de Rangverson von Hotellng's T 2. De Daten bedurfen dazu ener Aufberetung, we man se... G N N N N N L L L L L P R R R R R R E E E E E A U P P P P P U U U U U T P N P T T T T T T T T T T R E P K P K K Abbldung : Orgnaldaten (Ausschntt) von repeated{analysen n PROC GLM kennt: Dazu enthalt ene dataset{varable de Namen der abhanggen Varablen, ene andere deren Werte. Des st lecht mt PROC TRANSPOSE zu errechen. Als Bespel sollen de Daten ener randomserten Stude zur Wrksamket ener Antbotkaprophylaxe be Thoraxoperatonen (vgl. [5]) denen: 00 Patenten ohne Antbotkum{Prophylaxe vor der Operaton stehen 00 mt Prophylaxe gegenuber be allen wrd m postoperatven Verlauf beobachtet, nwewet sch mrontenbld nachwesbare

12 PATNR GRUPPE _NAME_ COL 00 P NRP_T P NRP_T P NRP_T P LEU_T P LEU_T P LEU_T K NRP_T K NRP_T K NRP_T Abbldung 2: Daten nach Anwendung von PROC TRANSPOSE (Ausschntt) Inltrate (Varablen nrp t3, nrp t4...) entwckeln (welche dann bewertet werden und somt als ordnale kategorelle Daten aufzufassen snd de Skala recht von 0 " ken Nachwes\ bs 5 " schwer: Transparenzmnderung n mehr als halber Thoraxhohe mt mndestens zentraler Uberdeckung der Lungenzechnung und Aufhebung der Transparenz\). Daneben werden als Indkator fur entzundlche Prozesse de Leukozyten{Zahlen (Varablen leu t3, leu t4...) bestmmt (zu den glechen Zetpunkten we de Anfertgung der Rontgenaufnahmen). Von enem Erfolg der Prophylaxe kann also dann gesprochen werden, wenn zu allen relevanten Zetpunkten sowohl de Inltratentwcklung als auch de Leukozyten{Zahlen n der Prophylaxe{Gruppe nedrger snd als n der Kontrollgruppe. Enen Ausschntt aus den Orgnaldaten gbt Abb. nach PROC TRANSPOSE snd de Daten n der Form von Abb. 2 und somt n ener fur de Anwendung des Macros OB geegneten Form. Der Macroaufruf erfolgt mt %ob(data=tt, ds=temp, subj=patnr, vars=_name_, values=col, class=gruppe, by=) Dabe st tt der Name der SAS{Date, mt ds= kann optonal en Namensbestandtel fur temporare Dateen m WORK{Verzechns angegeben werden (temp st default{vorgabe, d.h. wahrend des Macroablaufs werden Dateen tempa, tempb u.s.w. angelegt und nach Beendgung automatsch geloscht), subj= gbt de Varable fur de unabhanggen Beobachtungsenheten an (her de Patentennummer patnr), n der be vars= angegebenen Varable nden sch de Namen der n de Analyse engehenden Varablen (her name ) und n der nach values= angegebenen Varablen deren Werte (her col letztere snd de Standardnamen nach Anwendung von PROC TRANSPOSE). Mt class= wrd schlelch de Grupperungsvarable und mt by= ene moglche BY{Varable angegeben. Herbe braucht de Date, anders als sonst be SAS ublch, ncht vorher sortert zu werden. De Ergebnsse n Abb. 3 wesen auf glechgerchtete Derenzen zwschen der Prophylaxe{ und der Kontrollgruppe hn, de sch n Hotellngs Test ncht deutlch zegen. Unvarate nchtparametrsche Analysen geben ebenfalls enen Hnwes auf glechgerchtete Alternatven, werden jedoch her aus Platzgrunden ncht dargestellt. Man beachte, da her en gemschter Varablenvektor aus metrschen und ordnalen kategorellen Daten n de Analyse engeht. Ausblck Das Macro OB deckt noch ncht nvollem Umfang de Moglchketen ab, welche de allgemene lneare Rangstatstk (3.) betet nsbesondere de Analyse mt verschedenen Gewchtsvektoren fur de Gruppen und de Analyse m a{stchprobenfall (mt a>2) st als Erweterung n Arbet. Das Macro st auf Anfrage bem Autor erhaltlch.

13 Adresse des Autors Thomas Bregenzer UKE/IMDM Martnstr Hamburg Tel FAX emal: MULTIVARIATE ANALYSIS OF DIRECTIONAL ALTERNATIVES Class varable: GRUPPE n= 00, n2= 00 Varables n analyss: LEU_T3 LEU_T4 LEU_T5 LEU_T6 LEU_T7 NRP_T3 NRP_T4 NRP_T5 NRP_T6 NRP_T7 NONPARAMETRIC TEST-STATISTICS and P-VALUES Hotellng's T^2: p-value: Tests for drectonal alternatves (wth t-dstrbuton approxmaton) O'Bren's OLS-statstc: p-value: O'Bren's GLS-statstc: p-value: standardzed sum statstc: p-value: prncpal comp. statstc: p-value: Abbldung 3: Output von Macro OB (gekurzt)

14 Lteratur [] M.G. Akrtas and E. Brunner. Rank tests for patterned alternatves n factoral desgns wth nteractons. Research Developments n Probablty and Statstcs, a Festschrft on the Occason of the 65 th brthday of Madan L. Pur, VSP-Internatonal Scence Publshers, Utrecht, The Netherlands., 996. [2] T. Bregenzer. Nchtparametrsche Multvarate Summenstatstken. Dssertaton, Unverstat zu Koln, n Vorberetung, 997. [3] E. Brunner and M.L. Pur. A class of rank{score tests n factoral desgns. preprnt, 996. [4] D. Follmann. Multvarate tests for multple endponts. Report, Natonal Heart, Lung, and Blood Insttute, Bethesda, 993. [5] D. Frey. Sngle-Shot{Antbotka{Prophylaxe n der Thoraxchrurge Klnsche Untersuchung zur Ezenz mt besonderer Beruckschtgung der Auswrkungen auf das Merkmal " Inltrat\ m Thorax{Rontgenbld. Habltatonsschrft (n Vorberetung), Medznsche Fakultat der Humboldt{Unverstat zu Berln, Vrchow{Klnkum, 997. [6] J.A. Kozol, D.A. Maxwell, M. Fukushma, M.E.M. Colmerauer, and Y.H. Plch. A dstrbuton{free test for tumor{growth curve analyses wth applcaton to an anmal tumor mmunotherapy experment. Bometrcs, 37:383{390, 98. [7] S. Kropf and J. Lauter. Comparng ndependent samples of hghdmensonal observaton vectors. In COMPSTAT, Proceedngs n Computatonal Statstcs, pages 286 { 29, 994. [8] J.M. Lachn. Some large{sample dstrbuton{free estmators and tests for multvarate partally ncomplete data from two populatons. Statstcs n Medcne, :5{70, 992. [9] J. Lauter. Stablserte Tests zur multvaraten Auswertung medznscher Studen. In Neue Paradgmen n medznscher Informatk, Bometre und Epdemologe, 39. Jahrestagung der GMDS, pages 38{387, 995. [0] J. Lauter. New multvarate tests for data wth an nherent structure. Bom. J., 38:5{23, 996. [] W. Lehmacher, G. Wassmer, and P. Retmeer. Comment on: On the desgn and analyss of randomzed clncal trals wth multple endponts. Bometrcs, 50:58{583, 994. [2] P.C. O'Bren. Procedures for comparng samples wth multple endponts. Bometrcs, 40:079{087, 984. [3] L.J. We and J.M. Lachn. Two{sample asymptotcally dstrbuton free tests for ncomplete multvarate observatons. JASA, 79:653{66, 984.

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