Erfolgszielorientierte Agentenallokation in Inbound Call Centern

Transkript

1 Erfolgszielorientierte Agentenallokation in Inbound Call Centern Stefan Helber, Raik Stolletz und Sophie Hermann Technische Universität Clausthal, Institut für Wirtschaftswissenschaft Julius-Albert-Str. 2, Clausthal-Zellerfeld September 22 Zusammenfassung In einem Inbound Call Center muß die Anzahl der eingesetzten Agenten im Zeitablauf dem zeitlich schwankenden Anrufaufkommen angepaßt werden. In der Praxis werden vielfach einzelne Halbstundenintervalle isoliert betrachtet, und man ermittelt eine solche Anzahl von Agenten, bei der die Wartezeit der Anrufer auf einen Agenten gerade unter einer vorgegebenen Schranke bleibt. In diesem Aufsatz wird dagegen die Frage nach einer gewinnmaximierenden Allokation der Agenten z.b. über eine ganze Woche gestellt und beantwortet. Dabei zeigt sich, daß neben der Anzahl eingesetzter Agenten auch die Anzahl angebotener Wartepositionen eine wichtige Entscheidungsvariable ist und daß eine gewinnmaximierende Agentenallokation auch die Art der verwendeten Servicerufnummer berücksichtigen muß. Die Analyse numerischer Ergebnisse macht ferner deutlich, daß es in bezug auf das Gewinnziel sinnvoll ist, eine im Zeitablauf schwankende mittlere Wartezeit bewußt einzuplanen, was durch die gegenwärtig eingesetzte Software zur Personaleinsatzplanung nicht gewährleistet werden kann. 1 Einführung In einem Inbound Call Center bearbeiten sogenannte Agenten die von außen eingehenden Anrufe der Kunden. Derartige Call Center sind mittlerweile als Instrument der Kundenbetreuung insbesondere im Handel, bei Banken und bei Versicherungen weit verbreitet, sie finden sich aber auch in zahlreichen anderen Bereichen des privaten und des öffentlichen Sektors. Im Jahr 21 waren in Deutschland ca Agenten in ca. 29 Call Centern beschäftigt, bei weiter stark wachsender Tendenz (o.v. (21)). Die Kosten in einem Call Center bestehen zu ca. 6-7% aus Personalkosten (Henn et al. (1998, S.119)), die vielfach kurzfristig disponibel sind. Da die im Call Center erbrachten Leistungen nicht lagerfähig sind, kommt es entscheidend darauf an, den Personaleinsatz in seiner zeitlichen Struktur an die von außen in dem Call Center eingehenden Anrufe anzupassen. Setzt man zu wenige Agenten in einem Zeitabschnitt (d.h. einer Periode des Planungszeitraums) ein, so sind diese überlastet, die Wartezeiten lang und viele Anrufer können keinen Agenten erreichen. Zu viele Agenten führen zwar zu einem guten Service in bezug 1

2 auf die Wartezeiten der Anrufer, aber über die niedrige Auslastung auch zu hohen (Personal-)Kosten je bedientem Anrufer. In der kommerziell verfügbaren Software zur Personaleinsatzplanung wird nun vielfach so vorgegangen, daß man auf der Grundlage eines prognostizierten Anrufaufkommens für einen gegebenen Zeitabschnitt von z.b. 3 Minuten Dauer nach der minimalen Anzahl von Agenten sucht, mit der man ein Maß der Wartezeit der Anrufer auf einen Agenten gerade noch unter einer vorgegebenen Schranke halten kann. Man strebt also trotz zeitlich schwankender Belastung des Systems einen in allen Perioden gleich guten Service bezogen auf die Wartezeiten an. In diesem Aufsatz wird dagegen eine andere Perspektive eingenommen. Vielfach lassen sich dem Betrieb eines Call Centers vergleichsweise leicht Erfolgswirkungen auf Zahlungs- oder Kostenbasis zuordnen. Dann bietet es sich auch an, nach der gewinnmaximierenden Agentenallokation zu suchen und gewissermaßen als Nebenprodukt der gewinnmaximierenden Agentenallokation auch die entsprechenden Wartezeitmaße zu ermitteln, die sich nun als zeitvariant herausstellen. Mit erfolgszielorientierten und periodenübergreifenden Ansätzen der Agentenallokation in Inbound Call Centern beschäftigen sich vergleichsweise wenige Autoren. Duder und Rosenwein (21) analysieren den Trade-Off zwischen den Kosten des Einsatz von Agenten und den vom Call Center-Betreiber getragenen Telefonkosten wartender Anrufer. Die Ungeduld der Kunden wird hier jedoch nicht direkt im bedientheoretischen Modell des Call Centers abgebildet, sondern über eine Regressionsrechnung aus empirischen Daten abgeleitet (Andrews und Parsons (1993)). Kosten- und Erlösfunktionen für Inbound Call Center werden in Brigandi (1995, S. 196ff) in einem simulationsbasierten Ansatz des mittelfristig orientierten Call Center-Entwurfs betrachtet. Hier werden jedoch ausschließlich solche Call Center betrachtet, bei denen die Erlöse abhängig sind von der Anzahl bedienter Anrufer (im Gegensatz zu dem praktisch ebenfalls wichtigen Fall, daß auch wartende Anrufer zu Erlösen führen). Diverse periodenübergreifende Ansätze der Agentenallokation stellt Thompson (1997) dar. Diese sind jedoch zum einen nicht erlösorientiert und bauen zum anderen auf einem nach unserer Auffassung nicht sinnvollen bedientheoretischen Modell des Call Centers auf, das von der Ungeduld der Anrufer und der begrenzten Anzahl an Warteplätzen abstrahiert. Aus diesem Grund entwickeln wir im folgenden zwei verschiedene gewinnorientierte Optimierungsmodelle der intertemporalen Agentenallokation, die auf einem realistischeren Modell des Call Centers aufbauen und die sich für praxisgerechte Problemgrößen numerisch leicht lösen lassen. Der Aufsatz ist folgendermaßen aufgebaut: Im zweiten Abschnitt wird die grundlegende Vorgehensweise der Personaleinsatzplanung analysiert, wie sie in der Praxis gegenwärtig vielfach anzutreffen ist. Die Kritik dieser Vorgehensweise führt im dritten Abschnitt auf ein geeigneteres Modell des Call Centers und auf Kenngrößen zur aggregierten Leistungsanalyse. Der vierte Abschnitt befaßt sich dann mit Tarifmodellen für Servicerufnummern und den sich daraus ergebenden Optimierungskalkülen für die operative Agentenallokation. Im fünften Abschnitt wird schließlich zunächst die Grundstruktur eines Optierungsverfahrens erläutert und es werden anschließend numerische Ergebnisse diskutiert, die einen Einblick in die Struktur einer gewinnorientierten Agentenallokation erlauben. Der letzte Abschnitt faßt die Ergebnisse zusammen und gibt einen Ausblick auf offene Fragen. 2

3 2 Gegenwärtige Praxis der Personaleinsatzplanung in Inbound Call Centern Die operative Personalbedarfsermittlung und -einsatzplanung erfolgt in der Regel in den folgenden drei Schritten: 1. Prognose des Anrufaufkommens je Periode (häufig 3- oder 6-Minutenintervall) 2. Ermittlung der erforderlichen Zahl von Agenten je Periode für einen vorgegebenen Servicegrad hinsichtlich der Wartezeit 3. Zeitliche Einplanung der Mitarbeiter über die Perioden (oder zeitliche Einplanung anonymer Schichten mit anschließender Zuordnung der Mitarbeiter zu den Schichten) An die Personaleinsatzplanung im Schritt 3 schließt sich noch eine Echtzeit- Steuerung an, in der in Abhängigkeit des aktuellen Systemzustandes z.b. die Toilettenpausen der Agenten, Besprechungen oder Trainingsmaßnahmen zeitlich festgelegt werden. Im ersten Schritt, der Prognose, ist ein Anrufaufkommen vorherzusagen, das zwar innerhalb eines Tages oder einer Woche hochgradig variabel ist, dabei aber häufig wiederkehrende Muster aufweist. Die Datengrundlage für die Prognose wird dabei in der Regel u.a. von der automatischen Anrufverteilungsanlage (Automatic call distribution (ACD)-Anlage) geliefert, die auf Basis einzelner Perioden die folgenden historischen Daten zur Verfügung stellt: Zahl der eingegangenen Anrufe Zahl der bearbeiteten Anrufe (die also nicht aufgelegt haben) Verteilungsmaße der Wartezeiten Verteilungsmaße der Gesprächsdauern Darüber hinaus kann der Telekommunikationsdienstleister noch die Information zur Verfügung stellen, wieviele Anrufe nicht im Call Center eingehen konnten, weil alle Leitungen belegt waren und die Anrufer das Besetztzeichen erhielten. Die Möglichkeit, aufgrund der historischen Daten eine präzise Prognose des zukünftigen Anrufaufkommens zu errechnen, hängt zum einen davon ab, inwieweit es gelingt, Sondereinflüsse wie Ferien, Feiertage, Werbemaßnahmen und derlei mehr in dem Prognosemodell zu berücksichtigen. Zum anderen hängt die erreichbare Prognosegüte aber auch davon ab, wie groß die Wartezeiten der Anrufer in der Vergangenheit waren: Wenn die Wartezeiten von den Anrufern als zu lang empfunden werden, so legen sie u.u. auf und rufen möglicherweise zu einem späteren Zeitpunkt nochmals an. In diesem Fall ist also die Anzahl der beobachteten Anrufe größer als sie es bei geringeren Wartezeiten und weniger Auflegern gewesen wäre. Die Abbildung 1 zeigt das realisierte Anrufaufkommen in den Call Centern des Auskunftsdienstes der Deutschen Telegate AG vom und verschiedene Prognosen für diese Perioden. Man erkennt, daß das Anrufaufkommen in den frühen Morgenstunden fast auf Null abfällt, um dann am späten Vormittag bis auf 3

4 2 Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag beobachtete und prognostizierte Anrufe : 12: : 12: : 12: : 12: : 12: : 12: : 12: Zeit beobachtete Anrufe ARIMA(,,1)(,1,1)^336 Mittelwerte Exponentielle Glättung 1. Ordnung Abbildung 1: Anrufaufkommen und Prognose in Halbstundenintervallen fast 2. Anrufe innerhalb eines Halbstundenintervalls anzusteigen. Die Abbildung zeigt auch deutlich die Auswirkung der Mittagspausen und des Wochenendes. Relativ einfach ist eine Prognose durch gleitende Mittelwerte oder eine exponentielle Glättung erster Ordnung auf Basis korrespondierender Zeitabschnitte, also z.b. für die Zeit von Montag, 11:-11:3 Uhr auf der Basis der Beobachtungen in diesem Zeitabschnitt in den vergangenen Wochen. Zieht man aufwendigere ARIMA-Methoden heran (vgl. Box et al. (1994)), so erhält man bessere Ergebnisse (Hauenschild (2), Helber und Stolletz (21)). Jedes Prognoseverfahren führt zu Prognosefehlern, deren Mittelwert bei Verwendung eines geeigneten Prognosemodells nahe Null sein sollte. Wenn die Verteilung der Prognosefehler zudem symmetrisch ist, so wird man also in ca. 5% der Fälle das tatsächliche Anrufaufkommen über- und in den anderen 5% unterschätzen. Nach unserem Eindruck wird in der Praxis den Prognosefehlern kaum Beachtung geschenkt und man verwendet den prognostizierten Wert des Anrufaufkommens als Basis der Personalbedarfsermittlung. Bei sicherheitsrelevanten Diensten ist u.u. eine Wahrscheinlichkeit von 5%, das Anrufaufkommen zu unterschätzen, nicht zu tolerieren. In dieser Situation kann man bei normalverteilten Prognosefehlern den Prognosewert um ein geeignetes Vielfaches der Standardabweichung der Prognosefehler für diesen Periodentyp vergrößern und damit die Wahrscheinlichkeit verringern, daß man das Anrufaufkommen unterschätzt. (Konzeptionell ähnelt dies der Bestimmung des Bestellpunktes einer (s, q)-lagerhaltungspolitik in Abhängigkeit des Mittelwertes und der Standardabweichung des Bedarfs in der Wiederbeschaffungszeit zur Wahrung eines vorgegebenen β-servicegrades, vgl. Küpper und Helber (1995, S ).) Im folgenden sei daher unterstellt, daß es gelingt, das Anrufaufkommen für eine Woche hinreichend präzise zu prognostizieren und daß daher die Anzahl der erwarteten Anrufe als gegeben angesehen werden kann. 4

5 Wenn man für eine gegebene zukünftige Periode die Zahl der zu erwartenden Anrufe prognostiziert hat, so ist anschließend für diese Periode die Anzahl der einzusetzenden Agenten zu bestimmen. Diese soll so bestimmt werden, daß die zufälligen Wartezeiten der Anrufer in ihrer Gesamtheit ein vorgegebenes Maß nicht überschreiten. Die in der Praxis eingesetzte Personaleinsatzplanungssoftware zieht dazu regelmäßig das sogenannte M/M/c-(oder Erlang-C -) Warteschlangenmodell heran, mit dem ex ante unter bestimmten Annahmen zum einen die Wahrscheinlichkeit P(W τ), daß die zufällige Wartezeit W nicht länger als τ Zeiteinheiten ist, und zum anderen die mittlere Wartezeit E[W ] der Anrufer berechnet werden kann. Man unterstellt in diesem Modell, daß in dem Call Center Anrufe mit der Rate λ eingehen und jeder der c identischen Agenten Anrufe mit der Rate µ bearbeitet. Die Zwischenankunftszeiten seien ebenso wie die Bearbeitungszeiten unabhängig exponentialverteilt, der Warteraum unendlich groß und alle Anrufer geduldig. Unter diesen Bedingungen ist das System stabil in dem Sinn, daß die Anzahl der Anrufer im System nicht über alle Grenzen steigt, wenn die Anrufrate λ strikt kleiner ist als die kombinierte Bearbeitungsrate (oder -geschwindigkeit) cµ aller c Agenten: λ < cµ (1) Für Agentenzahlen c, die diese Bedingung erfüllen, kann man die folgende Wahrscheinlichkeit berechnen, daß die zufällige Wartezeit W nicht größer ist als eine vorgegebene Schranke τ (s. Gross und Harris (1998, S. 69ff.)): P(W τ) = 1 ac c! ( c c 1 a n c a n! + ac c! n= ) 1 c e µ(c a)τ (2) c a Dabei stellt a = λ das Arbeitsvolumen in der dimensionslosen Einheit Erlangs dar. µ Auf viele Inbound Call Center, treffen die Annahmen des Erlang-C-Modells eher nicht zu, weil sie z.b. mehrere Klassen von Anrufern oder Agenten aufweisen, der Warteraum beschränkt ist oder die Anrufer ungeduldig sind. Dennoch können in einem ersten Schritt grundlegende Zusammenhänge auf der Basis dieses einfachsten Modells in konzeptionell klarer Weise erläutert werden. Aus diesem Grund wird im weiteren zunächst mit diesem Grundmodell gearbeitet, anschließend werden einige Annahmen etwas realitätsnäher ausgestaltet. Die praktische Anwendung von Formel (2) läßt sich leicht an dem Beispiel eines Call Centers mittlerer Größe demonstrieren, in welchem innerhalb von 3 Minuten 3 Anrufe eingehen (oder 1 Anrufe pro Minute) mit einer mittleren Gesprächsdauer von 59 Sekunden bzw. einer Bearbeitungsrate von 6 Anrufen pro Minute. Die 59 Arbeitslast in diesem System beträgt a = 1 59 = 98.3, so daß gemäß Gleichung 6 (1) mindestens 99 Agenten eingesetzt werden müssen, wenn die Warteschlangen nicht über alle Grenzen wachsen sollen. Man interessiert sich für den Anteil der Anrufer, der innerhalb von z.b. fünf Sekunden angenommen werden kann. Mit Formel 5

6 Zwei Call Center mit einer Arbeitslast von Erlangs 1 Anrufer innerhalb des Wartezeitlimits [%] Mittlere Gesprächsdauer 59 Sekunden Mittlere Gesprächsdauer 59 Sekunden Anzahl Agenten Abbildung 2: Service vs. Agentenzahl in mittelgroßen Call Centern Zwei Call Center mit einer Arbeitslast von Erlangs 1 Anrufer innerhalb des Wartezeitlimits [%] Mittlere Gesprächsdauer 59 Sekunden Mittlere Gesprächsdauer 59 Sekunden Auslastung der Agenten [%] Abbildung 3: Service vs. Auslastung in mittelgroßen Call Centern 6

7 (2) kann nun ausgerechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit dies gelingt bei einer gegebenen Agentenzahl c. Dieser Zusammenhang ist in der oberen Kurve der Abbildung 2 dargestellt. Bei Kenntnis dieses Zusammenhangs kann man also für jede geforderte Wartewahrscheinlichkeit P(W τ) die notwendige Agentenzahl bestimmen. Die Abbildung 3 stellt in der oberen Kurve den Zusammenhang zwischen der Auslastung der Agenten und dem Service dar. Setzt man nur 99 Agenten ein, so sind diese zwar zu über 99% ausgelastet, aber nur ca. 13% der Anrufer erreichen innerhalb von fünf Sekunden einen Agenten. Möchte man dagegen, daß 99% der Anrufer innerhalb von fünf Sekunden einen Agenten erreichen, so benötigt man 117 Agenten, die dann zu ca. 84% ausgelastet sind. Der Wartezeiten-Auslastungs-Tradeoff hängt neben dem Arbeitsvolumen a = λ µ (siehe dazu Helber und Stolletz (21)) auch von der mittleren Gesprächsdauer T b bzw. der Bearbeitungsrate µ = 1 T b ab. Dazu sei nun in einem zweiten Fall unterstellt, daß ein Gespräch im Mittel 1 59 = 59 Sekunden dauere und 1 = 1 1 Anrufe pro Minute im Call Center eingingen. Die Arbeitslast in diesem zweiten Fall beträgt dann weiterhin 1 59 = 98.3 Erlangs. Die unteren Kurven in den Abbildungen 2 und 3 stellen den Zusammenhang zwischen Wartezeiten, Auslastung 6 und Agentenzahl für den Fall der längeren Gesprächsdauer dar. Man erkennt, daß das Call Center mit der kürzeren Gesprächsdauer bei gleicher Arbeitslast kürzere Wartezeiten bietet. Im zweiten Fall sind 123 Agenten erforderlich, um 99% der Anrufer innerhalb von fünf Sekunden an einen Agenten zu vermitteln. Vergleicht man die beiden Kurven in Abbildung 2, so kann man den Eindruck gewinnen, daß die Wartezeiten der Anrufer nicht sehr stark steigen, wenn man die Gesprächsdauer verzehnfacht und gleichzeitig die Anruferzahl entsprechend reduziert, um eine gleiche Arbeitslast zu realisieren. Betrachtet man dagegen die mittlere Wartezeit E[W ], so zeigt sich ein anderes Bild. Die Formel für die mittlere Wartezeit des M/M/c-Modells (Gross und Harris (1998, S. 7-71)) E[W ] = a c c!c(1 a c )2 1 c 1 T a n b (3) n= + ac n! c!(1 a c ) mit der Arbeitslast a = λ als Verhältnis der Anruf- zur Bearbeitungsrate zeigt, daß µ die mittlere Wartezeit E[W ] proportional zur mittleren Gesprächsdauer T b = 1 ist µ für eine gegebene Arbeitslast a und eine gegebene Agentenzahl c. Wird also bei gleicher Auslastung der gleichen Zahl von Agenten die mittlere Gesprächsdauer verzehnfacht, so verzehnfacht sich auch die mittlere Wartezeit. Dies deutet darauf hin, daß die mittlere Wartezeit der bedienten Anrufer E[W ] in Gleichung (3) als Servicemaß aussagekräftiger ist als die Wartewahrscheinlichkeit P(W τ) aus Gleichung (2), da in dem Mittelwert Informationen über die gesamte Verteilung verdichtet werden. Aus diesem Grund wird im folgenden die Wartewahrscheinlichkeit P(W τ) im Gegensatz zur gängigen Praxis nicht weiter als Maßgröße der Wartezeit betrachtet. Wenn man in der gegenwärtig eingesetzten Personaleinsatzplanungssoftware auf diese Weise für jedes 3-Minuten-Intervall die Anzahl der benötigten Agenten ermittelt hat, versucht man im letzten Schritt, die tatsächlich verfügbaren Agenten zeitlich so einzusetzen, daß man diesem Personalbedarf möglichst gut folgt. 7

8 Analysiert man diese Vorgehensweise aus betriebswirtschaftlicher Sicht, so fällt folgendes auf: Die Planung basiert auf einem unzureichenden Modell des Bediensystems. Insbesondere wird nicht berücksichtigt, daß die Anzahl der Telefonleitungen in einem Call Center begrenzt ist und daher manche Anrufer das Besetztzeichen erhalten. Andere Anrufer legen aus Ungeduld auf, bevor sie einen Agenten gesprochen haben. Beides wirkt sich auf die Wartezeiten derjenigen Anrufer aus, die tatsächlich bedient werden. Aufgrund der hohen Dynamik des Anrufaufkommens (siehe Abbildung 1) und der kurzen Periodenlänge ist es erforderlich, in der Planung stets mehrere Perioden zu betrachten, so daß man ein aggregiertes Wartezeitmaß über den ganzen Planungszeitraum in Relation zum Agenteneinsatz zu setzen hat. Dann stellt sich z.b. die Frage, ob das Verschieben eines Agenten aus einer Periode in eine andere zu einer Verbesserung des aggregierten Servicemaßes führt. In diesem Fall wird es erforderlich, die Perspektive von einer einzelnen Periode auf alle Perioden des Planungszeitraums zu erweitern. Es wird hier ein Plan erzeugt, welcher dem Erfolgsziel keinerlei Beachtung schenkt. Dies erscheint umso erstaunlicher, als sich den getroffenen Entscheidungen vielfach unmittelbar Kosten- und Erlöswirkungen zuordnen lassen. Wenn dies jedoch der Fall ist, so empfiehlt es sich, die Allokation der Agenten direkt am Erfolgsziel und nicht an technischen Wartezeitmaßen zu orientieren. Selbst wenn es keine Erlöswirkungen geben sollte, die über den Personaleinsatz gesteuert werden, so führt der Personaleinsatz zumindest zu Kostenwirkungen. In jedem Fall ist in einer erfolgszielorientierten Analyse der Agentenallokation auch der Frage nachzugehen, über welche Servicerufnummer das Call Center von den Anrufern erreicht wird, da von der Art der verwendeten Servicerufnummer die Kosten- und ggf. die Erlöswirkungen abhängen. Die gegenwärtige Vorgehensweise in der Praxis läßt sich allenfalls interpretieren als der Versuch der isolierten Kostenminimierung bezogen auf einzelne Perioden. Im folgenden werden für die einzelnen Kritikpunkte konkrete Verbesserungsmöglichkeiten diskutiert. 3 Realitätsnähere Berechnung und Aggregation der Systemgrößen 3.1 Beschränkte Leitungskapazität und ungeduldige Anrufer Abweichend von den Annahmen des M/M/c-Modells wird nun unterstellt, daß das Call Center über insgesamt K Telefonleitungen verfügt und damit der Warteraum nicht mehr unendlich groß ist. Sind alle Telefonleitungen besetzt (durch wartende Anrufer oder solche in Bedienung), so erhalten neue Anrufer das Besetztzeichen und werden als verloren betrachtet (siehe Abbildung 4). Wenn c Agenten eingesetzt werden, so hat das Call Center damit q = K c Wartepositionen. Bei 8

9 Einsatz einer geeigneten Telekommunikationsanlage kann die Zahl der Wartepositionen auch absichtlich durch das Management reduziert werden, indem einige der technisch verfügbaren Leitungen nicht freigeschaltet werden, um so das Warten der Anrufer zu reduzieren. Agenten (µ) Wartepositionen 1 Anrufe (λ) q 2 1 Besetzt- Zeichen Zurückscheuen (β) Auflegen (ν) c Abbildung 4: Schematisches Darstellung eines M/M/c/K-Systems mit ungeduldigen Anrufern Ferner wird unterstellt, daß ein bestimmter Anteil β der Anrufer mit β < 1 sofort auflegt, wenn sie nicht unmittelbar, d.h. ohne jede Wartezeit, einen Agenten erreichen. Man kann dieses Verhalten als Zurückscheuen vor der Warteschlange bezeichnen. Auch solche Anrufer, die sich zunächst in der Warteschlange einreihen, sind ungeduldig. Es wird angenommen, daß sie eine individuelle und zufällige Wartezeittoleranz haben und auflegen, wenn ihre tatsächliche Wartezeit die individuelle Toleranz überschreitet. Die individuelle Wartezeittoleranz habe den Mittelwert 1 ν und sei wie die Zwischenankunfts- und die Bearbeitungszeiten exponentialverteilt, so daß ein wartender Anrufer mit Rate ν auflegt. Man muß nun also unterscheiden zwischen der Rate λ, mit der Anrufe beim Call Center ankommen und der geringeren Rate λ eff, mit der Anrufe bei den Agenten ankommen und das System nach erfolgter Bedienung wieder verlassen: λ > λ eff. Die Zustandswahrscheinlichkeiten dieses komplexeren Modells lassen sich noch berechnen (vgl. Whitt (1999), Brandt und Brandt (1999), Stolletz (22)). Durch die realitätsnähere Modellierung des Call Centers ist nun (im Vergleich zur Grundform des M/M/c-Modells) eine größere Anzahl von Kenngrößen zu ermitteln, die als Zielgrößen der Personaleinsatzplanung verwendet werden können. Einige dieser Größen sind in Tabelle 1 zusammengefaßt. Die Wahrscheinlichkeit P(S) eines Anrufers, letztlich durch einen Agenten den gewünschten Service zu erhalten, ergibt sich dann indirekt über die Wahrscheinlichkeit P(B) das Besetzt-Zeichen zu erhalten, die Wahrscheinlichkeit P(Z) vor der Warteschlange zurückzuscheuen sowie die Wahrscheinlichkeit P(A) während des Wartens selbst aufzulegen zu P(S) = 1 P(B) P(Z) P(A). (4) 9

10 P(A) P(B) P(S) P(Z) E[W S] E[L S ] E[L Q ] λ eff E[u] Tabelle 1: Kenngrößen des erweiterten Modells Anteil der Anrufer, die auflegen Anteil der Anrufer, die das Besetztzeichen erhalten Anteil der Anrufer, die den Service erhalten Anteil der Anrufer, die vor dem Warten zurückscheuen Mittlere Wartezeit bedienter Anrufer Mittlere Anzahl von Anrufern im System Mittlere Anzahl von Anrufern in der Warteschlange (Queue) Ankunftsrate von Anrufern bei den Agenten Mittlere Auslastung der Agenten Die effektive Ankunftsrate λ eff von Anrufen bei den Agenten ergibt sich aus der Anrufrate λ und der Bedienwahrscheinlichkeit P(S) zu λ eff = P(S) λ. (5) Die Wahrscheinlichkeit P(Z), daß ein zufällig gewählter Anrufer das Call Center verläßt, weil er vor dem Warten zurückscheut, darf nicht verwechselt werden mit der bedingten Wahrscheinlichkeit β, daß er vor dem Warten zurückzuscheut, sofern im Moment des Eintreffens kein Agent verfügbar ist. Die erste Größe ist ein Ergebnis der Planung und die zweite eine Eigenschaft der Anrufer. Alle diese Kenngrößen des Systems hängen nun von zwei Variablen ab, die beide zu Stellgrößen der operativen Planung erhoben werden können, der Agentenzahl c und der Anzahl Wartepositionen q in einer Periode. Im folgenden wird an einem Beispiel gezeigt, wie stark das Verhalten des Systems davon abhängt, ob die Anrufer ungeduldig und die Wartepositionen beschränkt sind. Dazu wird auf das zweite Beispiel in Abschnitt 2 zurückgegriffen, in dem von λ = 1 Anrufen pro Minute, einer mittleren Gesprächsdauer von 59 Sekunden (µ = 6 Anrufe pro Minute) und damit einer Arbeitslast von Erlangs ausgegangen wurde. Wenn man unterstellt, daß die Anrufer geduldig und unendlich viele 59 Telefonleitungen verfügbar sind (M/M/c-Modell), dann benötigt man mindestens 99 Agenten, um überhaupt ein stabiles System zu erhalten. In der Tabelle 2 wird nun gezeigt, wie die Werte für das Grundmodell (Fall 1) von denen des erweiterten Modells abweichen. Die mittlere Wartezeit der Anrufer im Fall 1 beträgt Minuten und die mittlere Warteschlangenlänge Anrufer. Im Fall 2 dagegen gibt es nur K = 2 Telefonleitungen und damit nur 11 Wartepositionen. Dies führt dazu, daß.58% der Anrufer das Besetztzeichen erhalten und infolgedessen die mittlere Wartezeit der anderen Anrufer von Minuten im Fall 1 auf 3.83 Minuten im Fall 2 zurückgeht. In dem dritten Fall sei nun unterstellt, daß die Anrufer zwar nicht vor einer Warteschlange zurückschrecken (β = ), aber nur eine mittlere Wartezeittoleranz von 2 Minuten haben, also mit Rate ν =.5 (Anrufe pro Minute) auflegen. Nun werden nur noch 94.83% der Anrufer bedient, und die bedienten 1

11 Tabelle 2: Vergleichsrechnung Fall c P β ν P(S) [%] P(B) [%] P(Z) [%] P(A) [%] E[W S][Min.] E[L Q ] E[u] [%] Anrufer warten im Mittel.9 Minuten, also etwas weniger als sechs Sekunden. Im vierten Fall wird zusätzlich angenommen, daß jeder zehnte Anrufer sofort auflegt, wenn er in eine Warteschlange gestellt werden soll (β =.1). Dies führt dazu, daß tatsächlich 2.51% der Anrufer vor der Warteschlange zurückschrecken. Im Ergebnis sinkt die mittlere Wartezeit der bedienten Anrufer auf.6 Minuten oder knapp 4 Sekunden. Man kann nun z.b. weiter untersuchen, wie sich das System verhält, wenn weniger als 99 Agenten eingesetzt werden. Aufgrund der beschränkten Leitungszahl und der begrenzten Geduld ist das System ja für jede Agentenzahl stabil. In dem Fall 5 wird daher von 9 Agenten ausgegangen. Trotz dieser reduzierten Agentenzahl wird kein Anrufer blockiert, aber mehr als 11% scheuen entweder vor der Warteschlange zurück oder legen auf. Die mittlere Wartezeit der hinreichend geduldigen Anrufer beträgt dann.14 Minuten. In dem letzten Fall 6 zeigt sich der Einfluß der Anzahl von Wartepositionen, die im Vergleich zu Fall 5 von 11 auf 3 reduziert ist. Nun werden 7.7% der Anrufer über das Besetztzeichen blockiert und infolgedessen geht die mittlere Wartezeit der bedienten Anrufer auf.5 Minuten zurück. In allen Fällen beträgt die Auslastung der Agenten über 93%. Das Beispiel zeigt deutlich, daß das M/M/c-Grundmodell (Fall 1) mit unendlicher Leitungskapazität und geduldigen Anrufern zur Leistungsanalyse von realen Call Centern nur begrenzt geeignet ist und daß die Entscheidung über die Zahl der Wartepositionen eine wichtige Stellgröße des operativen Management ist. In der Praxis wird nach unserem Eindruck entweder mit dem zu stark vereinfachenden M/M/c-Modell gerechnet, oder man vernachlässigt die Stochastik des Leistungsprozesses vollständig und geht implizit von der irrigen Annahme aus, daß die Zwischenankunftszeiten und die Bearbeitungszeiten der Anrufe deterministische Größen darstellen. In beiden Fällen kann es nicht gelingen, den Zusammenhang zwischen dem Personaleinsatz und dem Service für die Anrufer regelmäßig zutreffend zu antizipieren. 11

12 3.2 Aggregation der Systemgrößen Die operative Personaleinsatzplanung findet auf der Basis kurzer Perioden von häufig 3 Minuten Länge statt, da das Anrufaufkommen starken zeitlichen Schwankungen unterliegt, vgl. Abbildung 1. Für das Management des Call Centers stellt sich daher regelmäßig die Frage nach aggregierten Systemgrößen über einen längeren Zeitraum wie z.b. einen Tag, eine Woche oder einen Monat. Von zentraler Bedeutung sind hierbei gewichtete Mittelwerte der Systemgrößen. Die Gewichtung ist erforderlich, weil die Anzahl der Anrufer und Agenten in jeder Periode unterschiedlich ist. Will man etwa die durchschnittliche aggregierte Wartezeit E[W S] aggr der bedienten Anrufer über einen längeren Zeitraum ermitteln, so bietet sich eine Gewichtung mit der Anzahl von Anrufe λ t in jeder der T Perioden an: E[W S] aggr = T t=1 λ te[w t S] T t=1 λ t (6) Dabei bezeichnet E[W t S] den Mittelwert der Wartezeit W t eines Anrufers in Periode t unter der Bedingung S, daß der Anrufer tatsächlich bedient wird (und nicht etwa blockiert wird oder auflegt). In gleicher Weise kann man den Anteil der Anrufer, die letztlich bedient werden, das Besetztzeichen erhalten, vor dem Warten zurückscheuen oder nach einer gewissen Wartezeit auflegen sowie die mittlere Warteschlangenlänge berechnen. Betrachtet man dagegen die Auslastung der Agenten, so liegt hier eine Gewichtung mit der Anzahl c t jeweils in Periode t eingesetzter Agenten nahe: E[u] aggr = T t=1 c te[u t ] T t=1 c t (7) Einen Überblick über die verschiedenen aggregierten Systemgrößen und ihre Berechnung gibt die Tabelle 3. Jede dieser aggregierten Systemgrößen hängt von zwei Stellgrößen des operativen Call Center-Managements ab. Dies ist zum einen die Anzahl eingesetzter Agenten c t in jeder der Perioden t = 1,..., T und zum anderen die Anzahl der in jeder Periode angebotenen Wartepositionen q t. Daher liegt es nahe, die Agentenallokation darzustellen über den Vektor c = (c 1, c 2,..., c t 1, c t, c t+1,..., c T 1, c T ) (8) und die Wartepositionenkonfiguration über den Vektor q = (q 1, q 2,..., q t 1, q t, q t+1,..., q T 1, q T ). (9) Die auf den Service der Agenten bezogenen aggregierten Servicegrößen in Tabelle 3 lassen sich nun als Nebenbedingungen einer erfolgszielorientierten Agentenallokation einsetzen. Daneben ist es natürlich auch möglich, Nebenbedingungen für den Service in jeder einzelnen Periode zu formulieren. 12

13 Aggregierte Systemgröße Anteil bedienter Anrufer Anteil blockierter Anrufer Anteil zurückscheuender Anrufer Anteil auflegender Anrufer Wartezeit bedienter Anrufer Anzahl wartender Anrufer Auslastung Tabelle 3: Aggregierte Systemgrößen Berechnung P(S) aggr = T t=1 λ tp(s t ) P(B) aggr = T t=1 λ tp(b t ) P(Z) aggr = T t=1 λ tp(z t ) P(A) aggr = T t=1 λ tp(a t ) / T / T / T / T E[W S] aggr = T t=1 λ te[w t S] E[L Q ] aggr = T t=1 λ te[l Q t ] E[u] aggr = T t=1 c te[u t ] / T / T t=1 λ t t=1 λ t t=1 λ t t=1 λ t / T t=1 c t t=1 λ t t=1 λ t Eingesetzte Agentenstunden c aggr = T t=1 c t 4 Tarifmodelle und Optimierungskalküle bei Servicerufnummern In diesem Abschnitt wird das eher technisch wirkende Problem der Bestimmung einer Agentenallokation c und einer Konfiguration von Wartepositionen q über insgesamt T Perioden durch betriebswirtschaftliche Optimierungskalküle auf das Erfolgsziel ausgerichtet. Dies erfordert zunächst eine Analyse der Kosten- und ggf. Erlöswirkungen dieser Entscheidungen und führt anschließend zu einer Klassifikation verschiedener Entscheidungssituationen. Dabei wird ausschließlich der praktisch relevante Fall ungeduldiger Anrufer und beschränkter Leitungskapazität betrachtet. Call Center werden von den Anrufern häufig über sogenannte Servicerufnummern erreicht, deren Tarifstruktur in Deutschland gesetzlichen Normierungen unterliegt. Diese Servicerufnummern werden als Dienstleistung für Geschäftskunden zum einen von Telekommunikationsdienstleistern (TKD) und zum anderen von speziellen Dienstleistern für Servicerufnummern angeboten. Zur Vereinfachung der Darstellung wird im folgenden unterstellt, daß der TKD auch die Servicerufnummer bereitstellt. Durch den TKD werden dann zum einen die Anrufe in das Call Center geleitet. Zum anderen wird über die Telefonrechnung den Anrufern (A) ggfs. die erbrachte Leistung des Call Center-Betreibers (CCB) in Rechnung gestellt und ein Teil dieser Einnahmen an den Betreiber des Call Centers weitergeleitet. Die Tarife unterscheiden sich hinsichtlich der Fragen, wer in welchem Umfang den TKD bezahlt und ob und in welchem Umfang der Betreiber des Call Centers vom Anrufer für seinen Dienst bezahlt wird. Klassifiziert man die Dienste, so ergibt sich das Bild in Tabelle 4 für die Situation in Deutschland im Frühjahr 22. Im Fall der 8er Servicenummern entstehen dem Betreiber des Call Centers durch jeden Anruf u.a. Kosten für die Leistungen des Telekommunikationsunternehmens, welche abhängig von der Dauer des Anrufs (Wartezeit und Gesprächszeit) sind. Die Tarife 18-1 bis 18-4 zielen auf eine Kostenteilung ab und sind 13

14 Tabelle 4: Tarifmodelle bei Servicerufnummern Servicerufnummer Leistung des TKD Leistung des CCB gezahlt durch 8 CCB kostenfrei für A 18-1 und CCB und A (Minutenbasis) kostenfrei für A und CCB und A (je Anruf) kostenfrei für A A (Minutenbasis) kostenfrei für A 19-x A (Minutenbasis) entgeltpflichtig für A via TKD je Anruf und/oder Minute z.b. bei der Deutschen Telekom so gestaltet, daß die Anrufer eine Pauschale je Gespräch oder je Verbindungsminute zahlen und der CCB die ggf. darüber hinaus anfallenden Verbindungskosten übernimmt. Bei den Diensten der Gruppen 18-5 und 19 trägt der Anrufer die Telefonkosten alleine, die auch hier die Kosten eventueller Wartezeiten beinhalten. Unabhängig von der Frage, wer die Leistungen des TKD bezahlt, ist es denkbar, daß für den Betreiber des Call Centers zusätzliche Erlöse je Anruf auftreten, die nicht durch den Telekommunikationsdienstleister abgerechnet werden. Ein Beispiel ist die telefonische Bestellannahme eines Versandhandelsunternehmens. Die Annahme einer Kundenbestellung führt hier über den Erlös zu einem Deckungsbeitrag, der den Kosten gegenübergestellt werden sollte. Derartige Erlöse bzw. Deckungsbeiträge sind daher bei der Personaleinsatzplanung ebenfalls entscheidungsrelevant. Im Fall der 19er-Nummern dagegen zahlen die Anrufer sowohl die Telefonkosten als auch (über den Telekommunikationsdienstleister) den im Call Center erbrachten Dienst. Ein Beispiel sind herstellerunabhängige Computer-Hotlines. Die Dienste dieser Tarifgruppe können für den Anrufer sehr viel teurer werden als jene der Gruppen 8 oder 18-x, da hier u.a. eine freie Wahl des Minutentarifs durch den Call Center-Betreiber möglich ist und der Tarif auch während eines Gesprächs mehrfach gewechselt werden kann. So ist es möglich, innerhalb der ersten 3 Sekunden eine für den Anrufer kostenlose Ansage zu den Inhalten und Konditionen des Dienstes durchzuführen, dann zeitgesteuert (nach erfolgter Bestätigung durch den Anrufer) eine Pauschale und anschließend einen Minutensatz abzurechnen. Es ist jedoch nicht unmittelbar möglich, den Wechsel des Tarifs derart ereignisgesteuert vorzunehmen, daß für den Anrufer die Entgeltpflicht erst in dem Moment beginnt, in dem er mit einem Agenten verbunden wird. Aus Sicht des Telekommunikationsdienstleisters kann schließlich nur beobachtet werden, ob eine Verbindung zwischen dem Anrufer und dem Call Center-Betreiber besteht, nicht dagegen, ob der Anrufer dort in der Warteschleife unfreiwillig Musik hört oder ob er bedient wird. Speziell bei solchen Diensten, die auf Seiten der Anrufer zusätzlich zu Wartezeiten auch noch zu Wartekosten führen, ist von einer gewissen Ungeduld der Anrufer auszugehen. Diese Ungeduld bewirkt regelmäßig, daß wartende Anrufer 14

15 zu einem für den Call Center-Betreiber nicht vorhersehbaren Zeitpunkt auflegen. Dadurch entgehen dem Betreiber des Call Centers u.u. Erlöse, die bei geringeren Wartezeiten hätten realisiert werden können. Tabelle 5: Notation A max Maximale insgesamt verfügbare Arbeitszeit (ZE) aller Agenten C max Maximale insgesamt verfügbare Anzahl von Agentenperioden c t Anzahl von Agenten, die in Periode t gleichzeitig eingesetzt werden c = (c 1,..., c T ) Vektor der Anzahl eingesetzter Agenten d t Dauer (Länge) von Periode t (ZE) E[ ] Erwartungswert einer Zufallsvariablen L s t(c t, q t ) Zufällige Anzahl Anrufer im System (wartend oder in Bedienung) in Periode t beim Einsatz von c t Agenten und q t Wartepositionen (Zufallsvariable) l t Lohnkostensatz in Periode t (GE/ZE) k t Telefonkostensatz in Periode t (GE/ZE) λ eff t (c t, q t ) Ankunftsrate von Anrufen bei Agenten in Periode t beim Einsatz von c t Agenten und q t Wartepositionen q t Anzahl von Wartepositionen, die in Periode t gleichzeitig angeboten werden q = (q 1,..., q T ) Vektor der Anzahl angebotener Wartepositionen r A Erlös (oder ggfs. Deckungsbeitrag) je Anruf Erlös (oder ggfs. Deckungsbeitrag) je Zeiteinheit r Z Tabelle 6: Grundstruktur der generischen Optimierungskalküle im Überblick Fall Erlöse Kosten Service der Anrufer 1 keine - Lohnkosten der Agenten explizit in - u.u. Telefonkosten Nebenbedingungen 2 je bedientem - Lohnkosten der Agenten implizit in Anrufer - u.u. Telefonkosten Zielfunktion 3 je Anrufer - Lohnkosten der Agenten implizit in im System Zielfunktion (wartend oder in Bedienung) Im folgenden werden in einer generischen Form die Zielfunktionen und ggfs. Nebenbedingungen der Entscheidung über die Agentenallokation c und die Wartepositionenkonfiguration q unter Verwendung der Notation aus den Tabellen 3 und 5 für verschiedene Konstellationen formuliert. Es lassen sich hinsichtlich der Erlösund Kostenfunktionen sowie der Berücksichtigung des Service für die Anrufer drei strukturell verschiedene Fälle unterscheiden, die im Überblick in Tabelle 6 dargestellt sind. Die drei Fälle werden im folgenden detailliert analysiert: 15

16 Fall 1: Wartende Anrufer und solche in Bedienung verursachen u.u. Telefonkosten für den Call Center-Betreiber, jedoch keine Erlöse. Dieser Fall findet sich z.b. bei Support-Hotlines von Unternehmen, die kostenlose telefonische Hilfe zum Einsatz ihrer Produkte versprechen oder im öffentlichen Bereich. Man kann hier also von einem Betreuungs-Call Center sprechen. Als Zielsetzung bietet es sich in dieser Situation an, die kostenminimale Agentenallokation c zu bestimmen, bei der gerade noch aggregierte Nebenbedingungen für den Service der Anrufer eingehalten werden. Zunächst liegt es nahe, eine obere Grenze für die aggregierte Wartezeit bedienter Anrufer E[W S] aggr vorzugeben. Dies reicht jedoch nicht aus, da bei ungeduldigen Anrufern, wenigen Agenten und hinreichend wenigen Wartepositionen der aggregierte Anteil P(S) aggr der bedienten Anrufer sehr gering sein kann und gleichzeitig die wenigen bedienten Anrufer nicht lange warten müssen. Insofern erscheint es zwingend, in einer weiteren Nebenbedingung zusätzlich zu fordern, daß ein bestimmter aggregierter Mindestanteil P(S) aggr min der Anrufer letztlich bedient wird. (In der Praxis wird diese Kenngröße vielfach ex post als das Verhältnis von bedienten Anrufen zu eingegangenen Anrufen bestimmt und als Erreichbarkeit bezeichnet.) Die entscheidungsrelevanten Kosten bestehen in diesem Fall zum einen aus den Personalkosten der Agenten. Diese ergeben sich in jeder Periode aus dem Produkt des Minutensatzes l t, der Periodendauer d t in Minuten und der Anzahl eingesetzter Agenten c t. Unter Umständen sind vom Call Center- Betreiber zum anderen Telefonkosten zu tragen. Dieser Fall tritt ein, wenn entweder eine 8er oder eine 18er Nummer mit zeitproportionalen Telefonkosten für die Anbieter eingesetzt wird, siehe 4. Dann ergeben sich die Telefonkosten als Produkt des Telefonkostensatzes k t, der Periodendauer d t und der mittleren Anzahl von Anrufern im System E[L s t(c t, q t )] (wartend oder in Bearbeitung). Es ist aber auch möglich, daß die Anrufer die Telefonkosten vollständig selbst tragen. Dies ist der Fall, wenn auf eine Servicerufnummer verzichtet oder eine 18-5er Nummer eingesetzt wird. In diesem Fall reicht es aus, in dem Modell den Telefonkostensatz k t = zu setzen. Damit läßt sich das Optimierungskalkül der Kostenminimierung folgendermaßen formulieren: u.b.d.r. Minimiere K(c, q) = T ( t=1 l t d t c t } {{ } Löhne ) + k t d t E[L s t(c t, q t )] } {{ } Telefonkosten (1) E[W S] aggr E[W S] aggr max (11) P(S) aggr P(S) aggr min. (12) 16

17 Diese Problemstellung ist noch nicht erlösorientiert (und damit nur partiell erfolgsorientiert), bildet aber bereits über periodenübergreifende Servicemaße E[W S] aggr und P(S) aggr den Aspekt der intertemporalen Agentenallokation ab. Das Entscheidungsproblem ist nicht mehr trivial, weil nun mit der Agentenallokation c und der Wartepositionenkonfiguration q zwei Arten von Entscheidungsvariablen vorliegen und darüber hinaus zwei verschiedene (aggregierte) Nebenbedingungen mit partiell gegenläufigen Wirkungen der Entscheidungsvariablen einzuhalten sind: Steigert man in einer Periode die Anzahl eingesetzter Agenten, so sinkt die aggregierte Wartezeit der bedienten Anrufer und ihr Anteil steigt. Es werden also beide Nebenbedingungen (11) und (12) gleichzeitig besser eingehalten. Dies gilt jedoch nicht für die Anzahl angebotener Wartepositionen: Steigert man in einer Periode die Anzahl angebotener Wartepositionen, so steigt der Anteil bedienter Anrufer (der erwünschte Effekt), aber es steigt auch die mittlere Wartezeit der bedienten Anrufer (der unerwünschte Effekt). Fall 2: Wartende Anrufer und solche in Bedienung verursachen u.u. Telefonkosten für den Call Center-Betreiber, bediente Anrufer verursachen zusätzlich Erlöse. Diese Situation findet man im Versandhandel. Aus diesem Grund sprechen wir diesen zweiten Fall im folgenden von einem Vertriebs- Call Center. In der Realität werden dort zusätzlich noch weitere Aufgaben der Kundenbetreuung wahrgenommen, bei denen ein Teil der Gespräche nicht unmittelbar erlösorientiert ist. Diese Gespräche lassen sich jedoch durch Verwendung speziell eingerichteter Telefonnummern oder durch eine automatisierte interaktive Sprach- oder Toneingabe der Anrufer von jenen Gesprächen trennen, die unmittelbar erlöswirksam der Bestellannahme dienen, so daß wir uns in einem generischen Modell auf die erlöswirksamen Anrufe konzentrieren. Die nun gewinnorientierte Zielfunktion ist nun um eine Erlöskomponente erweitert, in der ein Erlös r A je Anruf enthalten ist: Maximiere G(c, q) = u.b.d.r. T r A λ eff t (c t, q t ) t=1 } {{ } Erlöse T t=1 ( ) l t d t c t + k t d t E[L s t(c t, q t )] } {{ } Kosten (13) T d t c t A max. (14) t=1 Bei der Berechnung der Erlöse in der Zielfunktion ist zu berücksichtigen, daß aufgrund einer beschränkten Anzahl von Leitungen ein Teil der Anrufer das Besetztzeichen erhält oder aus Ungeduld während des Wartens auflegt. Daher ist die Rate λ eff t (c t, q t ) der effektiv bei den Agenten ankommenden Anrufe in 17

18 Periode t kleiner als die Anrufrate λ t, d.h. λ eff t (c t, q t ) < λ t. In diesem Kalkül ist keine Nebenbedingung für die Wartezeit oder den Anteil bedienter Anrufer mehr notwendig, weil diese Größen gerade die aus Sicht des Call Center- Betreibers gewinnmaximierende Ausprägung erhalten sollen. Dies beinhaltet auch die Möglichkeit, temporär oder permanent ganz bewußt lange Wartezeiten und einen geringen Anteil bedienter Anrufer einzuplanen. Wenn eine 18-5er Nummer verwendet wird oder man auf den Einsatz einer Servicerufnummer gänzlich verzichtet, so ist in der Zielfunktion wieder der Telefonkostensatz k t gleich Null zu setzen. In diesem Entscheidungsmodell ergibt sich sowohl die aggregierte Wartezeit der bedienten Anrufer E[W S] aggr als auch deren aggregierte Anteil P(S) aggr als Ergebnis einer am Gewinn G(c, q) orientierten Planung des Call Center-Betreibers. Diese Planung erfolgt nun aber unter Berücksichtigung einer weiteren Nebenbedingung (14), die im Fall 1 nicht erforderlich war und die im einfachsten Fall verlangt, daß die Summe der eingesetzten Agentenarbeitszeiten nicht größer ist als die insgesamt zur Verfügung stehende Arbeitszeit A max. In dem praktisch besonders wichtigen Fall, daß die Dauer d t aller Perioden identisch ist, gilt d t = d. Dann ist die einfachere Bedingung T t=1 c t c aggr max (15) der allgemeineren Bedingung (14) mit c aggr max = Amax äquivalent. Analysiert d man dieses Problem, so zeigt sich, daß durch die Kapazitätsnebenbedingungen (14) bzw. (15) die Planung für die einzelnen Perioden verknüpft werden kann, aber nicht muß: Wenn ausreichend Personal vorhanden ist, so wird über die Zielfunktion für jede Periode der isoliert optimale Agenteneinsatz c t und die korrespondierende Wartepositionenkonfiguration q t bestimmt. Ist dagegen nicht genügend Personalkapazität vorhanden, so greifen die Nebenbedingungen (14) bzw. (15) und beschränken den Personaleinsatz c t in den einzelnen Perioden. Fall 3: Wartende Anrufer und solche in Bedienung verursachen Erlöse für den Call Center-Betreiber. Hier wird durch das Call Center eine Dienstleistung erbracht, die der Anrufer ebenso bezahlt wie die Telefonkosten, so daß sich der Begriff des Dienstleistungs-Call Centers anbietet. Technisch wird dies vorrangig über die 19er-Dienste realisiert, bei denen die Anrufer zusätzlich zu ihrer Wartezeit auch noch Wartekosten zu tragen haben. Gerade hier erscheint es zwingend erforderlich, die Ungeduld der Anrufer und die Steuerung der Wartezeiten durch die Einrichtung von Wartepositionen im Modell zu berücksichtigen. Im Gegensatz zu der vorherigen Konstellation fallen die Erlöse hier nicht mehr pro bedientem Anrufer an, sondern sind über einen zeitabhängigen Erlössatz r Z abhängig von der Zahl von Anrufern im System E[L s t(c t, q t )] (wartende oder solche in Bedienung). Die Anrufer tragen auch ihre Telefonkosten selbst, so daß für den Call Center-Betreiber auf der Kostenseite lediglich die 18

19 Personalkosten der Agenten kurzfristig entscheidungsrelevant sind. Dies führt auf das folgende Kalkül: u.b.d.r. Maximiere G(c, q) = T r Z d t E[L s t(c t, q t )] t=1 } {{ } Erlöse T l t d t c t t=1 } {{ } Kosten (16) T d t c t A max (17) t=1 Wie im Fall 2 wird hier die für den Call Center-Betreiber gewinnmaximierende Wartezeit der Anrufer modell-endogen errechnet. Es gibt auch hier keine Nebenbedingung für den aggregierten Anteil der bedienten Anrufer oder deren Wartezeit und nur eine Nebenbedingung (17) für die maximal einzusetzende Arbeitszeit der Agenten. Dieses Optimierungskalkül ist jedoch ausgesprochen kurzfristig orientiert. Strebt der Anbieter des Dienstes den Aufbau einer positiven Reputation und einer langfristigen Kundenbindung an, so wird er u.u. verhindern wollen, daß Anrufer nach ggf. längerer Wartezeit und entsprechenden Wartekosten wieder auflegen, ohne bedient worden zu sein. Eine einfache Möglichkeit der Beschränkung der Wartezeit speziell bei diesen entgeltpflichtigen Diensten besteht darin, daß man überhaupt keine Wartepositionen vorsieht und den Anrufern sofort das Besetztzeichen gibt, wenn alle Agenten beschäftigt sind. Alternativ kann man dem Anrufer eine kurze (kostenlose) Information geben, daß gegenwärtig keine Agenten frei sind und bricht danach die Verbindung ab. In diesem Fall erfolgt die Optimierung dann lediglich über den Vektor c der eingesetzten Agenten je Periode. Insgesamt zeigt sich, daß eine sorgfältige Analyse des Geschäftsprozesses und des gewählten Tarifs der Servicenummer erforderlich ist, um eine an ökonomischen Zielkriterien orientierte Agentenallokation erreichen zu können. 5 Optimierungsverfahren und numerische Ergebnisse 5.1 Numerische Struktur der Gewinnfunktionen und Grundzüge eines Optimierungsverfahrens Die Gewinnfunktionen (13) und (16) sind nur für ganzzahlige Ausprägungen der Anzahl eingesetzter Agenten c t und Wartepositionen q t bzw. Telefonleitungen K t = c t + q t definiert, so daß sich die optimalen Ausprägungen der Entscheidungsvariablen nicht über die Differentialrechnung bestimmen lassen. Die Gewinnfunktionen sind jedoch periodenweise additiv zusammengesetzt und lassen sich daher auch periodenweise separieren. Berechnet man wie in den Abbildungen 5 bis 7 für einzelne Perioden die Gewinnfunktion numerisch, so wird deutlich, daß es sich zwar um nichtlineare Funktionen handelt, man sich aber durch ein Verfahren des steilsten 19

20 Anstiegs vergleichsweise leicht dem Bereich optimaler Lösungen nähern kann. 1 Bei der Betrachtung der Abbildungen ist zu berücksichtigen, daß die Gewinnfunktion nur für solche Kombinationen c t +q t der Anzahl Agenten c t und Wartepositionen q t definiert ist, die nicht die Anzahl der verfügbaren Telefonleitungen (hier 2) überschreitet. (Für die anderen Fälle zeigen die Abbildungen einen Gewinn von Null.) In allen Fällen gibt es ein klar ausgeprägtes Gewinnmaximum in Abhängigkeit der Agentenzahl. Setzt man wie in Abbildung 5 mit mehr als fünf deutlich zu viele Agenten ein, so ist der (hier negative) Grenzgewinn je Agent praktisch konstant, weil diese weiteren Agenten zwar zusätzliche Lohnkosten verursachen, aber keine nennenswerte Steigerung der Zahl bedienter Anrufer bewirken. Auch im Fall deutlich zu niedriger Agentenzahlen (z.b. 5 in Abbildung 6) ist der (hier positive) Grenzgewinn eines weiteren Agenten praktisch konstant, weil jeder weitere Agent fast vollständig ausgelastet werden kann. Während in den Beispielen die Zielfunktionen des Vertriebs-Call Centers (Abbildungen 5 und 6) kaum von der Anzahl von Wartepositionen abhängt, gilt dies im Fall des Dienstleistungs-Call Centers in Abbildung 7 nicht. (Hier besteht für den Betreiber des Call Centers insbesondere dann ein starker Anreiz, viele Wartepositionen einzurichten, wenn ihm zu wenige Agenten zur Verfügung stehen.) Aber auch in diesem Fall ist die Gewinnfunktion glatt, so daß die Optimierung wenig Schwierigkeiten bereitet. Der im folgenden verwendete Algorithmus beruht daher auf der Idee, ausgehend von einer Situation ohne Agenteneinsatz schrittweise die Zahl der Agenten in derjenigen Periode zu erhöhen, bei welcher dies zum stärksten absoluten Gewinnanstieg führt und dabei gleichzeitig immer soviele Wartepositionen q t freizuschalten, bis der Gewinn für die gerade betrachtete Agentenzahl c t entweder ein Maximum erreicht hat oder zumindest nicht mehr nennenswert weiter steigt. Wenn dabei über alle Perioden die Zahl der maximal zur Verfügung stehenden Agentenhalbstunden erreicht ist, so wird in einem zweiten Schritt geprüft, ob eventuell durch eine Umverteilung der Agenten zwischen den Perioden noch eine Gewinnverbesserung erreicht werden kann. Das Verfahren wird dann beendet, wenn eine solche gewinnverbessernde Umverteilung nicht mehr möglich ist und man damit zumindest ein lokales Optimum gefunden hat. Für die hier dargestellten Fälle lagen die Rechenzeiten im Bereich weniger Sekunden. 5.2 Numerische Ergebnisse zur Agentenallokation in reinen Vertriebs-Call Centern Im folgenden werden einige ausgewählte Ergebnisse von Rechenexperimenten dargestellt. Dabei werden nur die Fälle mit erlösorientierten Zielfunktionen betrachtet, da dieser Beitrag der erfolgszielorientierten Agentenallokation gewidmet ist. Wir unterstellen ein mittelgroßes Call Center mit 2 Telefonleitungen und ebenso vielen besetzbaren Agentenplätzen. Über einen Zeitraum von einer Woche können 75 Agentenstunden verplant werden, also 15 Agentenhalbstunden in = 336 Perioden. Das prognostizierte Anrufaufkommen entspricht in seiner zeitlichen Struktur dem in Abbildung 1, wurde aber auf ein geringeres absolutes 1 In den Abbildungen 5 und 6 wurden die Daten aus dem Fall 1 der Tabelle 7 bei einem Anrufaufkommen von 1 bzw. 2 Anrufen pro 3 Minuten zugrundegelegt, in der Abbildung 7 der Fall 2 aus der Tabelle 8 bei einem Anrufaufkommen von 2 Anrufen pro Halbstundenintervall. 2