Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

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1 5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei Gesichtspunkte von Interesse: (A) Die entenbeträge werden auf ein Konto mit Zinseszins eingezahlt. (B) Die entenzahlungen erfolgen aus einem Kapital, das auf Zinseszins angelegt ist. Bemerkung zum Vergleich von (A) und (B): echnet man in beiden Fällen (A) und (B) mit dem gleichen Aufzinsfaktor q, und der gleichen ente, so müssen sich zu jedem Zeitpunkt n die Kontostände von (A) und (B) zum Kapital Kq n aufsummieren, wobei K das Anfangskapital in (B) ist. Vereinbarung: Es werden ausschließlich konstante enten und durchgehend zinseszinsliche Verzinsung betrachtet (d.h. wir können annehmen, dass entenperiode = Zinsperiode). 1

2 Konstante nachschüssige enten Der entenbetrag wird am Ende der entenperiode bezahlt. Bezeichnung:... konstanter entenbetrag 0... Barwert der nachschüssigen ente n... Laufzeit der ente (in Jahren) n... nachschüssiger entenendwert, d.h. Wert von n nachschüssigen enteneinzahlungen nach der n-ten entenperiode i... Zinssatz q q = 1 + i K... Kapital, aus dem die entenzahlung erfolgt K n... Kapital, das nach n Jahren noch vorhanden ist Satz: Werden die (jährlich) konstanten entenbeträge nachschüssig auf ein Konto mit (jährlichem) Zinssatz i eingezahlt, so ergibt sich folgender entenendwert nach n entenperioden: n = qn 1 q 1 (2.1) Erfolgt die entenzahlung dagegen aus einem Kapital K, so hat das Kapital nach n entenperioden noch einen Wert von Bemerkung: K n = Kq n qn 1 q 1 = Kq n n (2.2) Addiert man die Gleichungen (2.1.) und (2.2), so erhält man K n + n = Kq n 2

3 Zum Beweis: (A) 0 1 n 1 2 n 2 3 n 3 entenbeträge n 2 2 n 1 1 n 0 Zinstermine Laufzeit in Zinsperioden q n 1 q n 2 q n 3 q 2 q Wert der Zahlungen nach n Jahren Folglich gilt für den nachschüssigen entenendwert: n = q n 1 + q n 2 + q n q 2 + q + = n 1 k=0 q k = qn 1 q 1 (B) klar, vgl. Bemerkung. Im Fall (B) ergibt sich die Fragestellung: Wird das Kapital verbraucht? Wenn ja, wann? 3

4 1. Fall: Das Kapital wird nicht verbraucht = ewige ente (Bezeichnung: e ) Das ist der Fall für Ki, d.h. ausgezahlte ente Zinsen für das (Anfangs-)Kapital = K K 1 K 2 K 3 Eine maximale ewige ente emax erhält man für: K n = K für alle n N. = Es werden gerade nur die Zinsen ausgezahlt. 2. Fall: emax = Ki (2.3) Das Kapital wird im Laufe der Zeit verbraucht, d.h. der entenbetrag muss über dem Zinsertrag liegen. = > Ki ( K(1 + i)) Frage: Wann ist das Kapital verbraucht? = Gesucht n so, dass K n = 0 0 = Kq n qn 1 q 1 = Kqn n Kq n = qn 1 q 1 = n (2.4) umstellen der Gleichung nach n (später) 4

5 Zur Barwertberechnung im Falle (A): Aus der Definition des Barwertes folgt: 0 q n = n (2.5) Daraus ergibt sich mit Gleichung (2.1) der Barwert in Abhängigkeit vom entenbetrag, n und q: 0 = q n 1 q n (q 1) Gleichung (2.6) entspricht der Gleichung (2.4). (2.6) Es gilt also: K n = K q n qn 1 q 1 Kapital aufgebraucht: K n = 0, dann gilt: K q n = qn 1 q 1, und K = qn 1 q n (q 1) Endwert der ente, vgl. (2.1) Barwert der ente, vgl. (2.6) Folgerung: Der Wert einer Zusage, über n Jahre die ente zu zahlen, ist gleichwertig zur sofortigen Zahlung des Betrages K (= 0 ). Legt man diesen Betrag K zum Zinssatz i auf einem Konto an, so kann man von diesem Konto exakt die n enten der Höhe abheben. Danach ist das Konto leer. Wir werden daher nicht mehr zwischen K und 0 unterscheiden. 5

6 Beispiel: Wieviel muss man 30 Jahre lang jährlich nachschüssig einzahlen, damit man anschließend 20 Jahre lang eine jährlich nachschüssige ente in Höhe von e erhält? (Sowohl in der Ansparphase als auch in der Auszahlphase sei i = 6%.) Lösung: gegeben: n 1 = 30, n 2 = 20, A = , i = 6% gesucht: A A A A Den Kapitalwert bestimmen, aus dem die entenzahlungen über die 20 Jahre bezahlt werden können. Abzinsung mittels Formel (2.6): K 0... Kapital, das zu Beginn der 20 Auszahljahre vorliegen muss: 2. Dieser Wert K 0 muss Endwert der Einzahlungen sein. (2.1): 6

7 Die Auflösung nach n (A) Frage: Wie lange muss man jährlich nachschüssig einen Betrag einzahlen, um nach n Jahren über einen vorgegebenen Kapitalwert n verfügen zu können ( i sei bekannt)? ln q n }{{} = n ln q (2.1) n = qn 1 q 1 = qn 1 i n i = qn 1 q n = 1 + n i ( = ln 1 + n i ) (> 0) (q 1) ( 0) Es ist also n = ln ( 1 + n i ln (q) ) (2.7) (B) Frage: Wann erfolgt die letzte nachschüssige entenzahlung der Höhe aus einem Kapital 0, das mit dem Zinssatz i verzinst wird? Prüfen, ob > 0 i! (sonst Aufgabe sinnlos) n = ( ln 1 0 i ln (q) ) (2.8) 7

8 Die Auflösung nach q Die Frage nach dem in der entenformel verwendeten Zinssatz ist die Frage nach dem internen Zinssatz des entenstromes. (A) n (2.1) = qn 1 q 1 = n (q 1) = (q n 1) = q n n q + n = 0 (B) 0 (2.6) = qn 1 q n (q 1) = 0 q n (q 1) = q n = 0 q n+1 ( 0 + )q n + = 0 i.a. nicht nach q auflösbar, Berechnung iterativ Newton Verfahren 8

9 Bei m unterjährlichen Zahlungen: konformer Zinssatz: q m = m q, q m m = q i m = m q 1 entenendwert nach n Jahren: n = q m n m 1 q m 1 = qn 1 i m (2.9) entenendwert nach einem Jahr: 1 = qm m 1 q m 1 = q 1 q m 1 = i i m (2.10) = jährlich nachschüssige Ersatzrente 9

10 Konstante vorschüssige enten entenbetrag wird am Anfang der entenperiode gezahlt Vergleich von nachschüssigen und vorschüssigen enten: (A) n 1 n 0 nachschüssig Zinstermine = ententermine vorschüssig Daraus erkennt man, dass die Anzahl der entenzahlungen in beiden Modellen gleich groß ist. Bei der vorschüssigen enteneinzahlung erfolgen die enteneinzahlungen nur genau eine Zinsperiode früher, das heißt: jede Einzahlung wird genau eine Periode länger verzinst als bei der nachschüssigen enteneinzahlung. Vorgehen: Benutze die Formeln für nachschüssige enten und setze dort die konforme (gleichwertige) nachschüssige ente ein: nach. = vor. q mit dem q für eine entenperiode, bzw. bestimme die konforme nachschüssige ente und rechne dann um. 10