Einführung in die Theoretische Physik

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1 Einfühung in die Theoetische Physik De elektische Stom Wesen und Wikungen Teil : Gundlagen Siegfied Pety Fassung vom 19. Janua 013

2 n h a l t : 1 Einleitung Stomstäke und Stomdichte 3 3 Das Ohmsche Gesetz 3 4 De Enegieumsatz des elektischen Stomes 4 5 Die magnetische Wikung des elektischen Stomes Einleitung 5 5. Definition de Einheit de magnetischen Feldstäke Das magnetische Duchflutungsgesetz Das Gesetz von Biot-Savat Das Feld eines keisfömigen Leites Das Feld eine Zylindespule Das Vektopotential des magnetischen Feldes 1 Fü das Veständnis des Folgenden wid»elektostatik u. «voausgesetzt. 1

3 1 Einleitung Wi betachten zwei beliebige isoliete Köpe, die auf unteschiedliche Potentiale (ode Spannungen gegen Ede) φ 1 und φ aufgeladen wuden, wobei auch negative Potentiale zugelassen sind. (Ein negatives Potential entsteht daduch, dass de Köpe einen Übeschuss an negativen Ladungen hat.) Es sei nun φ 1 > φ, Vebindet man anschließend die beiden Köpe duch einen Leite, z. B. duch einen Metalldaht, dann fließen elektische Ladungen von einem Köpe zum andeen, und zwa so lange, bis beide Köpe dasselbe Potential haben. Das ist die Konsequenz des Satzes de Elektostatik, dass ein leitende Köpe übeall dasselbe Potential hat. (Duch die leitende Vebindung ist aus den uspünglich zwei Köpen ein einzige gewoden.) Dabei stellt man sich vo, dass von dem esten Köpe, de wegen seines höheen Potentials einen gößeen Übeschuss an positiven Ladungen hat als de zweite, positive Ladungen auf den zweiten fließen. n unseem Beispiel klingt de elektische Stom vom esten auf den zweiten Köpe seh schnell ab, und es hescht wiede»elektostatik«. Es gibt abe Anodnungen, die einen elektischen Potentialunteschied übe längee Zeit aufecht ehalten können, auch wenn ständig Ladungen abfließen. Solche Anodnungen heißen (elektische) Spannungsquellen. Dazu gehöen z. B. die Monozellen, die fü elektische und elektonische Geäte benutzt weden. Wi betachten hie zunächst nu elektische Stöme in metallischen Leiten. Die bewegten elektischen Ladungen sind dabei ausschließlich Elektonen, so genannte feie Elektonen, die nicht ständig an ein Atom gebunden sind und sich im Metall fei bewegen können. Diese Elektonen bewegen sich in einem elektischen Feld entgegengesetzt zu Feldichtung, also in Richtung zunehmenden Potentials, bei eine Monozelle folglich vom Minuspol zum Pluspol..

4 Stomstäke und Stomdichte Fließt in de Zeit t duch einen Leitequeschnitt die Ladung Q, so ist die mittlee Stomstäke im Zeitintevall t Q =. t Fü die (momentane) Stomstäke gilt: Q dq = lim =. t 0 t dt Die S-Einheit de elektischen Stomstäke ist das Ampee (A). Das Ampee ist eine Basiseinheit des ntenationalen Maßsystems (S). Die Definition wid späte angegeben. Fü die Richtung des Stomes (»technische Stomichtung«) gilt die Veabedung: De elektische Stom fließt von den Punkten höheen Potentials zu den Punkten niedigeen Potentials, bei eine Spannungsquelle also vom Pluspol zum Minuspol. Damit hat de Stom dieselbe Richtung wie das elektische Feld. Die technische Stomichtung ist de Bewegungsichtung de Elektonen entgegengesetzt. Die Stomdichte j an eine Stelle des Leites ist d j = lim =, A 0 A d A wobei die Stomstäke in dem senkecht zu Stomichtung liegenden Flächenstück A ist. 3 Das Ohmsche Gesetz Wie hängt die Stomstäke in einem Leite vom Potentialunteschied (identisch gleich de elektischen Spannung) zwischen den Enden des Leites ab? Diese Fage kann nu expeimentell beantwotet weden, obwohl man immehin Folgendes sagen kann: Mit dem Potentialunteschied steigt popotional die Feldstäke im Leite und damit die Kaft auf die Elektonen. Das Expeiment bestätigt die nahe liegende Vemutung, dass die Stomstäke de Spannung U popotional ist, alledings nu bei konstante Tempeatu des Leites. Da de Stom selbst zu eine Ewämung des Leites füht, ist die Popotionalität oft stak gestöt. Also: pop. U bei T = konst. Dies ist das Ohmsche Gesetz. De (bei konstante Tempeatu konstante) Quotient U/ ist ein Maß fü den (Reibungs-)Widestand, den de Leite dem Stom entgegensetzt und heißt dahe Ohmsche Widestand des Leites. De Ohmsche Widestand hängt von de Tempeatu ab. Def. U Ohmsche Widestand R =. Hie besteht eine betächtliche Begiffsvewiung, zu de auch namhafte Lehbüche beigetagen haben und noch imme beitagen: Diese Gleichung ist die»definitionsgleichung des Ohmschen Widestandes«und nicht das»ohmsche Gesetz«. Fü einen homogenen Leite de Länge l mit konstantem Queschnitt A gilt: 3

5 l R = ρ. A Dabei ist ρ = ρ(t) de (tempeatuabhängige)»spezifische elektische Widestand«des Leitemateials. De Kehwet von ρ heißt»spezifische elektische Leitwet«σ. Damit kann man scheiben U U A U A U = = = σ = σ ode j = σ E und j = σ E. R ρ l l A l Die letzte Gleichung ist die de elektischen Feldtheoie (Nahewikungstheoie) angemessene (weil»punktuelle«) Fomulieung des Ohmschen Gesetzes. 4 De Enegieumsatz des elektischen Stomes Joulesche Wäme Fließt in einem Leite die elektische Ladung Q von einem Punkt A mit dem Potential φ 1 zu einem Punkt B mit dem Potential φ, so wid dabei die Enegie W = Q( ϕ ϕ ) = QU 1 1, in Wäme (so genannte»joulesche Wäme«) umgesetzt. Dazu muss fü sein. Q > 0: φ 1 > φ, Q < 0: φ 1 < φ Die mit dem Enegieumsatz vebundene Leistung P bei konstante Spannung U ist dw dq P = = U = U. dt dt Um auch hie einen de Feldtheoie entspechenden Ausduck zu ehalten, betachten wi ein quadefömiges Volumenelement dv, von dem vie Kanten (Länge dl ) in Stomichtung liegen. Die dazu senkechten Stinflächen da sind dann Äquipotentialflächen des elektischen Feldes im Leite. Dann ist die Potentialdiffeenz (elektische Spannung) zwischen den Stinflächen du = E dl. Die Stomstäke ist d = j da und dahe dp = du d = E dl j da = E j dv. Damit ehalten wi die Leistungsdichte des Enegieumsatzes d P = E j = σ E. dv Dieses Egebnis ist unabhängig von de äumlichen Oientieung des betachteten Volumenelements dv und gilt ganz allgemein. 4

6 5 Die magnetische Wikung des elektischen Stomes 5.1 Einleitung Jede elektische Stom ezeugt um sich ein magnetisches Feld. Das chaakteistische Mekmal eines magnetischen Feldes ist, dass»magnetpole«dain eine Kaft efahen. Analog zu elektischen Felden können auch Magnetfelde duch Feldlinien beschieben weden. Es liegt nahe, die magnetische Feldstäke analog zu elektischen Feldstäke zu definieen als den Quotienten aus de Kaft, die das Feld auf einen Magnetpol ausübt, und de Polstäke des Magnetpols. Das setzt jedoch voaus, dass wi Polstäken messen können. Daauf wollen wi uns abe nicht einlassen und wählen dahe einen ganz andeen Weg. Wi begnügen uns zunächst mit eine elativen Messung magnetische Feldstäken, das heißt, es genügt uns (zunächst), das Vehältnis zweie Feldstäken zu messen. Dazu eicht abe auch ein Magnetpol bzw. ein magnetische Dipol unbekannte Stäke. Die Einzelheiten solche Messungen sind Sache de Expeimentalphysik und schon seit übe 150 Jahen hineichend bekannt. Mit Hilfe entspechende Methoden hat man heausgefunden, dass de Betag H de magnetischen Feldstäke in igendeinem Punkt außehalb des Leites popotional de Stomstäke in dem (beliebig gefomten) Leite und im Falle eines seh langen geaden Leites zudem umgekeht popotional zum Abstand vom Leite ist. Fü die Richtung de in diesem Fall keisfömigen Feldlinien hat man veabedet, dass sie in de technischen Stomichtung gesehen im Uhzeigesinn laufen. 5. Definition de Einheit de magnetischen Feldstäke Fü das Feld eines seh langen geaden Dahtes gilt also: H ode H = k. (1) Beechnen wi nun das Linienintegal von H ds übe einen zum Leite konzentischen Keis K mit dem Radius, so finden wi, da H stets paallel zu ds ist, K H ds = H ds = H π = k π = k π. K Das Linienintegal hat also fü alle konzentischen Keise denselben Wet und diese hängt nu von ab. Wie man an de Gleichung (1) ekennt, hängt die Popotionalitätskonstante k (was ihen Zahlenwet und ihe Einheit angeht) von den Maßeinheiten ab, die fü die Gößen H, und benutzt weden. Wi veabeden nun, die Einheit de magnetischen Feldstäke so festzulegen, dass die Konstante k den Betag 1/(π) annimmt. Dann wid und H K ds = H =. π Damit haben wi die Einheit de magnetischen Feldstäke festgelegt, und nun gilt: 5

7 1. Die S-Einheit de magnetischen Feldstäke ist 1 Ampee/Mete (A/m). Die Feldstäke 1 A/m ist die Stäke des Feldes eines unendlich langen geaden Leites im Abstand = 1/(π) Mete, wenn die Stomstäke im Daht 1 Ampee betägt. 5.3 Das magnetische Duchflutungsgesetz Wi wollen nun das oben genannte Linienintegal übe eine beliebige geschlossene Kuve bilden, die in eine zum unendlich langen Leite senkechten Ebene liegt und die entwede den Queschnitt Leites in sich enthält (a) ode abe nicht (b). a) Geschlossene Linie enthält Leitequeschnitt b) Geschlossene Linie enthält Leitequeschnitt nicht Vo de Beechnung des Linienintegals zelegen wi das Wegelement ds in eine Komponente in Richtung (Radialkomponente), und eine Komponente senkecht dazu (Nomalkomponente). Kuventeil, Linienelement und Feldstäke (in Stomichtung gesehen) Da die Feldstäke auf senkecht steht, liefet die Radialkomponente des Wegelements keinen Beitag zum Linienintegal und es gilt mit ds nomal = dφ: = H snomal = = π π K K K K H d s d d ϕ d ϕ. 6

8 Enthält die Kuve einen Leitequeschnitt, dann hat das Linienintegal den Wet π, andeenfalls den Wet 0. Folglich ist: m Fall a): im Fall b): K K H d s =, H ds = 0. Umfängt die Kuve mehee unendlich lange paallele Leite mit den Stomstäken 1,, usw. dann gilt: H d s = n. K Man kann zeigen, dass dieses Egebnis auch fü eine nicht ebene geschlossene Kuve gilt, welche die paallelen Leite umschlingt, indem man das Leiteelement in geeignete Weise in dei auf einande senkechte Komponenten zelegt. Nach dem ntegalsatz von STOKES ist K H ds = ot H d A, wobei A eine beliebig gefomte Fläche ist, die von de Kuve K umandet wid. Folglich gilt: A ot H d A =, wobei de duch die Fläche A fließende Stom ist. Fü diesen wiedeum gilt A = j d A, A wobei j de Vekto de Stomdichte ist. Ein Vegleich de ntegale egibt zusammen mit de Eigenschaft des Vektos de Rotation, aus Symmetiegünden stets paallel zum Vekto de Stomdichte zu sein, die wichtige Beziehung ot H = j. Die Rotation des Vektos de magnetischen Feldstäke in einem bestimmten Punkt ist also gleich dem Vekto de Stomdichte in diesem Punkt. Sie ist folglich nu dann ungleich null, wenn de Punkt innehalb des Leites liegt. Die Stomdichte außehalb des betachteten Punktes auch in andeen Teilen des Leites hat also keinen Einfluss auf die Rotation des Feldstäkevektos. Dieses Egebnis wude zwa unte de Voaussetzung eines unendlich langen Leites gewonnen, es lässt sich abe zeigen, dass es von de Länge des Leites unabhängig ist. Denkt man sich nämlich den Stom im Leite aus eine goßen Anzahl dünne»stomfäden«zusammengesetzt, deen Anzahl man dann gegen unendlich gehen lässt, wähend ihe Queschnitte gegen null gehen, so ekennt man, dass nach dem Gesetz von Biot-Savat (siehe unten), das sich unabhängig von obigem Egebnis heleiten lässt, de Stom obehalb und untehalb des betachteten Punktes keinen Beitag zum Feld in diesem Punkt leistet, und damit auch keinen Beitag zu Rotation des Feldstäkevektos. Die Rotation ist also von 7

9 de Länge des Stomfadens unabhängig. Fü die Stöme in allen Punkten außehalb des betachteten Stomfadens abe gilt, dass sie ebenfalls keinen Beitag zu Rotation ebingen, weil de betachtete Punkt ja außehalb alle andeen Stomfäden liegt. Dies gilt auch im Falle eines beliebig gefomten Leites. Daaus folgt: Diese Gleichung ot H = j gilt unabhängig von de Länge und de Gestalt des Leites. 5.4 Das Gesetz von Biot-Savat Zu Beechnung des magnetischen Feldes beliebig gefomte Leite genügen unsee bisheigen Kenntnisse noch nicht. Wi bauchen vielmeh eine Aussage daübe, welchen Beitag H in einem einzelnen Leiteelement l fließende Stom zum Magnetfeld des Leites in einem beliebigen Punkt P leistet. Dieses Gesetz kann nicht expeimentell duch Beobachtungen und Messungen gewonnen weden, denn es ist unmöglich, ein einzelnes Leiteelement aus dem Zusammenhang des ganzen Leites heauszutennen. Außedem leistet ein seh kleines Leiteelement auch nu einen seh kleinen Beitag, de ga nicht messba ist. Es bleibt uns also nichts andees übig, als das gesuchte Gesetz zu eaten und es dann an bekannten Escheinungen zu übepüfen und es entspechend anzupassen. (n de Mathematik nennt man das:»einen Ansatz machen«.) Als bekannte Escheinung nehmen wi das Magnetfeld eines unendlich langen geaden Dahtes und machen die folgenden, zwa plausiblen, abe natülich nicht gesicheten Annahmen: De Vekto H stehe auf dem von R, und l gebildetem Deieck senkecht, de Betag H sei popotional zu 1/ (das quadatische Abstandsgesetz), die Abhängigkeit vom Winkel α muss symmetisch zu a = 90 velaufen, und fü a = 0 und a = 180 muss H aus Symmetiegünden gleich null sein. Dies sind Eigenschaften de Funktion sin α, H muss popotional zu und zu l sein. 8

10 Dahe lautet de Ansatz: H k sin α l, wobei k ein noch zu bestimmende Popotionalitätsfakto ist. Dückt man die Vaiablen l (das von A aus gemessen wid) und duch α und R aus, ehält man H k sin α α R und daaus π π (1) 0 0 H = lim k sin α α = k sin α dα = k. α 0 R R R Ein Vegleich mit de oben gewonnenen Fomel fü das Feld eines unendlich langen geaden Leites, H =, πr egibt 1 k = 4 π und damit 1 sin α H l 4π Fü das Diffeential dh des Betags de Feldstäke H egibt sich aus Gleichung (1) 1 1 dh = sin d sin d l. 4π R α α = 4π α Gesetz von Biot-Savat (Die mathematische Begündung fü den esten Teil diese Doppelgleichung findet sich in»die physikalische Rumpelkamme«, Die unendlich kleinen Gößen in de Physik, Kap. 5.) n Vektoscheibweise ist: 1 dh = 3 [ d l ]. 4π Dabei ist von P nach dl geichtet und de Vekto dl hat dieselbe Richtung wie de Stom. De Ansatz hat also zu einem Egebnis gefüht, das mit beobachteten Gesetzen übeeinstimmt. Es musste lediglich dem Popotionalitätsfakto noch de ichtige Wet zugeodnet weden. Als Anwendungsbeispiel soll zunächst die magnetische Feldstäke in de Achse eines keisfömigen Leites vom Radius R beechnet weden. Dabei weden zu Veeinfachung nicht est die Diffeenzen, sonden gleich die Diffeentiale von H und l betachtet. 9

11 5.5 Das Feld eines keisfömigen Leites Wi beechnen die Feldstäkeanteile zweie diametal gegenübe gelegene Diffeentiale dl 1 und dl. Fü die Diffeentiale de Feldstäkenbetäge gilt dann d l dh1 = d H =. 4 π Wie zu ekennen, kompensieen die Radialkomponenten einande, dagegen summieen sich die Axialkomponenten zum axialen Feldstäkeanteil dl R R dh = = d l. 3 4π π Da diese Anteil von zwei Leiteelementen heüht, wid zu Beechnung de gesamten Feldstäke nu übe den halben Keisumfang integiet. So findet man: H = R π R = R = R 3 3 π R + a ( ) 3 nsbesondee folgt daaus fü den Mittelpunkt de Stomschleife mit a = 0: H =. R. 10

12 5.6 Das Feld eine Zylindespule Als nächstes beechnen wi die Feldstäke in de Mitte eine Zylindespule, die aus zahleichen keisfömigen Leiteschleifen besteht. Die konstante Windungsdichte n/ l de Spule sei N, wobei n die auf die Stecke l entfallende Windungszahl ist. Auf die Stecke zwischen x und (x + dx) entfallen dann N dx Windungen, in denen insgesamt de Stom N dx fließt. De Feldstäkeanteil dieses Spulenelements, das eine keisfömigen Leiteschleife entspicht, betägt dann und die Gesamtfeldstäke ist R N dx d H =, H = R N + l l ( ) 3 R + x dx ( ) 3 R + x wenn die Länge de Spule l ist und x von de Spulenmitte aus zählt. Das ntegal hat den Wet Damit wid + l x l = = R R x R R l R R ( + ) ( + ) ( + 1) l H = ( ) 1 R + 1 l N., l. Fü l gegen unendlich wid daaus H = N. Bei eine unendlich langen Spule ist in jedem Punkt de Achse»die Mitte«de Spule, also gilt dieses Egebnis fü jeden Punkt de Achse. Fü eine eale Spule endliche Länge gilt dieses Egebnis annähend in de Nähe de Mitte, falls die Länge de Spule seh goß ist gegenübe ihem Radius. Am Ende eine solchen Spule ist die Feldstäke geade noch halb so goß wie in de Mitte, da ja hie eine Hälfte de Spule und damit auch ih Anteil an de Feldstäke fehlen. 11

13 Wegen de Gleichbeechtigung alle Spulenqueschnitte müssen die Feldlinien paallel und damit das Feld homogen sein. 5.7 Das Vektopotential des magnetischen Feldes Die Gundgleichung des duch einen elektischen Stom ezeugten Magnetfeldes lautet Dazu kommt noch die Gleichung ot H = j. () div H = 0, (3) die besagt, dass das magnetische Feld eines elektischen Stomes nu geschlossene Feldlinien hat und dahe quellenfei ist. De Vesuch, ein magnetisches Feld mit Hilfe diese beiden Gleichungen aus j hezuleiten, gelingt duch Einfühung eines neuen, noch unbekannten Vektos A, von dem gelten soll: H = ot A. Zunächst ist festzustellen, dass diese Ansatz die Gleichung (3) efüllt, da die Divegenz eines Wibelfeldes (hie: div ot A) stets null, d. h. das Feld des Vektos ot A quellenfei ist. Sollte es gelingen, einen Vekto A zu finden, de auch die Gleichung () efüllt, so kann H einfach duch Beechnung von ot A, also duch Diffeentialopeationen, gefunden weden. Aus Gleichung (1) egibt sich zunächst ot H = j = ot ot A. Nach einem Satz de Vektoanalysis ist ot ot A = A + gad div A, wobei de LAPLACE-Opeato ist (siehe unten). Demnach ist ot ot A = A + gad div A = j. (4) Diese Gleichung veeinfachte sich eheblich, wenn de gesuchte Vekto A zusätzlich die Bedingung div A = 0 efüllte, also ebenfalls quellenfei wäe. Dies kann jedoch ohne Beeintächtigung de Allgemeingültigkeit imme angenommen weden. Denn aus jedem beliebigen Feldvekto V 0 kann ein quellenfeie Feldvekto V gewonnen weden, indem man zu V 0 einen geeigneten Vekto gad ψ addiet: V = V 0 + gad Ψ. Dies läuft daauf hinaus, einen Vekto zu finden, de eineseits dieselben Quellen wie V 0 hat, nu mit entgegengesetzten Vozeichen, und de andeeseits wibelfei ist und dahe bei de Summenbildung an ot V 0 nichts ändet. Die zweite Bedingung wid daduch efüllt, dass wi den gesuchten Vekto als Gadient eine Funktion Ψ angesetzt haben. Nun müssen wi noch zeigen, dass sich stets eine skalae Otsfunktion ψ finden lässt, welche die este Bedingung efüllt. Aus (4) folgt und weite und in echtwinkligen Koodinaten divv = divv + div gadψ = 0, (5) 0 div gadψ = divv 0 1

14 ode Ψ Ψ Ψ V0, x V0, y V0, z div e1 + e + e 3 = + + x y z x y z Ψ Ψ Ψ V V V x y z x y z 0, x 0, y 0, z + + = + +. Siche lässt sich stets eine skalae Otsfunktion ψ angeben, welche diese Diffeentialgleichung genügt, sodass unsee Fodeung, de Vekto A sei quellenfei, stets efüllba ist. Dann ehalten wi aus (4) die veeinfachte Gleichung A = j. De LAPLACE-Opeato ist das Symbol fü die Diffeentialopeation + + x y z Diese Opeato wid jetzt auf einen Vekto angewendet. Das egibt: Fü die einzelnen Komponenten gilt dann: A = A e + A e + A e = j x 1 y z 3. A = j, A = j, A = j. x x y y z z Diese dei skalaen Gleichungen entspechen jede fü sich genau de aus de Elektostatik bekannten POSSON-Gleichung fü das Potential des elektischen Feldes. Dahe weden die obigen Gleichungen als die Potentialgleichungen des magnetischen Feldes bezeichnet. Dem entspechend heißt de Vekto A das Vektopotential des magnetischen Feldes. Die Lösungen de dei skalaen Potentialgleichungen sind aus de Elektostatik bekannt. Sie lauten: j j x y jz Ax = d V, Ay = d V, Az = d V. 4π 4π 4π V V V Fasst man diese dei Gleichungen wiede zu eine Vektogleichung zusammen, so egibt sich die Gleichung des Vektopotentials: A = d V. j 4π V Hieaus kann sofot das Feld eines unendlich langen geaden Leites beechnet weden. n ihm hat de Vekto j die Richtung de Leiteachse. Legen wi die Diffeentiale ds in diese Achse, so wid, wenn q de Leitequeschnitt ist, j dv = q ds = ds q und d A =. 4 π s L 13

15 Die nun zu Emittlung von H folgende Beechnung de Rotation ist von de ntegation übe die Länge des Leites unabhängig. Dahe können Rotationsbildung und ntegation in de Reihenfolge vetauscht weden: ds ds 1 ds H = = = s = 4π 4π 4π 4π 0 ot ot gad d. L L L L Dabei ist 0 de Einheitsvekto in de Richtung des Diffeentials ds zum Aufpunkt (= betachtete Punkt) hin. Diese Gleichung kann so intepetiet weden, dass jedes Diffeential zum Feld den Beitag ds 0 dh = π liefet. Dies ist abe genau das Gesetz von Biot-Savat. 4 14

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