Mit welcher Strategie hast Du am Glücksrad Erfolg?

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1 Mit welcher Strategie hast Du am Glücksrad Erfolg? Kinderuni, Workshop an der TU Wien 24. Juli 2009, 10:30 11:30 Uhr Univ.-Prof. Dr. Uwe Schmock Forschungsgruppe Finanz- und Versicherungsmathematik Institut für Wirtschaftsmathematik Technische Universität Wien, Österreich

2 Programm des heutigen Workshops Was ist eine Aktie? Was ist ein Aktienmarkt? Wie funktioniert das Glücksrad? Strategien für das Glücksrad Individuelle Anwendung auf den Aktienmarkt Regel: Wir,,spielen während des Workshops nur am Glücksrad, wenn dies ausdrücklich gesagt wird! Ausblick: Wer einen Computer mit Internet-Anschluss zu Hause hat, kann dort weiterspielen. Glücksrad de.html Aktienmarkt de.html

3 Was ist eine Aktie? Ein Unternehmensanteil!

4 Aktienbesitz und Aktienhandel Der Besitzer einer Aktie hat anteilsmäßigen Anspruch auf die jährlichen Gewinne und auf den Erlös beim Verkauf des Unternehmens. Aktien kann man am Aktienmarkt (Börse, spezieller Markt für Wertpapiere) kaufen und verkaufen.

5 Beispiele für Aktiengesellschaften 1 Coca-Cola Co. Börsenwert ca US-$ (ca. 28% des österreichischen Bruttoinlandsprodukts) Preis einer Aktie: 51,03 US-$ (35,53 C) Mc Donald s Börsenwert ca US-$ Preis einer Aktie: 58,28 US-$ (40,95 C) 1 Schlusskurse vom 20. Juli 2009 aus der FAZ

6 Aktienhandel an der Börse Zielsetzung: Langfristig durch geschickten Aktienhandel ein großes Vermögen erwirtschaften. Einige Probleme bei der Suche nach guten Handelsstrategien: Wissen alle gleich viel über die Aktiengesellschaften? Welche Aktienpreise sind morgen möglich? Welche Preise werden mit welchen Wahrscheinlichkeiten eintreten? Wie hängen die Aktienpreise voneinander ab? Wie beeinflussen die Zinssätze die Aktienpreise?

7 Motivation für das (virtuelle) Glücksrad Übersichtliches (Spiel-)Modell für das fokussierte Studium von Handelsstrategien Vorteile: Bei jeder Runde sind genau bekannt: Einsätze ( = Verlustmöglichkeiten, frei wählbar), mögliche Gewinne, Gewinnwahrscheinlichkeiten. Bei jeder Runde neues Spiel und neues Glück: Keine Einflüsse der Vergangenheit auf das Glücksrad (stochastische Unabhängigkeit der Runden).

8 Gewinnwahrscheinlichkeiten am Glücksrad Alle sechs Felder sind gleich groß, also kommt jedes mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Drei Felder sind rot, also ist p r = 3 6 = 1 2 die Wahrscheinlichkeit für rot. (p für englisch probability) Zwei Felder sind blau, also p b = 2 6 = 1 3. Ein Feld ist gelb, also p g = 1 6.

9 Konditionen am (virtuellen) Glücksrad Start zur Zeit t = 0 mit Vermögen V 0 = 300 C. Einsätze in beliebigen Anteilen des Vermögens (mit Schiebereglern in vollen Prozenten sowie den Anteilen 1/6, 1/3, 2/3 und 5/6, jeweils auf volle Cent gerundet). Drei Möglichkeiten für Einsätze und Gewinne: Farbe Gewinnhöhe Wahrscheinlichkeit rot 3 Einsatz E r p r =1/2 blau 2 Einsatz E b p b =1/3 gelb 6 Einsatz E g p g =1/6

10 1. Strategie für das Glücksrad Das gelbe Feld liefert das höchste Vielfache des Einsatzes E g,nämlich 6E g. = Setze gesamtes Startvermögen V 0 auf gelb, also E g = V 0.

11 1. Strategie für das Glücksrad Das gelbe Feld liefert das höchste Vielfache des Einsatzes E g,nämlich 6E g. = Setze gesamtes Startvermögen V 0 auf gelb, also E g = V 0. Resultat: In den meisten Fällen ist das Startvermögen sofort verspielt ( = Hungertod). p g = 1 V 1 = V 0 E g +6E g = V 0 = p g = 5 6 V 1 = V 0 E g =0

12 2. Strategie für das Glücksrad Wahrscheinlichkeiten sind wichtig. Wegen p g = 1 6 <p b = 1 3 <p r = 1 2 setze gesamtes Startvermögen V 0 auf rot, also E r = V 0.

13 2. Strategie für das Glücksrad Wahrscheinlichkeiten sind wichtig. Wegen p g = 1 6 <p b = 1 3 <p r = 1 2 setze gesamtes Startvermögen V 0 auf rot, also E r = V 0. Resultat: In ca. der Hälfte der Fälle ist das Vermögen sofort verspielt. p r = 1 V 1 = V 0 E r +3E r = V 0 = p r = 1 2 V 1 = V 0 E r =0

14 3. Strategie für das Glücksrad Gewinnhöhen und Wahrscheinlichkeiten sind wichtig. Maximiere Erwartungswert des Vermögens nach 1. Runde E[V 1 ]=V 0 +3E r p r +2E b p b +6E g p g E r E b E g. } {{ } = erwarteter Gewinn (vergleiche Glücksrad) Frage: Welche Einsätze liefern den höchsten erwarteten Gewinn und damit das höchste erwartete Vermögen E[V 1 ] nach einer Runde? Ausprobieren!

15 3. Strategie für das Glücksrad Gewinnhöhen und Wahrscheinlichkeiten sind wichtig. Maximiere Erwartungswert des Vermögens nach 1. Runde E[V 1 ]=V 0 +3E r p r +2E b p b +6E g p g E r E b E g. Resultat: Wegen p r = 1 2, p b = 1 3, p g = 1 6 folgt E[V 1 ]=V 0 +(3p r 1)E r +(2p b 1)E b +(6p g 1)E g = V E r 1 3 E b. Einsatz auf gelb lässt E[V 1 ] unverändert, Einsatz auf blau verkleinert E[V 1 ], also setze alles auf rot. Dies ist äquivalent zur 2. Strategie. Es gilt dann E[V 1 ]= 3 2 V 0.

16 4. Strategie: Das Glücksrad als Tresor Aufgabe: Das gesamte Vermögen V 0 am Glücksrad setzen, aber nichts riskieren. Ist das möglich? Ausprobieren!

17 4. Strategie: Das Glücksrad als Tresor Aufgabe: Das gesamte Vermögen V 0 am Glücksrad setzen, aber nichts riskieren. Ist das möglich? Lösung: Ja! Für die Einsätze erhält man E r = 1 3 V 0, E b = 1 2 V 0, E g = 1 6 V 0 3E r = V 0 2E b = V 0 6E g = V 0 falls rot gewinnt, falls blau gewinnt, falls gelb gewinnt, also in jedem Fall das Anfangskapital V 0.

18 Das Glücksrad als Goldesel? Frage: Gibt es eine risikolose Gewinnmöglichkeit? In der Fachsprache: Bietet das Glücksrad Arbitrage? Ausprobieren!

19 Exkurs: Ein Beweis, dass das Glücksrad kein Goldesel ist Jede Gewinnmöglichkeit muss mindestens die Summe E r + E b + E g aller Einsätze liefern, also 2E r (r) E b + E g, E b (b) E r + E g, 5E g (g) E r + E b. Aus (r) und (b) folgt 2E r E r +2E g, also E r 2E g. Aus (g) und (b) folgt 5E g 2E r + E g, also 2E g E r. Zusammen ergibt dies E r =2E g. Einsetzen in (r) gibt 3E g E b, in (b) gibt E b 3E g. Zusammen ergibt dies E b =3E g. Also gilt in (r), (b), (g) Gleichheit = kein Gewinn.

20 5. Strategie: Konstante Einsätze am Glücksrad Wähle Bruchteil k {1, 2, 3,...} und setze den konstanten Einsatz E r = V 0 /k auf rot solange es geht. Bis zum Ruin können so mindestens k Einsätze verspielt werden. Ausprobieren! (Zum Beispiel mit k = 3)

21 5. Strategie: Konstante Einsätze am Glücksrad Wähle Bruchteil k {1, 2, 3,...} und setze den konstanten Einsatz E r = V 0 /k auf rot solange es geht. Bis zum Ruin können so mindestens k Einsätze verspielt werden. Empirische Beobachtung: Kleiner Einsatz = Kleines Vermögenswachstum, aber auch kleine Ruinwahrscheinlichkeit Großer Einsatz = Stärkeres Vermögenswachstum, aber auch große Ruinwahrscheinlichkeit Frage: Können die Ruinwahrscheinlichkeiten berechnet werden?

22 5. Strategie: Analyse der Ruinwahrscheinlichkeit Sei q k die Wahrscheinlichkeit des Ruins falls V 0 = ke r. Man kann zeigen, dass gilt 5 1 q k = λ k mit λ = Gute Mathematikstudenten sollten dies nach einem Jahr Studium herleiten können.

23 5. Strategie: Tabelle der Ruinwahrscheinlichkeiten k q k k q k

24 6. Strategie: Setzen konstanter Bruchteile Beobachtung: Konstante Einsätze geben nach Vermögenszuwachs nur noch kleine Rendite. Idee: Riskiere höhere Einsätze bei großem Vermögen, setze z. B. immer konstante Bruchteile α r,α b,α g 0 auf rot, blau und gelb, wobei α r + α b + α g 1. Vorteil: Ist das Gesamtvermögen nicht auf ein oder zwei Farben konzentriert, kann es (abgesehen von Rundungseffekten) nie ganz verspielt werden!

25 6. Strategie: Setzen konstanter Bruchteile (Forts.) Frage: Welche Bruchteile α r, α b, α g sind optimal? Komplizierte Antwort: Dies hängt von erwarteten subjektiven Nutzen des Wachstumsfaktors F ab, wobei dies mit einer Nutzenfunktion U :[0, ) [, ) gemessen wird... Wir probieren es einfach aus: Feste Prozentsätze, Potenz 0.0 für Potenznutzen, Einsätze so, dass der zugehörige logarithmische Nutzen am Glücksrad möglichst groß wird.

26 6. Strategie: Logarithmische Nutzenfunktion Lösung: Optimaler Mindesteinsatz ist 1 3 in der Aufteilung des Vermögens α r = %, α b =0, α g = %. Zusätzlich kann ein Anteil α [0, 2 3 ] mit Aufteilung ( α 3, α 2, α 6 ) gesetzt werden (vgl. Glücksrad als Tresor). Für α = 2 3 ist α r = 1 2, α b = 1 3, α g = 1 6 optimal. Erwartete Rendite R im Optimum (linearer Nutzen): R = p r (2α r α b α g )+p b (α b α r α g ) + p g (5α g α r α b )= %

27 Entwickle Deine clevere Strategie Entscheide Dich für eine Nutzenfunktion (zum Beispiel logarithmischer Nutzen, Potenznutzen, exponentieller Nutzen) oder denke Dir eine eigene aus. Bestimme Deine optimale Investitionsstrategie Probieren diese online aus! Internet: simulation/wheel de.html

28 Computerprogramme zum Ausprobieren Investieren am Glücksrad Investieren am Aktienmarkt Berechnung der Lebenserwartung Altersvorsorge mit Privatpension Zeitliche Entwicklung der Privatrenten Internet:

29 Poster im Internet Prinzip der Versicherung Extremwerttheorie Die Mathematik der seltenen Ereignisse Zukünftige Lebenserwartung & Rentenversicherung Kreditrisiko Grundlagen und aktuelle Entwicklungen Finanzmathematik Aktien, Zinsen und Optionen Volkszählungen & aktuelle Sterbetafeln Rückversicherung und Katastrophenbonds Die größten Versicherungsschäden Zinsstrukturmodelle Finanzmathematik und Geometrie

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