Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung

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1 Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1

2 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten n Südtrol soll en Hubschrauberstützpunkt so gebaut werden, dass de maxmale Entfernung zwschen den Ensatzorten und dem Stützpunkt möglchst klen st.

3 3 E 2 E 1 Notfall- rettung durch Hubschrauber

4 4 Mttelpunkt zwschen E 1 und E 2:

5 5 Notfall- rettung durch Hubschrauber

6 6 Mttelsenkrechte zwschen E 1 und E 2 :

7 Der beste Standort enes Hubschraubers für 3 Ensatzorte MS 23 E 2 MS 12 E 3 E 1 MS 13 7

8 Resultat - Umkresmttelpunkt MS 23 E 2 MS 12 E 3 E 1 MS 13 8

9 9 E 2 E 3 E 1

10 10 Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zu exsterenden Betreben soll en Feuerwehrhaus so gebaut werden, dass de maxmale Entfernung zwschen den Betreben und dem Feuerwehrhaus möglchst klen st.

11 11 Postonerung von enem Feuerwehrhaus Problem für 2 Standorte Mttelpunkt der Strecke Problem für 3 Standorte Umkresmttelpunkt

12 12 Postonerung von enem Feuerwehrhaus Problem für mehr als 3 Standorte Gesucht st der Kres mt dem klensten Radus, der alle gegebenen Standorte überdeckt.

13 13 Postonerung von enem Feuerwehrhaus Lösungsverfahren: 1. Zechne alle Umkrese von Trpeln der Standorte 2. Zechne alle Krese um den Mttelpunkt der Strecken von Punktpaaren 3. Streche alle Krese, de ncht alle Standorte überdecken 4. Von den restlchen Kresen wähle den mt dem klensten Radus

14 14 Postonerung von enem Feuerwehrhaus

15 15 Zentrallagerpostonerung Obervellach Wolfsburg Feldkrchen Vllach Kötschach Klagenfurt

16 Defnton des Weber Problems Wr suchen den Punkt, von dem aus de Summe der gewchteten Eukldschen Dstanzen zu n- Fxpunkten mnmal st. 16

17 17 The Weber Problem Synonyme Das Fermat Problem Das verallgemenerte Fermat Problem Das Fermat Torcell Problem Das Stener Problem Das verallgemenerte Stener Problem Das Weber Problem Das verallgemenerte Weber Problem Das Fermat Weber Problem Das Mnmerungs- Problem Das Mnmum der Summe des Resestartpunktes Problem

18 18 Geschchtlcher Abrss Perre de Fermat ) - Sohn enes Lederhändlers - Studerte Rechtswssenschaften, wurde Anwalt und später Parlamentsrat - Vorblder: Eukld und Apollonos - Hauptgebet: Analytsche Geometre Gven three ponts n the plane, fnd a fourth pont such that the sum of ts dstances to the three gven ponts s a mnmum

19 Geschchtlcher Abrss Evangelsta Torrcell ) - Physker und Mathematker - Schüler Galleo Galles - Physk: Untersuchungen über den Luftdruck und de Hydraulk - Arbeten: logarthmsche Sprale de Enhüllende ener Parabelschar Zyklode 19

20 20 Defnton des Weber Problems Mnmum Punkt : Koordnaten: x,y) N - Fxpunkte: a,b ) Gewchte: w mn x,y } ) ) ), ), ), n b y a x y x d y x w d y x W + = = =

21 21 The Weber Problem Feldkrchen Vllach Klagenfurt

22 22 Torcell Punkt Ungewchtetes Mnmum n=3 Dreeck Alle Wnkel müssen klener als 120 sen

23 23 Torcell Punkt Geg.: Belebges Dreeck mt kenem Wnkel über 120. Ges.: Punkt P T) := Mnmum der Summe der Dstanzen zu den Eckpunkten

24 24 Torcell Punkt Vorgangswese: Ich zechne auf jeder Sete menes Dreeckes en Glechsetges Dreeck

25 25 Torcell Punkt Anschleßend zechne ch den Umkresradus der 3 GS Dreecke. Der Schnttpunkt st der gesuchte Punkt T

26 Torcell Punkt Bewes Beweß von J.E.Hofmann n Unvergänglche Geometre 1963), H.S.M. Coxeter Brkhäuser Verlag Basel Sete 38f weter 26

27 27 Torcell Punkt Bewes Zel: Mnmum der Summe der Dstanzen zu den Eckpunkten

28 Torcell Punkt Umsetzung: Ich drehe das Dreeck APC um 60 gegen den Uhrzegersnn. De Dreecke APP1 und ACC 1 snd glechsetg, alle 60 Abstand als Polygonzug darstellen Bewes Polygonzug mnmeren Gerade 28

29 Torcell Punkt Bewes Umsetzung: mnmal, wenn B, P, P 1,C 1 kollnear Also sollten: APB, AP 1 C 1 =120 also auch 1 AP + BP+ CP= BP+ PP + PC 1 1 APC =

30 30 Torcell Punkt Bewes Randwnkelsatz: Der Randwnkel st mmer halb so groß we der dazugehörende Zentrwnkel c

31 Torcell Punkt Bewes Umsetzung: Da AC 1 C = 60 und APC = 120 Randwnkelsatz Der Punkt P T) st auf dem Schnttpunkt der Gerade BC 1 und dem Umkres von ACC 1! 31

32 Torcell Punkt 32

33 33 Smpson Lne Smpson Lne

34 Glechsetges Dreeck 34

35 Torcell Punkt Bld 1: BAC st 120. De Strecke DB geht genau durch den Punkt A, da DAC 60 st! Bld 2: Bld 2: BAC st größer als 120. De Strecke DB verläuft außerhalb des Dreeckes ABC 35

36 The Vargnon Frame Perre Vargnon lebte n Frankrech am Ende des 17 Jh. Er war Professor an der Unverstät n Pars. Sene Spezalgebete waren Mechank und Geometre Warum legt der Knoten der gewchteten Schnüre m Optmum? 36

37 37 The Vargnon Frame Optmum Punkt x,y) Gewchte: w ) Koordnaten der Punkte: a,b ) Summe der gewchteten X- und Y- Koordnaten snd Null!

38 38 Andere Lösungsverfahren Der Weszfeld Algorthmus 1936) Austn 1959) Porter 1963)

39 Egenschaften des Weber Punktes De Gefahr, dass der Weber Punkt Knoten) n en Vargnon Loch fällt st ncht gegeben, da, egal we groß das Gewcht des enen Loches auch st, de anderen Gewchte dese Möglchket verhndern Drezner und Smch-Lev 1992) entdeckten, dass de Wahrschenlchket, das der Weber Punkt genau an enem Fxpunkt legt, 1/n st. d.f., dass je mehr Löcher snd, desto gernger de Wahrschenlchket st. 39

40 40 Quellenverzechns Standortplanung. H. Hamacher, Hrsg.): Pädagogsches Zentrum Rhenland-Pfalz, Bad Kreuznach kags.ktn.gv.at

41 41 Der Weszfeld Algorthmus 1936) Endre Vaszony Weszfeld: Ungarscher Mathematker War bekannt unter: Andrew Vaszony Entdeckte ene praktkable Methode um den lokalen Optmumpunkt für große n und verschedene Gewchte zu fnden.

42 42 Setzen wr de partellen Abletungen glech Null, da de Summe der gewchteten Dstanzen en Mnmum sen soll. ) = = = n y x d a x w x y x W 1 0 ), ), ) = = = n y x d b y w y y x W 1 0 ), ), Der Der Weszfeld Weszfeld Algorthmus 1936) Algorthmus 1936)

43 43 Der Weszfeld Algorthmus 1936) Wenn der Optmumpunkt x,y) genau auf enem Fxpunkt a,b ) legt, dann kann man de Lösung ncht berechnen, da d x,y) = 0 ncht lösbar st Nenner). Lösungen können so generell nur bs zum Grad 3 gelöst werden Iteratve Lösung

44 44 Wr formen aus der ersten Glechung das x heraus Ignoreren dabe das x n d x,y)) und das y be der zweten. Das Ergebns kann zu enem teratven Prozess formulert werden, wenn wr uns überlegen, dass das extraherte x,y) zur k+1)ten Näherung wrd, und das alte x,y), gefangen m Dstanzterm, de alte Näherung st. = = = = = + + n k k n k k n k k n k k k k y x d w y x d wb y x d w y x d w a y x 1 ) ) 1 ) ) 1 ) ) 1 ) ) 1) 1) ), ),, ), ), ), Der Der Weszfeld Weszfeld Algorthmus 1936) Algorthmus 1936)

45 45 Der Weszfeld Algorthmus 1936) Deser Lösungsweg wrd häufg n der modernen numerschen Analyss verwendet, bekannt unter dem Namen: En-Punkt Iteratonsmethode. Schwergketen be deser Methode: d x,y) 0 Startwert st entschedend, ob und we schnell man zu ener Lösung kommt

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