Fachrechnen für den Verpackungsmittelmechaniker

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1 Hauptverband Papier- und Kunststoffverarbeitung (HPV) e.v. Chausseestraße 05 Berlin Telefon: 00 / Telefax: 00 / info@hpv-ev.org Internet: Fachrechnen für den Verpackungsmittelmechaniker FORMELSAMMLUNG

2 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Formelsammlung für die Papier, Pappe und Kunststoffe verarbeitende Industrie HPV e.v., Berlin Redaktion: Jürgen Heinrichs Dieter Pusch Ausgabe: 9/009

3 Hauptverband Papier- und Kunststoffverarbeitung (HPV) e.v. Chausseestraße, 05 Berlin Tel. 00/4788-0, Fax 00/ Homepage: Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechts ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. unveränderte Ausgabe 9/009

4 Inhalt Inhalt Seite Gesetzliche Einheiten... 4 Basisgrößen... 4 Die Umwandlung Gesetzlicher Einheiten... 5 Metrisches Maßsystem, Zollmaße, Umrechnung von Längenmaßen... 6 Metrisches Maß... 6 Zollmaß... 6 Umrechnung von Längenmaßen... 7 Umrechnung von Teillängen... 8 Potenzen, Wurzeln, Dekadisches-, Duales, Hexadezimalsystem... 9 Potenzen... 9 Einheiten im Messwesen... 0 Wurzeln... Duales Zahlensystem... Rechnen mit Klammern... Rechnen mit Variablen... 4 Bruchrechnen... 5 Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen... 6 Dreisatz... 7 Einfacher Dreisatz... 7 Zusammengesetzter Dreisatz... 8 Prozentrechnen... 9 Der Prozentwert wird gesucht... 9 Der Prozentsatz wird gesucht... 0 Der Grundwert wird gesucht... 0 Zinsrechnung... Gleichungen und Verhältnisgleichungen... Gleichungen... Verhältnisgleichungen... Flächen... 4 Regelmäßige Vierecke... 4 Trapez, Dreieck und Vieleck... 4 Kreisförmige Flächen... 6 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

5 Inhalt Flächenbedarf und Verschnitt... 7 Kreisumfang, gestreckte Länge... 8 Kreisumfang... 8 Gestreckte Länge... 8 Körperberechnung... 9 Masseberechnung... Gewichtskraft, mechanische Arbeit... Gewichtskraft... Mechanische Arbeit und Leistung... Winkel und Zeitmaße... 4 Winkelgrößen... 4 Winkelmessung... 5 Der Satz des Pythagoras... 6 Winkelfunktionen... 7 Papierberechnung... 8 Gewicht (Masse) des Papiers... 8 Errechnen des Gesamtgewichtes... 9 Errechnen des Rollengewichtes (Rollenmasse)... 9 Errechnen der Rollenlänge... 9 Errechnen des Rollengewichtes (Masse) von Folien Dicke des Papiers Papier und Klima DIN-Formate... 4 Nutzenberechnung bei DIN - Formaten... 4 Rohformate... 4 Nutzenberechnung Nutzenberechnung bei nicht genormten Formaten Nutzenberechnung mit Nutzung der Reststreifen Nutzenberechnung unter Berücksichtigung der Laufrichtung Mischen von Lösungen Mischen von Lösungen aus zwei oder mehreren Mischungskomponenten Kreuzregel Drehmomente und Hebelgesetz Hebel und Drehmoment Zweiseitiger Hebel Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

6 Inhalt Riemenantrieb und Geschwindigkeit Einfacher Riementrieb Mehrfacher Riementrieb... 5 Umfangsgeschwindigkeit, mittlere und gleichförmige Geschwindigkeit... 5 Mittlere Geschwindigkeit bei Kurbeltrieben... 5 Gleichförmige Geschwindigkeit... 5 Zahnradantrieb Einfacher Zahnradtrieb Mehrfacher Zahnradtrieb Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik Elektrische Leistung Elektrische Arbeit Elektrischer Widerstand (Leiterwiderstand) Reihenschaltung von Widerständen Parallelschaltung von Widerständen Dreiphasenwechselstrom - Drehstrom (Leistungsberechnung) Mathematische Grundlagen der Pneumatik und Hydraulik... 6 Pneumatik... 6 Druckluftverbrauch... 6 Hydraulik Kolbenkräfte Volumenstrom Formeln zur Berechnung von Beutel- und Sackmaßen mit Materialgewicht (Masse) Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

7 Gesetzliche Einheiten Basisgrößen Basisgröße Länge Masse Zeit elektrische Stromstärke thermodynamische Temperatur Lichtstärke Basiseinheit Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Kurzzeichen m kg s A K cd Aus den Basisgrößen wurden viele für den Maschinenbau wichtige Größen und Einheiten abgeleitet, z.b. Abgeleitete Größe Kraft Druck Energie (Arbeit) Leistung elektrische Spannung Einheit Newton Pascal Joule Watt Volt Kurzzeichen N Pa J W V Beziehung N kgm/ s Pa N/ m J Nm W J s V A W Außerdem lässt das Gesetz auch Einheiten zu, die nicht Basiseinheiten und nicht direkt abgeleitete Einheiten sind. Es handelt sich um Einheiten, die sich aus einem bestimmten Zahlenwert mal Einheit ergeben, z.b. Größe Zeit Masse Druck Zeit Zeit Einheit Minute Tonne Bar Stunde Tag Kurzzeichen min t bar h D Beziehung min 60 s t 000 kg bar h 60 min d 4h Pa h 600 s d 86400s Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

8 Gesetzliche Einheiten Gegenüberstellung von Technischen Einheiten und SI-Einheiten Bezeichnung früher Heute Masse (Gewicht) Kraft Druck Spannung Leistung Temperatur Moment Druck kg kp at kp/mm PS 0 C kpm mws kp/m kg 0 N bar 0 N/mm 0,76 kw 7,5 K 0 Nm 0, bar 0 Pa 0N / m Technische Einheiten (früher) SI-Einheiten (heute) genauer Faktor Kraft kp 0 N kp dan p cn Druck, mechanische Spannung at bar ( bar 0 5 Pa) atm,0 bar m WS 0, bar kp/m 0 Pa ( Pa N/m ) kp/cm 0, N/mm kp/mm 0 N/mm Arbeit, Energie, Wärmemenge kpm 0 Nm ( Nm J Ws) kcal 4, kj kcal, Wh Leistung kpm/s 0 W ( W J/s Nm/s) PS 76 W 9, , , ,98067,05 0, , , , , ,8680,6 9, ,5 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4.

9 Gesetzliche Einheiten Die Umwandlung Gesetzlicher Einheiten Größe Formelzeichen Länge Weg Fläche Volumen l s A V SI - Einheit Zeichen Umrechnung in andere gesetzliche Einheiten Meter m m 00 cm 000 mm Quadratmeter m m 0000 cm mm 0 6 mm Kubikmeter m m 000 dm Zeit t Sekunde s dm Liter s min 60 Formel oder DIN Norm Beispiel Kreisfläche A r π d π A 4 Beispiel Prismen V A h Geschwindigkeit v Meter durch Sekunde m s m 60m s min v t s Beschleunigung Volumenstrom Umdrehungsfrequenz (Drehzahl) a Q n m Meter durch Sek. hoch zwei s Kubikmeter durch Sekunde Umdrehungen je Sekunde m s s Fallbeschleunigung (gerundet) m m g 9,8 0 s s l Liter durch Minute min m l s min 60 s min V Q t Q v A Umdrehungen je Minute min Masse m Kilogramm kg m V ρ DIN 05 Dichte ρ kg t/m DIN 06 kg durch Kubikmeter m kg/dm g/cm Kraft F Newton N Druck p N Newton durch Quadratmeter m Pascal Pa kg m F m a N s F G m g Bar bar N m 0,0000 bar Pa N 5 N bar 0 0 cm m Pa 0 5 bar DIN 05 F p A DIN 4 Temperatur(thermodynamische) (Celsiustemperatur) TΘ t,ϑ Kelvin K Celsius C Die Temperaturdifferenzen werden in K ausgedrückt. T t + T 0 T 0 7,5 K Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 5

10 Metrisches Maßsystem, Zollmaße, Umrechnungen von Längenmaßen Metrisches Maß Die Länge ist eine Basisgröße und hat als Einheit das Meter mit dem Zeichen m. Kilometer Hektometer Dekameter Meter Dezimeter Zentimeter Millimeter Mikrometer km hm dam m dm cm mm µm 0,00 km 0,0 hm 0, dam m 0 dm 00 cm 000 mm µm Zollmaß inch Zoll 5,4 Millimeter Teilmaße des Zoll werden mit Brüchen angegeben, z.b. 5 5 inch 5,4 mm inch 5,4 mm 5,875 mm 8 8 Verwendung in der Computertechnik 5 5 z.b. dpi Bildpunkte bezogen auf inch inch inch 5,4 mm,75 mm (Bildschirmbezogen) Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 6

11 Umrechnung von Längenmaßen Metrisches Maßsystem Die Einheit ist das Meter. Die Unterteilung erfolgt nach dem Zehnersystem: m 0 dm 00 cm 000 mm dm 0 cm 00 mm cm 0 mm Folgerung Die Längenumrechnungen von Einheit zu Einheit ist 0, d.h. also: Zehnersprung je Stelleneinheit. Das Komma wandert dabei von Einheit zu Einheit um Stelle. m m dm 0, m cm 0,0 m mm 0,00 m Die Flächenumrechnung von Einheit zu Einheit ist 00, also: Hundertersprung je Stelleneinheit. Das Komma wandert dabei von Einheit zu Einheit um Stellen. m m dm 0,0 m cm 0,000 m mm 0,00000 m Die Volumenumrechnung von Einheit zu Einheit ist 000, d.h. also: Tausendersprung je Stelleneinheit: Das Komma wandert dabei von Einheit zu Einheit um Stellen. m m dm 0,00 m cm 0,00000 m mm 0, m Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

12 Umrechnung von Teillängen Teillängen Bei der Umrechnung von Teillängen ist die Gesamtlänge Summe der Teillängen l l + l +...l n Lochteilung (Sägeschnitte) Bei der Berechnung der Lochteilung mit ungleichem Randabstand l Gesamtlänge p Teilung n Anzahl der Bohrungen ( Sägeschnitte ) a, b Randabstand ungleich Teilung: l ( a + b) p n Bei der Berechnung der Lochteilung mit Randabstand Teilung l Gesamtlänge p Teilung n Anzahl der Bohrungen z Anzahl der Teile Teilung: l p n + Anzahl der Teile: z n + Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

13 Potenzen Potenzen Werden gleiche Faktoren multipliziert, kann man dafür die abgekürzte Schreibweise der Potenz verwenden. Beispiel: Hochzahl oder Exponent \ / Grundzahl oder Basis gleiche Faktoren Die Hochzahl (Exponent) einer Potenz gibt an, wie oft die Grundzahl (Basis) als Faktor anzuschreiben ist. Erklärunge 9 sprich: hoch oder zum Quadrat Rechnen mit Potenzen Regel: 7 sprich: hoch Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten kann man addieren oder subtrahieren. Erklärung: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Erklärung: + 5 / \ / \ Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. 5 Erklärung: 5 5 Brüche werden potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. Erklärung: Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

14 Einheiten im Messwesen Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise Das Rechnen mit Zehnerpotenzen bietet besonders bei der Lösung technischer und physikalischer Aufgaben große Vorteile. Mit ihnen können sehr große und sehr kleine Zahlenwerte auf einfache Weise ausgedrückt werden. Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Vorsatzzeichen T G M k h da Zehnerpotenz Bedeutung Billionenfach Milliardenfach Millionenfach Tausendfach Hundertfach Zehnfach Beispiel Terawatt TW W Gigawatt GW W Megawatt MW W Kilowatt kw 000W Hektowatt hw 00W Dekawatt daw 0W Dezimale Teile Vorsatz Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Vorsatzzeichen d c m µ n p Zehnerpotenz Bedeutung Zehntel Hundertstel Tausendstel Millionstel Milliardstel Billionstel Beispiel Deziwatt dw 0, W Zentiwatt cw 0,0 W Milliwatt mw 0,00 W Mikrowatt µw 0,00000 W Nanowatt nw 0, W Pikowatt pw 0, W Die Zahlen sind Potenzwerte von Potenzen mit der Basis 0 oder 0. Es lassen sich jedoch auch beliebige ganze oder gebrochene Zahlen als Zehnerpotenz mit Beizahl schreiben, wenn man sie in entsprechende Faktoren zerlegt. Erklärung : , ,5 0 0, ,6 9,6 9, Es wird das Komma um 6 Stellen nach links verschoben und als Faktor die Potenz 0 6 beigefügt, im zweiten Beispiel wurde das Komma um 5 Stellen nach rechts verschoben und die Potenz 0 5 beigefügt. 0 5 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 0

15 Wurzeln Wurzeln Die Umkehrung der Potenzrechnung ist das Wurzelziehen. Beispiel: Wurzelexponent 7 Wurzelwert Radikand 7 heißt: Suche die positive Zahl, die dreimal als Faktor geschrieben den Radikand 7 ergibt. Beachte:. Wurzeln mit dem Exponenten heißen Quadratwurzeln.. Wurzeln mit dem Exponenten heißen Kubikwurzeln.. Der Wurzelexponent wird nicht geschrieben. 4. Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln entnimmt man Tabellen oder dem Taschenrechner. Erklärung: 5 5; weil ; weil ; weil 8 4 d d; weil d d d ; 4; weil die Radikanten addiert werden weil die Radikanten subtrahiert werden ; weil die Radikanten multipliziert werden 50 : 5 5; weil die Radikanten dividiert werden Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

16 Potenzen, Wurzeln, Dekadisches-, Duales, Hexadezimalsystem Duales Zahlensystem Das logische System eines Elektronenrechners oder einer numerischen Steuerung beschränkt sich meist bei der Darstellung aller Begriffe und Zahlen auf nur zwei ( lat.: bi ) Zeichen und heißt deshalb Binärsystem. Das wichtigste binäre Zahlensystem ist das Dualsystem mit den Zeichen 0 (keine Spannung) und (volle Spannung). Bewertet man die Stellen einer Dualzahl mit den Werten der Zweierpotenz, können damit beliebig große Dezimalzahlen dargestellt werden. usw Stelle Beispiel einer Dualzahl usw Zweierpotenz usw Potenzwert Dezimalzahl des o.g. Beispiels Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

17 Rechnen mit Klammern Bei den Grundrechenarten unterscheidet man:. Strichrechnung + Addition - Subtraktion. Punktrechnung Multiplikation Division Sind beide Rechnungsarten in einer Aufgabe vermischt, gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung : Zusammenhängende Größen einer Aufgabe setzt man zwischen Klammern. Regel: Beispiel: Klammern kann man weglassen, wenn vor der Klammer ein + (4-5) - 6? + Zeichen steht. + (7-5) - 6? Steht vor einer Klammer ein - Zeichen, kann man die Klammer 4 - (++4-7) +? auflösen, wenn jedes Glied in der Klammer entgegengesetzte Vorzeichen erhält. Klammern werden mit einer Zahl multipliziert, indem man 4 (6+-7)? entweder jedes Glied in der Klammer mit der Zahl multipliziert ? oder zuerst den Wert der Klammer errechnet und dann multipliziert. 4 ( ) 48 Klammern werden durch eine Zahl dividiert, in dem man entweder (4-4+5) : 7? jedes Glied in der Klammer durch die Zahl dividiert oder zuerst 4 : 7-4 : : 7? den Wert der Klammer errechnet und dann teilt (6) : 7 9 Beim Multiplizieren und Dividieren ergeben gleiche Vorzeichen + - (6+4-44)? und ungleiche Vorzeichen mal + ergibt + + mal - ergibt - mal - ergibt + Klammern werden miteinander multipliziert, indem man jedes (+7) (5-)? Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer ? multipliziert Eckige Klammern schließen runde Klammern ein. Man rechnet [ - (+5 6) + 7]? zuerst die runde Klammer. [ - + 7]? [5] 5 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

18 Rechnen mit Variablen Im Zahlensystem unterscheidet man:. Zahlen ; 0; ;.... Variable a; b; c;... Für das Rechnen mit Variablen gelten die selben Regeln wie für das Rechnen mit Zahlen.. Variable stehen häufig mit den reellen Zahlen:. b Zahl Variable. Auf das Malzeichen zwischen reeller Zahl und. b b Variable wird meist verzichtet:. Steht eine Variable ohne reelle Zahl, so muß b b man sich die Zahl dazudenken: Rechnen mit Variablen: Regeln Gleichnamige Variable kann man addieren oder subtrahieren, indem man die reelle Zahl addiert oder subtrahiert. Ungleichnamige Variable dürfen nicht addiert oder subtrahiert werden. Erklärung: a + a a b + 5b 8b 9c - c 6c a + 5b - 4b - a a + b Variablen kann man multiplizieren indem man, a. 4b ab die Zahlen multipliziert und die Variablen a. 9c. b 54abc dazuschreibt. a. 7a a. a a Die Reihenfolge der Faktoren darf vertauscht 5. 4b. a 60ab werden. Klammerausdrücke mit Variablen (a + 4b) a + b (-) (c - 5b) -6c + 0b 0b - 6c (4a + b) (a - 4b) a - 6ab + 6ab - 8b a - 0ab - 8b Variablen kann man dividieren, indem man die a : 4b a 4b a b Zahlen und Variablen kürzt. a bc a bc : 4abc a 4abc Die Reihenfolge darf vertauscht werden Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

19 Bruchrechnen Bruchrechnen Ein Bruch besteht aus Zähler, Nenner und Bruchstrich, z.b. Name Beispiel Erklärung echter Bruch Zähler kleiner als Nenner unechter gemischte Bruch Zahl 8 5 Zähler größer als Nenner Ergebnis eines unechten Bruchs gleichnamige Brüche alle Nenner sind gleich ungleichnamige Brüche die Nenner sind unterschiedlich Scheinbruch 5 Nenner ist gleich Regel: Erklärung: Beim Erweitern ist der Zähler und der Nenner eines Bruches mit Erweitern mit 6 derselben Zahl zu multiplizieren Der Wert des Bruches ändert sich nicht. Beim Kürzen ist der Zähler und der Nenner eines Bruches durch Kürzen durch : 6 dieselbe Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches ändert sich nicht. : 6 Gleichnamige Brüche kann man addieren bzw. subtrahieren indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt unverändert. Ungleichnamige Brüche kann man erst addieren bzw. subtrahieren, wenn sie durch einen Hauptnenner gleichnamig geworden sind. Im Hauptnenner müssen alle Einzelnenner aufgehen. Die Zähler werden mit dem Vielfachen, wie die Nenner in den Hauptnenner aufgehen, multipliziert Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 5

20 Bruchrechnen Ermitteln des Hauptnenners durch Zerlegung in Primfaktoren. Erklärung: Suche den gemeinsamen Nenner von 4, 9, 6,, 64, Die Zahl 4.0 läßt sich durch 4, 9, 6,, 64, 44 teilen und geht glatt auf. Erklärung 6 6 Brüche kann man multiplizieren, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Eine ganze Zahl wird als Scheinbruch eingesetzt und eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch verwandelt Brüche kann man dividieren, indem man den Bruch im : 4 Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner multipliziert. Eine ganze Zahl wird als Scheinbruch eingesetzt und eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch verwandelt. : Es ist ratsam, die Zahlen so weit wie möglich zu kürzen. Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 6

21 Dreisatz Einfacher Dreisatz Der Dreisatz setzt sich aus Sätzen zusammen (Einfacher Dreisatz). ) Eine Angabe- oder Aussagesatz ) Ein Fragesatz ) Den Lösungssatz Merke:. Das, wonach gefragt wird, steht am Schluß des Satzes. Was hinten über dem gefragten Wert x steht, steht oben immer auf dem Bruchstrich.. Der Schluß der Vielfalt zur Einheit führt zum Teilen, der Schluß von der Einheit zur Vielfalt führt zum Malnehmen.. Mit geradem oder ungeradem Verhältnis. Gerades Verhältnis, direkter Dreisatz Erklärung: 5 Maschinen gleichen Typs verbrauchen in einer bestimmten Zeit kwh. Wieviel kwh verbrauchen 8 Maschinen?. Satz 5 Maschinen verbrauchen kwh. Satz 8 Maschinen verbrauchen x kwh 8. Satz,6 kwh (gerades Verhältnis) 5 Umgekehrtes Verhältnis, indirekter Dreisatz Erklärung: gleichartige Maschinen schaffen 500 Bogen in Stunden. Wieviel Maschinen müssen bereit stehen, um 9000 Bogen in 40 Stunden zu verarbeiten? 500 Bogen Stunden Maschinen 9000 Bogen 40 Stunden x Maschinen Maschinen (ungerades Verhältnis) Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

22 Dreisatz Zusammengesetzter Dreisatz Er ist aus zwei oder mehr einfachen geraden oder ungeraden Dreisätzen zusammengesetzt. Die Entwicklung erfolgt wie beim einfachen Dreisatz. Erklärung: Um 5000 m Erde zu bewegen, benötigen 5 Maschinen 48 Arbeitsstunden. Wieviel Arbeitsstunden brauchen 6 Maschinen für einen Auftrag über 000 m? Ansatz: Auflösen in einfachen Dreisatz Bruchsatz: 5 Maschinen bewegen 5000 m in 48 Stunden 5 Ma m - 48 Std. 6 Maschinen bewegen 000 m in x Stunden 6 Ma m - x Std Der zusammengesetzte Dreisatz wird in einfache Dreisätze aufgelöst. Jeder einfache Dreisatz wird für sich entwickelt und im gemeinsamen Bruchsatz ausgerechnet. Erster einfacher Dreisatz:. 5 Maschinen benötigen 48 Stunden 48.. Maschine benötigt x Stunden. (mehr oder weniger Std. als 5 Maschinen? Mehr) Maschinen benötigen? Stunden (mehr oder weniger Std. als Maschine? Weniger) Zweiter einfacher Dreisatz:. in 48 Stunden für m benötigt man? Stunden (mehr oder weniger Std. als 5000 m? Weniger) für 000 m benötigt man? Stunden (mehr oder weniger Std. als für m? Mehr) Ausrechnung Arbeitsstunden 6 Stunden, 0Minuten Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

23 Prozentrechnen Prozent - von Hundert Rechnung % (v.h.) lat. Cento. Beim Prozentrechnen geht es um vier Dinge.. Grundwert g kann, Bogen usw. sein.. Prozentwert w kann ein Prozentbetrag sein. Prozentsatz p Prozentrechnung ist eine Rechnung (Bruchrechnung) mit Nenner z.b. 5 % 00 Der Prozentwert wird gesucht Der Prozentwert wird auch Hundertwert genannt. Man streicht vom Grundwert zwei Stellen ab und nimmt mit dem Prozentsatz mal: Prozentwert Grundwert 00 Prozentsatz Erklärung: Eine Fabrik erhält eine Rechnung über 50,00. Dazu kommen 6 % MWSt. Wie hoch ist der Betrag der Rechnung? Prozentwert Re chnungsbet rag MWSt. 00 g p w 00 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

24 Prozentrechnen Der Prozentsatz wird gesucht Der Prozentsatz wird auch Hundertsatz genannt. Man nimmt den Prozentwert mit 00 mal und teilt dann durch den Grundwert. Prozentsatz Prozentwert 00 Grundwert Erklärung : Bei der Durchsicht von 500 Bogen wurden 65 Stück als Makulatur aussortiert. Wieviel Prozent sind das? p w 00 g Der Grundwert wird gesucht Man nimmt den Prozentwert mit 00 mal und teilt durch den Prozentsatz: Grundwert Prozentwert 00 Prozentsatz Erklärung: Ein Verpackungsmittelmechaniker erhielt netto 07,9 im Monat. Seine Abzüge betrugen: 5,5 % Lohnsteuer, Kirchensteuer (8 % der Lohnsteuer), 0, % Sozialversicherungsbeiträge. Wie hoch war sein Bruttolohn? 5,5 % Lohnsteuer +,4 % Kirchensteuer (8 % von 5,5 % Lohnsteuer) + 0, % Sozialversicherung 7,04 % Abzüge 00 % - 7,04 % 6,96 % Nettolohn w 00 g p Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 0

25 Zinsrechnung Zinsrechnungen sind Prozentrechnungen, bei denen die Zeit berücksichtigt werden muß. Zinsen sind Prozentwerte, die für geliehenes Geld (Kapital Grundwert) nach vereinbartem Zinssatz (Prozentsatz) pro Jahr zusätzlich zu zahlen sind. Zinsformel: Z K p t 00 Z Zinsen in K Kapital (geliehenes Geld) in p Zinssatz in Prozent t Zeit in Jahren ( Monat 0 Tage, Jahr 60 Tage) Erklärung: Welchen Betrag hat ein Sparer von der Sparkasse zu erhalten, wenn er bei ihr 4800 zu 4 % 8 Monate und 4 Tage stehen hatte? 46 t Tage Jahr Zeit auf Jahr bezogen 60 Z K p t 00 K+Z Endbetrag, der auszuzahlen ist Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

26 Gleichungen Umstellen von Gleichungen Regeln:. Die Unbekannte muß allein auf einer Gleichungsseite stehen.. Bei einer Gleichung muß immer auf jeder Gleichungsseite gleich viel verändert werden.. Die Unbekannte muss im Zähler stehen. Merke: Strichrechnung: + und - Summengleichung Punktrechnung: und : Faktorengleichung Erklärung: Bei Seitentausch in der Summengleichung wird aus + ein und aus ein + Bei Seitentausch in der Faktorengleichung wird aus ein : und aus : ein Aus einer Subtraktion (-) wird durch Vertauschen der Seiten x 7 +7 eine Addition (+) x + 7 x 0 Aus einer Multiplikation ( ) wird durch Vertauschen der Seiten 5x 5 :5 eine Division (:) x 5 5 x 5 Aus einer Division (:) wird durch Vertauschen der Seiten x eine Multiplikation ( ) x 5 5 x 75 Durch Vertauschen der Seiten wird aus einer Addition (+) 6x eine Subtraktion (-) und aus einer Multiplikation ( ) eine 6x 5 - Division (:) 6x :6 x : 6 x Die Unbekannte im Nenner x x Aus einer Division (:) wird eine Multiplikation ( ) und daraus x erneut eine Division (:). Das Ergebnis wird gekürzt. x : x 4 Punkt- vor Strichrechnung x + x + - Aus einer Division (:) wird eine Multiplikation ( ) und aus x 6 - einer Addition (+) wird eine Subtraktion (-) x 4 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

27 Verhältnisgleichungen Verhältnisgleichungen Verhältnis Verhältnisgleichung Quotient zweier Größen Proportion. Verhältnisse Durch ein Verhältnis werden Zahlen oder Größen miteinander verglichen. Das Verhältnis ist auf möglichst kleine Zahlen zu kürzen. Schreibweise: Teilungsform oder Bruchform, z.b. : Merke: Verhältnisse werden wie Brüche gekürzt oder erweitert.. Gleiche Verhältnisse: Wir erhalten gleiche Verhältnisse, wenn sich gleiche Größen im gleichen Verhältnis ändern, z.b. Arbeitszeit zum Lohn, Längenvergleich. Merke: Je mehr - desto mehr oder je weniger - desto weniger. Ungleiche Verhältnisse: Wir erhalten ungleiche Verhältnisse, wenn sich gleiche Größen im umgekehrten Verhältnis ändern, z.b. Geschwindigkeit zur Zeit. Merke: Je mehr - desto weniger oder je weniger - desto mehr 4. Verhältnisgleichung: Nach Klären und Bilden der Verhältnisse erfolgt das Gleichsetzen. Hinweis: Verhältnisgleichungen sind Proportionen, z.b. : :4 oder Produkt der Innenglieder Produkt der Außenglieder 4 Eine Verhältnisgleichung besteht aus zwei gleichen Verhältnissen. 5. Zusammenfassung Kläre die Verhältnisart, bilde das Verhältnis: Je mehr - desto mehr gleiche Verhältnisse Je mehr - desto weniger ungleiche Verhältnisse 6. Erklärung: Die Höchstgeschwindigkeit von PKW und PKW verhalten sich wie :. Welche Fahrzeit benötigt der PKW, wenn der PKW die gleiche Strecke in min zurücklegt? Gesucht: t in min Gegeben: v : v : Vorüberlegung: Je schneller...desto geringer: ungleiches Verhältnis! 4 Lösung: v v t t t t min 4 min Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

28 l Flächenberechnung Als Flächen bezeichnet man:. Regelmäßige Vierecke Quadrat A l Rhombus A l b e l b l l A Fläche A Fläche l Seitenlänge l Seitenlänge e Eckenmaß l b Breite U Umfang 4 l U Umfang 4 l Rechteck A l b Rhomboid A l b e l b b l l A Fläche A Fläche l Länge l Länge b Breite l schräge Seitenlänge e Eckenmaß l + b b Breite U Umfang (l + b) U Umfang ( l + l ). Trapez, Dreieck und Vieleck Trapez A l m b Dreieck A l b b Breite l l l m b l b A Fläche l kleine Länge l m mittlere Länge l + l Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

29 Flächenberechnung Vieleck Unregelmäßiges Vieleck A A + A +... Regelmäßiges Vieleck A n l d 4 l b A α A b d D β l l l d A Gesamtfläche A Fläche n 80 A, A Teilflächen l Seitenlänge D sin ( ) n l, l Längen D Umkreisdurchmesser b,b Breiten d Inkreisdurchmesser U Umfang Summe der Teillängen α Mittelpunktswinkel β Eckenwinkel n Eckenzahl U Umfang d + l D l 60 n 80 (n n n l ) Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 5

30 Flächenberechnung. Kreisförmige Flächen Kreis d A π Kreisausschnitt 4 l B π A 4 d α 60 α r d d A Fläche A Fläche d Durchmesser U Umfang π d d Durchmesser r Halbmesser l l B r Sehnenlänge r sin α π r α l B Bogenlänge 80 b Breite α Mittelpunktswinkel Kreisabschnitt l B b π l (r - b) - 4d α A Kreisring A π (D d ) 60 b 4 α D d r l l d l r l (r b) A Fläche B A Fläche d m b π d Durchmesser D Außendurchmesser r Halbmesser d Innendurchmesser α D + d l Sehnenlänge r sin d m mittlerer Durchmesser π r α l B Bogenlänge b Breite 80 l α b Breite tan 4 dm Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 6

31 Flächenbedarf und Verschnitt A B A V A Flächenbedarf, Bruttofläche Flächenverschnitt Fläche, Nutzfläche. Aufteilung Die Gesamtfläche ist in vorteilhafte Teilflächen zu zerlegen: A A + A + A n A A A B - A A V A v Hinweis Trage die Benennung der Teilflächen in die Zeichnung ein.. Verschnitt Um eine bestimmte Flächenform auszuschneiden, wird eine Bruttofläche von 00 % benötigt. Der Flächenbedarf wird als Grundwert angesetzt. A B 00% A v % Folgerung Bruttofläche 00 % Verschnitt x % x 00% A A Hinweis Verschnittaufgaben lassen sich mit der Dreisatzrechnung oder der Verhältnisrechnung lösen. B v Dreisatzrechnung Verhältnisrechnung A B als Aussage 00 % 00 % zu x A B zu A V 00% Schluß auf die Einheit A B 00 % : x A B : A V Schluß auf die Mehrheit 00% A V 00% A V x A B A B Gesamtfläche Addition oder Subtraktion der Teilflächen A A + A + A n A A B - A V. Nutzen Erklärung A A B - A V A B l b 9 A l b V V V 75 A V l V b V 9 00 A V l V b V A V A V + A V + A V A B 00 % A V x % Angaben in cm x 00% A A B V Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

32 Kreisumfang (gestreckte Länge) Kreisumfang d Kreisbogen l B α d Bezeichnungen: U Umfang l B Bogenlänge d Durchmesser α Mittelpunktswinkel U π. π d α d l B 60 Gestreckte Länge: Beim Biegen eines Werkstückes wird die äußere Faserschicht gestreckt, die innere gestaucht. Die neutrale Faser (Mittellinie) behält ihre tatsächliche Länge.. Vollring dm gestreckte Länge dm 5 π Länge vor dem Biegen mittl. Durchmesser. π L d m. π Hinweis: mittl. Durchmesser Außendurchmesser - Materialdicke mittl. Durchmesser Innendurchmesser + Materialdicke. zusammengesetzte Längen l d m l Die gestreckte Länge setzt sich aus den Teillängen zusammen. d α L m π + l +... o 60. Eckige Rahmen l s l l Gestreckte Länge Länge der Mittellinie L Summe der Innenmaße + n. s L Summe der Außenmaße - n. s s l Hinweis: Bei symetrischen Querschnitten geht die neutrale Faser durch den Mittelpunkt. Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

33 Körperberechnung Als Körper bezeichnet man:. Körper mit gleichbleibenden Querschnitt Volumen Fläche. Höhe V A h Würfel A l Vierkantprisma A l b h h b l l l Zylinder A π d 4 Hohlzylinder A π 4 (D d ) d h h d D. Körper mit zugespitzten Querschnitt V A h Pyramide A l oder l b Kegel A π d 4 l s h h h h s b l d Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

34 s h Körperberechnung. Abgestumpfte Körper V A m h Pyramidenstumpf A m A l + A π d m Kegelstumpf A m 4 d d m D + d b h s h h b l D Die Berechnung von Abwicklungen kann man dem Handbuch für Verpackungsmittelmechaniker entnehmen. 4. Kugel V π 6 d d 5. Zusammengesetzte Körper Gesamtvolumen: V V + V - V v v v Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 0

35 Masseberechnung Jeder Körper besteht aus einer bestimmten Menge eines Werkstoffs. Diese Stoffmenge bezeichnet man als spezifische Masse. Die spezifische Masse wird durch wägen auf der Waage gemessen und in folgenden Maßeinheiten angegeben. Spezifische Masse ϱ in g cm oder kg dm t oder m Die erhaltende spezifische Masse beziehen wir auf die jeweilige Volumeneinheit und nennen das Verhältnis Dichte. Daraus ergibt sich folgende Grundgleichung. m V. Masse Masse Volumen Dichte flächenbezogene Masse * Fläche ϱ m m A * Papierflächengewicht wird in flächenbezogene Masse (g / m ) angegeben. Dichte einiger Stoffe Stoff ϱ in kg dm Stoff ϱ in kg dm Aluminium Eisen/Stahl Kupfer PE - LD PE - HD,7 7,85 8,9 ca. 0,9 ca. 0,96 Wasser (rein) Öl Spiritus,0 ca. 0,9 0,8 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

36 Gewichtskraft Die Gewichtskraft ergibt sich aus der Massenanziehungskraft (Gravitation), z.b. zwischen der Erde und einem Körper. Die Gewichtskraft darf nicht mit dem Begriff Gewicht, der oft für Massen verwendet wird, verwechselt werden. Die Gewichtskraft einer Masse kann mit Hilfe der Gravitationskonstanten g (entspricht der m N Fallbeschleunigung ) berechnet werden. s kg F Kraft in N F G m g m Masse in kg g 9,8 kg N (Mittelwert für die Gravitationskonstante der Erde) Erklärung: Mit welcher Gewichtskraft F G drückt ein quadratisches 5 mm starkes Eisenblech mit der Seitenlänge a 400 mm auf seine Unterlage? Gesucht: F G Lösung: F G m g m ρ V Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

37 Mechanische Arbeit und Leistung Mechanische Arbeit Beim Heben eines Körpers wird mechanische Arbeit aufgewendet. Bei der verrichteten Arbeit wirkt die Kraft längst des Weges. Daraus folgt: Mechanische Arbeit [J] Kraft [N] Kraftweg [m] W F s Größenwertgleichung Bezeichnungen und Einheiten W F s W Arbeit in J W m F Kraft in N g s s Kraftweg in m m Masse in kg g Fallbeschleunigung in m / s Mechanische Leistung ist die in Zeiteinheit (z.b. in Sekunde) verrichtete Arbeit. Mechanische Leistung [W] Größenwertgleichung mechanische Arbeit Zeit [s] [ J] Bezeichnungen und Einheiten P W t F s t F v P Leistung in W W Arbeit in J s Kraftweg in m t Zeit in s v Geschwindigkeit in m / s Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite

38 Winkel Winkelgrößen Die Abbildung zeigt die Bezeichnung der Winkel nach ihrer Größe α β γ δ ε σ Abb. : Die sechs Winkelgrößen Wir wollen diese Darstellung durch eine Aufzählung ergänzen. Beachte hierbei, daß die verwendeten Zeichen < - kleiner als - und > - größer als - bedeuten. Spitze Winkel sind kleiner als 90 α < 90 Rechte Winkel sind gleich 90 * 90 Stumpfe Winkel sind größer als 90 aber kleiner als 80 γ > 90 γ < 80 Gestreckte Winkel sind gleich 80 δ 80 Erhabene oder überstumpfe Winkel sind größer als 80, aber kleiner als 60 ε > 80 ε < 60 Vollwinkel sind gleich 60 σ 60 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

39 Winkel- und Zeitmaße Winkelmessung Um Winkel messen zu können, wurde der Maßkreis in 60 Winkelgrade eingeteilt (Abb. ). Die Winkelgrade wurden in Winkelminuten und diese in Winkelsekunden unterteilt. Die abgeleitete Einheit des Winkelmaßes ist ein Grad. 90 o Ein Grad ist der 60ste Teil eines Kreises. 80 o o 0 60 o Die Umrechnung von Winkeleinheit zu Winkeleinheit ist 60 z.b. 0,5 0, Die Einheit der Zeit ist die Sekunde. Eine Sekunde ist der ste Teil eines Tages (4h). Die Umrechnungszahl von Zeiteinheit zu Zeiteinheit ist 60 z.b. 0,5 h 0,5 60 min 0 min. 70 o Abb. : Einteilung des Maßkreises in Winkelgrade Einteilung des Maßkreises in 60 Grad 60 Grad 60 Minuten 60 Minute 60 Sekunden 60 Winkel werden mit dem Winkelmesser gemessen. Die Abbildung zeigt, wie dieses Meßzeug angelegt wird. Die Abbildung zeigt einen Winkel von 60. Abb. : Winkelmessung mit dem Winkelmesser Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 5

40 Der Satz des Pythagoras Mit dem Namen Satz des Pythagoras bezeichnen wir das Gesetz über das rechtwinklige Dreieck nach seinem Entdecker (geb. um 570 v. Chr.). Die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks, welche immer dem rechten Winkel gegenüberliegt, nennen wir Hypotenuse c oder Spannseite, die beiden rechtwinklig aufeinander stehenden Seiten nennen wir Katheten a und b oder Lotseiten (Abb. ). b Kathete Kathete a Hypotenuse c Abb. : Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck Der Satz des Pythagoras lautet: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat gleich der Summe der beiden Kathetenquadrate (Abb. ). Formeln: a 6 a c b a c b b 9 b a c a + b c a + b b c a b c a c c 5 Abb. : Der Satz des Pythagoras c a + b Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 6

41 Winkelfunktionen Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck, bezogen auf einen Winkel: Gegenkathete (liegt dem Winkel gegenüber) Ankathete (liegt am Winkel) Hypotenuse (liegt dem rechten Winkel gegenüber) γ Beispiel zum Winkel α: b a Gegenkathete a Ankathete b Hypotenuse c α β c Wichtige Winkelfunktionen Tangens Cotangens c a c a α α b b tan α Gegenkathete Ankathete a b cot α Ankathete Gegenkathete b a Sinus Cosinus c a c a α α b b sin α Gegenkathete Hypotenuse a c cos α Ankathete Hypotenuse b c Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

42 Papierberechnung Papierberechnung Gewicht (Masse) des Papiers Die frühere Angabe des Papierflächengewichtes wird durch den Begriff der flächenbezogenen Masse in g für m ( g/m ) ersetzt. Bei dieser Angabe bezieht sich die Masse eines Bogens in Gramm auf die Fläche in m. Das Bogengewicht (Masse) errechnet sich aus der Bogenfläche mal flächenbezogene Masse. Daraus folgt: Größenwertgleichung Bezeichnungen und Einheiten m Gewicht (Masse) des Bogens in g m A m A Fläche des Bogens in m m flächenbezogene Masse in g/m m l. b. m l b Bogenformat in m Zahlenwertgleichung l b m n m Bezeichnungen und Einheiten m Gesamtgewicht (Masse) in kg l b Bogenformat in mm m flächenbezogene Masse in g/m n Stückzahl Bei der Anwendung dieser Formel wird das Bogengewicht für eine bestimmte Stückzahl errechnet. Der Divisor rechnet die Bogenfläche von mm in m um; das Bogenformat wird in mm angegeben. Der dritte Divisor 000 bestimmt das Gewicht in kg, weil die flächenbezogene Masse in g angegeben wird. Bei der Berechnung des Rollengewichts (Rollenmasse) gilt folgender Aufbau der Zahlenwertgleichung. Zahlenwertgleichung. Bezeichnungen und Einheiten m G b l m R R m H m G b R Gesamtgewicht (Rollenmasse) in kg Rollenbreite in mm l R Rollenlänge in m m flächenbezogene Masse in g/m m H Gewicht (Masse) der Hülse in kg Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

43 Erklärung zur Papierberechnung Papierberechnung Errechnen des Gesamtgewichtes (Masse) Angaben: Gesucht:. Format. flächenbezogene Masse. Bogenanzahl Gesamtgewicht (Masse) Formel: m b m" n Angaben: l b in mm m`` in g / m n in Bogen m in kg Errechnen des Rollengewichtes (Rollenmasse) Angaben: Gesucht:. Rollenbreite. Rollenlänge. flächenbezogene Masse 4. Hülsengewicht (Masse) Rollengewicht (Masse) Formel: l b m m H Angaben: b R in mm l R in m m in g/m m H in kg m G in kg R R m + G Errechnen der Rollenlänge Bei Rollen mit Hülsengewichtsangabe muss das Gewicht der Hülse von der Masse der Rolle subtrahiert werden. Angaben: Gesucht: Formel:. Rollenbreite:. flächenbezogene Masse. Gesamtgewicht (Masse) 4. Gewicht (Masse) der Hülse Rollenlänge (m m ) G H l R b m R Angaben: b R in mm l R in m m in g / m m G in kg m H in kg Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

44 Papierberechnung Errechnen des Rollengewichtes (Masse) von Folien Die flächenbezogene Masse errechnet sich bei Folien aus der Stärke Dichte t ρ (Dichte ca.0,9 kg /dm bei PE-LD). Größenwertgleichung Angaben: b R in mm m t ρ [ g/m ] l R in m t in µm ρ in kg/dm Zahlenwertgleichung b l t ρ R R Formel: m + m G H m H in kg m G in kg Dicke des Papiers Die Dicke des Papiers hängt von seinem Volumen ab. Bei normalen Papieren mit einfachem Volumen entspricht die Grammzahl der Flächenmasse der Papierdicke in tausendstel Millimeter. Ein Papier mit 80 g / m hat also bei einfachem Volumen eine Dicke von 0,08 mm. Volumen Papierdicke (mm) 000 flächenbezogene Masse in g/m V t 000 m Papier und Klima Normalklima Nach DIN 5004 sind drei Klimazustände genormt: a) 0 / 65, d.h. 0 C und 65 % rel. Luftfeuchte b) / 50, d.h. C und 50 % rel. Luftfeuchte c) 7 / 65, d.h. 7 C und 65 % rel. Luftfeuchte Das Normalklima / 50 wird in der Praxis der Papierprüfung bevorzugt; 7 / 65 gilt für tropische Länder. Wird der Luft über dieses Maximum hinaus Wasserdampf zugeführt, dann fällt der überflüssige Dampf in Form feiner Nebeltröpfchen wieder aus. Die relative Luftfeuchtigkeit gibt das Verhältnis der absoluten Feuchtigkeit zum Sättigungsmaximum in Prozenten an. Relative Luftfeuchtigkeit in % absoluter.feuchtigkeitsgehalt g / m maximaler.feuchtigkeitsgehalt g / m 00 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 40

45 DIN-Formate Nutzenberechnung bei DIN - Formaten Druckbogenformate sind nach DIN 476 genormt. Ein Bogen DIN A 0 hat ein Seitenverhältnis : und eine Fläche von m. Die fortlaufende Teilung eines Bogens im DIN - Format durch das Halbieren der jeweils längeren Seite ergibt aus einem Bogen,4,8,6, usw. Bogen (bzw. Blatt bei kleineren Formaten ab DIN A ) mit dem gleichen Seitenverhältnis. Das heißt; die Anzahl der erhaltenen Bogen oder Blätter verdoppelt sich jeweils. Demnach kann das Teilungsprodukt durch Potenzen zur Basis dargestellt werden. Der Exponent, die Hochzahl, steht dabei stellvertretend für das entsprechende DIN - Format. In der Praxis werden die einzelnen, sich dabei ergebenden Bogen (Blatt) Nutzen genannt. Die rechnerischen Zusammenhänge der Nutzenberechnung bei DIN - Formaten zeigt die folgende Übersicht: Anzahl der Teilungen _ Potenzen zur Basis _ Nutzen Blatt Das Prinzip der fortlaufenden Teilung ermöglicht ein sicheres, einfaches und rasches Berechnen der Nutzen aus beliebigen DIN - Formaten. Hinweis zur Nutzenrechnung: Ein Format DIN A 4 (entsprechend: 4 ) ist aus einem Bogen DIN A 0 (entsprechend: 0 ) zu schneiden. Die Differenz der Exponenten (Hochzahlen) mit der Basis potenziert ergibt die Nutzenzahl. Erklärung:. Aus einem Bogen im Format DIN A 0 sind Blätter im Format DIN A 4 zu schneiden. Wieviel Nutzen erhält man? Rechnung: ( 6 Nutzen ). Wieviel Nutzen DIN A 5 sind aus einem Bogen DIN A zu schneiden? Rechnung: 5 8 ( 8 Nutzen ) Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

46 DIN-Formate Ein Format gibt ein Größenverhältnis der Seiten eines Bogens nach Breite und Höhe an. Bei der Formatansage sollte man immer zuerst die Breite und dann die Höhe des Formates nennen, um das Quer- oder das Hochformat auch aus der Größenangabe erkennen zu lassen. 0mm 97mm 97mm 0mm Hochformat Querformat Die heute gebräuchlichen Papierformate basieren zum Großteil auf den unter DIN 476 genormten Formatreihen, die folgende Voraussetzung erfüllen.. Das Urformat der Reihe A ist ein Rechteck von qm Größe.. Jedes benachbarte Format ergibt sich durch Halbieren oder Verdoppeln.. Jedes Format ist dem anderen in geometrischem Sinne ähnlich (Seitenverhältnis aller Formate : ). 4. Werden bei der Rechteckfläche die Seiten mit x und y bezeichnet so gilt die Gleichung: x : y : Aus der DIN - Reihe A sind die DIN - Reihen B + C + D abgeleitet, von denen aber nur wenige Formate handelsübliche Bedeutung haben. Wichtiger sind die zur beschnittenen DIN A - Reihe passenden (nicht genormten) unbeschnittenen Rohformate. Format Reihe A Reihe B Reihe C Klasse (Vorzugsreihe) (insbesondere (insbesondere Anwendung z.b. Umschläge für Umschläge) Briefbogen C - Reihe) mm mm mm Briefbogen Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

47 DIN-Formate Die DIN - Formate werden durch folgende Grundsätze bestimmt. Sie entstehen durch Hälften des vorangehenden Formats, d.h. durch Halbieren der langen Formatseite. Halbiert man die lange Formatseite, erhält man das nächstkleinere DIN - Format. Die Formatklassen 0 bis 8 geben die Zahl der Falzungen bzw. Halbierungen an. DIN A 0 wird als Vierfachbogen DIN A wird als Doppelbogen DIN A wird als Einfachbogen DIN A wird als Halbbogen DIN A 4 wird als Viertelbogen DIN A 5 wird als Achtelbogen oder Blatt DIN A 6 wird als / Blatt DIN A 7 wird als / 4 Blatt DIN A 8 wird als / 8 Blatt bezeichnet bezeichnet bezeichnet bezeichnet bezeichnet bezeichnet bezeichnet bezeichnet bezeichnet Die Rohformate Die Bogen müssen in den meisten Fällen größer sein als die Nutzen. Das wird bedingt durch die Greiferkante und den Beschnitt nach dem Druck. Diese unbeschnittenen Papiere werden als Rohbogen bezeichnet. Das Rohformat ist ungefähr 5 % größer als die beschnittenen Bogen. Siehe Tabelle: Klasse Endformat mm Rohformat mm DIN A DIN A DIN A DIN A DIN A DIN A DIN A DIN A DIN A Tabelle zur Entnahme von DIN Formatmaßen A 0 A A A A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 Diese Tabelle sagt aus, daß man z.b. A aus einem A0 Format 6 DIN A4 A Formatbogen, oder aus einem DIN A4 A Bogen 6 A8 Formatbogen erhält. A A A A 6 4 A 7 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

48 Nutzenberechnung Nutzenberechnung bei nicht genormten Formaten Bei nicht genormten Bogen und Formaten sind die Nutzen mit der Vertikaldivision zu berechnen. Dabei werden das Bogenformat und das Nutzenformat untereinander geschrieben und die Breite und die Länge jeweils vertikal dividiert. Ist die Laufrichtung des Bogens zu berücksichtigen, gibt man jeweils an der Seite parallel zur Laufrichtung ein M ( Maschinenrichtung oder Laufrichtung) an. Diese Seiten müssen zur Berechnung untereinander stehen. Ist die Laufrichtung nicht zu beachten, sind zwei Rechnungen mit unterschiedlicher Nutzenanlage durchzuführen. Dabei ist in der größtmöglichen Nutzenzahl zu schneiden. Die Grundformel lautet: Nutzenzahl. pro. Bogen Bogenformat Nutzenformat Erklärung:. Ein Nutzenformat 6 cm 0 cm soll aus einem Bogen 50 cm 70 cm geschnitten werden. Wieviel Nutzen erhält man? Hochformat Querformat Rohbogenformat 50 cm 70 cm 50 cm 70 cm Nutzenformat 6 cm 0 cm 0 cm 6 cm Zahl der Nutzen 9 Nutzen 4 8 Nutzen. Reststreifen cm 70 cm 0 cm 70 cm. Reststreifen 48 cm 0 cm 40 cm 6 cm Man wird das Hochformat wählen; die Reststreifen fallen weg, da sie von den Maßen keine Ausnutzung mehr zulassen. Bei der rechnerischen Lösung brauchen nur die Reststreifen vermerkt werden, die noch eine Ausnutzung zulassen.. Nutzenberechnung mit Nutzung der Reststreifen Da bei der Berechnung mit Nutzung der Reststreifen eine Formatumstellung von z.b. Quer- zu Hochformat notwendig ist, kann diese Nutzung der Bogeneinteilung nicht immer angewandt werden. Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 44

49 Nutzenberechnung Erklärung: Berechnung mit Reststreifen. Rechnerische Lösung Bogenformat 6 cm 86 cm Nutzenformat cm 8 cm a) 6 86 b) N 6 8 N Reststreifen a) Nutzenbreite 4 5 Nutzenlänge Reststreifen Nutzen. Reststreifen Nutzen 6 N + N 9 N Reststreifen b) Nutzenlänge 8 54 Nutzenbreite Reststreifen Nutzen. Reststreifen Nutzen. Zeichnerische Lösung 86cm 6cm Nutzen in Querformat 6 Nutzen. Nutzen in Hochformat Nutzen 9 Nutzen x8cm 4 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 45

50 Nutzenberechnung Nutzenberechnung unter Berücksichtigung der Laufrichtung Durch eine günstige Einteilung bei der Entwurfsgestaltung (Standbogen) können Materialverluste vermieden werden. Beim Einteilen der Nutzen ist oft die Laufrichtung zu berücksichtigen. Unter Laufrichtung, Maschinenrichtung und Längsrichtung versteht man die Richtung des Stoffflusses in der Papiermaschine. Man muß sie bei der Papierverarbeitung berücksichtigen, um unliebsame Erscheinungen zu vermeiden. Beim Einwirken von Feuchtigkeit dehnt sich das Papier rechtwinklig zur Maschinenrichtung aus; in Dehnrichtung. Infolge der Dehnung treten beim Mehrfarbendruck Passerschwierigkeiten auf. Aus der Breite einer Papierbahn können Bogen in Schmalbahn oder in Breitbahn geschnitten werden. Bei Schmalbahn verlaufen die Papierfasern parallel zur längeren Seite, bei Breitbahn parallel zur kürzen Seite. Bei der Bogenbestellung ist zur Kennzeichnung häufig die Dehnrichtung unterstrichen, oder die Maschinenrichtung wird durch ein M bezeichnet. Beispiel: 6 cm 86 cm oder 6 cm 86 cm M. Dieser Bogen liegt also in Schmalbahn. Bei der Verarbeitung von Papier gelten folgende Grundsätze:. Papier falzt sich besser in der Maschinenrichtung (Laufrichtung).. Beim Druck soll die Maschinenrichtung parallel zur Zylinderachse verlaufen. So schmiegt sich der Bogen besser an. Die Nutzen bezeichnen die Zahl der Einzelstücke, die sich aus einem Bogen ergeben Die Greiferkante entsteht dort, wo die Greifer den Formatbogen halten. In diesem Fall ist bei der Nutzenberechnung des Bogenformates die Greiferkante von durchschnittlich 5 mm abzuziehen. Laufrichtung des Papiers in der Papiermaschine Schmalbahn 6 cm 86 cm SB 6 cm 86 cm Dehnrichtung: 6 cm 6 cm 86 M Laufrichtung: 86 cm Breitbahn 6 cm 86 cm BB 6 cm 86 cm Dehnrichtung: 86 cm 6 cm M 86 cm Laufrichtung: 6 cm Erklärung: Aus einem Bogen im Format 68 cm M 00 cm sind Nutzen im Format cm M 48 cm zu schneiden (M Maschinenlaufrichtung). Wieviel Bogen werden für 500 Nutzen benötigt? Maschinenlaufrichtung Dehnrichtung Bogenformat 68 cm M 00 cm 68 cm 00 cm Nutzenformat cm M 48 cm cm 48 cm Nutzenzahl 6 Nutzen / Bogen 6 N Bogenbedarf 500.Nutzen 6.Nutzen/Bogen 550 Bogen Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 46

51 Mischen von Lösungen Bei der Herstellung von Packmitteln kommen immer Lösungen zum Einsatz. Die häufigsten Lösungen sind Farben, Lacke und Klebstoffe. Sie werden immer aus unterschiedlichen Komponenten zu einer Lösung nach vorgegebenen Mischzahlen in Prozentangabe gemischt. Fehlende Werte bei einer zu mischenden Lösung können nach folgenden Formeln ermittelt werden. Formel: P L G 00 G Gehalt (Konzentration / Substanzen z.b.stärke) P Prozent der Konzentration L Lösung (fertiger Klebstoff) Mischungsverhältnis von Konzentrat zu Lösung ist gleich Berechnung des Mischverhältnisses Konzentrat Lösungsmittel : x Kürzen durch den Zähler, damit Konzentrat wird Mischen von Lösungen aus zwei oder mehreren Mischungskomponenten. Formel: p m + p m p m Bezeichnungen und Einheiten: e e p + p Konzentration der zu mischenden Lösungen in % m + m Mengen der zu mischenden Lösungen in g oder kg p e Konzentration der gemischten Lösung in % m e Menge der gemischten Lösung ( m + m ) in g oder kg Die Mischungsformel lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Mischungskomponenten erweitern. ( m + p geben Menge und Konzentration der dritten Komponente an) Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 47

52 Mischen von Lösungen Anwendung der Formel p e p m + p m (Die anderen Werte lassen sich durch Umstellen der Formel ermitteln) e m Berchnung der Konzentration: m p + m p Formel: pe Angaben: m in kg m e p in % m in kg p in % m e m + m in kg p e in Proz. Kreuzregel Soll aus einer höherprozentigen Lösung eine niedrigerprozentige Lösung hergestellt werden, so kann man nach der Kreuzregel verfahren. Erklärung: Aus einer 0prozentigen und einer 5prozentigen Vorratslösung sind / Liter neue 5prozentige Lösung herzustellen. Wieviel cm müssen von jeder Vorratslösung genommen werden? 0% 5% 500cm cm 0prozentige Lösung 0Teile 5% 5Teile 500cm cm 5prozentige Lösung 500cm cm cm 0prozentige Lösung 500 cm 5prozentige Lösung Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 48

53 Drehmomente und Hebelgesetz Hebel und Drehmoment Ein Stab, der drehbar gelagert ist, heißt Hebel. Wirkt am Hebel eine Kraft, dann entsteht eine Drehbewegung. Das Produkt aus Kraft und Hebelarm nennt man Drehmoment oder nur Moment. M F l M Drehmoment in Nm F Kraft in N L Hebelarm in m Die Länge des Hebelarms ergibt sich jeweils aus dem senkrechten Abstand vom Drehpunkt auf die Wirkungsrichtung der Kraft (F). Hebelgesetz: Greifen an einem Hebel mehrere Kräfte an, dann herrscht Gleichgewicht, wenn die Summe aller nach links drehenden Momente gleich der Summe aller nach rechts drehenden Momente ist. ΣΜ links ΣΜ rechts Hebelgesetz: Kraft Kraftarm Last Lastarm F. l F. l Einseitiger Hebel Zweiseitiger Hebel (einfach besetzt) F l l l l F F F Zweiseitiger Hebel (mehrfach besetzt) F l F 5 l l l 4 l 5 l l F Winkelhebel F F F F 4 F. l + F. l + F 5. l 5 F. l + F 4. l 4 Formelsammlung für den Verpackungsmittelmechaniker Seite 49