Steuern und Staatsverschuldung in OLG Modellen. Seminararbeit eingereicht bei. Herrn Prof. Dr. Wenzel

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1 Steuern und Staatsverschuldung in OLG Modellen Seminararbeit eingereicht bei Herrn Prof. Dr. Wenzel Michael Teig 28. Januar 2003

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in das OLG Modell Überblick Optimierungskalkül der Konsumenten Produktionstechnologie Gleichgewicht und Stabilitätsbedingungen Dynamische Effizienz Staatliche Aktivitäten im Generationenmodell 13 3 Optimale Steuerregeln im OLG Modell Einführung Darstellung der Modellerweiterungen First-Best Analyse Second-Best Analyse Staatsverschuldung Neutralität der Staatsschulden Ein kleines Modell der Schuldenneutralität Einperiodige Laufzeit Unendliche Lauf- und Lebenszeiten Verallgemeinerung und Schuldenneutralität im OLG Modell Altruistisches Verhalten: Barro s Modell Zusammenfassung 24

3 Kapitel 1 Einführung in das OLG Modell 1.1 Überblick Überlappende Generationenmodelle (Overlapping Generation Models oder auch kurz OLG Modelle) wurden durch Arbeiten von Maurice Allais (1947), Paul Samuelson (1958) und Peter Diamond (1965) in die wirtschaftswissenschaftliche Theorie eingeführt. Generationenmodelle stellen ein allgemeines dynamisches Gleichgewichtsmodell dar, mit dessen Hilfe man Problemstellungen der Finanzwissenschaft und der Makroökonomie analysieren kann. Zunächst sollen die Grundzüge des OLG Modells in diesem Kapitel dargestellt werden. Dazu wird zunächst das Wettbewerbsgleichgewicht analysiert und die Existenz und die Stabilität des dynamischen Systems nachgewiesen. Im letzten Abschnitt des Kapitel 1 wird schließlich die Frage der Effizienz des Wettbewerbsgleichgewichts betrachtet. Es sei angenommen, daß sowohl die Unternehmen als auch die Haushalte in einer geschlossenen Volkswirtschaft jeweils für zwei Perioden leben. Der Output der Volkswirtschaft kann in Form von Kapital akkumuliert werden und ermöglicht somit eine Form des Ressourcentransfers über die Zeit. 1.2 Optimierungskalkül der Konsumenten Ein Individuum das zum Zeitpunkt t geboren wird ist in Periode t jung, in Periode t + 1 alt und schließlich in Periode t + 2 tot. Dieses Muster setzt sich fort. In jeder Periode sind jeweils zwei Generationen am leben und man nimmt an es gebe keine Form von intergenerationaler Umverteilung. Dieses Schema wird Modell überlappender Generationen (OLG-Modell) genannt, da zu jedem Zeitpunkt genau 2 Generationen existieren (die Jungen und die 2

4 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 3 Generation Periode t 1 t t + 1 t + 2 t 1 c 1 t 1 c 2 t t c 1 t c 2 t+1 t + 1 c 1 t+1 c 2 t+2 t + 2 c 1 t+2 Tabelle 1.1: Konsumstruktur des zweiperiodigen Generationenmodells Alten). Die Konsumstruktur ist in Tabelle 1.1 übersichtshaft dargestellt. Ein junges Individuum bietet völlig unelastisch eine Einheit Arbeit an und erhält dafür den Lohn w t. Daraus finanziert er seinen Konsum c 1 t und spart s t in Periode t. In der Periode t + 1 finanziert er dann seinen Konsum c 2 t+1 ausschließlich mit den in Periode t gebildeten verzinsten Ersparnissen (1+r t+1 )s t. Für ein Individuum der Generation t sind die folgenden Budgetrestriktionen relevant: c 1 t = w t s t (1.1) c 2 t+1 = (1 + r t+1 )s t (1.2) Aus den Gleichungen (1.1) und (1.2) folgt die intertemporale Bugetrestriktion: c 1 t r t+1 c 2 t+1 = w t. (1.3) Ferner sei die folgende intertemporale Nutzenfunktion gegeben: u t = u(c 1 t, c2 t+1 ) (1.4) Die Nutzenfunktion (1.4) nimmt mit dem Vektor (c 1, c 2 ) zu, ist zweimal stetig differenzierbar und strikt quasi-konkav. Ferner wird ein Konsum von null in keiner der beiden Perioden gewählt. Ein Konsument der in Periode t geboren wurde maximiert folglich seinen Lebensnutzen (1.4) unter Beachtung der intertemporalen Budgetrestriktion (1.3) für gegebenes Lohneinkommen w t und gegebenen Zinssatz r t+1. In Abbildung (1.1) ist die Linie AB die intertemporale Budgetlinie. Der Tangentialpunkt E von Indifferenzkurve und intertemporaler Budgetlinie ist die optimale intertemporale Konsumentscheidung des Konsumenten. Löst

5 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 4 c 2 t+1 B PSfrag replacements E 0 A c 1 t Abbildung 1.1: Intertemporales Optimierungskalkül des Konsumenten man dieses Maximierungsproblem nach s t auf, so erhält man die optimale Sparfunktion des Konsumenten: s t = s(w t, r t+1 ) (1.5) Die Ableitung der Sparfunktion nach Ihren Argumenten ist für s/ w = s w > 0, da annahmegemäß der Konsum der zweiten Periode ein normales Gut ist. Für s/ r = s r ist das Vorzeichen unbestimmt, da Substitutionseffekt und Einkommenseffekt gegenläufig wirken. 1.3 Produktionstechnologie Die Produktionstechnik unserer Wirtschaft beschreiben wir mit einer neoklassischen Produktionsfunktion Y t = F (K t, N t ), (1.6) wobei Y t den Output, K t den Kapitalstock und N t das Arbeitsangebot darstellt. Die Produktionsfunktion hat die folgende Eigenschaften: 1. Ohne Faktoreinsatz ist keine Produktion möglich F (0, 0) = 0 2. Die Produktionsfunktion weist konstante Skalenerträge auf, d.h. eine a-fache Erhöhung beider Produktionsfaktoren erhöht auch die Produktion um das a-fache: ay t = F (ak t, an t )

6 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 5 3. Die Produktionsfunktion ist zweimal stetig differenzierbar 4. Die Grenzprodukte des Kapitals F K und der Arbeit F N sind jeweils positiv, sinken aber mit zunehmendem Kapital- bzw. Arbeitseinsatz, d.h. F KK < 0 und F NN < 0. Die Annahme konstanter Skalenerträge erlaubt es Gleichung (1.6) umzuformen zu: 1 y t = f(k t ), f > 0, f < 0 (1.7) wobei y t = Y t /N t und k t = K t /N t ist. y t ist folglich der Pro-Kopf Output und k t die Kapitalintensität jeweils in Periode t. Die Produktionsfunktion erfüllt ferner die Inada Bedingungen (Inada 1964): f(0) = 0 lim k 0 f (k) = lim k f (k) = 0. Diese Bedingungen bedeuten, daß das Grenzprodukt des Kapitals sehr groß (klein) wird, wenn der Kapitalstock entsprechend klein (groß) ist. Die Inada Bedingungen sind dabei strenger als notwendig, um die Existenz eines Wachstumsgleichgewichtes nachzuweisen (siehe dazu Burmeister und Dobell (1970)). Unter der Vorraussetzung der vollständigen Konkurrenz und neoklassischer Produktionstechnologie fragen Firmen Kapital und Arbeit solange nach, bis das Grenzprodukt des Kapitals gleich dem Zins und das Grenzprodukt der Arbeit gleich dem Lohnsatz ist: f (k t ) = r t (1.8) f(k t ) f (k t )k t = w t (1.9) 1 Für die Konstante a aus der zweiten Eigenschaft der Produktionsfunktion wird 1/N t eingesetzt. Damit ergibt sich aus (1.6) der Zusammenhang 1 N t Y t = F ( Kt N t, 1). Der Pro- Kopf Output sei y t = Yt N t und die Kapitalintensität ist k t = Kt N t. Somit gilt y t = F (k t, 1) und der Pro-Kopf Output ist nur noch eine Funktion der Kapitalintensität. Es folgt daraus unmittelbar Gleichung (1.7).

7 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 6 Aus der Annahme konstanter Skalenerträge und aus Gleichungen (1.8) und (1.9) folgt, daß keine Gewinne anfallen. Dies ergibt sich aus dem Euler- Theorem für homogene Produktionsfunktionen. Die Bevölkerung wächst mit der konstanten Rate n und somit gilt: N t = (1 + n)n t 1 (1.10) Ferner sei angenommen, daß keine Abschreibung auf den Kapitalstock erfolgt. 1.4 Gleichgewicht und Stabilitätsbedingungen Am Ende einer Periode besitzen die Jungen den gesamten Kapitalstock der Wirtschaft, den sie von den Alten im Tausch gegen Konsumgüter erworben haben. Daraus folgt, daß die Ersparnisse aller Jungen N t s(w t, r t+1 ) dem für die nächste Periode zur Verfügung stehenden Kapitalstock K t+1 entspricht: K t+1 = N t s(w t, r t+1 ). Nach Division durch N t+1 und unter Berücksichtigung von (1.10) erhält man: s t (w t, r t+1 ) = (1 + n)k t+1 (1.11) Setzt man nun die Gleichungen (1.8) und (1.9) in die Gleichgewichtsbedingung des Kapitalmarktes (1.11) ein, so erhält man eine Differenzengleichung der Form: s[f(k t ) f (k t )k t, f (k t+1 )] = (1 + n)k t+1 (1.12) In Gleichung (1.12) ist k t+1 implizit als Funktion von k t definiert und somit wird für einen gegebenen Wert von k der Zeitpfad der Kapitalakkumulation bestimmt. Wenn k t einen Wert annimmt, der Gleichung (1.12) erfüllt und k t = k t+1 gilt, so hat k seinen Gleichgewichtswert erreicht. Wir müssen folglich untersuchen, ob ein solcher Gleichgewichtswert für k existiert und ob ein Anpassungsprozeß hin zum Gleichgewicht einsetzt, wenn der Anfangswert von k von diesem Wert abweicht, also ob das Gleichgewicht stabil ist. Sowohl der Zinssatz r t als auch die Kapitalintensität k t ist jeweils eine Zustandsvariable, die das System komplett beschreibt. Ist beispielsweise die Kapitalintensität k t bekannt, so kann der gleichgewichtige Lohnsatz, Zinssatz und die Faktoreinkommen aus den Gleichungen (1.8) und (1.9) bestimmt werden. Ferner kann man den Konsumvektor aus den zwei Budgetbeschränkungen (1.1) und (1.2) mit Hilfe der Sparfunktion (1.5) berechnen. Ein Wettbewerbsgleichgewicht ist dadurch gekennzeichnet, daß gegeben eine Sequenz aus Konsum- und Sparentscheidungen (c 1 t, c 2 t+1, s t ) und einer Sequenz von Preisen (w t, r t+1 ) die folgenden Punkte gelten:

8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 7 k t+1 PSfrag replacements k 1 k t+1 = φ(k t ) k 2 45 k k 2 k 1 k 0 k t Abbildung 1.2: Existenz und Stabilität eines Gleichgewichts (c 1 t, c2 t+1, s t) löst das Maximierungsproblem eines jungen Individuum zum Zeitpunkt t für beliebige Zeitpunkte t, wenn (w t, r t+1 ) exogen gegeben ist; Die Unternehmen maximieren ihre Gewinne für exogen gegebene Preise (w t, r t+1 ); Für alle Zeitpunkte t gilt die Gleichung (1.12). Für die Analyse des dynamischen Gleichgewichts setzt man eine Sequenz (k) t=0 für exogen gegebenes k 0 in Gleichung (1.12) ein. Unter der Annahme, daß die Sparentscheidung eine nicht-abnehmende Funktion des Zinssatzes ist kann man Gleichung (1.12) umformen zu: k t+1 = φ(k t ) (1.13) Abbildung (1.2) zeigt einen möglichen Verlauf der φ-funktion. Es existiert ein stationäres Gleichgewichtsniveau für die Kapitalintensität k. Die Kapitalintensität k t+1 ist gleich k t für k t = 0, da f(0) = 0 gilt, k t+1 liegt über k t für kleine Werte von k t und nachdem die 45 -Linie durchschritten ist, liegt k t+1 immer unter dem Wert von k t. Am Schnittpunkt der k t+1 Funktion mit der 45 -Linie ist k t+1 gleich k t. Es gibt folglich nur ein einziges dynamisches Gleichgewichtsniveau der Kapitalintensität k (abgesehen von k = 0) das in Abbildung (1.2) als k bezeichnet wird. Es läßt sich nun leicht zeigen, daß k zugleich auch ein stabiles Gleichgewicht darstellt. Für jeden beliebigen Wert von k (außer für k = 0), stellt sich immer ein Anpassungsprozeß hin zum Gleichgewichtswert k ein. Geht man beispielsweise

9 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 8 k t+1 k t+1 = φ(k t ) PSfrag replacements 45 k 1 k 2 Abbildung 1.3: Mögliche Gleichgewichte für einen alternativen Pfad der Kapitalakkumulation k t von einem anfänglichen Wert von k 0 aus, so ist dieser größer als k. Immer wenn k t größer als k ist, ist auch der entsprechende Wert von k t+1 kleiner als k t. Folglich muß also k 1 kleiner als k 0 sein. Auf der anderen Seite muß, da k 0 größer als k ist und die Funktion k t+1 mit k t zunimmt auch k 1 größer als k sein. Damit liegt k 1 zwischen k und k 0. Der Wert der Kapitalintensität k bewegt sich also ein Stück auf den Wert k zu. Dieser Prozeß wiederholt sich in jeder Periode und somit bewegt sich k langsam auf den Steady-State Wert k zu bis dieser schließlich erreicht wird. Dieser dynamische Anpassungsprozeß ist in Abbildung (1.2) durch die eingezeichneten Pfeile verdeutlicht. Analog zu obiger Argumentation entwickelt sich ein ähnlicher Prozeß hin zum Steady-State für Werte von k 0, die kleiner als k sind. In Abbildung (1.3) hingegen ergeben sich aufgrund eines alternativen Pfades der Kapitalakkumulation drei stationäre Gleichgewichte: eines im Ursprung, eines bei k1 und eines bei k 2. Da k 1 instabil ist wird es auch als sogenannte Entwicklungsschwelle bezeichnet. Entweder schrumpft die Wirtschaft oder sie nährt sich dem Wachstumsgleichgewicht k2. Allgemein haben Galor und

10 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 9 Ryder (1989) folgende hinreichende Bedingungen gefunden, die für die Existenz, Einzigartigkeit und Stabilität eines Gleichgewichts erfüllt sein müssen: 1. k 0 > 0 2. lim k 0 f (k t)k ts w 1+n s rf (k t+1 ) > 1 3. lim k f (k) = 0 4. φ (k) 0 für alle k > 0 5. φ (k) 0 für alle k > 0 6. s r 0 für alle (w, r) 0 Bedingung 2 bedeutet, daß die Steigung der φ-funktion in der Nähe des Ursprungs größer als eins sein muß. 2 Die langfristige Kapitalintensität k L kann aus der folgenden Gleichung berechnet werden: s[f(k L ) f (k L )k L, f (k L )] = (1 + n)k L (1.14) Entsprechend ist der langfristige Zinssatz r L bestimmt durch r L = f (k L ). 1.5 Dynamische Effizienz Auch für dynamische Modelle eignet sich das Pareto Kriterium als Beurteilungskriterium für Effizienz. Dabei heißt eine Allokation genau dann dynamisch effizient bzw. intertemporal optimal, wenn es durch Umverteilung der Ressourcen nicht mehr möglich ist, den Nutzen eines Mitglieds einer Generation zu erhöhen, ohne gleichzeitig den Nutzen eines Mitglieds dieser oder einer anderen Generation zu vermindern. Zur Untersuchung der dynamischen Effizienz ist zunächst die sogenannte Modified Golden Rule der Kapitalakkumulation abzuleiten. Für die aggregierte Wirtschaft gilt, daß Konsum und Investition den in Periode t verfügbaren Ressourcen entsprechen. In Pro-Kopf Größen erhält man aus der Beziehung N t c 1 t + N t 1c 2 t + K t+1 = K t + Y t : c 1 t n c2 t + (1 + n)k t+1 = k t + f(k t ) (1.15) 2 Es ist zu beachten, daß gilt: dkt+1 dkt = φ (k t ) = f (k t)k ts w 1+n s rf (k t+1)

11 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 10 Dies stellt die Nebenbedingung für die Optimierung der intertemporalen sozialen Wohlfahrtsfunktion dar. Die intertemporale Wohlfahrtsfunktion ist die Summe der mit dem sozialen Zeitpräferenzfaktor β < 1 abdiskontierten Nutzen jeder einzelnen Generation. W = β t u t (1.16) t=0 Die zu lösende Langrangefuktion unseres Problems ist somit W = t=0 { [ β t u t + λ t+1 kt + f(k t ) c 1 t n c2 t (1 + n)k ] } t+1 (1.17) Der Langrange Multiplikator zum Zeitpunkt t ist somit β t λ t+1. Man erhält die folgenden Bedingungen erster Ordnung (FOCs): u 1t = λ t+1 (1.18) u 2t = βλ t n (1.19) (1 + n)λ t = β[f (k t ) + 1]λ t+1 (1.20) Die FOCs beschreiben ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung. Um das System somit auf seinen Sattelpfad zu bringen braucht man noch zusätzlich die folgende Transversalitätsbedingung: lim β t λ t+1 k t = 0 (1.21) t Aus den Gleichungen (1.18)-(1.21) kann man ableiten, daß sich die Wirtschaft auf ein Wachstumsgleichgewicht zubewegt. Im Steady-State sind c 1, c 2, s, r und auch k konstant. Mit der Definition der Zeitpräferenzrate ρ = 1 β erhält man aus Gleichung β (1.20) die optimale Kapitalintensität und den optimalen Zinssatz: r = f (k ) = (1 + n)(1 + ρ) 1 (1.22) Gleichung (1.22) wird auch Modified Golden Rule genannt. Der Begriff Golden Rule wurde von Phelps (1961) in die Literatur eingeführt. Die Golden Rule leitet sich aus der Maximierung des gesamten Pro-Kopf Konsums c = c 1 + c 2 /(1 + n) im Wachstumsgleichgewicht ab. In Abbildung (1.4) entspricht der Konsum c = f(k) nk der Differenz zwischen Output f(k) und dem nötigen Break-Even Investment nk. Der Konsum ist maximal an der Stelle k GR an der die Steigung f (k GR ) gleich n ist. Es gilt:

12 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 11 c, f(k) f(k) PSfrag replacements nk k GR Abbildung 1.4: Die optimale Kapitalintensität k GR gemäß der Golden Rule k f (k GR ) = r GR = n (1.23) Die Golden Rule betrachtet folglich nur diejenigen Generationen, die sich im Wachstumsgleichgewicht (Steady State) befinden. Die Modified Golden Rule hingegen maximiert die abdiskontierten Nutzen aller Generationen, also auch derer, die sich im Übergang hin zum Steady State befinden. Da der soziale Zeitpräferenzfaktor β kleiner als eins ist (und somit die Zeitpräferenzrate ρ positiv ist), ergibt sich durch die Modified Golden Rule nach Gleichung (1.22) ein höherer Zins r als der Zins r GR gemäß Gleichung (1.23). Somit ist folglich wegen abnehmender Grenzproduktivität des Kapitals die Kapitalintensität k kleiner als bei der normalen Golden Rule k GR. Dieses Ergebnis resultiert aus der Abdiskontierung mit β < 1, was wiederum die Ungeduld der Individuen ausdrückt: Konsum in der Gegenwart wird gegenüber der Akkumulation vorgezogen. Man kann nun die Ergebnisse der Golden Rule für die Beurteilung der Effizienz des durch Gleichung (1.14) definierten Wettbewerbsgleichgewichts heranziehen. Aus der Konkavität der Produktionsfunktion folgt: Ist k größer als k, dann ist r kleiner als n und vice versa. Ist die Kapitalintensität k L größer als k GR, so hat die Wirtschaft Kapital überakkumuliert. Es ist somit für Konsumenten in einer Generation möglich einen Teil des Kapitalstocks zu konsumierten und so den Kapitalstock auf sein optimales Niveau gemäß der Golden Rule von k GR zu bringen. Dies würde einerseits die Wohlfahrt dieser Konsumenten erhöhen, da sie ihren

13 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DAS OLG MODELL 12 Konsum ausweiten können. Andererseits würde eine solche Reduktion des Kapitalstocks auch die Wohlfahrt aller nachfolgenden Generationen erhöhen, da die Wirtschaft auf den Wachstumspfad gemäß der Golden Rule gelangt, der per Definition den Pro-Kopf Konsum maximiert. Wird folglich der Teil des Kapitalstocks der über dem Golden Rule Niveau liegt durch Konsum verbraucht, so gelangt die Wirtschaft zu einem pareto superiorem Zustand. Ein Wachstumsgleichgewicht mit k L > k GR und r L < r GR = n ist somit nicht pareto optimal und wird deshalb als dynamisch ineffizient bezeichnet. Wenn hingegen k L k GR ist läßt sich keine Paretoverbesserung erreichen. Würde der Kapitalstock auf das Niveau k GR ausgeweitet werden, so ginge das zu Lasten von Generationen im Übergang obgleich die Wohlfahrt der nachfolgenden Generationen erhöht würde. Eine Paretoverbesserung im Sinne obiger Definition ist somit nicht möglich und alle Zustände mit k L k GR heißen dynamisch effizient. Das Wettbewerbsgleichgewicht in OLG Modellen ist also nicht notwendigerweise paretooptimal. Ist also r L < r GR = n, so ist das Gleichgewicht nicht paretooptimal obwohl Wettbewerb auf allen Märkten existiert und keine Externalitäten vorliegen. Der Grund für die Ineffizienz liegt in der unendlichen Anzahl von Gütern und Individuen begründet. Ein wichtiges Ergebnis der Analyse von OLG Modellen ist die Feststellung, daß der zweite Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie nicht mehr allgemein gültig ist. Empirische Studien zu diesem Thema sehen die Wahrscheinlichkeit einer Überakkumulation mit Kapital, also dynamischer Ineffizienz, als gering an (vgl. Berechnung von Maußner und Klump (1996) S.138). Auch Abel, Mankiw, Summers und Zeckhauser (1989) kommen unter Einbeziehung von Unsicherheit und somit unterschiedlicher Zinssätze nach einer empirischen Untersuchung zu dem Ergebnis, daß dynamische Effizienz in den führenden OECD Ländern vorliegt.

14 Kapitel 2 Staatliche Aktivitäten im Generationenmodell Wir führen nun staatliche Aktivität in das OLG-Modell ein und untersuchen die Konsequenzen, die sich daraus ergeben. Die Rechtfertigung für staatliches Handeln soll in dieser Seminararbeit nicht behandelt werden. Vielmehr geht es um die Konsequenzen für die Wirtschaft insgesamt die sich aus den unterschiedlichen Finanzierungsformen ergeben. Der Staat erhebt normalerweise Steuern und zahlt Transfers. Neben Steuererhebung verschulden sich aber auch Regierungen, um Ihre Ausgaben zu finanzieren. Beide Arten zur Finanzierung der Staatsausgaben, Steuern und Staatsverschuldung, werden in vereinfachter Form in das OLG-Modell integriert. Im Kapitel 3 widmen wir uns zunächst der Ausgestaltung von Steuern im OLG Modell. Dies geschieht sowohl im Rahmen einer First-Best Analyse, als auch im Rahmen der stärker realitätsbezogenen Second-Best Analyse. Letztere untersucht, wie der Staat die notwendigerweise einzusetzenden verzerrenden Steuern optimal kombinieren sollte. Anschließend wird die Thematik der Staatsverschuldung im Kapitel 4 behandelt. In diesem Kapitel wird zunächst die zentrale Aussage des Ricardianischen Äquivalenztheorems wiederholt. Daran anschließend wird die Gültigkeit dieses Theorems im OLG Modell untersucht. Zuletzt werden die Präferenzen der Individuen so modifiziert, daß der Nutzen der Nachfahren auch für die jetzt lebende Generation von Relevanz ist. Kapitel 5 faßt schließlich die Ergebnisse zusammen. 13

15 Kapitel 3 Optimale Steuerregeln im OLG Modell 3.1 Einführung Im Rahmen der Optimalsteuertheorie besagt die Ramsey Regel folgendes: Die Steuersätze pro Mengeneinheit sollen so gewählt werden, daß eine Erhöhung aller Steuersätze um den gleichen Prozentsatz die Gleichgewichtsmengen der besteuerten Güter um einen einheitlichen Prozentsatz sinken läßt unter der Voraussetzung, daß das Individuum für den Nutzenverlust kompensiert wird. Dieses Kapitel versucht im Rahmen eines Second-Best Ansatzes eine optimale Kombination aus Konsumsteuern, Einkommenssteuern und Kapitaleinkommenssteuern in einem Overlapping Generationen Wachstumsmodell zu finden. Die Ramsey Regel ist ein Kriterium für statische Effizienz. Da es sich jedoch um ein Wachstumsmodell handelt wird darüberhinaus die Golden Rule bzw. Modified Golden Rule als Kriterium für dynamische Effizienz benötigt. Dieses Kapitel untersucht den Zusammenhang zwischen optimalen Steuern und dynamischer Effizienz. Für diese Analyse wird das grundlegende OLG Modell aus Kapitel 1 erweitert. Zum einen werden verzerrende Steuern in das Modell integriert, zum anderen wird das Arbeitsangebot endogenisiert, da ansonsten eine Lohnsteuer gleich einer Lump-Sum Steuer wirken würde. 3.2 Darstellung der Modellerweiterungen Ein Individuum der Generation t hat die folgende Nutzenfunktion: u t = u(c 1 t, c2 t+1, x t). (3.1) 14

16 KAPITEL 3. OPTIMALE STEUERREGELN IM OLG MODELL 15 Dabei ist c 1 der Konsum in der ersten Periode, c 2 der Konsum in der zweiten Periode und x = (H l) H = l entspricht der Nettofreizeit in der ersten Periode. H ist dabei die anfängliche Ausstattung mit Arbeit. Die Variable l t = l(w t, r t+1 ) entspricht dem Arbeitsangebot und somit ist (H l) die normale Freizeit. Damit ergeben sich die folgenden Budgetrestriktionen für die erste und die zweite Periode: (1 + τ t )c 1 t = (1 γ t)w t l t s t T 1 t (3.2) (1 + τ t+1 )c 2 t+1 = [1 + r t+1(1 θ t+1 )]s t T 2 t+1 (3.3) τ Konsumsteuersatz γ Einkommenssteuersatz θ Kapitaleinkommenssteuersatz Tt 1 Pauschsteuer in der ersten Periode Tt+1 2 Pauschsteuer in der zweiten Periode w realer Lohnsatz s reale Ersparnis r realer Zinssatz Man kann Gleichungen (3.2) und (3.3) wiederrum zusammenfassen zur intertemporalen Lebensbudgetrestriktion: q 1t c 1 t + q 2t+1 c 2 t+1 + q 3t x t + T t = 0 (3.4) wobei q t = (q 1t, q 2t+1, q 3t ) der Konsumentenpreisvektor für die Generation t ist. q 1t = 1 + τ t (3.5) q 2t+1 = 1 + τ t r t+1 (1 θ t+1 ) (3.6) q 3t = (1 γ t )w t (3.7) Der heutige Gegenwartswert aller zukünftigen für ein Individuum der Generation t erhobenen Pauschsteuern ist T t : T t = Tt 1 Tt r t+1 (1 θ t+1 ) (3.8) Mit dieser Notation kann man nun die einzelnen Varianten der Besteuerung isoliert und auch verschiedene Kombinationen verschiedener Besteuerungsformen in das Modell integrieren. Die komplette Ableitung der im folgenden betrachteten Ergebnisse würde sicher den Rahmen dieser Seminararbeit

17 KAPITEL 3. OPTIMALE STEUERREGELN IM OLG MODELL 16 sprengen. Ich beschränke mich daher auf eine skizzenhafte Darstellung der Ableitung und erläutere die Ergebnisse der First-Best und der Second-Best Analyse. 1 Für die Modellierung des Optimalsteuerproblems nutzt man die Dualitätstheorie aus. Die Funktion E(q t, u t ) gibt für die Preise q t = (q 1t, q 2t+1, q 3t ) die minimalen Ausgaben an, die nötig sind um ein bestimmtes Nutzenniveau u t zu erreichen. Daraus ergibt sich der Zusammenhang über Gleichung (3.4): E(q t, u t ) + T t = 0 (3.9) Die Gleichung (3.9) beschreibt das Nutzenniveau der Generation t als Funktion der Konsumentenpreise q t und der Pauschsteuern T t. Das Ausnutzen der Dualitätstheorie ermöglicht ein zweistufiges Lösungsverfahren bei der Optimierung: Zuerst wird das Optimierungsproblem für den Konsumentenpreisvektor q t gelöst. Danach werden die Steuersätze (τ, γ, θ) so gewählt, daß sie die Gleichungen (3.5) bis (3.7) erfüllen. Die tatsächlichen Steuersätze gehen also in das Optimierungsproblem nur indirekt über den Konsumentenpreisvektor ein. Der Staat versucht nun wieder wie im ersten Kapitel durch Gleichung (1.16) dargestellt die soziale Wohlfahrtsfunktion zu maximieren. Nebenbedingungen sind dabei die Gleichung (3.9) zusammen mit zwei weiteren hier nicht dargestellten Funktionen. 2 Man kann nun dieses Problem mit einer Lagrangefunktion lösen. Diese Lagrangefunktion maximiert wie gesagt wiederum die intertemporale Wohlfahrtsfunktion mit drei Nebenbedingungen. Für das weitere Vorgehen erfolgt nun eine Fallunterscheidung in First-Best und Second-Best Analyse. Für beide Ansätze wird die gleiche allgemeine Lagrangefunktion verwendet, jedoch werden bei der First-Best Analyse alle verzerrenden Steuersätze gleich null gesetzt (nur Lump-Sum Steuern werden erhoben). Bei der Second-Best Analyse hingegen werden die Lump-Sum Steuersätze auf Null gesetzt und es werden nur verzerrende Steuern erhoben. 3.3 First-Best Analyse Bei einer First-Best Analyse geht man von der Existenz von verzerrungsfreien Pauschsteuern aus, d.h. T 1 und T 2 sind verfügbar. Der Staat braucht in 1 Eine genaue Ableitung der Ergebnisse findet sich im Kapitel 3, Sektion 1 und 2 bei Ihori (1996) 2 Die eine Gleichung ist eine Funktion der Kapitalakkumulation für endogenes Arbeitsangebot. Die andere Gleichung ist eine Funktion die sicherstellt, daß alle verfügbaren Ressourcen voll ausgeschöpft werden. Diese Gleichung ist auch konsistent mit der Budgetrestriktion des Staates.

18 KAPITEL 3. OPTIMALE STEUERREGELN IM OLG MODELL 17 diesem Fall für seine Ausgaben keine verzerrenden Steuern zu erheben und somit ist in der allgemeinen Lagrangefunktion τ = γ = θ = 0. Die Lagrangefunktion wird anschließend partiell nach T t, Tt 1 und r t+1 differenziert. Die letzte partiellen Ableitung kann man mit der Homogenitätsbedingung 3 j=1 q je ij = 0 und τ = γ = θ = 0 reduzieren zu 3 : 1 + n = β(1 + r) (3.10) Diese Gleichung ist wieder die im Kapitel 1 abgeleitete Modified Golden Rule. Sind also die zwei Pauschsteuern T 1 und T 2 verfügbar, so ergibt sich als Optimalbedingung die Modified Golden Rule. Das optimale Setzen der Lump-Sum Steuerbeträge ist also vereinbar mit dynamischer Effizienz gemäß der Modified Golden Rule. 3.4 Second-Best Analyse Die Second-Best Analyse geht davon aus, daß Pauschsteuern nicht zu den Politikvariablen einer Regierung gehören und somit der Staat zur Finanzierung seiner Staatsausgaben notwendigerweise verzerrende Steuern erheben muß. Es werden also keine Pauschsteuern erhoben, d.h. in der allgemeinen Lagrangefunktion wird nun T 1 = T 2 = 0 gesetzt. Bei der Optimierung wird die Lagrangefunktion wieder nach den Konsumentenpreisen q j und dem Zinssatz r t+1 partiell abgeleitet. Daraus ergeben sich im Wachstumsgleichgewicht (Steady State) die folgenden zwei Gleichungen: 1 + n = β(1 + r) (3.11) t 1 E 1i + βt 2 E 2i + t 3 E 3i E i = λ 1 λ 2 (i = 1, 2, 3). (3.12) Die erste Gleichung ist wiederum die Modified Golden Rule. Die zweite Gleichung wird als Modified Ramsey Regel bezeichnet. Die Variable t i für i = 1, 2, 3 ist der Steuerkeil, also die Differenz zwischen Konsumentenpreis q i und Produzentenpreis. Das Optimierungsproblem wird wiederum zunächst für den Konsumentenpreisvektor q t = (q 1t, q 2t+1, q 3t ) gelöst und anschließend ergeben sich die optimalen Steuersätze aus den Gleichungen (3.5) bis (3.7). Kann der Staat nun die Steuersätze optimal setzen, so daß die Konsumentenpreise q 1, q 2 und q 3 optimal sind, so ist das Ergebnis: Ein optimales Ergebnis bezüglich der Steuersätze liefert die Modified Ramsey Regel und bezüglich der dynamischen Effizienz die Modified Golden Rule. 3 E i steht für die partielle Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis q i (i = 1, 2, 3)

19 KAPITEL 3. OPTIMALE STEUERREGELN IM OLG MODELL 18 Ist β = 1, so geht die Modified Ramsey Regel in die normale Ramsey Regel über. Für β = 1 kümmert sich der Staat nur um das Nutzenniveau im Steady State und somit ist die normale Ramsey Regel und die Golden Rule von Bedeutung. In diesem Fall impliziert die Ramsey Regel, daß Güter mit geringer Elastizität stärker besteuert werden sollten. Nimmt man nun an, daß die Kreuzpreiseffekte null sind, d.h. E ij = 0 für i j, so wird Gleichung (3.12) zu: e 1 σ 11 = βe 2 σ 22 = e 3 σ 33. (3.13) Dabei ist e i der effektive Steuersatz (t i /q i ) und σ ij ist die Kompensierte Nachfrageelastizität (q j E ij /E i ). Die optimalen effektiven Steuersätze e i hängen folglich von den jeweiligen Elastizitäten ab. Ist beispielsweise das Arbeitsangebot völlig unelastisch entlang der kompensierten Nachfragekurve, dann ist es optimal auf den Konsum der zweiten Periode keine Steuer zu erheben. Wenn jedoch andererseits die Nachfrage nach zukünftigen Konsum der zweiten Periode völlig unelastisch ist, so ist zukünftiges Einkommen die optimale Besteuerungsgrundlage.

20 Kapitel 4 Staatsverschuldung 4.1 Neutralität der Staatsschulden Neutralität von Schulden meint hier die auf Ricardo (1817) zurückzuführende Erkenntnis, daß die Finanzierung der Staatsausgaben durch Steuern oder durch Schuldenaufnahme jeweils zu dem gleichen Ergebnis bezüglich der Entwicklung der reale Größen der Wirtschaft führt. Natürlich gilt dieses Ergebnis nur unter den Annahmen, daß vollständige Kapitalmärkte existieren, es keine verzerrenden Steuern gibt und daß die zukünftigen Steuerentscheidungen des Staates schon heute bekannt sind. Wie unmittelbar ersichtlich ist reduziert eine Steuerzahlung das Vermögen der Konsumenten. Eine Finanzierung durch Neuverschuldung hingegen scheint auf den ersten Blick das Vermögen unverändert zu lassen, da das Geld bei interner Verschuldung einfach einer Portfolioumschichtung innerhalb der Volkswirtschaft entspricht. 1 Jedoch zieht eine heutige Schuldenaufnahme in Zukunft Steuererhebungen zur Deckung der Zinsausgaben und Tilgungszahlungen nach sich. Wird das von den Konsumenten vollständig antizipiert, so gilt: Der Barwert der zukünftigen Steuererhebungen verringert das heutige Vermögen um den gleichen Betrag wie eine Finanzierung durch Steuern. Dieser Sachverhalt wird als Ricardianisches Äquivalenztheorem oder auch als Neutralität von Schulden bezeichnet. Ich möchte zunächst ein kleines Modell und zwei Spezialfälle darstellen um den Wirkungsmechanismus des Ricardianischen Äquivalenztheorems zu verdeutlichen. 1 Eine wichtige Unterscheidung bei dieser Analyse ist die zwischen externer und interner Verschuldung. Bei externer Verschuldung leiht sich der Staat Gelder von Agenten außerhalb der heimischen Volkswirtschaft. Dieses Kapital steht nicht im Wettbewerb als Anlageinstrument mit Sachkapital im Inland. Die Zinszahlungen und Tilgung der Schulden führen schließlich zu einem Ressourcenabfluß aus der heimischen Volkswirtschaft. In dieser Seminararbeit beschränke ich mich jedoch auf interne Verschuldung, d.h. Individuen der heimischen Volkswirtschaft halten die gesamten Schulden des Staates. 19

21 KAPITEL 4. STAATSVERSCHULDUNG Ein kleines Modell der Schuldenneutralität Barro (1974) nimmt an, daß der Staat eine jeweils gleiche Anzahl an Bonds an jedes der identischen Individuum als ein einmaliges Geschenk gibt. Schuldenneutralität liegt in diesem Fall vor, wenn die Individuen nach diesem Geschenk keinen Vermögenszuwachs wahrnehmen. Zur Bedienung der Schuldzinsen und für die Rückzahlung müssen Steuern erhoben werden. Wenn diese zukünftigen Steuern mit in Betracht gezogen werden, so ergibt sich für den Barwert des Vermögens: V 1 = V 0 + B Ω. (4.1) Dabei ist V 0 das Vermögen der Konsumenten vor Erhalt der Bonds, V 1 ist das Vermögen der Konsumenten nach Erhalt der Bonds, B ist der Wert der erhaltenen Bonds und Ω ist die auf die Gegenwart abdiskontierte Steuererhöhung zur Rückzahlung der Bonds Einperiodige Laufzeit Man nimmt an, daß die Bonds in der nächsten Periode inklusive der anfallenden Zinsen zurückgezahlt wird und die Individuen in beiden Perioden am Leben sind. In der nächsten Periode muß folglich B(1 + r) durch den Staat zurückgezahlt werden und dazu erhebt dieser Steuern. Diskontiert man diese zukünftige Steuererhebung in die Gegenwart, so gilt: Ω = (1 + r)b (1 + r) = B. (4.2) Wenn man (4.2) in (4.1) einsetzt, so wird klar, daß sich das Nettovermögen nicht ändert Unendliche Lauf- und Lebenszeiten Der zweite Spezialfall unterstellt Individuen und Bonds mit unendlicher Laufzeit. Man kann also annehmen, daß für die Bonds jedes Jahr nur Zinsen gezahlt werden. Die abdiskontierten zukünftigen Steuererhebungen Ω müssen in diesem Fall dem Barwert der Zinszahlungen rbe rt dt entsprechen damit wiederum gemäß Gleichung (4.1) das Vermögen der Individuen unverändert bleibt. Es muß gelten: Ω = 0 rbe rt dt. (4.3) 0

22 KAPITEL 4. STAATSVERSCHULDUNG 21 Auf der linken Seite dieser Gleichung nimmt man an, daß die zusätzlich benötige Steuererhöhung pro Periode rb ist. Dann gilt: Ω = rb (1 + r) + rb (1 + r) + + rb 2 (1 + r) = rb r Auf der rechten Seite von Gleichung (4.3) gilt, daß 0 = B. (4.4) rbe rt dt gleich B ist 2. Damit sieht man, daß Gleichung (4.3) erfüllt ist und folglich wieder Neutralität der Finanzierungsart vorliegt. 4.2 Verallgemeinerung und Schuldenneutralität im OLG Modell Man kann nun allgemein festhalten, daß immer dann Schuldenneutralität vorliegt, wenn diejenigen Individuen die die Bonds erhalten auch diejenigen sind, die später die höheren Steuern für die Finanzierung der Bonds tragen müssen. Da sich die lebenden Personen in jeder Periode verändern ist dies in OLG Modellen nicht mehr notwendigerweise gegeben, d.h. das Ricardianische Äquivalenztheorem ist nicht mehr gültig. Ein Beispiel zeigt die Tabelle 4.1. Es wird ein Bond mit einer Laufzeit von einer Periode an die Generation t gegeben. Für die Rückzahlung des Bonds wird bei der Generation t + 1 eine Steuer erhoben. Wenn die Individuen der unterschiedlichen Generationen nicht durch irgendeinen Weg miteinander verbunden sind, so würden die Bonds das Vermögen der Generation t erhöhen, das der Generation t + 1 vermindern und somit auch das Gleichgewicht verändern. Im nächsten Abschnitt wird ein Modell mit altruistischen Präferenzen vorgestellt, das die einzelnen Generationen miteinander verknüpft. Man kann zeigen, daß mit solchen Präferenzen das Ricardianische Äquivalenztheorem auch in OLG Modellen wieder allgemein gültig ist. 4.3 Altruistisches Verhalten: Barro s Modell Damit die Neutralität der Schulden in OLG Modellen allgemein gilt müssen die Generationen untereinander verbunden sein. Barro (1974) untersuchte 2 Hinweis: Gemäß Beispiel 8 auf Seite 464 in Chiang (1984) gilt: unseren Fall gilt somit: rbe rt dt = r Be rt dt = r B r = B De rt dt = D r. Für

23 KAPITEL 4. STAATSVERSCHULDUNG 22 Periode t t + 1 t + 1 Junge Generation (erhalten Bond) Alte Generation Junge Generation (zahlen Steuer) Alte Generation Tabelle 4.1: Vermögensveränderungen durch einen einperiodigen Bond im OLG Modell deshalb die Auswirkungen von Verschuldung in einem OLG Modell mit altruistischen Päferenzen, d.h. der Lebensnutzen der Eltern hängt auch von dem Nutzen ihrer Nachfahren ab. Ein repräsentatives Individuum der Generation t hat die folgenden zwei Budgetrestriktionen: c 1 t = w t s t b t T 1 t + e t 1 + n (4.5) c 2 t+1 = (1 + r t+1)(s t + b t ) T 2 t+1 e t+1. (4.6) Dabei ist e t /(1 + n) die Erbschaft die man in der ersten Lebenshälfte erhält und e t+1 ist der Nachlaß den man im Alter seinen Nachfahren hinterläßt. Die Variabel b t mißt die Verschuldung des Staates bei den Individuen. Für ein Individuum mit altruistischen Präferenzen zählt neben dem eigenem Nutzen u t aus Konsum u(c 1 t, c2 t+1 ) auch noch der Nutzen des Nachfahren U t+1: U t = u t + σ A U t+1. (4.7) Der Grenznutzen eines Individuums in Bezug auf den Nutzen des Nachfahren ist σ A. Somit maximiert ein Individuum der Generation t die folgende Funktion: W t = [ u w(r t ) s t b t Tt 1 + e t 1 + n, (1 + r t+1)(s t + b t ) [ w(r t+1 ) s t+1 b t+1 T 1 + e ] t n, (1 + r t+2)(s t+1 + b t+1 ) Tt+2 2 e t+2 T 2 t+1 e t+1 ] + σ A {u + σ A U t+2 }. t+1 (4.8)

24 KAPITEL 4. STAATSVERSCHULDUNG 23 Die Bedingungen erster Ordnung in Bezug auf die Ersparnis s t und die Höhe des Nachlaßes in der zweiten Periode e t+1 sind: u c 1 t u σ A c 1 t+1 = (1 + r t+1 ) u c 2 t+1 = (1 + n) u c 2 t+1 (4.9) (4.10) Wie man erkennt sind diese beide Bedingungen erster Ordnung unabhängig von der Verschuldung des Staates b t. Somit ist die Verschuldungspolitik intergenerational völlig neutral. Das Ricardianische Äquivalenztheorem gilt also bei altruistischen Präferenzen allgemein auch in OLG Modellen. Die ökonomische Interpretation dieses Ergebnisses: Sind die einzelnen Generationen durch altruistisches Verhalten gegenüber den Nachkommen miteinander verknüpft, so kann man von der Fiktion eines einzelnen Individuums mit unendlicher Lebensdauer ausgehen und somit gilt das Ricardianische Äquivalenztheorem wieder.

25 Kapitel 5 Zusammenfassung In dieser Seminararbeit wurden zunächst recht ausführlich die Charakteristika von OLG Modellen abgeleitet. Die Gleichgewichts- und Stabilitätsbedingungen wurden dabei sowohl für gegebene Zeitpfade der Kapitalakkumulation als auch allgemein nach Galor und Ryder (1989) dargestellt. Auch die Thematik der dynamischen Effizienz einer Volkswirtschaft wurde ausführlich behandelt. In diesem Zusammenhang wurde die Golden Rule und die Modified Golden Rule abgeleitet. Aufbauend auf die bewußt ausführliche Darstellung der grundlegenden Eigenschaften des OLG Models sind weitergehende Analysen möglich. Schließlich wurden ausgewählte Problemfelder der Finanzwissenschaft im OLG Modellrahmen untersucht. Es wurde zum einen der Zusammenhang zwischen Optimalsteuerregeln und dynamischer Effizienz untersucht. Die optimalen Steuersätze sind dabei sowohl im Rahmen einer First-Best Analyse als auch im Rahmen einer Second- Best Analyse mit der Modified Golden Rule vereinbar. In diesem Zusammenhang haben wir auch die sogenannte Modified Ramsey Regel kennengelernt. Im Anschluß daran wurde noch der Wirkungsmechanismus des Ricardianischen Äquivalenzkriteriums untersucht und es wurde intuitiv dargestellt, daß eine allgemeine Gültigkeit dieses Theorems in OlG Modellen nicht mehr gegeben ist. Barro (1974) hat aufgezeigt, wie man im Rahmen altruistischer Präferenzen die einzelnen Generationen quasi als ein Individuum mit unendlicher Lebenszeit betrachten kann und somit die Gültigkeit der Ricardianischen Äquivalenz auch in OLG Modellen wieder allgemein gegeben ist. Eine Reihe weiterer interessanter Analysen, wie beispielsweise die Erweiterung des Modells um den Sektor Ausland im Zwei-Länder Modell, die internationale Besteuerung oder das Thema Steuerreform konnten aufgrund des begrenzten Umfangs dieser Arbeit nicht behandelt werden. Es steht jedem Leser frei die Erkenntnisse dieser Arbeit auszubauen und die angesprochenen Erweiterungen selbst vorzunehmen. 24

26 Literaturverzeichnis Abel, Andrew B.; Mankiw, N. Gregory; Summers, Lawrence H.; Zeckhauser, Richard J. (1989), Assessing Dynamic Efficiency: Theory and Evidence, in: Review of Economic Studies, 56 (Januar), S Allais, Maurice (1947), Economie et Interet, Imprimerie Nationale, Paris Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xavier (1995), Economic Growth, McGraw- Hill, New York Barro, Robert J. (1974), Are government bonds net wealth?, in: Journal of Political Economy, 82, S Blanchard, Oliver J.; Fischer, Stanley (1989), Lectures on Macroeconomics, The MIT Press, Cambridge Burmeister, Edwin; Dobell, Rodney A. (1970), Mathematical Theories of Economic Growth, MacMillan, London Chiang, Alpha C. (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3. Auflage, McGraw-Hill, New York Diamond, Peter (1965), National Debt in a Neoclassical Growth Model, in: American Economic Review, Vol. 55, S Galor, Oded; Ryder, Harl (1989), Existence, Uniqueness, and Stability of Equilibria in an Overlapping-Generations Model woth Productive Capital, in: Journal of Economic Theory, 49, S Ihori, Toshihiro (1996), Public Finance in an Overlapping Generations Economy, Macmillan Press, New York Inada, Kenichi (1964), Some Structural Characteristics of Turnpike Theorems, in: Review of Economic Studies, Vol. 31, S Jha, Raghbendra (1998), Modern Public Economics, Routledge, London und New York Maußner, Alfred; Klump, Rainer (1996), Wachstumstheorie, Springer, Berlin u.a. Myles, Gareth D. (1995), Public Economics, Part IV, Cambridge University Press, Cambridge Phelps, Edmund S. (1961), Efficiency prices for infinite horizon production programmes, in: Review of Economic Studies, 34, S Ricardo, D. (1817), The principles of political economy and taxation, M. Dent and Sons, London Romer, David (1996), Advanced Macroeconomics, McGraw-Hill, New York u.a. Samuelson, Paul A. (1958), An Exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money, in: Journal of Political Economy, Vol. 66, S