Versicherungstechnik

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1 Operatios Research ud Wirtschaftsiformati Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wedt DOOR Versicherugstechi Übugsblatt 3 Abgabe bis zum Diestag, dem um 0 Uhr im Kaste 9 Lösugsvorschlag: Vorbereituge Versicherugsmathematische Bezeichugsweise: frei Dauer/Aufschub Grudsymbol Zahlugsweise Alter, Dauer mögliche Grudsymbole (Sterbetafel): l = erwartete Zahl der i eiem Kolletiv Befidliche d = erwartete Zahl der Ausgeschiedee p = Verbleibeswahrscheilicheit q = Ausscheidewahrscheiliheit Ähliche Bezeichugsweise gelte für die folgede gägige Symbole: ä, a = Retebarwert bei vorschüssiger/achschüssiger Zahlugsweise A = Leistugsbarwert C, D, M = Kommutatioszahle P, B = Prämie (Beiträge). mögliche Altersbezeichuge: x = mäliche Perso des Alters x y = weibliche Perso des Alters y ω = Schlussalter / Tafelede derzeit 5 für atuelle Tafel (Sterbetafel 2004R, DAV) = festes Edalter, icht geauer agegebe weitere Besoderheite: Buchstabe, Zahl = feste, icht zufällige Laufzeit (rechts ute) Buchstabe, Zahl = Aufschubzeit (lis ute) (Buchstabe), (Zahl) = Azahl der gleiche Teile i welche das Jahr uterteilt wird (rechts obe) bei otiuierliche Größe, überquert ma häufig das Grudsymbol

2 Aufgabe 8 Eie Zeitrete ist eie Folge vo gleich große Zahluge i gleich große Zeitabstäde (z. B. Jahr), die über eie im Voraus festgelegte Zeitraum bei eier vorgegebee ostate, jährliche, zusammegesetzte Verzisug vo p % gezahlt wird. Hierbei sei die Zahlug jeweils vo der Höhe. a) Wie groß ist der Barwert eier ewige Zeitrete ä bzw. a? b) Gebe Sie bitte auch die Barwerte a () bzw. ä() für -tel-jährig -mal vor- bzw. achschüssig zahlbare Zeitrete bei zusammegesetzter Verzisug a. Mache Sie Ihre Ergebisse bitte jeweils ahad der zugehörige Zahlugsreihe oder mit Hilfe eies Zeitstrahles deutlich! ( Put) Lösugsvorschlag: Zeitrete = vertraglich fixiertes System vo zeitdisrete Zahluge, bei dem die Beträge, Zahlugszeitpute ud die Dauer der Zahluge bei Vertragsabschluss festliege. vorschüssige Zahlweise: alle Zahluge erfolge zu Begi des jeweilige Zahlugsitervalles achschüssige Zahlweise: alle Zahluge erfolge am Ede des jeweilige Zahlugsitervalles Bemerug: Im Gegesatz zu Leibrete (vgl. Aufgabe 9) dere Zahluge vom Erlebe bzw. allgemei vom Status der Perso abhägt, spielt bei Zeitrete der Zufall eie Rolle. Barwert eier Zeitrete = Summe aller auf de Vertragsbegi abgeziste Zahluge Es gilt: Für die Barwertbetrachtuge ist die Jahresrete im Folgede auf de Betrag ormiert, das Reteitervall ist ormiert auf Jahr ud die Verzisug zusammegesetzt. Bei vorschüssiger Zahlugsweise fällt das Reteede icht mit dem Zeitput der letzte Zahlug zusamme. Der Barwert eier Zahlug vom Betrag, mit Fälligeit zu Begi des t-te Vertragsjahres ist v t. a) Barwert eier ewige Zeitrete: vorschüssig: achschüssig: ä ä a a v d = d v i ( = + i ) i = i

3 b) Barwerte ä () bzw. a() für -tel jährige, -mal vor- bzw. achschüssig zahlbare Zeitrete des Jahresbetrags ä () mit v i = + i = vt i + i = v ä () = v v v t = v t bzw. a () v t = = v v v v t+ Bemerug: Es gilt: mit v ä () vt = +i. Nu gilt weiterhi bei uterjähriger Zahlug: Problem: So a i + i = it+ allerdigs icht bestimmt werde! Daher verwedet ma stattdesse: + i = ( + i ) ud somit v = +i = v Aufgabe 9 Eie Leibrete uterscheidet sich vo der Zeitrete dadurch, dass die Zahluge zum Zeitput t a das Erlebe der Zahlzeitpute gebude sid. Dazu bezeiche t p x die Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger Versicherter de (x + t)-te Zahlzeitput überlebt ud ω das sogeate Schlussalter (Altershöchstgreze). a) Wie groß ist der Barwert ä x eier vorschüssig lebesläglich zahlbare sofort (mit dem Alter x) begiede Leibrete vom Betrag?

4 b) Wie groß ist der Barwert a x bei achschüssige Zahluge? c) Wie groß sid die Barwerte a x bzw. ä x für etsprechede lebeslage Leibrete, die erst i Jahre eisetze (sog. aufgeschobee Leibrete)? d) Wie groß sid die Barwerte a x, bzw. ä x, für etsprechede Leibrete, die sofort begied Jahre lag gezahlt werde? e) Wie groß sid die Barwerte aus d), we die Rete jährlich um steigt? Leite Sie die etsprechede Werte bitte ausführlich her. (2,5 Pute) Lösugsvorschlag: Leibrete = Zeitrete, dere Zahluge a das Erlebe der Zahlugszeitpute gebude sid Erlebeswahrscheilicheite werde beötigt p x = Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger das ächste Jahr überlebt = Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger das (x + )-te Lebesjahr volledet p x = Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger das (x + )-te Lebesjahr volledet Daraus ergebe sich die etsprechede Leibretebarwerte: a) Barwert ä x eier vorschüssig lebesläglich zahlbare sofort (mit dem Alter x) begiede Rete (Leibrete) vom Betrag : ä x := ω x tp x v t, b) Barwert a x eier achschüssige, lebesläglich zahlbare sofort begiede Leibrete vom Betrag. a x := = ω x ω x = ä x tp x v t tp x v t 0 p x v 0 c) Barwerte a x, ä x für um Jahre aufgeschobee, lebeslag zahlbare Leibrete vom Betrag : ä x = a x = ω x ω x +tp x v +t +tp x v +t

5 d) Sofort begiede, abgeürzte (d.h. -Jahre zahlbare) Leibrete ä x, = tp x v t, ω x + a x, = tp x v t, ω x e) Sofort begiede, abgeürzte Leibrete mit Dyami (ostat der Höhe ) (Iä) x, = tp x v t ( + t) (Ia) x, = tp x v t t Aufgabe 0 Die Capitol Versicherug AG hat beschlosse, zur Aufbesserug ihrer Außewirug eie Wisseschaftspreis zu stifte, der aus eiem Stiftugsapital i Höhe vo e fiaziert wird ud jährlich vergebe werde soll. a) Es werde diret zu Begi die Preisvergabe vorgeomme. Wie hoch darf der Preis dotiert sei, we der Zissatz i = 0,02 beträgt ud das Stifugsapital icht abgebaut werde darf? b) Da die Capitol Versicherug AG die Verwaltug des Stiftugsapitals überomme hat, beträgt die Verzisug icht i = 0,02, soder i = 0,04. Wie hoch ist ach 0 Jahre das Stiftugsapital, we die i a) bestimmte Höhe des Preises beibehalte wird? Lösugsvorschlag: a) ( P),02 = = P, P = , ,84 b) Gegebe: K 0 = , P 9607,84, i = 0,04 Gesucht: K 0

6 Dazu Aufstelle eier Gleichug für die Kapitalwerte zum Zeitput 0: K 0 = K 0 (,04) 0 0 P (,04) t 9 = K 0 (,04) 0 P (,04) (,04) t ( ) (,04) = K 0 (,04) 0 0 P (,04), , (,02) 0 = ,42 ( Put) Aufgabe Der Absolvet Fridoli F. hat währed des Studiums für ei Auto gespart. 5 Jahre lag hat er moatlich 50 e zurücgelegt, ur im letzte ud sechste Jahr ote er seie Sparpla aufgrud eier Mieterhöhug icht mehr aufrecht erhalte. Das Geld wird bei der Ba mit eiem jährliche Zisfuß vo 3 % verzist. a) Welchem effetive Moatszis i 2 etspricht dieser Jahreszisfuß? b) Welches Vermöge hat Fridoli ach diese 6 Jahre agespart? c) Wege eier Kudebidugsmaßahme gewährt die Ba Fridoli eie eimalige Sparbous i Höhe vo 5 % auf die Summe der eigezahlte Sparbeiträge (uverzist). Welches Edvermöge ergibt sich u? d) Bei welchem jährliche Zissatz erhält ma mit idetischer Beitragszahlugsweise, aber ohe Gewährug des Sparbous, das gleiche Edvermöge? e) Das Geld reicht leider icht für Fridolis Traumauto, daher etschließt er sich de gesamte Betrag für weitere 40 Jahre zu 5 % pro ao azulege ud sich da de Betrag als vorschüssige, jährliche Rete ierhalb vo 20 Jahre auszahle zu lasse. Mit welchem jährliche Auszahlugsbetrag a Fridoli reche, we weiterhi ei Zis vo 5 % zu Grude gelegt wird ud Sterbewahrscheilicheite uberücsichtigt bleibe? Lösugsvorschlag: a) i = 2 + i 0, ( 60 ) b) S = i t ( + i) ( = 50 ( 2 + i) 6 ) 2 50 ( + i) + i = 3 334,2

7 c) S ,05 = 3 484,2 d) BB r 6 eu = 3 484,2 50 ä 60 r 6 eu = 3 484,2 50 ( 2 v eu ) 60 2 v eu r 6 eu = 3 484,2 reu 6 = 3 484,2 50 r eu = 3 484, e) 3 484,2,05 40 = R ä 20 2 v eu v 5 eu 2 (/r eu ) (/r eu ) 5 r eu Wolfram Alpha,0426 = R (,05 )20, ,2,0540 R = ( (,05 )20,05 ) = 876,4794 (2,5 Pute)

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