1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion

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1 Schülerbuchseite 6 8 Lösungen vorläufig Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion S. 6 Vermutung: Da das Zeit-Weg-Diagramm eine Sinuskurve und das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm 8 eine Kosinuskurve zeigt, könnte die Kosinusfunktion die Ableitung der t (in s) Sinusfunktion sein v ( in cm_ s ) 8 S. 7 a) f () = + _ sin ; f ( π_ ) = π + _ b) f () = 9 cos ; f ( π_ ) = 0 c) f () = cos sin ; f ( π_ ) = _ π d) f () = _ + cos _ ; f ( π_ ) = _ π e) f () = 8 cos 6 sin ; f ( π_ _ π ) = f) f () = (cos ) (sin ) ; f ( π_ ) = g) f () = _ sin _ cos ; f ( π_ ) = π_ g) f () = _ cos + _ 8 ; f ( π_ ) = _ 8 f () = cos sin ; Die Produktregel wurde falsch angewandt. g () = _ + sin ; Falsches Vorzeichen. a) cos = n = n π mit n * Z b) cos = 0 n = ( n + _ ) π mit n * Z c) cos = n = ( n + ) π mit n * Z d) cos = _ Überlegung: cos = _ für = π_ ; π_ ; 7 π_ ; π_ ; n = (6 n ) π_ und n = (6 n + ) π_ mit n * Z a) Man müsste die Funktion f viermal ableiten. b) Man müsste die Funktion g viermal ableiten. S. 8 m 6 c () = a (); d () = b (); h () = f (); g () = k (); i () = e () a () = + cos ; b () = _ cos ; c () = + sin ; d () = _ 6 sin ; e () = sin ; f () = _ sin ; g () = _ 6 + ; h () = _ + cos ; i () = cos ; k () = _ 7 a) Den Graphen erhält man, wenn man die zu selben -Wert gehörenden -Werte der Funktionen 6 p: sin und q: addiert. b) Graphisch: Zeichne den Graphen von h: und vergleiche die Steigung dieser Geraden mit den Tangentensteigungen. Vermutung: Bei = π_ π und = könnte die Tangentensteigung sein. Rechnerisch: g () = sin = +cos sin = = π_ ; = π π g ( π_ ) = π_ P ( π_ π_ ) cos π Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 g ( _ π ) = _ π P ( _ π _ π ) c) f () = + cos 0, da cos g () = sin 0, da sin Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

2 Schülerbuchseite 8 9 Lösungen vorläufig m 8 a) Graphisch: f (), f ( _ π ) Rechnerisch: f () = cos sin f () = cos sin, π π π π f ( _ π ) cos ( _ π ) sin ( _ π ) = 0 + = b) Individuelle Lösungen, z. B. g () = 0, f () = sin + 0, π π π π G g Graphisch: f (0), f (π) 0, Rechnerisch: f () = cos + 0, f (0) =,; f (π) = 0, 9 sin = cos für = π_ ( sin = cos = _ ) S ( π_ _ ) f () = cos ; g () sin f ( π_ ) = _ ; g () = _ Tangente an f: tan α = _ α,6 Tangente an g: tan α = _ α,6 S a) f () = cos ; f (0) = ; f (0) = 0 t () = + a; 0 = 0 + a a = 0 t () = h () = + b; 0 = 0 + b b = 0 h () = b) t () = _ + _ _ 6 π; n () = + _ π + _ c) t () = _ _ π _ ; n () = _ + 0_ 9 π _ d) t () = _ _ π + _ ; n () = _ π + _ e) t () = ( ) _ π ; n () = ( ) + _ π f) t () = _ _ π 7_ ; n () = _ _ π 7_ g) t () = _ π + _ π ; n () = _ π _ 6 π _ π Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

3 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläufig f f g g Es sei f mit f () = cos. Dann ist m () = cos die Steigung der Sekante durch die Punkte (0 0) und P ( cos ) beim Graphen von f. Folglich ist lim = cos die Steigung der Tangente 0 an den Graphen von f in (0 0). Da diese Tangente parallel zur -Achse verläuft, gilt lim = cos = 0. 0 a) a () = h (); b () = k (); c () = f (); m () = d (); p () = e (); g () = r (); t () = n (); s () = v (); q () = w () b) Individuelle Lösungen a) f () = 0 für = k π, k*z, also Nullstellen = π, = 0; = π. f () = f ( ), also ist achsensmmetrisch zur -Achse. f () = sin cos ; f () = 0 für = k_ π, k * Z, also = _ π, = π, 6 = _ π, 7 = 0, f ( _ π ) = f ( _ π ) = f ( _ π ) = f ( _ π ) = Monotonieverhalten von f: f : f: Maima: H ( _ π ), H ( _ π ), H ( _ π ), H ( _ π ) ima: T ( π 0), T (0 0), T (π 0) π 8 = _ π, 0 = _ π. _ π f < 0 π _ π f < 0 0 _ π f < 0 π Ma Ma Ma b) Keine Nullstellen, da f () > 0 für alle * D. f () = f ( ), also ist achsensmmetrisch zur -Achse. f () = sin ; f () = 0 für = k π, k * Z, also = π, = π, = 0, = π, = π f ( π) = f (0) = f ( π) = π + ; f ( π) = f (π) = π Monotonieverhalten von f: f : f: π π f < 0 π Ma Maima: H ( π π + ), H (0 π + ), H ( π π + ) ima: T ( π π ), T (π π ) π π 0 f < 0 π π f < 0 Ma Ma _ π f < 0 Ma Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

4 Schülerbuchseite 9 Lösungen vorläufig π c) f () = (sin ) + (cos ) = (konstante Funktion) Keine Nullstellen, da f () > 0 für alle * D. f () = f ( ), also ist achsensmmetrisch zur -Achse. f () = sin cos sin cos = 0 für alle * D, also keine Etrema. π π π π π d) f () = _ sin cos = tan, ( k + ) π_, k *Z f () = 0 für = k π, k * Z, also Nullstellen = π, = π, = 0, = π, = π f ( ) = f (), also ist punktsmmetrisch zum Ursprung. f () = (cos ) + (sin ) (cos ) = (cos ) Keine Etrema, da f () > 0 für alle * D. π π π π π π v 6 Es muss gelten: () sin = cos + c und () cos = sin Aus () folgt: = π_ oder _ π (aus Einheitskreis oder Graph) eingesetzt in (): _ = _ c c = eingesetzt in (): _ = _ c c = a) z z z = ( ) _ z _ ( ) _ 6 ( ) _ ( ) _ z _ z _ 6 = z 9_ _ 6 _ = z b) ( ) = ( _ ) _ _ ( 7 ) _ _ _ = _ _ 7_ _ _ = _ 8 Mit h c = cm + c, h c = cm + c, c = c + cm folgt: A = _ h c c = _ ( cm + c) c = _ cm c + _ c und A = _ h c c = _ ( cm + c) (c + cm) = _ (c + cm c + cm ) = _ c + cm c + cm Es soll gelten: A = A _ c +, cm c = _ c + cm c + cm c = cm h c = 9 cm Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

5 Schülerbuchseite 0 Lösungen vorläufig Die Umkehrfunktion S. 0 a) Die umgekehrte Zuordnung ist eindeutig. Kennt man z. B. die ISBN-Codierung eines Buchtitels, so kann man eine Bestellung auch ohne Kenntnis von Titel oder Autor aufgeben. b) Die umgekehrte Zuordnung ist nicht eindeutig, da es zwei Schüler mit gleicher Note geben kann. c) Die umgekehrte Zuordnung ist nach heutigem Wissensstand eindeutig. Eine Identifizierung einer Person anhand ihres genetischen Fingerabdrucks ist möglich. S. G a, G c und G e gehören zu einer umkehrbaren Funktion, da die Funktionen a, c und e streng monoton sind. G b gehört nicht zu einer umkehrbaren Funktion, da z. B. die Parallele zur -Achse mit der Gleichung = den Graphen zweimal schneidet. G d und gehören ebenfalls nicht zu umkehrbaren Funktionen, da z. B. die Parallele zur -Achse mit der Gleichung =, die Graphen zweimal schneidet. a) Da f () = + > 0 ist für * R, ist f streng monoton zunehmend und damit umkehrbar. _ b) Da f () = ( + ) < 0 ist für * R \{ }, ist f streng monoton abnehmend und damit umkehrbar. c) Da f () = > 0 ist für > _, ist f streng monoton zunehmend und damit umkehrbar. d) Da f () = _ < 0 ist für >, ist f streng monoton abnehmend und damit umkehrbar. ( ) e) Da f () = + _ > 0 ist für > 0, ist f streng monoton zunehmend und damit umkehrbar. _ f) Da f () = < 0 ist für <, ist f streng monoton abnehmend und damit umkehrbar. ( ) i a) f ist umkehrbar in ] ; + [, denn f () = < 0 für >. b) f ist nicht umkehrbar in R, da z. B. f ( 0,) = f (0,) =,7 ist. Mögliche Einschränkung: D f = R +. c) f ist nicht umkehrbar in [ 0 ; π ], da z. B. f (0) = f (π) = ist. Mögliche Einschränkung: D = 0 ; π_. d) f ist umkehrbar in R, da z. B. f () =, + > 0 für * R. e) f ist nicht umkehrbar in R, da z. B. f (0) = f () = ist. Mögliche Einschränkung: D = _ ; +. f) f ist nicht umkehrbar in R, da z. B. f () = f ( ) = _ ist. Mögliche Einschränkung: D = R+. Einen eingeschränkten Definitionsbereich kann man finden, indem man den Graphen skizziert oder indem man die Ableitung bildet und damit das Monotonieverhalten des Graphen untersucht. a) f ist umkehrbar, da f () > 0 und damit f streng monoton zunehmend ist. b) G g c) Die zugehörige Funktion ist in den Bereichen umkehrbar, in denen die Ableitung nur negativ (d. h. Graph unterhalb der -Achse) bzw. nur positiv (d. h. Graph oberhalb der -Achse) ist. Die Funktion ist dementsprechend in diesen Bereichen streng monoton abnehmend bzw. zunehmend. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

6 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 6 a) f () = _ < 0 für > ; f ist also umkehrbar auf ] ; + [. ( ) = _ = _ + Also: f : _ + ; D f = W f = ]0 ; + [; W f = D f = ] ; + [ b) f () = _ < 0 für > ; f ist also umkehrbar auf ] ; [. ( ) f : _ + ; D f = ] ; 0 [ ; W f = ] ; [ c) f () = 6_ > 0 für < 0; f ist also umkehrbar auf ] ; 0 [. Also: f : 6_ ; D f = ] ; + [; W f = ] ; 0 [ d) f () = ( ) > 0 für > ; f ist also umkehrbar auf ] ; + [. f : ; D f = [ 0 ; + [; W f = [ ; + [ 7 a) Alle linearen Funktionen mit m 0 sind umkehrbar. b) Potenzfunktionen mit ungeradem Eponenten n sind umkehrbar auf R, da deren Ableitungen stets positiv sind. f ist somit streng monoton zunehmend. c) Umkehrbare ganzrationale Funktion: z. B. f: 7 + _ mit D f = R Umkehrbare gebrochen rationale Funktion: z. B. f: _ mit D f = ] ; + [. 8 Die Koeffizienten a und b müssen gleiche Vorzeichen haben und wenn ein Koeffizient gleich 0 ist, muss der andere ungleich 0 sein. 9 a) Richtig. Ist * R \ {0}, so gilt f ( ) = f ( ). b) Falsch. Gegenbeispiel: f mit f () = + +. c) Richtig. Hat f keine Etremstellen, so ist f () 0 für alle * R, d. h. f () > 0 oder f () < 0 für alle * R. Somit ist f streng monoton, also umkehrbar. d) Richtig. Hätte f eine Etremstelle, so gäbe es Stellen, in der Umgebung von mit f ( ) = f ( ). e) Richtig. Nach dem Kriterium für Umkehrbarkeit gilt: Ist eine Funktion umkehrbar, so ist sie auch monoton. Für eine wachsende Funktion gilt für <, dass f ( ) < f ( ) ist. f bildet auf und f bildet auf ab. Für < ist <, also ist f monoton wachsend. Für eine fallende Funktion gilt für <, dass f ( ) > f ( ) ist. f bildet auf und f bildet auf ab. Für > ist <, also ist f monoton fallend. i 0 f () = m + t ; m 0 Aus = m + t folgt = m _ t_ m. f : m _ t_ m. Wenn f () = f () sein soll, muss gelten: m + t = m _ t_ m und damit () m = m _ und () t = t_ m. Aus () und () folgt m = und t = 0 oder m = und t * R beliebig. Also f () = ; D f = R und f () = + t; D f = R, t * R beliebig Die Graphen sind die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten sowie die zu ihr senkrechten Geraden. Diese Funktionen nennt man involutorisch. Die Aussage stimmt nur für m 0 und t = 0. Der Graph einer Funktion, bei der die Funktionswerte proportional zu den -Werten wachsen, ist eine Halbgerade im I. Quadranten, die im Koordinatenursprung beginnt. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

7 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig Verkettung von Funktionen S. a) Gleich viel verdienen jeweils Bruno, Heinz und Rainer bzw. Florian und Gerd. Bruno, Heinz und Rainer arbeiten als Postausträger bzw. Florians und Gerds Ferienjob geben den gleichen Verdienst pro Woche. b) Von Matthias kann der Verdienst nicht bestimmt werden, da für Nachhilfe kein Wochenverdienst angegeben ist. Die erste Spalte gibt verschiedene -Werte vor. In der zweiten Spalte werden die Funktionswerte f () = und in der vierten Spalte die Kehrwerte der -Werte berechnet. Die dritte Spalte verknüpft die beiden Funktionen aus der zweiten und der vierten Spalte, indem die Kehrwerte der Funktionswerte f () gebildet werden. Die fünfte Spalte hingegen verknüpft die beiden Funktionen aus der zweiten und der vierten Spalte, indem mit den Funktionswerten f () der Funktionsterm [f ()] berechnet wird. Sobald eine nicht zulässige Rechenoperation hier meist die Division durch null durchgeführt wird, erscheint in der entsprechenden Zelle die Abkürzung #UNDEF. S. a) b) c) 8 d) 6 e) 6 f) 9 g) 0 h) 9 i) 6 f () g () v () u () a) + ( + ) + b) ( + ) + + c) sin ( ) (sin ) sin d) ( ) _ _ e) h) individuelle Lösung f) _ _ _ g) , ( 0, ) ( 0, ) a) f g: mit D f g = R g f: ( ) + mit D g f = R b) f g: ( + ) mit D f g = R g f: + mit D g f = R c) f g: mit D f g = R g f: mit D g f = R d) f g: _ mit D f g = R g f: mit D g f = R \ 6 _ ; _ 7 6 a) v (0,) = 0,; u ( 0,) eistiert nicht, da D u = R + 0 b) u v: ; ; D u v = [; + [ 7 a) u () = b) u () = ( ) = 8 c) u () = _ d) v () = = ( ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

8 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 8 S. f () g () a) b) + ( + ) c) ( ) _ d) + ( ) _ _ e) ( ) m 9 a) u () = + ; v () = D u = R; D v = R + 0 ; W f = R + 0 b) f () = = ( ) ( ) D f = R \] ; [ ; da u () 0 sein muss. Nullstellen: =, = a) u (v(0)) = 0; u (v(0,)) = ; u (v()) = 0; v (u(0)) = ; v (u(0,)) = 0; v (u()) = b) = u (v()) = v (v()) c) u (v()) = (0, ) + ; v (u()) = ( 0,) a) u () = ; v () = b) u () = ; v () = c) u () = _ ; v () = d) u () = _ ; v () = e) u () = ; v () = sin f) u () = sin ; v () = g) u () = ; v () = + h) u () = ; v () = + i) u () = ; v () = k) u () = _ ; v () = sin l) u () = _ ; v () = ( + ) oder u () = _ ; v () = + m) u () = cos ; v () = + 6 oder u () = cos ; v () = ( + 6) n) u () = ; v () = ( + ) oder u () = ; v () = + o) u () = _ ; v () = ( ) oder u () = _ ; v () = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

9 Schülerbuchseite 7 Lösungen vorläufig () t: ; t = q g () t: ( + ) ; t = f g () t: + ; t = g f () t: sin + ; t = g h () t: (sin ) ; t = f h (6) t: ; t = q f (7) t: ; t = g p a) Z. B. v () = + b) Z. B. v () = ( + ) c) Z. B. v () = (v () = ( ) ) a) u v w: 8_ + u w v: 6_ + v u w: ( 6_ + ) 9 v w u: ( + ) w _ u v: + w v u: ( + ) b) f = u v w mit u () = sin ; v () = + π ; w () = a) Mit v () = m + t und u () = m + t gilt: u (v ()) = m (m + t ) + t = m m + t m + t, also ist u v eine lineare Funktion f mit f () = m + t mit m = m m und t = t m + t. b) Mit v () = a und u () = a gilt: u (v()) = a (a ) = a a. Also ist die Verkettung zweier quadratischer Funktionen eine Funktion. Grades und damit gilt die entsprechende Aussage nicht. 6 K 0 = K 0 ( + p) p,9 % 7 a) _ b) 7_ 0 _ n c) n _ n d) n Ableiten von verketteten Funktionen S. 6 Sebastian hat recht. S. 7 a) f () = 6 ( + ) = b) f () = ( + ) c) f () = (6 ) ( + ) = d) f () = 8 (8 t 7) e) f () = 6 6 ( ) = 6 + f) f () = 6 sin g) f () = cos h) f () = _ cos ( + ) i) f () = 6_ ( t) k) f () = l) f () = sin ( 7) (cos ) m) f () = _ t _ t cos _ t n) f () = 8 + ( + ) a) g () = ( ) ( ) = 0 ( ) h () = sin ( ) (6 ) = 6 sin ( ) k (t) = sin _ t ( _ t ) + = _ t sin _ t + (Ableitung nach t) p () = ( sin ) ( cos ) ( sin ) = ( sin ) ( cos ) ( sin ) b) Individuelle Lösungen 7 a) f = u v; f () = (sin ) u () = 7_ = 7 ; v () = (sin ) f () = 7 [(sin ) ] sin cos = (sin ) cos u () = 7_ = 7 ; v () = sin f () = (sin ) cos b) Verkettung erwies sich beim Ableiten als vorteilhaft. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

10 Schülerbuchseite 7 8 Lösungen vorläufig a) f () = _ + _ ; f () = _ b) f () = ( ); f () = 6 c) f () = ( ) ( + ) ; f () = 0 d) f () = ( ) ; f () = _ 9 e) f () = ( + 8 )(7 ) ; f () = 6 f) f () = _ ; ( ) f () = g) f () = cos ( ); f () = h) f () = ( 7) ; f () = 6 a) b) c) d) e) f) g) h) f () = u (v ()) sin _ 8 ( _ ) 7 ( ) _ (cos ) 0_ sin _ ( ) _ cos sin _ u () sin _ 8 7 _ 0_ _ _ sin v () _ cos sin ( ) cos _ u () cos 7_ 8 6 _ 0_ _ _ cos v () sin cos ( ) sin _ u (v()) cos 7_ 8 ( _ ) 6 ( ) _ cos 0 (sin ) _ ( ) (cos ) f () cos 7_ ( _ ) 6 0 ( ) _ cos cos sin 0 (sin ) _ ( ) sin (cos ) cos _ _ cos _ 7 a) f (t) = 6 a t (at b + ) b) f () = (a + b ) c) f (t) = 6 a ( + d) f (t) = a b ) (b t + ) e) f (t) = a t cos (a t ) f) f () = a cos (a ) g) f (t) = a sin (a ) cos (a ) h) f (t) = sin (a ) 8 f () = sin cos = sin cos S. 8 9 a) Z. B. f () = u (v()) = cos ( + ); f () = sin ( + ) f () = v (u()) = (cos ) + ; f () = cos sin f () = v (w()) = _ + ; f f () = w (u ()) = _ cos ; () = _ f () = sin (cos ) b) Z. B. f () = u (v (w ())) = cos ( _ + ) ; f () = _ sin ( _ + ) f () = v (u (w ())) = ( cos _ ) + ; f () = _ cos _ sin _ f () = w (u (v())) = cos ( + ) ; f () = sin ( + ) [cos( +)] f () = v (w (u())) = + ; (cos ) f () = sin (cos ) c) In a) wären 6 Verkettungen möglich. In b) wären 6 Verkettungen möglich. d) individuelle Lösung 0 a) v (t) = s (t) = ω A cos (ω t) b) v (0) = ω A (Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Geschwindigkeit maimal.) c) a (t) = v (t) = ω A sin (ω t) a) Strahlensatz (V-Figur): r_ h = R_ H r = R h _ H Volumen des Kegels: V = _ r π h = _ ( _ R h H ) π h h _ 7 π (h (t)) b) Aus V (t) = _ 7 π (h (t)) bzw. V (t) = 0 t ergibt sich _ 7 π (h (t)) = 0 t. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Nach beidseitigem Differenzieren _ 7 π (h (t)) h (t) = 0 erhält man mit h (t 0 ) = h (t 0 ) = _ 6 π. Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

11 Schülerbuchseite 8 Lösungen vorläufig a) D f = R; W f = [ ; ] f ( ) = sin ( π + ( ) ) = sin ( π _ + ) = f (), also ist achsensmmetrisch zur -Achse. b) f () = π ( + ) cos ( _ π + ) f () = 0 für = 0 und _ π + = ( k + ) π_, also = _ k, k = 0 bzw. k = k + = 90000, = _, = 90000, = _ f ( _ ) = f ( _ ) =, f ( ) = f ( ) =, f (0) = 0 Monotonieverhalten von f: f : f: f < 0 0 f < f < _ _ Ma Ma Ma Maima: H ( ), H (0 0), H ( ) ima: T ( _ ), T ( _ ), c) f ist streng monoton abnehmend für * ; f ist streng monoton zunehmend für * ; _ ; 0 ; ; ; 0 ; _ _ ; ; +. _ ; d) f ( _ ) 0,6; f () 0; f () 0,6; f ( _ ),9; f () π ; f () 0,6 a) g () = c f (c ) b) g () = c f () c) g () = f () d) g () = f ( + c) e) g () = f ( n ) n n f) g 6 () = n (f ()) n f () g) g 7 () = n f (n + c) h) g 8 () = n f (n ) a) D f = R; W f = [ ; ] b) f () = 0; sin ( + ) = 0 für + = k π, k * Z Also k = _ (k π ) Nullstellen f () = 6 cos ( + ) f () = 0; 6 cos ( + ) = 0 falls + = ( k + ) π_, k * Z Also k = k_ π + _ π _ Etremstellen c) Nullstellen k : Etrema: Die Funktionswerte der Hochpunkte sind und die Tiefpunkte sind. Monotonieverhalten von f: f : f: k 0 k,,6,07 0,,07,6, k 0 k 6,00,,86,9 0,9,86,,00 6,00 f < 0, Ma,86 f < 0,9 0,9 f < 0,86 Ma Ma, f < 0,00 Ma Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

12 Schülerbuchseite 8 Lösungen vorläufig lim f () = c = + I. = b a a = _ II. 0 = b a ; b = _ f ( ) 6 7 Skizze: D 8 cm C Z. B. A = A AECD + A EBC = 8 cm cm + _ ( cm 8 cm) cm cm A E cm B = 7 cm =,7 dm A = _ h (a + c) = _ cm ( cm + 8 cm) = 7 cm =,7 dm Potenzfunktionen mit rationalen Eponenten und ihre Ableitung S. 9 g () = _ = _ g () = _ _ + _ = _ _ + _ = _ _ h () = _ = _ h () = _ _ + _ = _ _ + _ = _ _ k () = 7_ = _ k () = _ _ + _ = _ _ + _ = 7_ _ Es fällt auf, dass für f () = n_ mit n * N \ {0} gilt: f () = n_ n_. S. f (); g (6); h (); k (7); p (); q (); r (); s () r = h; Graph (8) gehört somit zu keiner Funktion. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

13 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig a) D f = [ ; + [; W f = [ 0 ; + [; f () = b) D f = R + 0 ; W f = [ ; 0 [; f () = _ c) D f = [ ; + [; W f = [ 0 ; + [; f () = d) D f = [ ; + [; W f = [ ; [; f () = zu a) 6 zu b) 6 7 zu c) zu d) f () = (sin ) f () = (sin ) cos g () = = _ g () = _ _ = 9_ _ h () = 0, = 0, _ = 0, 0, h () = 0, 0, 0,6 = 0,08 0,6 _ = 0, p (t) = + sin ( t _ ) p (t) = _ t _ cos 9000 t Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

14 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig a) f () = 0, 0,8 ; f () = 0,; F () = _ 6 6_ b) f () = _ _ ; f () = _ ; F () = _ 7 7_ c) f () = _ _ ; f () = _ ; F () = _ 7 7_ d) f () =, 0, ; f () =,; F () = _ 0 7 7_ 0 e) f () = p ; f () = ; F () = p ( p) p f) f () = _ _ ; f () = _ ; F () = _ 9 9_ g) f () = _ _ ; f () = _ ; F () = _ 9 9_ h) f () = 0, ; f () = 0,07; F () = _ 9_ i) f () = _ _ ; f () = _ ; F () = _ _ k) f () = 8_ ; f () = ; F () = 9_ _ l) f () = _ 7_ ; f () = _ ; F () = _ _ m) f () = 6 7_ ; f () = 6; F () = 6 _ S. 6 a) f () = p p ; F () = _ p p b) f () = _ n _ n ; F () = _ _ n _ n c) f (t) = ( p ) t p ; F () = _ p p _ d) f () = p p + _ p p + _ ; F () = (p + ) p + e) f () = p ( p _ q ) p _ q ; F () = q p _ q f) f (s) = s p q ; F (s) = (p + q) ( p q ) s p q + g) f () = (n + p) n p ; F () = n p n p h) f () = (n + p) n p ; F () = n p n p 7 a) f () = _ ( + ) _ b) g () = (, 0,8) (7 ) _ c) f (t) = _ t _ ( t ) e) f () = ( 8 6 _ ) ( ) = 8 0 _ + 8 g) h () = _ ( sin ) _ ( sin cos ) = sin cos ( sin ) _ h) f (t) = _ (t + t) _ ( t + ) = (t + ) ( t + t) _ i) k () = _ [ + ( ) ] _ ( ) ( ) = ( ) [ + ( ) ] _ k) f (s) = _ [( s) + ] _ ( s) ( ) = _ ( s) [( s) + ] _ l) f () = ( ) _ ( + ) _ = ( + ) _ ( ) = m) f () = 8 ( _ 8 ) ( + ) _ 8 = 9 ( + ) _ 8 n) f () = ( _ ) ( ) d) f () = _ cos (sin ) _ f) f () = _ t (t + t) _ o) f (t) = _ t _ sin ( _ 9000 t ) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

15 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 8 f : Der Graph von f ist streng monoton steigend und verläuft oberhalb der Winkelhalbierenden = ; f () = 0, f 8: f () =, ; der Graph von f ist streng monoton steigend und verläuft oberhalb der Winkelhalbierenden = ; f () =, g : Der Graph von g ist streng monoton fallend und verläuft oberhalb der -Achse: g () = g 7: g () = 0,, ; der Graph von g verläuft unterhalb der -Achse h 6: Der Graph von h ist streng monoton steigend und verläuft unterhalb der Winkelhalbierenden = h : h () = _ _ ; der Graph von h ist streng monoton fallend und verläuft oberhalb der - Achse; h () = 0, k : Der Graph von k ist streng monoton steigend und verläuft oberhalb der Winkelhalbierenden = ; k () = k : k () = ; der Graph von k ist eine Gerade mit der Steigung 9 a) 7 6 G h G g b) G g G h c) 6 G g G h m 0 a) G g G h G k Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

16 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig b) Der Graph zeigt einen Halbkreis im I. und II. Quadranten mit dem Radius 6. Der Graph G g zeigt einen Halbkreis im I. und II. Quadranten mit dem Radius 7. Der Graph G h zeigt eine halbe Ellipse im I. und II. Quadranten mit großer Halbachse a =,66 und kleiner Halbachse b =. Der Graph G k zeigt eine halbe Ellipse im I. und II. Quadranten mit großer Halbachse a = und kleiner Halbachse b =,. f () = (6 ) _ = ; D f = ] 6 ; 6 [ lim f () = + ; lim f () = 6 6 g () = (9 ) _ = ; D g = ] 7 ; 7 [ lim g () = + ; lim g () = 7 7 h () = (8 ) _ = ; D h = ] ; [ lim h () = + ; lim f () = k () = (8 ) _ = ; D k = ] ; [ lim k () = + ; lim k () = Alle Ableitungen weisen das gleiche Grenzverhalten auf: Die Funktionswerte der Ableitungen gehen gegen + bzw.. c) Die Tangenten an diesen Randpunkten sind senkrecht. m a) D f = R + 0 ; keine Smmetrie Nullstellen: = 0 = = 0 = = = 0, = ; N (0 0); N ( ) f () = ( ) _ ; f () = 0 für = 0, Monotonieverhalten von f: f : Ma f: lim f () = + 0 f (0) = 0 T (0 0) f (0,) = 0,7 H (0, 0,7) b) D g = [ ; ] g ( ) = _ ( ) ( ) = _ = g (), also ist G g punktsmmetrisch zum Ursprung Nullstellen: _ ( ) _ = 0 = 0 = 6 = 0 = 0, = ; = N (0 0); N ( 0); N ( 0) g () = _ (6 ) _ + _ _ (6 ) _ ( ) = _ (6 ) _ (6 ) _ = _ 6 = 8 (6 ) _ g () = 0 für = ; = Monotonieverhalten von g: f : f: g < 0 0 0, f < 0 g > Ma g < 0 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

17 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig g ( ) = 8_ T ( _ ) g ( ) = 8_ H ( _ ) Gg 6 7 c) D h = R ( ) h ( ) = = _ 9 + ( ) = h (), also ist G h punktsmmetrisch zum Ursprung Nullstellen: _ = 0 = 0; N (0 0) _ h () = (9 + ) _ (9 + ) _ 9 + = (9 + ) _ (9 + ) h () > 0 für alle * D h, also ist G h in D h streng monoton steigend D h besitzt keine Etrempunkte 9 + = = (9 + ) _ (9 + ) _ 6 7 G h S. a) f () = _ b) g () = _ c) h () = _ d) k () = _ e) p () = _ f) q () = _ Z. B. u v = ( ) _ ; (u v) = _ ( ) _ v u = _ ; (v u) = _ _ v w = 6 ; (v w) = 6 7 w v = ( ) ; (w v) = 6 ( ) a ( ) = a + a ( ) a = f a (), a also ist G a punktsmmetrisch zum Ursprung f a () = ( + a ) _ f a () > 0 für a > 0 für alle * R, also ist G a streng monoton steigend. a) f a ( ) = b) f a () < 0 für a < 0 für alle * ] a _ ; a _ [, also ist G a dort streng monoton fallend. Auch für a < 0 ist G a punktsmmetrisch zum Ursprung. c) G entsteht aus G durch Drehung um 90 mit dem Zentrum (0 0). G und G haben die gleiche Form. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

18 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig _ d) Spiegelung an der -Achse: g () = Spiegelt man den Graph G an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten, so erhält man den Graph G g. e) lim _ = ; lim _ =, da lim = lim und der ± ± Zähler positiv bzw. negativ wird. G G g G a) f () = D f = [ ; ]; D f = ] ; [ b) A ( ), B ( ) Tangente im Punkt A: m ta = f () = _ ; = _ + a A a A = _ t A : = _ + _ Normale im Punkt A: m na = _ f () = _ ; = _ + b A b A = 0 n A : = _ Tangente im Punkt B: m tb = f () = _ ; = _ + a B a B = _ t B : = _ + _ Normale im Punkt B: m nb = _ f () = _ ; = _ + b B b B = 0 n B : = _ c) 6 G ha G A B G hb G G ta G α tb Wird die Normale n A an der Winkelhalbierenden des I. und II. Quadranten gespiegelt, ergibt sich die Normale n B und umgekehrt. Somit ist die eine Normale Umkehrfunktion der jeweils anderen. d) tan α = m nb = _ α 6,87 ; r = LE A = α_ 60 r π 8,0 FE e) Vektorgleichung: ( ) ( 0 0 ) = ( ) = Koordinatenform: + = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

19 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 6 V: Kegelvolumen in m ; h: Kegelhöhe in m; t: Zeitdauer in min nach 9.00 Uhr; r = Kegelradius in m; Formel für das Kegelvolumen: V = _ π r h a) r : h = : 7 b) V = 60 0,0 = ; = _ π r h; = _ π ( r_ h ) h ; = _ π ( _ 7 ) h h = _ π ( _ 7 ),9 c) V (h) = _ π ( _ 7 ) h h (V) = V 96 π h (t) = π 60 t 0,0 = _ π 9000 t d) h (t): momentante Wachstumsgeschwindigkeit der Kegelhöhe in m_ min h (t): _ _ π _ t h () 0,; h () 0,06; h (60) 0,0 Wächst der Kegel um 9.0 Uhr noch um etwa cm pro ute, so um 9. Uhr nur noch um etwa 6 cm pro ute und um 0.00 Uhr nur noch um etwa cm pro ute. 7 a) Aus g ( 0 ) = f ( 0) f ( 0) = 0 erhält man f ( 0) = 0. Da f ( 0 ) > 0, haben g () und f () das gleiche Vorzeichen und damit das gleiche Monotonieverhalten. Also haben sie auch ihre Maimalstelle an der Stelle 0. b) f () = 8,6, f () = 8,6 Aus f () = 0 folgt = 8,6, =,78 0 =, Monotonieverhalten von f: f : f:, f < 0 Ma Damit hat auch g () bei 0 =, eine Maimalstelle. c) Ist g () streng monoton, so ist g () an jeder Stelle > 0 bzw. < 0. Wegen g ( 0 ) = f ( 0) ist dann f ( 0) auch f ( 0 ) > 0 bzw. < 0. f () ist also streng monoton und besitzt keine Etremstelle. S. m z 8 a) 000 G 0 /G G G G Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

20 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig F ür t = 0 und t = ist f t :. Der Graph dieser Funktion hat bei = 0 eine Wendestelle und keine Etremstellen. Es ist f t () = ( t t ) = ( 8 t + t ) und f t () = 6 ( t t ). Aus f t ( e ) = 0 folgt e = 0 und e = 8_ t _ t. Untersuchung von e = 0: f t (0) = ( t t ) = t ( t ). Wegen t > 0 ist e Maimalstelle für 0 < t < und für t > imalstelle. Untersuchung von e = 8_ t _ t : f t ( e ) = 6 t t 8 t + t = 8 t t = t ( t ). f t hat an der Stelle e eine imalstelle für 0 < t < und für t > Maimalstelle. b) Liegt e (t) am weitesten rechts, so muss e maimal werden. e (t) = 8_ t _ t ; _ d dt = 8_ t ; _ d dt = t < 0, also Maimum von e bei t = _ Die imalstelle e ( _ ) liegt am weitesten rechts. c) Der Tiefpunkt liegt am tiefsten, wenn f t ( e ) minimal wird. Es ist f t ( e ) = g (t) = e ( t ) e = _ 7 t 9 6_ 9 t _ 9 t 6 _ 7 t. Unter Einsatz des CAS-Rechners folgt aus g (t) = 0 und 0 < t < der Wert t = _ an der Stelle = _ ein imum. d) Hinweis: Die Fragestellung sollte besser heißen: Untersuchen Sie die Teilaufgaben a) bis c) nun für t 0, indem Sie die Fragestellung entsprechend anpassen. Welche Eigenschaften der Graphen können hierbei genutzt werden. Der Vergleich der Graphen G und G legt die Annahme nahe, hier liegen Spiegelungen nacheinan- der an der - und an der -Achse vor. Verallgemeinert müsste dann gelten: G f t () = f t () Dies gilt für alle Funktionen f t. G Nachweis: f t ( ) = ( ) + ( t t ) ( ) = + ( t t ) f t () = (( t) ( t) ) ( ) = + ( t t ) Für t < 0 ist e imalstelle für < t < 0 und für t < Maimalstelle. e ist Maimalstelle für < t < 0 und für t < imalstelle. Analog ist hier zu untersuchen, für welche t < 0 der Hochpunkt am weitesten links bzw. der Hochpunkt am höchsten liegt. Lösung für beide Fragestellungen: t = _ a) D a = [ a ; + [ ; W a = [ 0 ; + [ a b) f a () = a ; f a () > 0, da a > 0, also ist G a streng monoton steigend. c) f a () = _ a a = _ = a Ba = f a ( a ) = a, also B a ( a a ) B = _ G B G Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

21 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig 0 Der Punkt P, in dem der Radsportler die Straße verlässt, sei km vom Punkt A entfernt; *[ 0 ; ]. Bezeichnet t die Gesamtfahrzeit in h, so gilt t () = _ ( ) + 0 = _ 0 ( ) 0 t () = 0 für = 0 = (0 ) = = _ = 0 = _ 90000,8 ( = + _ >! ) Monotonieverhalten von t: t : t < 0,8 t > 0 t: Der Radsportler sollte nach etwa,8 km die Straße verlassen. a) D c = ] 0 ; + [; f () = 0 für 0 = c einziger Punkt auf der -Achse: N (c 0) b) lim f c () = lim 0 0 8_ ( c ) = + 0 c f c () = 8_ ( c ) + 8_ _ _ = 8 _ + 8 c + _ = _ + 8 c f c () = 0 für _ = 8 c _ = c = c Monotonieverhalten von f: f : f: f ( c ) = _ c H ( c _ c ) c f < 0 Ma G 6 7 c) Da der Funktionswert des Maimums _ c ist, muss gelten: _ c < c >. d) f c () = _ + 8 c f c () = _ + _ c _ = _ + _ c c = _ f () = c, c = _ : f () =, also P ( ) P * t, da = _ Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

22 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig a) V Quader = cm cm h = 0 cm h V Prisma = _ h cm cm = cm h V Zlinder = ( _ cm ) π h = _ cm π h V Kegel = _ ( _ cm ) π h = _ cm π h V Quader : V Prisma : V Zlinder : V Kegel = : : _ π : _ π b) V Quader = 0 m = 0,0 dm = 0 cm = mm V Prisma =, 0 m = 0,0 dm = cm = 000 mm V Zlinder =,87 π 0 m = 0,087 π dm = 8,7 π cm = 8 70 π mm V Kegel =,08 π 0 6 m = 0,0008 π dm =,08 π cm = 080 π mm a) =, = b) = 8, = g () = f ( ) + = ( ) ( ) + = + + = 7 + Thema:Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion eine Beweisführung S. Zunächst wird mit dem Differentialquotienten die Ableitung an einer Stelle 0 zu f ( 0 ) = lim cos ( 0 + h_ h 0 ) sin h_ _ h_ gebildet. h_ _ Eine Betrachtung des Grenzwerts lim = sin h 0 h_ mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lässt den Wert vermuten. Um dies näher zu begründen, wird der Flächeninhalt eines Kreissektors mit der Bogenlänge und dem Radius r = mit den Flächeninhalten eines dem Kreissektors einbeschriebenen Dreiecks und eines dem Kreissektor umbeschriebenen Dreiecks verglichen. Daraus ergibt sich die Ungleichung _ cos > _ sin > cos. Aus der Grenzwertbetrachtung der oberen und unteren Schranke für 0 folgt lim 0 sin _ =. Somit gilt für die Ableitung von f () = sin : f ( 0 ) = cos 0. g () = cos g ( 0 ) = lim h 0 cos ( 0 + h) cos ( 0) h 0 + h + 0 ) sin ( 0 + h 0 = lim sin ( ) h 0 h = lim h_ ( 0 + ) sin h h 0 sin h_ sin ( 0 + h_ h 0 ) ( sin h_ _ = lim Mit lim _ 0 sin = folgt h_ ) g ( 0 ) = lim h 0 sin ( 0 + h_ ) ( ) = sin 0 g ( 0 ) = sin Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

23 Schülerbuchseite Lösungen vorläufig Für jedes * π_ ; 0 ist der Inhalt Ø des Dreiecks PB kleiner als der Inhalt Ø des Kreisausschnitts PA und der Inhalt Ø des Dreiecks QA größer als Ø: Ø < Ø < Ø. Da _ BP = sin und _ P = cos ist, gilt Ø = _ cos ( sin ) und Ø = _ ( ). Wegen _ QA : _ PB = _ A : _ B ist _ QA = _ sin cos und dann Ø = _ _ sin cos. Also gilt: _ ( sin ) cos < _ < _ sin _ cos. Wegen sin > 0 ist dann cos < _ sin < _ cos, und der Übergang zu den Kehrwerten ergibt _ cos > _ sin > cos. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 009 Lambacher Schweizer, Ausgabe Baern, Lösungen und Materialien Klasse ISBN

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