Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

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1 Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015

2 II

3 Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen Funktionen einer Variablen spezielle Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Eponential- und Logarithmusfunktionen Komplee Zahlen (ohne Script) Polnome Polnome über R Hornerform Nullstellen und Faktorzerlegung Polnome über C Rationale Funktionen Definition und Eigenschaften: Polstellen, Asmptoten und Lücken Funktionen in der Wirtschaftsmathematik Angebots-Funktion Preis-Absatz-Funktion Erlös- bzw. Umsatz-Funktion Kostenfunktion Stückkostenfunktion variable Stückkosten Gewinnfunktion, Deckungsbeitrag Stückgewinnfunktion Produktionsfunktion Materialverbrauchsfunktion März 2015 III

4 Kapitel 5 Grundlagen 5.1 Funktionen einer Variablen (Version vom 2. März 2015) Funktionen: Grundbegriffe Eine Funktion f ist eindeutig bestimmt durch die Angabe der folgenden drei Größen A = D(f): Menge, Definitionsbereich von f B: Menge f(a) = b: Bildungsvorschrift, die jedem Element a A eindeutig ein Element b B zuordnet Bezeichnungen/ Schreibweisen: a A Argument von f b = f(a) Bild von a, Funktionswert von f an der Stelle a. W (f) = {f(a) a A} Wertebereich von f G f := {(, ) D(f) W (f) = f()} Graph der Funktion f. f() wird nach f() abgebildet f : A B f bildet ab von A nach B f : D(f) C B f ist eine Abbildung aus C nach B Beispiele: 1. f : R R, f() = 2 D(f) = R, W (f) = R + Bemerkung: B = R, also B W (f) 1

5 2 2 März f : D(f) R R +, f() = D(f) = R +, W (f) = R +, also f : R + R +, f() = Achtung! per Definition ist A = D(f) also nicht richtig: f : R R, f() = 3. f : D(f) R R : f() = ± 1 2 Achtung! Das ist keine Funktion. Weitere Definitionen Bijektion Beispiele: zu jedem b B gibt es genau ein a A mit f(a) = b Bezeichnung Bedeutung: smbolisch Erklärung Injektion zu jedem b B gibt es höchstens ein a A mit f(a) = b, d.h. a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) f ist eine eineindeutige Abbildung, d.h. zu verschiedenen Argumenten gehören verschiedene Bilder f ist eine eineindeutige Abbildung auf B 1. f : R R, f() = 2 D(f) = R, W (f) = R + f() ist nicht injektiv: z.b. b = 1 B hat zwei zugehörige Argumente: f( 1) = f(1) = 1; 2. f : D(f) R R +, f() = f() ist bijektiv. 3. f : R R : f() = e (Skizze) ist nicht bijektiv, weil es b B gibt, für die kein Urbild a A eistiert, z.b. b = 1 aber f : R (0, ) : f() = e ist bijektiv Bemerkung: Falls f : A B bijektiv ist, so eistiert die inverse Abbildung g = f 1 : B A mit g(b) = a f(a) = b a A (f 1 (f(a)) = a Ermittlung der inversen Abbildung: Umstellen der Zuordnung nach, eventuell Variablentausch 1. f : D(f) R R +, = f() = = 2 mit R + und R + = D(f), also

6 2 März g : R + R +, = g() = 2 nach Variablentausch: g : R + R +, = g() = 2 2. f : R (0, ) : = f() = e = ln mit (0, ) und R, also g : (0, ) R : = g() = ln nach Variablentausch: g : (0, ) R : g() = ln Bemerkung: Der Definitionsbereich D(f) ist gleich dem Wertebereich W (g) der inversen Funktion und der Wertebereich W (f) ist gleich dem Definitionsbereich D(g) der inversen Funktion. 3 2 = f( ) = e 3 2 = f( ) = e 1-1 = f ( ) = ln = f ( ) = ln -3-3 Abbildung 5.1: Die Eponentialfunktion = f() = e und ihre Umkehrfunktion = f 1 () = ln() und rechts deren Bild = ln() nach Vertauschen der Variablen Tpen von Bildungsvorschriften: implizit gegebene Funktion F (, ) = 0 die Bildungsvorschrift ist in Form einer Gleichung gegeben, die nicht nach der abhängigen Variablen aufgelöst ist eplizit gegebene Funktion = f() die Bildungsvorschrift ist in Form einer Gleichung gegeben, die nach der abhängigen Variablen aufgelöst ist zusammengesetzte Funktion Funktion ist abschnittsweise defi < < z.b. f() = < 550 niert

7 4 2 März 2015 Beispiel: f : D(f) R + R + : = f() mit = 0 implizite Darstellung, ergibt eplizite Darstellung: f : D(f) R + R + : = f() = 1 2 Funktionen: Eigenschaften und Operationen Monotonie von Funktionen: I D(f) f monoton wachsend auf I, f streng monoton wachsend auf I, f monoton fallend auf I, f streng monoton fallend auf I, 1, 2 I gilt: aus 1 < 2 folgt f( 1 ) f( 2 ) f( 1 ) < f( 2 ) f( 1 ) f( 2 ) f( 1 ) > f( 2 ) Krümmung von Funktionen: 1 < 2, I = [ 1, 2 ] D(f) f konve, f streng konve, f konkav, f streng konkav, s [0, 1] und = s 1 +(1 s) 2, gilt: f() s f( 1 ) + (1 s) f( 2 ) f() < s f( 1 ) + (1 s) f( 2 ) f() s f( 1 ) + (1 s) f( 2 ) f() > s f( 1 ) + (1 s) f( 2 ) f konve f konkav Abbildung 5.2: Konvee und konkave Funktionen Progressiv und degressiv steigende bzw. fallende Funktionen: f progressiv steigend f monoton steigend und konve f degressiv steigend f monoton steigend und konkav f progressiv fallend f monoton fallend und konkav f degressiv fallend f monoton fallend und konve

8 2 März f progressiv wachsend f degressiv wachsend f progressiv fallend f degressiv fallend Abbildung 5.3: Wachstumseigenschaften von Funktionen Operationen: Gleichheit f = g D(f) = D(g) f() = g() D(f)) f ist Einschränkung von g D(f) D(g) f() = g() D(f)) auf D(f), g ist Erweiterung von f auf D(g) verkettete, mittelbare h = g f h() = g(f()), Funktion wobei W (f) D(g) D(h) = D(f) f heißt innere Funktion, g heißt äußere Funktion; Nullstellen von f i Lösungen der Gleichung f() = 0, ( i D(f)) Translation, Verschiebung = f( a) + b Verschiebung des Graphen von = f() um den Vektor (a, b) T Streckung = b f( ) Streckung des Graphen von = f() um a den Faktor a parallel zur -Achse und den Faktor b parallel zur -Achse Stauchung Streckung mit a < 1 und/oder b < 1 Spiegelung Streckung mit a < 0 und/oder b < 0 1. g : R R, g() = 2 f : R + R, f() = 2 also: f ist Einschränkung von g auf R + 2. f() = e, g() = f g = f(g()) = e 2 +1, g f = g(f()) = (e ) 2 + 1

9 6 2 März spezielle Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen f() = n, n {2, 3,...} Wurzelfunktionen f() = n, n {2, 3,...} { R D f = R, W f = + n gerade R n ungerade D f = R +, W f = R + sind die Umkehrfunktionen zu den Potenzfunktionen, wenn bei diesen der Definitionsbereich auf R + eingeschränkt wird! (Bemerkung: Es ist nicht zwingend notwendig, die Wurzelfunktionen f() = n mit ungeradem n nur für nichtnegative zu definieren, man kann diese Funktionen auch für beliebige R definieren. Die Einschränkung auf nichtnegative Argumente bringt aber eine Reihe von wünschenswerten Eigenschaften. ) Es gilt damit: Definition: = f 1 () = 1 3, = f2 () = 2 6 = 6 2, = f 3 () = 2 6 = ( 6 ) 2 f : D(f) R R heißt gerade Funktion, sofern f() = f( ) für alle D(f) gilt. f : D(f) R R heißt ungerade Funktion, sofern f() = f( ) für alle D(f) gilt Eponential- und Logarithmusfunktionen Eponentialfunktion f() = a (a > 0) D f = R, W f = (0, ) Logarithmusfunktion f() = log a () D f = (0, ), W f = R Umkehrfunktion zur Eponentialfkt. e Funktion f() = e, e = natürlicher Logarithmus f() = ln() Umkehrfunktion zur e Funktion. Es gilt = e = ln(). Wegen log a () = ln() genügt es, sich mit der e Funktion und ihrer Umkehrfunktion zu ln(a) beschäftigen.

10 2 März = e = e 3 2 = ln 5 3 = e 1 = 1_ 3 ln = - 1_ 2 ln -2 Abbildung 5.4: Eponential- und Logarithmusfunktion Es gelten: Potenz-Gesetze: e + = e e e = e e e = (e ) Logarithmen-Gesetze: ln( ) ( ) = ln() + ln() ln = ln() ln ln( ) = ln() 5.3 Komplee Zahlen (ohne Script) - s. Vorlesung -

11 8 2 März Polnome Polnome über R Eine Funktion p : R R heißt Polnom vom Grade n, wenn es Zahlen a 0,..., a n R, a n 0 derart gibt, daß p() = a 0 + a 1 + a a n n = n a k k für alle R gilt. k=0 Bezeichnungen: a k für k = 0,..., n: Koeffizienten des Polnoms n: Grad des Polnoms Regeln: a) Addition und Subtraction n n a k k ± b k k = k=0 k=0 n (a k ± b k ) k k=0 b) Koeffizientenvergleich n a k k = k=0 n b k k a k = b k (0 k n) k=0 einfache Polnome: lineare Funktionen, quadratische Funktionen Hornerform Ziel: vereinfachte Funktionswertberechnung bisher: 2n 1 Multiplikationen, n Additionen Hornerform eines Polnoms f() = n a k k (W.G.Horner, ): k=0 f() = (... (( a } {{ } n + a n 1 ) + a n 2 ) + + a 1 ) + a 0 n 1 Beispiel: f() = Hornerschema zur Funktionswertberechnung an der Stelle = b a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 + c n b c n 1 b... c 2 b c 1 b b c n = a n c n 1 c n 2 c 1 f(b)

12 2 März Es werden n Multiplikationen und n Additionen benötigt. weitere Anwendung: Division von f() durch b f() = ( b)(c n n 1 + c n 1 n c 2 + c 1 ) + f(b) Bemerkung: Ist b Nullstelle von f(), so gilt f() = ( b) g() R wobei g() wieder ein Polnom ist Nullstellen und Faktorzerlegung Als Nullstelle einer Funktion f : D(f) R R bezeichnet man jede Lösung der Gleichung f() = 0, D(f). Betrachten Polnom p : R R (a) b R ist Nullstelle von p() es eistiert ein Polnom h() mit p() = ( b)h(). (b) b R heißt l-fache Nullstelle von p(), sofern ein Polnom g() eistiert mit p() = ( b) l g(). (c) l heißt dann die Vielfachheit von b. reelle Faktorzerlegung: Für jedes Polnom p : R R eistiert die Faktorzerlegung p() = a n ( b 1 ) l 1... ( b r ) l r ( 2 + c 1 + d 1 ) k 1... ( 2 + c s + d s ) k s mit den reellen Nullstellen b i der Vielfachheit l i (i = 1,..., r) und den quadratischen Polnomen 2 + c i + d i der Vielfachheit k i (i = 1,..., s), die in R keine Nullstelle haben. Bemerkung: Kennt man eine Nullstelle b des Polnoms p(), so bestimmt man h() mit p() = ( b) a h(), z.b. durch wiederholte Anwendung des Hornerschemas (erweitertes Hornerschema) und versucht dann Nullstellen von h() zu ermitteln. Beispiel: p() = reelle Faktorzerlegung: p() = ( 1) 2 ( )

13 10 2 März Polnome über C Eine Funktion p : C C heißt Polnom vom Grade n, wenn es Zahlen a 0,..., a n C, a n 0 derart gibt, daß p(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n = n a k z k für alle z C gilt. k=0 Die Regeln für Polnome über C sind analog den Regeln für Polnome über R. Beispiel: Fundamentalsatz der Algebra: Jedes komplee Polnom p(z) = n k=0 p(z) = a n (z w 1 ) l 1 (z w 2 ) l 2... (z w k ) l k a k z k besitzt die Faktorisierung mit den verschiedenen Nullstellen w i C der Vielfachheit l i (i = 1,..., k) und l 1 + l l k = n. Ein Polnom vom Grade n 1 besitzt also genau n Nullstellen in C, wobei jede Nullstelle so oft gezählt wird, wie ihre Vielfachheit angibt. Beispiel: (s.o.) p() = reelle Faktorzerlegung: p() = ( 1) 2 ( ) komplee Faktorzerlegung: p() = ( 1) 2 ( (2 + i))( (2 i)) Bemerkung: Jedes Polnom über R kann als Polnom über C aufgefaßt werden. Satz: Mit jeder Nullstelle w eines Polnoms p mit reellen Koeffizienten ist auch die konjugiert komplee Zahl w eine Nullstelle von p, d.h. die nicht reellen Nullstellen von p treten stets als konjugierte Paare w und w auf. Beispiel: p() = Rationale Funktionen Definition und Eigenschaften: Seien p() und q() Polnome über R. f() = p() heißt gebrochen rationale Funktion. q() Satz: Jede rationale Funktion f() = p() mit Zählergrad Nennergrad läßt sich q() darstellen als p() r() = h()+ mit einem Polnom h() und einem Restpolnom q() q() r() mit Grad r < Grad q (echt gebrochen rationale Funktion).

14 2 März Beispiel: p() = 3 1, q() = 1 mit und ohne Horner Bemerkung: Es gilt lim f() = lim h(), d.h. h() ist eine Asmptote für f() ± ± Abbildung 5.5: Polstellen gerader (links, ohne Vorzeichenwechsel...) und ungerader Ordnung (rechts, mit Vorzeichenwechsel in den Funktionswerten) Polstellen, Asmptoten und Lücken Eine Polstelle einer Funktion liegt vor, wenn die Beträge der Werte der Funktion in der Umgebung dieser Stelle beliebig groß werden, d.h. die Werte der Funktion streben gegen + oder. Der Graph der Funktion besitzt an dieser Stelle eine vertikale Asmptote. Für rationale Funktionen f() = p() q() gilt Nullstellen der Funktion = f() sind alle Nullstellen des Zähler-Polnoms p() im Definitionsbereich D(f) Polstellen und hebbare Unstetigkeits-Stellen der Funktion = f() sind alle Nullstellen des Nenner-Polnoms. Wenn j eine k n -fache Nullstelle des Nenner-Polnoms q() (k n > 0) und eine k z -fache Nullstelle des Zähler-Polnoms p() ist, dann gilt: k z k n = j ist eine hebbare Unstetigkeit, und k n > k z = j ist eine Polstelle (k n k z )-ter Ordnung. Beispiele: f() = 1/( 2), f() = 1/( 2) 2, f() = ( 2)2 (+1) 2 ( 2)

15 12 2 März Funktionen in der Wirtschaftsmathematik s.ab 3 s. auch Funktionen.te (Wikipedia) Angebots-Funktion Bedeutung: Eigenschaften: Beispiel: = (p), p D() = R + (gewinnmaimierende) Angebots-Menge in Abhängigkeit vom erzielbaren Preis (bei vollkommener Konkurrenz); positiv, monoton steigend, i.a. mit Sättigungswert; (p) = 10 (1 e 2 p 3 ), p D() = [2, ); s. Folie Bemerkung: ökonomisch nur sinnvoll für Preis-Absatz-Funktion Bedeutung: Eigenschaften: = (p), p D() = {p R + (p) 0} p = p(), D(p) = { R + p() 0} Absatzmenge in Abhängigkeit vom Preis bzw. erzielbarer Preis in Abhängigkeit von der abzusetzenden Menge; beide Funktionen sind monoton fallend und zueinander invers (Umkehrfunktionen); Beispiel: (p) = p p() = ; p D() = [0, 100], D(p) = [0, 250]; Erlös- bzw. Umsatz-Funktion E() = p(), E(p) = p (p), D(E()) = D(p) D(E(p)) = D() Bedeutung: Eigenschaften: Beispiel: Erlös/Umsatz in Abhängigkeit vom Absatz oder vom Preis; im monopolistischen Fall degressiv steigend bis zum Erlös- Maimum, dann progressiv fallend; im polpolistischen Fall (p konstant) linear steigend; E() = , D(E()) = [0, 250], s. Folie E(p) = 250p 2.5p 2, p D(E(p)) = [0, 100],

16 2 März E p 6000 E = E( ) = ( p) p = p( ) p Abbildung 5.6: Graph einer Angebotsfunktion (links) sowie einer Preis-Absatz- Funktion und der zugehörigen Erlösfunktion eines monopol. Unternehmens (rechts) Kostenfunktion K() = K f + K v (), D(K) = R +, K f 0 : Fikosten, K v () : variable Kosten Bedeutung: Produktionskosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: positiv, monoton steigend; Eine Kostenfunktion heißt ertragsgesetzlich, wenn sie auf [0, S ] degressiv und auf [ S, ) progressiv steigend ist, S heißt dann Schwelle des Ertragsgesetzes; Beispiel: K() = , D(K) = R +, S = 100 3, K f = 800; K v () = ; s. Folie Stückkostenfunktion k() = K(), D(k) = (0, )

17 14 2 März 2015 Bedeutung: Produktionskosten je Mengeneinheit in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: positiv, monoton fallend auf (0, o ], monoton steigend auf [ o, ), das Minimum k min = k( o ) = p o der Stückkosten wird beim Output o angenommen und heißt Betriebsoptimum, es stellt (langfristig) die untere Schranke p o für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke kann langfristig ohne Verlust produziert werden. Beispiel: k() = , D(k) = (0, ) o = , p o = k( o ) = ist langfr. Preisminimum. K k K = K( ) K = K( ) k = k( ) E = E( ) G = G( ) Abbildung 5.7: Graph einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion und der zugehörigen Stückkostenfunktion (links) sowie Graph einer Kostenfunktion, einer Erlösfunktion und der zugehörigen Gewinnfunktion (rechts) variable Stückkosten k v () = K v(), D(k) = (0, )

18 2 März Bedeutung: variabler Teil der Produktionskosten, bezogen auf eine Mengeneinheit des Outputs, in Abhängigkeit von der Produktionsmenge; Eigenschaften: Beispiel: positiv, monoton fallend auf (0, m ], monoton steigend auf [ m, ), das Minimum k vmin = k v ( m ) = p m der variablen Stückkosten heißt Betriebsminimum, es stellt (kurzfristig) die untere Schranke p m für den Abgabepreis des Produktes dar, nur oberhalb dieser Schranke können zumindest noch die laufenden Kosten der Produktion gedeckt werden. k v () = , D(k) = (0, ), m = 50, p m = k v ( m ) = 35 ist kurzfristiges Preisminimum, bei dem nur noch die laufenden Kosten gedeckt werden! Gewinnfunktion, Deckungsbeitrag Gewinnfunktion G() = E() K(), D(G) = D(p), Deckungsbeitrag D() = E() K v () = G() + K f, D(D) = D(p) Bedeutung: Gewinn (Deckungsbeitrag) in Abhängigkeit vom Output Eigenschaften: monoton steigend bis zum Output Gma = Dma mit maimalem Gewinn/Deckungsbeitrag, danach progressiv fallend; die Nullstellen 1 und 2 der Gewinnfunktion heißen untere/obere Gewinnschwelle, wenn gilt G() 0 [ 1, 2 ]; Beispiel: G() = , D(G) = [0, 250] Gma = , G ma = , D ma = , 1 = , 2 = , s. Folie Stückgewinnfunktion g() = G() = p() k(), D(g) = D(p) \ {0} Bedeutung: Gewinn je Mengeneinheit in Abhängigkeit vom Output Eigenschaften: monoton steigend bis zum Output gma mit mamalem Stückgewinn, danach progressiv fallend Beispiel: g() = , D(g) = (0, 250] gma = , g ma = Produktionsfunktion (r), D((r)) = (0, )

19 16 2 März 2015 Bedeutung: Output in Abhängigkeit vom Input r Eigenschaften: monoton steigend, meist bis zu einer Sättigungsgrenze ma 1 Beispiel: (r) = ( 1 1 ) 2, r (0, ), 2 +r 2 W f = (0, 4), s. Folie Materialverbrauchsfunktion Bedeutung: Eigenschaften: r(), D(r) = [0, ma ) Verbrauch des Inputfaktors r in Abhängigkeit vom Output Umkehrfunktion der Produktionsfunktion monoton steigend Beispiel: r() = 4 (2 ) 2, D(r) = (0, 4)