Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines

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1 Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht m vo eier Epoezilgleichug, wie z. B. ei. Jede Epoezilgleichug R esitzt geu eie Lösug. + mit, ud Für die Lösug dieser Epoezilgleichuge, d. h. für de Wert ht m de Nme: Logrithmus vo zur Bsis eigeführt (Die Buchste zw. sid elieig wählr). Logrithmusdefiitio: Der Logrithmus sttt + für, R ; ist der Logrithmus vo zur Bsis. ist lso ichts deres ls der Epoet i eier Epoezilgleichug, köte m uch schreie. ( ist diejeige Zhl, mit der m poteziere muss, um zu erhlte) ist die Zhl die zu rithmiere ist, sie wird Numerus get. ist die Bsis (der Potez ). Eie Amerkug zur Schreiweise: schreie. M k die Klmmer weglsse, we keie Eigetlich müsste m Missverstädisse ufkomme. z. B. c ist missverstädlich, lso muss hier ( c) Hiweise für ds Reche mit Logrithme: Ist die Bsis größer ls, d gilt: geschriee werde - für eie Numerus größer ls ist der Logrithmus positiv; z. B. ( 8 8) - für eie Numerus zwische 0 ud ist der Logrithmus egtiv; z. B. ( 0, 0,) Ist die Bsis kleier ls, d gilt: - für eie Numerus größer ls ist der Logrithmus egtiv; z. B. 0, ( 0, ) - für eie Numerus zw. 0 ud ist der Logrithmus positiv; z. B. 0, 0, ( 0, 0,) GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

2 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 Formelsmmlug Rechegesetze für ds Logrithmiere Die Rechegesetze he für jedes Logrithmesystem Geltug; d. h. sie köe immer d gewedet werde, wo Logrithme uf die gleiche Bsis ezoge werde. Multipliziere c + c, c R Dividiere c c + Der Logrithmus eies Produktes ist gleich der Summe der Logrithme der eizele Fktore. Der Logrithmus eies Quotiete ist gleich der Differez der Logrithme vo Zähler ud Neer. Poteziere c c Der Logrithmus eier Potez ist gleich dem Produkt us dem Logrithmus der Bsis ud dem Epoete. Rdiziere m m Der Logrithmus eier Wurzel ist gleich dem Produkt us dem Logrithmus des Rdikde ud dem Wurzelepoete. Rdiziere ist kei eigees Logrithmegesetz. Es hdelt sich um Poteziere mit rtiolem Epoete. (Rtiole Zhle sid die Mege ller Brüche der Form m/) Soderfälle ud esodere Logrithme 0 lg 0 lg 0 l e l 0 l l 0 c c lg( 0 ) l( e ) l( ) lg 0 c c GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

3 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 Vorzeiche ud Logrithmesymole : - i deutsche Bücher Logrithme zu eier elieige Bsis - uf merik. Tscherecher ud Litertur Logrithmus zur Bsis 0 lg: Logrithmus zur Bsis 0 (dekdischer, Briggscher oder Zeherrithmus) l: Logrithmus zur Bsis e,788 (türlicher Logrithmus) l: Logrithmus zur Bsis (iärer oder duler Logrithmus) Umrechug vo eiem System i ei deres Berechug elieiger Logrithme (mit Tscherecher) lg l lg l mit ls elieige Bsis; isesodere 0 oder e lg l,87... lg l Ntürliche Logrithme h h e, (Eulersche Zhl) Bsis e lim ( ) lim( h) e l l e l lg l lg e l 0 lg e l 0 Beim Reche mit Logrithme sei uf folgede Fehler higewiese: ( + ) + ( + ) ( ) c c c ist icht weiter uflösr c c + c + c c c GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

4 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 Musterlösuge Achtug: Bei lle Logrithmerechuge muß die Proe gemcht werde um Scheilösuge zu erkee. Die chfolgede Rechuge wurde dhigehed üerprüft, die Proe selst wurde jedoch icht mit dzugeschriee.. Lösugsverfhre: Logrithmusdefiitio verwede Vorussetzuge: Gleichug mit ur eiem Logrithmus. Formel: Beispiele: Grudform: Qudrtischer Numerus: 8 IL { 8} II { } ±,8... IL ±,8... Numerus ls Bruch: IL { } Fktor vor dem Logrithmus: 7 : IL { } GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

5 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0. Lösugsverfhre: Vergleich der Numeri Vorussetzuge: Logrithmusgleichug mit zwei Logrithme Formel: c c We zwei Logrithme gleiche Bsis esitze, sid uch ihre Numeri gleich. Die Formel ist uf Logrithmusgleichuge wedr die us zwei Logrithme estehe, er kei Asolutteil he. Beispiele: Aufge ohe Scheilösug: ( ) ( + ) + 8 IL { 8 } Aufge mit Scheilösug: ( + ) IL { } Fktor vor dem Logrithmus (mit Scheilösug): ( + ) ( + ) II ± IL { } Weil ch der Proe eide Numeri egtiv sid, ist die Gleichug icht defiiert. - ist dmit keie Lösug. Die Proe zeigt, dß ur + eie Lösug ist, de - führt zu eiem egtive Numerus ud dmit zu eiem udefiierte Logrithmus. GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

6 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0. Lösugsverfhre: Vergleich der Epoete Vorussetzuge: Logrithmus so umformr dß gleiche Bse etstehe Beispiele: Eifche Aufge: gleiche Bsis, d Epoetevergleich möglich 7 Schwierigere Aufge: gleiche Bsis, d Epoetevergleich möglich. Lösugsverfhre: Logrithmegesetze wede Vorussetzuge: mehr ls zwei Logrithme oder ei zusätzlicher Asolutteil Formel: c + c c c GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) 6 ()

7 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 Beispiele: Aufge mit Scheilösug: Die Proe ergit, dß ur - eie Lösug ist, de 6 führt zu eiem egtive Numerus ud dmit zu eiem udefiierte Logrithmus. / / ( 6) ± 0 6, IL { } ± Aufge ohe Scheilösug: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) IL { } GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) 7 ()

8 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0. Lösugsverfhre: Logrithmesis wechsel Vorussetzuge: Logrithme mit verschiedee Bse Formel: lg l lg l Beispiele: Aufge: 8 Umforme i eie Potezgleichug,, 8 rithmiere lg, lg8. Logrithmegesetz lg, lg8 lg8 lg, lg8, 8 lg, Wie k eie Wurzel i eie Potez umgewdelt werde? Gz eifch! Der Rdikd (der Term uter der Wurzel) ist die Bsis der Potez. Der Epoet der Potez ist ei Bruch ud setzt sich zusmme us dem Wurzelepoete ( Neer) ud dem Epoete des Rdikde ( Zähler). We der Rdikd keie Epoete ufweist, d ist der Wert.. Beispiel:. Beispiel: 6 6. Beispiel: z z z. Beispiel: 7y z 7y z 7y z 7 y z GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) 8 ()

9 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 II. Aufge. Bestimme die Lösug der Epoezilgleichug ohe Tscherecher ) c) ) 0, 0,0 d). Bereche die Logrithme ohe Tscherecher, ) 8 ) c) d) ( ) e) 0 g) 0 f) 0, h) 8 i) Bereche die Logrithme ohe Tscherecher ) ) d) e) c) 0, 0 f) 8 7 g) h) 6 i) 0, 8. Bereche die Logrithme ohe Tscherecher ) ) c) d) e) g) 7 h) f) i). Zerlege soweit wie möglich i Summde ) d) g) c ) c d e y y 8 c e) ( r ) h) k) y + y l) c) ( + ) p q + y π f) u v w m m 6 m c c i) m) c d GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

10 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 6. Fsse zusmme ) 6 + 0, 0,0 + 0, 6 ) 0, + 0, ,0 000 c) , Fsse zusmme ud vereifche weitgehedst ) + ), 0, c) + 6 d) ( c ) ( + c) e) r r + r s s f) g) lg 6 lg h) lg( + ) + lg( ) lg( ) i) ( u v u v) k) lg lg l) lg lg + lg m) lg( + ) lg ) lg( ) ( lg + lg ) 6 o) lg( + ) 0, lg( ) lg( + ) 0,8 lg( ) GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) 0 ()

11 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 8. Fsse zusmme ) lg + 0, lg + lg c ) lg + lg( ) ( lg + lg ) lg lg lg c) ( ) ( + ) d) z z y u u u v v e) q 0, p q p f) g) ( ) h) +. Bereche - ohe Tscherecher - ud fsse zusmme + ) ) + c) 8 7 d) 8 e) f) g) 7 8 h) GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

12 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 0. Löse ch uf; mche ggf. die Proe! + 8 ) ) ( + ) + ( + ) 7( ) c) 6 d) 7 + e) f) g) + 0 lg 6 h) lg i) lg k) lg l),7 + 0 m) ) ( ) o) 0 p) 0, 0 +. Bereche mit dem Tscherecher ) 6 c) ) 8 d) 6. Forme um i Logrithme ) zur Bsis 8 ) ) c) 6 ) zur Bsis 0 ) 0 ) 0, 7 c) c) zur Bsis c) 8 c) 7 cc) lg 00 GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

13 Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0. Löse folgede Gleichuge ohe Tscherecher ) c) 8 ) d) 6 e) 6 f) 7 g) 6 8 h) i) k) 8 l) ( ) m) ( ) ) ( ) 6 o) 8 + p) ( 7, ) q) + + r) lg( + ) + lg lg s) + +. Löse folgede Gleichuge ch uf (we möglich ohe Tscherecher) ) ) c) 0, 6, d) 6 6 e) f) mit > 0,, + 0 g) h) lg + lg i) lg + lg + lg( ) k) l) lg () 6 GM_AU07 **** Lösuge Seite (GM_LU07) ()

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