Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

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1 Grundlagen der lektrotechnik (GT ) Vorlesung am Fr. 08:30-0:00 Uhr; R. 603 (Hörsaal) Dr.-ng. René Marklein -Mail: marklein@uni-kassel.de kassel.de Tel.: ; Fax: URL: technik.uni-kassel.de kassel.de URL: Universität t Kassel (UNK) FB 6 lektrotechnik / nformatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der lektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische lektrotechnik (FG TT) Büro: Wilhelmshöher her llee 7, Raum 3 / 5 D-34 Kassel Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

2 4. Methoden zur Berechnung von Widerstände. Weg llgemein gilt natürlich weiterhin ds U i L R id l Wenn in kleinen lementen über die Länge die Feldstärke, über die Querschnittsfläche l der Strom als konstant angenähert werden können: mit - bstand von Potentialflächen mit - Querschnittsfläche eines Stromfadens senkrecht zur Strömungsrichtung, Φ Bild. Stationäres elektrisches Strömungsfeld in eingeschnürter Kupferschiene Nähert sich bei inhomogener Strömung bei hinreichend kleiner Unterteilung der Widerstand eines solchen lementes dem eines durch und beschriebenen Volumens an -> Netzwerk aus parallel und in Reihe geschalteten Widerständen: l R R l G G l (4.7) oder (4.8) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

3 4. Methoden zur Berechnung von Widerstände. Weg Bei einfachen Geometrien bildet sich ein Strömungsfeld aus, dessen Äquipotenzialflächen und Stromfäden auf einfach beschreibbare Widerstandselemente führen, so dass sich statt eines Netzwerkes einfache Reihen- oder Parallelschaltungen ergeben, siehe Beispiele 4. und 4.: Beispiel 4. Koaxialkabel ρ 3 Koaxialkabel mit Radien ρ, ρ und Länge l Dielektrikum besitzt die Leitfähigkeit +λ ρ, ρ Widerstand R in radiale Richtung! Reihenschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung! R R n R N us Feldberechnung: C elektrostatisches Feld elektrisches, stationäres Strömungsfeld R λ Bild 3.5a. Koaxialkabel über elektrostatisches Feld wurde Kapazität der nordnung berechnet, parallel dazu liegender Leitwert über Strömungsfeld. Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

4 Beispiel 4. Koaxialkabel Lösung: Reihenschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung! R R n R N ρ 3, ρ Hier gilt für den differentiellen Widerstand d R d ρ mit der Mantelfläche folgt π ρ l d ρ d R π ρ l dρ +λ λ Bild 3.5a. Koaxialkabel ρ n bschnitt.4, Gl. (.) galt R l und damit für den differentiellen Widerstand d R dl Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

5 Beispiel 4. Koaxialkabel Lösung: Koaxialer Zylindermantel mit Radius ρ und Wandstärke d ρ hat den differenziellen Widerstand d R d ρ π ρ l ρ 3, Strom fließt durch Reihenschaltung unendlich vieler Mantelelemente, R n für n! (Daher bietet sich Widerstand als Berechnungsgrundlage an! dρ +λ ρ ρ Für den Widerstand R ρ R ρ ρ dr ( ρ ) λ Bild 3.5a. Koaxialkabel geht obige Summe in ntegral über: R ρ ρ d ρ ln π l ρ ρ ρ π l ρ R ρ ln π l ρ Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

6 Beispiel 4.: Stromdurchflossener Bügel Gegeben: Stromdurchflossener Bügel mit den Daten elektrische Leitfähigkeit nnenradius ußenradius Breite b ρ ρ ρ ρ ρ dρ d bdρ b Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel B (vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 05, 005]) Lösung: Strömungslinien werden als Halbkreise angenommen, dann gilt für ein koaxiales Halbzylinderelement mit Radius Parallelschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung! G l l π ρ halber Umfang d b d ρ rechteckiger Querschnitt G n G G N G Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

7 Beispiel 4.: Stromdurchflossener Bügel Lösung: Parallelschaltung aller lemente führt auf ntegral der Leitwerte: d d b d ρ b d ρ dg l π ρ π ρ b dg d ρ π ρ l Parallelschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung! G n G G N G G ρ ρ ρ b π b dg ρ ρ ρ ( ρ ) ln π ρ d ρ ρ ρ ρ dρ d bdρ ρ ρ b Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel B (vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 05, 005]) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

8 4. Methoden zur Berechnung von Widerstände. Weg bleitung des elektrischen Widerstands R aus analoger Kapazitätsberechnung tsberechnung C (zulässig, da Feldgleichungen für bzw. D gleich sind): D d d Q i ε i C U b b id s id s a a b b d s d s U i i a a R id id a und b Punkte auf dem nnen- und ußenleiter die Fläche, durch die der gesamte elektrische Fluss bzw. die elektrische Strömung fließt Quellen der Felder sind die el. Ladung Q bzw. der el. Strom! Multiplikation beider Gleichungen ergibt: R C b b ε id id s ε id id s a a ε b b d d d s i d s i i i a a G C ε oder (4.9) Widerstandsberechnung über Kapazitätsberechnung R ε oder G C C ε Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

9 4. Methoden zur Berechnung von Widerstände 3. Weg nderer Rechenweg: Strom vorgeben us Strömungsfeld Potenziale Φ, Φ + an ndpunkten, d.h. den lektroden, berechnen R Φ+ Φ (4.0) Siehe nächste Folie: Lösungsmethodik Widerstandsberechnung Widerstandsberechnung Weitere Beispiele hierzu siehe nächsten bschnitt 4.3! Kugelerder Halbkugelerder Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

10 Lösungsmethodik Widerstandsberechnung Widerstandsberechnung Teststrom ( ) ( ) U ( ) B R B i d L B i ds i ds U B U B ( ) R Beispiel: Widerstand eines Koaxialkabels (Koaxialleiter) ( ρ ) Teststrom π l ρ ( ρ ) ρ ρ U B ln π l ρ π l R ρ ln ρ π l i d L s s U B i d i d U B ( ) B R Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

11 4.3 nwendung auf rdungsprobleme: Kugelförmiger rder r Strom: ( ) i d 0 Metallkugel r r 0 Hüllkugel rdboden Bild 4.5. Kugelförmiger rder; Strom trifft auf Metallkugel mit Radius r und unendlicher Leitfähigkeit; rzeugung eines radialsymmetrischen Strömungsfeldes (vgl. Bild 4.5. in Clausert & Wiesemann [005, S. 06]) r ( ) id ( r) id ( r) id ( r) d r 4 π r aus Radialsymmetrie des Strömungsfeldes (4.) 4π r ( r) 4 π r 0 ( r) 4 π r ( r) ( r) 4 π r Φ ( r) idr L L Feldlinie ( r) dr ( ) (rdoberfläche hinreichend weit weg, homogener Boden) Strom tritt in die Kugel ein, daher negativ: Φ ( r) konst. 4 π r + (4.) idr L Feldlinie 0 0 ir dr, da L Feldlinie 0 0 r dr Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

12 4.3 nwendung auf rdungsprobleme: Halbkugelerder Strom: Metallkugel r r 0 Hüllkugel rdboden wie nordnung links, isolierende bene durch Mittelpunkt der Kugel Strom: Metallhalbkugel r 0 Strom: rdboden r P rdboden Hüllkugel: Bild 4.5. Kugelerder (vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [005, S. 06]) Bild 4.6. Halbkugelerder (vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [005, S. 07]) Halbkugel, d. h. der Strom führt zur doppelten Stromdichte (r), da sich der Strom anstatt auf einer Kugel auf einer Halbkugel verteilt ( r) 4 π r Φ ( r) + C 4 π r (4.) ( r) π r Φ ( r) + C π r (4.3) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

13 4.3 nwendung auf rdungsprobleme: Berührungsspannung, Schrittspannung, rdungswiderstand, rdübergangswiderstand Berührungsspannung für Person am Ort r, die Zuleitung mit Potential wie bei r 0, berührt: Strom: U B Potenzialverlauf entlang der rdoberfläche U B Φ ( r0 ) Φ ( r ) π r0 r (4.4) Metallhalbkugel Strom: rdboden Φ ( r ) U S Schrittspannung zwischen Radien r, r3 U S Φ ( r ) Φ ( r3 ) π r r3 (4.5) r 0 r r r 3 r rdungswiderstand, rdübergangswiderstand rdboden Hüllkugel: ist Widerstand zwischen der rderelektrode und dem unendlich ausgedehnten rdreich: R ( r ) Φ ( ) U Φ π r 0 0 (4.6) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

14 Beispiel 4.3: Schrittspannung Bei einem Blitzschlag fließt ein Strom von 000 in einen Freileitungsmast, wie groß ist die Schrittspannung in einer ntfernung von 0 m und 0 m bei einer Schrittlänge von 80 cm? Leitfähigkeit des rdbodens 0 S/m Lösung: r3 r U S Φ ( r ) Φ ( r3 ) π r r π r r r π r 3 3 Für r 0 m: U S r 000 m 0,8 m 7 V π π ( ) r 0 S 0 m gefährlich, da über 60 V! Für r 0 m: U S r 000 m 0,8 m 3 V ( ) π r π 0 S 0 m Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

15 4.4 Bedingungen an Grenzflächen Bedingungen für f und t n ni Normaleinheitsvektor : n, n n Material () Material () n n n h 0 ni n n n n t Bild Zur Herleitung der Stetigkeit der Normalkomponente von D (vgl. Bild in Clausert & Wiesemann [005]) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

16 4.4 Bedingungen an Grenzflächen Bedingungen für f und id 0 i d s 0 L liefert für einen flachen Zylinder mit n n h 0 dito (4.7) t t (4.8) (wie beim elektrostatischen Feld) Zusammenhang, : ; n n n n ; t t t t n n t t n n n n t t t t Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

17 4.4 Bedingungen an Grenzflächen Bedingungen für f und Normaleinheitsvektor : n, n n Material () Material () Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher elektrischer Leitfähigkeit n n t t (stetig) (unstetig) n n t t (unstetig) (stetig) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

18 4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz Brechungsgesetz des elektrischen Strömungsfeldes tanα tanα (4.9) Zum Beispiel am Übergang von einem guten auf einen schlechten Leiter 00 t n α α in Grad 0 45 α in Grad 0 0,6 Material () α Material () Material () > α n ,0,6 3, 6,5 Material () 00 α t Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlecht eingezeichnet werden!) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

19 4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz 00 guter elektrischer Leiter idealer elektrischer Leiter (L) Material () α Material () α 0 n n t 0 Material () 00 α Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlecht eingezeichnet werden!) Material () 0 α 90 Tangentialkomponente ist Null, damit ist das -Feld in Material () Null. Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (L) Oberfläche des ideal elektrisch Leiters Äquipotenzialfläche Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

20 4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Randbedingungen Material () idealer elektrischer Leiter (L) α 0 n n t 0 Material () 0 lektrostatik Randbedingungen: n 0 t 0 ni D Beispiel: Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel. Die Ob D n 0 0 Material () α 90 0 Tangentialkomponente ist Null, damit ist das -Feld in Material () Null. Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (L) Oberfläche des ideal elektrisch Leiters Äquipotenzialfläche Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

21 4.4 Bedingungen an Grenzflächen Reale solatoren Zur nwendung der Theorien der lektrostatik und des stationären elektrischen Strömungsfeldes bei realen solatoren: lektrostatik (ε 0; 0): dealer solator in lektrostatik mit Leitfähigkeit null: 0 Kein Leitungsstrom! Stationäres elektrisches Strömungsfeld ( 0; ε 0 oder ε 0 ): n realen solatoren im stationären Fall (Frequenz f gleich null: f 0) Stromverteilung (Feldverteilung) entsprechend Strömungsfeld mungsfeld Leitungsstrom Schnell veränderliches elektromagnetisches Feld ( 0; ε 0): Bei höheren heren Frequenzen entsprechend dielektrischen igenschaften wie lektrostatik. Feldverdrängung im Leiter Skin-ffekt : elektromagnetische nergie steckt im elektromagnetischen Feld, also überwiegend im so genannten Verschiebungsstrom und nicht im Leitungsstrom. Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

22 4.4 Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung n n 0 n n 0 D D 0 n n ε ε Umgestellt D ε D 0 n n ε D D ε D D n n n n ε und mit der Materialgleichung ε Dn D n D n σ ε σ D D σ n n und mit der Materialgleichung mit σ ε D n D n 0 sondern, springt um eine elektrische Flächenladung! D n ε Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V mit D n erweitert! D ε gilt nicht mehr! s σ : elektrische Flächenladung [ σ ] m

23 4.4 Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung: Ladung in der Grenzfläche Oder, wenn man mit D n erweitert: ε ε D D D D D n n n n n ε ε D D σ n n mit ε σ D n ε m allgemeinen gilt D D σ n n lektrische Flächenladung: [ ] [ Q] Q s σ, σ [ ] m σ : elektrische Flächenladung lektrische Ladung in der Grenzfläche Q σ Für den Fall ε ε ε 0 ε ε ε σ 0 keine elektrische Flächenladung Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

24 3.9. Bedingungen an Grenzflächen Normaleinheitsvektor : n, n n Material () ε, Material () ε, Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher Permittivit ittivität t und elektrischer Leitfähigkeit n n t t (stetig) (unstetig) n n t t (unstetig) (stetig) D D σ n n D ε D t t ε (unstetig) (unstetig) mit σ ε ε D ε D ε n n Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

25 4. Grundgesetze und ihre ntsprechungen im elektrostatischen Feld lektrostatik L Did Q ids 0 Ψ D ε e Did U ids L D D σ n n Stationäres elektrisches Strömungsfeld L id 0 ids 0 id U ids L lektrische Stromdichte: lektrische Leitfähigkeit: Ψ Q e U 0 Q C U Ψ e 0 U 0 Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V G U. Kirchhoffsches Gesetz. Kirchhoffsches Gesetz Ohmsches Gesetz Leitwert: G R

26 Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum Gegeben: Zwischen zwei vollkommen leitenden, konzentrischen Kugelschalen befinden sich zwei Medien () und () gemäß Bild 4.8. Über isolierte Drähte sind die beiden Kugelschalen an eine Spannungsquelle U angeschlossen. Gesucht:. Der elektrische Strom. Die elektrische Flächenladung σ zwischen den beiden Materialien, also an der Stelle r r!, ε () (), ε r U r 0 r Bild 4.8. Kugelkondensator mit geschichtetem, verlustbehaftetem Dielektrikum (vgl. Bild 4.8. in Clausert & Wiesemann [005, S. 0]) Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

27 Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum Lösung: Bestimmung des elektrischen Stromes über die elektrische Spannung U und den elektrischen Widerstand R berechnen! Spannung setzt sich aus den Spannungsabfällen an beiden Materialien zusammen: U Φ ( r ) Φ ( r ) + Φ ( r ) Φ ( r ) U 0 0 U 0 U, ε lektrisches Potenzial in Material () und (): Φ ( r) + C r r < r 0 4 π r () (), ε r 0 r r U Φ ( r) + C r < r r 4 π r U + 4π r0 r r r Spezialfall über Gebiet Spezialfall über Gebiet 4 π U + r0 r r r Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V

28 Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum Lösung: Flächenladung σ über Grenzflächenbedingung (Übergangsbedingung) für D r r D ( r ) D ( r ) σ n n ε ( r ) ε ( r ) σ n n lektrische Feldstärke in Material () und (): ( r) r r < r 0 4 π r () () r 0 σ, ε, ε r r U ( r) r r < r 4 π r Charakter des Strömungsfeldes überwiegt (siehe Gl. (4.))! Deswegen keine psilon-nteile! σ ε ( r ) ε ( r ) n n ε ε 4 π r 4 π r ε ε σ 4π r σ 0? Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V ε ε ε ε ε ε σ 0

29 nde der Vorlesung Dr.-ng. René Marklein - GT - WS 06/07 - V