2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen"

Transkript

1 Algebra I c Rudolf Scharlau, Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Bei der Konstruktion der Restklassengruppe Z/mZ hatten wir auf der Gruppe Z mit Hilfe einer Untergruppe mz eine Äquivalenzrelation definiert (die Kongruenz modulo m) und weiter die Menge aller Äquivalenzklassen wieder zu einer Gruppe gemacht. Nebenbei hatten wir darauf hingewiesen, dass all dieses auch für jede andere abelsche Gruppe (zweckmäßigerweise wieder mit additiver Schreibweise der Verknüpfung) und eine beliebige Untergruppe funktioniert. In diesem Abschnitt legen wir eine beliebige, nicht notwendig abelsche Gruppe G zugrunde und betrachten hierin eine beliebige Untergruppe H. Die Verknüpfung wird dann wie üblich multiplikativ notiert und in der Regel ohne Verknüpfungssymbol. Insbesondere sind Nebenklassen, also verschobene Untergruppen, jetzt nicht mehr als g + H, sondernalsgh = {gh h H} zu notieren. Es stellt sich schnell heraus, dass die Konstruktion einer Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen genau diese Nebenklassen sind, weiterhin funktioniert. Als Folgerung ergibt sich der bekannte Satz von Lagrange, dass die Ordnung einer Untergruppe immer die Gruppenordnung teilt. Die Einführung einer sinnvollen Gruppenstuktur auf der Menge G/H der Äquivalenzklassen ist allerdings nur unter einer gewissen Zusatzvoraussetzung möglich: H muss eine sogenannte normale Untergruppe sein. Hand in Hand mit der Einführung dieser sogenannten Faktorgruppe G/H geht der Homorphiesatz für Gruppen, der die Beschreibung beliebiger Gruppenhomomorphismen auf den Fall injektiver Homomorphismen zurückführt. Satz (Nebenklassen) Es sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Definiere eine Relation L H auf G durch al H b : a 1 b H (a, b G). a) Die Relation L H ist eine Äquivalenzrelation. b) Die Äquivalenzklassen bezüglich L H sind die Teilmengen ah := {ah h H}, wobei a G ist. Die Menge ah heißt auch Linksnebenklasse 2 (von a) bezüglich H. Beweis: zu a): Die Relation L H ist reflexiv: Wegen der Untergruppeneigenschaft (U1) ist a 1 a = e H, alsoal H a für alle a G. Die Relation L H ist symmetrisch: Wegen der Untergruppeneigenschaft (U3) folgt aus a 1 b H für a, b G auch b 1 a =(a 1 b) 1 H; d.h.ausal H b folgt bl H a. 2 Es ist willkürlich, ob man ah als Links- (weil a links steht) oder Rechts- (weil H rechts steht) Nebenklasse bezeichnet; dementsprechend ist die Verwendung der beiden Begriffe in der Literatur nicht einheitlich; wir schließen uns der Mehrheit der Autoren an.

2 Algebra I c Rudolf Scharlau, Die Relation L H ist transitiv: Seiena, b, c G mit al H b und bl H c,also a 1 b H und b 1 c H. Wegen der Untergruppeneigenschaft (U2) ist dann auch a 1 b b 1 c = a 1 c H, alsoal H c,wiegewünscht. zu b) Die Äquivalenzklasse von a G bezüglich der Relation L H ist definiert als K a = {x G xl H a}. Ein unmittelbarer Rückgriff auf die Definitionen zeigt, dass diese Menge gleich ah ist. Denn wenn x K a ist, dann ist a 1 x H, alsoa 1 x = h mit h H, also x = ah ah. Wennumgekehrtx von der Form x = ah, h H ist, so ist a 1 x H, alsox K a. Ergänzung. Durch ar H b ab 1 H wird ebenfalls eine Äquivalenzrelation definiert. Die Äquivalenzklassen von R H sind die sogenannten Rechtsnebenklassen Ha = {ha h H}. Definition (Index) Es sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann bezeichnet man mit G/H (lies: G nach H oder G modulo H) diemenge aller Linksnebenklassen und mit H\G die Menge aller Rechtsnebenklassen in G bezüglich H G/H = {gh g G} Linksnebenklassen H\G = {Hg g G} Rechtsnebenklassen. Die Anzahl der Linksnebenklassen wird als der Index von H in G bezeichnet, Abkürzung auch (G : H). In Wirklichkeit sind die Linksnebenklassen gegenüber den Rechtsnebenklassen in keiner Weise ausgezeichnet. Wir werden unten sehen, dass der Index von H in G auch gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen von H in G ist. Wir kommen nun zu einer ersten fundamentalen Anwendung des Konzeptes der Nebenklassen, nämlich einer Aussage über die mögliche Anzahl der Elemente einer Untergruppe einer endlichen Gruppe. Sprechweise. Unter der Ordnung einer Gruppe G versteht man die Anzahl G der Elemente von G. Satz (Lagrange) 3 Es sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe. Dann ist die Ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G. Der Quotient ist der Index von H in G: G = G/H H =(G : H) H. 3 Joseph-Louis Lagrange, , wirkte in Turin, Berlin und Paris

3 Algebra I c Rudolf Scharlau, Beweis: Es seien a 1 H, a 2 H,..., a k H die verschiedenen Nebenklassen bzgl. H. Es ist also definitionsgemäß k = G/H, nämlich die Anzahl der (Links-)Nebenklassen. Nach dem Satz handelt es sich bei den Mengen a 1 H, a 2 H,..., a k H um die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf G. Nach einer allgemeinen Eigenschaft von Äquivalenzrelationen ist G die disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklasssen. Folglich gilt für die Mächtigkeit G = a 1 H + a 2 H + + a k H. Weiter sieht man schnell, dass alle Mengen a i H gleich viele Elemente haben, genauer: gleichmächtig zu H sind. Denn die Abbildung x a i x, H a i H ist definitionsgemäß surjektiv und nach der Kürzungsregel Satz a) injektiv, also bijektiv. Zusammengefasst ist G = k H, wiegewünscht. Der folgende Satz ist eine unmittelbare Folgerung des Satzes von Lagrange (und wird oft ebenfalls als Satz von Lagrange bezeichnet). Satz Es sei G eine endliche Gruppe und a G. Dann ist die Ordnung ord(a) von a ein Teiler der Ordnung von G. Beweis: Wir wenden den Satz von Lagrange auf die Untergruppe H = a an. Diese Untergruppe besteht nach Satz b) aus ord(a) Elementen. Beispiele (1) Die Elemente der Diedergruppe Di 4 haben die Ordnungen 1, 2oder4.Die Ordnung 8 kann nicht auftreten, weil Di 4 dann zyklisch wäre; Di 4 ist aber nicht einmal abelsch. (2) Ein Zykel der Länge l n in der symmetrischen Gruppe S n hat die Ordnung l. DaS n die Ordnung n! hat,sindalldiesezahlenl tatsächlich Teiler der Gruppenordnung. (3) Für die Ordnung [a] m eines Elementes der Gruppe (Z/mZ, +) kann man sich die Formel m ord[a] m = ggt(a, m) überlegen. Korollar Jede Gruppe der Ordnung p, wobeip eine Primzahl ist, ist zyklisch.

4 Algebra I c Rudolf Scharlau, Beweis: Es sei G = p und a G ein beliebiges Element mit a = e. Dannist ord(a) = 1.Daord(a) einteilervonp und p Primzahl ist, gilt ord(a) =p. Nach Satz b) gilt also a = p, d.h. die Untergruppe a ist gleich der ganzen Gruppe G. Also ist G = a zyklisch. Den Beweis des Satzes von Lagrange hätte man auch mit Rechtsnebenklassen statt Linksnebenklassen führen können. Es ergibt sich G/H = G / H = H\G, d.h.g enthält, wie oben schon erwähnt, gleich viele Links- und Rechtsnebenklassen. Wir überlegen uns jetzt, dass dieses Resultat immer gilt, auch wenn G unendlich ist. Satz und Definition Es sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Dann liefert die Vorschrift X X 1 := {x 1 x X} eine Bijektion von G/H auf H\G. Der Index von H in G ist also die gemeinsame Mächtigkeit von G/H und H\G: (G : H) = G/H = H\G. Beweis: Es sei X G/H, alsovonderformx = gh mit g G. Esgilt X 1 = {(gh) 1 h H} = {h 1 g 1 h H} = {hg 1 h H} = Hg 1 H\G. Unsere Abbildung X X 1 landet also in der gewünschten Zielmenge. Die gleiche Vorschrift definiert mit analogem Beweis auch eine Abbildung H\G G/H in umgekehrter Richtung. Wegen (X 1 ) 1 = X sind diese beiden Abbildungen invers zueinander, also bijektiv. Die weitere Analyse des Zusammenhangs zwischen Rechts- und Linksnebenklassen führt auf eine besondere Sorte von Untergruppen, die sogenannten normalen Untergruppen oder Normalteiler. Dieser Begriff war im Zusammenhang mit Homomorphismen unter schon erwähnt worden. Diesen Aspekt werden wir gleich weiter verfolgen (siehe Satz unten). Erst einmal formulieren und beweisen wir aber einen Satz, der die verschiedenen Beschreibungen von Normalteilern zusammenstellt. Satz und Definition (Normalteiler) Sei G eine Gruppe und N G eine Untergruppe von G. Dann sind äquivalent: (i) Für alle g G gilt gn = Ng. (ii) Es gilt G/N = N\G, d.h. jede Linksnebenklasse bezüglich N ist auch Rechtsnebenklasse bezüglich N, und umgekehrt. (iii) Für alle g G und alle n N gilt gng 1 N.

5 Algebra I c Rudolf Scharlau, Eine Untergruppe, die diese Bedingungen erfüllt, heißt Normalteiler von G oder normale Untergruppe; Bezeichnung N G. Beweis: Die Implikation (i) (ii) ist offensichtlich. Für die Umkehrung (ii) (i) muss man etwas genauer hinsehen. Nach (ii) weiß man zunächst nur, dass eine gegebene Linksnebenklasse gn überhaupt Rechtsnebenklasse ist, also von der Form Ng für ein g G. Nun ist aber eine (Rechts-)Nebenklasse durch jedes ihrer Elemente gegeben: Ng = Ny für alle y Ng. (Erinnerung hierzu: Nebenklassen sind Äquivalenzklassen, eine Äquivalenzklasse ist die Äquivalenzklasse eines jeden ihrer Elemente (Vertreter), und die Äquivalenzklasse zu y ist Ny.) Da offensichtlich g gn = Ng ist, können wir y = g nehmen und sind fertig. Die Implikation (i) (iii) ist wieder offensichtlich: Es ist gn = n g für passendes n (bei gegebenem g, n), also gng 1 N. Für die Umkehrung (iii) (i) brauchen wir nicht nur die Inklusion gng 1 N (die unmittelbar durch die Voraussetzung (iii) gegeben ist), sondern die Gleichheit. Das heißt, wir kommen nicht ganz so unmittelbar zum Ziel wie bei der anderen Richtung. Stattdessen zeigen wir die beiden Inklusionen gn Ng und Ng gn einzeln. Sei x gn gegeben, also x = gn, n N. EsistnachVoraussetzung auch n := gng 1 N. Wegenn = xg 1 ist x = n g Ng wie gewünscht. Umgekehrt sei y Ng gegeben, also y = ng, n N. Betrachtejetzt n := g 1 ng N. Dannisty = gn,alsowiegewünscht y gn. Man kann die Bedingung (i) aus auch wie folgt formulieren: Eine Untergruppe N ist Normalteiler genau dann, wenn sie invariant unter allen inneren Automorphismen ist: i g (N) N für alle g G (siehe Beispiel (6)). Beispiele (1) Alle Untergruppen von abelschen Gruppen sind Normalteiler. (2) Sei G eine Gruppe, U G eine Untergruppe vom Index 2. Dann ist U Normalteiler von G. DennnebenU selbst ist das Komplement G U die einzige weitere Nebenklasse. Diese ist notwendig sowohl Rechts- als auch Linksnebenklasse: G/U = {U, G U} = U\G. (3) In G = S 4 ist V 4 := {id, (1, 2)(3, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 3)(2, 4)} ein Normalteiler, die sog. Klein sche Vierergruppe. (4) In S 4 ist Di 4 = {(1, 2, 3, 4), (1, 3),...} (vergl. Beispiel (4)) kein Normalteiler; z.b. gilt i σ (Di 4 ) Di 4 für σ =(2, 3). Für die Beispiele (3) und (4) muss man wissen, wie Konjugation, d.h. ein innerer Automorphismus, in der Gruppe S n aussieht. Wegen der Homomorphieeigenschaft der Konjugation kann man sich auf die Konjugation eines einzelnen

6 Algebra I c Rudolf Scharlau, Zykels beschränken (denn jedes Element der S n ist Produkt von Zykeln). Hier gilt folgende Regel: Proposition Es sei ρ S n ein Zyklus und σ S n beliebig. Das Konjugierte σρσ 1 erhält man, indem man alle Ziffern j in ρ = j 1,j 2,...,j l durch σ(j) ersetzt: σ j 1,j 2,...,j l σ 1 = σ(j 1 ),σ(j 2 ),...,σ(j l ). Der folgende Satz ist sehr einfach zu beweisen, gibt aber bereits einen wesentlichen Grund dafür, dass Normalteiler besonders wichtige Untergruppen sind. Satz Sei ϕ : G H ein Homomorphismus. Dann ist der Kern von ϕ ein Normalteiler von G. Ker ϕ = {g ϕ(g) =e H } Beispiel Die Gruppe SL n (K) ist ein Normalteiler in GL n (K). Denn die Determinanten-Abbildung det : GL n (K) K ist ein Homomorphismus, und SL n (K) definitionsgemäß gleich Ker(det). Wir kommen nun endlich zu der bereits in der Einleitung dieses Abschnittes angekündigten Verallgemeinerung der Restklassengruppe Z/mZ, nämlich zur Einführung einer Gruppenstruktur auf der Nebenklassen-Menge G/N in dem Fall, dass N eine normale Untergruppe von G ist. Satz und Definition (Faktorgruppe) G sei eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. a) Durch (gn) (hn) :=(gh)n für alle g, h G wird eine Verknüpfung auf G/N wohldefiniert. b) Mit dieser Verknüpfung ist G/N eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe G modulo N oder G nach N. c) Die Abbildung π N : G G/N, g gn ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, der sogenannte kanonische Homomorphismus. Beispiel: Für G = Z und H = mz für ein m N erhalten wir die bekannte Gruppe der Restklassen modulo m. Beweis: zu a) Wie früher schon bei der Restklassenaddition müssen wir zeigen, dass die rechte Seite (gh)n der definierenden Gleichung wirklich nur von gn und hn abhängt, und nicht von der Wahl der Vertreter g und h. Seienalso g und h zwei weitere Gruppenelemente von G derart, dass gn = g N und hn = h N.Zuzeigenist(gh)N =(g h )N ist, was äquivalent zu (gh) 1 (g h )

7 Algebra I c Rudolf Scharlau, N, alsoh 1 g 1 g h N ist. Mit etwas Einsetzen und Rechnen, aber ohne viel Nachdenken, können wir das wie folgt einsehen. Nach Voraussetzung ist g 1 g =: n N. Wir orientieren uns nun an Bedingung (iii) im Satz Um den in Frage stehenden Ausdruck h 1 nh auf die Form h 1 (...)h zu bringen, benutzen wir, dass Nh = Nh,alsoh = n h mit n N ist. Wir kommen so auf h 1 (nn )h, was in der Tat in N liegt, da ja N normal ist. b) Alle drei Gruppeneigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Definition der Verknüpfung und der entsprechenden Eigenschaft von G: für drei beliebige Elemente gilt xn(ynzn) =xn(yz)n =(x(yz))n =((xy)z)n =(xy)nzn = (xnyn)zn; neutraleselementing/n ist N = en; inverszugn ist g 1 N. c) Auch dieses folgt unmittelbar aus der Definition der Verknüpfung auf der Gruppe G/N: für zwei beliebige Elemente x, y G gilt π N (xy) = (xy)n = (xn)(yn) = π N (x)π N (y). Die Surjektivität ist offensichtlich: Zu gegebenem gn G/N ist g G ein Urbild. Bemerkung: Komplex-Multiplikation von Nebenklassen. Wir wollen noch eine wichtige Bemerkung zur Definition der Verknüpfung auf der Faktorgruppe machen. Im Grunde genommen haben wir diese nämlich zwei Mal, auf zunächst verschiedene Weise definiert. Wenn ganz allgemein (G, ) eine Menge mit innerer Verknüpfung ist und A, B G Teilmengen, so benutzt man generell die Abkürzung A B = {a b a A und b B}. Für Teilmengen eines Vektorraumes ist dieses vertraut (und besonders wichtig wenn A und B Unterräume sind oder a einelementig und B ein Unterraum; die Definition gilt aber allgemein). Im Fall einer (multiplikativ geschriebenen, i.a. nicht-abelschen) Gruppe nennt man die Menge AB auch das Komplex-Produkt von A und B. Nun gilt glücklicherweise folgendes: Es sei (G, ) eine Gruppe, N G eine normale Untergruppe und A = g N = gn und B = h N = hn zwei Nebenklassen von N. Dann ist das eben in a) definierte Produkt, also (gh)n, gleich dem Komplexprodukt A B. Zum Beweis macht man sich (durch scharfes Hinsehen) zunächst klar, dass bei jeder assoziativen Verknüpfung auch für die zugehörigen Komplexprodukte von Teilmengen das Assoziativgesetz gilt. Ferner benutzt man, dass Nebenklassen als Komplexprodukte mit einem einelementigen Faktor aufgefasst werden können: gn = {g}n. Nun kann man den Beweis sehr kurz wie folgt aufschreiben: (gh)n = g(hn) = g(nh) = g((nn)h) = (gn)(nh) = (gn)(hn). Beachte, dass das Komplex-Produkt NN in der Tat für jede Untergruppe gleich N ist, sogar für jede unter Multiplikation abgeschlossenen Teilmenge N mit e N. Wie gesagt wird die Wohldefiniertheit, also Teil a) des obigen Satzes jetzt überflüssig. Auch wenn man die Interpretation von (gh)n als Komplexprodukt nicht benutzen möchte, kann man den obigen Beweis der Wohldefiniertheit wie

8 Algebra I c Rudolf Scharlau, folgt variieren und abkürzen: (gh)n = g(hn) =g(h N)=g(Nh )=(gn)h = (g N)h = g (Nh )=g (h N)=(g h )N. Man kann sich fragen, warum wir im Satz das Prokukt nicht gleich als Komplex-Produkt definiert haben; dann hätte man sich das Problem der Wohldefiniertheit völlig erspart, was vielleicht etwas eleganter erscheint. Der Grund für unsere Definition liegt im Teil c) des Satzes: es ist einfach eine zwingende Forderung für alle weiteren Anwendungen von Faktorgruppen, dass die kanonische Abbildung π N : G G/N ein Homomorphismus ist. Dann bleibt einem bei der Definition von (gn) (hn) aber überhaupt keine Wahl, man muss dieses gleich (gh)n setzen. Die Wohldefiniertheit (die ja nur für normales N gilt) muss man dann eben nachprüfen. Dass man die glatte Beschreibung als Komplex-Produkt zusätzlich hat, ist ein glücklicher Zufall bei Gruppen, der bei anderen Strukturen und ihren Faktorstrukturen nicht eintreten muss. Die Multiplikation [a] [b] von Restklassen ganzer Zahlen ist z.b. nicht durch das elementweise Produkt der beiden Klassen gegeben. Die Konstruktion der Faktorgruppe sollte immer im engen Zusammenhang mit dem folgenden Satz gesehen werden, der den Zusammenhang zu (auf G definierten) Gruppenhomomorphismen klärt. Satz (Homomorphiesatz für Gruppen) a) Es sei ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Weiter sei N G ein Normalteiler mit N Ker ϕ. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus ϕ : G/N H mit ϕ = ϕ π N, d.h. das Diagramm G ϕ H π N G/N ϕ ist kommutativ. Der Homomorphismus ϕ heißt auch der von ϕ induzierte Homomorphismus. b) Unter den Voraussetzungen von a) ist Bild ϕ =Bildϕ. Insbesondere ist ϕ surjektiv genau dann, wenn ϕ surjektiv ist. c) Unter den Voraussetzungen von a) ist Ker ϕ =(Kerϕ)/N. Insbesondere ist ϕ injektiv genau dann, wenn N =Kerϕ ist. Wenn wir die unter b) und c) genannten Spezialfälle zusammenfassen, so ist insbesondere geklärt, wann der induzierte Homomorphismus ϕ bijektiv, also ein

9 Algebra I c Rudolf Scharlau, Isomorphismus ist. Somit enthält der Homomorphiesatz auch ein Werkzeug, um Isomorphismen zu konstruieren. In der Tat ist dieses eine Standard-Methode, um Isomorphie festzustellen, sobald die eine der beiden Gruppen als Faktorgruppe gegeben ist. Wegen der vielen Anwendungen halten wir diese Teilaussage des Homomorphiesatzes noch einmal als Korollar fest. Korollar (Isomorphiesatz für Gruppen) Es sei ϕ : G H ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann induziert ϕ einen Isomorphismus ϕ : G/ Ker ϕ = H. Beispiele (1) Jede endliche zyklische Gruppe a ist isomorph zu (Z/mZ, +), wobei m die Ordnung von a ist. (2) Für n, m N gilt Z n /mz n = (Z/mZ) n. (3) Es gilt R/Z = C 1 := {z C z =1}. Für die Beweise wendet man den Homomorphiesatz (bzw. den Isomorphiesatz) auf folgende Homomorphismen an: (1) ϕ a : Z a, n a n (2) Z n (Z/mZ) n, (z 1,...,z n ) ([z 1 ] m,...,[z n ] m ) (3) R C 1,x e 2πix Eine weitere Anwendung des Homomorphiesatzes halten wir nun als eigenen Satz fest. Er verallgemeinert das Beispiel (6). Satz Es seien m, n N zwei natürliche Zahlen. Die Gruppe Z/mZ Z/nZ ist genau dann zyklisch, wenn m und n teilerfremd sind. Beweis: Setze k := kgv(m, n). Für beliebiges ([x] m, [y] n ) Z/mZ Z/nZ gilt dann k ([x] m, [y] n )=([kx] m, [ky] n )) = ([0] m, [0] n ). Wenn m und n nicht teilerfremd sind, dann ist nach k =kgv(m, n) =mn/ ggt(m, n) <mn. Also ist die Ordnung jedes Elementes echt kleiner als mn, undsomitkannz/mz Z/nZ nicht zyklisch sein. Seien nun m und n teilerfremd, also k = mn. Betrachte den Homomorphismus ϕ : Z Z/mZ Z/nZ, x ([x] m, [x] n ). Der Kern von ϕ besteht aus denjenigen ganzen Zahlen x, für die [x] m und [x] n beide die Nullklasse sind, d.h. die sowohl durch m als auch durch n teilbar sind. 4 Dieser Satz kann schon unmittelbar hinter Satz behandelt werden (Vorlesung 2012). Er wird dann mittels Korollar bewiesen.

10 Algebra I c Rudolf Scharlau, Nach und sind diese Zahlen genau die Vielfachen von k, also die Vielfachen von mn. Mit anderen Worten gilt Kerϕ = mnz. Der Homomorphiesatz liefert also einen injektiven Homomorphismus ϕ : Z/mnZ Z/mZ Z/nZ, [x] mn ([x] m, [x] n ). Da der Definitionsbereich und der Zielbereich beide gleich viele und nur endlich viele Elemente haben, ist ϕ sogar bijektiv, also ein Isomorphismus. Der letzte Satz wird in der Ringtheorie erneut auftauchen, und zwar als sogenannter Chinesischer Restsatz. Dort wird es auch für einen Teil der Aussage einen neuen Beweis geben, der zusätzliche Informationen liefert. Der nächste Satz ist eine leichte Folgerung des Isomorphiesatzes. Er wird in der Literatur oft als erster Isomorphiesatz bezeichnet. Wir betrachten eine beliebige Faktorgruppe G/N, wobeialson ein Normalteiler von G ist. Weiter nehmen wir uns irgendeine Untergruppe U von G her (die mit N nichts zu tun hat). Wir betrachten nun die Menge aller Nebenklassen un, u U. DieseMenge,nennen wir sie Ū, ist eine Untergruppe von G/N. DieBedingungenhierfür kann man unter Benutzung der Normalteiler-Eigenschaft un = Nu zu Fuß nachrechnen. Eleganter argumentiert man damit, dass Ū = π N(U) das Bild einer Untergruppe unter einem surjektiven Homomorphismus, nämlich dem kanonischen Homomorphismus π N : G G/N ist (siehe ). Mit anderen Worten, wir haben einen surjektiven Homomorphismus ϕ : U Ū, wobeiϕ := π N U die Einschränkung des kanonischen Homorphismus auf U G ist. Der Isomorphiesatz liefert also einen induzierten Isomorphismus ϕ : U/Ker ϕ = Ū. Fernergiltoffensichtlich Ker ϕ = U Ker π N = U N. Andererseits kann man auch das volle Urbild π 1 N (π N(U)) betrachten. Dieses ist also die Menge aller g G derart, dass π N (G) =gn von der Form un, u U ist. Offenbar gilt dieses genau für g UN. Kurz gesagt gilt UN = π 1 N (π N(U)), womit insbesondere bewiesen ist, dass das Komplexprodukt UN wirklich eine Untergruppe ist. Wenn wir nun die Einschränkung ψ := π N UN : UN Ū betrachten, so ist deren Kern offenbar gleich N, undderisomorphiesatzlieferteinenisomorphismusψ : UN/N Ū. Insgesamt haben wir also einen Isomorphismus ψ 1 ϕ : U/(U N) UN/N, der durch u(u N) un gegeben ist. Wir haben somit folgenden Satz bewiesen: Satz Sei G eine Gruppe N G ein Normalteiler von G und U G eine Untergruppe von G. Dann gilt: a) U N ist ein Normalteiler von U. b) UN ist eine Untergruppe von G, die N und U enthält. c) UN/N = U/(U N)

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

1.4 Homomorphismen und Isomorphismen

1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 28 1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Definition 1.4.1 Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt (Gruppen-)Homomorphismus,

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Gruppentheorie Eine Zusammenfassung

Gruppentheorie Eine Zusammenfassung Gruppentheorie Eine Zusammenfassung Stephan Tornier ETH Zürich FS 09 21. Mai 2009 Zusammenfassung In diesem Skript sind grundlegende Definitionen und Aussagen der Gruppentheorie zusammengefasst. basierend

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Algebra. Professor Walter Gubler

Algebra. Professor Walter Gubler Algebra Professor Walter Gubler 29. April 2010 2 Inhaltsverzeichnis I Algebra I 11 I Gruppentheorie 13 I.1 Gruppen................................... 13 I.1.1 Denition einer Gruppe.......................

Mehr

1 Anmerkungen zu Wohldefiniertheit

1 Anmerkungen zu Wohldefiniertheit 1 Anmerkungen zu Wohldefiniertheit Wohldefiniertheit muss bewiesen werden, wenn von vornherin nicht klar ist, ob eine angegebene Zuordnungsvorschrift eine Abbildung definiert. Hier gibt es zwei typische

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte)

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte) Aufgabe 1 (6 Punkte) Einführung in Algebra und Zahlentheorie svorschläge zur Klausur vom 23.09.2016 a) Bestimmen Sie das multiplikativ inverse Element zu 22 in Z/61Z. b) Finden Sie ein x Z mit folgenden

Mehr

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen

Mehr

Algebra und Zahlentheorie Wintersemester 2013/14

Algebra und Zahlentheorie Wintersemester 2013/14 Algebra und Zahlentheorie Wintersemester 2013/14 Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter Fassung vom 8. Februar 2014 Dies ist ein Vorlesungsskript und kein Lehrbuch. Mit Fehlern muss gerechnet werden! Math.

Mehr

Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen Peter Hellekalek Algebraische Strukturen Skriptum 28. Jänner 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen.................................................. 5 1.1 Definitionen...........................................

Mehr

2 Algebraische Grundstrukturen

2 Algebraische Grundstrukturen 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 1 8. November 2002 2 Algebraische Grundstrukturen Definitionen. Eine binäre Operation (binary operation) oder zweistellige Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung

Mehr

für alle a, b, x, y R.

für alle a, b, x, y R. Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes

Mehr

Elemente der Algebra

Elemente der Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 1 Der Gruppenbegriff Definition 1.1. Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M, (x,y) (x,y) = x y. Statt (x,y)

Mehr

5. Äquivalenzrelationen

5. Äquivalenzrelationen 5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)

Mehr

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9

Mehr

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

2.1 Zyklische Gruppen, Ordnung von Elementen, ggt und kgv

2.1 Zyklische Gruppen, Ordnung von Elementen, ggt und kgv Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, 2002 2013 111 2.1 Zyklische Gruppen, Ordnung von Elementen, ggt und kgv Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie aus den Potenzen eines festen Elementes besteht.

Mehr

1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften

1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften 1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften Von allen algebraischen Strukturen, die man in der linearen Algebra kennenlernt, haben Gruppen die einfachste Definition. In der Tat sind viele andere algebraische

Mehr

2.3. HOMOMORPHISMEN 59

2.3. HOMOMORPHISMEN 59 2.3. HOMOMORPHISMEN 59 2.3 Homomorphismen Algebraische Strukturen werden mit Hilfe strukturverträglicher Abbildungen untersucht, die wie folgt definiert werden: 2.3.1 Definition (Homomorphismus) (G, )

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

3-1 Elementare Zahlentheorie

3-1 Elementare Zahlentheorie 3-1 Elementare Zahlentheorie 3. Der Restklassenring Z/n und seine Einheitengruppe 3.0. Erinnerung: Teilen mit Rest, euklidscher Algorithmus, Bézoutsche Gleichung. Sei n eine feste natürliche Zahl. Sei

Mehr

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )

Mehr

Gruppentheorie II. von Nicole Drüke

Gruppentheorie II. von Nicole Drüke Gruppentheorie II von Nicole Drüke Abelsche Gruppen DEFINITION Multiplikative und Additive Gruppe Sei A eine abelsche Gruppe mit x A, dieses wird erzeugt durch a 1,...,a n A x=a 1 1... an n für 1,.., n

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien

Mehr

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe 2. Kongruenzen und Restklassenringe Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität:

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

Leseprobe. Rolf Socher. Algebra für Informatiker. Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie. ISBN (Buch):

Leseprobe. Rolf Socher. Algebra für Informatiker. Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie. ISBN (Buch): Leseprobe Rolf Socher Algebra für Informatiker Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie ISBN (Buch): 978-3-446-43257-4 ISBN (E-Book): 978-3-446-43312-0 Weitere Informationen oder Bestellungen

Mehr

Lösungen zur Algebra-Klausur vom Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird.

Lösungen zur Algebra-Klausur vom Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird. Aufgabe 1 Lösungen zur Algebra-Klausur vom 3.4.9 Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird. a) Zeigen Sie, dass es keine transitive Operation von G auf einer

Mehr

Algebra I, WS 04/05. i 0)

Algebra I, WS 04/05. i 0) G. Nebe, M. Künzer Algebra I, WS 04/05 Lösung 5 Aufgabe 20. 1 Wir haben einen Normalteiler C 3 = 1, 2, 3. Es ist mit C 2 := 1, 2 der Schnitt C 3 C 2 = 1, und folglich aus Ordnungsgründen S 3 = C 3 C 2.

Mehr

Klausur zur Vorlesung

Klausur zur Vorlesung Institut für Algebra und Geometrie 06. September 011 Klausur zur Vorlesung Aufgabe 1 (5 Punkte) Sei G eine Gruppe und X G eine beliebige Teilmenge von G. X := X N G a) Zeigen Sie, dass X der kleinste Normalteiler

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Ringe und Körper. Das Homomorphieprinzip für Ringe

Ringe und Körper. Das Homomorphieprinzip für Ringe Ringe und Körper Das Homomorphieprinzip für Ringe Wir beginnen mit einem Beispiel. R = Z/m Z sei die Faktorgruppe von Z nach der Untergruppe m Z, m IN. Für m = 0 ist der kanonische Homomorphismus Z Z/m

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Lösungen zum 2. Aufgabenblatt

Lösungen zum 2. Aufgabenblatt SS 2012, Lineare Algebra 1 Onlineversion, es werden keine Namen angezeigt. Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar. Insgesamt 3255 Wörter

Mehr

2. Universelle Algebra

2. Universelle Algebra 2. Universelle Algebra Die Theorie der universellen Algebra verallgemeinert die Theorien der klassischen Algebren. Obwohl ursprünglich nur eine Sorte betrachtet wurde, werden wir hier gleich den mehrsortigen

Mehr

Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6

Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6 1 Blatt 6 Aufgabe 19 Es sei M := {n N : n 2} und R := {(n, m) M M : n teilt m}. a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist. b) Überprüfen Sie, ob R eine totale Ordnung auf M ist. c) Zeigen Sie,

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

Klausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner

Klausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner Klausur vom 31.03.2010 Algebra I Rolf Farnsteiner Lösungen Daiva Pučinskaitė Aufgabe 1. Sei p R ein Primideal eines Integritätsbereichs R. Beweisen Sie folgende Aussagen: (1 S := R \ p ist eine multiplikativ

Mehr

Algebraische Zahlentheorie. Teil II. Die Diskriminante.

Algebraische Zahlentheorie. Teil II. Die Diskriminante. II-1 Algebraische Zahlentheorie Teil II Die Diskriminante Sei K ein Zahlkörper vom Grad n (also [K : Q] = n) Es gibt genau n Körper- Homomorphismen σ i : K C (siehe Merkzettel Separabilität) Stellen wir

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Prof. Dr. Rudolf Scharlau, Stefan Höppner

Prof. Dr. Rudolf Scharlau, Stefan Höppner Aufgabe 13. Bestimme alle Untergruppen der S 4. Welche davon sind isomorph? Hinweis: Unterscheide zwischen zyklischen und nicht zyklischen Untergruppen. Lösung. Die Gruppe S 4 besitzt die folgenden Elemente:

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Ringe. Kapitel 3. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln

Ringe. Kapitel 3. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln Kapitel 3 Ringe Gruppen- und Ringstrukturen sind uns schon in den verschiedensten Zusammenhängen begegnet. In diesem Kapitel wollen wir einige wichtige Klassen von Ringen im Hinblick auf Anwendungen in

Mehr

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

LIE GRUPPEN EMANUEL SCHEIDEGGER

LIE GRUPPEN EMANUEL SCHEIDEGGER LIE GRUPPEN EMANUEL SCHEIDEGGER Zusammenfassung. Definition einer Lie-Gruppe, Beispiele, invariante Vektorfelder, Lie-Klammer, Lie-Algebra (einer Lie-Gruppe), 1. Definition und erste Beispiele Wir beginnen

Mehr

Sylow Sätze und Anwendungen

Sylow Sätze und Anwendungen KAPITEL 11 Sylow Sätze und Anwendungen 11A. Einführung und Überblick In diesem Kapitel widmen wir uns ausschließlich endlichen Gruppen. Der Satz von Lagrange besagt, das für jede Untergruppe H < G die

Mehr

DIE SÄTZE VON SCHUR-ZASSENHAUS UND P. HALL

DIE SÄTZE VON SCHUR-ZASSENHAUS UND P. HALL DIE SÄTZE VON SCHUR-ZASSENHAUS UND P. HALL LARS KINDLER Dies sind Notizen für ein Seminar an der Universität Duisburg-Essen im Sommersemster 2011. Als Quelle diente das Buch A Course in the Theory of Groups

Mehr

$Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $

$Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $ $Id: korper.tex,v 1.17 2012/05/10 12:25:27 hk Exp $ 4 Körper In der letzten Sitzung hatten wir den Körperbegriff eingeführt und einige seiner elementaren Eigenschaften vorgeführt. Insbesondere hatten wir

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Einführung in die Algebra Vorlesung im Sommersemester 2006 Technische Universität Berlin gehalten von Prof. Dr. M. Pohst CHAPTER 2 Vorbemerkungen Gegenstand der Vorlesung sind die Grundstrukturen: Gruppen,

Mehr

2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Untergruppen Homomorphismen... 25

2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen Untergruppen Homomorphismen... 25 2 Gruppen Übersicht 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen............................. 17 2.2 Untergruppen...................................................... 21 2.3 Homomorphismen..................................................

Mehr

14 Ideale und Ringhomomorphismen

14 Ideale und Ringhomomorphismen 14 Ideale und Ringhomomorphismen Falls nichts anderes gesagt wird, so bezeichnen wir ab jetzt mit Ring immer einen kommutativen Ring mit 1 0. Definition 14.1. Sei R ein Ring, I R. Dann nennt man I ein

Mehr

Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA

Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA Günter Lettl SS 2010 1. Elementare Zahlentheorie N = {1, 2, 3, 4, 5,... } Menge der natürlichen Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Menge der ganzen Zahlen N 0 = {0,

Mehr

Leitfaden: Algebra I. I. Gruppen

Leitfaden: Algebra I. I. Gruppen Leitfaden: Algebra I Vorbemerkung: Ist M eine Menge, so wird ihre Mächtigkeit = Kardinalität mit M bezeichnet. Bei einer Gruppe G wird die Mächtigkeit der Grundmenge die Ordnung der Gruppe genannt. I.

Mehr

Aufgabe 1. Stefan K. 2.Übungsblatt Algebra I. gegeben: U, G Gruppen, U G, G : U = 2 zu zeigen: U G. Beweis:

Aufgabe 1. Stefan K. 2.Übungsblatt Algebra I. gegeben: U, G Gruppen, U G, G : U = 2 zu zeigen: U G. Beweis: Stefan K. 2.Übungsblatt Algebra I Aufgabe 1 gegeben: U, G Gruppen, U G, G : U 2 zu zeigen: U G Beweis: G : U ist nach Definition die Anzahl der Linksnebenklassen (gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen)

Mehr

$Id: gruppen.tex,v /04/19 12:20:27 hk Exp $

$Id: gruppen.tex,v /04/19 12:20:27 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.12 2012/04/19 12:20:27 hk Exp $ 2 Gruppen 2.1 Isomorphe Gruppen In der letzten Sitzung hatten unter anderen den Begriff einer Gruppe eingeführt und auch schon einige Beispiele von

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

KAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER

KAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG MATHEMATISCHES INSTITUT SEMINAR: QUADRATISCHE FORMEN ÜBER DEN RATIONALEN ZAHLEN SOMMERSEMESTER 2007 DOZENT: PROF. DR. KAY WINGBERG ASSISTENT: JOHANNES BARTELS KAPITEL

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 2 Beispiele für Gruppen Aus der Vorlesung Mathematik I sind schon viele kommutative Gruppen bekannt. Zunächst gibt es die additiven

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 23 Die Gradformel Satz 1. Seien K L und L M endliche Körperweiterungen. Dann ist auch K M eine endliche Körpererweiterung und

Mehr

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 39 1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie In diesem Abschnitt wird zunächst der mathematische Begriff einer Relation kurz und informell eingeführt.

Mehr

Zwischenklausur zur Linearen Algebra I HS 2010, Universität Mannheim, Prof. Dr. C. Hertling, Ralf Kurbel

Zwischenklausur zur Linearen Algebra I HS 2010, Universität Mannheim, Prof. Dr. C. Hertling, Ralf Kurbel Zwischenklausur zur Linearen Algebra I HS 2010, 23.10.2010 Universität Mannheim, Prof. Dr. C. Hertling, Ralf Kurbel Name: Emil Mustermann Sitzplatznummer: 2 Die Bearbeitungszeit für diese Klausur beträgt

Mehr

Algebra, Vorlesungsskript

Algebra, Vorlesungsskript Algebra, Vorlesungsskript Prof. Dr. Irene I. Bouw Wintersemester 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen 3 1.1 Die Definition einer Gruppe..................... 3 1.2 Diedergruppen............................

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016 Name: Vorname: Studiengang: Legi-Nr.: Algebra I D-MATH, HS 2015 Prof. Richard Pink Algebra I Zwischenprüfung Wichtig: 19. Februar 2016 Die Prüfung dauert 120 Minuten. Bitte legen Sie Ihre Legi (Studierendenausweis)

Mehr

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge 3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einführung und Definitionen Der Begriff der Restklasse stammt ursprünglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z = Z, +, ist ein kommutativer Ring). Definition 153 Sei

Mehr

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und

Mehr

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.13 2012/04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.11 2012/04/24 15:35:17 hk Exp $ 2 Gruppen 2.3 Zyklische Gruppen Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen

Mehr

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010

Induktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010 Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver

Mehr

Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung

Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung Ihre Vorbereitung auf die mündliche Prüfung sollte in mehreren Schritten verlaufen: Definitionen und Sätze Die wichtigen Definitionen

Mehr

Einführung in die Algebra 3. Übung

Einführung in die Algebra 3. Übung Einführung in die Algebra 3. Übung Lösungsvorschlag Gruppenübung G 9 (Zyklenzerlegung) ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Gegeben sei σ = S 6 3 7 4 8 1 2 9 5 9. G 10 (Zykeln) 1. Bestimmen Sie die kanonische Zerlegung

Mehr

1 Verknüpfungen, Halbgruppen, Gruppen

1 Verknüpfungen, Halbgruppen, Gruppen 1 Verknüpfungen, Halbgruppen, Gruppen 1.1 Def. M (i) assoziatives : M M M (a,b) a b heißt Verknüpfung auf M. (ii) Verknüpfung auf M heißt assoziativ a, b, c M Verknüpfung auf M heißt kommutativ a, b M

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM4 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 4: Zahlentheorie Beutelspacher 5 Lang 7, Biggs 20, 22, 23 (jeweils teilweise,

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung in

Mehr

Kommutative Algebra. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014. 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1. 1 Noethersche Ringe 5

Kommutative Algebra. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014. 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1. 1 Noethersche Ringe 5 Kommutative Algebra Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014 Inhaltsverzeichnis 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1 1 Noethersche Ringe 5 2 Moduln über Ringen und exakte Sequenzen 7 3 Lokalisierungen

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

Kapitel 11. Dimension und Isomorphie

Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach

Mehr

Gruppen Gruppen

Gruppen Gruppen Gruppen 31 2 Gruppen Rechenstrukturen sind uns aus Schule und täglichem Leben bekannt: Wir lernen dort bzw benötigen die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von von ganzen, rationalen und

Mehr

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

Mehr

2.5 p-gruppen und die Sätze von Sylow

2.5 p-gruppen und die Sätze von Sylow Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 87 2.5 p-gruppen und die Sätze von Sylow Bisher haben wir uns in dieser Vorlesung mit letztlich elementaren Grundkonzepten der Algebra beschäftigt. Bei genauer Betrachtung

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

17 Lineare Abbildungen

17 Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:

Mehr

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen

3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen technische universität dortmund Dortmund, im November 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung von Kapitel 3 3. Zahlbereiche

Mehr

Algebra I Sommersemester 2003 Christoph Schweigert Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie

Algebra I Sommersemester 2003 Christoph Schweigert Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie Algebra I Sommersemester 2003 Christoph Schweigert Universität Hamburg Fachbereich Mathematik Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie (Stand: 24.08.2005) Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen 1 1.1 Mengen mit Verknüpfung....................

Mehr

Die Sylowsätze. Alexander Hölzle

Die Sylowsätze. Alexander Hölzle Die Sylowsätze Alexander Hölzle 28.08.2006 21.01.2012 Inhaltsverzeichnis I Motivation und Einleitung 3 II Gruppenoperationen 4 1 Der Satz von Cayley und Homomorphismen.................. 4 2 Definition

Mehr