Mathematik II für Physiker und Elektrotechniker SS04 Aufgabenblatt 3

Transkript

1 Mthemtk II für Physker ud Elektrotehker SS04 Aufgbebltt 3 Vektorfelder Se G offe E Vektorfeld uf G st ee Abbldug : G st bestmmt durh see Kompoete =, wobe : G Dbe heßt stetg, dfferezerbr, et we de Kompoete etsprehede Egeshfte hbe Ist,, e e de koshe Bss des, so setzt m e ( : = e Dmt wrd e selbst zu eem (kostte Vektorfeld Ist f ee relle Fukto uf G ud e Vektorfeld, so ergbt sh türlher Wese e eues Vektorfeld f durh de Vorshrft ( f ( : = f ( ( Außerdem k m Vektorfelder,Y türlher Wese ddere mt der Vorshrft ( + Y ( : = ( + Y ( Shleßlh shrebe wr ds Vektorfeld uh ls = e = Operto vo Vektorfelder uf Fuktoe Vektorfelder operere ber uh türlher Wese uf Fuktoe M defert zu eer gegebee Fukto f ud eem Vektorfeld ee eue Fukto f durh ( f f f ( f ( : = Df ( ( ( = (,, ( ( ( = defert Dese = ( Rhtugsbletug vo f erhält m uh ls Grezwert des Dfferezequotete ( ( ( lm f + ε f, bzw ls Abletug ( f '(0, wobe ee Kurve durh st, de ε 0 ε : ε, ε G, ( t : = + t ( de Rhtug ud Geshwdgket ( bestzt, zb ] [ Dbe st offebr ( f + g = f + g, derersets ht m ufgrud der Produktregel der Dfferetlrehug de Formel ( fg = fg + gf Aufgbe : Auf G = { 0} betrhte m ds Vektorfeld M berehe f y = ud de Fukto f ( : =

2 -Forme Zu eem gegebee edlh-dmesole Vektorrum V bezehe wr mt V * de Vektorrum der lere Abblduge vo V de Grudkörper, userem jetzge Kotet lso Ist ee Bss vo V gegebe, so detfzere wr bektlh V * mt de Mtrze (,, Bezüglh der gegebee Bss werde Elemete vo V ls Spltevektore geshrebe, Elemete vo V* demh ls Zelevektore Alog zu Vektorfelder betrhte wr u -Forme ls Abblduge G ( ω : * So ee -Form läßt sh lso eersets shrebe ls Tupel ω = ( ω,, ω, wobe de ω weder Fuktoe G sd Bezehe wr derersets mt e = (0, 0,,0, 0 de koshe Bss vo ( *, so köe wr durh de Vorshrft e ( : = e de (kostte -Forme uffsse ud shrebe: ω ( ω,, ω ωe Zu jeder = = = e selbst ls f f f dfferezerbre Fukto f : G R gehört de -Form Df =,, = e Aus = hstorshe Grüde beutze wr m folgede de Shrebwese df sttt Df De Koordtefuktoe uf, lso de Fuktoe =, bezehet m f häufg selbst mt Dmt ergbt sh d = e, worus sh de Shrebwese df = d rehtfertgt Ee belebge -Form läßt sh lso shrebe ls ω ( ω,, ω ωd = = Ee -Form ω uf G heßt ekt, we es ee Fukto f uf G gbt mt ω = df Ee -Form ω uf G heßt geshlosse, we für lle <j de Itegrbltätsbedgug ω ω j = erfüllt st j Ist ω ekt, ω = df mt -ml stetg dfferezerbrem f, so st f geshlosse, de ω f f ω j = = = j j j -Forme lsse sh türlher Wese uf -dmesole Objekte tegrere: Ist :[, b] G ee stetg dfferezerbre Kurve ud ω ee stetge -Form uf G, b b : = ( t '( t dt = ( t ( t dt = so setze wr: ω ω ( ( ω ( ' Itegrle vo ekte Forme häge ur vo de Edpukte der Kurve b, ht vo hrem sostge Verluf; sbesodere vershwde de Itegrle vo ekte Forme über geshlossee Kurve, dh Kurve dere Afgs- ud Edpukt zusmmeflle = =

3 Aufgbe : Se f (, y : = y + y M berehe ω = df ud sod ω, wobe de geshlossee Kurve ds Dreek mt de Ekpukte (,, (,,(, durhläuft Dzu zerlege m de zugehörge dre Telstreke,, 3 ud berehe ω mttels ω = ω + ω + ω 3 (We m ee ekte Form über ee geshlossee Weg tegrert, muß Null heruskomme! b M zege, dß de uf G = { 0} geshlosse st y gegebee -Form ω = d + dy + y + y M, dß de b gegebee Form ht ekt st, dem m ds Itegrl ω über ee geshlossee Kurve berehet ud ee Wert ugleh Null herusbekommt Als pssede ost Kurve wähle m zb de Ehetskres, der m beste durh :[0, π ] G, ( t = s t prmetrsert wrd d Frewllge Zustzufgbe (vgl Vorlesugsufzehug: Ist ω = df G mt stetg dfferezerbrem f, :[, b] G stetg dfferezerbr, so st ω = ( ( f ( ( f b

4 Alog zu -Forme werde wr k-forme ls Felder defere, de sh türlher Wese uf k-dmesole Objekte tegrere lsse Mt desem Kozept lsse sh vele für Physk ud Elektrotehk whtge Itegrlsätze uf ee Neer brge ud zb uh de Mwell- ud Esteglehuge türlher Wese terpretere Zur Vorberetug beötge wr Hlfsmttel der multlere Algebr : -Produkt, äußere Algebr Ist V e edlh-dmesoler Vektorrum über eem Körper K, v, v V so möhte wr Produkte v vk blde, de eem eue Vektorrum Λ k V lege, wobe eersets ds Assoztvgesetz gelte soll, derersets soll deses Produkt tkommuttv se, dh u, v V : u v = v u, ud we be jedem Produkt soll ds Dstrbutvgesetz gelte: u ( λ v µ w λ ( u v µ ( u w + = + Wr stelle de Frge zurük, ob es so e äußeres Produkt ttsählh gbt, d es sh fst sho durh obge lgebrshe Forderuge edeutg ergbt Zusätzlh stelle wr oh de Forderug uf, dß be eer gegebee Bss e, e vo V de Produkte e e, < < k ee Bss vo k, k, Λ k V blde Offebr läßt sh für k> ke solhes Bsselemet mehr hshrebe, de Λ k V sd für k> lso der Nullrum bzw 0-dmesol, soste bestzt Λ k V de Azhl vo k Bsselemete ud st somt k -dmesol Es st Λ V = V, 0 Λ V st edmesol ud m setzt oh Λ V : = K ; letzterer Rum st dmt ebeflls edmesol Whtg st de Aussge, dß v, v V sd geu d ler bhägg sd, we v I v = 0, k k k berehet m: v vk = λ ( e ek v, vk k-volume des vo, ufgespte Prlleleppeds Ist A =, ud der Fktor λ erwest sh gerde ls ee Mtr mt Koeffzete K, sd de Spltevektore vo A ud e de koshe Bss vo = λ e e ud et de Fktor λ Determte vo A, det(a M k jetzt lso hd der Determte feststelle, ob de Spltevektore der Mtr ler ubhägg sd, ob lso de Mtr verterbr st K, so errehet m weder ( M k zb defere: k * * Λ V : = φ : V V K φ multler ud lterered ml, wobe lterered bedeutet, dß be Vertushug zweer Argumete sh ds Vorzehe ädert, ud multler, dß zb φ( λ v + µ w, v,, v = λφ ( v, v,, v + µφ( w, v,, v Auf deser Ebee läßt sh jetzt k k k V V V k l k l uh ds -Produkt Λ Λ Λ + defere Dese Kostruktoe zur Rehtfertgug der Estez des äußere Produkts sd ber ht erhelleder ls ds drekte Rehe mt de obe gegebee omtshe Egeshfte

5 Aufgbe 3 M stelle hd des äußere Produkts der Splte der Mtr ob dese verterbr st A = 3 fest, b Se u = 6 M kostruere wetere Ehets-Vektore v,w, so dß u,v,w ufeder sekreht stehe M rehe h, dß u v w = e e e3 st, dß lso ds vo u,v,w ufgespte Prllelepped ds Volume bestzt