1. Methode der Finiten Elemente

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1 1. Methode der Finiten Elemente 1.1 Innenraumprobleme 1.2 Außenraumprobleme 1.3 Analysen 1.4 Bewertung Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-1

2 1.1 Innenraumprobleme Schwache Formulierung Finite Elemente Diskretisierungsregeln Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-2

3 1.1.1 Schwache Formulierung Aufgabenstellung: Gesucht ist die komplexe Amplitude des Schallfelds in einem geschlossenen Gebiet G. In G erfüllt das Schallfeld die Helmholtz-Gleichung 2 P k 2 P=0 Der Rand des Gebietes besteht aus drei Teilen: S= G=S p S v S a S a S v G S a S p Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-3

4 1.1.1 Schwache Formulierung Rand S p : Die Schalldruckamplitude hat einen vorgegebenen Wert. Durch P=0 kann z.b. eine kleine Öffnung näherungsweise beschrieben werden. Rand S v : Die Schallschnelle senkrecht zur Wand hat einen vorgegebenen Wert. Durch diese Randbedingung wird eine schwingende oder schallharte Wand beschrieben. Für den Schalldruck folgt: Schallharte Wand: P n= i 0 V n P n=0 Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-4

5 1.1.1 Schwache Formulierung Rand S a : Die Impedanz ist vorgegeben: P=Z V n Dadurch lassen sich absorbierende Flächen beschreiben. Mit folgt: P n= i 0 V n P n= i 0 P Z = i 0 A P Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-5

6 1.1.1 Schwache Formulierung Schwache Formulierung der Helmholtz-Gleichung: Um die spätere Kopplung mit den Gleichungen für die Struktur zu erleichtern, wird die durch die Massendichte dividierte Helmholtz-Gleichung betrachtet: P 2 0 c 2 P=0 Die klassische oder starke Lösung ist in G zweimal stetig differenzierbar, erfüllt in G die Helmholtz-Gleichung, erfüllt die Randbedingungen. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-6

7 1.1.1 Schwache Formulierung Für viele technisch interessante Fälle gibt es keine Lösung, die in ganz G zweimal stetig differenzierbar ist. Für numerische Verfahren ist es vorteilhaft, wenn die Stetigkeitsanforderungen an die Lösung verringert werden können. Das kann durch partielle Integration erreicht werden, nachdem die Helmholtz-Gleichung mit einer Testfunktion multipliziert wurde. Für jede Testfunktion P gilt: G 1 P 2 P P 2 P dv =0 0 0 c 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-7

8 1.1.1 Schwache Formulierung Von der Testfunktion P wird gefordert, dass sie einmal differenzierbar ist und dass sie auf S p null ist. Dann lässt sich das erste Integral partiell integrieren: G Mit dem Integralsatz von Gauß folgt für das erste Integral auf der rechten Seite: G 1 0 P 2 P dv = G 1 0 P P dv = S 1 0 P P dv G 1 0 P P n ds 1 0 P P dv Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-8

9 Damit gilt: S Schwache Formulierung 1 0 P P n ds G G 1 0 P P dv 2 G 1 0 P P dv 2 G P P 0 c dv = 2 S P P dv =0 2 0 c 1 0 P P n ds Unter Berücksichtigung der Randbedingungen und auf S p folgt P=0 S 1 0 P P n ds= i S v P V n ds S a A P P ds Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-9

10 Damit ist gezeigt: Schwache Formulierung G 1 P P dv i 0 S a P V n ds = i S v A P P ds 2 G P P 0 c 2 dv Diese Gleichung wird als schwache Formulierung der Helmholtz-Gleichung bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

11 1.1.1 Schwache Formulierung Die schwache Lösung ist einmal differenzierbar, erfüllt die Randbedingung auf S p, erfüllt die schwache Formulierung für alle Testfunktionen, die stetig differenzierbar sind und auf S p verschwinden. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen können mit den Methoden der Funktionalanalysis untersucht werden. In der Mathematik wird gezeigt: Wenn die schwache Lösung zweimal stetig differenzierbar ist, dann stimmt sie mit der klassischen Lösung überein. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

12 1.1.2 Finite Elemente Geometrie: Das betrachtete Gebiet G wird durch die Vereinigung von finiten Elementen G E angenähert. Ein akustisches finites Element ist definiert durch seine Knotenpunkte, Interpolationsfunktionen für die Geometrie und Interpolationsfunktionen für den Schalldruck G G E G E G E Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

13 1.1.2 Finite Elemente Übliche räumliche finite Elemente sind Hexaeder, Pentaeder oder Tetraeder mit geraden oder gekrümmten Kanten: Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

14 1.1.2 Finite Elemente Die Geometrie wird durch Interpolation zwischen den Knoten des finiten Elements beschrieben: x,, = k y,, = k z,, = k N k,, x k Die Interpolationsfunktionen haben jeweils an einem Knoten k den Wert eins und an allen anderen Knoten den Wert null. [ x E ] N k,, y k N k,, z k Die Matrix enthält die Koordinaten aller Knoten des finiten Elements. } [ x,, ]=[ N E,, ] [ x E ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

15 1.1.2 Finite Elemente Beispiel: Hexaeder mit geraden Kanten Den Knoten des Hexaeders entsprechen die Parameterwerte =±1, =±1, =±1 Interpolationsfunktionen: N 1,, = N 5,, = N 2,, = N 6,, = N 3,, = N 7,, = N 4,, = N 8,, = Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

16 1.1.2 Finite Elemente (1, -1, 1) (1, 1, 1) 8 7 (-1, -1, 1) (-1, 1, 1) 5 (1, -1, -1) (1, 1, -1) (-1, -1, -1) (-1, 1, -1) 1 ζ [N E (ξ, η, ζ)][x E ] z 2 η y ξ x Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

17 1.1.2 Finite Elemente Ansatzfunktionen für den Schalldruck: Der Schalldruck im Innern des Raumgebiets wird durch Interpolation des Schalldrucks an den Knoten des Raumgebiets dargestellt: [ P E ] P,, =[ N E,, ] [ P E ] Die Matrix enthält die Werte des Schalldrucks an den Knoten des finiten Elements. Finite Elemente, bei denen die gleichen Interpolationsfunktionen für Geometrie und Schalldruck verwendet werden, heißen isoparametrische Elemente. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

18 1.1.2 Finite Elemente Ein finites Element muss einen konstanten Schalldruck innerhalb des Elements exakt beschreiben können. Bei isoparametrischen Elementen ist diese Bedingung erfüllt. Schwache Formulierung für ein finites Element: Für jedes finite Element gilt: V n 1 P P dv 2 G E 0 G E = i P V n ds S E P P 0 c 2 dv S E V n V n Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

19 1.1.2 Finite Elemente Für den Schalldruck wird die Ansatzfunktion verwendet. Damit kann die schwache Formulierung nicht mehr für jede Testfunktion P erfüllt werden. Stattdessen wird gefordert, dass die schwache Formulierung für alle Testfunktionen mit beliebigen Matrizen P,, =[ N E,, ] [ P E ] P,, =[ N E,, ] [ P E ] [ P E ] erfüllt ist. Dieses Verfahren wird als Bubnov-Galerkin-Verfahren bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

20 1.1.2 Finite Elemente Einsetzen in die schwache Formulierung ergibt: [ P E ] T G E 1 0 [ N E ] T [ N E ] dv 2 G E 1 0 c 2 [ N E ] T [ N E ] dv [ P E ] = i [ P E ] T S E [ N E ] T V n ds [ P E ] Damit diese Gleichung für beliebige erfüllt ist, muss gelten: G E 1 0 [ N E ] T [ N E ] dv 2 G E 1 0 c 2 [ N E ] T [ N E ]dv [ P E ] = i S E [ N E ] T V n ds Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

21 1.1.2 Finite Elemente Mit den Matrizen [ H E ]= G E 1 0 [ N E ] T [ N E ] dv und folgt: [Q E ]= G E 1 0 c 2 [ N E ] T [ N E ]dv [ H E ] 2 [Q E ] [ P E ]= i S E [ N E ] T V n ds [ H E ] Die Mobilitätsmatrix beschreibt die inverse Masse. Sie hängt mit der kinetischen akustischen Energie zusammen. Die Kompressibilitätsmatrix [Q E ] beschreibt die Kompressibilität. Sie hängt mit der potentiellen akustischen Energie zusammen. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

22 1.1.2 Finite Elemente Mobilitätsmatrix und Kompressibilitätsmatrix sind beide reell und symmetrisch. Für die Randflächen eines finiten Elements können vier Fälle auftreten: Die Fläche ist Teil der Randfläche S p, auf der der Schalldruck vorgeschrieben ist. Die Fläche ist Teil der Randfläche S v, auf der die Schallschnelle vorgeschrieben ist. Die Fläche ist Teil der absorbierenden Randfläche S a. Die Fläche ist eine innere Fläche. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

23 Schalldruck vorgegeben: Finite Elemente Auf dieser Fläche ist die Testfunktion null. Das entsprechende Integral wird daher nicht benötigt. Schallschnelle vorgegeben: S E j =S E v S v Da die Schallschnelle bekannt ist, kann das Integral berechnet werden: Absorbierende Fläche: [G E ]= S v E S j E =S p E S p [ N E ] T V n ds S j E =S a E S a Für das Integral gilt: S a E [ N E ] T V n ds= S a E A [ N E ] T [ N E ] ds [ P E ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

24 1.1.2 Finite Elemente Mit der Absorptionsmatrix gilt: S a E [ N E ] T V n ds=[ A E ] [ P E ] [ A E ]= S a E A [ N E ] T [ N E ] ds Innere Fläche: [G ie ]= S i E [ N E ] T V n ds Da die Schallschnelle nicht bekannt ist, kann das Integral nicht berechnet werden. Die Beiträge von zwei aufeinanderfallenden Flächen benachbarter Elemente heben sich jedoch gegenseitig auf, da der Normalenvektor jeweils aus dem Element zeigt. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

25 1.1.2 Finite Elemente Berechnung der Element-Matrizen: Die Interpolationsfunktionen sind Funktionen der Parameter ξ, η und ζ. Für die Ableitungen nach den Koordinaten x, y und z gilt: = x = x = x x y x y x y y z y z y z z z z [ ]=[ J ] [ x ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

26 Dabei ist Finite Elemente ]=[ [ ] ]=[, [ x ] ]=[ x x x, [ J y x z y y y z ] z z [ J ] Die Jacobi-Matrix kann aus den Interpolationsfunktionen und den Koordinaten der Knotenpunkte berechnet werden. Die inverse Beziehung lautet: Für das Volumenelement gilt: [ x ]=[ J ] 1 [ ] dv x =J dv mit J =det [ J ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

27 1.1.2 Finite Elemente Damit gilt für die Element-Matrizen: [ H E 1 ]= [ J ] 1 [ N E ] T [ J ] 1 [ N E ] J dv G E 0 [Q E ]= G E 1 0 c 2 [ N E ] T [ N E ] J dv [G E ]= S v E [ N E ] T V n J S ds, [ A E ]= S a E A [ N E ] T [ N E ] J S ds Die Integrale werden numerisch mit dem Verfahren der Gauß-Integration berechnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

28 1.1.2 Finite Elemente Assemblierung: Da der Schalldruck stetig ist, hat der Schalldruck für alle Elementknoten, die auf denselben Gebietsknoten fallen, den gleichen Wert. [ P E ] Die Matrix mit den Werten des Schalldrucks an den Elementknoten kann für jedes Element aus der Matrix [ P ] mit den Werten des Schalldrucks an den Gebietsknoten extrahiert werden: [ P E ]=[a E ] [ P ] Die Zeilen der Matrix [a E ] entsprechen den Elementknoten und die Spalten den Gebietsknoten. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

29 1.1.2 Finite Elemente Jede Zeile enthält eine Eins in der Spalte, die dem Gebietsknoten entspricht, der mit dem betreffenden Elementknoten zusammenfällt. Alle anderen Elemente einer Zeile sind null. Da auch die Testfunktionen stetig sein müssen, gilt entsprechend: [ P E ]=[ a E ] [ P ] Aus der schwachen Formulierung für das Element folgt: [ P ] T [a E ] T [ H E ] [a E ] 2 [a E ] T [Q E ] [a E ] [ P ] = i [ P ] T [a E ] T [G E ] [a E ] T [ A E ] [a E ] [ P ] [a E ] T [G i E ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

30 1.1.2 Finite Elemente Damit diese Gleichung für beliebige erfüllt ist, muss gelten: [a E ] T [ H E ] [a E ] 2 [a E ] T [Q E ] [a E ] [ P ] Summation über alle Elemente ergibt: [ P ] = i [a E ] T [G E ] [a E ] T [ A E ] [a E ] [ P ] [a E ] T [G i E ] E [a E ] T [ H E ] [ a E ] 2 E = i E [a E ] T [G E ] E [ a E ] T [Q E ] [a E ] [ P ] [a E ] T [ A E ] [a E ] [ P ] E [a E ] T [G i E ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

31 1.1.2 Finite Elemente Die Beiträge der inneren Flächen heben sich bei der Summation auf, da jede Fläche genau zweimal mit entgegengesetztem Normalenvektor auftritt: Mit den Gesamtmatrizen folgt: [ H ]= E [ A ]= E E [a E ] T [G i E [a E ] T [ H E ] [ a E ], [Q ]= E [a E ] T [ A E ] [a E ], [G ]= E ]=[0] [a E ] T [Q E ] [a E ] [a E ] T [G E ] [ H ] i [ A ] 2 [Q ] [ P ]= i [G ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

32 1.1.2 Finite Elemente [ H ] Die Mobilitätsmatrix ist reell, symmetrisch und positiv semi-definit: [ P ] T [ H ] [ P ] 0 für [ P ] [0] Für ein räumlich konstantes Schallfeld gilt: [ P 0 ] [ H ] [ P 0 ]=[0 ] Die Kompressibilitätsmatrix [Q ] ist reell, symmetrisch und positiv definit: [ P ] T [Q ] [ P ] 0 für [ P ] [0] [ A ] Die Absorptionsmatrix ist komplex und symmetrisch. Sie kann außerdem von der Kreisfrequenz ω abhängen. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

33 1.1.3 Diskretisierungsregeln Geometrie: Hexaeder und Pentaeder liefern in der Regel bessere Ergebnisse als Tetraeder. Große Unterschiede in den Kantenlängen eines Elements sind zu vermeiden. Spitze Winkel zwischen Elementkanten sind zu vermeiden. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

34 1.1.3 Diskretisierungsregeln Elementgröße: Die größte Kantenlänge L max hängt von der Wellenlänge λ ab: Bei Verwendung von Elementen mit linearer Interpolation des Schalldrucks gilt: L max /6 Bei Verwendung von Elementen mit quadratischer Interpolation des Schalldrucks gilt: L max /2 Ausschlaggebend ist die Wellenlänge, die zum dreifachen Wert der höchsten Erregerfrequenz f max gehört: = c 3 f max Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

35 1.2 Außenraumprobleme Nahbereich und Außenbereich: Bei Außenraumproblemen ist das Gebiet, in dem das Schallfeld berechnet werden soll, unendlich. Es wird unterteilt in einen Nahbereich G i und den unendlichen Außenbereich G a. Die Grenzfläche S G zwischen Nahbereich und Außenbereich muss konvex sein und alle Schallquellen einschließen. Der Nahbereich kann mit finiten Elementen diskretisiert werden. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

36 1.2 Außenraumprobleme G a S G G i S v Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

37 1.2 Außenraumprobleme Im Außenbereich hat die Lösung der Helmholtz-Gleichung, die die Abstrahlbedingung von Sommerfeld erfüllt, die Darstellung P r,, =e i k r P n, n=1 (Reihenentwicklung von Atkinson und Wilcox). Die Funktionen P n, werden durch die Werte auf der Grenzfläche S G festgelegt. Der Außenbereich wird mit halbunendlichen Elementen diskretisiert, die als semi-infinite Elemente bezeichnet werden. r n Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

38 1.2 Außenraumprobleme Geometrie eines semi-infiniten Elements: Die Geometrie eines semi-infiniten Elements wird festgelegt durch seine Basisfläche S B und den Pol P. Die Basisfläche ist Teil der Grenzfläche: 1 4 S B 2 x 3 - x P 3 x 3 S B S G P x P O Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

39 1.2 Außenraumprobleme Die Geometrie wird durch folgende Interpolation beschrieben: x,, =x P N k, g x k x P k Dabei ist 1 1, 1 1, 0 1 x P der Ortsvektor des Pols und x k der Ortsvektor eines Knotenpunkts. Die Summation erstreckt sich über alle Knotenpunkte der Basisfläche. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

40 1.2 Außenraumprobleme Die Funktionen N k, sind die üblichen Interpolationsfunktionen für 2-dimensionale finite Elemente. Für ein lineares Element mit 4 Knoten gilt z.b. N 1, = , N 2, = 1 4 N 3, = , N 4, = Die Interpolationsfunktionen müssen die Bedingung erfüllen. k N k, =1 Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

41 1.2 Außenraumprobleme Von der Funktion g wird gefordert: g 1 =0, g 0 =1, lim 1 g = Die einfachste Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, ist g = 1 1 Die Punkte mit ζ = 0 liegen in der Basisfläche: x,,0 =x P k N k, x k x P = k N k, x k Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

42 1.2 Außenraumprobleme Für feste Werte von ξ und η ergeben sich Halbgeraden, die im Pol beginnen. Für den Abstand eines Punktes auf der Halbgerade vom Pol gilt: r= x x P =g N k, x k x P =g r B k Dabei ist r B der Abstand zwischen dem Pol und dem Basispunkt, in dem die entsprechende Halbgerade die Basisfläche schneidet. Es folgt: r =g = 1 r B 1, r B r = 1 1 Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

43 1.2 Außenraumprobleme 3 P x B - x P 4 B 1 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

44 1.2 Außenraumprobleme Interpolation des Schalldrucks: Nach der Reihenentwicklung von Atkinson und Wilcox gilt für den Verlauf des Schalldrucks in radialer Richtung P r =e i k r r B n=1 n, r B r Die unendliche Reihe wird durch eine endliche Summe approximiert: n P r e i k p r r B n=1 n, r B r n p =e i k r r B n=1 P Bn, n r B r Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

45 1.2 Außenraumprobleme Die Funktionen n x sind Polynome vom Grad n, von denen gefordert wird: 1 1 =1, n 1 =0 für n 1 Dann gilt: P r B =P B 1 Die Funktionen P Bn, werden mithilfe der Interpolationsfunktionen für die Basisfläche definiert: P Bn, = k N k, P kn Mit =k r r B lautet der Ansatz für den Schalldruck: p P,, =e i n=1 k N k, n 1 1 P kn Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

46 1.2 Außenraumprobleme Aus den für die Polynome n x geforderten Eigenschaften folgt: Die Koeffizienten P k1 geben den Schalldruck an den Knotenpunkten der Basisfläche an. Sie stimmen mit dem Schalldruck an den entsprechenden Knotenpunkten der an die Basisfläche angeschlossenen finiten Elemente überein. Die übrigen Koeffizienten haben keine unmittelbare physikalische Bedeutung. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

47 1.2 Außenraumprobleme Die numerischen Eigenschaften der entstehenden Matrizen hängen entscheidend von einer geschickten Wahl der Polynome ab. Günstige Eigenschaften werden erzielt, wenn orthogonale Polynome (Legendre-Polynome, Jacobi-Polynome) gewählt werden. Schwache Formulierung für den Außenbereich: Zur Herleitung der schwachen Formulierung wird der Außenbereich durch eine äußere Grenzfläche abgeschlossen, auf der die Abstrahlbedingung von Sommerfeld als Randbedingung angesetzt wird. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

48 1.2 Außenraumprobleme Anschließend wird der Grenzübergang betrachtet, dass die äußere Grenzfläche unendlich weit nach außen verschoben wird. Testfunktionen: Für semi-infinite Elemente werden in der Regel Testfunktionen gewählt, die nicht mit den für die Interpolation gewählten Funktionen übereinstimmen. Diese allgemeineren Galerkin-Verfahren werden als Petrov- Galerkin-Verfahren bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

49 1.2 Außenraumprobleme Folgende Verfahren sind gebräuchlich: Werden die Interpolationsfunktionen als Ansatzfunktionen gewählt, ergeben sich komplexe frequenzabhängige Matrizen, die symmetrisch sind (Bettess, Burnett). Werden die komplex konjugierten Ansatzfunktionen gewählt, ergeben sich komplexe unsymmetrische Matrizen, die nicht von der Frequenz abhängen. Besonders leistungsfähige Elemente ergeben sich, wenn als Ansatzfunktionen die durch r 2 dividierten komplex konjugierten Ansatzfunktionen gewählt werden (Astley, Leis). Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

50 1.2 Außenraumprobleme Hinweise zur Modellierung: Damit die semi-infiniten Elemente den gesamten Außenbereich überlappungsfrei überdecken, muss die Grenzfläche zwischen Nahbereich und Außenbereich konvex sein, und alle Elemente müssen den gleichen Pol haben. Bei Schallabstrahlung in den Halbraum muss der Pol in der den Halbraum begrenzenden schallharten Ebene liegen Der Grad des Polynoms in radialer Richtung hängt ab vom Abstand der Grenzfläche S G zwischen Nahbereich und Außenbereich vom abstrahlenden Körper von der Richtungsabhängigkeit der Schallabstrahlung Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

51 1.2 Außenraumprobleme Der Grad des Polynoms muss umso höher sein, je näher die Grenzfläche am abstrahlenden Körper ist, je komplizierter die Richtungsabhängigkeit der Schallabstrahlung ist. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

52 1.3 Analysen Die wichtigsten akustischen Analysen sind die Eigenschwingungsanalyse und die Frequenzganganalyse. Die Eigenschwingungsanalyse ermittelt die akustischen Eigenschwingungen bei Innenraumproblemen. Die Frequenzganganalyse ermittelt Amplitude und Phase des Schalldrucks in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz. Mit den Ergebnissen der Frequenzganganalyse lässt sich das Leistungsdichtespektrum des Schalldrucks aus dem Leistungsdichtespektrum der Anregung ermitteln. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

53 1.3 Analysen Eigenschwingungsanalyse: Wenn keine Anregung und keine Absorption vorhanden sind, lautet das diskrete Gleichungssystem für das Innenraumproblem Die Matrizen und sind symmetrisch. Matrix ist positiv semi-definit und Matrix [Q ] positiv definit. Daraus folgt: [ H ] 2 [Q ] [ P ]=[0] [ H ] [Q ] [ H ] Es gibt genau n positive Eigenwerte, für die nichttriviale Lösungen des Gleichungssystems existieren. Dabei ist n die Dimension des Gleichungssystems. 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

54 1.3 Analysen Die zugehörigen Frequenzen f = /2 sind die Resonanzfrequenzen. Zu jedem Eigenwert gibt es einen reellen Eigenvektor : [ H ] [ x ]= 2 [Q ] [ x ] [ x ] Für die Eigenvektoren gilt: Die Eigenvektoren können bezüglich der Kompressibilitätsmatrix normiert werden: Dann gilt: [ x ] T [ H ] [ x ]=0, [ x ] T [Q ] [ x ]=0 für [ x ] T [Q ] [ x ]=1 [ x ] T [ H ] [ x ]= 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

55 1.3 Analysen Jedes diskrete Schalldruckfeld lässt sich als Überlagerung der Eigenvektoren darstellen: n [ P ]= =1 Die im Allgemeinen komplexen Koeffizienten q ν werden als modale Koordinaten bezeichnet. [ P ] q [ x ] Wenn der Wert des Schalldrucks an keiner Stelle des Randes zu null gesetzt ist, dann gibt es einen Eigenwert 2 0 =0. Der zugehörige Eigenvektor beschreibt ein im gesamten Gebiet konstantes Schalldruckfeld. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

56 1.3 Analysen Zur Lösung des Eigenwertproblems können dieselben Methoden eingesetzt werden, wie sie für die Berechnung der Eigenschwingungen von Strukturen verwendet werden. Die wichtigsten Methoden sind das Verfahren von Lanczos und die Unterraumiteration. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

57 1.3 Analysen Frequenzganganalyse: Es wird zwischen der direkten und der modalen Frequenzganganalyse unterschieden. Bei der direkten Frequenzganganalyse wird das Gleichungssystem [ H ] i [ A ] 2 [Q ] [ P ]= i [G ] für jede vorgegebene Erregerfrequenz ω gelöst. Bei der modalen Frequenzganganalyse wird das Schallfeld als Überlagerung der Eigenvektoren dargestellt: n [ P ]= =1 q [ x ] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

58 1.3 Analysen In der Regel werden dabei nicht alle Eigenvektoren verwendet, sondern nur die m Eigenvektoren, die zu den niedrigsten Resonanzfrequenzen gehören: mit m [ P ] [ P ]= m =1 q [ x ]=[ X m ] [ q ] [ X m ]=[ [ x 1 ] [ x 2 ] [ x m ] ] und [ q ]=[ q 1 q m] 2 q Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

59 1.3 Analysen Dieses Verfahren wird als modale Reduktion bezeichnet. Dabei ist in der Regel m n. Einsetzen des Ansatzes für den Schalldruck und Multiplikation des entstehenden Gleichungssystems mit ergibt [ X m ] T [ X m ] T [ H ] i [ A ] 2 [Q ] [ X m ] [q ]= i [ X m ] T [G ] Aus den Eigenschaften der Eigenvektoren folgt [ 2 ] 2 [ I ] i [ X m ] T [ A ] [ X m ] [ q ]= i [ X m ] T [G ] mit [ ]=[ m] Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

60 1.3 Analysen Ohne Absorption ist die Matrix dieses Gleichungssystems eine Diagonalmatrix. Die so genannte Ausbreitungsdämpfung des Schalls infolge von Wärmeleitung und Viskosität der Luft kann bei der modalen Frequenzganganalyse durch ein Lehrsches Dämpfungsmaß von ca. 1 beschrieben werden. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

61 1.4 Bewertung Die Methode der Finiten Elemente stößt wie jedes andere numerische Verfahren an Grenzen, wenn die Erregerfrequenz zu groß wird. Ausschlaggebend dafür ist das Verhältnis der kleinsten Wellenlänge zur größten Abmessung des betrachteten Gebiets. Die Grenzen resultieren aus der Modellgröße sowie der Reproduzierbarkeit der Ergebnisse. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

62 1.4 Bewertung Modellgröße: Pro Wellenlänge sollten mindestens 6 lineare oder 2 quadratische Elemente verwendet werden. Die Anzahl der benötigten Elemente N E lässt sich abschätzen durch N E = V V E Dabei ist V das Volumen des betrachteten Gebiets und V E L E 3 das Volumen eines typischen finiten Elements mit der Kantenlänge L E. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

63 Mit =c / f folgt 1.4 Bewertung bei Verwendung von linearen Elementen: N E 6 3 V 3 f max c 3 =5832V f max c bei Verwendung von quadratischen Elementen: 3 N E 2 3 V 3 f max c 3 =215V f max c 3 f max Dabei ist die höchste Erregerfrequenz. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

64 1.4 Bewertung Reproduzierbarkeit: Mit zunehmender Erregerfrequenz nimmt die Anzahl der Resonanzfrequenzen in der Umgebung der Erregerfrequenz stark zu. Das hat zur Folge, dass die Antwort sehr stark von kleinen Ungenauigkeiten in den Daten abhängt. Bei hochfrequenter Anregung sind daher nur statistische Aussagen sinnvoll. Statistische Vorhersagen lassen sich zum Beispiel mit der Statistical Energy Analysis (SEA) machen. Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik

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