Höhere Mathematik 2 (= Statistik) Vorlesung im Sommersemester 2006 im Wissenschaftszentrum Weihenstephan. Prof. Dr. Johann Hartl

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1 Höhere Mathematik 2 (= Statistik) Vorlesung im Sommersemester 2006 im Wissenschaftszentrum Weihenstephan Prof. Dr. Johann Hartl

2 Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast! Warum hat die Statistik einen so schlechten Ruf? Warum wird die Statistik als Hilfsmittel so hoch geschätzt? Für einen, der gut damit umgehen kann, ist Statistik ein zuverlässiges Hilfsmittel, um Sachverhalte zu beschreiben, und zu beurteilen. Für einen, der noch besser damit umgehen kann, ist Statistik ein zuverlässiges Hilfsmittel, um Entscheidungen zu treffen. Leider ist die Statistik auch ein Hilfsmittel, um andere in die Irre zu führen. Das gibt es aber nicht nur in der Statistik. Beispiel: Trotz mehrerer Gegenkandidaten konnte der Kandidat der Violetten immerhin 37 % aller Stimmen auf sich vereinigen und hatte damit das weitaus beste 1

3 Ergebnis von allen. Von großer Zustimmung zum Kandidaten der Violetten war nicht viel zu spüren. Von der Mehrheit weit entfernt, kam er nur auf 37 % der Stimmen, und was die Stichwahl bringt, muss sich erst noch zeigen. Die hier verwendeten Tricks, um den Leser zu manipulieren, kommen nicht aus der Statistik sondern aus der Wortwahl. Achtung! Leider ist die Statistik bei Unkenntnis auch ein zuverlässiges Hilfsmittel, um sich und andere in die Irre zu führen! 2

4 Kapitel 0 Einige Beispiele 0.1 Zur Diskriminierungsdiskussion An der MUT (MUT = Malewinische Universität in Tornado) gibt es zwei Fachbereiche, Germanistik (kurz: G) und Sozialwissenschaften (kurz: S). Es gibt Platz für Studienanfänger. Im letzten Jahr gab es männliche (kurz: m) Studienbewerber und weibliche (kurz: w) Studienbewerber. Es wurden genommen: 4540 m und 5460 w Studienbewerber. Eine klare Benachteiligung der Männer! Suche nach den Schuldigen: Welcher Fachbereich hat die Männer diskriminiert? Wenn beide Fachbereiche die Männer diskriminiert haben: Welcher war schlimmer? 3

5 Da die absoluten Zahlen nicht vergleichbar sind, brauchen wir die Prozentzahlen. Studienbewerber G S gesamt m davon zugelassen zugelassen in % 38,75 72,00 45,40 w davon zugelassen zugelassen in % 38,00 71,20 54,60 Jeder Fachbereich hat einen höheren Prozentsatz von den männlichen Bewerbern genommen als von den weiblichen. Wie gibt es das? Vollständigere Tabelle: Studienbewerber G S m davon zugelassen zugelassen in % 38,75 72,00 w davon zugelassen zugelassen in % 38,00 71,20 Gesamt davon zugelassen zugelassen in % 38,46 71,43 4

6 Zweifel: Die Summe der Prozentzahlen in der letzten Zeile ist nicht 100! Rechenfehler? Warum sollte die Summe 100 sein? Das sind Prozentzahlen von verschiedenen Grundgesamtheiten, nicht von Anteilen einer Grundgesamtheit, die zusammen die Grundgesamtheit ergeben! Woran liegt nun die Diskriminierung der Männer? Es haben sich mehr Männer als Frauen an demjenigen Fachbereich beworben, bei dem die Zulassungsquote niedriger war. Politisch nicht korrektes Fazit: Die Männer sind selbst schuld Durchschnittliche Zulassungsquote in Prozent Wie berechnet man den Prozentsatz z m der insgesamt zugelassenen männlichen Bewerber aus den Prozentsätzen z mg und z ms für die einzelnen Fachbereiche Germanistik und Sozialwissenschaften? Da ich keine Formel weiß, mache ich mir eine. z m = Anzahl der zugelassenen männlichen Bewerber 100 Anzahl aller männlichen Bewerber 5

7 Anzahl der zugelassenen männlichen Bewerber = Anzahl der in G zugelassenen männlichen Bewerber + Anzahl der in S zugelassenen männlichen Bewerber Abkürzungen: A m = Anzahl aller männlichen Bewerber A mg = Anzahl der männlichen Bewerber für Germanistik A ms = Anzahl der männlichen Bewerber für Sozialwissenschaften Damit erhält man: z m = A mg z mg + A ms z ms A m = A mg A m z mg + A ms A m z ms z m ist ein gewichtetes oder gewogenes arithmetisches Mittel aus den Prozentsätzen z mg und z ms für die einzelnen Fachbereiche. Gewichtet wird mit den Verhältnissen A mg A m und A ms A m, also jeweils mit dem Verhältnis Anzahl der zugelassenen männlichen Bewerber Anzahl aller männlichen Bewerber für den jeweiligen Fachbereich. Wie ist das mit z w, dem Prozentsatz der insgesamt zugelassenen weiblichen Bewerber? 6

8 Wie berechnet man z w aus den Prozentsätzen z wg und z ws für die einzelnen Fachbereiche Germanistik und Sozialwissenschaften? Da Männer und Frauen nach dem Grundgesetz gleichberechtigt sind, muss das genau ebenso gehen! :-) Abkürzungen: A w = Anzahl aller weiblichen Bewerber A wg = Anzahl der weiblichen Bewerber für Germanistik A ws = Anzahl der weiblichen Bewerber für Sozialwissenschaften Damit erhält man: z w = A wg A w z wg + A ws A w z ws z w ist ein gewichtetes oder gewogenes arithmetisches Mittel aus den Prozentsätzen z wg und z ws für die einzelnen Fachbereiche. Gewichtet wird mit den Verhältnissen A wg A w und A ws A w, also jeweils mit dem Verhältnis Anzahl der zugelassenen weiblichen Bewerber Anzahl aller weiblichen Bewerber für den jeweiligen Fachbereich. Stimmt das auch? Probe! (Das ist eigentlich unnötig, wenn wir uns nicht verrechnet haben, aber manchmal hilft es zum besseren Verständnis.) 7

9 z m = A mg A m z mg + A ms A m z ms = , = 31, 0+14, 4 = 45, , z w = A wg A w z wg + A ws A w z ws = , = 00+71, 20) = 54, , 2 (38, Beobachtung: Weil es an beiden Fakultäten gleich viele weibliche Studienbewerber gibt, ist das gewogene arithmetische Mittel für z w gleich dem gewöhnlichen arithmetischen Mittel. Moral 1: Mit Schlüssen aus der Statistik muss man vorsichtig sein! Moral 2: Mit Durchschnitten muss man vorsichtig sein! 0.2 Zwei Raser Eine Stadtfahrt Zwei Mathematikstudenten fahren nacheinander durch München, 8

10 eine Strecke von ungefähr (aber nicht genau) 20 km, zuerst Fahrer 1 hin, dann Fahrer 1 zurück, dann Fahrer 2 hin, dann Fahrer 2 zurück. Wer hat das Rennen gewonnen? Beide haben nicht auf die Uhr geschaut, aber der Bordcomputer zeigt an: Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h hin zurück Fahrer Fahrer Wir brauchen die Durchschnittsgeschwindigkeit von Fahrer 1 und die von Fahrer 2. Der mit der höheren Durchschnittsgeschwindigkeit hat gewonnen. Wir denken an 0.1.Moral 2 Mit Durchschnitten muss man vorsichtig sein! und unterdrücken unsere erste Vermutung. Wir rechnen mit dem, was wir wissen: Geschwindigkeit = Weg Zeit Wir brauchen von beiden Fahrern den zurückgelegten Weg und die dafür gebrauchte Zeit, um die Geschwindigkeit ausrechnen zu können. 9

11 Die unbekannte Länge der Wegstrecke (ungefähr 20 km) bezeichnen wir mit s (Einheit km). Fahrer 1 braucht s 90 + s 110 Stunden für die Hin- und Rückfahrt. Fahrer 1 erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit v 1 in km/h von v 1 = 2s s 90 + s 110 = Beobachtung 1: Die unbekannte Wegstrecke wird für die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit nicht gebraucht! Beobachtung 2: Fährt ein Fahrer eine Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit u hin und dieselbe Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit w zurück, so ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit v insgesamt das harmonische Mittel aus u und w, das heißt: v = 2 1 u + 1. w 10

12 Beobachtung 3: Fährt ein Fahrer eine Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit u und anschließend eine Strecke derselben Länge mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit w, so ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit v insgesamt das harmonische Mittel aus u und w. Berechnung von v 1 : v 1 = = = = 99. Berechnung von v 2, der Durchschnittsgeschwindigkeit von Fahrer 2: unnötig! oder im Kopf: v 2 = 100. Fahrer 2 war schneller. Beobachtung: Das harmonische Mittel der beiden verschiedenen Zahlen 90 und 110 ist kleiner als das arithmetische Mittel von 90 und 110. Das harmonische Mittel der beiden gleichen Zahlen 100 und 100 ist gleich dem arithmetischen Mittel von 100 und

13 Daher kommt man auf die folgende Vermutung: Sind a, b R, a > 0, b > 0, so gilt: Das arithmetische Mittel von a, b ist größer als das harmonische Mittel von a, b, falls a b, und das arithmetische Mittel von a, b ist gleich dem harmonischen Mittel von a, b, falls a = b ist. Diese Vermutung stimmt. Beweisversuch als häusliche Übung! Eine Autobahnfahrt Nach dem Rennen fahren die beiden Mathematikstudenten in einem Auto nach Hause, und zwar auf der Autobahn. Zuerst Fahrer 1, Fahrerwechsel nach einer Stunde, Ankunft nach zwei Stunden. Der Bordcomputer zeigt an: Für Fahrer 1 eine Durchschnittsgeschwindigkeit v 1 von 50 km/h, für Fahrer 2 eine Durchschnittsgeschwindigkeit v 2 von 150 km/h. Was war die Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit v? v = Gesamtweg Gesamtzeit 12

14 = 50km h 1h + 150km h 1h 2h km = 2 h = 100km h Beobachtung: Hat ein Objekt über eine bestimmte Zeit eine Durchschnittsgeschwindigkeit u und anschließend über dieselbe Zeit eine Durchschnittsgeschwindigkeit w, so ist die Durchschnittsgeschwindigkeit v des Objekts über die beiden Zeiten genommen gleich dem arithmetischen Mittel von u und w, in Zeichen: v = u + w. 2 Zusammenfassende Beobachtung: Geschwindigkeiten mittelt man über gleiche Wegstrecken mit dem harmonischen Mittel, über gleiche Zeitintervalle mit dem arithmetischen Mittel. 0.3 Geldanlage Ein Kapital K hat bei Anlage über mehrere Jahre und Wiederanlage der Erträge an Wert in Prozent gewonnen: 13

15 Jahr Wertgewinn in % Was ist der durchschnittliche Wertpapiergewinn? Was ist überhaupt gesucht? Zu welchem festen Zinssatz hätte man das Kapitel K über 14 Jahre anlegen müssen, um auf dieselbe Auszahlung zu kommen? Bei Rechnung mit den gegebenen Prozenten ist das nicht zu erkennen. Ein Wertgewinn von 80 % bedeutet, dass man nach einem Jahr K + K 80% = K + K = K(1 + 14

16 0, 80) = K 1, 8 ausgezahlt bekommt. Der Faktor 1,8 heißt Wachstumsfaktor. Ein Wertgewinn von - 60 % bedeutet, dass man nach einem Jahr K K 60% = K K = K(1 0, 60) = K 0, 4 ausgezahlt bekommt. Auch der Faktor 0,4 heißt Wachstumsfaktor. Auszahlung nach 14 Jahren = K 1, 8 0, 4 1, 8 0, 4 1, 8 0, 4 1, 8 0, 4 1, 8 0, 4 1, 5 0, 5 1, 5 0, 5 = K (1, 8 0, 4) 5 (1, 5 0, 5) 2 = K 0, , , 1088 K. Der Wertgewinn ist 89, 12%, also haben wir einen Wertverlust von 89,12 %. Mit welchem durchschnittlichen Wachstumsfaktor, also mit welchem gleichbleibenden Faktor f hätten wir K vierzehnmal multiplizieren müssen, um auf dieselbe Auszahlung zu kommen? f 14 = 0, 1088 f = 14 0, , 8535 Nach jedem Jahr erhält man durchschnittlich 0,8535 mal das Kapital vom Vorjahr ausgezahlt, also 85,35 % vom Kapital des Vorjahres. 15

17 Der durchschnittliche jährliche Wertverlust V j beträgt also in Prozent: V j (100 85, 35)% = 14, 65%. Der durchschnittliche jährliche Gewinn G j beträgt V j. Lösungsweg: Gegeben sei das Wachstum einer Größe für mehrere, zum Beispiel k gleichlange aufeinanderfolgende Zeiträume jeweils in Prozent: p i % im i-ten Zeitraum für i = 1, 2,..., k. (Fur p i < 0 hat man Abnahme.) Um das durchschnittliche Wachstum w dieser Größe je Zeitraum in Prozent zu erhalten, ermittle man 1. für jeden Zeitraum den Wachstumsfaktor f i = 1 + p i 100, (Für f i < 1 hat man Abnahme.) 2. das Produkt P = f 1 f 2... f k aller dieser Wachstumsfaktoren, 3. den durchschnittlichen Wachstumsfaktor f als k- te Wurzel aus P, 4. aus f das durchschnittliche Wachstum w = (f 1) 100 in Prozent. (Für w < 0 hat man Abnahme.) 16

18 0.4 Durchschnittliches Einkommen Der reiche Student in Weihenjohann In Weihenjohann wohnen 101 Personen, 100 Professoren mit einem Einkommen von je 2150 Euro und ein Student mit einem Einkommen von Euro. Das Durchschnittseinkommen in Weihenjohann in Euro ist = = = Fast alle verdienen viel weniger. Einer verdient viel mehr Der reiche Student in Weihenherrmann In Weihenherrmann wohnen 101 Personen, 100 Professoren mit einem Einkommen von 1160 Euro, 1180 Euro,..., 3140 Euro und ein Student mit einem Einkommen von Euro. Das Gesamteinkommen der Professoren in Weihenjohann in Euro ist 17

19 100 n=1 ( n 20) = = ( ) 100 = Das Durchschnittseinkommen in Weihenherrmann ist offenbar gleich dem Durchschnittseinkommen in Weihenjohann Der Median Bei stark streuenden Verteilungen mit Ausreißern ist das arithmetische Mittel nur ein mögliches Maß für einen Mittelwert. Nimmt man noch weitere solche Mittelwerte hinzu, so erhält man weitere Informationen über die Verteilung. Ein weiterer Mittelwert ist der Median: Man schreibt alle Werte (hier: Einkommen in Weihenherrmann) der Größe nach geordnet hin: 1160, 1180,..., 3120, 3140, , und man nimmt den in der Mitte stehenden Wert: 2160 Bei Weihenjohann ergibt sich als Median:

20 Es gibt beschreibende Statistik und mathematische Statistik. Bei der beschreibenden Statistik geht es darum, große Datenmengen aufzubereiten und durch wenige Maßzahlen zu charakterisieren um komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Hilfsmittel sind unter anderem: Tabellen Diagramme Will man aus Daten Schlüsse ziehen (zum Beispiel Trends erkennen, herausfinden, ob ein Düngemittel wirklich besser ist als ein anderes, von Teilen auf die Gesamtheit schließen (z.b. bei Umfragen)), so braucht man die mathematische Statistik. Das wichtigste Hilfsmittel der mathematischen Statistik ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Literatur? In Weihenstephan entstanden 19

21 und auf Weihenstephaner Bedürfnisse zugeschnitten ist Precht, Manfred; Kraft, Roland; Bachmaier, Martin: Angewandte Statistik 1, 6. Auflage, Oldenbourg Verlag München Wien 1999 (ISBN ) (Herstellung: Rainer Hartl, nicht verwandt und nicht verschwägert, soweit ich weiß) 20