Nomenklatur - Übersicht

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1 Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen realer und synthetscher Varable Multvarate Regresson Clusteranalyse Hautkomonentenanalyse Korresondenzanalyse Dskrmnanzanalyse Regressand Hautkomonente - Clusterzugehörgket Dskrmnanzfunkton Schätzwert für reale Varable erklärte Varanz Faktorwert Wert n 1./. Dmenson Antel der Egenwerte Antel der Egenwerte (der Träghet, der Streuung, der Inerta) - Kommunaltät Antel der Egenwerte (der Träghet, der Streuung, der Inerta) (Clusterzugehörgket) (Antel der quadratsumme) Dskrmnanzwert Antel der Egenwerte (Dskrmanzantel) - - artelle Korrelaton Ladung - - Ladung Multvarate Analyse: Take-Home Message 1. De mesten Standardmethoden baseren auf lnearen Zusammenhängen m Datensatz.. In der Regel gbt es verschedene Maßzahlen für de Güte des Verfahrens, de unbedngt beachtet werden sollten (en großes r allene sagt noch ncht vel aus!). 3. Multvarate Verfahren werden überwegend engesetzt, um enzelne Werte vorherzusagen (Regresson) de Dmenson des Datensatzes zu reduzeren (Prozessanalyse, Vsualserung) Gruen zu dentfzeren (klassfzeren). 4. De Verfahren verlangen.d.r. ±subjektve Entschedungen des Anwenders, de zu begründen snd. 5. De Ergebnsse der her vorgestellten Verfahren snd ncht unabhängg vonenander. 1

2 Versuch / Exerment En Versuch st ene (1) systematsche Beobachtung der () Auswrkungen ener lanmäßgen Veränderung (3) unter wetestgehender Ausschaltung oder Kontrolle von Störfaktoren. (Abhängge Varable AV) (Unabhängge Varable UV) (Störvarable SV) => Forderungen (MaxKonMn-Prnz; Krelnger 1973): zu (): zu (3): zu (1): Maxmale Varaton der ostulerten Enflussgrößen (Prmärvaranz) Kontrolle der Randbedngungen, Mnmerung hrer Varanz (Sekundärvaranz) Mnmerung der Beobachtungsfehler (varanz) Grundbegrffe der Versuchslanung Defntonen: Kausaltät Hyothesen: H 0 : μ 1 = μ = μ 3 =...; H 1 : μ μ j = für mndestens zwe μ, μ j Valdtät = Zulässgket der Schlussfolgerungen aus dem Exerment ntern: Ergebnsse der Untersuchung snd logsch endeutg nterreterbar extern: Ergebnsse der Untersuchung snd generalserbar n-faktorell: n Enflussfaktoren (UV), -fach gestuft unabhängge Varable UV = Enflussgröße = Behandlung = Treatment: belebg skalert abhängge Varable AV: mnd. ntervallskalert (=> Mttelwerte und Varanzen nterreterbar)

3 Mnmerung der varanz Rchtgket und Präzson der Messung Ausreßer Fehlende Werte Maxmerung der Prmärvaranz Wenn de Bezehung zwschen UV und AV lnear st: Wahl von extremen Werten der UV kurvlnear st: Wahl von otmalen Werten der UV unbekannt st: Untertelung n möglchst vele Stufen der UV (möglchst klene Abstufungen) UV = unabhängge Varable AV = abhängge Varable 3

4 Mnmerung der Sekundärvaranz 1. Elmnerung der Störvarablen. Konstanthaltung (Annahme ener lnearen Bezehung zwschen SV und AV) 3. Umwandlung von Störvarablen n unabhängge Varablen (SV UV) 4. Parallelserung (Enzelmessungen werden n ene Rangrehe der Werte bzgl. der Störvarablen gebracht, dann nachenander den Versuchsbedngungen zugeordnet) 5. Wederholungsmessung (deselbe Grue wrd unter den verschedenen Versuchsbedngungen getestet) 6. Blockbldung (Blöcke = Gruen homogener Unterenheten, auf de de enzelnen Versuchs-Varanten vertelt werden) 7. Randomserung (zufällge Vertelung der SV auf de enzelnen Gruen) Latensches Quadrat (Latn Square) Zel: Methode: Enschränkungen: Mnmerung des Enflusses zweer Störvarabler. Jede Varante st genau enmal n jeder Zele und n jeder Salte vertreten. Wechselwrkungen zwschen AV, SV1 und SV können ncht untersucht werden. n-dmensonale Erweterung: Latn Hyercube Zunahme von SV 1 Zunahme von SV A D C B C B A D D A B C B C D A 4

5 Versuch / Exerment En Versuch st ene (1) systematsche Beobachtung der () Auswrkungen ener lanmäßgen Veränderung (3) unter wetestgehender Ausschaltung oder Kontrolle von Störfaktoren. (Abhängge Varable AV) (Unabhängge Varable UV) (Störvarable SV) => Forderungen (MaxKonMn-Prnz; Krelnger 1973): zu (): zu (3): zu (1): Maxmale Varaton der ostulerten Enflussgrößen (Prmärvaranz) Kontrolle der Randbedngungen, Mnmerung hrer Varanz (Sekundärvaranz) Mnmerung der Beobachtungsfehler (varanz) Varanzanalyse = ANOVA (Analyss of Varance) Zel: Bestmmung des Antels verschedener Enflussfaktoren (UV) an der beobachteten Varanz der AV => Untersuchung der Sgnfkanz von Mttelwertdfferenzen Varanz:= mttlere quadrerte Abwechung = Summe der quadrerten Abwechungen, getelt durch de Anzahl der Frehetsgrade beachte: alle der bsher vorgestellten multvaraten Verfahren führen ene Zerlegung der Varanz durch, der Begrff der ANOVA st jedoch für deses Verfahren reservert! 5

6 Quadratsummenzerlegung für enen enfaktorellen, -fach gestufter Versuch mt jewels n Wederholungen generell: Quadratsumme ( QS) Varanz ( σ ) ) = Frehetsgrade ( ) QS tot = QS + QS und tot = + Gesamt-Varanz (Stchrobenvaranz): Treatment-Varanz: x : Mttelwert der Merkmalsausrägungen für de enzelnen Stufen der Behandlung -Varanz: n QStot = 1 σˆ tot = = tot QS ( x x) ( n ) 1 n I = 1 σˆ = = σ ) QS = = ( x = 1 m= 1 1 n ( x x) m ( n 1) x ) Prüfgröße: F-Wert Wenn de H 0 glt (H 0 : μ 1 = μ = μ 3 =...), dann stellt de Treatmentvaranz ene ) ) erwartungsgetreue Schätzung der varanz dar: σ = σ Prüfgröße F: ) F = σ ) σ zu verglechen mt tabellerten Werten für = -1 Zählerfrehetsgrade und = (n-1) Nennerfrehetsgrade Interretaton: wrd der tabellerte F-Wert überschrtten, so unterscheden sch mndestens zwe der Stufen der Behandlung sgnfkant vonenander 6

7 Ungleche Stchrobenumfänge n : Stchrobenumfang für de Treatmentstufe N: Summe aller Untersuchungsenheten N = n für gleche Stchrobenumfänge: QS = I = 1 ( x x) für ungleche Stchrobenumfänge: QS = I = 1 ( x x) n tot = ( n ) 1 = ( n 1) = N 1 = 1 = N tot = N 1 = 1 = N Besel 5 Konzentraton [mg/l] %-Konfdenzntervall a a a a b b Gr. 1 Gr. Gr. 3 a a b 0 Cl SO4 S 7

8 Mehrere t-tests oder ene ANOVA? Für den enfaktorellen, zwefach gestuften Ansatz entsrcht de ANOVA enem t-test Für den mehrfaktorellen und/oder mehrfach gestuften Ansatz wären 1. vele enzelne t-tests erforderlch => stegende Wahrschenlchket, dass enzelne Tests fälschlcherwese sgnfkante Unterschede aufwesen. Untersuchungen der Wechselwrkungen zwschen verschedenen UV mttels t-test ncht möglch Wechselwrkungen zwschen UVs = der Antel des Gesamteffekts verschedener Faktoren, der von der adderten Wrkung (Sueroston) der Enzeleffekte abwecht Bs.: Erhöhung des Wezenertrags durch N-Düngung um 5%, Alkaton enes Fungzds um 0%, Kombnaton aus N-Düngung und Fungzd-Alkaton um 30% (statt um 50%). 8

9 Voraussetzungen der ANOVA 1. Quadratsummenzerlegung Voraussetzungs-fre. F-Test Voraussetzungen: Normalvertelung der komonenten (= Abwechungen der Messwerte vom jewelgen Stchrobenmttel) (selten überrüft) gleche Varanzen der komonenten (Bartlett-Test, Levene-Test) Unabhänggket der komonenten nnerhalb und zwschen den Stchroben (s. Randomserung) krtsch: klene, unglechgroße Stchroben und heterogene Varanzen => Auswechen auf vertelungsfree Verfahren (Kruskal-Walls) Aufgabe 1. Testen Se jewels mttels t-test und enfaktoreller ANOVA de beden Gruen auf sgnfkante Unterschede der Mttelwerte für verschedene Varablen.. Stellen Se zum Verglech de Mttelwerte und 95%-Konfdenzntervalle aller Varablen sowe der Hautkomonentenwerte der beden Gruen grafsch dar. Kennzechnen Se sgnfkante Unterschede mttels unterschedlcher Buchstaben. 3. Führen Se zum Verglech für de dre Gruen ene Dskrmnanzanalyse mt den Werten der Varablen durch. 9