Physikalisches Praktikum I. Optische Abbildung mit Linsen

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1 Fachbereich Physik Physikalisches Praktikum I Name: Optische Abbildung mit Linsen Matrikelnummer: Fachrichtung: Mitarbeiter/in: Assistent/in: Versuchsdatum: ruppennummer: Endtestat: Dieser Fragebogen muss von jedem Teilnehmer eigenständig (keine ruppenlösung!) handschriftlich beantwortet und vor Beginn des Versuchs abgegeben werden. Die Vorbereitung wird zusätzlich durch einen Test bzw. eine mündliche Prüfung über die physikalischen rundlagen des Versuchs kontrolliert. (Version: 3. März 2014) Versuchsziel und Versuchsmethode: 1.) Was bedeutet der Brechungsindex? 2.) Warum wird paralleles Licht nach Durchlaufen einer bikonvexen Linse fokussiert? (Zeichnung)

2 3.) Zeichnen Sie den Strahlengang zur Bestimmung der Brennweite einer dünnen Linse durch Autokollimation (Versuch 1). 4.) Wie hängt die Brennweite einer Linse von den Krümmungsradien ihrer brechenden (Kugel-) Flächen und vom Brechungsindex ab? 5.) Eine punktförmige Lichtquelle bendet sich im Abstand a zur optischen Achse in der Brennebene einer Linse. Beschreiben Sie das Lichtbündel hinter der Linse. Fertigen Sie eine Skizze an. 6.) Als Lichtquelle diene eine Lampenwendel, die im Brennpunkt einer Sammellinse stehe. Hat das Strahlenbündel nach Durchlaufen der Linse einen konstanten Querschnitt (Parallelstrahl)? Fertigen Sie zur Begründung eine Skizze an.

3 Version: 3. März 2014 O Optik Optische Abbildung mit Linsen Stichworte eometrische Optik, Abbildungsgleichungen, Bildkonstruktion, Vergröÿerung, Sehwinkel, reelles und virtuelles Bild, Linsenfehler, Linsenformen und deren Bezeichnung. Literatur Walcher Theoretische rundlagen Eine ideale optische Abbildung führt Punkte wieder in Punkte, eraden in eraden und Ebenen in Ebenen über. Diese sogenannte kollineare Abbildung lässt sich durch Einführen von Hauptpunkten, Hauptebenen, Brennpunkten und Brennebenen eindeutig kennzeichnen und theoretisch berechnen. Die genannten Begrie sind unabhängig von einer physikalischen Realisierung z.b. mit Linsen oder Spiegeln deniert, jedoch lassen sich kollineare Abbildungen mit Linsen näherungsweise erzeugen. Im Versuch lernen wir grundsätzliche Prinzipien und mögliche Fehlerquellen kennen. Für dünne Linsen und achsennahe Strahlen beschreibt die Abbildungsgleichung (Linsenformel) 1 f = 1 g + 1 b f = Brennweite, g = egenstandsweite, b = Bildweite (- 1) die eometrie der Abbildung, wenn auf egenstands- und Bildseite dasselbe Medium (z.b. Luft) vorhanden ist. Obwohl Licht eine elektromagnetische Welle ist, kann zur Bestimmung der Abbildungsverhältnisse der Strahlengang meist rein geometrisch konstruiert werden. An seine renzen stöÿt dieses Verfahren erst, wenn Strukturen in die Dimension der Wellenlänge des Lichts kommen: Dann müssen Beugungsphänomene berücksichtigt werden. Die Strahlenoptik ist besonders dann von Vorteil, wenn man komplizierte Linsensysteme vorliegen hat. Dabei verfährt man so, dass man von einem Punkt des egenstandes zwei verschiedene Strahlen ausgehen lässt und deren Wege verfolgt, bis sie sich wieder schneiden. Der Schnittpunkt gibt dann den Bildpunkt B des entsprechenden egenstandspunktes an. Zur Konstruktion benutzt man i.a. zwei ausgewählte Strahlen, deren Eigenschaften bekannt sind, z.b.: ein Strahl durch den Mittelpunkt der Linse wird nicht gebrochen, ein Strahl durch einen Brennpunkt f der Linse geht in einen Parallelstrahl über (parallel zur optischen Achse) und umgekehrt. Für dünne, symmetrische 3

4 Optik Version: 3. März 2014 Linsen ist die Hauptebene H für die geometrische Konstruktion in deren Mitte zu legen (Abb. - 1). Für dicke Linsen oder Linsensysteme sind die Verhältnisse komplexer, hier werden zwei Hauptebenen eingeführt, um eine einfache geometrische Konstruktion zu ermöglichen. Wir beschränken uns hier jedoch auf den Fall dünner Linsen. Abbildung - 1: Strahlengang einer bikonvexen dünnen Linse Messung der Brennweite von Linsen Bei der Bestimmung der Brennweite f einer Linse kann sich als Problem herausstellen, dass - z.b. bei Linsen mit verschiedenen Krümmungsradien - nicht klar ist, wo die Hauptebene liegt, also nicht klar ist, von wo aus die egenstands-, Bild- oder Brennweite zu messen ist. Man hat deshalb Verfahren ausgedacht, die dieses Problem umgehen. Autokollimation Unter Autokollimation versteht man eine Abbildung, bei der ein egenstand wieder in der egenstandsebene, also auf sich selbst, abgebildet wird. Abbildung - 2: Versuchsaufbau zum Autokollimationsverfahren 4

5 Version: 3. März 2014 Man bringt dazu hinter der Linse einen ebenen Spiegel senkrecht zur optischen Achse an (siehe Abb. - 2 linker Bildteil, Spiegel steht ganz rechts) und verschiebt den egenstand solange, bis das Bild des egenstands in der egenstandsebene scharf und gleich groÿ erscheint (siehe Abb. - 2 rechts). Dann bendet sich der egenstand in der Brennebene der Linse. Alle von einem Punkt des egenstandes ausgehenden Lichtstrahlen verlaufen nach der Linse parallel zueinander, werden reektiert und in der Brennebene wieder zu einem Punkt vereinigt. Punkte oberhalb der optischen Achse werden so auf einen symmetrisch liegenden Punkt unterhalb der optischen Achse abgebildet. Als egenstand dient ein Dia, dessen eine Hälfte mit weiÿer Pappe abgedeckt ist. Bendet sich dieses Dia genau im Abstand der Brennweite f von der Linse, dann erhält man nach Reexion der Strahlen am Spiegel auf der unteren abgedeckten Diahälfte ein scharfes, mit dem Raster der oberen Diahälfte identisches Bild. Verständnisfrage: Kommt es darauf an, dass der Spiegel vor, in oder auÿerhalb der Brennweite der Linse steht? Begründung! Abbildung - 3: Autokollimation Da die Lage der Hauptebene nicht bekannt ist, wird zunächst der Abstand zwischen dem egenstand und einer beliebigen Marke am Linsenhalter gemessen. Nun wird die Linse samt Halter um 180 rad gedreht, erneut auf scharfe Abbildung justiert und wiederum der Abstand zu derselben Marke gemessen! Der Mittelwert beider Messungen entspricht (bei dünnen Linsen) der Brennweite. Abbe-Verfahren Eine weitere Methode zur Bestimmung der Brennweite ist das Abbe-Verfahren. Man Bildgröÿe B bestimmt die Brennweite aus dem Abbildungsmaÿstab β (β = ) bei zwei egenstandsgröÿe verschiedenen Linsenstellungen, deren Dierenz genau bekannt ist. 5

6 Optik Version: 3. März 2014 Abbildung - 4: Versuchsaufbau zum Abbe-Verfahren Ist a die Dierenz zweier egenstandsweiten g 2 - g 1 und sind β 1 und β 2 die zugehörigen Abbildungsmaÿstäbe, so gilt: f = a β 1β 2 β 1 β 2 (- 2) Ableitung von l. (- 2): Nach der Abbildungsgleichung (- 1) ist für zwei verschiedene Stellungen 1 und 2 von Objekt, Linse und Bild: ( g 1 = f 1 + g ) ( 1 ; g 2 = f 1 + g ) 2 (- 3) b 1 b 2 und durch Subtraktion erhält man für f: Ersetzt man b g f = g 2 g 1 g 2 b 2 g 1 durch β, dann erhält man l.(- 2). b 1 (- 4) Bessel-Verfahren Zur Messung der Brennweite einer Linse kann auch das Bessel-Verfahren benutzt werden (Abb.- 5): Ist die gegebene feste Entfernung d zwischen egenstand und Bild gröÿer als 4f, so erhält man für 2 verschiedene Stellungen der Linse ein scharfes Bild. Diese beiden Linsenorte I und II liegen symmetrisch zur Mitte von d. Die Dierenz zwischen den beiden Linsenstellungen sei e (Abb.- 5). Wegen der Symmetrie ist mit den Bezeichnungen der Linsenformel (- 1): g II = b I = d + e und b II = g I = d e 2 2 Dies in l.(- 1) eingesetzt, liefert die gesuchte Brennweite der Linse: 6 f = d2 e 2 4d (- 5)

7 Version: 3. März 2014 Abbildung - 5: Versuchsaufbau zum Bessel-Verfahren Chromatische Aberration Da die Brechzahl n(λ) des Linsenmaterials von der Wellenlänge λ des Lichtes abhängt, ist auch die Brennweite f(λ) der Linse für die verschiedenen Farben unterschiedlich groÿ. Dies führt zu einem Abbildungsfehler, der chromatische Aberation genannt wird (chroma, griech. Farbe, aberration, lat. Abweichung). Für las nimmt z.b. n im sichtbaren Bereich von rot nach blau zu (normale Dispersion), so dass beim Einstrahlen eines parallelen Bündels von weiÿem Licht (das alle Farben enthält) der Brennpunkt der blauen Komponente vor dem Brennpunkt der roten Komponente liegt. Abbildung - 6: Darstellung der chromatischen Aberration Man kann dies demonstrieren, indem man die in Abb.- 6 dargestellte Abweichung der Brennweite mit dem Bessel-Verfahren aufzeigt. Hierzu wird direkt nach der weiÿen Lampe des Versuchsaufbaus ein rotes bzw. blaues Interferenzlter eingesetzt und das Bild auf dem mit weiÿem Papier bespannten Schirm scharf gestellt. 7

8 Optik Version: 3. März 2014 Anwendungsbeispiel Lupe und Mikroskop Bei optischen Instrumenten deniert man die Vergröÿerung (Abbildungsmaÿstab) als Verhältnis von Bild- und egenstandgröÿe (lineare Vergröÿerung β = B ) oder - bei Betrachtung durch ein Okular - als Verhältnis der Sehwinkel, unter denen diese röÿen mit und ohne Instrument erscheinen (Winkelvergröÿerung Γ = ε ε 0 ). Der Sehwinkel ε 0 ohne Instrument ist dabei festgelegt als derjenige bei Betrachtung eines egenstands aus einer Entfernung von s 0 = 25 cm (deutliche Sehweite), bei der das normale Auge noch (bequem) scharf sehen kann. B b g ε 0 s s 0 f ε α Auge Abbildung - 7: Vergröÿerung des Sehwinkels ε durch eine Lupe; ohne Linse wird im Abstand s 0 unter dem Winkel ε 0 gesehen Steht bei einer Sammellinse der zu betrachtende egenstand innerhalb der Brennweite der Linse, so entsteht ein aufrechtes vergröÿertes virtuelles Bild B, das dem Auge in einem Abstand gröÿer als g hinter der Linse erscheint (Abb.- 7). Die Linse bildet eine Lupe. Die Lage des virtuellen Bildes ergibt sich aus dem Schnittpunkt des nach links verlängerten Brennstrahls mit dem verlängerten Mittelpunktsstrahl. Je näher der egenstand in die Brennebene rückt, desto weiter entfernt sich das virtuelle Bild und verschwindet gemäÿ l.- 1 im renzfall g = f im Unendlichen. Dann fallen alle von einem Punkt des egenstands ausgehenden Strahlen hinter der Linse als Parallelbündel ins Auge, wird also unter dem vergröÿerten Winkel α wahrgenommen. Dabei ist das Auge entspannt, d.h. auf unendlich akkommodiert, und die Winkelvergröÿerung beträgt Γ = α ε 0. Da das Auge nur innerhalb kleiner Winkel scharf sehen kann, ist die Näherung Γ = tan α tan ε 0 zulässig. Damit erhält man: 8 Γ = ( f ) ( s 0 ) = s 0 f (- 6)

9 Version: 3. März 2014 Man kann die Vergröÿerung dadurch noch steigern, dass man das Auge anspannt und auf die Bezugssehweite s 0 = 25 cm akkommodiert. Dazu hält man die Lupe dicht vor das Auge und bewegt den egenstand ein wenig näher zur Linse, bis das virtuelle Bild die Bezugssehweite erreicht. Für b = s 0 (negativ, weil - anders als in Abb b links der Linse liegt) erhält man dann als Vergröÿerung: ( ) B s 0 Γ = tan ε tan ε 0 = ( s 0 ) = B = β (- 7) Mithilfe der leichung - 1 erhält man für die maximale Vergröÿerung der Lupe: β = s 0 f + 1 (- 8) Im Mikroskop übernimmt eine Lupe die Funktion des Okulars, mit dem ein bereits vergröÿertes reelles Zwischenbild nochmals vergröÿert wird. So lässt sich die esamtvergröÿerung deutlich steigern. Abbildung - 8: Schematische Darstellungen eines einfachen Mikroskops aus 2 Linsen mit t: Tubuslänge; f Ob : Brennweite des Objektivs; f Ok : Brennweite des Okulars Zur Anwendung dieser Sachverhalte bauen wir ein einfaches Mikroskop bestehend aus zwei Sammellinsen, wobei die Objektivlinse eine Brennweite von f Ob = 50 mm und die Okularlinse eine Brennweite von f Ok = 100 mm besitzt. Als Objekt dient ein auf einem Dia xierter Maÿstab mit Millimetereinteilung, der von hinten mit einer Weiÿlichtquelle beleuchtet wird. Das Objekt bendet sich zwischen der einfachen und der doppelten Brennweite des Objektivs. Das Objektiv erzeugt ein vergröÿertes, umgekehrtes relles Zwischenbild des egenstands in der Brennebene des Okulars, das als Lupe verwendet wird. Das entspannte Auge kann im Versuch auf der Okularlinse dieses als virtuelles Bild sehen. 9

10 Optik Version: 3. März 2014 Die Vergröÿerung dieses einfachen Mikroskops ergibt sich aus: β Mikro = β Ob β Ok (- 9) β Ob = Vergröÿerung des Objektivs; β Ok = Vergröÿerung des Okulars Der Wert für β Mikro aus l.(- 9) wird mit dem Wert für die Mikroskopvergröÿerung gemäÿ der theoretischen Beziehung verglichen: β Mikro = (s 0 t) (f Ob f Ok ) mit s 0 : Bezugssehweite; t: Tubuslänge; f Ob : Brennweite des Objektivs; f Ok : Brennweite des Okulars Messprogramm 10 (- 10) 1. Bestimmen Sie mit dem Maÿband die horizontale Verschiebung des Dias bzgl. der Ablesemarke in der Reitermitte. Berücksichtigen Sie diese bei allen Messungen! 2. Bestimmen Sie die Brennweite einer Linse durch Autokollimation (Abb.- 2) gemäÿ dem oben beschriebenen Verfahren. Wiederholen Sie die Messung 5-mal durch erneutes Einstellen der scharfen Abbildung. 3. Bestimmung der Brennweite mit dem Abbe-Verfahren: Bilden Sie das Maÿstabdia entsprechend Abb.- 4 auf den matten Schirm ab. Für vier verschiedene g- und b-werte wird der Abbildungsmaÿstab β = B bestimmt (vgl. Abb.- 4). Für die hieraus sechs möglichen Kombinationen der g, g'- bzw. b, b'- Paare soll die Brennweite f bestimmt werden (Mittelwertbildung). 4. Bestimmung der Brennweite nach dem Bessel-Verfahren: Man verwendet hierbei das Schachbrettdia und den matten Schirm. Bei gegebener Position von Dia und Schirm (Abstand > 4f) wird das Abbild auf dem Schirm durch Verschieben der Linse scharf gestellt. Hier gibt es zwei Möglichkeiten, die ein vergröÿertes und verkleinertes scharfes Bild ergeben. Die Positionen der Linse, des Schirms und des Dias sind hierbei zu notieren. Die Messung ist 5-mal zu wiederholen. 5. Bestimmung der chromatischen Aberration einer Linse: Hierzu wird die Änderung der Brennweite einer Linse für Licht mit unterschiedlicher Wellenlänge (Farbe) nachgewiesen und quantiziert. Man verwendet für die Bestimmung der Brennweite erneut das Bessel-Verfahren (Linse f = 100 mm), benützt nun aber den Schirm mit dem weiÿen Papier. Farbiges Licht wird durch ein rotes (ca. 640 nm) bzw. blaues (ca. 400 nm) Interferenzlter vor der Lampe erzeugt. Die Positionen der Linse, des Schirms und des Dias sind hierbei zur Bestimmung

11 Version: 3. März 2014 der Brennweite wie bei Versuch 4 zu notieren. Die Messung ist 5-mal durch erneutes Scharfstellen zu wiederholen. 6. Anwendungsbeispiel Mikroskop - Bestimmung der Vergröÿerung: Versuchsaufbau siehe Abb.- 8 und Erläuterungen dazu. Stellen Sie direkt vor die Lampe den matten Schirm. Folgende Messgröÿen und Werte werden bestimmt: Vergröÿerung des Objektivs β Ob : Dazu wird der Schirm mit Millimeterpapier in die Brennebene des Okulars gestellt, auf den das vom Objektiv erzeugte Zwischenbild projiziert wird. Die Bildgröÿe des Zwischenbildes (z.b. der Abstand zwischen 2 Teilstrichen der Millimeterskala) wird ausgemessen. Die Vergröÿerung des Objektivs β Ob ergibt sich zu β Ob = B, wobei die egenstandsgröÿe ist (also z.b. der Abstand zwischen 2 Teilstrichen auf dem Objekt: = 1 mm). Vergröÿerung des Okulars β Ok : Bei der Bestimmung der Vergröÿerung des Okulars wird ausgenutzt, dass das Okular als Lupe verwendet wird. Aus der Beziehung für die Vergröÿerung einer Lupe (bei auf Unendlich akkommodiertem Auge) ergibt sich β Ok zu: β Ok = s 0 f Ok (s 0 = 25 cm, Bezugssehweite) esamtvergröÿerung β Mikro : Mit den Werten für β Ob und β Ok wird nach leichung (- 9) die Mikroskopvergröÿerung berechnet. Bestimmung der Tubuslänge t und der esamtvergröÿerung β Mikro : Zur Bestimmung der Tubuslänge (Abstand zwischen dem 2. Brennpunkt des Objektivs und dem 1. Brennpunkt des Okulars) wird mit dem Messlineal oder Maÿband der Abstand d zwischen dem Objektiv und dem Okular ausgemessen. Die Tubuslänge ergibt sich damit zu t = d f Ob f Ok. Mit dem Wert für die Tubuslänge kann nach l.(- 10) die esamtvergröÿerung berechnet werden. Diskutieren Sie die Übereinstimmung der Vergröÿerungen, die nach leichung (- 9) bzw. (- 10) ermittelt wurden. 11

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