14. Folgen und Reihen, Grenzwerte

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1 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=, 3, b( )+) b() Doe 4. Gleder eer vorher deferte Folge bereche E Gled Mehrere Gleder 4.3 Ee Folge defere ud ege Gleder bereche 4.4 Ege oder uedlch vele Gleder eer Folge zusammezähle: a 4.5 Ege oder uedlch vele Gleder eer Folge multplzere: a Bedgug So wrd b berechet, we de Bedgug erfüllt. So wrd b berechet, we de Bedgug cht erfüllt. Bereche das 7. Gled der Folge (a ) Õ : a(7) 5 Bereche de Gleder mt de Nummer 3 bs 6 der Folge (a ) Õ :. Weg: a() ={3, 4, 5, 6} {7 9 3}. Weg: seq(a(),, 3, 6) {7 9 3} Be rekursver Defto führt der erste Weg oft zu eem Memory-Error. Bereche vo der Folge (a ) Õ mt a =+ de Gleder mt de Nummer 3 bs 7 seq(*+,, 3, 7) { } Zähle alle Gleder der Folge (a ) Õ mt a =+ zusamme, dere Ide zwsche ud legt: Σ(a(),,,) + Das Zeche Σ wrd auf dem Voyage erzeugt mt >, auf dem TI-89 Ttaum mt 4. Addere alle Gleder der Folge (c ) Õ mt c = : Σ(/(^),,, ) Das Zeche befdet sch bem Voyage oberhalb der Taste J, bem TI-89 Ttaum oberhalb der Taste ½. Multplzere alle Gleder der Folge (a ) Õ mt a =*+, dere Ide zwsche 3 ud 8 legt: Π(a(),, 3, 8) 9795 Das Zeche Π wrd erzeugt mt 5. Multplzere alle Gleder der Folge (c ) Õ mt c = : Π(/^,,, ) 54 Pythagoras Lehrmttel, 999-6

2 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4.6 De Wertetabelle für ee oder mehrere Folge aufstelle Vorberetug Folge() defere -Werte agebe, de der Tabelle erschee solle Tabelle bereche Erzeuge ee Wertetabelle für de Folge (u ) Õ mt u = ud de rekursv deferte Folge, falls = (v ) Õ mt v = v + sost. Weg (auch für mehrere Folge geeget):. Schrtt: De Recher auf Folge vorberete 3 Graph... SEQUENCE (muss cht jedes Mal egestellt werde). Schrtt: De Folge defere ud auswähle # Evetuell vorhadee alte Folge köe gelöscht werde mt ƒ 8 Eplzt deferte Folge egebe: u()=^/ u chts egebe Rekursv deferte Folge egebe: u()=u( )+ u Folge, vor dere Glechug e steht, werde berechet. Das ka ud gesetzt bzw. gelöscht werde. 3. Schrtt: De gewüschte -Werte agebe & tblstart: D Δtbl: (Dese Agabe müsse cht jedes Mal egegebe werde.) 4. Schrtt: De Tabelle ausgebe ' Rückkehr zum Home- Scree Vorberetug köe wetere Werte agezegt werde. Mt köe de -Werte geädert werde, we bem 3. Schrtt beschrebe. Voyage : " TI-89 Ttaum: ". Weg: Bereche ege Gleder der Folge a = :. Schrtt: Recher auf Fuktoe (!) vorberete 3 Graph... FUNCTION (muss cht jedes Mal egestellt werde) Pythagoras Lehrmttel,

3 4. Folge ud Rehe, Grezwerte -Werte agebe, de der Tabelle erschee solle Tabelle bereche. Schrtt: Gewüschte -Werte agebe & tblstart: D Δtbl: (Dese Agabe sd cht jedes Mal ötg.) 3. Schrtt: Tabelle ausgebe table ^/-, Rückkehr zum Home- Scree Gezelt ege Gleder bereche 4.7 Ee Folge graphsch darstelle Vorberetug Folge() defere köe wetere Werte agezegt werde. Mt köe de -Werte geädert werde, we bem. Schrtt beschrebe. Voyage : " TI-89 Ttaum: " Der Befehl table ^/, fuktoert cht, we der Graphk-Modus auf sequece egestellt st (. Schrtt). 3. Weg (etwas uüberschtlch, aber schell): Bereche ege Gleder der Folge a = : ^/ ={,,, 3, 5} { / } Erzeuge de Graphe für de eplzt deferte Folge u = ud de rekursv deferte Folge, falls = v = v + sost. Schrtt: Recher auf Folge vorberete 3 Graph... SEQUENCE (muss cht jedes Mal egestellt werde). Schrtt: Folge defere ud auswähle # Evetuell vorhadee alte Folge köe gelöscht werde mt ƒ 8 Eplzt deferte Folge egebe: u()=^/ u chts egebe Rekursv deferte Folge egebe: u()=u( )+ u Folge, vor dee e steht, werde berechet. Das ka ud gesetzt bzw. gelöscht werde. 56 Pythagoras Lehrmttel, 999-6

4 4. Folge ud Rehe, Grezwerte Graph(e) zeche 3. Schrtt: Graphe darstelle % Äderug des dargestellte Ausschttes Rückkehr zum Home- Scree Stelle ee adere Ausschtt des Graphe dar:. Weg: : Schräke de dargestellte Ausschtt mt de ud auf ee rechteckge Berech e. : Stelle ee 4-mal kleere Ausschtt dar. 3: Stelle ee 4-mal grössere Ausschtt dar. 5: Ehet auf der -Achse st glech lag we Ehet auf der u-achse. 6: Stelle de Stadardausschtt dar: -Werte:..., vo = a wrd für jedes Folgegled e Pukt gezechet. -Werte:..., Markerug = Ehet y-werte (u-werte):..., Markerug = Ehet A: Bestmmt de y-berech so, dass der Graph für de gewählte -Berech vollstädg agezegt wrd.. Weg: $ Der Ausschtt ka auch drekt egegebe werde. Es bedeute: m: klester Wert vo (erstes Gled der ma: Folge) grösster Wert vo (letztes Gled der Folge) plotstrt: klestes, für das u gezechet werde soll plotstep: Für jedes wevelte soll u gezechet werde? m: ma: scl: ym: yma: yscl: klester -Wert des Ausschttes grösster -Wert des Ausschttes Abstad zwsche zwe Markeruge auf der -Achse klester y-wert des Ausschttes grösster y-wert des Ausschttes Abstad zwsche zwe Markeruge auf der y-achse Voyage : " TI-89 Ttaum: " Pythagoras Lehrmttel,

5 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4.8 De Beschräkthet eer Folge utersuche Gege obe Gege ute 4.9 De Grezwert eer Folge bereche Ist de Folge (a ) Õ mt a = 4 gege obe beschräkt? Welches st allefalls ee obere Schrake? 4 * a() Doe fma(a(), ) >= = a() as() De Folge st gege obe beschräkt, ud st ee obere Schrake. Ist de Folge (a ) Õ mt a = 4 gege ute beschräkt? Welches st allefalls ee utere Schrake? 4 * a() Doe fm(a(), ) >= = a() as() De Folge st cht gege ute beschräkt. 3 lm + =? 4 lmt(+(3/4)^,, ) De Resultate des Tascherechers sd mt Vorscht zu geesse; Schwergkete ud Probleme, Nr. 5 ud 6. udef hat be Grezwerte zwe verschedee Bedeutuge: Der Lmes estert cht, oder der Tascherecher fdet de Lmes cht. Schwergkete ud Probleme. Verefache: Lösug:, k+ ( ), k ( ) k ( ), + k k k + k, l, π/4, π / Σ(/k, k,, ) k ( ) Σ(( )^(k+)/k, k,, ) cos k π k ( ) Σ(( )^k/(*k+), k,, ) cos k π k + cos( k π) Σ(( )^(k+)/k^, k,, ) k Kee deser Rehe wrd erkat.. a :=, ak+ a k =? Lösug: + + k + Σ(/,, +, *) a() Doe k + k + 58 Pythagoras Lehrmttel, 999-6

6 4. Folge ud Rehe, Grezwerte a(k+) a(k) Der Term wrd cht ausgewertet. (k+ ) k+ k k+ 3. Bereche = v für v < ud <v< Lösug: v, v Σ(v^,,, ) v> ad v< ( v ) = Σ(v^,,, ) v> ad v< v Be der erste Aufgabe erhält ma e weg hlfreches Resultat. 4. Verefache: Lösug: k c c für c c c k c + c c Werte das Resultat der zwete Aufgabe c aus für =. Σ(c^k, k,, ) c/= c +c 99 +c 98 +c 97 +c 96 +c 95 +c c + Σ(c^k, k,, ) c c as() = c +c 99 +c 98 +c 97 +c 96 +c 95 +c Note: Doma of result may be larger Wa wrd de Summe zusammegefasst? 5. Verefache: Lösug: a) lm, falls <m m b) lm, falls >m m c) lm, falls = + ½ d) lm, falls < + a) lmt(^ / ^m,, ) <m udef b) lmt(^ / ^m,, ) >m udef c) lmt(/(^(*)+),, ) = udef d) lmt(/(^(*)+),, ) < Error: No-real result Abhlfe: Ma ka versuche, ud m zu bezeche: c) ) = ½ Be de adere dre Bespele klappt deser Trck frelch cht. Pythagoras Lehrmttel,

7 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 6. t lm +.4 t lm + lm +.5 t t Lösuge: e e.5t.53 t e.4t.48 t t lmt((+(t/)/)^,, ) e lmt((+(.5*t)/)^,, ) Deses Resultat st falsch. lmt((+(.4*t)/)^,, ) (.48) t Wa gelgt de Lösug, wa cht? 6 Pythagoras Lehrmttel, 999-6

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