Bivariate Zeitreihenanalyseverfahren Tests auf Nichtlinearität

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1 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Skewness, Kurtosis ür zirkuläre Maße z.b. Phasenkohärenz R Problem: nur statische Nichtlinearitäten Statistik Ansatz: transormiere Phasen Phasendierenzen au Einheitskreis N N C cosϕ i; S sinϕi N N m m a m C a N R i + is allgemeiner + ib N i e im cos R e ϕ i Ansatz i 0 ; b i S 0 arctan C Momente - ter Ordnung N N i sin ϕ i Mardia, 972

2 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität mit olgt m ür R e im : a C ; b S ; R R ; m 0 arctan De.: zirkuläre Skewness S C Statistik Skew circ 3/ 2 m 2 / S S R2 sin 2 0 R Skew circ 0 ür unimodale smmetrische Verteilungen De.: zirkuläre Kurtosis Kurt circ [ 4 ] 2 R cos m 2 S S / Kurt circ > < latkurtisch unimodal letokurtisch

3 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Fourierraum Sektren höherer Ordnung C.L. Niklas & A.P. Petroulu: Higher-order sectral analsis: a nonlinear signal rocessing ramework. Prentice Hall, New Jerse, 993 T. Subba Rao & M.M. Gabr: An introduction to bisectral analsis and bilinear time series models. Lecture Notes in Statistics, vol. 24, Sringer, Berlin, 984 Polsektren/Kumulanten/Statistische Momente: Leistungssektrum Kumulant 2. Ordnung Moment 2.Ordnung P-DFTAKF 2 AKF 2 τ t τ Varianz Bisektrum Kumulant 3. Ordnung Moment 3.Ordnung B2-DFTAKF 3 AKF 3 τ t τ 2τ Skewness Trisektrum Kumulant 4. Ordnung Moment 4.Ordnung T3-DFTAKF 4 AKF 4 τ t τ 2τ 3τ Kurtosis

4 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Fourierraum Sektren höherer Ordnung Erweiterung ür bivariaten Fall seziell: 2. Ordnung gegeben zwei stochastische Prozesse t, t De.: Kreuz-Bisektren,,,, X X Y B X Y Y B Y Y X B Y X X B X FT t Y FT t

5 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Sektren höherer Ordnung Erweiterung ür bivariaten Fall seziell: 2. Ordnung gegeben zwei stochastische Prozesse t, t Fourierraum De.: Bikohärenz Kohärenz 3. Ordnung - normalisiertes Bisektrum Normierungsaktoren: Leistungssektren, Kreuzsektrum - Deinitionsbereich: [0,] - erlaubt Detektion von quadratischen Phasenkolungen eaks der Bikohärenz bei bestimmten Frequenz-Paaren - Probleme: Rechenauwand, Rauschen, Statistik erordert lange Zeitreihen

6 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Fourierraum Bikohärenz Beisiel: 3-Wellensstem mit quadratischer Phasenkolung 3 Moden: k cos 2π k + ϕ + cos 2π k + ϕ + cos π + k + ϕ + ϕ [ ] [ ] [ { } ] BetragBikohärenz PhaseBikohärenz Dilomarbeit K. Ulbrich, 2000

7 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Surrogat - "Ersatzsto" - versucht Eigenschaten des Originals zu reroduzieren Überrüung einer seziellen Eigenschat z.b. Nichtlinearität - zu untersuchende Eigenschat dar im Surrogat nicht enthalten sein - alle anderen Eigenschaten müssen vom Surrogat reroduziert werden - Nullhothesen-Test: z.b. H 0 Die Daten wurden von stationären, Gaußschen, linearen stochastischen Prozeß generiert - arametrisch / nicht-arametrische Statistik

8 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Wiederholung: Erstellung von univariaten Surrogaten bedingte Realisationen: bootstraing, keine Modellanassung notwendig! - "random shuling" - Phasenrandomisierung unter Erhaltung des Amlitudensektrums FT - amlitudenangeaßte hasenrandomisierte Surrogate AAFT - iterativ amlitudenangeaßte hasenrandomisierte Surrogate IAAFT

9 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität bi-/multivariate Surrogate Prichard & Theiler, PRL 73, 95, 994 multivariate hasenrandomisierte Surrogate MFT Basis: hasenrandomisierte univariate Surrogate FT Forderung: MFT-Surrogat soll lineare Korrelationen innerhalb der einzelnen Zeitreihen reroduzieren und lineare Korrelationen zwischen ihnen gegeben: M simultan gemessene Observablen t, 2 t,..., M t mit Mittelwert 0 und Varianz ; X, X 2,..., X M seien die jeweiligen Fouriertransormierten Kreuzsektrum: X * j Nichtlinearität in Phasendierenz! X k A j A k i e ϕ ϕ k j

10 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität bi-/multivariate Surrogate Prichard & Theiler, PRL 73, 95, 994 Nullhothese: Daten wurden von stationären, linear korrelierten Gaußschen stochastischen Prozessen generiert Methode: erhalte lineare Eigenschaten: Kreuzsektrum Wiener-Khinchin: Kreuzkorrelationsunktion randomisiere nichtlineare Eigenschaten: ersetze Phasendierenzen δϕ ϕ k - ϕ j durch φ [0,2π] Rücktransormation ergibt MFT: ~ j j i F φ X e j

11 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität bi-/multivariate Surrogate Schreiber & Schmitz, Phsica D 42, 346, 2000 multivariate iterativ amlitudenangeasste hasenrandomisierte Surrogate MIAAFT Basis: univariate IAAFT-Surrogate Forderung wie MFT: Surrogat soll lineare Korrelationen innerhalb der einzelnen Zeitreihen reroduzieren und lineare Korrelationen zwischen ihnen zusätzlich zu MFT: iterative Erhaltung der jeweiligen möglicherweise nicht-gaußschen Amlitudenverteilungen

12 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität bi-/multivariate Surrogate Schreiber & Schmitz, Phsica D 42, 346, 2000 Methode: ersetze Phasendierenzen δϕ ϕ k - ϕ j durch φ [0,2π] mit den Eigenschaten: Erhaltung der Original-Phasendierenzeigenschaten: Ansatz: wähle φ n Rangϕ n + α n wähle α n so, das ϕ n möglichst wenig geändert wird tanα n M m M m sin ϕ cos ϕ n n Rang ϕ Rang ϕ n n iφ i 2 Ersetzung minimal im least-squares Sinne: ϕk ϕm M m e e 2! min

13 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Iterationsverhalten: MIAAFT ür gekoelte harmonische Oszillatoren CML Dilomarbeit J. Schumacher, 2002

14 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Iterationsverhalten: MIAAFT ür Gaußverteiltes isosektrales Rauschen Surrogate von gekoelten harmonischen Oszillatoren CML Dilomarbeit J. Schumacher, 2002

15 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Iterationsverhalten: MIAAFT ür gekoelte Rössler-Ssteme CML Dilomarbeit J. Schumacher, 2002

16 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität Phasenkohärenz R und Anallsvorhersage Dilomarbeit J. Schumacher, 2002

17 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität bivariate Surrogate ür kohärente Daten Dolan & Neimann, PRE 65, DOI 02608, 2002 coherent digitall iltered Surrogate CDF Problem: Arteakte in bivariaten Surrogaten bei ast-kohärenten Daten Forderung: erhalte Sektrum, Kreuzsektrum und Kohärenzunktion Hothese: Eigenschaten der Kohärenzunktion durch Nichtlinearität gegeben Ansatz: erzeuge Vergleichs-Kohärenzunktion aus zwei statistisch unabhängigen linearen stochastischen Prozessen vt und wt t t av t + a v t a w t + aw t a 0,5 vollständige Kohärenz; a 0 keine Kohärenz

18 Bivariate Zeitreihenanalseverahren Tests au Nichtlinearität coherent digitall iltered Surrogate CDF bestimme requenzabhängige Kohärenzunktion ür t und t: Invertierung ergibt Filterunktion a Multilikation der jeweiligen Fouriersektren mit Filterunktion a erhält Kohärenzunktion der Surrogate bzgl. Kohärenzunktion der Originale [ ] [ ] a a a a C + [ ] C C a +

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