Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

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1 Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen mit zwei Vriblen lösen Definition der Qudrtwurzel kennen und nwenden in der Menge IR der reellen Zhlen rechnen Flächeninhlte ebener Figuren insbesondere uch mithilfe zweireihiger Determinnten berechnen bbildung durch zentrische Streckung nwenden Streckenlängen mit dem Vierstreckenstz bestimmen mithilfe der Flächensätze m rechtwinkligen Dreieck Streckenlängen berechnen Schrägbilder von Körpern zeichnen

2 GRUNDWISSEN 9II/ M9. Reltionen und Funktionen Die Produktmenge M M ist die Menge ller geordneten Zhlenpre ( x ) mit x M und M. (Sprechweise: M kreuz M ) Drstellung der Produktmenge ufzählende Form M M = { ; ; } {0; } = {( 0 ); ( ); ( 0 ); ( ); ( 0 ); ( )} eschreibende Form M M = {( x ) x M M } Reltionen ls Lösungsmenge von ussgeformen Die Reltionsvorschrift sondert us der Produktmenge M M eine Menge von geordneten Zhlenpren ( x ) us. Durch die ussgeform wird eine eziehung (Reltion) zwischen Elementen von M und M hergestellt. eispiel: = x M M = { ; ; } {0; } R = {( 0 ); ( )} Reltion Die Lösungsmenge einer ussgeform mit zwei Vriblen x M und M ist eine Teilmenge von M M. Diese Lösungsmenge bezeichnet mn ls die zur ussgeform gehörige Reltion R in M M. R M M eispiel: Jedem Feld eines Schchbretts knn ein geordnetes Zhlenpr ( x ) zugeordnet werden mit x M und M, wobei M = {,, C, D, E, F, G, H} und M = {; ; ; ; ; 6; 7; 8}. Reltion R: Ein schwrzer Stein steht in der Splte x und der Zeile. R = {( ); ( ); ( D 7 ); ( G )} Definitions- und Wertemenge einer Reltion C D E F G H. Komponente. Komponente Die Definitionsmenge D ist die Menge ller ersten Komponenten einer Reltion ( x ) Die Wertemenge W ist die Menge ller zweiten Komponenten einer Reltion Übungen:. ilde die Produktmenge us { ; ; } und { ; }. Gegeben sind die Mengen M = { ; 0; ; ; } und M = {; ; 6; 8; 0} ) ilde die Produktmenge M M in ufzählender Form. b) Gib jeweils die Reltion R bezüglich M M für folgende Reltionsvorschriften n: α) = x + β) = x + γ) = x c) Gib für die Reltionen unter b) jeweils Definitions- und Wertemenge n.

3 Grph der Reltion Jedem geordneten Zhlenpr ( x ), ds Lösung einer Reltionsvorschrift ist, knn eindeutig ein Punkt im Koordintensstem zugeordnet werden. Die Menge der so festgelegten Punkte heißt Grph der Reltion R. eispiel: R = {( x ) x + = 6} R = {( x ) x + 6} G = M M G = M M M = { ; ; ; } M = { ; ; ; } x x Funktion Ordnet eine Reltion R jedem Element der Definitionsmenge D genu ein Element der Wertemenge W zu, so nennt mn R eine Funktion in D W. Eine Funktion wird durch den Funktionsterm f(x) beschrieben, = f(x) ist die Funktionsgleichung. Jeder x-wert, für den der Funktionswert f(x) = 0 gilt, heißt Nullstelle der Funktion f. Der Grph zu f(x) schneidet bei der Nullstelle die x-chse. eispiel: Nullstelle von = x für = f(x) = 0 x = 0 x = x = Übungen:. Zeichne den Grphen der Reltion für ) < x + G = { ; ; ; } { ; ; ; } b) > x + G = { ; ; ; } { ; ; ; }. erechne die Nullstellen von ) f(x) = x b) f(x) = x +

4 M 9. Linere Funktionen GRUNDWISSEN 9II/ Gerdengleichung Eine Gerdengleichung in Normlform setzt sich us der Steigung m der Gerden und dem -chsenbschnitt t, dem Schnittpunkt der Gerden mit der -chse, zusmmen: g : = m x + t P P x x Grph von f x x x Die Steigung m der Gerden ergibt sich us dem Steigungsdreieck ls Quotient us der Koordintendifferenz zweier Funktionswerte P ( x ) und P ( x ), lso m = = mit x x. x x x Über die Koordintenform des Vektors P P lässt sich m ebenflls berechnen: x x P P = m = x x eispiel: Gerde durch die Punkte ( ) und ( 0 ) 0 ( ) m = = = oder = = m = = ( ) 0 Senkrechte Gerden Sind zwei Gerden g und g mit den Steigungen m und m zueinnder senkrecht (orthogonl), so gilt folgende eziehung: m = oder m m = g g m eispiel: Die Gerden g : = x + und g : = d = oder ( 0,) = 0, Punktsteigungsform der Gerdengleichung Sind von einer Gerden nur die Steigung m und ein Punkt P ( x P P ) beknnt, so ergibt sich die Gerdengleichung wie folgt: g : = m ( x x P ) + P eispiel: Die Gerde g mit der Steigung m = verläuft durch den Punkt P ( ): x + = x + = x g : = ( ) Prllele Gerden Gerden mit derselben Steigung, sind zueinnder prllel. Zueinnder prllele Gerden hben die gleiche Steigung, ber verschiedene - chsenbschnitte. g g m = m 0,x stehen senkrecht zueinnder, llgemeine Gerdengleichung Ist die Gerdengleichung in der llgemeinen Form x + b + c = 0 gegeben, so berechnet sich die Normlform zu: c = x b b mit b 0. Sonderfälle: b = 0: c x = Prllele zur -chse = 0: c x = Prllele zur x-chse b Übungen:. erechne jeweils die Gleichung der Gerden durch die Punkte ) ( ); ( 6 ) b) C ( 0 ); D ( ) c) E ( ); F ( 0 6 ). Gib jeweils die Gerdengleichung n: ) m = ; ( ) b) m = ; ( ) c) m = 0,; C ( 0 ). Gib eine zu g : = x bzw. g : = x + senkrechte Gerde n.. Wndle in die Normlform um: ) x + = 0 b) = x +

5 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9II/ M 9. Ssteme linerer Gleichungen mit zwei Vriblen Einen usdruck der Form x + b = c x + b = c nennt mn lineres Gleichungssstem. Zur estimmung der Lösungsmenge bieten sich zwei Verfhren n:. Gleichsetzungsverfhren. Einsetzungsverfhren x + = x + 0 = 0 x + + = 0 x + = 0 = x + x = = x x + = 0 Gleichsetzen der Rechtsterme: Einsetzen der I. in die II. Gleichung: x + = x ( ) + = 0 x = 0 + = 0 7 = = Einsetzen in Gleichung I: Einsetzen in Gleichung I: = + = x = = IL = { ( ) } IL = { ( )} ufgben: estimme die Lösungsmenge folgender linerer Gleichungsssteme und deute ds Ergebnis geometrisch. ) x = 9 c) x +,6 = 0,8 7 + x = 0 + x +, = 0 c) 7, = x d) x + = 6 = x + = x

6 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9II/ M 9. Erweiterung des Zhlenbereichs: Die Menge R der reellen Zhlen Irrtionle Zhlen Irrtionle Zhlen sind Zhlen, die sich nicht in ruchform drstellen lssen (unendlich lnge, nicht periodische Dezimlbrüche). Reelle Zhlen Die Menge R der reellen Zhlen besteht us den rtionlen und den irrtionlen Zhlen. In R gelten die beknnten Rechengesetze. Wurzeln, Rechenregeln für Wurzeln heißt Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ). Dbei ist der Rdiknd. Die Wurzel ist durch Für, b R + 0 gilt: = für > 0 definiert. b = b (Produktregel) = mit b 0 (Quotientenregel) b b eispiele: ) 8 b 9 b = 6 9 b = b = b) x + 7 x + = x + 9 c) ( + )( ) = ufgben: (Hinweis: lle vorkommenden Vriblen stehen für positive rtionle Zhlen) ) Vereinfche soweit wie möglich: 8 9 ; 8 8 ; 8 b 0b b) Multipliziere us und vereinfche: ; (b b c + b ) b ( + 7 )( )

7 Prllelogrmm: eispiel: Dreieck: h h g M 9. Flächeninhlt ebener Vielecke GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9II/ Der Flächeninhlt eines Prllelogrmms ist gleich dem Produkt us einer Seitenlänge und der zugehörigen Höhe. Prllelogrmm = g h Im krtesischen Koordintensstem ist der Flächeninhlt uch der etrg der Determinnte, die durch die ufspnnenden Vektoren und b gebildet wird. = Prlle log rmm Ds Prllelogrmm CD ht die Koordinten ( ), (7 ), D( ). erechne die Vektoren (diese müssen vom gleichen Punkt usgehen): 7 ( ) 8 = =, ( ) D = = 8 CD = FE = (8 ( ) ( )) FE = 6 FE g x b b x Der Flächeninhlt eines Dreiecks ist gleich dem hlben Produkt us einer Seitenlänge und der zugehörigen Höhe. Dreieck = g h Im krtesischen Koordintensstem ist der Flächeninhlt uch gleich dem hlben etrg der Determinnte, die durch die ufspnnenden Vektoren und b gebildet wird. x bx Dreieck = b eispiel: Im Dreieck C beträgt die Länge der Seite = 8 cm und der Flächeninhlt = 6cm. erechne die Länge der zugehörigen Höhe h. = h ; 6cm 6cm = 8cm h h = = 9cm 8cm Trpez: c h Der Flächeninhlt eines Trpezes ist gleich dem hlben Produkt us der Summe der prllelen Grundlinien und der Höhe. Trpez = ( + c) h eispiel: Die Grundlinien im Trpez CD sind 7cm und cm lng. erechne den Flächeninhlt bei einer Höhe von 8,cm. = (7cm + cm) 8,cm = 6,7cm Drchenviereck: e f Der Flächeninhlt eines Drchenvierecks oder einer Rute ist Rute gleich dem hlben Produkt us den Längen ihrer Digonlen. = e f ufgbe: ) erechne den Flächeninhlt des Prllelogrmms CD mit g = 7 cm, h = cm. b) erechne den Flächeninhlt des Prllelogrmms CD mit ( ), (6 0), C( 7). erechne die Koordinte des Punktes D. c) erechne den Flächeninhlt des Dreiecks C mit ( ), (6 0), C( 7). d) In einem Drchenviereck mit = cm ist eine Digonle dreiml so lng wie die ndere. erechne die Längen der beiden Digonlen.

8 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9II/6 M 9.6 bbildung durch zentrische Streckung ILDUNGSVORSCHRIFT EI EINER ZENTRISCHEN STRECKUNG MIT STRECKUNGSZENTRUM Z UND STRECKUNGSFKTOR K 0 WIRD JEDEM PUNKT P EIN ILDPUNKT P SO ZUGEORDNET, DSS GILT: P ZP UND ZP' = k ZP ILDUNGSEIGENSCHFTEN DS STRECKUNGSZENTRUM IST DER EINZIGE FIXPUNKT. DIE ZENTRISCHE STRECKUNG IST GERDEN- UND WINKELTREU. DIE ZENTRISCHE STRECKUNG IST VERHÄLTNIS- UND KREISTREU. UR- UND ILDGERDE VERLUFEN PRLLEL. VIERSTRECKENSÄTZE Z' Z' = = Z Z ' ' Z Z ÄHNLICHKEITSSÄTZE DREIECKE SIND ÄHNLICH, WENN SIE - IM VERHÄLTNIS DER LÄNGEN DER DREI SEITEN ÜEREINSTIMMEN. (SSS) - IM VERHÄLTNIS DER LÄNGEN VON ZWEI SEITEN UND DEM EINGESCHLOSSENEN WINKEL ÜEREINSTIMMEN. (SWS) - IM VERHÄLTNIS DER LÄNGEN VON ZWEI SEITEN UND DEM GEGENWINKEL DER GRÖßEREN SEITE ÜEREINSTIMMEN. (SSW G ) - IN ZWEI WINKELN ÜEREINSTIMMEN. (WW) Z;k ufgben: ) C ' ' C' mit ( ), ( ), C(0 6), ( ), C (x C 0) Zeichne die beiden Dreiecke und ds Zentrum Z. b) eschreibe dem Dreieck C von ufgbe ) ein Qudrt DEFG ein mit [DE] [], F [C], G [C]. c) = 8cm; E = cm; FG =, cm; F = 9cm; CG =, cm; C = xcm; D = cm; G = zcm; erechne x,, z. F CG D F G E d) Welche der folgenden Dreiecke sind ähnlich? C C C C C C 6 6 C 6 = 6 cm = 7 cm α = 0 = cm ß = 0 6 =,cm b = 8 cm b = cm ß = 90 b = 7 cm γ = 0 c 6 = cm c = 9 cm γ = 70 c = 8 cm ß 6 = 70

9 GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9II/7 M 9.7 Flächensätze m rechtwinkligen Dreieck rechtwinkliges Dreieck Hpotenuse: Die Dreiecksseite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Ktheten: Die Dreiecksseiten, die den rechten Winkel bilden. Hpotenusen- Die Teilstrecken, in die der Fußpunkt der Höhe bschnitte die Hpotenuse teilt. Höhenstz C h h = q p In einem rechtwinkligen Dreieck ist ds Rechteck us den Hpotenusenbschnitten flächengleich zu dem Qudrt über der Dreieckshöhe. q p Kthetensätze b C 90 c q b = c q = c p In einem rechtwinkligen Dreieck ist ds Qudrt über einer Kthete flächengleich zu dem Rechteck, ds us dem n dieser Kthete nliegenden Hpotenusenbschnitt und der Hpotenuse selbst entsteht. Stz von Pthgors C b + b = c In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhlte der Kthetenqudrte gleich dem Flächeninhlt des Hpotenusenqudrtes. c wichtigeformeln Digonle im Qudrt: d = Höhe im gleichseitigen Dreieck: h = etrg eines Vektors v : v = v x + v Entfernung zweier Punkte: = ( x x ) + ( ) ufgben: ) Ds Dreieck C ist rechtwinklig bei C mit = cm, b = 7cm (h = cm, b = 6cm). Zeichne ds Dreieck und berechne c, q, p, h (, c, q, p) b) Zeichne ds Viereck CD mit = cm, D = cm, C = 9cm, α = δ = 90. erechne die Längen CD und D und den Flächeninhlt vom Viereck. c) Gegeben ist ds Dreieck C mit ( ), ( 0), C(6 ). Überprüfe rechnerisch, ob ds Dreieck gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig ist. erechne den Umfng. d) Gegeben sind die Punkte ( ) und n (x 0,x + ). erechne (x), min. n

10 Lösungen GRUNDWISSEN MTHEMTIK 9II/L 9II/. {( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( )}.) M xm = {(- ); (- ); (- 6); (- 8); (- 0); (0 ); (0 ); (0 6); (0 8); (0 0); ( ); ( ); ( 6); ( 8); ( 0); ( ); ( ); ( 6); ( 8); ( 0); ( ); ( ); ( 6); ( 8); ( 0)} b) α) R = {(- ); ( ); ( 6)} ß) R = {(- 0); (0 ); ( ); ( 6); ( 8)} γ) Es gibt keine Elemente für R. c) α) ID = {-; ; }; IW = {; ; 6} ß) ID = {-; 0; ; ; }; IW = {0; ; ; 6; 8} γ) ID = ; IW =.) b) x x.) x = b) x = 6 9II/.) : = 0,x + b) CD: = 0,x 0,.) = (x ) b) = (x+)+ c) =0,x+. g = x g : = x.) =,x+, b) = x + 9II/ ) IL = {(( )}; Die beiden Gerden schneiden sich in S( ). b) IL = {( 0, 0,)}; Die beiden Gerden schneiden sich in S( 0, 0,). c) {(x ) x+=7,}; Die beiden Gerden sind identisch. d) IL = ; Die beiden Gerden sind zueinnder prllel. 9II/ ) = = ; 8 0b = 0 ; b) ( b b + 7 )( ) = 8 9II/ ) = cm b) = 7 cm ; D( 9) c) =, cm d) e = 6 cm; f = 8 cm b 9II/6 ) k = 0,; C (6 0); Z( ); (7,,)

11 b) 6 C c) x = ; = 0; z = 0, d) C ~ C (sss) C ~ C (ww) C ~ 6 6 C 6 (sws) II/7 ) c = 8,6 cm; p =,9 cm; q =,7 cm; h =,07 cm (q =,7 cm; p =,8 cm; c = 8,0 cm; =,7 cm) b) CD = 8,6cm; D = 6,0cm D C c) = 9cm =,9cm; C = 9cm =,9cm; C = 8cm = 7,6cm Ds Dreieck C ist gleichschenklig und rechtwinklig. Umfng u = 8,9cm d) (x) =,x x + 8cm; =,0cm für x =, min

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