STATISTISCHE DISKUSSIONSBEITRÄGE

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1 UNIVERSITÄT POTSDAM Wirschafs- und Sozialwissenschafliche Fakulä STATISTISCHE DISKUSSIONSBEITRÄGE Nr. 50 Andreas Nasansky Hans Gerhard Srohe Konsumausgaben und Akienmarkenwicklung in Deuschland: Ein koinegrieres vekorauoregressives Modell Posdam 20 ISSN X

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3 STATISTISCHE DISKUSSIONSBEITRÄGE Nr. 50 Andreas Nasansky Hans Gerhard Srohe Konsumausgaben und Akienmarkenwicklung in Deuschland: Ein koinegrieres vekorauoregressives Modell Herausgeber: Prof. Dr. Hans Gerhard Srohe, ehemals Lehrsuhl für Saisik und Ökonomerie, Wirschafs- und Sozialwissenschafliche Fakulä der Universiä Posdam Augus-Bebel-Sr. 89, D-4482 Posdam Tel. +49 (0) Fax. +49 (0) , ISSN X

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5 Kurzfassung Vekorfehlerkorrekurmodelle (VECM) erlauben es, Abhängigkeien zwischen den Veränderungen mehrerer poenziell endogener Variablen simulan zu modellieren. Die Idee, ein langfrisiges Gleichgewich gleichzeiig mi kurzfrisigen Veränderungen zu modellieren, läss sich vom Eingleichungsansaz des Fehlerkorrekurmodells (ECM) zu einem Mehrgleichungsansaz für Variablenvekoren (VECM) verallgemeinern. Die Anzahl der koinegrierenden Beziehungen und die Koeffizienenmarizen werden mi dem Johansen-Verfahren geschäz. An einer einfachen Verallgemeinerung einer Konsumfunkion wird die Schäzung und Wirkungsweise eines VECM für Verbrauch, Einkommen und Akienkurse in Deuschland gezeig. Die Anwendung der Beveridge- Nelson-(BN)-Dekomposiion auf vekorauoregressive Prozesse ermöglich zudem, Abhängigkeien zwischen den aus den koinegrieren Zeireihen exrahieren zyklischen Komponenen zu schäzen. JEL-Codes: C32, C5, E2 Schlagwore: Beveridge-Nelson-Dekomposiion, Johansen-Verfahren, Koinegraion, Vekorfehlerkorrekurmodell, Vermögenseffek

6 Absrac Vecor error correcion models (VECM) allow o simulaneously model dependencies beween he changes of several poenially endogenous variables. The idea is he modelling of a long-run equilibrium ogeher wih he shor-run dynamics. Therefore a single equaion approach (ECM) can be generalised o a muli equaion approach (VECM) for variable vecors. The number of coinegraion relaions and he coefficien marices are esimaed wih he Johansen procedure. The esimaion of a VECM for income, consumpion and sock prices for Germany is demonsraed by using a generalised consumpion funcion. The Beveridge-Nelson-(BN)-Decomposiion procedure for vecorauoregressive processes allows exracing cyclical componens of coinegraed ime series and esimaing he degree of co-movemen beween hese ransiory componens. Key words: Beveridge-Nelson-Decomposiion, Johansen Procedure, Coinegraion, Vecor Error Correcion Model, Wealh Effec

7 Einleiung Das auf Engle und Granger (987) zurückgehende Konzep der Koinegraion verbinde saisisch-zeireihenanalyische Verfahren mi dem ökonomischen Gleichgewichsgedanken. Koinegraion is eine Gemeinsamkei von zwei oder mehreren Zeireihen, die sich darin zeig, dass in der langfrisigen Enwicklung eine lineare Beziehung zwischen ihnen beseh, die sich bis in die kurzfrisigen Schwankungen auswirk. In der Sprache der Ökonomerie wird das Einhalen dieser Beziehung als Gleichgewich inerpreier. Abweichungen von diesem Gleichgewich zwischen den Variablen reen auf, aber sie haben die Tendenz, sich immer wieder zurückzubilden. Diese Eigenschaf gemeinsam inegrierer Zeireihen ermöglich es mihilfe von Fehlerkorrekurmodellen (ECM) die Abhängigkeisbeziehungen besser zu modellieren. Ein Fehlerkorrekurmodell is eine spezielle Form des linearen ökonomerischen Eingleichungsmodells, das in erser Linie die Zusammenhänge zwischen den kurzfrisigen Veränderungen der einbezogenen Variablen uner der Voraussezung der Koinegraion berache. Das Tesen auf Koinegraion und Schäzen des Fehlerkorrekurmodells kann miels verschiedener Verfahren erfolgen: zum einen über die Schäzung einer Einzelgleichung mi dem Zweisufigen Verfahren von Engle und Granger. Anwendung finde dieses, wenn die nichsaionären Variablen den Inegraionsgrad Eins aufweisen und zwischen ihnen genau eine Koinegraionsbeziehung beseh, in die alle Variablen einbezogen werden. Das Verfahren sez im Prinzip die vorherige Feslegung einer eindeuigen Kausalsrukur des Fehlerkorrekurmodells voraus. Es is also a priori feszulegen, welche Variable als abhängige und welche als unabhängige in das Modell eingeh. Alernaiv dazu is der Tes auf Koinegraion mi dem von Sock und Wason (993) enwickelen dynamischen OLS-Ansaz (DOLS) zu nennen. Der DOLS-Ansaz ha gegenüber dem EG2-Verfahren den Voreil, dass der OLS-Schäzer einer effizienen Korrekur unerzogen wird mi dem Ziel, Unkorrelierhei von Regressoren und Residuen und dami die asympoische Normaliä zu gewährleisen. Die Koinegraionsanalyse is jedoch einerseis nich auf das Vorliegen nur einer, zugleich eindeuigen Koinegraionsbeziehung beschränk. Denn in einer Regressionsfunkion mi mehr als einer unabhängigen Variablen können mehr als eine Koinegraionsbeziehung exisieren. Der Einzelgleichungsansaz is dann nich mehr eindeuig.

8 2 Andererseis sind auch Modelle denkbar, in denen alle Variablen poenziell kausal für alle anderen Variablen sein dürfen. Der Tes auf Koinegraion kann nämlich insbesondere bei mehr als zwei I()-Variablen auf der Grundlage eines vekorauoregressiven (VAR) Modells durchgeführ werden. VAR-Modelle ermöglichen, die dynamischen Zusammenhänge zwischen ökonomischen Größen zu analysieren, ohne explizi Annahmen über die Richung der Abhängigkeisbeziehungen zu reffen. Alle Variablen werden als gemeinsam endogen ( abhängig ) berache, allerdings mi Verzögerung. Folglich wird die Beziehung zwischen den Variablen nich ausschließlich durch eine saische Regressionsbeziehung dargesell, in der y reagierend auf x und weierer erklärender Größen abgebilde is, sondern finde Ausdruck in einer Gleichgewichsbeziehung zwischen mehreren formell gleichberechigen Variablen. Das Vekorfehlerkorrekurmodell (VECM) ermöglich eine adäquae saisische Beschreibung der linearen Beziehungen inegrierer Variablen und fass die langfrisigen Gleichgewichsbeziehungen sowie die kurzfrisige Dynamik in einem Sysem zusammen. Die Besimmung der Anzahl der linear unabhängigen Koinegraionsbeziehungen und die anschließende Schäzung der Parameer is u.a. mi dem von Johansen (988) enwickelen Verfahren möglich. Die Darsellung mi gemeinsamen Trends (CT-Form) zerleg die koinegrieren Prozesse in ransiorische (zyklische) und permanene Komponenen und eröffne die Analyse des Beziehungsgeflechs in den zyklischen Bewegungen. Die mulivariae Beveridge-Nelson-(BN)-Dekomposiion ermöglich dabei, aus den koinegrieren Zeireihen zyklische Komponenen zu exrahieren und Abhängigkeien zwischen den Größen der gesamwirschaflichen Konsumfunkion im Zyklus zu schäzen. Der Abschni 2 behandel zunächs die Beziehung zwischen Koinegraion und gemeinsamen Trends. In Abschni 3 wird das vekorauoregressive Modell kurz skizzier und anschließend reparamerisier als Vekorfehlerkorrekurmodell formulier. Dem folg in Abschni 4 die Darsellung des Johansen-Verfahrens und der nowendigen saisischen Tess. Der Abschni 5 beschreib die mulivariae Beverige-Nelson- Dekomposiion. In Abschni 6 werden die Zeireihen von Einkommen, Konsum und Akienpreis in ihrer wechselseiigen Abhängigkei über eine einfache Konsumfunkion hinaus analysier. Sie werden auf Koinegraion geprüf, ein Vekorfehlerkorrekurmodell wird für sie geschäz und die Zusammenhänge in den zyklischen Komponenen werden quanifizier.

9 3 2 Koinegraion und gemeinsame Trends Mi dem Koinegraionsansaz is es möglich, die sogenannen kurz- und langfrisigen Zusammenhänge zwischen inegrieren Zeireihen gemeinsam zu modellieren. Während uner dem kurzfrisigen Zusammenhang die Schwankungen der Wachsumsraen um einen von Null verschiedenen Erwarungswer versanden wird, bezieh sich der langfrisige Zusammenhang auf die in den Niveaus sichbare gemeinsame Variabiliä im Trendverlauf. Zur Erläuerung wird der Vekor x =[x, x 2 ] auf zwei Variablen beschränk. Engle und Granger (987) verdeulichen, dass es lineare Kombinaionen zwischen inegrieren Variablen x und x 2 geben kann, die eine saionäre Zeireihe z erzeugen: () x - bx2 = z Gib es einen Parameer b, so dass z saionär is, sind x und x 2 koinegrier. Der Koeffizienenvekor =[, -b] heiß koinegrierender Vekor. Da die Beziehung (), die Koinegraionsbeziehung, bei Muliplikaion aller Glieder mi einem beliebigen Fakor g g koinegrierende Vekoren. Wegen der linearen Abhängigkei werden sie als zueinander äquivalen berache. Der saionäre Prozess z beinhale die Abweichungen von der Koinegraionsbeziehung. Folgen zwei Zeireihen, die jeweils inegrier erser Ordnung, also I() sind, einem gemeinsamen sochasischen Trend, kann ihr Zusammenhang nich als Scheinkorrelaion abgean werden und die Zeireihen werden als koinegrier bezeichne. Wie Sock und Wason (988) gezeig haben, wird ihre langfrisige Enwicklung von einem gemeinsamen Trend besimm. Im Folgenden wird dieser gemeinsame Trend als Random-Walk w modellier: (2) w = w - + e Der Sörerm soll einen reiner Zufallsprozess weißen Rauschens abbilden. Die beiden koinegrieren I()-Variablen können demensprechend z.b. in folgender Form dargesell werden: (3) x x 2 = bw ~ + x = w + ~ x 2 mi mi ~ x ~ x 2 ~ I(0) ~ I(0) In Anlehnung an Kirchgässner / Wolers (2006), S. 85.

10 4 Umgekehr läss sich zeigen, dass wenn die beiden Prozesse in dieser Weise einem gemeinsamen sochasischen Trend w folgen und ihre Sörerme voneinander unabhängige Prozesse weißen Rauschens sind, Koinegraion vorlieg: Denn es gil, dass (4) x - bx2 = ( bw + ~ x ) - b( w + ~ x2 ) = ~ x - bx ~ 2 = z als Linearkombinaion zweier saionärer Prozesse einen saionären Prozess z erzeug. Folglich bilde (4) und dami auch () asächlich eine koinegrierende Beziehung ab mi dem Vekor [, -b]. Das Sysem aus zwei I()-Variablen enhäl demnach eine Koinegraionsbeziehung und einen gemeinsamen sochasischen Trend. Bei mehr als zwei Variablen is diese Eneilung hingegen deulich komplizierer. Ein Vekor von n I()-Variablen is mi dem Rang r koinegrier, wenn genau r linear unabhängige Koinegraionsvekoren i exisieren. Dabei gil: 0 < r < n. Diese Vekoren können zu einer Koinegraionsmarix B zusammengefass werden: 2 =, (5) B [,, ] K r und muliplizier mi dem Vekor der nichsaionären Variablen x resulieren die r Komponenen des Vekors z, die wieder als Abweichung ( Fehler ) vom Gleichgewich inerpreier werden: i i (6) B x = z mi z = [ z, K, zr ] Das Sysem enhäl dann n r gemeinsame sochasische Trends. Der Koinegraionsrang r muss ses kleiner als die Anzahl der I()-Variablen n sein, da sons die Marix B inverierbar wäre. Dami wären die Elemene von x saionär, da diese sich als Linearkombinaion x - = B i z aus den saionären Gleichgewichsfehlern ergeben, was zu einem Widerspruch führ. Wird der Fall für zwei I()-Variablen in (3) auf einen Vekor x mi n Variablen überragen, ergib sich: (7) x = Hw + z mi einer (n (n r))-marix H und w als einem (n r)-dimensionalen Random-Walk: (8) w = w Vgl. Kirchgässner / Wolers (2006), S. 88.

11 5 wobei ein Vekor aus reinen Zufallsprozessen is. In Gleichung (7) wird der Prozess x in die gemeinsamen sochasischen Trends w und einen saionären Teil z zerleg. Diese Darsellung wird in Bezug auf Sock und Wason (988) auch als gemeinsame Trends (Common-Trends-Form) bezeichne, kurz CT. 3 Vekorfehlerkorrekurmodell Schon das vekorauoregressive (VAR) Modell war eine nüzliche Alernaive zu den konvenionellen srukurmodellierenden Verfahren. Die VAR-Analyse behandel alle Größen als poenziell endogene Variable. Daher is es nich erforderlich, a-priori- Enscheidungen über Endogeniä und Exogeniä, also über die Richung der Abhängigkei, zu reffen. Die Variablen sind hinsichlich der Kausaliä poenziell gleichberechig. Bei einem VAR mi der Ordnung p häng jede Variable linear von ihren eigenen bis zu p Perioden verzögeren Weren sowie auch von den bis zu p Perioden verzögeren Weren der anderen gemeinsam abhängigen Variablen ab. Jez is es das Ziel, die gegenseiigen Abhängigkeien von Veränderungen oder Wachsumsraen mehrerer nichsaionärer ökonomischer Variablen von den vorhergehenden Veränderungen aller dieser Variablen bei gleichzeiiger Beachung der langfrisigen linearen Beziehungen zwischen diesen Variablen simulan zu analysieren. Die Basis solch einer Vekorfehlerkorrekur-Darsellung bilde die Modellierung der linearen Beziehungen der n inegrieren Variablen als vekorauoregressiver (VAR) Prozess x endlicher Ordnung p: 3 (9) x + Â + ix- i u, = p i= wobei x ein (n )-Vekor sochasischer Variablen, ein (n )-Vekor der Konsanen; i (n n)-marizen der Auoregressionsparameer, u ein (n )-Vekor normalvereiler reiner Zufallsvariablen (Weißes Rauschen), n die Anzahl der Variablen und =,2,.. die Zei is. Im einfachsen Fall läss sich (9) als VAR()-Modell formulieren: (0) x = u 3 Vgl. Kirchgässner / Wolers (2006), S. 97.

12 6 Durch Subrakion des um eine Periode verzögeren Vekors der gemeinsam abhängigen Variablen x - auf beiden Seien erhalen wir folgende Beziehung: () x Dx - x oder - = + = + ( - I) x x + u - + u mi der (n n)-einheismarix I. Im Fall der Koinegraion is der Term ( -I)x - saionär und es exisieren r koinegrierende Beziehungen. Im einfachsen Fall, also einem VAR(), reen keine verzögeren Differenzen in der rechen Seie der Gleichung () auf. Verallgemeiner für einen VAR(p)-Prozess is in Gleichung (2) der vekorauoregressive Prozess der Ordnung p (9) reparamerisier als Vekorfehlerkorrekurmodell, VECM(p-), dargesell: 4 (2) Dx = + x = -I + p  i= - i + p-  i= Dx i i = - -i p  + u mi den Reparameriesierungsbeziehungen : i= j+ i Diese Differenzendarsellung is äquivalen zum vekorauoregressiven Modell der Ordnung p für den Vekor x der Niveauvariablen in (9). Im Vekor x - sind die um eine Periode verzögeren, nichsaionären Variablen enhalen. In den Marizen i komm die kurzfrisige Dynamik zum Ausdruck; während in der Marix implizi die langfrisigen Beziehungen und ihre Gewichung im Modell erfass sind. Die günsigse maximale Zeiverschiebung, d.h. die Ordnung des VECMs, kann zum Beispiel mi dem Schwarz-Bayes- (SBC) oder dem Akaikekrierium (AIC) gefunden werden. 5 Da die im Vekor x enhalenen Variablen nichsaionär (inegrier) sind, is x - nur dann saionär, wenn die inegrieren Variablen auch koinegrier sind. In diesem Fall enhäl das VECM nur saionäre Größen. Im VAR(p)-Prozess sind Einheiswurzeln vorhanden. Das folgende Sysem 2 p (3) de ( I - z - z -K- z ) 0 n 2 p = 4 5 Vgl. Hansen / Johansen (998), S. 2. Vgl. Pesaran / Pesaran (2009), S. 430f.

13 7 ha komplexwerige Lösungen z mi z =, d.h. alle Nullsellen liegen auf dem Einheiskreis. 6 Demgegenüber is ein VAR(p)-Prozess sabil, wenn alle Variablen in x schwach saionär sind, d.h. wenn die Nullsellen des Sysems außerhalb des Einheiskreises liegen ( z Für die Koinegraionsanalyse is die Marix von zenraler Bedeuung. Auf der Basis der Gleichung (2) enwickele Johansen einen Koinegraionses mi dem Ziel, die Anzahl der Koinegraionsvekoren (= Anzahl der Koinegraionsbeziehungen) r zwischen den n in x - enhalenen I()-Variablen zu besimmen. Die Anzahl r der Koinegraionsvekoren simm mi dem Rang der Marix überein. Je mehr koinegrierende Vekoren exisieren, deso wahrscheinlicher is es, dass die beeiligen Variablen des vekorauoregressiven Modells wenigsens einer gemeinsamen, sabilen, langfrisigen Enwicklung folgen. In einem VEC-Modell mi n Variablen, kann es bis zu n linear unabhängige, koinegrierende Vekoren geben. Folgende Fälle können unerschieden werden: 7. Rang = 0: Es gib keine linear unabhängigen Koinegraionsvekoren. Dami gib es keine Koinegraion zwischen den Variablen in x und is die Nullmarix. Das Marixproduk x - fäll aus der Gleichung (2) heraus. Das VECM(p-) is ein VAR(p) der ersen Differenzen von x. 2. Rang = r: Es exisieren r linear unabhängige Koinegraionsvekoren, denen mi 0 < r < n ebenso viele Koinegraionsbeziehungen ensprechen. Dann is Gleichung (2) mi einer Rang-reduzieren Marix zu schäzen, die r Koinegraionsbeziehungen hervorbring. 3. Rang = n: Die Marix ha den vollen Rang und - exisier. Nach x - aufgelös, würde sich dieser nichsaionäre Vekor als Linearkombinaion aus saionären Größen ergeben, was ein Widerspruch is. Die Gleichung (2) is nur dann erfüll, wenn in x bereis saionäre Niveaugrößen vorliegen. Dann kann ein VAR- Modell in den Niveaus mi OLS geschäz werden. 6 7 Vgl. Hansen / Johansen (998), S. 6, 2. Vgl. Kirchgässner / Wolers (2006), S. 97f.

14 8 Einen Spezialfall sell die Variane Rang = dar, d.h. es exisier nur eine koinegrierende Beziehung im Sysem von n Variablen. In diesem Fall is zwar der koinegrierende Vekor eindeuig; das Modell is aber lediglich in eine Richung sabil und kann sich mi (n ) sochasischen Trends enwickeln. Demzufolge wächs die Sabiliä des Sysems mi der Anzahl r seiner koinegrierenden Vekoren. 8 Ha die Marix den vollen Rang, (n n)-marix, wäre diese inverierbar und die uner 3. beschriebene Problemaik würde einreen. Is der Rang einer quadraischen Marix kleiner als n, is diese nich inverierbar. Uner der Annahme, dass die Variablen in x - x saionär is, bilden die Variablen von x - wegen des reduzieren Ranges von Linearkombinaionen, die saionär sind. 4 Johansen-Verfahren Zur Besimmung der Anzahl der koinegrierenden Beziehungen finde u.a. das von Johansen (988) enwickele, auf der Maximum-Likelihood-Mehode basierende gleichnamige Verfahren Anwendung. Das Vorgehen von Johansen läss sich als mulivariae Verallgemeinerung des Augmened Dickey-Fuller-Tess charakerisieren. 9 Aufgrund der großen Komplexiä des Verfahrens wird in diesem Abschni nur eine Schemaische Beschreibung gegeben. Das Verfahren von Johansen überprüf die Hypohese miels des Ranges r der Marix und eines dami verbundenen Eigenwerproblems. Is r < n, gib es folgende Zerlegung: 0 (4) = AB mi der (n r)-ladungsmarix A, deren Elemene Ladungsparameer genann werden und der (r n)-koinegraionsmarix B, denn diese beinhale die r Koinegraionsvekoren (linear unabhängigen Spalenvekoren). Mi (4) läss sich (2) in die Fehlerkorrekurdarsellung überführen: (5) Â - Dx = + AB x + i= i p - idx -i + u Vgl. Assenmacher (2002), S Vgl. Rinne (2004), S Vgl. Hansen / Johansen (998), S. 2.

15 9 Dami liefer B x - die r saionären Linearkombinaionen der Koinegraionsbeziehungen aus der Vorperiode oder anders inerpreier: die Fehler bezüglich der Gleichgewichsbeziehungen. Die Marix A gewiche diese Fehler und kann daher als die Anpassungsleisung an die Gleichgewiche der r koinegrierenden Beziehungen in den einzelnen Gleichungen im Vekorfehlerkorrekurmodell inerpreier werden. Haben die Koeffizienen der Ladungsmarix die korreken Vorzeichen, führ ein Fehler (Abweichung vom Gleichgewich) in der Vorperiode zu einer Anpassung x. Für ein VECM der Ordnung kann Gleichung (5) noch einigermaßen übersichlich in der ausgeschriebenen Schreibweise des Vekor-Marix-Kalküls formulier werden: Ê x Ê Á Ë (6) Á = Á + Á ( b, b ) Á Ë x 2 ˆ Ê m ˆ Á Ë m2 2 ˆ 2 Ê x Á Á Ë x - 2- ˆ Êg + Á Ëg 2 g g 2 22 ˆÊ x Á Á Ë x - 2- ˆ Êu + Á Ëu 2 ˆ Alernaiv zum Konsanenvekor im Gesammodell, können auch Konsane in den koinegrierenden Beziehungen zugelassen werden, also lezlich in der Marix B. Ebenso wie der Konsanenvekor kann in das Modell auch ein Vekor von individuellen linearen deerminisischen Zeirends eingebau werden: (7) Dx = + + AB x +  - - idx -i + u i= i mi einem Vekor von individuellen Ansiegskoeffizienen i für i=,, n. Hiermi is die allgemeinse Form des Vekorfehlerkorrekurmodells erreich. Die Vielzahl der darin enhalenen Koeffizienenmarizen und -Vekoren ruf der Eindruck einer höheren Komplexiä hervor, als in den meisen Anwendungen asächlich beseh. In der Praxis werden viele der Koeffizienen gleich Null gesez, wie das empirische Beispiel zeigen wird. In der Realiä is die Marix nich gegeben. Die Marizen A und B sind unbekann und müssen aus den zugrundeliegenden Zeireihen geschäz werden. Als Folge der nich eindeuigen Zerlegung der Gleichung (4) ri das aus den Srukurgleichungsmodellen bekanne Idenifikaionsproblem für srukurelle Gleichungssyseme auf. Die Koinegraionsvekoren können nur bei auferlegen ökonomisch sinnvollen Resrikionen der Koeffizienen der koinegrierenden Beziehungen (Vekoren von B) geschäz werden. p Vgl. Kirchgässner / Wolers (2006), S. 99.

16 0 Die Zahl der koinegrierenden Vekoren, also der linear unabhängigen Spalenvekoren in B, is der Rang r der Marix B. Da sie in der Gleichung (2) nich isolier, sondern nur innerhalb der Produkmarix = B aufri, wird dieser Rang über die Marix besimm. Dazu dien das Repräsenaionsheorem von Granger. 2 Es besag u.a., dass wenn eine Beziehung (2) mi einem saionären n -Vekor x und einer Koeffizienenmarix vom Rang r < n exisier, sich dieses darsellen läss als Produk B zweier n r-marizen B und A, die ebenfalls den Rang r haben. 3 Daher kann prinzipiell der Rang r von als die Zahl der koinegierenden Vekoren genommen werden. Das Dilemma is, dass r bekann sein muss, bevor die Marix geschäz werden kann, und umgekehr die Marix bekann sein müsse, um ihren Rang zu besimmen. Es wurden aber verschiedene ieraive Tesverfahren enwickel, mi deren Hilfe man Hypohesen über den Wer von r prüfen kann. Zur Besimmung des Ranges und der Schäzung der Koeffizienen des Sysems erfolg auf der ersen Sufe eine Maximum- Likelihood-(ML)-Schäzung der Gleichung (2) uner Berücksichigung der Resrikion (4). Im Anschluss daran wird mi Likelihood-Raio-Tess die Anzahl der signifikan von Null verschiedenen Eigenwere, d.h. der Koinegraionsvekoren, geese. 4 Die Schäzung und die Tess sezen voraus, dass die Sörvariablen des Modells unabhängig normalvereil sind. Im Folgenden wird der ML-Schäzer von Johansen kurz vorgesell. 5 Zur Erläuerung des Verfahrens wird die nachsehende vereinfache Noaion verwand: (8) Dx = = [ Dx, K, Dx ], x = [ x, K, x ], u = [ u, K, u ] [, K, ], Z = [ Z, K, Z ] p- T T - T - mi ÈDx Í DZ = Í M Í ÎDx - T - p+ 2 Vgl. Engle / Granger (987). 3 Vgl. Hackl (2005), S Vgl. Hansen / Johansen (998), S In Anlehnung an Lükepohl (2006), S. 286,

17 Uner Verwendung dieser Noaion ergib sich das VECM in Gleichung (7) ohne Deerminisik für =,, T zu: i (9) x = AB x + DZ + u D - Uner der Annahme, dass die Marizen A und B bekann wären, is die Maximum- Likelihood-Schäzung durch die Anwendung der Mehode der kleinsen Quadrae gegeben und der Schäzer für is: (20) ˆ i i i = ( Dx - AB x ) ( ) - - DZ DZDZ Und sezen wir M = I - DZ i i ( DZDZ ) - DZ, wird der Schäzer (20) in Gleichung (9) eingesez und anschließend nach xm aufgelös, ergib sich das folgende Regressionsmodell: i (2) xm = AB x M uˆ D - + Uner Berücksichigung der Rangresrikion Rg(AB ) = r, können die Koeffizienenmarizen A und B miels einer reduced rank regression nach Johansen 6 oder alernaiv mi einer kanonischen Korrelaionsanalyse besimm werden. 7 Besimmung des Rangs von Das Johansen-Verfahren, so wie es in der Sofware Microfi angewende wird, besimm den für die Modellschäzung benöigen Rang von über die Anzahl der signifikan von Null verschiedenen Eigenwere i eines im Rahmen der Maximierung der Likelihoodfunkion für die Modellschäzung aufreenden Eigenvekorproblems. Der Einfachhei halber soll dieser Zusammenhang hier nur im Fall des einfachsen VECM ohne Konsane, Trend und verzögere Differenzen skizzier werden: 8 Dx = x - + u oder gleichbedeuend (22) Dx = AB'x - + u Eine kompake Darsellung der reduced rank regression is in Johansen (988) zu finden. Hansen / Johansen (998) geben eine ausführliche Beschreibung dieses Verfahrens (vgl. Hansen / Johansen (998), S. 7-85). Vgl. Lükepohl (2006), S Die Deails für die erweieren Modelle können bei Pesaran / Pesaran (2009, S ) nachgelesen werden.

18 2 Johansen (995) zeig, dass die konzenriere Likelihoodfunkion T n T n T i - i (23) l( B) = - ln(2p ) - - ln de( S00 - S0B( B SB) B S für die Vekoren von B bei gegebenem A als Eigenvekoren des Problems - (24) de ( S S 0 S 00 S 0 ) = 0 gefunden werden können. Dabei sind die S ij die Momenenmarizen für die Regression x bezüglich den verzögeren Variablen x -, nämlich T (25) S00 = ÂDx Dx ' T = S T ÂDx T 0 = x- = ' S T T = Âx- Dx ', S = Â x- x- ' T T 0 = = wobei geeignee Sarvekoren x 0 fesgeleg werden müssen. 9 Die Lösung des Problems (24) ergeben sich dann rechnerisch einfacher als die n Eigenwere der Marix (26) S = S 00 - S 0 S - S 0. Johansen nuz den Fak, dass r = Rg( ) mi der Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwere von S übereinsimm. Für die Praxis gil folglich, dass als Anzahl der Koinegraionsvekoren r die Zahl der von Null verschiedenen geschäzen Eigenwere lˆ i der Marix S genommen wird. Die n geschäzen Eigenwere werden der Größe nach geordne: ˆ l ˆ l2... ˆ l. Anschließend wird geese, wie viele Eigenwere n signifikan größer Null sind. Die im Folgenden skizzieren Koinegraionsess nuzen die ermielen Eigenwere. Wie beschrieben, lieg Koinegraion vor, wenn der Rang r von ˆ größer als Null, aber kleiner als n is. Zur Besimmung von r sehen zwei verschiedene Likelihood-Quoienen-Tesverfahren mi sequenieller Tesprozedur zur Auswahl, die sich im Wesenlichen in der Formulierung der Alernaivhypohese unerscheiden: 9 Vgl. Neusser (2009), S. 227.

19 3 (i) Der Trace-Tes Die Null- bzw. Alernaivhypohese sind in diesem Tes: H 0 : H : Es gib höchsens r posiive Eigenwere. Es gib mehr als r posiive Eigenwere. (27) Trace( r) = -T Âln( - ˆ li ) Die Tessaisik is gegeben durch n i= r + mi T Beobachungen, n als Anzahl der Variablen im Sysem und lˆ i als die geschäzen Eigenwere von S in (26). Die Eigenwere r+,, n sind uner der Nullhypohese gleich Null, wodurch die Tessaisik ebenfalls nahe bei Null liegen müsse. (ii) Der Maximale-Eigenwer-Tes Die Hypohesen lauen hier: H 0 : H : Es gib genau r posiive Eigenwere. Es gib genau r + posiive Eigenwere. (28) l r,r ) = -T ln( - ˆ l ). Die Tessaisik is gegeben durch max ( + r + Die Tesfolge beginn mi r = 0 und wird so lange forgesez, bis die Nullhypohese zu einem gegebenen Signifikanzniveau zum ersen Mal nich abgelehn werden kann. Dami gib es (n r) nichsaionäre Relaionen (sochasische Trends) im Sysem. Der Maximale-Eigenwer-Tes weis gegenüber dem Trace-Tes den Voreil der schärfer formulieren Gegenhypohese auf und finde in diesem Beirag Anwendung. Ebenso wie Inegraionsess sind Koinegraionsess sensiiv gegenüber der Einbeziehung von deerminisischen Termen. Die Tessaisiken folgen keiner bekannen Sandardvereilung und hängen von der im VAR(p) enhalenen Deerminisik und der gewählen Spezifikaion der deerminisischen Terme (Konsane und/oder Trend im Modell oder speziell in der langfrisigen Gleichgewichsbeziehung) des zugehörigen Vekorfehlerkorrekurmodells ab. Die kriischen Were beider Tess sind u.a. bei Juselius (2006) abellier.

20 4 Is der Rang von ˆ gefunden, können uner Anwendung einer Normalisierung die dazugehörigen normieren Eigenvekoren r größen Eigenweren ˆ l, K, ˆ > 0 gehören, berechne werden: (29) Bˆ = [ bˆ,, ˆ ] K b r l r ˆ i des Problems (24), die zu den geschäzen Diese sind ML-Schäzer für die Spalen der Marix B. In einem Koinegraionsraum mi n I()-Variablen und dem Koinegraionsrang r sind asympoisch nur r Eigenwere posiiv und die reslichen n r Eigenwere Null. 20 Für r = führ die Normalsierung zu einer Resrikion des ersen Koeffizienen von Bˆ auf den Wer. Im Weieren läss sich aus Bˆ wie folg die Ladungsmarix  schäzen, die bisher einfach als gegeben berache wurde: (30) ˆ i ˆ ˆ ( ˆ i i - = DxMx- B B x-mx-b) A Mihilfe der Marizen  undbˆ können anschließend aus (20) die Marizen der Kurzfrisdynamik geschäz werden: (3) ˆ ˆ ˆ i i i - = ( Dx - AB x - ) DZ ( DZDZ ) Der ensprechende Schäzer von is AB ˆ ˆ = ˆ i. Die geschäzen Vekoren von Bˆ sind mulivaria normalvereil und konvergieren mi der Rae T superkonsisen gegen ihre wahren, aber unbekannen Were. 2 Daher können uner Verwendung einer angepassen Kovarianzmarix -Were berechne werden. Im Gegensaz dazu sreb der Schäzer von  mi T ( Aˆ - A) gegen A. Die Schäzer der Koeffizienen der Kurzfrisdynamik ˆ sind ebenfalls konsisen und konvergieren mi T gegen ihre wahren Were, sodass die übliche -Saisik genuz werden kann. Die asympoischen Eigenschafen der i -Koeffizienenmarizen sind unabhängig davon, ob die Rangresrikion für AB berücksichig wird. Durch die Berücksichigung der Koinegraionsresrikionen lassen sich die asympoischen Eigenschafen der Schäzer des vekorauoregressiven (VAR)-Modells (9) im Allgemeinen (speziell in großen Sichproben) nich verbessern Vgl. Kirchgässner / Wolers (2006), S Vgl. Lükepohl (2006), S. 288, 296. Vgl. Sims / Sock / Wason (990).

21 5 Uner ziemlich allgemeinen Bedingungen können also die Koeffizienenmarizen, und schließlich auch i mi der Kleins-Quadra-Mehode (LS) bzw. mi Maximum Likelihood (ML) geschäz werden. 23 Im folgenden Kapiel dieses Beirags wird die ML-Mehode verwende, die als Johansen-Verfahren hier skizzier wurde und zum Beispiel in dem Programmpake MICROFIT angeboen wird. Die Einzelheien dieser Mehode und ihre zahlreichen Varianen sind u.a. im Handbuch von MICROFIT umfassend und praxisnah dargesell. 24 Die Darsellung mi gemeinsamen Trends (CT-Form) kann über ein zweisufiges Vorgehen aus der VAR- oder VECM-Form abgeleie werden. 25 Im ersen Schri müssen die Koeffizienen des Vekorfehlerkorrekurmodells geschäz werden. Im zweien Schri werden aus den Schäzern die Parameer der CT-Form berechne. Das Vekorfehlerkorrekurmodell in (9) kann durch verschiedene Annahmen über Absoluglieder und deerminisische Trends ergänz werden, die bei der Schäzung in (20) berücksichig werden. So kann wie in (5) ein Vekor von individuellen Konsanen in das VECM aufgenommen werden. Unerlieg dieser Konsanenvekor keinen Resrikionen, ensprechen sie linearen deerminisischen Trends in den Niveauvariablen. Können derarige Trends für die den Zeireihen zugrundeliegenden ökonomischen Größen ausgeschlossen werden, beseh wie in (32) dargesell die Möglichkei, die Absoluglieder auf die koinegrierende Beziehung zu beschränken: (32) Dx = AB * i x * - + p- Â i= Dx i -i + u mi B * ÈbLb r Í = Í M O M Íb n Lb Í ÎmL m r rn und x * - Èx = Í Î - Alernaiv können neben oder anselle der Konsanen lineare Trends in B* aufgenommen werden. Grundsäzlich können Konsane und Trend enweder innerhalb der Koinegraionsbeziehung (resringier) oder außerhalb der Koinegraionsbeziehung (unresringier) in das Vekorfehlerkorrekurmodell aufgenommen werden Vgl. Lükepohl (2006), S Vgl. Pesaran / Pesaran (2009), S Vgl. Neusser (2009), S

22 6 In Abhängigkei der Spezifikaion der deerminisischen Terme werden zum Beispiel in MICROFIT die folgenden fünf Fälle unerschieden: 26. Keine Konsane und kein Trend im VAR, und keine Konsane und kein Trend in der Koinegraionsbeziehung. 2. Keine Konsane und kein Trend im VAR, und Konsane aber kein Trend in der Koinegraionsbeziehung. 3. Konsane und kein Trend im VAR, und keine Konsane und kein Trend in der Koinegraionsbeziehung. 4. Konsane und kein Trend im VAR, und keine Konsane aber ein Trend in der Koinegraionsbeziehung. 5. Konsane und Trend im VAR, und keine Konsane und kein Trend in der Koinegraionsbeziehung. Für Zeireihen, die in den Niveaus keinen deerminisischen Trend aufweisen, sind die Fälle und 2 von Bedeuung, wobei das Modell mi Konsane in der Koinegraionsbeziehung von prakischer Relevanz is. In den Fällen 3 und 4 enhalen die Zeireihen in den Niveaus deerminisische Trends, wobei das Modell mi Trend in der Koinegraionsbeziehung für die rendbehafeen Daen von prakischer Bedeuung is. Im Fall 5 enhalen die Zeireihen in ihren Niveaus quadraische Trends. Eine für die Mehrzahl der volkswirschaflichen Daen wenig realisische Annahme. Von dem Variablenvekor x muss geforder werden, dass er vekorinegrier der Ordnung (I()) is, d.h., dass der Vekor der Veränderungen x vekorsaionär is, was eine mulivariae Verschärfung der einfachen Saionariä is. 27 Für den Zweck dieses Beirags soll es aber im empirischen Teil ausreichen, nachzuweisen, dass jede einzelne Variable für sich genommen inegrier is. Dafür wird der erweiere Dickey- Fuller-Tes (ADF) genuz Vgl. Pesaran / Pesaran (2009), S. 29. Vgl. Lükepohl (2006), S. 25f.

23 7 5 Beveridge-Nelson-Dekomposiion Die VAR-Darsellung eines inegrieren mulivariaen Prozesses biee eine weiere ineressane Zerlegung an, nämlich die in eine nichsaionäre (permanene) Komponene, die selbs wieder aus dem deerminisischen und dem sochasischen Trend beseh, und eine ransiorische Komponene, die saionär is und leich als zyklische Komponene zu inerpreieren is. Beveridge und Nelson (98) zeigen, dass ein ARIMA-Prozess x mi saionären. Differenzen, die sich ensprechend dem Woldschen Zerlegungssaz als unendlicher MA-Prozess darsellen läss 28, (33) x , j <, mi als langfrisigem milerem Zuwachs und weißem Rauschen, zerleg werden kann in der Form (34) x = x P + x Z, wobei x P ein Random Walk, also ein sochasischer Trend mi einem Drif is: Â = i i P = P i ) e 0 (35) Â x + x - + ( j. i= Beveridge und Nelson beweisen 29, dass die Differenz zwischen dem Prozess x und P seiner nichsaionären Komponene x (36) x Z = x x P = ( ) + ( ) + ( Â Âji e Âji e - ji ) e -2 i= i= 2 i= saionär is. Sie wird auch als zyklische Komponene bezeichne. Es läss sich leich zeigen, dass eine ähnliche Zerlegung auch uner Hinzufügung eines deerminisischen Trends möglich is. Dieser wird dann ebenfalls der permanenen Komponene zugerechne. 28 Vgl. Beveridge / Nelson (98), S. 55f. 29 Vgl. Beveridge / Nelson (98), S. 56.

24 8 Die Beveridge-Nelson-Zerlegung läss sich auf VAR-Prozesse verallgemeinern und insbesondere in die Analyse von Vekorfehlerkorrekurmodellen inegrieren. Im empirischen Teil dieses Beirags wird die Modifikaion verwende, die Pesaran und Pesaran (2009) enwickel haben. Da sich hier die Resulae, bezogen auf die einzelnen I()-Variablen x i eines Vekorprozesses x ganz analog zu der Zerlegung (34) inerpreieren lassen, soll auf die komplexe Herleiung des mulivariaen Schäzverfahrens an dieser Selle verziche und auf die Lieraur verwiesen werden. 30 Die Besimmung der mulivariaen zyklischen Komponene erforder zunächs eine adäquae Spezifikaion des Vekorfehlerkorrekurmodells, insbesondere seiner Resrikionen bezüglich des Vorhandenseins von Konsanen oder linearer Trends im Fehlerkorrekurmodell oder den koinegrierenden Beziehungen, wofür das Johansen- Verfahren geeigne is. Zwischen den exrahieren zyklischen Komponenen der inegrieren Einzelvariablen x i eines Vekorprozesses x können Zusammenhänge z.b. in Form einer Korrelaionsanalyse oder einer linearer Regressionsbeziehung analysier werden. Dadurch enseh ein drier Aspek des Zusammenhangs zwischen koinegrieren Variablen: Wenn die koinegrierenden Beziehungen oder die koinegrierenden Vekoren in B für die langfrisigen Zusammenhänge und die Koeffizienen der verzögeren Differenzen in für die kurzfrisigen Zusammenhänge im Fehlerkorrekurmodell sprechen, können die Regressionskoeffizienen zwischen den zyklischen Komponenen als mielfrisige Zusammenhänge inerpreier werden. Uner Verwendung von Begriffen der Spekralanalyse kann gesag werden, dass sie einen Blick durch ein mileres Frequenzfeser auf das komplexe Zusammenhangsgefüge zwischen den Einzelvariablen erlauben, während die permanene Komponene Resula eines Niederfrequenzfensers sind und die Zusammenhänge zwischen den ersen Differenzen dem Hochfrequenzfenser ensprechen können. 30 Vgl. Pesaran / Pesaran (2009), S

25 9 6 Empirie Konsum und Akienmark Im Zenrum dieser Unersuchung seh der Variablenvekor x ÈlnC Í = Í ln E ÍÎ ln DAX für Deuschland vom. Quaral 99 bis zum 4. Quaral Darin sind E - verfügbares Einkommen, preis-, kalender- und saisonbereinig, in Mrd. Euro C - Konsumausgaben der privaen Haushale, preis-, kalender- und saisonbereinig, in Mrd. Euro DAX - Deuscher Akienindex, preisbereinige gemiele Monasendsände, wird hier sark verallgemeinernd als Vermögensindikaor berache. Ausgangspunk der empirischen Analyse bilde die folgende gesamwirschafliche Konsumfunkion (37) lnc = + 2 lne + 3 lndax, für die Logarihmen des Verbrauchs. Abb. : Zeireihen von Konsum C und verfügbarem Einkommen E in Deuschland sowie des Deuschen Akienindex DAX.

26 20 In Form eines Vekorfehlerkorrekurmodells (VECM) kann die obige Konsumfunkion verallgemeiner werden. Es is geeigne, die wechselseiige Beziehung zwischen dem Einkommen, dem Konsum und dem DAX in ein ökonomerisches Mehrgleichungsmodell zu fassen. In diesem wird nich nur das Konsumverhalen heoreisch gespalen in eine langfrisig Konsumfunkion und die kurzfrisige Konsumdynamik, die vor dem Hinergrund des langfrisigen Gleichgewichs sändig korrigier wird erklär; sondern darüber hinaus werden mögliche Feedback-Effeke wie der Einfluss des Konsums auf die Enwicklung der Akienkurse sowie die Auswirkungen des Konsums und des DAX der Vorperiode auf das Einkommenswachsum als Indikaor der konjunkurellen Enwicklung erfass. Über die Budgeresrikion der Haushale sind Konsum und Einkommen mieinander verknüpf. Ensprechend der Lebenszyklus-Hypohese von Modigliani und der permanenen Einkommenshypohese von Friedman hängen die Konsumausgaben der Wirschafssubjeke nich nur vom laufenden Einkommen ab wie bei Keynes, sondern vielmehr vom langfrisig erwareen Einkommenssrom sowie vom Vermögen. 3 Da die zukünfigen Einkommenssröme mi Unsicherhei behafe sind, bilden die Haushale Erwarungen. Die Akienkurse fungieren als Frühindikaor der gesamwirschaflichen Enwicklung. In den Kursbewegungen spiegeln sich die Erwarungen der Markeilnehmer bezüglich der Gewinnenwicklung der Unernehmen wider. Diese, überragen auf die Gesamwirschaf, wirken sich auf das Verbraucherverrauen und die Einschäzung der Wirschafssubjeke bezüglich der Unsicherhei der künfigen wirschaflichen Bedingungen aus. Demensprechend sell die Enwicklung der Börsenkurse einen Indikaor dar, der die zukünfige Veränderung der Einkommen der Haushale und dami der Konsummöglichkeien anzeig. Trozdem wird der Verbrauch naürlich auf lange Fris maßgeblich vom Einkommen deerminier. Uner Vernachlässigung der Deerminisik resulier in Anlehnung an Gleichung (6) folgende allgemeine Fehlerkorrekur-Darsellung: (38) ÊDc ˆ Êa ˆ Á Á ÁDe = Áa 2 Á Á ËDdax Ëa 3 ( b b b ) 2 3 Êc- Á Áe- Á Ëdax - ˆ + p  - i= ÊDc-i Á i ÁDe-i Á ËDdax -i ˆ Êu Á + Áu Á Ëu 2 3 ˆ 3 Vgl. Nasansky (2008), S

27 2 Kleine Buchsaben bezeichnen der Übersichlichkei halber den naürlichen Logarihmus der jeweiligen Variablen. Der Zeilenvekor B =[ 2 3 ] beinhale die Koeffizienen der langfrisigen Gleichgewichsbeziehung zwischen DAX, Einkommen und Konsum, wobei hier angenommen wird, dass r = is. Der Koeffizien 2 miss die Einkommenselasiziä des Konsums. Der Parameer 3 bilde den DAX- oder Vermögenseffek (DAX/Vermögenselasiziä bei logarihmieren Größen) im Konsum ab. Bevor das VECM mi dem Johansen-Verfahren geschäz wird, muss uner anderem geese werden, ob alle Variablen inegrier der Ordnung Eins, I(), sind. Der Nachweis des Inegraionsgrades kann durch Inegraionsess wie dem Dickey-Fuller-Tes (DF- Tes) bzw. bei auokorrelieren Sörermen mi dem Augmened Dickey-Fuller-Tes (ADF-Tes) erbrach werden. Tabelle : Ergebnisse des Augmened Dickey-Fuller-Tess Variable Regression Lags Tes-Saisik 95% Kriischer Wer lnc lne lndax lnc lne lndax Bemerkung: K,T K,T K,T K K K Schwarz-Bayes-Krierium zur Feslegung der Ordnung des ADF-Tess. Die Dickey-Fuller-Regression beinhale eine Konsane (K) und /oder einen linearen Trend (T). ns nichsaionär, s - saionär ns ns ns s s s Die nichsaionären Logarihmen der Variablen im oberen Teil der Tabelle konnen durch Bildung der ersen Differenzen in saionäre Prozesse überführ werden. Daher können die Variablen der Tabelle aufgrund der Tesdaen als inegrier der Ordnung Eins, I(), berache werden. Da die ersen Differenzen von naürlichen Logarihmen eine Approximaion der Wachsumsraen sind, haben somi alle drei Variablen saionäre Wachsumsraen. Im nächsen Abschni wird überprüf, ob die Zeireihen auch koinegrier (gemeinsam inegrier) sind, d.h. zu einem sabilen langfrisigen Gleichgewich endieren.

28 22 Die Wahl der Lagordnung des Vekorfehlerkorrekurmodells gründe auf dem Vergleich der ausgewiesenen Effizienz der Schäzung variierender VAR-Modelle anhand von Informaionskrierien. Für p = 3 wird der höchse Wer des Schwarz-Bayes-Krieriums (Likelihood-Version) gefunden. Zusäzlich wird ein Trend aber keine Konsane in die koinegrierende Beziehung aufgenommen (Fall 4). Die Aufnahme eines linearen Trends soll das deerminisische Trendverhalen der beracheen makroökonomischen Größen auffangen (vgl. Abb. ). Da das Modell mehr als zwei I()-Variablen enhäl, muss zuers die Anzahl der koinegrierenden Beziehungen, der Koinegraionsrang r, besimm werden. Der Maximale-Eigenwer-Tes und der Trace-Tes dienen als Enscheidungsgrundlage. Tabelle 2: Ergebnisse des Johansen-Koinegraionsess H 0 Max.-Eigenwer- Kriischer Wer Trace-Tes Kriischer Wer Tes (95%) (95%) r = r # r # Bemerkung: r is die Anzahl der koinegrierenden Beziehungen. Die Tess zeigen auf dem 5%-Niveau, dass zwischen den Logarihmen der drei Variablen Konsum, Einkommen und Deuscher Akienindex genau eine signifikane koinegrierende Beziehung exisier (Tabelle 2). Im nächsen Schri wird mi dem Johansen-Verfahren der eine koinegrierende Vekor geschäz. Es handel sich dabei um ein Maximum-Likelihood-Schäzung, die mi der Sofware MICROFIT ausgeführ wurde. 32 Eine mögliche Darsellung aus der Menge aller seiner äquivalenen Vielfachen È- Í is Í.45 ˆ =. Die Normierung von auf - erschein willkürlich, ermöglich es aber, Í0.05 Í Î0.00 die koinegrierende Beziehung doch wieder als Konsumfunkion (37) zu inerpreieren. Dann würde der Schäzwer,45 für 2 die Einkommenselasiziä des Konsums messen. Aber nach der zulässigen Division des Vekors durch -,45 könne formal ebenso eine Einkommensgleichung resulieren und analog eine DAX-Gleichung, da alle 32 Vgl. Pesaran / Pesaran (2009), S. 500.

29 23 Vielfachen äquivalen sind, sofern sich die geschäze saionäre Linearkombinaion durch Signifikanz in der jeweiligen Fehlerkorrekurgleichung auszeichne. Aus der ML- Schäzung der Marix B, d.h. hier des Vekors, kann folgende langfrisige Konsumgleichung (Koinegraionsbeziehung) abgelesen werden: (39) cˆ.45e 0.05dax = + - (0.23) (0.0) 0.00 (0.0004) In den Klammern sind die geschäzen Sandardfehler der Koeffizienen angegeben. Kleine Buchsaben bezeichnen den naürlichen Logarihmus der jeweiligen Variablen. Für die Zei nach der Deuschen Einhei im Jahr 990 wurden in Deuschland signifikan (5%) posiive, aber schwache Vermögenseffeke aus der Enwicklung am Akienmark nachgewiesen. 33 Die Zunahme des DAX um 0% zieh im Miel einen Ansieg der realen Konsumausgaben um 0,5% nach sich. Wie zu erwaren war, is das laufende verfügbare Einkommen der maßgebliche Fakor zur Erklärung des Konsums. Die geschäze Einkommenselasiziä beräg,45. Bei konsanem DAX erhöhen die privaen Haushale ihre Konsumausgaben durchschnilich um,45%, wenn das verfügbare Einkommen um % zunimm. Die empirische Analyse ha also gezeig, dass die Größen der gesamwirschaflichen Konsumfunkion einem gemeinsamen sochasischen Trend folgen, d.h. koinegrier sind. Abgesehen von vorübergehenden Schwankungen, bewegen sich die Variablen nich dauerhaf voneinander weg. Abweichungen des Konsums vom langfrisigen Gleichgewich, z.b. hervorgerufen durch emporäre Schocks, sind nur von kurzer Naur und unerliegen in den Folgeperioden einer sysemimmanenen Rückbildung, so dass der Konsum über die Zei zum langfrisigen Gleichgewich zurückkehr. Die Marix A Èa Í wird in diesem Modell zu einem Spalenvekor = Í a 2 und beschreib, wie die ÍÎ a 3 einzelnen Variablen im Vekor x auf Abweichungen von der durch B (hier nur ) gebildeen Gleichgewichsbeziehung in der Vorperiode reagieren. Dieser Prozess kann als Fehlerkorrekurmechanismus modellier werden. 33 Vgl. Nasansky / Srohe (200), S. 8.

30 24 Für das geschäze Vekorfehlerkorrekurmodell ergeben sich uner Vernachlässigung der auf dem 5%-Niveau nichsignifikanen Variablen (in der i-en Gleichung der Übersichlichkei halber zusammengefass als Lagged Differences LD i ) folgende Fehlerkorrekurgleichungen: 34 (40) Dcˆ = D c Deˆ =-0.44De Ddax ˆ = Ddax mi (0.25) (0.8) (0.2) (2.48) -0.45D c + LD + 0.3ecm + LD ecm + LD -.7ecm ecm= -c +.45e dax (0.2) (0.8) (0.09) (0.76) (0.08) - - Die enscheidende Variable ecm (von error correcion model ) beinhale die geschäzen Were der saionären Linearkombinaion x - und is die Abweichung von der Gleichgewichsbeziehung (39). Allgemein gesehen ensprich sie dem Vekor z in Gleichung (6). In den Koeffizienen dieser Abweichungen (Fehler) ecm - aus dem Vorquaral erkennen wir die Schäzwere des Vekors bzw. allgemeiner der Marix A: È0,29 ˆ = Í Í 0,3 Mihilfe des -Tess kann dann die Signifikanz der einzelnen Variablen ÍÎ -,7 geprüf werden. Der geschäze Koeffizien aˆ = 0, 29 des Fehlerkorrekurerms (ecm) in der Konsumwachsumsgleichung ha das erwaree Vorzeichen (posiiv, da = -) und is signifikan (5%) von Null verschiedenen was auf eine endenzielle Verringerung des Konsumwachsums nach einem Konsumüberschuss im Vorquaral (bezogen auf die Gleichgewichsbeziehung) hindeue. Durchschnilich werden heoreisch 29% des Fehlers bezüglich des Nullweres der Gleichgewichsbeziehung, also des Ungleichgewichs in der Vorperiode, pro Quaral abgebau. Die Zahl is nich buchsäblich zu inerpreieren. Sie is eine heoreische saisische Maßzahl, ein Mielwer, für die Dynamik des Korrekurprozesses. Im prakischen Einzelfall is dieser lange Korrekurverlauf nich nachzuvollziehen, weil er of schon im nächsen Quaral durch einen neuen Fehler mi einer eigenen Korrekur überlager wird. Die im Prinzip ewas willkürliche Inerpreaion der koinegrierenden Beziehung als Konsumfunkion wird nachfolgend durch Vorzeichen und die Signifikanz des Korrekurerms in der Fehlerkorrekurgleichung für den Konsum gerechferig. Auch die Enwicklung des Deuschen Akienindex leise einen Beirag zur Korrekur des 34 In den Klammern uner den Koeffizienen wurden ihre geschäzen Sandardfehler angegeben.

31 25 Gleichgewichsfehlers, da der geschäze Ladungsparameer 3 mi -,7 ein negaives Vorzeichen ha. Nach Kursschwankungen am Akienmark kehr der DAX schnell wieder auf ein mileres Niveau zurück. Der Koeffizien vor dem Fehlerkorrekurerm ( 2 ) in der zweien Gleichung (Einkommen) is nich signifikan von Null verschieden. Mi seinem posiiven Vorzeichen bei ebenfalls posiiv gewicheem Einkommen in der Gleichgewichsbeziehung, würde er ohnehin nich zur Korrekur eines Gleichgewichsfehlers in der Vorperiode beiragen. Die Koeffizienen des Vekorfehlerkorrekurmodells zeigen, dass a-poseriori die Inerpreaion der Gleichgewichsbeziehung im Sinne einer Konsumfunkion nich nur heoreisch, sondern auch empirisch plausibler is als im Sinne einer Einkommensfunkion. Die -Tess für weiere Koeffizienen der ersen Gleichung zeigen, dass abgesehen vom Fehlerkorrekurerm der Konsum lediglich langfrisig (im logarihmierem Niveau) vom Vermögenspreis DAX simulier wird. Kurzfrisige Vermögenseffeke (Zusammenhänge zwischen den Wachsumsraen) konnen für Deuschland nach der Wiedervereinigung und bis zu Beginn der Welfinanzkrise nich ermiel werden. Das Konsumwachsum wird von der um ein und zwei Quarale zurückliegenden Dynamik dämpfend beeinfluss. Das Einkommenswachsum häng von der Wachsumsrae im Vorquaral negaiv und die DAX-Rendie posiiv von der eigenen Enwicklung in der Vorperiode ab. Der Allgemeingüligkei halber muss darauf hingewiesen werden, dass bei einem ewas anderen Verlauf der Variablen durchaus mehrere (hier 2) koinegrierende Beziehungen aufreen können, wodurch die Vekoren und zu echen Marizen A und B werden. In diesen Fällen kommen zum Beispiel in jeder der Gleichungen (40) mehrere Fehlerkorrekurglieder (ecm -, ecm 2-, ) vor. Auf der Grundlage des geschäzen Vekorfehlerkorrekurmodells werden miels der mulivariaen Beveridge-Nelson-Dekomposiion die zyklischen Komponenen der Größen der makroökonomischen Konsumfunkion exrahier. Dem folg eine Kleins- Quadra-Schäzung zur Quanifizierung der Abhängigkei des ransiorischen Konsums von den ensprechenden Reihen des verfügbaren Einkommens und des DAX. Ziel is es, den Einfluss des Akienmarkes auf die Konsumausgaben jenseis des gemeinsamen Trendverhalens, d.h. im Zyklus, im Konjunkurverkauf, zu erklären.

32 26 Uner Berücksichigung der langfrisigen Gleichgewichsbeziehungen werden bei der mulivariaen BN-Dekomposiion die drei gemeinsam inegrieren Zeireihen jeweils in einen saionären und einen nichsaionären Besandeil (34) zerleg. Der nichsaionäre permanene Teil kann ensprechend der Gleichung (35) in eine deerminisische und eine sochasische Komponene unereil werden. Der saionäre Teil (36) is hier von besonderem Ineresse und wird auch als ransiorische oder zyklische Komponene bezeichne. Für die drei Zeireihen sind Lezere in Abbildung 2 dargesell. Abb. 2: Transiorische (zyklische) Komponenen Konsum, verfügbarem Einkommen und DAX Während die saionären Komponenen des Konsums und des verfügbare Einkommens im Beobachungszeiraum 4. Quaral 99 bis 4. Quaral 2008 nur geringe zyklische Schwankungen zeigen, is der Verlauf der DAX-Komponene durch sarke zyklische Bewegungen gekennzeichne. Insbesondere in der Zei nach der Wiedervereinigung, der Phase vor und nach dem Plazen der Technologieblase um das Jahr 2000 und im Krisenjahr 2003 war der Deusche Akienindex und im Weieren der ransiorische Besandeil sarken Schwankungen unerworfen. Abbildung 2 verdeulich, dass während der ersen beiden Phasen posiive Were für den DAX mi negaiven Weren der zyklischen Komponenen des Konsums einhergingen.

33 27 Um die Abhängigkeien im Zyklus zwischen den Größen der Konsumfunkion zu besimmen, wird als Nächses eine Regressionsbeziehung zwischen den mi OLS geschäzen saionären Komponenen vorgenommen: 35 (4) cˆ = 0.76e dax Z (0.5) Z (0.005) Z Die ransiorische Komponene des Konsums ( c ) is im Beobachungszeiraum signifikan (5%) negaiv von der ransiorischen Komponene des DAX abhängig. Die Reakion der Konsumenen in Deuschland auf Schwankungen des Deuschen Akienindex is demnach bei spekralanalyischer Berachung vom Frequenzfenser abhängig. Eine Divergenz in der Beziehung zwischen den logarihmieren Niveaus, den Wachsumsraen und den zyklischen Komponenen wird sichbar. Während die Konsumausgaben der privaen Haushale in Deuschland sei der Wiedervereinigung langfrisig, d.h. im Niedrigfrequenzfenser, posiiv vom DAX beeinfluss werden, zeig sich in den zyklischen Bewegungen, dem Mielfrequenzfenser, eine schwache negaive Abhängigkei. Demnach scheinen Vermögenspreiseffeke im Konsum nur langfrisig zum Tragen zu kommen. Auch zwischen Wachsumsraen in der Fehlerkorrekurgleichung, dem Hochfrequenzfenser, des Konsums konnen keine kurzfrisigen Vermögenspreiseffeke gefunden werden. In den zyklischen Bewegungen reagieren die Konsumenen auf einen seigenden DAX nich mi einer Expansion des Verbrauchs. Uner Umsänden können sark schwankende Akienmärke die Wirschafssubjeke verunsichern und das Konsumverhalen beeinrächigen: In Anberach der sarken Volailiä des Akienmarkes kein unerwarees Resula. Im Gegensaz dazu is der Einfluss des verfügbaren Einkommens auf die Konsumausgaben der privaen Haushale sowohl langfrisig (niedrigfrequen) als auch in den zyklischen (mielfrequen) Komponenen sark simulierend: Die ransiorische Komponene des Konsums häng signifikan posiiv von der ransiorischen Komponene des Einkommens ab. In Abbildung 2 war bereis die weigehend gleichläufige Enwicklung der saionären Komponenen beider Variablen zu erkennen. Z 35 In den Klammern sind die geschäzen Sandardfehler der Koeffizienen angegeben.

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