Elektrodynamik. Prof. Dr. Roland Zimmermann stud. phys. Martin Mücke

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1 Theoretische Physik II für das Lehramt Elektrodynamik Prof. Dr. Roland Zimmermann stud. phys. Martin Mücke Institut für Physik der Humboldt-Universität zu Berlin Lehrstuhl Halbleitertheorie Version

2 Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik Ladungen, Felder, Coulombgesetz Elektrisches Potenzial, Poisson-Gleichung Kondensator, Multipolentwicklung Randwertprobleme in der Elektrostatik Elektrostatik im Dielektrikum Magnetostatik Elektrische Ströme Amperesches Gesetz, Magnetfeld, Vektorpotenzial Magnetisches Moment, Magnetostatik im Medium Elektrodynamik Induktionsgesetz, Maxwell-Gleichungen Quasistationärer Fall Elektromagnetische Wellen Reflexion und Brechung Dipolstrahlung

3 1 Elektrostatik Die Elektrodynamik beschäftigt sich mit Ladungen und Strömen und den damit verbundenen elektrischen und magnetischen Feldern. In der Elektrostatik werden die Gesetze für ruhende (bzw. nur langsam bewegte) Ladungen untersucht. 1.1 Ladungen, Felder, Coulombgesetz Aus der klassischen Mechanik sind die Grundgrößen Masse, Länge und Zeit bekannt. In der Elektrodynamik tritt eine weitere Größe auf, die Ladung. Sie ist eine skalare Eigenschaft der Materie. Es existieren zwei verschiedene Arten von Ladungen, die man durch Reiben verschiedener Materialien trennen kann: positive Ladung: q > 0 (Glasstab) negative Ladung: q < 0 (Hartgummistab) Geladene Körper (Ladungen) üben eine Kraft aufeinander aus: Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab, während sich positive und negative Ladungen anziehen. Für Ladungen gilt folgender Erhaltungssatz: In einem abgeschlossenem System ist die Summe der positiven und negativen Ladungen konstant. N q j = const. j=1 Experimentell wurde nachgewiesen, dass die Ladung quantisiert ist, d.h. jede Ladung lässt sich als ganzzahliges Vielfaches einer kleinsten, nicht weiter teilbaren Elementarladung e schreiben. Teilchen Masse [kg] Ladung Elektron e Proton e Neutron Photon 0 0 Die Kraftwirkung zwischen zwei Ladungen q 1 und q 2 im Abstand r 1 r 2 = r 12 wird durch das Coulombgesetz beschrieben: F 12 = e 12 k q 1q 2 r 2 12 = F 21. (1.1) Die Coulomb-Kraft ist direkt proportional zum Produkt der Ladungen (inklusive Vorzeichen!), ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der Ladungen, wirkt längs der Verbindungslinie und erfüllt actio = reactio. 1

4 k ist ein Proportionalitätsfaktor, der vom verwendeten Einheitensystem und der damit verbundenen Definition der Ladungseinheit abhängt. Im SI-System wird als Grundgröße die elektrische Stromstärke mit der Einheit Ampere (A) verwendet. Daraus werden die Einheiten für die Ladung (Coulomb, C) und elektrische Spannung (Volt, V) abgeleitet: 1 C = 1As, 1 V = 1 J/C = 1 Nm/C. Weitere abgeleitete Einheiten betreffen die Kapazität (Farad, F) und den magnetischen Fluss (Tesla, T): 1 F = 1C/V, 1 T = 1 Vs/m 2. Für den Proportionalitätsfaktor im Coulombgesetz ergibt sich k = 10 7 c 2 Vs Vm = Am As = 1. (1.2) 4πɛ o ɛ o = As/Vm ist die Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Die Einheit für k lässt sich umschreiben als 1 Vm/As= 1 Nm 2 /C 2 und ergibt die korrekte Einheit für die Kraft (Newton, N) im Coulombgesetz (1.1). Die Elementarladung hat den Wert e = C. Bei Anwesenheit weiterer Ladungen q j gilt das Superpositionsprinzip für die Kräfte, und wir erhalten für die auf die Ladung q 1 ausgeübte Kraft F 1 = kq 1 N q j j=2 r 1 r j r 1 r j 3. (1.3) Die elektrischen Feldstärke wird als Kraft F(r) auf eine kleine Testladung q am Ort r eingeführt, die von einer Ladungskonfiguration hervorgerufen wird: F(r) E(r) = lim. (1.4) q 0 q Mit dem Coulombgesetz (1.3) folgt für das elektrische Feld mehrerer Punktladungen E(r) = k r r j q j r r j j 3. (1.5) Die Punktladungen kann man zu einer Ladungsdichte ρ(r) (mit der Einheit C/m 3 ) zusammenfassen, ρ(r) = j q j δ(r r j ), womit der Übergang zu einer quasi-kontinuierlichen Ladungsverteilung möglich ist: E(r) = k d 3 r ρ(r ) r r r r 3 (1.6) Das elektrische Feld ist ein Beispiel für ein Vektorfeld, das man durch Anheften eines Pfeiles an jeden Raumpunkt veranschaulichen kann. Die Verbindung solcher Pfeile bildet eine Feldlinie, sie gibt den Weg einer kleinen Probeladung im Feld an. 2

5 Das Gaußsche Gesetz: Der Fluss des Feldes durch eine geschlossene Fläche S ist der eingeschlossenen Ladung proportional, d.h. Φ = df E(r) = 1 d 3 r ρ(r). (1.7) ɛ o S(V ) Zum Beweis betrachten wir zuerst eine einzelne Punktladung im Zentrum einer Kugel mit dem Radius R. Feld und orientiertes Flächenelement sind gegeben durch E(r) = e r k q r 2, df = e rr 2 dω, (1.8) wobei das Raumwinkel-Element in Kugelkoordinaten dω = sin ϑ dϑ dφ ist. Im Integral kompensieren sich gerade die r-potenzen, und wir erhalten Φ = dω k q R 2 R2 = 4π kq = q. (1.9) ɛ o Die Erweiterung auf eine beliebige, die Punktladung umschließende Oberfläche nutzt die Beziehungen df E = dfe cos Θ, df = 1 cos Θ dn, wobei Θ der Winkel zwischen Flächennormale und Feldrichtung e r und dn das senkrecht projizierte Flächenelement ist. Widerum kompensieren sich die Radien und die cos Θ-Faktoren, so dass (1.9) unverändert gilt. Der Gaußsche Satz folgt durch Erweiterung auf ein Ladungssystem bzw. den Grenzübergang zur kontinuierlichen Ladungsverteilung. Aus der Ableitung ist klar, dass nur Ladungen innerhalb des Volumens V zum Fluss beitragen können. Als Anwendung betrachten wir das Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung: Aufgrund der sphärischen Symmetrie ρ(r) ρ(r) ist zu erwarten, dass auch das elektrische Feld nur vom Betrag r abhängt und radial gerichtet ist: E(r) = e r E(r). Mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes (1.7) berechnen wir den Fluss durch die Oberfläche einer Kugel vom Radius r 1 Φ r = df E(r) = d 3 r ρ(r 1 ) = Q(r). ɛ o ɛ o S r V r Q(r) ist dabei die bis zum Radius r eingeschlossene Ladung. Mit dem Flächenelement df = e r r 2 dω erhalten wir Φ r = dω r 2 E(r) = 4πr 2 E(r) S r V und schließlich E(r) = 1 4πɛ o Q(r) r 2. 3

6 Die kugelsymmetrische Ladungsverteilung erzeugt im Punkt r ein elektrisches Feld, als ob die bis r integrierte Ladung Q(r) im Kugelmittelpunkt konzentriert wäre. Explizit mit Q(r) = 4π r 0 dr r 2 ρ(r ) erhalten wir E(r) = 1 ɛ o r 2 r 0 dr r 2 ρ(r ). Die Ladungsdichte lässt sich mit Hil- Beispiel: Homogen geladene Kugel: fe der Stufenfunktion Θ(x) darstellen: ρ(r) = ρ 0 Θ(R r). Zwei Fälle müssen unterschieden werden: (a) r > R : R 0 dr r 2 ρ 0 = ρ 0 R 3 3 = E(r) = 1 r 2 ρ 0 R 3 3ɛ o 1 4πɛ o Q r 2. Die Gesamtladung Q ist das Produkt aus Ladungsdichte und Kugelvolumen, Q = ρ 0 (4π/3) R 3. (b) r < R : r 0 dr r 2 ρ 0 = ρ 0 r 3 3 = E(r) = r ρ 0 3ɛ o. Man erkennt, dass die elektrische Feldstärke E(r) stetig ist, allerdings an der Stelle r = R einen Knick besitzt. Beispiel: Kugelschale: Die Dicke der Kugelschale betrage, der Innenradius sei R und der Außenradius damit R +. Für den Fall r < R folgt nach Anwendung des Gaußschen Gesetzes unmittelbar E(r) 0. Die Aussage, dass das Innere einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung feldfrei ist, gilt ganz allgemein! Für r > R + erhält man mit E(r) = 1 Q 4πɛ o r 2 Q = 4π 3 ((R + )3 R 3 )ρ 0. Lässt man nun die Kugelschale sehr dünn werden ( R), so kann man den Ausdruck (R + ) 3 entwickeln und nach dem linearen Term abbrechen: (R + ) 3 R 3 + 3R 2 + O( 2 ). 4

7 1.0 E(r) r/r Abbildung 1: Betrag des elektrischen Feldes für eine homogen geladene Kugel vom Radius R (gestrichelt) und eine Kugelschale der Dicke ( /R = 0.2, ausgezogen). Die radiale Ladungsverteilung ist grau markiert. Damit vereinfacht sich obiger Ausdruck zu Q = 4πR 2 ρ 0 = S R σ. Hier ist S R = 4πR 2 die Oberfläche der Kugel und σ = ρ 0 die Flächenladungsdichte der Kugelschale (mit der Einheit C/m 2 ). Es ist zu erkennen, dass die elektrische Feldstärke E(r) = Θ(r R) 1 r 2 S R σ 4πɛ o an der Stelle r = R einen Sprung macht, sich also unstetig verhält. Allgemein kann man zeigen, dass die Normalkomponente des elektrischen Feldes E(r) beim Durchgang durch geladene Flächen unstetig ist, während die tangentiale Komponente stetig bleibt: E 2 E 1 n = σ ɛ o, E 2 E 1 t = 0. (1.10) Der Gaußsche Integralsatze sei hier ohne Beweis angegeben: Wenn E(r) ein hinreichend oft differenzierbares Vektorfeld und V ein Volumen mit geschlossener Oberfläche S(V ) ist, dann gilt df E(r) = d 3 r div E(r). (1.11) S(V ) Mit dessen Hilfe kann das Gaußsche Gesetz (1.7) differentiell geschrieben werden: V div E(r) = 1 ɛ o ρ(r) (1.12) 5

8 Daraus ergibt sich die physikalischen Aussage, dass Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind. Diese Gleichung stellt die differentielle Form von (1.6) dar. 1.2 Elektrisches Potenzial, Poisson-Gleichung Im elektrischen Feld E(r) wird am Ort r auf eine (Probe-)Ladung q die Kraft F(r) = q E(r) ausgeübt. Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um die Ladung von r 1 nach r 2 zu verschieben, beträgt W 21 = q E(r) ds = q ϕ 21. (1.13) C 21 Die auf die Probeladung bezogenen Arbeit wird als elektrisches Potenzial ϕ bezeichnet (mit der Dimension J/C = Nm/C = V, also Volt). Wir zeigen, dass das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt, also unabhängig von der Wahl des Weges C 21 ist. Dazu beginnen wir mit einer Punktladung q am Ursprung: Das Skalarprodukt aus dem elektrischen Feld E(r) = k q e r r 2 und dem Wegelement ds vereinfacht sich zu (siehe Skizze). Das Wegintegral ϕ 21 = r 2 r 1 E(r) ds = E dr = k q dr r 2 ( dr 1 k q r 2 = k q 1 ) = ϕ(r 2 ) ϕ(r 1 ) r 2 r 1 1 q E dr r ds 2 ist also tatsächlich nur vom Anfangs- und Endwert abhängig. Deshalb kann das Potenzial des elektrischen Feldes als Funktion ϕ(r) geschrieben werden. Für eine Punktladung q am Ort r hat es die folgende Gestalt: ϕ(r) = k q r r. Die Verallgemeinerung auf beliebige Ladungsverteilungen ρ lautet ϕ(r) = 1 4πɛ o d 3 r ρ(r ) r r (1.14) 6

9 Wie kann nun das elektrische Feld direkt aus dem Potenzial berechnet werden? Dazu betrachtet man die Verschiebung entlang eines kleinen Wegelements ds Andererseits ist das gleich ϕ 21 = ϕ(r + ds) ϕ(r) = ϕ ϕ ϕ dx + dy + x y z dz. E(r) ds = (E x dx + E y dy + E z dz), und der Vergleich liefert für die einzelnen Feldkomponenten E x = ϕ/ x usw. Vektoriell geschrieben E(r) = grad ϕ(r) ϕ(r) (1.15) mit dem Nabla-Operator. Stimmt das mit dem ursprünglichen Coulomb- Gesetz (1.6) überein? Zum Nachweis wende man den Gradienten auf (1.14) an und verwende die Relation (1/r) = e r /r 2! Die Kombination von (1.12) mit (1.15) ergibt die wichtige Poisson-Gleichung, die das Potenzial mit der Ladungsdichte differentiell verknüpft: ϕ(r) = 1 ɛ o ρ(r) (1.16) ist der Laplace-Operator: = div grad = 2 x y z 2. Das ist gewissermaßen die Umkehrfunktion von (1.14). Um sich das klarzumachen, muss die Relation r 1 r r = 4π δ(r r ) benutzt werden. Hier ist wichtig, die Variable zu markieren, auf die der Laplace- Operatior wirken soll. Im ladungsfreien Raum (ρ 0) vereinfacht sich (1.16) zur sogenannten Laplace- Gleichung ϕ(r) = 0. (1.17) Die Lösungen werden als harmonische Funktionen bezeichnet, sie treten neben der Elektrodynamik an verschiedenen Stellen in der theoretischen Physik auf, so z.b. als Schwingungsmuster von Membranen und als Lösungen der Schrödinger- Gleichung für freie Teilchen. Eine weitere wichtige Eigenschaft des statischen elektrischen Feldes ergibt sich aus (1.15) durch Anwenden der Rotation, rot E = ϕ 0 (1.18) 7

10 (man denke an a a 0). Die Rotation von E(r) verschwindet, oder anders ausgedrückt: Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei. Im Bild der Feldlinien heißt das: Es gibt keine geschlossenen Feldlinien (sie müssen nämlich auf Ladungspunkten beginnnen und enden). Dieser Sachverhalt lässt sich auch unter Benutzung des Stokesschen Integralsatzes herleiten, der hier ohne Beweis angegeben wird: Sei E(r) ein hinreichend oft differenzierbares Vektorfeld und F eine Fläche mit dem Rand C(F ), dann gilt E(r) ds = rote(r) df. (1.19) C(F ) Aus dem Linienintegral in (1.13) folgt für einen geschlossenen Weg C E(r) ds = ϕ 1 ϕ 1 = 0, und mit Hilfe von (1.19) ebenfalls rot E = 0. C F Elektrostatische Feldenergie: Wir berechnen die Arbeit W tot, die erforderlich ist, um die Ladungen q j (j = 1... N) aus dem Unendlichen an ihre Endpositionen r j zu bringen. Dabei wird die j-te Ladung q j im Potenzial der (j 1) vorherigen Ladungen verschoben. Die in diesem Schritt aufzuwendende Arbeit beträgt W j = q j ϕ (j 1) (r j ) ϕ (j 1) ( ) = 1 j 1 q j q k } {{ } 4πɛ o r j r k. =0 k=1 Die gesamte potentielle Energie der Ladungsverteilung ergibt sich als Summe aller W j : W tot = N j=2 W j = 1 4πɛ o N j 1 j=2 k=1 q j q k r j r k = πɛ o N j,k=1(j k) q j q k r j r k. Die letzte Summe geht gleichermaßen über die Indizes j und k, wobei die Terme j = k weggelassen werden (es gibt keine Wechselwirkung einer Ladung mit sich selbst). Der Faktor 1/2 muss eingeführt werden, damit die einzelnen Anteile nicht doppelt gezählt werden. Beim Übergang zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung kann dieser Ausschluss der Selbstwechselwirkung wieder wegfallen, und man erhält W tot = 1 1 d 3 r d 3 r ρ(r) ρ(r ) 2 4πɛ o r r. (1.20) Mit dem Ausdruck (1.14) für das Potenzial einer Ladungsverteilung folgt daraus W tot = 1 d 3 r ρ(r) ϕ(r). (1.21) 2 8

11 Die Feldenergie kann aber auch durch das elektrische Feld selbst ausgedrückt werden. Zunächst wird die Ladungsdichte mit Hilfe der Poisson-Gleichung ersetzt und anschließend die Beziehung ϕ ϕ = (ϕ ϕ) ( ϕ) 2 angewendet, die eine partielle Integration ermöglicht: W tot = ɛ o 2 d 3 r ϕ ϕ = ɛ o 2 d 3 r ( ϕ) 2 ɛ o 2 Das zweite Integral wird in ein Oberflächenintegral überführt d 3 r (ϕ ϕ) = df ϕ ϕ V F d 3 r (ϕ ϕ). und verschwindet, wenn wir die Fläche ins Unendliche verlegen, weil der Integrand stärker gegen Null geht ( 1/r 3 ) als das Flächenelement groß wird ( r 2 ). Mit (1.15) bleibt als Ergebnis für die Gesamtenergie W tot = ɛ o 2 d 3 r E 2 (r). (1.22) Der Integrand definiert die Energiedichte des elektrischen Feldes: ω(r) = ɛ o 2 E2 (r). Beispiel: Feldenergie einer homogen geladene Kugel: Aus dem bereits berechneten elektrischen Feld für eine homogen geladene Kugel mit Radius R { Q r E(r) = e r 4πɛ o R 3 Θ(R r) + 1 } Θ(r R) r2 lässt sich die Gesamtenergie leicht berechnen: W tot = ɛ o 2 ( Q 4πɛ o ) 2 R 4π[ 0 dr r4 R 6 } {{ } 1/(5R) + dr 1 ] r 2 = Q2 3 4πɛ o 5R. R } {{ } 1/R Der Ausdruck würde für R 0 divergieren, aber wie eben ausgeführt, ist er für diesen Fall einer Punktladung nicht anwendbar: In (1.20) wurde die Selbstwechselwirkung nicht sauber ausgeschlossen. 1.3 Kondensator, Multipolentwicklung Das Grundproblem der Elektrostatik besteht darin, das elektrische Potenzial zu berechnen. In Isolatoren sind die elektrischen Ladungen durch chemische Kräfte gebunden, also ortsfest. Ist daher die Ladungsdichte ρ(r) für alle r bekannt und muss das Potenzial ϕ(r) keine Randbedingungen im Endlichen erfüllen, so lässt sich (1.14) direkt integrieren. Im Gegensatz dazu sind in Metallen die Ladungen frei beweglich. Daraus folgt direkt die räumliche Konstanz des Potenzials, 9

12 weil sonst die resultierende elektrische Feldstärke E(r) 0 die Ladungen solange verschieben würde, bis ϕ(r) = const gilt. Aus der Poisson-Gleichung (1.16) folgt dann sofort, dass es innerhalb des Metalls keine Ladungsdichte geben kann, die Ladungen sitzen höchstens auf der Grenzfläche des metallischen Leiters. Da jetzt eine Lösung der Laplace-Gleichung (1.17) unter Berücksichtigung zusätzlicher Randbedingungen für ϕ(r) zu finden ist, spricht man von einem Randwertproblem der Elektrostatik (s. Kapitel 1.4). Für hochsymmetrische Situationen lässt sich die Lösung mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes leicht berechnen. Dieses Verfahren soll am Beispiel des Kugelkondensators erläutert werden. Kondensator: Unter einem Kondensator versteht man zwei leitende Platten beliebiger Form, die durch Anlegen einer Potenzialdifferenz U aufgeladen werden. Die beiden Platten tragen dann die entgegengesetzt gleich großen Ladungen ±Q. Die Kapazität C ist ein Maß für die Speicherfähigkeit des Kondensators, sie ist bestimmt durch das Verhältnis C = Q U. (1.23) Beispiel: Der Kugelkondensator: Auf zwei konzentrischen Kugelschalen mit den Radien R 1 und R 2 seien die Ladungen ±Q homogen verteilt. Die Kugelsymmetrie des Problems führt zu einer rein radialen Feldverteilung E(r) = e r E(r). Mit dem Gaußschen Gesetz erhält man E(r) = Q 1 4πɛ o r 2 Θ(R 2 > r > R 1 ). Daraus lässt sich das elektrostatische Potenzial wegen leicht berechnen: ϕ(r) = + = r Q 4πɛ o dr E(r ) {( 1 e r E(r) = grad ϕ(r) = e r dϕ(r) dr R 1 1 R 2 ) ( 1 Θ(R 1 r) + r 1 ) } Θ(R 2 > r > R 1 ). R 2 Offensichtlich ist das Potenzial im Innenraum r < R 1 konstant. Das gilt allgemein für das Innere von geschlossenen Leitern, in denen also das elektrostatische Feld verschwindet - womit auch die abschirmende Wirkung des Faraday-Käfigs erklärt ist. Die Spannungsdifferenz zwischen den Kugelschalen ist U = ϕ(r 1 ) ϕ(r 2 ) = Q R 2 R 1, } {{ } 4πɛ o R 1 R 2 =0 10

13 und man erhält als Kapazität des Kugelkondensators C = 4πɛ o R 1 R 2 R 2 R 1. Lässt man den Abstand der beiden Kugelschalen R 2 R 1 = d klein werden, so gilt zunächst R 1 R 2 R 2. Die Oberfläche der Kugel ist F = 4πR 2, so dass man für die Kapazität C = ɛ o F/d schreiben kann. Diese Relation ist auch für den Plattenkondensator gültig er ist nichts anderes als der Grenzfall eines Kugelkondensators mit R d. Abschließend soll noch die elektrostatische Feldenergie berechnet werden, die auf den Raum zwischen den konzentrischen Kugelschalen beschränkt ist: W tot = ɛ o 2 d 3 r E 2 (r) = Q2 8πɛ o R 2 R 1 dr ( 1 r 2 = Q2 1 1 ) = 1 8πɛ o R 1 R 2 2 Q U. Multipolentwicklung: Wir betrachten eine begrenzte Ladungsverteilung, die außerhalb einer Kugel mit Radius R um den Ursprung verschwindet. Für das Potenzial verwenden wir ϕ(r) = 1 d 3 r ρ(r ) 4πɛ o r r mit der üblichen Randbedingung ϕ( ) = 0. Wenn wir uns nur für das Verhalten von ϕ(r) in großem Abstand von der Ladungsverteilung interessieren (r R), kann im Integrand eine Taylor-Entwicklung angesetzt werden. Allgemein gilt für eine Funktion mit Vektor-Argument f(r r ) = f(r) ( r ) 1 ( ) ( ) r f(r) + r r r r f(r) +. 2 Angewandt auf f(r) = 1/r und mit dem Zwischenergebnis r (1/r) = r/r 3 ergibt sich 1 r r = 1 r }{{} Monopol + r r r 3 } {{ } Dipol + 3(r r ) 2 r 2 r 2 } 2r {{ 5 +, (1.24) } Quadrupol und die Entwicklung des Potenzials bis zur Ordnung 1/r 2 lautet entsprechend ϕ(r) = 1 [ 1 d 3 r ρ(r ) 4πɛ o r + r ] r r 3 +. (1.25) Wir definieren den Dipolvektor p und benutzen den Ausdruck für die Gesamtladung Q: p = d 3 r ρ(r ) r, Q = d 3 r ρ(r ), (1.26) 11

14 um das Potenzial in erster Näherung anzugeben ϕ(r) 1 [ Q 4πɛ o r + r p ] r 3. (1.27) Insbesondere für ein neutrales System (Q = 0) dominiert der Dipolterm. Eine mögliche Realisierung eines Dipols ist eine Anordnung zweier entgegengesetzt gleicher Punktladungen ±q mit Abstandsvektor a: p = q (r + a) q r = q a. Das elektrische Feld eines Dipols lässt sich aus E(r) = ϕ(r) (1.15) berechnen. Dazu verwendet man zweckmäßigerweise Kugelkoordinaten mit der Achsenwahl e z p: ϕ(r) = 1 4πɛ o r p r 3 = 1 4πɛ o p z r 3 = 1 4πɛ o p cos θ r 2. Der Nabla-Operator in Kugelkoordinaten lautet r = e r r + e 1 θ r θ + e 1 φ r sin θ φ. Damit erhalten wir für die einzelnen Komponenten von E(r, θ, φ) E r = p 2 cos θ 4πɛ o r 3, E θ = p sin θ 4πɛ o r 3, E φ = 0. Das Feld eines Dipols hat also lediglich einen radialen und einen polaren Anteil. Der Quadrupolterm dominiert entsprechend für eine Ladungsverteilung aus vier Punktladungen, die entgegengesetzt gerichtete Dipole bilden. Dann ist sowohl Q als auch p identisch Null. 1.4 Randwertprobleme in der Elektrostatik In einem bestimmten Raumbereich sei die Ladungsdichte ρ(r) vorgegeben. Zusätzlich soll auf den vorhandenen Grenzflächen eine der beiden Randbedingungen gelten: Dirichlet: ϕ(r) oder Neumann: e n ϕ(r) = E(r) n. Wir suchen das Potenzial ϕ(r) bzw. die elektrische Feldstärke E(r) im gesamten Raumbereich. Mit Hilfe der Greenschen Theoreme kann gezeigt werden, dass durch die Vorgabe von Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen das Potenzial eindeutig bestimmt wird. Die beiden wichtigsten Methoden zur Berechnung von Randwertproblemen sollen hier kurz erläutert werden. 12

15 Methode der Greenschen Funktionen: Die Lösung der Poisson-Gleichung für eine punktförmige Einheitsladung bei r nennt man Greensche Funktion G(r, r ): Diese Gleichung wird durch r G(r, r ) = 1 ɛ o δ(r r ). G(r, r ) = 1 4πɛ o 1 r r + F (r, r ) (1.28) gelöst, wobei die Funktion F (r, r ) einerseits die Laplace-Gleichung r F (r, r ) = 0 erfüllen muss und andererseits so zu konstruieren ist, dass die Randbedingungen erfüllt werden. Methode der Bildladungen: Hier wird davon ausgegangen, dass es möglich ist, durch Platzieren von fiktiven Bildladungen im Außenraum das auf den Randflächen vorgegebene Potenzial ϕ(r) (oder dessen Normalenableitung) zu realisieren. Dies soll an folgendem Beispiel erläutert werden. Beispiel: Punktladung vor einer Metallplatte: Wir betrachten eine Punktladung q im Abstand d über einer unendlich ausgedehnten Metallplatte. Weiterhin wollen wir annehmen, dass die Platte geerdet ist. Die Randbedingung für die Metallplatte ist damit vom Dirichlet-Typ: ϕ(r) Platte = 0. Wir wählen zunächst unser Koordinatensystem so, dass die Punktladung q auf der z-achse liegt und vermuten, dass die Bildladung q B aus Symmetriegründen ebenfalls auf der (negativen) z-achse bei d B liegen muss. Das zu berechnende Potenzial setzt sich aus dem Anteil der Ladung q und der Bildladung q B zusammen: ( ) ϕ(r) = 1 q 4πɛ o ρ 2 + (z d) + q B 2 ρ 2 + (z + d B ) 2 mit ρ 2 = x 2 + y 2. Zur Bestimmung der noch unbekannten Parameter q B und d B dient die Randbedingung ϕ(x, y, z = 0) = 1 q 4πɛ o ρ 2 + d + q B = 0, 2 ρ 2 + d 2 B die für alle Werte von ρ nur erfüllt werden kann, wenn q B = q und d B = d gilt. Es handelt sich also um eine spiegelsymmetrische Anordnung zweier Punktladungen bei r 0 = (0, 0, d) und r B = (0, 0, d) mit entgegengesetztem Vorzeichen. Das Potenzial lautet damit ϕ(r) = q ( ) 1 4πɛ o r r 0 1. r r B Um die Feldverteilung E(r) zu berechnen, haben wir lediglich den negativen Gradienten des Potenzials zu bilden: E(r) = r ϕ(r) = q ( r r0 4πɛ o r r 0 3 r r ) B r r B 3. 13

16 Speziell für die Oberfläche der Metallplatte (z = 0) erhalten wir wegen r r 0 = r r B = ρ 2 + d 2 E(x, y, z = 0) = q 4πɛ o r r 0 r + r B (ρ2 + d 2 ) 3/2 = q 4πɛ o 2d e z (ρ 2 + d 2 ) 3/2. Der Vektor der elektrischen Feldstärke steht also senkrecht auf der Metalloberfläche. Die Bildladung ist allerdings eine Fiktion. Tatsächlich wurde auf der Platte eine nach außen abklingende Flächenladungsdichte σ(ρ) induziert (siehe (1.10)): σ(ρ) = ɛ o ( E(x, y, 0 + ) E(x, y, 0 ) ) = q 4π 2d (ρ 2 + d 2 ) 3/2. Integriert man über die gesamte Metalloberfläche, so erhält man die gesamte influenzierte Flächenladung, die natürlich gleich der Bildladung q B = q sein muss: q = d 2 ρ σ(ρ) = 2π 0 dρ ρ σ(ρ) = 0 dρ ρ q d (ρ 2 + d 2 = q. ) 3/2 Für nichtebene Randflächen ist natürlich keine einfache Spiegelung möglich! 1.5 Elektrostatik im Dielektrikum Bisher haben wir ausschließlich elektrische Felder im Vakuum betrachtet, die durch die beiden Maxwellgleichungen div E(r) = 1 ɛ o ρ(r), rot E(r) = 0 (1.29) beschrieben werden. Tatsächlich ist die Ladungsstruktur der Materie so, dass sich in einem makroskopischen Volumen die positiven und negativen Ladungen fast vollständig kompensieren. Nach außen wirkt nur die Überschussladung (und eventuell das Dipolmoment). Außerdem unterliegen die genauen Positionen der mikroskopischen Ladungen auch zeitlichen Fluktuationen. Deshalb ist es sinnvoll, sich nur für Größen zu interessieren, die über atomare Dimensionen gemittelt sind. Wir betrachten das mikroskopische Potenzial, das von einer Ladungsverteilung innerhalb eines (kleinen) Volumens V R um R hervorgerufen wird, und unterwerfen es der Dipolentwicklung (1.27) ϕ mi (r) = 1 4πɛ o j [ q j r R + p j (r R) r R 3 ] Θ(r j V R ). (1.30) In einer vergröberten Beschreibung führen wir nun eine (Überschuss-)Ladungsdichte ρ(r) und eine effektive Dipoldichte oder Polarisation P(R) ein, die im weiteren als glatte Funktionen zu verstehen sind: ρ(r) = 1 q j Θ(r j V R ), P(R) = 1 p j Θ(r j V R ). V V j 14 j

17 Entsprechend können wir in (1.30) zur Integration übergehen (R r ): ϕ(r) = 1 ] d 3 r [ρ(r ) + P(r 1 ) r 4πɛ o r r. (1.31) Um die Maxwell-Gleichung in Materie zu erhalten, bildet man die Divergenz des E-Feldes div E(r) = r ϕ(r) = 1 ] d 3 r [ρ(r ) + P(r ) r 4πδ(r r ) 4πɛ o = 1 ] [ρ(r) + d 3 r P(r ) r δ(r r ). ɛ o Aufgrund der Glattheit von P(r) kann der zweite Term partiell integriert werden. Wegen P = div P erhält man schließlich bzw. mit div P(r) = ρ p (r) div (ɛ o E(r) + P(r)) = ρ(r) (1.32) div E(r) = 1 ɛ o (ρ(r) + ρ p (r)). Man nennt ρ p (r) die Polarisationsdichte, die wie eine zusätzliche Ladungsdichte wirkt. Um eine Analogie zu den Maxwellgleichungen im Vakuum zu erhalten, definiert man als dielektrische Verschiebung woraus dann folgt: D(r) = ɛ o E(r) + P(r), (1.33) div D(r) = ρ(r) (1.34) rot E(r) = 0. (1.35) Der Vektor der Polarisation P(r) beschreibt die Verschiebung von Ladungen in einem Isolator bei Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes. Jedes Teilchen (Atom, Molekül), in dem positive und negative Ladungen gebundenen sind, wird so zu einem elektrischen Dipol. P erscheint dann als effektive Dipoldichte, wie wir sie weiter oben formal eingeführt haben. Entsprechend ihrer Entstehung müssen verschiedene Arten der Polarisation unterschieden werden, die auch eine Klassifizierung der Dielektrika ermöglichen. (a) Eigentliches Dielektrikum: Ohne ein äußeres Feld ist zunächst auch keine Polarisation vorhanden. In einem neutralen Atom (z.b. Wasserstoff-Atom) fallen die Ladungsschwerpunkte des positiven Kerns und der negativen Elektronenhülle zusammen. Damit ist auch kein elektrisches Dipolmoment vorhanden. Dieses wird erst bei Anlegen eines elektrischen Feldes E durch Deformation des Atoms induziert, indem sich die negativen Ladungen gegenüber dem positiven Kern verschieben. Die rücktreibende Kraft ist die Coulomb- Wechselwirkung. Man spricht daher von Deformationspolarisation. 15

18 Die Ladungsverschiebung und damit auch das induzierte Dipolmoment jedes Atoms wird proportional zum äußeren Feld sein, so dass wir p j = ɛ o α E(r j ) (1.36) erwarten. Den stoffspezifischen Proportionalitätsfaktor α nennt man die atomare Polarisierbarkeit. Für das Wasserstoff-Atom ergibt sich zum Beispiel der Wert α H = m 3. Die effektive Dipoldichte lautet dann P(R) = 1 V p j Θ(r j V R ) = n ɛ o α E(R), j sie ist also proportional zur Dichte n = N/V der Atome. Damit kann man allgemein schreiben D(r) = ɛ o E(r) + P(r) = ɛ o (1 + nα) E(r). Mit der relativen Dielektrizitätskonstante ɛ r = 1 + nα folgt schließlich die wichtige Materialgleichung D(r) = ɛ o ɛ r E(r) (1.37) Luft unter Normalbedingungen ist z.b. nur sehr schwach polarisierbar (ɛ r = ). In anisotropen Medien hat ɛ r Tensorcharakter, die Polarisation ist also nicht mehr parallel zur Feldstärke. (b) Paraelektrikum: Hier liegen im Medium schon permanente molekulare Dipole (z.b. H 2 O) vor, die auf Grund ihrer thermischen Bewegung statistisch verteilt sind, so dass nach außen kein Dipolmoment auftritt. Bei Anlegen eines elektrischen Feldes werden die Moleküle jedoch ausgerichtet. Deswegen spricht man hier von Orientierungspolarisation. Für Vertreter dieser Stoffgruppe gilt ebenfalls die obige Materialgleichung. Wasser hat einen anomal großen Wert von ɛ r = 80.4! (c) Ferroelektrikum: Darunter versteht man Stoffe, bei denen sich die permanenten Dipole unterhalb einer kritischen Temperatur sogar ohne Anwesenheit eines äußeren Feldes ausgerichtet haben (z.b. Seignette-Salz). Da Ferroelektrika im elektrischen Feld ein kompliziertes Verhalten zeigen, lässt sich keine Dielektrizitätskonstante ɛ r angeben, und die lineare Beziehung (1.37) gilt nicht. Beispiel: Dielektrikum im Kondensator: An der Oberfläche des Dielektrikums wird eine Polarisationsladungsdichte aufgebaut. Diese muss von der Ladung auf der Kondensatorplatte kompensiert werden, d.h. die Ladung Q wird größer. Aus der Integraldarstellung von div D(r) = ρ(r) kann man leicht ableiten, dass sich die Normalkomponente von D beim Durchgang durch eine geladene Grenzfläche unstetig verhält. Wenn σ die (konstante) Flächenladungsdichte auf einer Kondensatorplatte ist, so gilt D(r) = e z D(z), D aussen = 0, D innen = σ. 16

19 Für die Gesamtladung auf einer Platte folgt mit (1.37) Q = σ F = D F = ɛ o ɛ r E F = ɛ o ɛ r U d F, wobei F die Fläche und d die Dicke des mit dem Dielektrikum ausgefüllten Kondensators ist. Für die Kapazität ergibt sich C = Q/U = ɛ o ɛ r F d. Die Kapazität des Kondensators hat sich demnach bei Verwendung eines Dielektrikums um den Faktor ɛ r erhöht. 2 Magnetostatik Im vorangegangenen Kapitel haben wir gesehen, dass ruhende elektrische Ladungen elektrostatische Felder erzeugen und Kräfte auf andere Ladungen ausüben. Wir wollen nun die Erscheinungen behandeln, die von bewegten Ladungen (elektrischen Strömen) hervorgerufen werden. Diese erzeugen magnetische Felder und wirken ebenfalls mit Kräften aufeinander ein. 2.1 Elektrische Ströme Wir betrachten einen Strom von Einzelladungen q j mit Geschwindigkeiten v j. Die Stromdichte können wir dann schreiben als j = 1 q j v j. V Wir führen die über das Volumen V gemittelte Geschwindigkeit q j v j j v = j ein (sie ist in der Regel klein gegenüber den Einzelgeschwindigkeiten), und erhalten j = ρ v. Im allgemeinen Fall bildet die Stromdichte ein orts- und zeitabhängiges Vektorfeld, das über die Ladungsdichte ρ(r, t) mit dem Geschwindigkeitsfeld v(r, t) verknüpft ist: Die Einheit der Stromdichte ist Ladung Volumen Weg Zeit j q j j(r, t) = ρ(r, t) v(r, t) (2.1) [ ] C s m 2. Die Stromstärke I (transportierte Ladung pro Zeit, mit der Einheit Ampere, 1A = 1C/s) ist der Stromfluss durch eine gegebene Fläche F, also I = dq dt = j df. (2.2) F 17

20 Kontinuitätsgleichung: Für elektrische Ladungen gilt ein strikter Erhaltungssatz. Folglich kann sich in einem Volumen V die Gesamtladung nur ändern, wenn Ladungen durch die Oberfläche des Volumens hinein- bzw. hinausfließen. Die zeitliche Änderung der Gesamtladung lässt sich einerseits schreiben als dq dt = d 3 ρ(r, t) r, t V andererseits folgt aus (2.2) aber auch dq dt = j(r, t) df = S(V ) V d 3 r div j(r, t) unter Verwendung des Gaußschen Satzes (1.11). Die Addition beider Gleichungen liefert ( ) d 3 ρ(r, t) r div j(r, t) + = 0. t V Da diese Beziehung für beliebige Volumina gilt, muss der Integrand identisch verschwinden, womit die Kontinuitätsgleichung abgeleitet ist: div j(r, t) + ρ(r, t) t = 0 (2.3) In der Magnetostatik werden nur zeitlich konstante (besser stationäre) Ströme und Ladungsverteilungen behandelt: ρ t Daraus folgen zwei wichtige Konsequenzen: = 0 div j(r) = 0. (2.4) (a) Durch jeden Querschnitt eines Leiters fließt der gleiche Strom: 0 = j df = F 1 j 1 + F 2 j 2 = I 1 + I 2 S(V ) (b) Es gilt die Kirchhoffsche Knotenregel: N I k = 0. k=1 Elektrischer Widerstand: Der elektrische Strom als eine geordnete Bewegung elektrischer Ladungen wird in der Regel durch ein elektrisches Feld getrieben. In linearer Näherung ist die Stromdichte j proportional zum treibenden Feld E: j(r) = σ(r) E(r), (2.5) 18

21 I Sperr- Richtung 0 U Durchlass- Richtung Lawinen- Durchbruch Abbildung 2: Strom-Spannungs-Kennlinie für einen p-n-übergang im Halbleiter (schematisch). Das Ohmsche Verhalten (gestrichelt) ist nur in einem kleinen Bereich gültig. wobei σ die elektrische Leitfähigkeit mit der Dimension [A/(Vm)] ist. Für ein nichtisotropes Medium handelt es sich um einen Tensor 2. Stufe σ jk. Die reziproke Größe ρ s = σ 1 nennt man spezifischen elektrischen Widerstand. Wir wollen noch den Ohmschen Widerstand eines leitenden geraden Drahtes (Länge l, Querschnitt F ) bestimmen, zwischen dessen Enden eine Potenzialdifferenz U anliegt. Zunächst gilt j = σ E = σ U l und damit I = j F = σf l U. Der Ohmsche Widerstand des Drahtes beträgt also R = U I = mit der Einheit Ohm (1Ω = 1 V/A). Die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes U = I R bzw. in seiner materialspezifischen Form j = σ E ist eine Idealisierung, die nur für kleine Spannungen bzw. Felder zutrifft. Der Einsatz von Halbleitern in elektronischen Bauelementen beruht z. B. auch darauf, dass ein sogenannter p- n-übergang eine stark asymmetrische Strom-Spannungs-Kennlinie besitzt, also gleichrichtend wirkt (Abb. 2). l σf Elektrische Leistung: Wird in einem elektrischen Feld die Ladung q j um die Strecke dr j verschoben, so wird an der Ladung die Arbeit dw j = q j E dr j 19

22 geleistet. Die Ableitung nach der Zeit definiert die elektrische Leistung dw j dt = q j E v j. Summieren wir über alle im Volumen vorhandenen Ladungen und teilen durch das Volumen selbst, erhalten wir die Leistungsdichte 1 dw j = 1 q j v j E = j E. V dt V j j Die gesamte vom elektrischen Feld am System im Volumen V bewirkte Leistung beträgt also P = d 3 r j E. (2.6) V Für den Fall eines dünnen Drahtes der Länge l und mit dem Querschnitt F erhält man P = j E F l = I E l = I U = R I 2. Man nennt P auch die Verlustleistung, die durch Stoßprozesse an die Gitterbausteine übertragen wird und damit die thermische Energie des Leiters erhöht. Die freien Ladungen werden also im elektrischen Feld nur so lange beschleunigt, bis die Reibungskräfte zu einem stationären Zustand führen. Wie erwartet ergibt sich die Einheit von P = I U als [A V ] = [(C/s)V ] = [J/s] = [W ], also Watt. 2.2 Amperesches Gesetz, Magnetfeld, Vektorpotenzial Ebenso wie das Coulombgesetz die Grundlage für die gesamte Elektrostatik darstellt, ist das Amperesche Gesetz die fundamentale Beziehung in der Magnetostatik. Es beschreibt die Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern: F mag 12 = µ o 4π d 3 r 1 d 3 r 2 j 1 (r 1 ) (j 2 (r 2 ) r 12 ) r 3 12 (2.7) mit r 12 = r 1 r 2. Die neue Konstante µ o nennt man die Permeabilität des Vakuums (oder magnetische Feldkonstante). Sie wurde verwendet, um die Einheit Ampere festzulegen (wie weiter unten noch genau ausgeführt wird): µ o 4π = 10 7 Vs Am = 10 7 N A 2. (2.8) Gl. (2.7) kann man unter Verwendung von a (b c) = b (a c) (a b) c umformen: j 1 (j 2 r 12 ) r = j 2 (j 1 r1 ) (j 1 j 2 ) r 12 r 12 r

23 Der erste Term liefert nach partieller Integration wegen (2.4) keinen Beitrag, somit bleibt lediglich F mag 12 = µ o d 3 r 1 d 3 ( r 2 j1 (r 1 ) j 2 (r 2 ) ) r12 4π r12 3. (2.9) Sind die Ströme gleichgerichtet (j 1 j 2 ), so ziehen sich die beiden Leiter an: F mag 12 r 12. Hier deutet sich eine Analogie zwischen der Elektrostatik und der Magnetostatik an, wenn man mit der auf zwei feste Ladungsverteilungen verallgemeinerten Coulomb-Kraft vergleicht: F el 12 = 1 d 3 r 1 d 3 r 2 ρ 1 (r 1 ) ρ 2 (r 2 ) r 12 4πɛ o r12 3. (2.10) Die enge Verknpüpfung zwischen den elektrischen (1/ɛ o ) und magnetischen (µ o ) Eigenschaften wird allerdings erst in der relativistischen Elektrodynamik richtig klar. Den Proportionalitätsfaktor (1.2) im Coulombgesetz kann man mit (2.8) umschreiben zu k = 1 = 10 7 c 2 Vs 4πɛ o Am = µ c2 o 4π, woraus also ɛ o µ o c 2 = 1 (2.11) folgt. Das Auftreten der Lichtgeschwindigkeit weist auf relativistische Effekte hin. In der Tat sind die Kräfte zwischen Strömen (also die magnetischen Eigenschaften) ein relativistischer Effekt, wie man sich dimensionell aus (2.9) im Vergleich zu (2.10) klar machen kann: F mag (V j) 2 (Q v) 2 µ o r 2 µ o r 2 Q2 ɛ o r 2 v 2 c 2. Beispiel: Kraft zwischen zwei parallelen Leitern: Ein unendlich langer gerader Draht und ein Draht der Länge l verlaufen parallel zueinander in z- Richtung im Abstand d. Es gilt also j 1 j 2 e z und r 12 = d e x (z 2 z 1 ) e z. Außerdem soll der Querschnitt der beiden Leiter so klein sein, dass die elektrischen Ströme I k als Stromfäden betrachtet werden können, also d 3 r j k (r k ) = I k ds k (2.12) gilt mit dem Linienintegral entlang des Leiters k. Für die Kraft, die der Draht 2 auf den Draht 1 ausübt, erhält man damit aus (2.9) F mag 12 = + µ l o 4π I 1 I 2 0 dz 1 + dz 2 d e x + (z 2 z 1 ) e z ( d 2 + (z 2 z 1 ) 2) 3/2. 21

24 Die in x-richtung verlaufenden Zuleitungen tragen nicht zur Kraft bei, weil dort j 1 j 2 = 0 gilt! Der zweite Summand im Integranden liefert keinen Beitrag, da es sich um eine ungerade Funktion handelt. Mit der Substitution z = z 2 z 1 und weiter s = z/d ergibt sich F mag 12 = µ + o 4π I dz 1 I 2 d e x l ( d 2 + z 2) 3/2 µ o = e x 4π I l 1 I 2 d + ds ( ) 1 + s 2 3/2 = e µ o x 4π I 2l 1 I 2 d. (2.13) Wie schon weiter oben vermerkt, wirkt die Kraft anziehend, wenn die beiden Ströme I 1 und I 2 gleichgerichtet sind. Zur praktischen Definition des Ampere stelle man sich zwei Leiter vor, die jeweils von Strömen der Stärke 1 A durchflossen werden und den Abstand 1 m voneinander haben. Die Kraft pro Längeneinheit (1 m) auf den Leiter 1 beträgt nach (2.13) und im Vergleich mit (2.8) F mag 12 = µ o 4π (1 A)2 2 = N, womit die Bestimmung der Stromstärke auf eine Kraftmessung zurückgeführt worden ist. Ähnlich wie in der Elektrostatik soll nun der Feldbegriff eingeführt werden. Die magnetische Induktion B(r) wird von einem Stromkreis gemäß B(r) = µ o 4π d 3 r j(r ) r r r r 3 (2.14) hervorgerufen (Biot-Savart-Gesetz). B(r) beschreibt die Kraft auf einen Einheitsstrom, für eine beliebige Stromdichte j 1 (r) also F mag 1 = d 3 r j 1 (r) B(r), (2.15) womit das Amperesche Gesetz (2.7) realisiert ist. Die magnetische Induktion wird in Tesla (T) gemessen. Die zugehörige Definition erschließt sich am besten aus (2.15): F mag = V j B = I l B : [T] = [ ] N = A m [ ] V s m 2. Beispiel: Bewegte Punktladung: Wir betrachten eine Punktladung q 0, die sich mit (nicht zu großer) Geschwindigkeit v 0 bewegt. Die Ladungsdichte ist ρ(r, t) = q 0 δ ( r v 0 t ) und ergibt die Stromdichte j(r, t) = ρ(r, t) v(r, t) = q 0 v 0 δ ( r v 0 t ). 22

25 Eingesetzt in (2.15) erhält man die magnetische Kraft F mag = q 0 v 0 B(r = v 0 t). Berücksichtigt man noch die Kraftwirkung des elektrischen Feldes E, ergibt das insgesamt die Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung: F = F el + F mag = q 0 (E + v 0 B) (2.16) Das Vektorpotenzial: Mit der schon mehrfach benutzten Identität r r r r 3 = 1 r r r kann das Biot-Savart-Gesetz (2.14) umgeschrieben werden zu B(r) = µ o d 3 r j(r 1 ) r 4π r r. Der Nabla-Operator kann aus dem Integral herausgezogen werden, da er ja nur auf die äußere Variable r wirkt. Dabei wird mit dem Vektorprodukt so verfahren: r (f(r) j) = ( r f(r)) j = j r f(r). Es ergibt sich B(r) = r A(r), A(r) = µ o 4π d 3 r j(r ) r r. (2.17) Wir sehen, dass die magnetische Induktion B als Rotation des sogenannten Vektorpotenzials A(r) dargestellt werden kann. Daraus folgt wegen div rota 0 unmittelbar eine der Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik div B(r) = 0 (2.18) B(r) ist also quellenfrei, was gleichbedeutend mit der Aussage ist: Es gibt keine magnetischen Ladungen (Monopole). Wenn wir den Laplace-Operator auf das Vektorpotenzial (2.17) anwenden, erhalten wir r A(r) = µ o d 3 r j(r 1 ) r 4π r r. Mit r (1/r) = 4πδ(r) vereinfacht sich das zu r A(r) = µ o j(r) (2.19) sozusagen das magnetostatische Analogon zur Poisson-Gleichung (1.16). 23

26 Eichtransformation: In der Elektro- bzw. Magnetostatik sind nicht die Potenziale, sondern die Felder E(r) und B(r) die physikalisch relevanten Größen. Weder das elektrische Potenzial ϕ(r) noch das Vektorpotenzial A(r) sind eindeutig bestimmt, denn die Eichtransformationen A(r) Ã(r) = A(r) + rχ(r) (2.20) ϕ(r) ϕ(r) = ϕ(r) + c (2.21) mit einer beliebigen skalaren Funktion χ(r) bzw. einer Konstanten c führen mit (2.17) und (1.15) auf dieselben Felder: Es gilt ja c = grad c = 0 und χ(r) = rot grad χ(r) = 0. Die Coulomb-Eichung diva(r) = 0 (2.22) spielt eine besondere Rolle. Die explizite Darstellung (2.17) genügt der Coulomb- Eichung wegen div j(r) = 0. Im allgemeinen Fall kann man als Eichfunktion χ(r) die Lösung der Poisson-Gleichung χ(r) = diva(r) wählen, um zur Coulomb-Eichung überzugehen. Man überzeuge sich, dass dann aus (2.20) tatsächlich divã(r) = diva(r) + div grad χ(r) = 0 folgt! In der Coulomb-Eichung lässt sich die magnetische Induktion besonders einfach berechnen. Allgemein können wir umformen B = ( A) = ( A) ( )A = grad div A A. Mit (2.22) verschwindet der erste Term, und es bleibt rot B = A. Mit Hilfe von (2.19) gewinnen wir die (inhomogene) Maxwell-Gleichung rot B(r) = µ o j(r) (2.23) die natürlich unabhängig von der Wahl der Eichung gilt. Mit Hilfe des Stokes- Satzes (1.19) lässt sich das auch in integraler Form schreiben: B(r) ds = µ o j(r) df. (2.24) C(F ) Wir fassen noch einmal die Feldgleichungen (Maxwell-Gleichungen) für den statischen Fall im Vakuum zusammen: div E(r) = ρ(r)/ɛ o div B(r) = 0 rot E(r) = 0 rot B(r) = µ o j(r) Alternativ kann man die Felder durch die Potentiale ausdrücken, für die Poisson- Gleichungen gelten: E(r) = grad ϕ(r) B(r) = rot A(r) ϕ(r) = ρ(r)/ɛ o A(r) = µ o j(r) F 24

27 Beispiel: Vektorpotenzial für konstantes Magnetfeld: Es sei die räumlich konstante magnetische Induktion B = B 0 e z vorgegeben, und wir suchen mögliche Realisierungen für das Vektorpotenzial A(r). Es muss also gelten ( Az B = rot A(r) = y A ) ( y Ax e x + z z A ) ( z Ay e y + x x A ) x e z. y } {{ } } {{ } } {{ } = 0 = 0 = B 0 Der Ansatz A x = αy, A y = βx, A z = 0 erfüllt die drei geklammerten Relationen, wenn β α = B 0 gewählt wird. Folglich lautet das Vektorpotenzial A(r) = ( αy, (B 0 + α)x, 0 ). Offensichtlich ist die Coulomb-Eichung div A(r) = 0 erfüllt die x-komponente von A hängt nicht von x ab, usw. Der Parameter α kann noch frei gewählt werden. Zwei übliche Festlegungen sind: Symmetrische Eichung: Landau-Eichung: α = B 0 2 A = B 0 ( ) y, x, 0 2 α = B 0 A = ( B 0 y, 0, 0 ). Beispiel: Vektorpotenzial und Induktion eines langen Drahtes: Mit Hilfe der Gleichung (2.17) wollen wir das Vektorpotenzial eines geraden, unendlich langen Drahtes berechnen, der vom Strom I 1 durchflossen wird. Wir legen die z-achse des Koordinatensystems in Drahtrichtung und verwenden Zylinderkoordinaten r = (z, ρ, φ) : A(r) = µ o 4π d 3 r j(r ) r r (2.12) = = µ o 4π I 1e z µ o 4π I 1e z + + dz ρ 2 + (z z ) 2 d z ρ 2 + z 2. Wegen der logarithmische Divergenz der Stammfunktion ln( z+ ρ 2 + z 2 ) wählen wir endliche Integrationsgrenzen: +a a +a d z ρ 2 + z = 2 d z 2 ρ 2 + z = 2 ln( z + ρ 2 + z 2 ) 2 Das Vektorpotenzial lautet damit 0 = 2 ln a + ρ 2 + a 2 ρ A(ρ) = µ o 4π 2I 1 e z ln(2a/ρ). 25 +a a ρ 2 ln(2a/ρ). 0

28 Es ist rotationssymmetrisch um die z-achse und erfüllt die Coulomb-Eichung. Um die magnetische Induktion B(r) auszurechnen, müssen wir lediglich die Rotation von A(r) in Zylinderkoordinaten bilden: rot A(r) = ( 1 A z ρ φ A φ z ) e ρ + ( Aρ z A z ρ ) e φ + ( 1 (ρa φ ) 1 ρ ρ ρ ) A ρ e z. φ Wegen A ρ = 0 und A φ = 0 hat das B-Feld nur eine Komponente in Richtung von e φ : B(ρ) = A z ρ e φ = + µ o 2πρ I 1 e φ. Die Integrationsgrenze a ist jetzt herausgefallen! Die Feldlinien von B bilden also konzentrische Ringe um den stromführenden Leiter. Abschließend platzieren wir einen weiteren Leiter der Länge l im Abstand d. In ihm fließe der Strom I 2 (I 1 I 2 ). Die Kraft auf diesen Draht beträgt dann F mag 21 = d 3 r j(r) B(r) = l 0 dz I 2 e z B(ρ = d) = µ o 2π I 1 I 2 l d (e z e φ ) = µ o 2π I 1 I 2 l d e x. Damit haben wir das frühere Ergebnis (2.13) reproduziert. 2.3 Magnetisches Moment, Magnetostatik im Medium Wir betrachten eine auf das Volumen V begrenzte Stromverteilung j(r ), die nach (2.17) ein Vektorpotenzial A(r) hervorruft. Liegt der Beobachtungspunkt r weit außerhalb, kann der Nenner im Integrand in eine Taylorreihe entwickelt werden (siehe (1.24)): A(r) = µ o 4π V [ 1 d 3 r j(r ) r + r ] r r 3 +. (2.25) Wir beweisen zunächst, dass der erste Term keinen Beitrag liefert. Mit div(x l j) = x l div j + j grad x }{{} l = j e l = j l (2.26) =0 erhalten wir für die l-komponente der Stromdichte d 3 r j l (r) = d 3 r div(x l j(r)) = x l j(r) df = 0, V V S(V ) da die Stromdichte auf der Oberfläche S(V ) verschwindet. Daraus folgt d 3 r j(r) = 0. (2.27) V 26

29 Das abgeschlossene Stromgebiet liefert also keine Beitrag 1/r. Den zweiten Term bringen wir in eine Vektorprodukt-Form mit r ( r j(r ) ) = ( r j(r ) ) r ( r r ) j(r ) 2 ( r r ) j(r ). Die letzte Gleichung gilt nur unter dem r -Integral. Zum Beweis bildet man div (x l x k j) = x l j k + x k j l + x l x k div j und verfährt wie in (2.26), um d 3 r [x l j k (r) + x k j l (r)] = 0 (2.28) nachzuweisen. Damit haben wir d 3 r (r r ) j(r ) = 1 2 r d 3 r r j(r) erreicht und können das magnetisches Moment m = 1 d 3 r r j(r) (2.29) 2 definieren. Für großes Abstände r ist das Vektorpotenzial also durch A(r) = µ o 4π m r r 3 (2.30) gegeben. An zwei Beispielen soll nun die Berechnung des magnetischen Moments demonstriert werden. Beispiel: Ringstrom: Eine kreisförmige Leiterschleife mit dem festen Radius r kann am besten in Polarkoordinaten beschrieben werden: r = r e r, dr = r dφ e φ. Unter Verwendung von (2.12) erhalten wir m = 1 2 I r dr = 1 2 I e z 2π 0 dφ r 2 = Iπr 2 e z = I F. Mit F als dem Flächenvektor (er liegt in Normalenrichtung) gilt diese Formel für beliebige, in einer Ebene liegende Stromverteilungen. Beispiel: System von Punktladungen: Die Stromdichte mehrerer geladener Teilchen mit Ladung q und Masse M lautet j(r) = q n δ(r r n ) v n. Das gesamte magnetische Moment ergibt sich zu m = q r n v n = q q r n (Mv n ) = 2 2M } {{ } 2M n n Drehimpuls l n 27 l n = n q 2M L.

30 Das Verhältnis von magnetischem Moment zu Gesamtdrehimpuls nennt man gyromagnetisches Verhältnis, hier erhalten wir dafür m L = q 2M. Diese Relation bleibt auch in der Quantenmechanik für die Bahnbewegung richtig. Beim Spin (= Eigendrehimpuls des Elektrons) fehlt jedoch der Faktor 1/2! Kraft und Drehmoment auf beliebige Stromverteilung: Gegeben sei ein äußeres Feld der magnetischen Induktion B(r). Bringen wir einen Leiter mit der Stromdichte j(r) in dieses Feld, so wirkt auf den Leiter eine Kraft F = d 3 r j(r) B(r) und ein Drehmoment M = d 3 r r ( j(r) B(r) ). Handelt es sich um ein homogenes Magnetfeld B 0 = const r, so wird wegen (2.27) keine Kraft auf den Leiter ausgeübt: F = d 3 r j(r) B 0 = 0. Es wirkt aber ein Drehmoment: M = d 3 r r ( ) 1 j(r) B 0 = 2 B 0 d 3 r ( r j(r) ). Die Gültigkeit der letzten Umformung mache man sich klar mittels r (j B 0 ) = (r B 0 ) j (r j) B 0, B 0 (r j) = (B 0 j) r (B 0 r) j 2 (B 0 r) j. Der unterstrichene Term verschwindet im Integral siehe (2.28) für l = k. Mit (2.29) gilt dann für das Drehmoment im homogenen Magnetfeld M = m B 0 (2.31) Magnetostatik im Medium In Analogie zu Kapitel 1.5 wollen wir die Magnetostatik in Materie entwickeln. Ausgehend von der mikroskopischen Gültigkeit der Maxwellgleichungen div B mi (r) = 0 ; rot B mi (r) = µ o j mi (r) (2.32) gelingt der Übergang zu den makroskopischen Größen wiederum durch Integration (Mittelung) über ein Volumen V bei R: B(R) = 1 d 3 r B mi (r) Θ(r V R ). V 28

31 Da die Mittelung mit der Differentiation vertauscht werden kann, bleibt die homogene Maxwellgleichung weiterhin unverändert: div B(r) = 0. (2.33) Die gemittelte Stromdichte enthält sowohl Beiträge freier Ladungen (z.b. Leitungselektronen) als auch gebundener Ladungen. In einem äußeren Magnetfeld verschieben sich die Ladungen und bewirken damit Ströme: j tot (r) = j frei (r) + j geb (r). (2.34) j geb (r) beschreibt im Wesentlichen atomare Kreisströme, die ein inneres Zusatzfeld M(r) bewirken, das über j geb (r) = rot M(r) (2.35) definiert wird. Damit lautet die inhomogene Maxwellgleichung zunächst rot B(r) = µ o j frei (r) + µ o rot M(r). Führen wir nun als Hilfsgröße das Magnetfeld H(r) = 1 µ o B(r) M(r) (2.36) mit der Dimension Ampere pro Meter [A/m] ein, so bleibt schließlich rot H(r) = j frei (r). (2.37) Wir lassen im folgenden den Index an der freien Stromdichte weg, da Verwechslungen auszuschließen sind. Magnetische Suszeptibilität χ m : Für den Spezialfall eines linearen, isotropen Mediums gilt M(r) = χ m H(r). (2.38) Setzen wir (2.38) in (2.36) ein und definieren als relative Permeabilität so erhalten wir die wichtige Materialgleichung µ r = 1 + χ m, (2.39) B(r) = µ o (H(r) + M(r)) = µ o (1 + χ m ) H(r) = µ o µ r H(r). (2.40) Mit Hilfe der magnetischen Suszeptibilität gelingt nun die folgende Einteilung der magnetischen Stoffe: (a) Nichtmagnetisch: Diese Stoffklasse ist durch χ m = 0, also µ r = 1 charakterisiert. Damit gilt wie im Vakuum B(r) = µ o H(r). 29

32 (b) Diamagnetisch: Beim Diamagnetismus handelt es sich um einen reinen Induktionseffekt. Nach Einschalten eines äußeren Feldes werden permanente magnetische Dipole induziert, die nach der Lenzschen Regel zum erregenden Feld H entgegengesetzt ausgerichtet sind. χ m muss also negativ sein: χ m < 0. (c) Paramagnetisch: In paramagnetischen Stoffen sind bereits permanente magnetische Dipole vorhanden, die sich im äußeren Magnetfeld ausrichten. Die magnetische Suszeptibilität ist im allgemeinen von der Temperatur abhängig, da die Ausrichtung der Dipole durch thermische Unordnung gestört wird: χ m (T ) > 0. (d) Kollektiver Magnetismus: χ m ist hier eine von Temperatur und Magnetfeld abhängige, nichtlineare Funktion: χ m = χ m (T, H). Im Fall des Ferromagnetismus ergibt sich z.b. die typische Hysteresekurve. Feldverhalten an Grenzflächen: Ohne Beweis folgen noch die zur Berechnung magnetostatischer Probleme wichtigen Stetigkeitsbedingungen für das Magnetfeld H(r) und die magnetische Induktion B(r): B 2 B 1 n = 0, H 2 H 1 t = 0. (2.41) Die Normalkomponente von B(r) und die Tangentialkomponente von H(r) verhalten sich stetig. 30

33 3 Elektrodynamik Haben wir in den vorangegegangenen Kapiteln ausschließlich statische Probleme betrachtet, wollen wir nun Phänomene untersuchen, die auf zeitabhängige elektrische und magnetische Felder zurückzuführen sind. 3.1 Induktionsgesetz, Maxwell-Gleichungen Aus der Magnetostatik ist uns bekannt, dass nach (2.14) ein elektrischer Strom eine magnetische Induktion B erzeugt. Michael Faraday entdeckte im Jahre 1831, dass auch umgekehrt zeitlich veränderliche Magnetfelder in einem Leiterkreis einen Strom hervorrufen. Die mathematische Formulierung dieses Zusammenhangs nennt man das Faradaysche Induktionsgesetz: d B(r, t) df = E(r, t) ds, (3.1) dt F wobei das Integral auf der linken Seite den Fluss von B durch die Fläche F beschreibt und der Ausdruck auf der rechten Seite die Elektromotorische Kraft (EMK) im geschlossenen Leiter S(F ) definiert. Das Gesetz besagt also, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses ein elektrisches Feld und über (2.5) einen Strom in der Leiterschleife induziert. Das Vorzeichen wird durch die Lenzsche Regel festgelegt. Demnach ist der induzierte Strom und der damit verbundene magnetische Fluß so gerichtet, dass sie der Ursache ihrer Entstehung entgegenwirken. Die Flussänderung kann auf verschieden Weise zustandekommen, z.b. durch Bewegung der Leiterschleife im äußeren Magnetfeld oder durch zeitliche Veränderung der magnetischen Induktion. S(F ) Mit Hilfe des Satzes von Stokes lässt sich (3.1) noch umformen E ds = rot E df, S(F ) und wir erhalten als Verallgemeinerung der homogenen Maxwell-Gleichung der Elektrostatik das Faraday-Gesetz in differentieller Form F rot E = Ḃ (3.2) Hier und im weiteren lassen wir die Argumente r, t der verschiedenen Größen weg, wenn es keine Verwechslung geben kann. Außerdem ist die zeitliche Ableitung mit dem Punkt über dem Symbol markiert. Maxwellsche Ergänzung: Dies ist allerdings nicht die einzige Veränderung, die vorzunehmen ist. Betrachtet man die inhomogene Maxwell-Gleichung der Magnetostatik rot B = µ o j und wendet auf beiden Seiten die Divergenz an, div rot B = µ o div j = 0, 31