Hauptprüfung Abiturprüfung Baden-Württemberg

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Marielies Berger
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1 Hauptprüfung Abiturprüfung 9 Baden-Württemberg Teil (ohne Hilfsmittel) Analysis, Stochastik, Vektorgeometrie, Matrizenrechnung berufliche Gymnasien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Aleander Schwarz Mai 9

2 Analysis. Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Schaubilds einer Funktion f... Begründen Sie anhand der Abbildung, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. () f () () f()d 6 () Für jede Stammfunktion F von f gilt: F(4) F(). (6 Punkte).. Ermitteln Sie einen Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion, die zu diesem Schaubild passt. ( Punkte). Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion g mit g() für.. Berechnen Sie den Wert des Integrals ( ) d..4 Im Folgenden ist e die Eulersche Zahl und h die Funktion mit Zeigen Sie mit Hilfe der Kettenregel: h() für >. h() e für >.

3 Stochastik Laut Statistik fahren 7% aller Besucher eines Freizeitparks mit der etrem schnellen Super-Achterbahn. Von den Fahrern sind % über 5 Jahre alt. Die Besucher, die nicht mit dieser Achterbahn fahren, sind zu 8% über 5 Jahre alt.. Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und tragen Sie die genannten Wahrscheinlichkeiten ein. ( Punkte). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher des Freizeitparks über 5 Jahre alt ist... Geben Sie im Sachzusammenhang eine Fragestellung an, die mithilfe des Terms,7,,7 beantwortet werden kann.

4 Lineare Algebra: Vektorgeometrie. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems: y 5 y z y z 5. Gegeben ist die Gerade g mit g: r, rr... Begründen Sie, dass g parallel zur Ebene ist. Geben Sie eine Gerade an, die parallel zur Geraden g ist und von dieser den Abstand 5 Längeneinheiten hat. ( Punkte).. Berechnen Sie den Abstand, den der Punkt P(//) zu g hat. ( Punkte) 4

5 Lineare Algebra: Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems: y 5 y z y z. Im Folgenden ist E die Einheitsmatri und A eine Matri mit AA E... Berechnen Sie die Werte für a und b, falls a A b. ( Punkte).. Lösen Sie die die folgende Matrizengleichung nach der -Matri X auf: (A X)A XA ( Punkte) 5

6 Analysis.. () f () Lösungen Das Schaubild hat im Punkt (/f()) eine positive Steigung und daher ist die erste Ableitung an der Stelle = positiv. Die Aussage ist wahr. () f()d 6 Die Fläche, die das Schaubild von f im Intervall [;] mit der -Achse einschließt ist kleiner als 6. Die Aussage ist falsch. () Für jede Stammfunktion F von f gilt: F(4) F(). Die Aussage ist falsch. Erste Begründungsmöglichkeit: Das Schaubild der Ableitungsfunktion f() verläuft im Intervall [;4] oberhalb der -Achse. Folglich ist die Funktion F() in diesem Intervall streng monoton wachsend. Also kann nicht F() = F(4) gelten. Zweite Begründungsmöglichkeit: Es gilt 4 f()d F(4) F() das Ergebnis des Integrals ist nicht null.. Wenn F(4) = F() gelten würde, wäre F(4) F() =, aber.. Ermitteln Sie einen Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion, die zu diesem Schaubild passt. Funktionsansatz: f() asin(b (c)) d yma ymin ( ) yma ymin ( ) Es gilt d und a Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass die Periode p = 8 beträgt. Also gilt: b. p 8 4 Da die Sinusfunktion nicht nach links/rechts verschoben wurde, gilt c = Die Funktion lautet f() sin( ) 4 6

7 . Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion g mit g() für. Umschreiben der Funktionsgleichung: Daraus folgt g() 6. Berechnen Sie den Wert des Integrals g() ( ) d. 4 ( ) d d ( ).4 Zeigen Sie mit Hilfe der Kettenregel: h() für >. h() Fasse die beiden Seiten der Gleichung e als Funktion auf, also h() f() e und g(). Aus f() g() folgt f () g() Es gilt h() f () e h() und g(). Also gilt h() e h(). h() e Da h() e h() gilt, folgt also h(). 7

8 Stochastik. Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und tragen Sie die genannten Wahrscheinlichkeiten ein.. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher des Freizeitparks über 5 Jahre alt ist. Die Wahrscheinlichkeit kann mit Hilfe der Pfadregeln berechnet werden: P(Besucher über 5 Jahre alt) = Geben Sie im Sachzusammenhang eine Fragestellung an, die mithilfe des Terms,7,,7 beantwortet werden kann. Der Term fahren.,7 ist die Wahrscheinlichkeit, dass von Besuchern alle Achterbahn Der Term,,7,7, oder,,7,,7 ist die Wahrscheinlichkeit, dass von Besuchern genau Besucher Achterbahn fahren. Insgesamt lautet die Fragestellung: Mit welcher Wahrscheinlichkeit fahren von Besuchern mindestens Besucher mit der Achterbahn? 8

9 Lineare Algebra: Vektorgeometrie. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems. y 5/ y z y z ( ) y 5/ y z z Aus der.zeile folgt: z 5 Aus der.zeile folgt: y y 5 5 Aus der.zeile folgt: 5 Lösungsmenge L {( )} bzw. Lösungsvektor 5.. Begründen Sie, dass g parallel zur Ebene ist. Die Gerade ist parallel zur Ebene, da die -Koordinate des Richtungsvektors den Wert besitzt. Geben Sie eine Gerade an, die parallel zur Geraden g ist und von dieser den Abstand 5 Längeneinheiten hat. Da die gesuchte Gerade parallel zu g ist, wird der Richtungsvektor von g beibehalten. Nun benötigt man noch einen Punkt der gesuchten Geraden. Da die Gerade g parallel zur Ebene ist, enthält die gesuchte Gerade den Punkt P(5 6 ). Die Koordinaten von P ergeben sich aus dem Ortsvektor von g, wobei die -Koordinate um 5 vergrößert wurde. 5 Geradengleichung der gesuchten Geraden: 6 r 9

10 .. Begründen Sie, dass g parallel zur Ebene ist. Die Gerade ist parallel zur -Ebene, da die Gerade keinen Spurpunkt mit der -Ebene besitzt. Rechnerische Kontrolle, dass der Spurpunkt S ( ) nicht auf g liegt: 5 r Aus der.zeile folgt ein Widerspruch =. Geben Sie eine Gerade an, die parallel zur Geraden g ist und von dieser den Abstand 5 Längeneinheiten hat... Berechnen Sie den Abstand, den der Punkt P(//) zu g hat. Ein laufender Punkt auf g hat die Koordinaten L(5r r) Bedingung: 5r OL r 4r 9r r r Koordinaten des Lotfußpunktes: L( -). Gesuchter Abstand: OL 94 4

11 Lineare Algebra: Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems. y 5/ y z y z ( ) y 5/ y z z Aus der.zeile folgt: z 5 Aus der.zeile folgt: y y 5 5 Aus der.zeile folgt: 5 Lösungsmenge L {( )} bzw. Lösungsvektor 5.. Berechnen Sie die Werte für a und b a a b b a b a ab b Daraus folgt a = und b =,5... Lösen Sie die die folgende Matrizengleichung nach der -Matri X auf: (A X)A XA Da gemäß Vorgabe AA E ist, ergibt sich die Gleichung: (EX)A XA EAXA XA A 4XA,5 E 4X X E 4,5 A von rechts

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