Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

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1 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 nter einem Regentag verstehen Meteorologen einen Tag, an dem mehr als ein Liter Niederschlag pro Quadratmeter gefallen ist. Die Statistik des Deutschen Wetterdienstes der letzten zehn Jahre zeigt, dass in Frankfurt etwa 40% aller Tage im Juni Regentage sind. Alle folgenden Aufgabenstellungen beziehen sich auf das Wetter in Frankfurt. Vereinfachend gehen Sie bitte in allen Rechnungen davon aus, dass das Wetter an aufeinander folgenden Tagen unabhängig voneinander ist. Teilaufgabe 1.1 (2 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Woche im Juni an drei Tagen regnet. Teilaufgabe 1.2 (2 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Woche im Juni öfter als einmal regnet. Teilaufgabe 1.3 (4 BE) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl von Tagen, innerhalb derer mit einer Wahrscheinlichkeit von über 95% mindestens ein regenfreier Tag im Juni auftritt. Die Statistik zeigt, dass an einem Viertel der Regentage im Juni zusätzlich länger als acht Stunden die Sonne scheint. Darüber hinaus sind auch zwei Drittel der regenfreien Tage sonnig, d.h. es scheint mehr als acht Stunden die Sonne. Teilaufgabe 2.1 (4 BE) Stellen Sie diesen Sachverhalt mit Hilfe eines Baumdiagramms dar. Teilaufgabe 2.2 (4 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Tag mit mehr als acht Stunden Sonnenschein im Juni auch regnet. Teilaufgabe 2.3 (4 BE) Familie Schmitt möchte im Juni drei Tage in ihrem Wochenendhaus verbringen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es an diesen Tagen nicht regnet, oder dass, wenn es schon regnet, wenigstens noch die Sonne für acht Stunden scheint. Im langjährigen Mittel sind die Hälfte der Tage im Juni sonnige Tage. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der sonnigen Junitage eines zufällig ausgewählten Jahres. Abitur Hessen 2012 GK Stochastik Aufgabe C1

2 Seite 2 Teilaufgabe 3.1 (3 BE) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von X unter der Voraussetzung, dass X binomialverteilt ist (1 Monat = 30 Tage). Teilaufgabe 3.2 (3 BE) Die tatsächliche Anzahl der sonnigen Tage im Juni in den Jahren 2001 bis 2010 ist in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Erläutern Sie, welche Bedeutung die im Folgenden berechneten Kenngrößen im Sachzusammenhang besitzen: (1) (2) (3) = 14, (10 14, 9) (16 14, 9) (22 14, 9) 24, , 29 4, 93 Teilaufgabe 3.3 (4 BE) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus 3.1 und 3.2 und erklären Sie die nterschiede in Hinblick auf die in Aufgabenteil 3.1 vorgenommene Modellierung. c Abiturloesung.de

3 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C2 In einem Kurzbericht heißt es: 65% aller nfälle mit Personenschaden ereigneten sich tagsüber zwischen 4 hr und 18 hr. Während tagsüber nur 5, 1% der nfälle mit Personenschaden unter Alkoholeinfluss verursacht wurden, waren es nachts zwischen 18 hr und 4 hr 27%. Teilaufgabe 1.1 (4 BE) Zeichnen Sie für den beschriebenen Sachverhalt ein Baumdiagramm. Teilaufgabe 1.2 (4 BE) Ein nfall mit Personenschaden wird rein zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Der nfall wurde zwischen 4 hr und 18 hr ohne Alkoholeinfluss verursacht. B: Der nfall wurde unter Alkoholeinfluss verursacht. Teilaufgabe 1.3 (3 BE) Erläutern Sie die Bedeutung der folgenden Gleichung im Sachzusammenhang: P (C) = 0, 35 0, 27 0, 74 0, 65 0, , 35 0, 27 Ein Viertel aller Alkoholunfälle, d.h. Verkehrsunfälle, bei denen Alkoholeinfluss als rsache registriert worden ist, wird durch junge Erwachsene (zwischen 18 Jahren und 24 Jahren) verursacht. Teilaufgabe 2.1 (6 BE) In einer sehr großen Registratur, in der die nterlagen von Alkoholunfällen archiviert werden, werden zufällig 50 Akten gezogen. Erläutern Sie, dass man dieses Zufallsexperiment (in guter Näherung) als Bernoulli-Kette auffassen kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse D und E : D: Es werden höchstens 9 junge Erwachsene als nfallverursacher festgestellt. E: Mehr als 12 junge Erwachsene werden als nfallverursacher festgestellt. Abitur Hessen 2012 GK Stochastik Aufgabe C2

4 Seite 2 Teilaufgabe 2.2 (5 BE) Erklären Sie die in den Zeilen (I)-(III) im Kasten durchgeführte Rechnung und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Teilaufgabe 3. (8 BE) Eine statistische Erhebung in verschiedenen Abschlussklassen ergab, dass 30% aller Schülerinnen und Schüler schon einmal unter Alkoholeinfluss gefahren sind. Nach einer Aufklärungskampagne wird vermutet, dass sich dieser Anteil im darauffolgenden Jahr verringert hat. Zur Kontrolle werden 100 zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler befragt. Die Vermutung soll auf dem Signifikanzniveau von 5% getestet werden. Entwickeln Sie einen geeigneten Hypothesentest und geben Sie die Entscheidungsregel an. c Abiturloesung.de

5 Aufgabe C1 Landesabitur Hessen 2012 GK Aufgabe 1.1 (2 BE ) X ist die Anzahl der Regentage in einer Woche im Juni. X ist binomialverteilt mit p = 0,4 und n = 7. Die Anwendung der Binomialverteilung erfordert 3 Voraussetzungen : Voraussetzung Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ausgänge ändern sich nicht Die zugrundeliegende Bernoulli Kette ist beliebig lang Sachzusammenhang Regentag oder kein Regentag Das Wetter an aufeinanderfolgenden Tagen ist laut Aufgabe unabhängig voneinander p(regentag) = 0,4 Der Beobachtungszeitraum ist beliebig verlängerbar 7 p X 3 B 7 0,4 3 0,4 0,6 0,29 3 Daraus folgt 3 4 Aufgabe 1.2 (2 BE ) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist p X 1) p X 1 1 p X 0 p X 1 1 B 7 0, 4 0 B 7 0, 4 1 0,841 Aufgabe 1.3 (4 BE ) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen regenfreien Tag ist gleich der Gegenwahrscheinlichkeit für nur Regentage. p X n 1 - p X n n 1-0,4 0,6 n 1-0,4 n n 0 Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

6 Da diese Wahrscheinlichkeit größer als 0,95 sein soll, muss die folgende ngleichung gelöst werden : n 1-0, 4 0,95 1 n 0, 4 0,05 1 n 0, 4 0,05 n log 0, 4 log 0, 05 log 0, n 3,3 Die gesuchte Anzahl ist also n = 4 Tage. Bei dieser Rechnung ist darauf zu achten, dass sich das ngleichheitszeichen an zwei Stellen umkehrt: Einmal bei der Division durch (-1) und einmal bei der Division durch den Zehner-Logarithmus von 0,4. Zur Erinnerung : Jeder Logarithmus einer Zahl x, mit 0 < x < 1, ist negativ. Aufgabe 2.1 (4 BE ) Mit R: Regentag und S: Tag mit mind. 8 Stunden Sonnenschein ergibt sich das folgende Baumdiagramm : dabei ist p R(S) =0,25 die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Regentag zusätzlich 8 Stunden die Sonne scheint und p (S) = 0,6 die Wahrscheinlichkeit, dass an einem R regenfreien Tag die Sonne ebenfalls an 8 Stunden scheint und p(s) = p R(S) + p (S) = 0,5 ist die totale R Wahrscheinlichkeit für S, also die Wahrscheinlichkeit, dass an einem beliebigen Tag die Sonne scheint. Aufgabe 2.2 (4 BE ) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeiten p S (R) berechnet sich nach der Formel für bedingte Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

7 1 0,4 P(R S) 4 0,1 P S (R) 0,2 P(S) 1 2 0,4 0,6 0,5 4 3 alternativ kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit auch über ein umgekehrtes Baumdiagramm gefunden werden. Die Wahrscheinlichkeit für S ist ja p(s) = 0,5 (siehe Baumdiagramm und Nenner der obigen Formel) und daraus ergibt sich : mit p S(R) = 0,1 0,2 0,5 Aufgabe 2.3 (4 BE ) Zuerst ist die Wahrscheinlichkeit p für einen solchen Tag zu bestimmen: p p(r) p(r S) 0,6 0, 4 0, 25 0,7 Die Wahrscheinlichkeit für ein schönes Wochenende ( 3 Tage) berechnet sich aus: p(x 3) p 3 0, 7 3 0,343 Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

8 Aufgabe 3.1 (3 BE ) X ist binomialverteilt mit p = 0,5 und n = 30 1 n p Tage n p (1 p) 30 2, 74 Tage 2 2 Aufgabe 3.2 (3 BE ) (1) Die erste Kenngröße gibt die durchschnittliche Anzahl der sonnigen Junitage pro Jahr bezogen auf den Zeitraum von 2001 bis 2010 an. (2) Die zweite Kenngröße gibt die Varianz der Anzahl der sonnigen Junitage für denselben Zeitraum an. (3) Die dritte Kenngröße gibt die Standardabweichung der Anzahl der sonnigen Junitage für denselben Zeitraum an. Die letzten beiden sind Streumaße. Sie beschreiben, wie stark die Anzahlen im Laufe der Jahre variieren. Aufgabe 3.3 (4 BE ) Der in 3.2 berechnete Durchschnittswert im Stichprobenzeitraum stimmt mit dem in 3.1 ermittelten Erwartungswert fast überein. Die Streumaße sind jedoch in der Stichprobe deutlich höher als die im Modell berechneten Werte. Das Modell der Binomialverteilung ist also nur bedingt geeignet, denn das Wetter an aufeinander folgenden Tagen ist im stochastischen Sinne nicht unabhängig. Abitur Hessen 2012 GK Stochastik C1 Abiturloesung.de

9 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Lösung Lösung zu Teilaufgabe 1.1 Zuerst sollten die beiden Ereignisse mit Abkürzungen belegt werden. T: nfall ereignete sich tagsüber : nfall geschah unter Alkoholeinfluss. Mit diesem Benennungen kann man die Wahrscheinlichkeiten, die im Text gegeben sind, formal beschreiben. P(T) = 65% = 0,65, P T () = 5,1% = 0,051, P T () = 27% = 0,27 Da die Wahrscheinlichkeiten P(T),P T () und P T () gegeben sind, bietet es sich an, als erste Stufe des Baumdiagramms die nterscheidung T oder T zu wählen. Die drei bisher fehlenden Wahrscheinlichkeiten in nebenstehendem Baumdiagramm ergeben sich durch: P ( T ) = 1 P(T) = 0,35 T T P T ( ) = 1 PT () = 0,949 P T ( ) = 1 PT () = 0, Lösung zu Teilaufgabe 1.2 Das Ereignis A lässt sich folgendermaßen umformulieren: Der nfall ereignete sich tagsüber und geschah nicht unter Alkoholeinfluss (Formal: T ). Mit der Pfadmultiplikationsregel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses aus dem aufgestellten Baumdiagramm bestimmen. P(A) = P ( T ) = P(T) P T ( ) = 0,65 0,949 0,6169 = 61,69% B ist nur ein anderer Name für das Ereignis, das bereits in Teilaufgabe 1.1 benannt wurde. Deren Wahrscheinlichkeit ergibt sich unter Verwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit zu P(B) = P() = P(T )+P ( T ) = 0,65 0,051+0,35 0,27 0,0332+0,0945 = 0,1277 = 12,77%. Abitur Hessen 2012 GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2

10 Seite 2 Erläuterung: Pfadmultiplikationsregel p n p 1 A 1 A n 1 p 2 A 2 A n P (A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 )... P(A n ) 1 2 C 1 6 D P(C D) = P(C) P(D) = = E P(C E) = P(C) P(E) = = 1 3 Möchte man wissen, wie wahrscheinlich es ist in einem Baumdiagramm einen vollständigen Weg von der Wurzel bis zu einem Blatt abzulaufen, muss man die Wahrscheinlichkeiten an den Einzelpfaden multiplizieren. Wie im obersten Pfad des obigen Baumes zu entnehmen ist, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A 1 bis A n alle auftreten, gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten der Ereignise A i, i {1,...n} ist. Nimmt man an die Ereignisse C,D und E haben die Bedeutungen: C: Münzwurf führt zu Zahl. D: Würfelwurf führt zu einer 5. E: Würfelwurf führt zu einer Zahl kleiner 5. Dann ergeben sich aus der Pfadmultiplationsregel beim Wurf einer Münze und eines Würfels die Wahrscheinlichkeiten (siehe auch Baumdiagramm): P(Zahl und 5) = P(C D) = P(C) P(D) = 1 12 P(Zahl und 1 bis 4) = P(C E) = P(C) P(E) = 1 3 Lösung zu Teilaufgabe 1.3 Vergleicht man die Wahrscheinlichkeiten in der Formel mit den Rechnungen aus der vorigen Teilaufgabe 1.2, stellt man fest, dass 0,35 0,27 P(C) = 0,65 0,051+0,35 0,27 = P ( ) T P() gilt. c Abiturloesung.de

11 Seite 3 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Stellt man die Pfadmultiplikationsregel nach P() P ( T ) = P ( T ) ( ) P ( T ) P T = P() ( ) um, erhält man das Ergebnis, dass in der Gleichung die bedingte Wahrscheinlichkeit P T bestimmt wird. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein nfall nachts ereignete, wenn man nur die nfälle unter Alkoholeinfuss betrachtet, ungefähr 74% beträgt. Lösung zu Teilaufgabe 2.1 Die Bedingungen für eine Bernoullikette sind erfüllt, da ein einzelner Versuch nur genau 2 Ausgänge hat: Entweder der Fahrer ist ein junger Erwachsener oder er ist keiner. die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (in unserem Fall: eine Akte mit einem jungen Erwachsenen als nfallverursacher) über die Versuche hinweg gleich bleibt. Genau genommen, ist dies in diesem Beispiel nicht perfekt erfüllt, da ein bereits gezogener nfall nicht in der Registratur verbleibt und sich somit, die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg verändert. Allerdings ist diese Veränderung bei einer großen Registratur vernachlässigbar. Der vorliegende Versuch ist somit eine Bernoullikette und kann durch eine Binomialverteilung (Zufallsgröße X: Anzahl der Akten, bei denen junge Erwachsene als nfallverursacher auftreten) beschrieben werden. Die Kenngrößen der Verteilung sind: Anzahl der Versuche: n = 50 Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs: p = 1 4 Die gefragten Wahrscheinlichkeiten bestimmen sich unter diesen Voraussetzungen zu und P(D) = P(X 9) = B(50;0,25;0) +B(50;0,25;1) +...+B(50;0,25;9) = F (50;0,25;9) = 0,1637 = 16,37% P(E) = P(X > 12) = 1 P(X 12) = 1 ( B(50;0,25;0) +B(50;0,25;1) +...+B(50;0,25;12) ) = 1 F (50;0,25;12) = 1 0,5110 = 0,4890 = 48,9% Abitur Hessen 2012 GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2

12 Seite 4 Die Wahrscheinlichkeiten F(n; p; k) können aus der Tabelle zur kumulativen Binomialverteilung abgelesen oder mit der Summenfunktion des Taschenrechners über die Bernoulliformel berechnet werden. Lösung zu Teilaufgabe 2.2 Die Bedeutung der vorgegebenen Zeilen ist wie folgt: (I) Die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Erfolg in der Bernoullikette zu haben, also hier mindestens 1 Akte mit einem jungen Erwachsenen als nfallverursacher zu ziehen, soll größer als 80% sein. (II) P(X 1) wurde durch 1 P(X = 0) ersetzt, da kein Erfolg das Gegenereignis zu mindestens 1 Erfolg ist. Die Wahrscheinlichkeit für keinen Erfolg (es werden n ältere Erwachsene als nfallverursacher gezogen) beträgt ( 1 1 4) n = ( 3 4) n. (III) Auflösen der ngleichung nach n führt zu der Lösung n 5,59. Das Ergebnis bedeutet, dass mindestens 6 Akten (n = 6 ist die erste natürliche Zahl, die die Bedingung n 5, 59 erfüllt) gezogen werden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mindestens eine Akte zieht, die einen jungen Erwachsenen als nfallverursacher benennt. Lösung zu Teilaufgabe 3 Man hat in der Aufgabe einen Hypothesentest zu entwerfen. In diesem Fall muss man zuerst die verwendeten Hypothesen festlegen. Da man davon ausgeht, dass sich der Anteil der unter Alkoholeinfluss fahrenden Schülerinnen auf unter 30% verändert hat, wird diese Annahme als Alternativhypothese H 1 : p < 0,3 festgelegt. Für die Nullhypothese H 0 ergibt sich entsprechend: H 0 : p 0,3. Die Aussage, dass die Vermutung auf dem Signifikanzniveau von 5% getestet werden soll, ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass der Test so angelegt werden muss, dass die Wahrscheinlichkeit für den α-fehler den Wert 5% nicht übersteigt. Der α-fehler (auch Fehler 1.Art) besteht darin, dass man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie in Wirklichkeit korrekt ist. Ob man sich aufgrund des Testergebnisses für oder gegen die Nullhypothese entscheidet, hängt von der sogenannten kritischen Zahl k ab. Geben k oder weniger Schüler an, bereits unter Alkoholeinfluss gefahren zu sein, halten wir die Alternativhypothese für richtig bzw. lehnen die Nullhypothese ab. Sind es mehr als k Schüler, dreht sich die Entscheidung herum. Dieses k muss nun so gewählt werden, dass die Forderung (Signifikanzniveau 5%) erfüllt wird. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des α-fehlers wird die Auswahl der 100 Schüler als Bernoullikette aufgefasst. Da im Falle des α-fehlers die Nullhyothese korrekt ist, weiß man, dass man bei jedem Schüler eine Chance von 30% hat, dass er bereits unter Alkoholeinfluss gefahren ist. Die Kenngrößen der zugehörigen Binomialverteilung sind somit: c Abiturloesung.de

13 Seite 5 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Anzahl der Versuche: n = 100 Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs: p = 0, 3 Man begeht den α-fehler, wenn bis zu k Schülern angeben, bereits unter Alkoholeinfluss gefahren zu sein. Die Wahrscheinlichkeit bei oben beschriebener Bernoullikette bis zu k Erfolge zu haben, beträgt: P(X k) = B(100;0,3;0) +B(100;0,3;1) +...+B(100;0,3;k) = F(100;0,3;k) Der Wert für k muss nun so gewählt werden, dass F(100;0,3;k) 0,05 gilt. Der größte Wert für k, der diese Bedingung erfüllt, lässt sich aus der Tabelle zur kumulativen Binomialverteilung ablesen. Es ist 22. Mit den vorangegangenen Überlegungen lässt sich folgende Entscheidungsregel für den durchzuführenden Hypothesentest formulieren: Geben weniger als 23 der 100 Schüler an, bereits unter Alkoholeinfluss gefahren zu sein, glaubt man, dass der Anteil der Schüler, die unter Alkoholeinfluss fahren, auf unter 30% gesunken ist. Es kann bei diesem Testausgang vermutet werden, dass die Aufklärungskampagne erfolgreich war. Abitur Hessen 2012 GK Infinitesimalrechnung Aufgabe A2