Vorlesung Dynamische Systeme

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1 Vorlesung Dynamische Systeme WS 2009/2010 Mo , WIL C133 Fr , WIL C133 Tobias Oertel-Jäger Institut for Analysis, TU Dresden

2 Dynamische Systeme Bekannte Objekte, neue Fragen Besonderheit der Theorie Dynamischer Systeme ist die Tatsache, das die untersuchten Objekte bereits aus anderen mathematischen Disziplinen bekannt sind. Neu ist die Art der Fragestellungen. Ziel: Gegeben einen Raum X soll das mögliche Langzeitverhalten von Abbildungen f : X X oder Flüssen Φ : R X X (z.b. erzeugt von DGL-Systeme) beschrieben werden. Für Flüsse können dabei durch Betrachtung der Zeit-1-Abbildung f (x) = Φ(1, x) viele Probleme auf die entsprechenden für Abbildungen zurückgeführt werden (wegen Φ(n, x) = f n (x)).

3 Teilgebiete Dynamischer Systeme Räume Abbildungen Methoden Maßräume messbare Maßtheorie Abbildungen Ergodentheorie top. Räume stetige Abbildungen/ allgemeine Topologie Homöomorphismen topologische Dynamik top. Mannig- algebraische Topologie faltigkeiten topologische Dynamik Differenzierbare/ differenzierbare Abb./ Differentialgeometrie Riemannsche M. Diffeomorphismen glatte Dynamik C/komplexe M. holomorphe/ Funktionentheorie meromorphe Funktionen komplexe Dynamik In jeder dieser Situationen können zudem unterschiedliche Objekte untersucht werden: Invariante Maße, Lyapunov-Exponenten, top. Chaos, Entropie,...

4 Zwei Pole der Dynamik Ordnung und Chaos Rotationsartige ( elliptische) Dynamik Trotz deterministischer Entwicklungsregeln scheinbar völlig zufälliges Verhalten Beispiel x x + ω mod 1, ω / Q. Beispiel X = {0, 1} N (Bernoulli-Raum) σ : X X Shift-Abbildung

5 Vorlesungsstoff Ziel der Vorlesung Behandelt werden sollen vor allem zwei der wenigen Systemklassen, für die eine (mehr oder weniger) geschlossene und vollständige Theorie bereits existiert: Kreishomöomorphismen und sog. Twist-Abbildungen auf dem kompakten Kreisring. Diese werden mit (einfachen) maßtheoretischen, topologischen, differentialgeometrischen und funktionentheoretischen Methoden untersucht. (Vorkenntnisse werden nur in Funktionentheorie und z.t. in Maßtheorie vorausgesetzt.) Anhand dieser Beispielklassen werden wir auch viele der wichtigsten Grundkonzepte der Theorie Dynamischer Systeme kennenlernen. Der Schwerpunkt liegt hierbei allerdings auf rotationsartiger Dynamik. (Hyperbolische Systeme: Folgevorlesung).

6 Simulation Dynamischer Systeme Einfache Simulation Die Simulation Dynamischer Systeme mit diskreter Zeit (Abbildungen) mit Mathematik-Programmen wie MATHEMATICA, MATLAB oder SCILAB ist mit geringem Aufwand möglich. Zu einem gegebenen Startwert x wird eine hohe Anzahl von Iterierten berechnet (z.b. f (x), f 2 (x),..., f 105 (x)) und unter Weglassen eines Anfangsabschnitts geplottet (z.b. f 103 (x),..., f 105 (x)). Das Weglassen der ersten 10 3 Iterierten dient dem Zweck, Konvergenzeffekte abzuwarten und so beispielsweise Attraktoren sichtbar zu machen.

7 Simulations-Beispiele

8 Der Hénon-Attraktor Orbit der Hénon-Abbildung f a,b : R 2 R 2, (x, y) (a by x 2, x) mit a = 1.4 und b = 0.3.

9 Orbits der Standard-Abbildung 400 Orbits (der Länge 250) der Standard-Abbildung mit a = 0.1. F (x, y) = (x + y mod 1, y + a sin(2π(x + y))).

10 Seltsame nicht-chaotische Attraktoren Attraktoren (blau) und Repeller (rot) in der Parameterfamilie ( f τ,α,β,d (θ, x) = θ + ω, x + τ + α ) 2π sin(2πx) + β sin(2πθ)d mod 1 mit α = 0.99, β = 0.3, d = 21 und τ = (links) bzw. τ = 0.14 (rechts).

11 Abgeleitete Diagramme

12 Verzweigungs-Schema der quadratischen Familie Vertikal: Orbits der logistischen Abbildung f λ (x) = λx(1 x). Horizontal: Parameter λ von 2.5 bis 4 in 500 Schritten. x Period Doubling Cascade λ

13 Arnold sche Kreisabbildung und Teufelstreppe Die Rotationszahl ρ(τ) = ρ(f α,τ ) der Arnold schen Kreisabbildung f α,tau : T 1 T 1, x x + τ + α 2π sin(2πx) mod 1 in Abhängigkeit vom Parameter τ (mit α = 0.99 fix). ρ(τ) τ

14 Arnold sche Zungen Parameterbereiche mit konstanter Rotationszahl in der Arnold schen Kreisabbildung. τ α

15 Vorlesungsgliederung Überblick 1 Zwei Beispiele chaotischer Dynamik 2 Richtungserhaltende Kreishomöomorphismen und Diffeomorphismen 3 Twist-Abbildungen des kompakten Zylinders 4 KAM-Theorie (funktionentheoretische Methoden)

16 Literatur Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems; A. Katok and B. Hasselblatt, Cambridge University Press 1995, ISBN Chaos and Chance; A. Berger, de Gruyter Verlag 2001, ISBN Dynamical Systems; C. Robinson, CRC Press LLC, ISBN

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