Ein kleines Einmaleins über Mittelwertbildungen

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1 Vorlesugsergäzug zur Igeieurmathematik R.Brigola Ei kleies Eimaleis über Mittelwertbilduge Grudlage über arithmetische Mittel, geometrische Mittel, harmoische Mittel, quadratische Mittel ud das arithmetisch-geometrische Mittel Eie fudametale Idee i der Mathematik beim Umgag mit Zahle ist die Mittelwertbildug. Es gibt viele verschiedee Möglichkeite Mittelwerte zu defiiere. Eiige grudlegede Mittelwertbegriffe, die scho vor 4000 Jahre vo de Babyloier ud i der Folge vo de Grieche verwedet wurde, wolle wir im Folgede etwas beleuchte. Bereits Babyloier ud Grieche kate durchaus auch die Beziehuge dieser Mittelwertbilduge zueiader. Die Quelle der folgede Seite sid bei de Refereze am Ede agegebe. Ich empfehle sie zur ausführlichere Lektüre. Arithmetische Mittel Gegebe sei eie Folge reeller Zahle,k N. Für N heißt da die Zahl AM(, x) = das arithmetische Mittel vo x,...,x. Beispiel. Sie kaufe Güter zu de jeweilige Preise p,...,p. Der mittlere Preis/Durchschittspreis pro Gut ist da AM(, p). Frage: We für eie Folge vo Zahle gilt, dass lim = a ist, kovergiere da auch die arithmetische Mittel ud we ja, da wohi? k Satz. We lim = a ist, da gilt lim AM(, x) =a; die arithmetische k Mittel der Folge ( ) k N kovergiere also für ebefalls gege a. Beweis. We lim = a ist, da gibt es zu beliebig kleiem ε>0 ei k N N, so dass a <εfür alle k N ist (Grezwert-Defiitio). Da gilt auch (Dreiecksugleichug) AM(, x) a = (x k a) N a + a. Der erste Term der rechte Seite ist kleier als K/ für K = k=n N a +. Der zweite Term ist kleier als ( N +)ε/ < ε.für max {N,K/ε} ist also die rechte Seite kleier als 2ε, ud folglich AM(, x) a < 2ε. Das heißt, die arithmetische Mittel kovergiere für ebefalls gege a. Amerkuge. ) Die Umkehrug des Satzes ist falsch: Die Zahlefolge ( ) k, k N, hat keie Grezwert, ihre arithmetische Mittel kovergiere dagege gege Null. 2) Ma erket am Beweis, dass der Satz ebeso für komplexe Zahlefolge ud ihre arithmetische Mittel richtig ist.

2 Geometrische Mittel Gegebe sei eie Folge ichtegativer reeller Zahle, k N. Für N heißt da die Zahl GM(, x) = x x 2 x das geometrische Mittel vo x,...,x. Beispiel. Der Preis P eier Ware steige i Jahre um p % im erste Jahr, p 2 % im zweite... p % im te Jahr. Nach Jahre ist der Preis also P Π (+p k /00). Die jährliche Preissteigerugsfaktore q k =+p k /00 ergebe de mittlere Preissteigerugsfaktor Q =GM(, q)= q q 2 q. Nach Jahre mit eiem jährliche Preissteigerugsfaktor Q ergäbe sich der gleiche Preis wie bei de uterschiedliche Preissteigerugsfaktore q,..., q. Aalog erhält ma z.b. auch de Durchschittszis aus variable Zisfaktore i uterschiedliche Jahre. I de Übugsaufgabe hatte wir scho gesehe, dass stets ab (a+b)/2 für a, b 0 gilt. Eie Erweiterug dieser Ugleichug wolle wir u für mehr als zwei Faktore bzw. Summade erarbeite. Diese Erweiterug wird AGM-Ugleichug geat ud sie sagt, dass immer GM(, x) AM(, x). Das Gleichheitszeiche gilt geau da, we alle gleich sid. Die AGM-Ugleichug Der Beweis erfordert etwas Arbeit. Als Vorbereitug zeige wir zuächst eie allgemeiere Ugleichug, aus der da leicht die AGM-Ugleichug folgt. Satz. Sid x,...,x positive reelle Zahle, dere Produkt gleich ist, da gilt für ihre Summe = x x. Gleichheit gilt geau da, we x = x 2 =...= x ist. Aus dem Satz folgt zum Beispiel, dass für beliebige a, b, c > 0 immer gilt a b + b c + c a 3. Sie köe selbst ei paar weitere Beispiele überlege. Nu zum Beweis des Satzes. Beweis. Der Beweis verwedet vollstädige Iduktio. Für =2ud positive x,x 2 mit x x 2 =folgt die Ugleichug sofort aus der Tatsache, dass x =/x 2 ud x + x 2 =(+x 2 2)/x 2 2 ist, da (x 2 ) 2 0 gilt. Das Gleichheitszeiche gilt geau da, we beide Zahle gleich sid. Nu sei ageomme, dass die Ugleichug für beliebige positive x,...x gilt, dere Produkt ergibt. Wir reche u ach, dass da mit x + > 0 auch die Ugleichug x x + +richtig ist, we das Produkt x x 2 x + =ist. 2

3 Wir köe zuächst eimal voraussetze, dass x,...x + der Größe ach aufsteiged geordet sid. Gegebeefalls erreicht ma das durch Umummerierug dieser Zahle. Da defiiere wir y = x x +. Da gilt, dass das Produkt der Zahle y,x 2,...x gleich ist ud ach Iduktiosvoraussetzug y + x 2 + x x = x x + + x x = x +...x + x + + x x + x x +. Addiert ma auf beide Seite der Ugleichug och ud fasst da auf der rechte Seite zusamme: da hat ma x x + x x + +=(x )(x + ), + x x + +(x )(x + ). Da u ach userer Aordug x ei Miimum ud x + ei Maximum der +Zahle ist, dere Produkt aber gleich ist, muss gelte x x +! (Es köe icht alle < oder alle > sei, we ihr Produkt gleich ist.) Das heißt aber, dass (x )(x + ) 0 ist, ud daher folgt erst recht die Ugleichug + x x +. Gleichheit ergibt sich höchstes, we (x )(x + ) = 0, also x = oder x + = ist. Da ergibt aber das Produkt der restliche Zahle bereits ud der zweite Teil der Behauptug folgt da wieder aus der Iduktiosvoraussetzug. Beispiel. Für beliebige a, b, c > 0 folgt etwa log a (b) + log b (c) + log c (a) 3. Nu köe wir die AGM-Ugleichug sehr leicht erhalte: Satz. Für alle ichtegative reelle Zahle x,...,x ist das geometrische Mittel ie größer als ihr arithmetisches Mittel: GM(, x) AM(, x). Gleichheit gilt geau da, we alle Zahle gleich sid. Beweis. Ist eie der Zahle Null, da gilt die Ugleichug trivialerweise. Seie daher u alle Zahle positiv. Ma betrachte da die Zahle x /GM(, x),...,x /GM(, x). Ihr Produkt ist. Die AGM-Ugleichug folgt u durch eifaches Umstelle der Ugleichug des voragehede Satzes x GM(, x) x GM(, x). Beispiele. ) Für =2war die AGM-Ugleichug i ihrer geometrische Iterpretatio scho i de älteste Kulture der Meschheit, d.h. seit etwa 4000 Jahre, bekat: Der Flächeihalt eies Rechtecks vo gegebeem Umfag wird für das Quadrat am größte. 3

4 2) Mit der AGM-Ugleichug erket ma leicht, dass uter alle Quader mit gleicher Summe der Kateläge der Würfel das größte Volume hat. 3) Bereits i eier vorhergehede Vorlesugsergäzug hatte wir gesehe, dass die Fakultäte!, N, scheller wachse als 3(/3) : ( ) 3! 3 Aus der AGM-Ugleichug folgt sofort eie Abschätzug ach obe: ( ( ) +! k) =. 2 4) Wir betrachte die Folge. Die wachse, währed adererseits die -te Wurzel wiederum verkleier. Was ist für das Ergebis dieser gegeläufige Prozesse? Bei der Atwort hilft die AGM-Ugleichug: Ma schreibt die Zahl als Produkt vo mit 2 Eise ud erhält =( ) / < < + 2. Also 0 < < 2 für >, da da stets > ist. Da die rechte Seite für gege Null kovergiert, folgt mit dem Sadwich-Theorem, dass gilt lim =. 5) Wurzelabschätzug:Für positives a, 2 ud p<ist ap < + p (a ), isbesodere a<+ a. Zum Nachweis ergäzt ma a p durch p Eise zu eiem Produkt mit Faktore ud erhält ap = a p < pa + p =+ p (a ). Satz. We lim = a ist ud alle > 0 sid, da kovergiere auch die k geometrische Mittel der Folge ( ) k N für gege de Grezwert a: lim GM(, x) =a Beweis. ) Sei a > 0. Wir verwede die Stetigkeit der Expoetial- ud der Logarithmusfuktio ud die Defiitio der W urzelf uktioe mittels Expoetialfuktio. Diese Fakte werde im Vorlesugsteil über Reihe ud die damit begrüdete Elemetarfuktioe erarbeitet. Da x a für folgt mit der Stetigkeit der Logarithmusfuktio l(x ) l(a) ud damit l( ) l(a) wege der Kovergez der arithmetische Mittel für. Da gilt aufgrud der Stetigkeit der Expoetialfuktio auch x x 2 x = e l(xk) e l(a) = a für. 4

5 2) Für a =0ka ma icht wie obe argumetiere. I diesem Fall gilt aber 0 x x 2 x. Da kovergiere also die geometrische Mittel ebeso wie die arithmetische gege Null ( Sadwich-Theorem, Vorlesugsteil über Grezwertregel, Nr. 3) auf S. des Skriptums). Die Umkehrug des Satzes ist falsch: Betrachte Sie dazu als Beispiel die divergete Folge a = 4,a 2 = 5,a +2 = a für Ihre geometrische Mittel kovergiere gege / 20. Harmoische Mittel Gegebe sei eie Folge positiver Zahle, k N.Für N heißt da die Zahl HM(, x) = das harmoische Mittel vo x,...,x. Beispiel. A verschiedee Stelle koste eie Ware pro Megeeiheit jeweils p,...,p Euro. We ma a jeder Stelle für de gleiche Betrag B eikauft (etwa Bezi zu verschiedee Preise pro Liter), da ist der Durchschittspreis pro Megeeiheit B/(B/p + B/p B/p ), also das harmoische Mittel HM(, p) der Eizelpreise. Aalog dazu ist etwa die Durchschittsgeschwidigkeit, we Sie -mal immer die gleiche Strecke mit uterschiedliche kostate Geschwidigkeite v,...,v fahre, das harmoische Mittel HM(, v) dieser Geschwidigkeite. Ma rechet so schell aus, dass Raserei beim Fahre kaum hohe Durchschittsgeschwidigkeite ergibt, we ma auch immer wieder mal lagsamer fahre muss! Die harmoische Mittel wurde scho vo de alte Grieche zur Etwicklug der Musiktheorie verwedet. Leseswert dazu ist die Arbeit vo H. Hischer [3]. Wieder ist die Frage ach der Größe im Vergleich zu de bisher besprochee Mittelwerte iteressat. Satz. Für positive reelle Zahle x,...,x gilt stets HM(, x) GM(, x) gilt, ud Gleichheit gilt geau da, we alle gleich sid. Beweis. Die Aussage folgt sofort aus der AGM-Ugleichug durch Umstelle der Ugleichug. x x 2 x Für kovergete Folge positiver Zahle habe wir die folgede Grezwertaussage: Satz. We lim = a ist ud alle > 0 sid, da kovergiere auch die k harmoische Mittel der Folge ( ) k N für gege de Grezwert a: lim HM(, x) =a. Beweis. a>0: x a = /x /a = a für. 5 a =

6 a =0: Der Grezwert folgt wieder aus dem Sadwich-Theorem, da alle HM(, x) 0 sid. Auch hier ist die Umkehrug des Satzes falsch: Betrachte Sie dazu zum Beispiel die divergete Folge x = 2,x 2 = 3,x +2 = x für +2 3 mit HM(, x) 2/5. Babyloier, Grieche ud der Blues Bezeiche u für x, y > 0 die Zahle A(x, y),g(x, y),h(x, y) ihr arithmetisches, geometrisches bzw. harmoisches Mittel, so habe wir A(x, y) H(x, y) =x y = G(x, y) 2. Umgeformt ergibt sich die vo de alte Grieche als musikalische Proportio oder auch als vollkommee oder goldee Proportio bezeichete Gleichug (vgl. [3]) x A(x, y) H(x, y) =. y Bereits die Babyloier hatte dieses Wisse, bevor Pythagoras auf seie Reise ach Mesopotamie davo Ketis erlagt hat. Ma ka diese musikalische Proportio mit Saiteistrumete physikalisch realisiere: Bezeichet l = x eie Saiteläge, x 4 = l/2, x 2 = A(x 4,l)= 3 4 l, x 3 = H(x 4,l)= 2 3 l, ud greift ma etwa auf eier Gitarresaite der Läge l (etwa mit dem To E) acheiader so, dass die schwigede Saite die Läge x, da x 2, da x 3, da x 4 hat, da erkligt mit wachsede Tohöhe als Arpeggio die Kadez mit Toika, Subdomiate, Domiate, Toika oktaviert (etwa E, A, H, E). Die Proportioe x 2 = A(l/2,l) x l = 3 4 ud x 4 x 3 = l/2 H(l/2,l) = 3 4 sid gleich ud die Tohöhe mit Saiteläge des jeweilige Zählers ud Neers ergebe i beide Fälle eie Quartabstad. Etspreched ergebe die Proportioe x 3 /x ud x 2 /x 4 Quitabstäde. Die Akkorde über de Töe bilde die klassische Dur-Akkord-Kadez ud ergebe die wohl meistgebrauchte Akkordfolge i der westliche Volksmusik, beim Blues oder i der Rockmusik. Ma ka die verwedete Mittel durch Strecke i eiem Kreis geometrisch veraschauliche (Prüfe Sie das mit dem Höhe- ud dem Kathedesatz aus der Euklidische Geometrie). Die Graphik ist der zitierte Arbeit [3] etomme. Sie geht bereits auf de griechische Mathematiker Pappus vo Alexadria (3. Jh.. Chr.) zurück: 6

7 Babyloisches Wurzelziehe De babyloische Algorithmus zur Wurzelapproximatio ka ma folgedermaße verstehe: Gesucht werde die Wurzel eier positive Zahl a. Dazu betrachte ma eie multiplikative Zerlegug vo a der Form a = x 0 y 0 mit 0 <x 0 < a< y 0. Da ist die gesuchte a das geometrische Mittel der Zahle x 0 ud y 0 : a = G(x0,y 0 ). Eie solche Zerlegug lässt sich immer fide: Ist a> wähle ma etwa x 0 =, y 0 = a, ist a< wähle ma etwa x 0 = a ud y 0 =. Nu defiiert ma für + mit dem harmoische Mittel H(x,y ) ud dem arithmetische Mittel A(x,y ) die Folgeglieder Es gelte die Ugleichuge x + = H(x,y ) ud y + = A(x,y ). 0 <A(x,y ) H(x,y ) <A(x,y ) x = 2 (y x ) ud für alle N wieder G(x,y )= a. (Nach wie vor ka G(x,y ) icht eifach ausgerechet werde, soder soll ja erst ageähert werde.) Wege y + x + =(y x ) 2 /(2(y + x )) < (y x )/2 ud damit y x < y 0 x 0 2 kovergiere also sowohl die x als auch die y gege die gesuchte a (wieder ach dem Sadwich-Theorem). Aus x y = a, also x = a/y erhält ma da auch die bekate Rekursio für die Wurzelapproximatio y + = ) (y + ay. 2 Diese Form des etschachtelte babyloische Algorithmus wird Hero vo Alexadria (. Jh.. Chr.) zugeschriebe (vgl. [3]). Quadratische Mittel Gegebe sei eie Folge reeller Zahle, k N. Für N heißt da die Zahl QM(, x) = x 2 k das quadratische Mittel vo x,...,x. Die Lage des quadratische Mittels im Vergleich zu de bisher behadelte adere Mittel zeigt Satz. Für beliebige reelle Zahle x,...,x gilt stets QM(, x) AM(, x). Beweis. Mit vollstädiger Iduktio: x (x 2 )/2 = x. Die Ugleichug sei u richtig für x,...,x. Ist das arithmetische Mittel AM(, x) < 0 ist die Ugleichug richtig. Daher sei u ageomme, dass AM(, x) 0 ist. 7

8 Da gilt ach Iduktiosvoraussetzug die etsprechede Ugleichug auch für die Quadrate der vorkommede Mittelwerte ud wir habe: Nu folge die Ugleichuge x 2 k ( ) ( x + ) 2 (x 2 k 2x + + x 2 + ) x 2 k 2x + +x 2 ++ ( ) 2 x 2 k +x 2 + x 2 + Auf der rechte Seite habe wir die Voraussetzug verwedet, dass der Ausdruck i der eckige Klammer 0 ist (siehe weiter obe). Die rechte Seite ist also durch usere hizugefügte Summmade höchstes größer geworde. Durch Zusammefasse ergibt sich u: ( + + ) 2 ( ) 2 0 ( +) x 2 k + x +. Da das Quadrat der letzte Klammer auf der rechte Seite 0 ist, folgt (durch weitere Additio dieses Terms zur rechte Seite) erst recht + 0 ( +) x 2 k ( + ) 2. Umstelle ud Awede der (mooto wachsede) Wurzelfuktio ergibt die behauptete Relatio zwische quadratische ud arithmetische Mittel: AM(, x) QM(, x). Bei kovergete Folge ergibt sich auch die Kovergez der quadratische Mittel: Satz. We lim = a ist, da kovergiere die quadratische Mittel der k Folge ( ) k N für gege de Grezwert a : lim QM(, x) = a. Der eifache Beweis sei Ihe als kleie Übug diesmal selbst überlasse. Auch hier ist die Umkehrug des Satzes falsch: Betrachte Sie =( ) k für k N. Wie bei alle adere besprochee Mittelbilduge ka ma also Kovergez im Mittel selbst für divergete Folge oft och erreiche. Diese Beobachtuge sid Ausgagspukt für eie gaze Limitierugstheorie für Folge als mathematisches Teilgebiet. Es gibt vielfältige Aweduge quadratischer Mittel (Eglish: Root mea square) i Wisseschaft, Techik ud Wirtschaft. Eie der bekateste Aweduge ist zuächst der Begriff des mittlere Fehlers i der Statistik oder i der Messtechik: 8

9 Hat ma (z.b. aus Messuge eier physikalische oder statistische Größe) reellwertige Messwerte/Stichprobe x,...,x, da bezeichet ma ( x) 2 als mittlere (quadratische) Fehler, wobei x für das arithmetische Mittel der steht ud oft aufgrud der Stichprobe als Schätzwert für die utersuchte Größe diet. Dieser mittlere Fehler ist also das quadratische Mittel der Abweichuge ( x) vom Schätzwert. Auch die sogeate Stadardabweichug (x k x) 2 ist ei beim Vorfaktor leicht modifiziertes quadratisches Mittel. Beide Mittelwertbilduge werde als Fehlermaß für die Schätzug x vielfach verwedet (Stichworte: Maximum- Likelihood-Schätzug ud erwartugstreue Schätzug). Es gibt zahlreiche adere Möglichkeite, Mittelwerte eizuführe, zum Beispiel gewichtete Mittel der Form AM g (, x) =(g x + g 2 x g x )/(g + g g ) oder M g (, x) =(x g x g 2 2 x g ) /(g +...+g ). Auch hier ka ma für positive ud g k zeige, dass aalog zur AGM- Ugleichug allgemeier gilt (ausgeführt etwa bei F. Erwe []): M g (, x) AM g (, x). Sie werde mehr dazu lere köe, we Sie eimal eie Statistik- oder Mathematik-Vorlesug i eiem höhere Semester besuche. Aaloge Begriffsbilduge für Mittelwerte vo Fuktioe a Stelle vo Zahlefolge sid ebeso vo gaz grudsätzlicher Bedeutug i Wisseschaft ud Techik. Für eie reellwertige, itegrierbare Fuktio f :[a, b] R bezeichet ma aalog zum arithmetische Mittel die Größe f(t)dt als Mittelwert b a a vo f auf dem Itervall [a, b] ( Beispiel: Gleichspaugsateil eies (b a)- periodische Spaugsverlaufs f(t)). Etspreched ist b f(t) b a 2 dt a das quadratische Mittel vo f auf [a, b]. Der letzte Begriff ka auch für komplexwertige Fuktioe verwedet werde (deshalb sid die Betragstriche beim Itegrade gesetzt). Mit dem quadratische Mittel lasse sich Begriffe wie Leistug oder Effektivwert zeitbegrezter oder periodischer Sigale (z.b. Spaugsverläufe) eiführe ud vieles mehr. Im zweite Semester wird gezeigt, wie grudleged diese ud adere ähliche Mittelbilduge für die Etwicklug derjeige Mathematikteilgebiete sid, ohe die ei Gebiet wie die Elektrotechik oder adere Igeieurdisziplie garicht hätte etstehe köe. 9 b

10 Das arithmetisch-geometrische Mittel Das arithmetisch-geometrische Mittel (kurz AGM) wird folgedermaße defiiert: Gegebe seie 0 <a<b. Ma bildet zwei Folge, die ma rekursiv defiiert: Es gilt a 0 = a, b 0 = b, a + = a b, b + = a + b. 2 0 <a 0 a... a a + b + b... b b 0. Der Beweis war Übugsaufgabe. Die Folge der a etsteht aus geometrische Mittel, die der b aus arithmetische Mittel. Da also (a ) N mooto wächst ud ach obe (etwa durch b 0 ) beschräkt ist, gibt es eie Grezwert A dieser Folge. Aalog gibt es eie Grezwert B der Folge (b ) N. Aus de Grezwertregel folgt lim a + = A = lim a b = AB. Hieraus folgt A = B. Beide Folge habe deselbe Grezwert. Defiitio. Der wie obe defiierte Grezwert A heißt das arithmetisch-geometrische Mittel vo a ud b, otiert durch AGM(a, b). Es gelte a + b ab AGM(a, b) 2 ud AGM(αa, αb) = αagm(a, b) für α, a, b > 0,a < b. (Beweis als Übug!) Es gibt wichtige Aweduge des AGM. Es wurde vo C.F. Gauß ( ) bereits im Alter vo 23 Jahre verwedet, um sogeate elliptische Itegrale zu bereche, die bei der Berechug vo Bogeläge vo Lemiskate oder bei Frage vo Gravitatioskräfte elliptisch verteilter Masse eie Rolle spiele. Diese Fragestelluge führe aber weit über das hier gesteckte Ziel eies kleie Eimaleis zu Mittelwerte hiaus, das wir daher hier beede. Bei Iteresse a Vertiefuge ud detailliertere Ausführuge empfehle ich zur weitere Lektüre die folgede Quelle, die ich verwedet habe. Refereze. [] F. Erwe Differetial- ud Itegralrechug I, Bibliographisches Istitut, Maheim 969 [2] H.-G. Gräbe Eiige wichtige Ugleichuge, 997, Dowload vo [3] H. Hischer 4000 Jahre Mittelwertbildug, math. did. 25 (2002) Bad 2 [4] P. Korovki Ugleichuge, Dt. Verlag der Wisseschafte, Berli 970, Schülerbücherei, Bad 9 [5] W. Walter Aalysis, Spriger Verlag, 6. Auflage, Berli 200 0

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

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