Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung

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1 Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006

2 Diese Woche LO - Rechnerische Lösung - Simplex- Algorithmus LO - Auswertung des Endtableaus LO - Ökonomische Interpretation Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

3 Wiederholung Rechnerische Lösung: Schlupfvariablen einfügen System in Normalform bringen Basistausch Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

4 Simplex-Algorithmus Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem: G = p + p y + p y p y max! 0 1 n+1 2 n m n+m +2 Mit Nebenbedingungen: y = a + a y + a y a y a y M n n+ 2 1L L 1m n+ m y = a + a y + a y a y a y M K K0 K1 n+ 1 K2 n+ 2 KL L Km n+ m y = a + a y + a y a y a y n n0 n1 n+ 1 n2 n+ 2 nl L nm n+ m Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

5 Voraussetzungen Simplex- Algorithmus Insbesondere gelten folgende Voraussetzungen Voraussetzung 1: Das Gleichungssystem liegt in Normalform vor. Wenn das Gleichungssystem nicht in Normalform vorliegt, so muss man es durch Äquivalenzumformungen auf Normalform bringen (letzte Woche) Voraussetzung 2: Die Zielfunktion soll maximiert werden Wenn die Zielfunktion minimiert werden soll, dann muss man die Aufgabe dualisieren. Voraussetzung 3: Die Zielfunktion hängt außer von einer Konstanten nur von den NBV ab. Wenn die Zielfunktion noch von einer BV abhängt, so eliminiert man dieselbe durch das Einsetzungsverfahren, wobei man die entsprechende Gleichung aus dem Gleichungssystem in Normalform benutzt. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

6 Voraussetzungen Simplex- Algorithmus Wenn alle Voraussetzungen erfüllt sind, kann man das Simplex- Anfangstableau erstellen. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

7 Erstellen des Anfangstableaus In die Kopfzeile werden die Namen der NBV eingetragen, in die linke Randzeile die Namen der BV. y n+1 y n+m y y n Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

8 Erstellen des Anfangstableaus Die Zeile unter der Kopfzeile nennen wir die Zielzeile. In die Zielzeile wird die Zielfunktion eingetragen. y n+1 y n+m G p 0 p 1 p n+m y y n Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

9 Erstellen des Anfangstableaus In die verbliebenen Rechtecke überträgt man, wie letzte Woche erklärt, die Koeffizienten des Gleichungssystems. y n+1 y n+m G p 0 p 1 p n+m y 1 a 10 a 11 a 1m..... Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

10 Erstellen des Anfangstableaus Nun haben wir unser Simplex- Anfangstableau erstellt. Schauen wir uns ein Beispiel für die Erstellung eines Simplex-Anfangstableaus an der Tafel an. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

11 Simplex-Algorithmus Durch Austauschschritte (Basistausch) transformieren wir das Anfangstableau so lange, bis wir zum Simplex-Endtableau gelangen. Aus dem Endtableau können wir dann die Lösung der Aufgabe ablesen. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

12 Simplex-Endtableau Das Simplex-Endtableau erkennt man daran, das alle Koeffizienten in der Zielzeile unter den Basisvariablen kleiner oder gleich Null sind. Wenn diese Koeffizienten 0 sind, dann liegt ein Endtableau vor. G Hier stehen die neuen NBV Hier stenen die neuen BV Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

13 Simplex-Endtableau Die Austauschschritte müssen beim Simplex-Algorithmus in einer bestimmten Reihenfolge durchgeführt werden. Das heißt, man kann nicht ein beliebiges Pivot wählen. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

14 Wahl des Pivots Man bestimmt das Pivot nach folgenden Regeln: I. Pivotspalte kann nur eine solche Spalte werden, in der der Koeffizient in der Zielzeile positiv ist. II. Pivotzeile können nur die Zeilen werden, in denen der Koeffizient in der Pivotspalte negativ ist. Für jede dieser Kandidatinnen ist der Quotient vom Koeffizienten in der K-Spalte und dem Koeffizienten in der Pivotspalte zu bilden. Die Zeile, in der dieser Quotient betragsmäßig am kleinsten wird, ist die Pivotzeile Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

15 Beispiel für eine Maximierungsaufgabe (1): Die Elternschaft des Kindergartens Am Dendelbach veranstaltet einen Osterbasar um Erlöse für pädagogisch wertvolles Spielzeug zu erzielen. Bei dem Osterbasar sollen selbst erstellte Bastelarbeiten zum Verkauf angeboten werden. Gebastelt werden sollen: 1. Fensterbilder (Motiv Glucke). Um ein Fensterbild zu basteln, braucht man ¼ Stunde. Das Rohmaterial kostet 4 pro Fensterbild. Verkauft werden kann ein Fensterbild für 8 pro Stück. 2. Osterhasen aus Stroh. Um einen Osterhasen zu basteln, braucht man ½ Stunde. Das Rohmaterial kostet ebenfalls 4 pro Stück. Verkauft werden kann ein Osterhase für 9 pro Stück. Insgesamt haben sich 8 Mütter und 2 Väter gemeldet, die jeweils 4 Stunden basteln wollen. Der Kassierer des Elternbeirats hat zur Eingrenzung des finanziellen Risikos insgesamt 480 zur Beschaffung der Bastelmaterialien zur Verfügung gestellt. Wie viele Fensterbilder x 1 und wie viele Osterhasen x 2 sollten verfertigt werden, um den Erlös aus den Bastelarbeiten zu maximieren? Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

16 Beispiel für eine Maximierungsaufgabe (1): Mathematische Umsetzung: G = 4x + 5x max! ist die Zielfunktion. 1 2 Die Nebenbedingungen sind: x + x 40 - ist die Zeitrestriktion x1+ 4x ist die Geldrestriktion. x 0 ; x 0 - Fensterbilder und Osterhasen 1 2 können nicht in negativen Mengen produziert werden. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

17 Noch ein Beispiel (Dolmetscherin) Eine freiberufliche Dolmetscherin möchte höchstens 40 Stunden in der Woche arbeiten. Sie kann ihre Arbeitszeit aufteilen in (mündliches) Dolmetschen und in (schriftliches) Übersetzen. Für das Dolmetschen erhält sie 30 pro Stunde, für das Übersetzen 20 pro Stunde. Wegen schon bestehender Aufträge müssen mindestens 10 Stunden pro Woche für das Übersetzen aufgewendet werden. Das wöchentliche Auftragsvolumen fürs Dolmetschen beträgt höchstens 24 Stunden. Da die Freiberuflerin das Dolmetschen dem Übersetzen vorzieht, möchte sie mindestens so viel Zeit aufs Dolmetschen verwenden wie aufs Übersetzen. Wie muss - unter Beachtung dieser Restriktionen - die Zeit aufs Dolmetschen und aufs Übersetzen aufgeteilt werden, damit das wöchentliche Einkommen maximiert wird? Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

18 Noch ein Beispiel (Dolmetscherin) Ordnen wir dem Dolmetschen die Variable x 1 und dem Übersetzen die Variable x 2 zu. Das Problem kann man folgendermaßen ausdrücken: 30x + 20x max! 1 2 Restriktionen: x x x x x x 40 x ; x 0 Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

19 Dualisierung Voraussetzung 2 für den Simplex- Algorithmus war: Die Zielfunktion soll maximiert werden. Der Simplex-Algorithmus, den wir hier vorgestellt haben, funktioniert in dieser Form nur für Maximierungsaufgaben. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

20 Dualisierung Natürlich interessiert es uns auch, Minimierungsaufgaben lösen zu können. Um auch Minimierungsaufgaben lösen zu können dualisieren wir sie. Glücklicherweise lässt sich jedes lineares Optimierungsproblem dualisieren. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

21 Dualisierung Weiterhin gilt: Wenn die primale Aufgabe eine Lösung hat, hat auch die duale Aufgabe eine Lösung. Zweimaliges Dualisieren führt zur ursprünglichen primalen Aufgabe zurück. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

22 Dualisierung Wir haben also folgendes primales Problem (dieses ist die gegebene Aufgabe): G = px 1 1+ p2xn pmxm min! mit n Nebenbedingungen: a11x a1 mxm a10 O an1x anmxm an0 und m Nicht-Negativitätsbeschränkungen: x 0; K; x 0 1 m Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

23 Dualisierung Dieses primale Problem können wir auch folgendermaßen in Matrizenschreibweise ausdrücken: rt r p x max! r r A x a0 r x 0 a11 L a1 m x1 r wo A= M O M, x = M, a K a x n1 nm m a10 rt r p = ( p1 L pm ), a0 = M an0 Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

24 Dualisierung Wir führen nun einen neuen nx1 Vektor von Unbekannten ein: r u = u M u 1 n Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

25 Dualisierung Die duale Aufgabe ist dann: r r T a u max! 0 r r A T u p r u 0 Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

26 Dualisierung Die duale Aufgabe können wir nun auf bekannte Weise mit dem Simplex- Algorithmus lösen. Wir verdeutlichen den Prozess der Dualisierung an einem bekannten Beispiel. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

27 Dualisierung Beispiel Geflügelfutter Unsere Zielfunktion war 8x + 12x min! 1 2 unter den Nebenbedingungen 0.1x + 0.2x x + 0.1x x + 0.6x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

28 Dualisierung Beispiel Geflügelfutter Schreiben wir nun diese Aufgabe mit Hilfe von Matrizen: x 8 12 min! x2 ( ) x x Hier ist: ( 8 12) = = r 0.8 = a r p T A Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

29 Dualisierung Beispiel Geflügelfutter Nun führen wir einen neuen 3x1 Vektor von Unbekannten ein. u1 u2 = u3 r u Die duale Aufgabe ist dann rt r a u 0 r r max! T A u p Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

30 Dualisierung Beispiel Geflügelfutter Also ist die duale Aufgabe Oder ausgeschrieben: u u2 max! u3 ( ) u u u3 1 u u u max! NB : u u u u u u Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

31 Dualisierung Beispiel Geflügelfutter Nun führen wir Schlupfvariablen ein: 0.1 u u u + b = u u u + b = nach den Schlupfvariablen auflösen: b = u 0.2 u 0.1 u b = u 0.1 u 0.6 u Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

32 Dualisierung Beispiel Geflügelfutter Das System liegt in Normalform vor. Außerdem soll die Zielfunktion maximiert werden und sie hängt nur noch von den Nicht-Basisvariablen ab. Die duale Aufgabe können wir nun mit dem Simplex-Algorithmus lösen. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

33 Auswertung des Endtableaus Wie kann man das Simplex-Endtableau interpretieren? Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

34 Auswertung des Endtableaus Hier steht der Maximalwert der Zielfunktion. Hier stehen die nichtverschwindenden primalen Lösungen. Hier stehen die nichtverschwindenden dualen Lösungen. Hier stehen die Austauschraten. G Hier stehen die Variablen, die zu NBV geworden sind Hier stehen die Variablen die zu BV geworden sind Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

35 Auswertung des Endtableaus Die primale Lösung einer NBV ist 0. Die primale Lösung einer BV steht rechts neben der BV in der K-Spalte. Die primale Lösung gibt an, welchen Wert die Variable annehmen muss[1], damit das Gewinnmaximum realisiert wird. [1] Im Sinne einer hinreichenden Bedingung. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

36 Auswertung des Endtableaus Die duale Lösung einer BV ist 0. Die duale Lösung einer NBV findet sich unter dieser NBV in der Zielzeile. Die duale Lösung einer NBV gibt an, wie sich der Maximalwert der Zielfunktion ändern würde, wenn man die NBV erhöhen würde. ΔG = duale Lösung ΔNBV Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

37 Auswertung des Endtableaus Die Austauschraten a ji geben an, wie sich die in der j-zeile stehende BV ändern würde, wenn sich die in der i-ten Spalte stehende NBV ändert. Tun wir dies nun an zwei Beispielen nachvollziehen: Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

38 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung G = 4 x + 5 x max! 0.25 x x 40 (Zeitrestriktion) 4 x + 4 x 480 (Geldrestriktion) 1 2 ( Erlös maximieren) x , x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

39 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung Das Endtableau war b 2 b 1 G x x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

40 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung Der Maximalwert der Zielfunktion ist 520. Das heißt in dieser Aufgabe, es können 520 an Erlös aus den Osterhasen und Fensterbildern realisiert werden, wenn man die Mengen der Osterhasen und Fensterbilder optimal wählt. b 2 b 1 G x x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

41 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung Die primalen Lösungen der Basisvariablen x 1 und x 2 (entsprechen Menge der Fensterbilder und Menge der Osterhasen) geben an, in welchen Mengen Fensterbilder und Osterhasen produziert werden müssen, um den maximalen Erlös ( 520) zu erzielen. Die primalen Lösungen der Basisvariablen x 1 und x 2 sind also 80 Fensterbilder und 40 Osterhasen. Die primalen Lösungen der Nichtbasisvariablen b 1 und b 2 sind 0. Das heißt die Schlupfvariablen b 1 und b 2 sind 0. Dies wiederum bedeutet, dass die Restriktionen als Gleichungen erfüllt sind. b 2 b 1 G x x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

42 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung Die dualen Lösungen der Nichtbasisvariablen sind kleiner oder gleich Null. Die dualen Lösungen der Nicht- Basisvariablen drücken aus, um wie viel sich die Zielfunktion verändern würde, wenn man die Nicht-Basisvariablen verändert. Die Nicht-Basisvariablen sind hier die Schlupfvariablen. Die Veränderung in der Zielfunktion ergibt sich aus der dualen Lösung der NBV multipliziert mit der Veränderung in der NBV. b 2 b 1 G x x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

43 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung Würde man also b 1 auf 1 erhöhen, so würde der maximale Erlös um 4 auf 516 abnehmen. b 1 ist die Schlupfvariable für die Zeitrestriktion. Würde man b 2 auf 1 erhöhen, so würde der maximale Erlös um 0.75 auf abnehmen. b 2 ist die Schlupfvariable für die Geldrestriktion. Intuitiv kann man dies als eine strengere Restriktion betrachten, also eine Abnahme im Absolutwert der Restriktion. Also man verknappt/ erhöht die Zeit oder das Geld, dass zur Verfügung steht, um die Fensterbilder und Osterhasen zu produzieren. Die dualen Lösungen der Basisvariablen sind gleich Null. b 2 b 1 G x x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

44 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung Die Austauschraten geben an wie sich der optimale Wert der Basisvariable in der gleichen Zeile verändert, wenn sich die Nicht-Basisvariable in der gleichen Spalte um eine Einheit verändert. Anders ausgedrückt kann man sagen: Was passiert, wenn eine der NBV nicht mehr gleich Null ist? Im Falle von Schlupfvariablen, was passiert mit dem Lösungsvektor, wenn ich das Absolutglied der Restriktion um 1 erhöhe/ senke. b 2 b 1 G x x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

45 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 1 Maximierung Wenn man also b 2 auf 1 erhöht, muss x 2 optimal bei gewählt werden und x 1 optimal bei 79.5 gewählt werden. b 2 auf 1 zu erhöhen, bedeutet, die maximalen Ausgaben für die Materialien (Geldrestriktion) auf 479 zu senken. Wenn man also b 1 auf 1 erhöht, muss x 2 optimal bei 36 gewählt werden und x 1 optimal bei 84 gewählt werden. b 1 auf 1 zu erhöhen, bedeutet, die maximal verfügbare Zeit zum Basteln (Zeitrestriktion) auf 39 Stunden zu senken. b 2 b 1 G x x Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

46 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 2 Minimierung K = 8 x + 12 x min! 0.1 x x 1 (Eiweißrestriktion) 0.2 x x 0.8 (Fettrestriktion) 0.1 x x 1.8 (Kohlehydraterestriktion) 1 2 ( Kosten für das Futter minimieren) x , x Die duale Aufgabe dafür war 1 u u u max! NB : u u u u u u Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

47 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 2 Minimierung Das Endtableau der dualen Aufgabe war: u 3 b 1 b 2 K u 2 40/3 4/3 -(20/3) 50/33 u 1 160/3 -(11/3) 10/3 -(20/3) Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

48 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 2 Minimierung Der Maximalwert der dualen Aufgabe (Maximierungsaufgabe) ist 64. Dies ist gleichzeitig auch der Minimalwert der primalen Aufgabe (Minimierungsaufgabe). Also betragen die minimalen Kosten für das Futtermittel mit den gewünschten Inhaltsstoffen 64. u 3 b 1 b 2 K u 2 40/3 4/3 -(20/3) 50/33 u 1 160/3 -(11/3) 10/3 -(20/3) Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

49 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 2 Minimierung Als primale Lösung der dualen Aufgabe erhalten wir u 2 =40/3 und u 1 =160/3. Dies ist die duale Lösung der primalen Aufgabe (Minimierungsaufgabe). Wenn man u 2 um 1 auf 1 erhöht, erhöht sich der Wert der Zielfunktion um 40/3. Wenn man u 1 um 1 auf 1 erhöht, erhöht sich der Wert der Zielfunktion um 160/3. Dies bedeutet, dass wir unsere Mindestanforderungen bzgl. der Inhaltsstoffe des Futtermittels erhöhen. Als primale Lösung der dualen Aufgabe erhalten wir u 1 = u 2 =0. Das heißt, die Eiweiß- und Fettrestriktionen sind als Gleichungen erfüllt. u 3 b 1 b 2 K u 2 40/3 4/3 -(20/3) 50/33 u 1 160/3 -(11/3) 10/3 -(20/3) Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

50 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 2 Minimierung Die duale Lösung der primalen Aufgabe ist die primale Lösung der primalen Aufgabe (Minimierungsaufgabe). u 3 spielt hier die Rolle der Schlupfvariablen der primalen Aufgabe. Die primale Lösung der primalen Aufgabe ist x 1 =-b 1 =2 und x 2 =- b 2 =4. u 3 =0.8 das heißt, die Kohlenhydraterestriktion ist als Ungleichung erfüllt. Deswegen ist u 3 in der primalen Lösung der primalen Aufgabe. u 3 b 1 b 2 K u 2 40/3 4/3 -(20/3) 50/33 u 1 160/3 -(11/3) 10/3 -(20/3) Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

51 Auswertung des Endtableaus - Beispiel 2 Minimierung Die Austauschraten sind in Bezug auf die primale Aufgabe wie folgt zu interpretieren: Wir nehmen jeweils den reziproken Wert, um zu sehen, was mit b 1 und b 2 passiert, wenn man u 1 und u 2 verändert. Das heißt, wenn man u 2 auf 1 erhöht, muss man x 1 mit 1.7 wählen und x 2 mit Wenn man u 1 auf 1 erhöht, muss man x 1 mit 2.15 wählen und x 2 mit 82/33. u 3 b 1 b 2 K u 2 40/3 4/3 -(20/3) 50/33 u 1 160/3 -(11/3) 10/3 -(20/3) Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

52 Mehrdeutigkeit Ein lösbares lineares Optimierungsproblem hat nicht unbedingt eine eindeutige Lösung. Man sagt, dass die Lösung mehrdeutig ist, wenn mehrere Kombinationen von Variablen die Zielfunktion maximieren oder minimieren. Da ein lineares Optimierungsproblem entweder keine oder eine oder unendlich viele Lösungen haben kann, befassen wir uns hier mit dem Fall, bei dem das lineare Optimierungsproblem unendlich viele Lösungen hat Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

53 Mehrdeutigkeit Grafisch wird die Mehrdeutigkeit dadurch sichtbar, dass mehrere Punkte auf einem Streckenabschnitt Lösungen sind, d.h. das Zielfunktion und eine Nebenbedingung die gleiche Steigung haben. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

54 Mehrdeutigkeit Im Simplex-Endtableau liegt Mehrdeutigkeit vor, wenn mindestens ein Koeffizient in der ersten Zeile gleich Null ist. Mit dem Simplex-Algorithmus erkennt man nur die Lösungen an den Ecken der Restriktionen. Bei Mehrdeutigkeit erkennen wir also nur eine von unendlich vielen Lösungen. Beispiel an der Tafel. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

55 Degeneration Degeneration liegt vor, wenn die Lösung in einer Ecke des möglichen Lösungsbereichs liegt, in der mehr Restriktionen als notwendig sind, um die Ecke zu definieren. Grafisch kann man dies im Fall von zwei Variablen erkennen, wenn die entsprechende Ecke durch mehr als zwei Restriktionen definiert ist. Beim Simplex-Algorithmus erkennt man Degeneration, wenn bei der Durchführung des Simplex-Algorithmus mindestens eine Basisvariable gleich Null ist. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

56 Kurze Wiederholung Existenz Lösung Ein lineares Optimierungsproblem hat entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen. Die Probleme, die uns im Zusammenhang mit dem privaten Haushalt interessieren, haben zumeist eine oder unendlich viele Lösungen (Mehrdeutigkeit) Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

57 Kurze Wiederholung Grafische Lösung Wenn ein lineares Optimierungsproblem nur zwei Variablen hat, ist es immer leichter, es graphisch zu lösen. Graphisch lösen wir ein lineares Optimierungsproblem, in dem wir die Restriktionen als Gleichungen einzeichnen, und so die Menge ermitteln, in der die Lösung liegen kann. Dann setzen wir die Zielfunktion gleich einem beliebigen Konstanten und verschieben sie parallel nach rechts oder nach links und lesen dann die Lösung ab. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

58 Kurze Wiederholung Simplex- Algorithmus Probleme mit drei oder mehr Variablen lösen wir mit dem Simplex-Algorithmus. Dazu müssen folgende Vorraussetzungen gegeben sein: Wir formen Gleichungen zu zwei Ungleichungen um Wir fügen Schlupfvariablen ein Das Gleichungssystem der Restriktionen liegt in Normalform vor. (D.h. alle Absolutglieder sind positiv). Sonst das System umformen Die Zielfunktion soll maximiert werden. Sonst muss das Problem dualisiert werden Die Zielfunktion hängt nur von den Nicht-Basisvariablen ab. Sonst durch einsetzen die Basisvariablen eliminieren. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

59 Kurze Wiederholung Simplex- Algorithmus Sind alle Voraussetzungen gegeben, erstellen wir das Simplex-Anfangstableau. Das Simplex-Anfangstableu transformieren wir so lange durch Austauschschritte (Basistausch, bis alle Koeffizienten in der Zielzeile unter den Nicht-Basisvariablen kleiner oder gleich Null sind. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

60 Kurze Wiederholung Simplex- Algorithmus Das Pivot bestimmen wir dabei nach folgenden Regeln. Eine Pivotspalte muss einen positiven Koeffizienten in der Zielzeile haben. Eine Pivotzeile muss einen negativen Koeffizienten in der Pivotspalte haben. Liegen nun mehrere Kandidaten für das Pivot vor, so nehmen wir den Quotient vom Koeffizienten in der K-Spalte und dem Koeffizienten in der Pivotspalte. Die Zelle, in der dieser Koeffizient betragsmäßig am kleinsten ist, wird das Pivot. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

61 Kurze Wiederholung Simplex- Algorithmus Den Basistausch nehmen wir wie folgt vor: Das Pivot geht in seinen reziproken Wert über Die Elemente in der Pivotspalte teilen wir durch das Pivot Die Elemente in der Pivotzeile teilen wir durch das Pivot und multiplizieren sie mit -1. Alle übrigen Elemente im Tableau berechnen wir wie folgt: neuer Koeff.=alter Koeff. Koeff. i. d. gl. Zeile i. d. Pivotspalte Koeff. i. d. gl. Spalte i. d. Pivotzeile Pivotkoeffizient Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

62 Noch ein Beispiel: Orangen und Karotten Hinsichtlich der Inhaltsstoffe von Orangen und von Karotten liegen folgende Daten vor: In 100g Orangen In 100g Karotten Vitamin A Vitamin C Magnesium Energie 0 50 mg 12 mg 48 kcal 1 mg 10 mg 18 mg 24 kcal Aus Karotten und Orangen soll ein Saft gepresst werden, der pro Portion mindestens 1,2 mg Vitamin A, 60 mg Vitamin C und 54 mg Magnesium enthält. Der Energiegehalt soll möglichst gering sein. Wie viel Gramm Orangen und wie viel Gramm Karotten sind pro Portion zu verwenden? Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

63 Ökonomische Interpretation Wir befassen uns auch damit, wie wir das Simplex- Endtableau in Hinsicht auf gängige ökonomische Fragestellungen interpretieren können. Schon im neoklassischen Modell des Haushalts, in dem strikt konkave Nutzenfunktionen und konvexe Restriktionen angenommen werden, die nicht unbedingt linear sein müsssen, kann man Dualität in verschiedenen Ansätzen zeigen. Das bekannteste Beispiel für Dualität hier ist sicherlich die Marshall-Hicks-Dualität. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

64 Ökonomische Interpretation Gewinnmaximierung unter Kapazitätsbeschränkungen Gegeben seien m Aktivitäten x i (i=1,...,m) und n Kapazitätsrestriktionen a x a x k m m 1... a x a x k n1 1 nm m n Die k j nennen wir Kapazitäten (j=1,...,n). Maximiert werden soll der Gewinn G = p1 x pm xm max! Wir führen Schlupfvariable b j (j=1,..,n) ein. Zur j-ten Restriktion gehört also die Schlupfvariable b j und die Kapazität k j. Dann wird das LO-Problem mit dem Simplex-Algorithmus gelöst. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

65 Ökonomische Interpretation Gewinnmaximierung unter Kapazitätsbeschränkungen Die Interpretation der Lösungen stellt sich dann für diese Gewinnmaximierungsaufgabe wie folgt dar: Die Aktivität x i ist im Endtableau basisch. Ihre primale Lösung gibt an, in welchem Umfang x i realisiert werden muss, um den Gewinn zu maximieren. Die Schlupfvariable b j ist im Endtableau basisch. Ihre primale Lösung gibt an, zu welchem Betrag die j-te Kapazität k j nicht ausgeschöpft wurde. Die Aktivität x i ist im Endtableau nicht basisch. Der Betrag ihrer dualen Lösung gibt an, um welchen Betrag sich der Gewinn vermindern würde, wenn man wider besseres Wissen - x i dennoch realisieren würde. Die Schlupfvariable b j ist im Endtableau nicht basisch. Der Betrag ihrer dualen Lösung gibt an, um welchen Betrag sich der Gewinn erhöhen würde, wenn die Kapazität k j erhöht würde. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

66 Ökonomische Interpretation Kostenminimierung unter Mindestanforderungen Gegeben seien m Aktivitäten x i (i=1,...,m) und n Mindestanpruchsrestriktionen a x a x z m m 1... a x a x z n1 1 nm m n Die z j (j=1,..,n) nennen wir Mindestansprüche. Minimiert werden sollen die Kosten K = p1 x pm xm min! Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

67 Ökonomische Interpretation Kostenminimierung unter Mindestanforderungen Wir führen Schlupfvariablen b j (j=1,...,n) ein. Zur j-ten Mindestanspruchsrestriktion gehört also der Mindestanspruch z j und die Schlupfvariable b j. a x a x b = z m m a x a x b = z n1 1 nm m n n Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68

68 Ökonomische Interpretation Kostenminimierung unter Mindestanforderungen Die Interpretation der Lösungen stellt sich dann für diese Kostenminimierungsaufgabe wie folgt dar: Die Aktivität x i ist im Endtableau basisch. Ihre primale Lösung gibt an, in welchem Umfang x i realisiert werden muss, um die Kosten zu minimieren. Die Schlupfvariable b j ist im Endtableau basisch. Ihre primale Lösung gibt an, wie viel von dem j-ten Anspruch zuviel geliefert wird. Die Aktivität x i ist im Endtableau nicht basisch. Der Betrag ihrer dualen Lösung gibt an, um welchen Betrag sich die Kosten erhöhen würden, wenn man wider besseres Wissen - x i dennoch realisieren würde. Die Schlupfvariable b j ist im Endtableau nicht basisch. Der Betrag ihrer dualen Lösung gibt an, um welchen Betrag sich die Kosten erhöhen würden, wenn der Anspruch z j erhöht würde. Rainer Hufnagel/ Laura Wahrig /68