Statistische Versuchsplanung - zuverlässiger und schneller zu Ergebnissen" Dr. Uwe Waschatz

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1 Statistische Versuchsplanung - zuverlässiger und schneller zu Ergebnissen" Dr. Uwe Waschatz

2 Inhalt Problembeschreibung Multiple lineare Regressionsanalyse Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE) Anwendungen für Verbrennungsmotoren Zusammenfassung Dr. U. Waschatz Nr. 2

3 Inhalt Problembeschreibung Multiple lineare Regressionsanalyse Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE) Anwendungen für Verbrennungsmotoren Zusammenfassung Dr. U. Waschatz Nr. 3

4 Versuche im Entwicklungsprozess eines Motors Analysieren der Einflüsse durch Simulation Bauteile optimieren Funktionen applizieren und prüfen Einhaltung der gesetzlichen Vorschriften überprüfen Dr. U. Waschatz Nr. 4 Betriebsfestigkeit prüfen... Ziel: Ermittlung der Zusammenhänge

5 3-dimensionaler Parameterraum, noch anschaulich Faktor 1 Dr. U. Waschatz Nr. 5 Faktor 3 Faktor 2

6 3-dimensionaler Parameterraum, noch anschaulich Beispiel: 3 Einflussgrößen mit 5 einstellbaren Stufen: 125 mögliche Messpunkte. Graphische Darstellung der Ergebnisse: Dr. U. Waschatz Nr. 6 5 Kennfelder für eine oder mehrere Zielgrößen Steuerzeit Auslass Berechnetes eff. Drehmoment Steuerzeit Einlass

7 6-dimensionaler Parameterraum??? Dr. U. Waschatz Nr. 7 Darstellung und Verständnis ist nur mit Hilfe mathematischer Methoden (z. B. Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments, DoE) möglich.

8 6-dimensionaler Parameterraum Beispiel: 6 Einflußgrößen mit 5 einstellbaren Stufen: mögliche Meßpunkte. Graphische Darstellung der Ergebnisse: 625 Kennfelder für eine oder mehrere Zielgrößen. 35 Berechnetes eff. Drehmoment Dr. U. Waschatz Nr. 8 Steuerzeit Auslass Steuerzeit Einlass

9 Inhalt Problembeschreibung Multiple lineare Regressionsanalyse Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE) Anwendungen für Verbrennungsmotoren Zusammenfassung Dr. U. Waschatz Nr. 9

10 Multiple lineare Regression Modellvorstellung Störgrößen z Eingangsgrößen x Ausgangsgrößen y x 1 x 2 x 3... Prozeß, System... y 1 y 2 x n-2 x n-1 x n y n-1 y n Dr. U. Waschatz Nr. 10 Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Ein- und Ausgangsgrößen? Realität: y = f (x) + ε f: beliebig komplexe, i. d. R. unbekannte Funktion x: Vektor der Eingangsgrößen x i ε : Meßfehler / Prozeßrauschen

11 Multiple lineare Regression Polynome als Näherungsansätze Realität: y = f (x) = f (x 1, x 2,..., x n ) Mathematisches Modell y = g (x) =g (x 1, x 2,... x n ) ^ ^ Fehler: e = y - y Näherungsansatz bei der multiplen linearen Regression: y = a 0 + Σ a i x i + ΣΣ a ij x i x j + Σ a ii x i ^ Konstante k i=1 Haupteffekte k k k i=1 j=1 i < j zweifach Wechselwirkungen i=1 quadratische Effekte Effekte höherer Ordnung Dr. U. Waschatz Nr. 11 Strategie zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten a ij Minimierung des mittleren quadratischen Modellfehlers: n Q =Σ ^ e i2 =Σ(y i -y i ) 2 i=1 n i=1 n = Anzahl der Messungen

12 Multiple lineare Regression Beispiel 2. Ordnung 90 Dr. U. Waschatz Nr. 12 Drehmoment [Nm] y = *ZW-40.8*ZW 2 R 2 = y i e i y i Zündwinkel [Grad KW] Anpassung: Mittels Methode der kleinsten Fehlerquadrate Sie minimiert die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen Messwerten und Modellwerten (Residuen-Quadratsumme). Bezeichnungen: y i : i-te Messung (hier Drehmoment) y i : prognostizierter Wert der i-ten Messung e i : Residuum der i-ten Messung e i = y i -y i = Regressionsmodell = Messwerte

13 Modell mit statistischen Kenngrößen Least Squares Coefficients, Response MD, Term Coeff. Std. Error T-value Signif ~ZW ~ZW** Term Transformed Term ~ZW ((ZW-1.5e+01)/1.5e+01) 3 ~ZW**2 ((ZW-1.5e+01)/1.5e+01)** Dr. U. Waschatz Nr. 13 No. cases = 9 R-sq. = RMS Error = Resid. df = 6 R-sq-adj. = Cond. No. = ~ indicates factors are transformed.

14 Multiple lineare Regression Residuendarstellung zur Beurteilung der Modellqualität Histogramm Propability Plot 8 4 Dr. U. Waschatz Nr. 14 Frequency Ausreißer Resid. Ziegröße Zielgröße Quantile Ausreißer Resid. Zielgröße

15 Inhalt Problembeschreibung Multiple lineare Regressionsanalyse Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE) Anwendungen für Verbrennungsmotoren Dr. U. Waschatz Nr. 15 Zusammenfassung

16 Versuchsplanung Auswahl von Versuchspunkten Wie müssen die Versuchspunkte verteilt werden, um die Steigung β einer Geraden gut zu schätzen? Dr. U. Waschatz Nr. 16 Im rechten Fall hat Rauschen weniger Einfluss auf die Steigung, d.h. der Koeffizient kann robuster geschätzt werden.

17 Faktor 2 Faktor 2 Faktor 1 Dr. U. Waschatz Nr. 17 Faktor 3 Faktor 3 Faktor 2 Faktor 1 Zentral zusammengesetzter Plan Faktor 1 Faktor 3 Faktor 3 Versuchspläne Faktor 2 Faktor 1 Teilfaktorieller Plan Vollfaktorieller Plan D-optimaler Plan

18 Vorgehen bei Ausschlussbereichen Klassischer und D-optimaler Versuchsplan Dr. U. Waschatz Nr. 18 Schlechte Strategie (klassisch): Der verbleibende Versuchsraum wird weiter so reduziert, dass ein klassischer Versuchsplan angewendet werden kann. Dabei gehen möglicherweise sehr wichtige Regionen des Versuchsbereiches verloren. Gute Strategie (d-optimal): Der verbleibende Versuchsraum wird gleichmäßig ausgeleuchtet. Faktor 2 Faktor Faktor Faktor 1

19 Design, Anzahl der Versuche Bei k Faktoren mit jeweils... k=4 k = 10 müssen zur Berechnung... der linearen Haupteffekte k der 2-Faktor-Wechselwirkungen k x (k-1)/ der quadratischen Effekte k 4 10 der Versuchsvarianz (>=1) Versuche mindestens durchgeführt werden Dr. U. Waschatz Nr. 19 Wie sollen diese Versuche aus den 3 k möglichen ausgewählt werden?

20 Inhalt Problembeschreibung Multiple lineare Regressionsanalyse Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE) Anwendungen für Verbrennungsmotoren Dr. U. Waschatz Nr. 20 Zusammenfassung

21 Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors Einflussfaktoren: Zielgröße: Drehzahl Rel. Luftmasse (Temperatur) Schleppmoment Dr. U. Waschatz Nr. 21 Modellgleichung (quadratischer Ansatz) M d = a 0 + a 1 *RL + a 2 *DRZ + a 3 *RL*DRZ + a 4 *RL 2 + a 5 *DRZ 2

22 Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors Modell 2. Ordnung Least Squares Coefficients, Response EFFMOMT, Model DESIGN COPY Term Coeff. Std. Error T-value Signif ~RL_W ~DRZ ~RL_W*DRZ ~DRZ** Dr. U. Waschatz Nr. 22 Term Transformed Term ~RL_W ((RL_W e+01)/ ~DRZ ((DRZ-2.8e+03)/2.1e+03) 4 ~RL_W*DRZ ((RL_W e+01)/ ~DRZ**2 ((DRZ-2.8e+03)/2.1e+03)* No. cases = 16 R-sq. = RMS Error = Resid. df = 11 R-sq-adj. = Cond. No. = ~ indicates factors are transformed.

23 Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors Modellergebnis (2. Ordnung) mit 95% Vertrauensintervall -6-8 Dr. U. Waschatz Nr. 23 Dremoment [Nm] Drehzahl [U/min] RL_W=20 RL_W=70

24 Beispiel 1: Analyse der Modellschwäche Residuen über Reihenfolge der Messung 2.0 Dr. U. Waschatz Nr. 24 R e s i d u a l Case Number

25 Beispiel 1: Analyse der Modellschwäche Residuen über rel. Luftmasse Dr. U. Waschatz Nr. 25 S t u d. R E S I D U A L o f E F F M O M T rel. Luftmasse [%]

26 Beispiel 1: Analyse der Modellschwäche Residuen über Drehzahl Dr. U. Waschatz Nr. 26 S t u d. R E S I D U A L o 0.0 f -0.5 E F F-1.0 M O-1.5 M T Drehzahl [U/min]

27 Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors Modell 4. Ordnung Einflussfaktoren: Zielgröße: Drehzahl Rel. Luftmasse (Temperatur) Schleppmoment Dr. U. Waschatz Nr. 27 Modellgleichung (quadratischer Ansatz) M d = a 0 + a 1 *RL + a 2 *DRZ + a 3 *RL*DRZ + a 4 *RL 2 + a 5 *DRZ 2 + a 6 *DRZ 3 + a 7 *DRZ 4

28 Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors Modell 4. Ordnung Least Squares Coefficients, Response EFFMOMT, Model ERW1 CO Term Coeff. Std. Error T-value Signif ~RL_W ~DRZ ~RL_W*DRZ ~DRZ** ~DRZ** Dr. U. Waschatz Nr. 28 No. cases = 16 R-sq. = RMS Error = Resid. df = 10 R-sq-adj. = Cond. No. = ~ indicates factors are transformed.

29 Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors Modellergebnis (4. Ordnung) mit 95% Vertrauensintervall RL_W=20 RL_W=70 Dremoment [Nm] Dr. U. Waschatz Nr Drehzahl [U/min]

30 Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors Contourplott (Kennfeld für das Schleppmoment) rel. Luftmasse [%] * -11 * * * -14 Dr. U. Waschatz Nr * -12 * * * * * * * Drehzahl [U/min] Drehmoment [Nm] -18

31 Beispiel 2: Motorapplikation Einflussgrößen eines 4-Ventil Ottomotors Einstellungen Motordrehzahl 10 Füllung 10 Zündwinkel 10 Kraftstoff-Luft-Verhältnis 5 Steuerzeit Einlassnockenwelle 8 Steuerzeit Auslassnockenwelle 5 Dr. U. Waschatz Nr. 31 Aus den erforderlichen Einstellungen für die Einflussgrößen ergibt sich ein Raum mit über Gitterpunkten Bei Anwendung der statistischen Versuchsplanung werden nur 400 Messpunkte benötigt

32 Beispiel 2: Motorapplikation Analyse und Optimierung eines Motors Aufgabe 1: Applikation des Steuergerätes (z. B. Momentenschnittstelle) Einflussfaktoren: Zielgrößen (Z i ): Dr. U. Waschatz Nr. 32 Zündwinkel Drehzahl Steuerz. Einlassw. Steuerz. Auslassw. Lambda Rel. Füllung Verbrauch Saugrohrdruck Drehmoment....

33 Beispiel 2: Motorapplikation Analyse und Optimierung eines Motors Aufgabe 2: Optimierung des Verbrauchs und der Emissionen Einflussfaktoren: Zielgrößen (Z i ): Dr. U. Waschatz Nr. 33 Zündwinkel Drehzahl Steuerz. Einlassw. Steuerz. Auslassw. Lambda Drehmoment Verbrauch Rel. Füllung Saugrohrdruck....

34 Beispiel 2: Motorapplikation Analyse und Optimierung eines Motors Aufgabe 3: Optimierung der Vollast Einflussfaktoren: Zielgrößen (Z i ): Dr. U. Waschatz Nr. 34 Zündwinkel Drehzahl Steuerz. Einlassw. Steuerz. Auslassw. Lambda Saugrohrdruck Verbrauch Rel. Füllung Drehmoment....

35 Beispiel 2: Motorapplikation Wirkung der Einflussgrößen Md [Nm] / Dr. U. Waschatz Nr Drehzahl Lambda Saugrohrdruck Steuerzeit Auslass Steuerzeit Einlass Zündwinkel

36 Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor Aufgabenstellung Welchen Einfluß haben die Parameter: Drehzahl Last Düse (2 Varianten) Spritzbeginn Abgasrückführrate (AGR) Ladedruck Dr. U. Waschatz Nr. 36 auf die Zielgrößen: in einem Teillastpunkt Verbrauch, Stickoxide, Rußzahl...

37 Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor Vergleich des Aufwandes Düsenvergleich beim Dieselmotor übliches Vorgehen ca Messpunkte pro Düse Reduzierung des Versuchsaufwands durch Beschränkung (keine AGR, keine Variation des Ladedrucks) Statistische Versuchsplanung wenige Messpunkte pro Düse (60) Messung im gesamten Parameterraum mathematisches Modell Dr. U. Waschatz Nr. 37 ev. nur lokales Optimum erfaßt; Fehlentscheidungen möglich globales Optimum wird erfaßt

38 Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor Untersuchungen mit festem Ladedruck und ohne Abgasrückführung Ergebnis an einem Betriebspunkt: Düse a: Düse b: Rußzahl [% v. Zielwert]: Stickoxide [g/h] : Dr. U. Waschatz Nr. 38 Düse a ist besser als Düse b

39 Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor Rußzahl über Abgasrückführrate (Modell) Dr. U. Waschatz Nr. 39 Rußzahl [Prozent v. Zielwert] Betriebspunkt: n = 2000 min -1 MD = 30Nm, PL = 1,1 bar, SB = -10 Grad KW Ruß - Zielwert Düse=a Düse=b klein mittel groß Abgasrückführrate

40 Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor Stickoxide über Abgasrückführrate (Modell) NOx [g/h] Betriebspunkt: n = 2000 min -1 MD = 30Nm, PL = 1,1 bar, SB = -10 Grad KW Düse=a Düse=b Dr. U. Waschatz Nr Ruß (Düse a) = 100% Ruß (Düse b) = 100% klein mittel groß Abgasrückführrate

41 Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor Untersuchung im vollständigen Parameterraum Ergebnis an einem Betriebspunkt: Düse a: Düse b: Rußzahl [% v. Zielwert]: Stickoxide [g/h]: Dr. U. Waschatz Nr. 41 Düse b ist besser als Düse a

42 Inhalt Problembeschreibung Multiple lineare Regressionsanalyse Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE) Anwendungen für Verbrennungsmotoren Dr. U. Waschatz Nr. 42 Zusammenfassung

43 Zusammenfassung Statistische Versuchsplanung bewirkt: Reduzierung des Versuchsaufwands um den Faktor 10 bis 100 (Verkürzung der Entwicklungszeit) Überwachung der Messqualität Dr. U. Waschatz Nr. 43 Erkennen von Wechselwirkungen in mehrdimensionalen Parameterräumen Verstehen der Zusammenhänge

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