Empirische Methoden I

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1 Hochschule für Wirtschaft ud 2012 Umwelt Nürtige-Geislige Fakultät Betriebswirtschaft ud Iteratioale Fiaze Prof. Dr. Max C. Wewel Prof. Dr. Corelia Niederdrek-Felger Aufgabe zum Tutorium Empirische Methode I (Dateaalyse) 1. Reche mit Summe- ud Produktzeiche 2. Statistische Grudbegriffe; Häufigkeitsverteiluge 3. Mittelwerte 4. Streuugsmaße. Kozetratiosaalyse 6. Zweidimesioale Verteiluge ud Kotigez 7. Zweidimesioale Verteiluge ud Korrelatio 8. Regressiosaalyse 9. Zeitreiheaalyse 10. Idexzahle 11. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug 12. Satz vo Bayes ud Kombiatorik 13. Dateaalyse mit Hilfe vo EXCEL I 14. Dateaalyse mit Hilfe vo EXCEL II

2 Tutorium 1: Reche mit Summe- ud Produktzeiche Das Summezeiche Zur abkürzede Schreibweise vo Summe, die aus gleichgebaute Summade a 1, a 2,..., a besteht, verwedet ma das Summezeiche: a 1 a2 a3... a ai i heißt Summatiosidex. Uter bzw. über dem Summezeiche wird agegebe, wo i begit bzw. edet. i erhöht sich schrittweise um 1. ist der griechische Buchstabe Sigma (wie Summe). Beispiele: a) i b) (2j 1) j 1 Das Produktzeiche Zur abkürzede Schreibweise vo Produkte, die aus gleichgebaute Faktore a 1, a 2,..., a besteht, verwedet ma das Produktzeiche: st der griechische Buchstabe Pi (wie Produkt). a 1 a2 a3... a ai. Beispiel: i Bereche Sie: i a) (i 1) b) 3 c) 2 d) k 3) e) 10 i 3 6 k 3 1 ( (j 1)(j 3 2 j 0 ) 3 i 1 2 i 3 f). Schreibe Sie mit Hilfe des Summezeiches a) die Summe der Zahle vo 100 bis 200; b) die Summe der Kehrwerte der Zahle vo 10 bis 20; c) die Summe der Quadrate der Zahle vo 1 bis 20; d) die Summe aller gerade Zahle vo 2 bis 100. Schreibe Sie die Summe ohe Summezeiche ud prüfe Sie, ob die Gleichuge allgemei gültig sid: a) ( a j b j) a j b j b) ( 2 2 ai) ai c) ( ai bi) ai 2 ai bi bi. j 1 j 1 j 1 Aufgabe 4 Gegebe sid folgede Werte: i (j) xi (xj) x i Bereche Sie daraus: a) b) x c) j 1 i x j x x i 6 i.

3 Tutorium 2: Statistische Grudbegriffe; Häufigkeitsverteiluge Merkmal, Merksmalsausprägug, Merkmalsarte, Skalierug Statistische Masse, Merkmalsträger, Beobachtugswert absolute/relative/kumulierte/ormierte Häufigkeite gruppierte/klassierte Häufigkeitsverteilug Die Autofahrer uter de BWL-Studete des 2. Semesters a der HfWU solle ach dem Alter ihres Autos, der Automarke ud dem Grad der Zufriedeheit mit ihrem Fahrzeug gefragt werde. a) Erkläre Sie a diesem Beispiel die Begriffe Merkmal, Merkmalsträger, Merkmalsausprägug ud Beobachtugswert! b) Wie sid die zu erhebede Merkmale skaliert? Bei eier Umfrage über die jährliche Kilometerleistug vo 00 PKW-Besitzer ergabe sich folgede Date: km-leistug [1000 km] Azahl der PKW-Besitzer a) Stelle Sie die relative Häufigkeitsverteilug tabellarisch ud grafisch i Form des Histogramms ud der empirische Verteilugsfuktio dar! Welche Aahme wird über die Verteilug der Beobachtugswerte ierhalb der Klasse getroffe? b) Wie sid die grafische Darstelluge abzuäder, we. die erste beide Klasse zu eier Klasse zusammegefasst werde? Eipukt-Verteiluge ierhalb der Klasse ageomme werde? I der folgede Grafik ist eie Häufigkeitsverteiluge dargestellt. a) Bestimme Sie die Merkmalsträger, das Merkmal ud die Merkmalsauspräguge. Was ist a der Darstellug zu kritisiere? b) Bereche Sie die zugehörige relative ud kumulierte Häufigkeite ud zeiche Sie die empirische Verteilugsfuktio!

4 Tutorium 3: Mittelwerte Modus, Media (Quartile), arithmetisches Mittel Verteilugstype, Lageregel geometrisches Mittel, harmoisches Mittel Ei Staubsaugervertreter erzielte im letze Quartal i seie 20 Bezirke folgede Absatzstückzahle: 6, 4, 14, 4, 6, 10, 6, 16, 4, 14, 10, 4, 6, 12, 6, 4, 14, 10, 4, 6. Bestimme Sie die Quartile ud das arithmetische Mittel! Was sage diese Werte hier aus? Für die 0 ladwirtschaftliche Betriebe eier Gemeide erhält ma folgede Verteilug ach der Azahl der Arbeitskräfte: Arbeitskräfte Betriebe a) Zeiche Sie die relative Häufigkeitsverteilug ud beurteile Sie de Verteilugstyp! b) Bereche ud iterpretiere Sie de dichteste Wert, de Zetralwert ud das arithmetische Mittel! Für die drei Regioe eies Lades liege folgede Agabe für das Jahr 2004 vor: Regio Fläche Bevölkerugsdichte Ärztezahl Ärztedichte [km²] [Eiw./km²] [Ärzte/1000 Eiw.] , , ,2 a) Bereche Sie die Bevölkerugsdichte ud die Ärztedichte für das gesamte Lad im Jahr 2004! b) Wie hat sich die Ärztedichte jährlich im Durchschitt verädert, we es im Jahr 2000 im gaze Lad ur 2800 Ärzte gab ud die Bevölkerug i de vier Jahre um 3% zugeomme hat? Hiweis: Überlege Sie sich bei de Aufgabe jeweils, um welche Art vo Date es sich hadelt!

5 Tutorium 4: Streuugsmaße mittlere absolute Abweichug Variaz, Stadardabweichug ud Variatioskoeffiziet Dispersiosidex ud Diversität Bereche Sie für (bzw. 2) vo Tutorium 3 jeweils: die mittlere absolute Abweichug vom Zetralwert bzw. vom arithmetische Mittel; die Variaz, die Stadardabweichug ud de Variatioskoeffiziete! Für die Haushalte eier Regio ergibt sich folgede Eikommesverteilug: Eikomme [1000 Euro] Azahl der Haushalte [1000] a) Stelle Sie die Häufigkeitsverteilug grafisch dar ud bestimme Sie de Modus, de Media ud das arithmetische Mittel! Iterpretiere Sie diese Mittelwerte! Welcher Verteilugstyp liegt vor? b) Bereche Sie die Variaz, die Stadardabweichug ud de Variatioskoeffiziete! Die utestehede Grafik zeigt für die Jahre 1991 ud 2004 jeweils eie Häufigkeitsverteilug. a) Welches Streuugsmaß ka für de Vergleich der beide Verteiluge heragezoge werde? Bereche Sie dieses Streuugsmaß jeweils für 1991 ud 2004! Was sagt die Veräderug dieses Maßes aus? b) Um wie viel Prozet habe sich die Ausgabe für Diestleistuge vo 1991 bis 2004 isgesamt ud durchschittlich pro Jahr verädert?

6 Tutorium : Kozetratiosaalyse Begriff der Kozetratio Lorez-Kurve Gii-Koeffiziet Bei der Ivetur i eiem Ersatzteillager wurde die folgede wertmäßige Verteilug der Poste ermittelt: Eizelwert [Euro] Azahl der Teile] a) Bestimme Sie die Quartile, de Modus, das arithmetische Mittel ud die Variaz! b) Ermittel ud zeiche Sie die Lorez-Kurve ud beurteile Sie die Kozetratio ahad des Gii- Koeffiziete! Die Bruttogehälter eies mittelstädische Uterehmes sid wie folgt verteilt: Gehaltsgruppe Bruttogehalt [Euro] Azahl der Beschäftigte I II III Die Uterehmesleitug behauptet, 0% der Beschäftigte hätte ei Bruttogehalt über 300 Euro ud die Bruttogehaltssumme betrage 1 Mio. Euro. Sid diese Behauptuge haltbar? Eie Bak hat im letzte halbe Jahr die folgede Privatkredite ausgezahlt: Kredithöhe [1.000 ] Azahl der Kredite a) Nee Sie für das Merkmal X Kredithöhe die Merkmalsart, die Skalierug sowie die Merkmalsträger ud ihre Azahl! Zeiche Sie das Histogramm ud die empirische Verteilugsfuktio vo X! b) Bestimme Sie das arithmetische Mittel, die Quartile sowie die Variaz der Verteilug! c) Schätze Sie de Gesamtwert der Kredite sowie de Wert der 10% kleiste bzw. de Wert der 10% größte Kredite! d) Bereche Sie de Gii-Koeffiziete ud beurteile Sie die Kozetratio uter de Kredite!

7 Tutorium 6: Zweidimesioale Verteiluge ud Kotigez Zweidimesioale Häufigkeitsverteilug Radverteiluge, bedigte Verteiluge Kotigezmaße Eie Utersuchug der Erwerbstätigkeit i eier Großstadt ergab folgede zweidimesioale relative Häufigkeitsverteilug: Alter x i [Jahre] Erwerbstätigkeit y j liegt vor liegt icht vor 1 2 0,08 0, ,16 0, ,24 0,01 4 0,21 0,03 6 0,06 0,09 a) Was sid hier die Merkmalsträger ud die Merkmale? Wie sid sie skaliert? b) Wie hoch ist der Ateil der Erwerbstätige i de eizele Altersklasse? c) Wie ist das Alter bei de Erwerbstätige ud bei de Nicht-Erwerbstätige verteilt? Schätze Sie jeweils das Durchschittsalter. I welcher Gruppe streut das Alter stärker? d) Wie hoch ist i der Erhebug der Ateil... der Erwerbstätige? der uter 4-Jährige? der Nicht-Erwerbstätige uter 4 Jahre? der über 4-Jährige uter de Erwerbstätige? der Erwerbstätige uter de über 4-Jährige? e) Bereche Sie de korrigierte Kotigezkoeffiziete ud beurteile Sie die Abhägigkeit der Merkmale! I eiem Betrieb ergab sich bei eier Erhebug der Merkmale Eikomme (X) ud Geschlecht (Y) die folgede zweidimesioale Häufigkeitsverteilug: y j x i [ ] mälich weiblich a) Beurteile Sie mit eiem geeigete Maß die Stärke des Zusammehags zwische beide Merkmale! b) Bestimme Sie die bedigte Häufigkeitsverteiluge vo X ud das Durchschittseikomme vo Mäer ud Fraue! Warum ist es sivoll, das Eikomme als Auswertugsmerkmal zu wähle?

8 Tutorium 7: Zweidimesioale Verteiluge ud Korrelatio Kovariaz, positive/egative Korrelatio Korrelatioskoeffiziet ach Bravais/Pearso Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma I eiem Wohblock wohe 0 Haushalte. Für die beide Merkmale Wohugsgröße (Zimmerzahl X) ud die Azahl der PKW (Y) ergibt sich die folgede zweidimesioale Häufigkeitsverteilug: x i y j a) Wie viel Prozet der Haushalte habe weiger als 3 Zimmer ud weiger als 2 Autos? mit 1 oder 2 Zimmer sid motorisiert? mit midestes 3 Zimmer habe höchstes ei Auto? b) Ermittel Sie die Kovariaz ud de Korrelatioskoeffiziete! I eier adere Wohalage mit 100 Haushalte sid die beide Merkmale Moatliches Bruttoeikomme (X) ud Azahl der PKW (Y) wie folgt verteilt: y j x i [ ] a) Bereche Sie für das Merkmal Y das arithmetische Mittel ud die Variaz! b) Bestimme Sie für das Merkmal X das arithmetische Mittel ud die extere Variaz! c) Schätze Sie das Durchschittseikomme der Haushalte mit keie, eiem bzw. zwei PKW! Was ka ma daraus i bezug auf die Korrelatio schließe? d) Bereche Sie de Korrelatioskoeffiziete ach Bravais/Pearso! Bei eiem Meter-Lauf wurde die Platzierug ud die Körpergröße festgehalte: Platzierug Körpergöße [cm] Utersuche Sie de Zusammehag zwische beide Merkmale ahad eies geeigete Maßes!

9 Tutorium 8: Regressiosaalyse Methode der kleiste Quadrate Ex-post-/Ex-ate-Progose, Residue Streuugszerlegug, Bestimmtheitsmaß Bei eier Utersuchug zur wirtschaftliche Lage der Studierede a der HfWU wurde zwölf auslädische Studierede ach ihre moatliche Eiküfte (X) ud ihre moatliche Ausgabe für Miete (Y) befragt. Dabei ergabe sich folgede Beobachtugswerte i [Euro]: x t y t a) Trage Sie die Beobachtugswerte i ei Streuugsdiagramm ei ud hebe Sie die Mehrfachwerte besoders hervor! b) Ermittel Sie für die Eiküfte ud die Mietausgabe jeweils das arithmetische Mittel ud die Variaz sowie die Kovariaz zwische beide Merkmale! Was sagt die Kovariaz hier aus? c) Quatifiziere Sie die Abhägigkeit der Mietausgabe vo de Eiküfte durch die Regressiosgerade ud trage Sie diese i das Streuugsdiagramm ei! d) Bereche ud iterpretiere Sie das Bestimmtheitsmaß! e) Progostiziere Sie die Mietausgabe eies auslädische Studierede, der über moatliche Eiküfte vo 1200 Euro verfügt! I der folgede Tabelle sid für zeh Haushalte jeweils das moatliche Eikomme sowie die Ausgabe für öffetliche Verkehrsmittel agegebe. t Moatliches Eikomme i [1.000 ] x t 2,0 3,0 1,0 2,0 2,0 3,0 3, 1, 4,0 3,0 Ausgabe für öffetliche Verkehrsmittel i [ ] y t a) Bestimme Sie die Regressiosgerade ach der Methode der kleiste Quadrate! b) Bereche ud iterpretiere Sie das Bestimmtheitsmaß ud beurteile Sie damit die Güte der Regressiosgerade!

10 Tutorium 9: Zeitreiheaalyse Zeitreihezerlegug Tredgerade Saisofigur Saisobereiigug Gegebe sid die Halbjahresumsätze eier Idustriebrache i [Mrd. Euro]: t y t a) Bereche Sie die Tredgerade ach der Methode der kleiste Quadrate sowie die kostate Saisofigur! b) Ermittel Sie die Ex-post-Progosewerte (Tred ud Saiso) ud die Residue für die Periode t=1,,8! c) Beurteile Sie mit Hilfe der Streuugszerlegug die Erklärugsateile vo Tredgerade ud Saisofigur! d) Progostiziere Sie die Umsätze der Periode t=9 ud t=10 ohe ud mit Berücksichtigug des Saisoeiflusses! e) Gebe Sie die saisobereiigte Umsatzreihe a! I der folgede Tabelle ist der Eergieverbrauch i [10 7 kwh] eier deutsche Großstadt i de Jahre 1999 bis 2002, gegliedert ach Halbjahre, agegebe. t Jahr Halbjahr y t Witer 9 2 Sommer Witer 11 4 Sommer Witer 12 6 Sommer Witer 13 8 Sommer 11 a) Ermittel Sie die Tredgerade für die Etwicklug des Eergieverbrauchs. Bereche Sie das Bestimmtheitsmaß für die Tredgerade ud iterpretiere Sie diese Zahl! b) Bereche Sie die Ex-post-Tredprogosewerte ud bestimme Sie daraus die kostate Saisofigur! c) Wie viel Prozet der Streuug der Zeitreihe wird durch die Saisofigur erklärt? Wie beurteile Sie die Erklärug durch die Zeitreiheaalyse isgesamt? d) Bestimme Sie soweit möglich die zetrierte ud die achlaufede Zwei-Halbjahre- Durchschitte des Eergieverbrauchs!

11 Tutorium 10: Idexzahle Zeitreihe, Basis-/Berichtsperiode, Messzahl, Idexzahl Preisidex, Megeidex (Laspeyres/Paasche/Fisher) Warekorb-Formel, Mittelwert-Formel Wertidex, Produkt-Formel Umbasierug, Deflatioierug Gegebe sid die Preise ud Mege vo vier Güter i der Basisperiode ud i der Berichtsperiode: i p i0 p it q i0 q it , a) Ermittel Sie die Preis-, Mege- ud Umsatzmesszahle! b) Bereche Sie die Preis- ud Megeidizes ach Laspeyres, Paasche ud Fisher sowie de Wertidex! Für drei Güter sid die Preise (p it ) ud die Umsatzateile (g it ) i de Jahre t=1,2,3 durch die folgede Tabelle gegebe: Gut Preise Umsatzateile i p i1 p i2 p i3 g i1 g i2 g i ,16 0,2 0, ,44 0, 0, ,4 0,3 0,4 Die Umsatzwachstumsrate betrug 20 % im 2. Jahr ud 2 % im 3. Jahr. a) Bereche Sie die Preis- ud Megeidexreihe P 1t ud Q 1t (t=1,2,3) ach Laspeyres ud Paasche! b) Welche mittlere jährliche Umsatz-Steigerugsrate ergebe sich für die eizele Güter ud isgesamt? Die achfolgede Tabelle weist die Verschuldug der öffetliche Haushalte i laufede Preise (X t ) sowie de Preisidex für die Lebeshaltug (P t ) für die Budesrepublik Deutschlad aus: Jahr t X t [Mrd.Euro] P t [199=100] 100,0 101, 103,4 104,4 10,0 106, 108,6 110,1 111,3 113,1 Basiere Sie de Preisidex auf das Jahr 2000 um ud bereche Sie die Verschuldug der öffetliche Haushalte i Preise vo 2000!

12 Tutorium 11: Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Zufallsprozess, Ergebis, Ergebismege Ereigis, Ereigissystem Elemetarereigis, sicheres/umögliches Ereigis Ereigisalgebra (Megelehre), uvereibare Ereigisse Axiome ud Rechegesetze für Wahrscheilichkeite Bedigte Wahrscheilichkeit, stochastische Uabhägigkeit Betrachtet wird der Zufallsprozess Würfel mit eiem reguläre Würfel ud isbesodere die Ereigisse A: ugerade Augezahl ud B: Augezahl größer als 3. a) Wie viel Ergebisse bzw. Ereigisse gibt es bei dem Zufallsprozess? b) Bestimme Sie. P(A B), P(A B), P ( A \ B ), P (A B) ud P(A B A B)! Formuliere Sie diese Ereigisse verbal! Sid die Ereigisse A ud B stochastisch uabhägig? Wie groß ist beim Würfel mit zwei reguläre Würfel die Wahrscheilichkeit für folgede Ereigisse? A: midestes eie 6 D: Pasch (zwei gleiche) B: geau eie 6 E: midestes eie 2 oder 3 C: höchstes eie 6 F: Würfelsumme gleich 9 Wie groß ist P (F E)? Welche Ereigisse sid paarweise uvereibar? Die Wahrscheilichkeit, dass i eiem zufällig ausgewählte Haushalt eier Stadt ei Computer vorhade ist, beträgt 80%; die Wahrscheilichkeit, dass ei Iteretaschluss zur Verfügug steht, beträgt 70%. Außerdem ist bekat, dass mit 6%iger Wahrscheilichkeit sowohl ei Computer als auch ei Iteretaschluss vorhade sid. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass i eiem Haushalt ei Computer oder ei Iteretaschluss bereitstehe? b) Sid die Ereigisse C (= Computerbesitz ) ud I (= Iteretaschluss ) stochastisch uabhägig? c) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Haushalt mit Computer (bzw. ei Haushalt ohe Computer) eie Iteretaschluss besitzt?

13 Tutorium 12: Satz vo Bayes ud Kombiatorik Zerlegug der Ergebismege Satz über die totale Wahrscheilichkeit Satz vo Bayes Laplace-Prozess Kombiatioe, Variatioe, Permutatioe Ei Autohädler verkauft zu 60 % Gebrauchtwage ud zu 40% Neuwage. Bei 10% der Neuwage werde ierhalb eies Jahres ach dem Verkauf Mägel beastadet; bei 80% der Gebrauchtwage trete im etsprechede Zeitraum keie Beastaduge auf. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass a) bei eiem verkaufte Fahrzeug bie Jahresfrist Mägel beastadet werde? ei beastadetes Fahrzeug ei Gebrauchtwage bzw. ei Neuwage ist? Auf eiem Tisch stehe zwei gleich aussehede Ure. Die eie (U1) ethält vier weiße ud drei schwarze Kugel, die adere (U2) ethält drei weiße ud vier schwarze Kugel. Eie Perso wählt blid eie der Ure ud zieht ohe Zurücklege drei Kugel. Alle drei sid schwarz. Mit welcher Wahrscheilichkeit wurde die Kugel aus der Ure U1 gezoge? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass vo siebe zufällig ausgewählte Persoe a) keie a eiem Sotag gebore wurde? b) midestes eie a eiem Sotag gebore wurde? c) alle a verschiedee Wochetage gebore wurde? Überlege Sie sich zuerst, wie die Ergebismege dargestellt werde muss, damit die Laplace-Formel awedbar ist!

14 Tutorium 13: Dateaalyse mit Hilfe vo EXCEL I Erstelle eier Häufigkeitstabelle mit EXCEL grafische Aufbereitug der Date mit EXCEL Aufgabe I der achfolgede Tabelle sid die Studieredezahle der Fachhochschule Nürtige für die verschiedee Studiegäge am Stadort Nürtige aufgeführt. a) Beee Sie die Merkmalsträger sowie die Merkmale ud Merkmalsauspräguge, die i dieser Tabelle erfasst werde. b) Gebe Sie die Date i EXCEL ei ud bereche Sie jeweils die relative Häufigkeite. c) Erstelle Sie eie Grafik für die Verteilug der Studierede auf die Studiegäge. Probiere Sie verschiedee Type vo Grafike aus. Welche Darstellug eiget sich Ihrer Asicht ach am beste? Begrüde Sie Ihre Meiug. d) Erstelle Sie eie Grafik, aus der die uterschiedliche Ateile der weibliche bzw. mäliche Studierede sichtbar wird. e) Prüfe Sie, ob die Wahl des Studiegag uabhägig vom Geschlecht erfolgt. ÜBERSICHT ÜBER DIE ZAHL DER STUDIERENDEN (Stad Witersemester 2003/2004) Aufstellug ach Studiegäge mälich weiblich gesamt Stadort Nürtige: Studiegag mälich weiblich gesamt Betriebswirtschaft Nürtige Volkswirtschaft Iteratioales Fiazmaagemet Agrarwirtschaft Ladschaftsarchitektur/Ladschaftsplaug Stadtplaug Iteratioales Maagemet Umweltschutz Food Chai Maagemet Iteratioal Master of Ladscape Architecture Quelle: Homepage der Fachhochschule Nürtige

15 Tutorium 14: Dateaalyse mit Hilfe vo EXCEL II Berechug vo statistische Kezahle mit EXCEL experimetelles Arbeite mit de Date Aufgabe Gegebe ist das folgede Balkediagramm eier Häufigkeitsverteilug. Häufigkeitsverteilug 0,2 hi 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,08 0,08 0,0 0,02 0,0 0,0 0, xi a) Erstelle Sie zu diesem Balkediagramm eie zugehörige Häufigkeitstabelle i EXCEL. Bereche Sie das arithmetische Mittel, die Variaz ud die Stadardabweichug der Verteilug. b) Veräder Sie die Werte i i der Tabelle so, dass eie Verteilug folgeder Art etsteht: eie uimodale, rechtssteile Verteilug eie extreme Zweipukt-Verteilug eie Eipukt-Verteilug eie symmetrische, multimodale Verteilug eie usymmetrische, multimodale Verteilug eie Gleichverteilug. Wie veräder sich jeweils das arithmetische Mittel, die Variaz bzw. die Stadardabweichug? c) Wie verädert sich die Verteilug, we Sie... die Werte x i i der Tabelle alle um 10 vergrößer? die Werte x i i der Tabelle alle verdoppel? eie große x i -Wert hizufüge? Wie veräder sich jeweils das arithmetische Mittel, die Variaz bzw. die Stadardabweichug?

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

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