O. Rott Starrkörperbewegungen, Singularitäten, die Jacobimatrix und Roboterdynamik

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1 W eierstraß-institut für Angew andte Analysis und Stochastik Robotik-Seminar O. Rott Starrkörperbewegungen, Singularitäten, die Jacobimatrix und Roboterdynamik Mohrenstr Berlin May 18, 2005

2 Problemstellung, benötigte Definitionen I Faktoren, die einen Einfluss auf die Roboterdynamik haben: Funktionelle Anforderungen Trajektorien des Arbeitsgliedes (und dessen Geschwindigkeit) Lasten am Arbeitsglied Steuergrößen Gelenkverschiebungen und Drehungen (bzw. deren Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) Gelenkkräfte und Gelenkmomente Roboterspezifische Elemente Geometrie Massenverteilung Ziel Bestimmung der Gelenkkräfte und Momente für einen gegebenen Punkt (Θ, Θ und Θ) der Trajektorie des Arbeitsgliedes Bestimmung der Bewegung des Arbeitsgliedes (und des gesamten Roboterarms) für gegeben Gelenkräfte und Momente τ i (vornehmlich für Simulationen) Mathematische Modellierung Formulierung der Roboterdynamik durch Verbindung der verschiedenen Einflussfaktoren in roboterspezifischen Newton-Euler-Bewegungsgleichungen (Θ, Θ und Θ aus Kinematik): τ i = M ij (Θ k ) Θ j + V i (Θ k, Θ k ) + G i (Θ k ) + F i (Θ k, Θ k ), (1) bzw. implizit für numerische Simulationen: Θ = M 1 ij (Θ k) ( τ j V j (Θ k, Θ k ) G j (Θ k ) F j (Θ k, Θ ) k ) (2) Robotik-Seminar May 18, (12)

3 Problemstellung, benötigte Definitionen II Lösung der Newton-Euler-Bewegungsgleichungen Iterative Lösung Geschlossene Lösung (wenn möglich) Praktische Umsetzung Bei kompliziert aufgebauten Roboterarmen vermeidet man es unter Umständen die in Gl. (1) benötigte Massenmatrix (M ij ) und die generalisierten Kraftvektoren (V i, G i und F i ) analytisch zu bestimmen. Anwendung von iterativen Verfahren Newton-Bewegungsgleichungen für jedes Verbindungsglied: Euler-Bewegungsgleichung für jedes Verbindungsglied: F i = m v C i i. (3) M i = I Ci ω i + ω i I Ci ω i (4) Beschreibung sämtlicher Verbindungsgliedgeschwindigkeiten und Verbindungsgliedwinkelgeschwindigkeiten sowie der am Verbindungsglied angreifenden Kräfte und Momente in verbindungsgliedfesten Koordinatensystemen Vorteil dieses Verfahrens: Numerisch relativ effektiv und für komplizierteste Geometrien anwendbar, leichte Modulisierbarkeit ( Once the inertia tensors, link masses,p Ci vectors and Ri i+1 matrices are specified for a particular manipulator, the equations can be applied directly to compute the joint torques corresponding to any motion. ) Robotik-Seminar May 18, (12)

4 Zur Notation, Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungen replacements e 0 z K e 1 z e 0 y e 2 y e 0 x P (20) e 1 x P (10) e 2 x P (21) e 1 y e 2 z Definition von Basistransformationen Der Vektor K kann in allen 3 Basen dargestellt werden: K = K (0) i e (0) i = K (1) i e (1) i = K (2) i e (2) i (5) Transformationen zwischen den einzelnen Vektoren sind folgendermassen definiert: (A) K = (A) (B) R(B) K + (A) P B0 (6) oder in Matrixschreibweise: (A) ˆK = (A) (B) T(B) ˆK (7) Robotik-Seminar May 18, (12)

5 Herleitung der Verbindungsgliedgeschwindigkeit Zeitableitung eines Vektors (A) P C = (A) (B) R(B) P C : mit A BṘB A R = A Ω B und A B RB AR = I findet man: bewegt sich noch der Koordinatenursprung von A erhält man: (A) V C = ( (A) (B) R(B) P C ) = (A) (B)Ṙ(B) P C + (A) (B) R(B) Ṗ C (8) (A) V C = (A) (B) R(B) V C + A Ω B (A) (B) R(B) P C (9) (A) V C = (A) V B0 + (A) (B) R(B) V C + A Ω B (A) (B) R(B) P C = (A) V B0 + (A) (B) R(B) V C + A Ω B (A) P C (10) Für das obige Verbindungsglied identifizieren wir A = i und C = i+1. Weiterhin ist (B) P C = const in B : v i+1 = v i + ω i P i+1 (11) Formulierung dieser Beziehung in der Basis e (i+1) j : ( ) 1 ( ) (i+1) (i+1) v i+1 = R v i + ω i P i+1 (12) Robotik-Seminar May 18, (12)

6 Herleitung der Verbindungsgliedwinkelgeschwindigkeit, Jacobimatrix Bei der Winkelgeschwindigkeit geht man analog vor: ( ) 1 ω i+1 = (i+1) ω i + R Θi+1 e (i+1) 3, (13) wobei man Θ i+1 e (i+1) 3 als Winkelgeschwindigkeit des Verbindungsgliedes i+1 relativ zum Verbindungsglied i ansieht. Was wiederum in der Basis e (i+1) j die Form hat: ( ) (i+1) (i+1) ω i+1 = R ω i + Θ i+1 e (i+1) 3 (14) Sukzessives Einsetzen der eingerahmten Gleichungen ineinander liefert schließlich: [ (N) ] v (N) = (N) J(Θ ω 1, Θ 2,..., Θ 6 ) (N) Θ (N) J(Θ 1, Θ 2,..., Θ 6 ) kann als Jacobimatrix interpretiert werden, denn es gilt allgemein: (N) x = (N) F(Θ 1, Θ 2,..., Θ 6 ) (N) v = (N) Ḟ(Θ 1, Θ 2,..., Θ 6 ) = (N) F (N) Θ (N) Θ (15) ACHTUNG: (N) J kann in der Praxis nicht regulär sein! Robotik-Seminar May 18, (12)

7 Aufstellen der Newton-Euler-Bewegungsgleichungen, Kräfte und Momente Craig verwendet ein Verfahren der gliedweisen Aufstellung der Bewegungsgleichungen Was benötigen wir prinzipiell? Beschleunigung des Massenmittelpunktes Winkelbeschleunigung Trägheitstensoren Resultierende Kraft am Verbindungsglied Resulierendes Moment bez uglich des Massenmittelpunktes Kräfte- und Momentenbilanz (mit Trägheitskräften) für ein Verbindungsglied liefert die Gelenkkräfte und Momente als Funkion der Trägheitskräfte : und weiterhin f i = ( (i+1) R) 1 (i+1) f i+1 + F, (16) n i = N i + ( (i+1) R) 1 (i+1) n i+1 + P Ci F i + P i+1 ( (i+1) R) 1 (i+1) f i+1 (17)

8 Aufstellen der Newton-Euler-Bewegungsgleichungen, Beschleunigungen umd Winkelbeschleunigungen Herleitung der Winkelbeschleunigung: Zunächst betrachten wir ein System B welches relativ zu einem System A rotiert und ein System C, welches relativ zu B rotiert: mit A BṘB A R = A Ω B und A B RB AR = I findet man schließlich: A Ω C = A Ω B + A B RB Ω C A ΩC = A Ω B + ( A B R B Ω C ) (18) A ΩC = A Ω B + A B RB Ω C + A Ω B A B RB Ω C (19) Mutlipliziert man die Gleichung mit C AR und setzt A = B = i, C= i+1 erhält man: (i+1) ω i+1 = (i+1) R ω i + (i+1) R ω i Θ i+1 e (i+1) 3 + Θ i+1 e (i+1) 3 (20) Zur Herleitung der Beschleunigung gehen wir analog vor. Wir bilden die Zeitableitung von 10 und ordnen die Terme ein wenig um: ( ) (A) V C = (A) V B0 + (A) (B) R(B) V C + 2 A Ω B (A) (B) R(B) V C + A ΩB (A) (B) R(B) P C + A Ω B A Ω B (A) (B) R(B) P C (21) mit (B) P C = const, den Identifikationen A = i und C = i+1 und der Transformation in das System i+1 erhalten wir: ( (i+1) v i+1 = (i+1) ( ) ) R ω i P i+1 + ω i ω i P i+1 + v i (22) Für die Beschleunigung des Massemittelpunktes erhält man ensprechend: ( ) v Ci = ω i P Ci + ω i ω i P Ci + v i (23) Robotik-Seminar May 18, (12)

9 Berechnung der Massenträgheitsmomente Berechnung der Massenträgheitsmomente durch Integration oder Messung Praktisch: Steinersche Satz Sei P C = (x C, y C, z C ) T, ein Vektor von einem beliebigen Punkt A zum Massenmittelpunkt des Körpers. Damit kann man schreiben: (A) I = (C) I + m(p T CP C I P C P T C) (24) Wir brauchen nur (C) I!! Robotik-Seminar May 18, (12)

10 Iterativer Algorithmus zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen R, (C) I, m und P Ci müssen für jedes Verbindungsglied bekannt sein. Algorithmus kann dazu benutzt werden, direkt die Bewegungsgleichungen für den Roboter zu lösen Anlytische Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist ebenfalls möglich Drehmomente in den Gelenken ergeben sich per Definition aus (i+1) τ i = n T i ei 3 (25) Robotik-Seminar May 18, (12)

11 Reibung und Gravitation Wir betrachten hier verallgemeinerte Reibkräfte Viskose Reibung: Coulombsche Reibung Beide Komponenten können zusammengefasst werden τ f = C 1 Θ (26) τ f = C 2 sign( Θ) (27) τ f = C 1 Θ + C 2 sign( Θ) = f(θ, Θ) (28) Die Gravitation berücksichtigt man, indem man das erste Koordinatensystem mit g beschleunigt: (0) v 0 = g (29) Robotik-Seminar May 18, (12)

12 Beispiel Robotik-Seminar May 18, (12)

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