Investition und Finanzierung

Transkript

1 Investition und Finanzierung 20. April 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Finanzmathematische Grundlagen Zeitwert des Geldes Zinsrechnung Rentenrechnung Grundlagen 11 3 Dynamische Investitionsrechnung Grundlagen Wahlentscheidungen-Dynamische Verfahren Vollständiger Finanzplan Annahmen: Endwertmodelle Entnahmemodelle Statische Investitionsrechnung Kostenvergleichsrechnung Gesamtkostenvergleich Stückkostenvergleich Gewinnvergleichsrechnung Rentabilitätsrechnung Amortisationsrechnung Durchschnittsmethode Kumulationsmethode Dynamische Methode Beurteilung Interner Zinsfuss und Differenzinvestition Begriff des internen Zinsfußes

2 Investition und Finanzierung Inhaltsverzeichnis 5.2 Berechnung des internen Zinsfußes Einperiodenfall Zweiperiodenfall Mehrperiodenfall: Newtonverfahren Eigenschaften: Fehlentscheidung, Existenz, Mehrdeutigkeit Was ist eine Normalinvestition Interner Zinsfuß und Ergänzungsinvestitionen Der modifizierte interne Zinsfuß nach Baldwin (1959) Kalkulationszinsfuß und Differenzinvestition Nutzungsdauer- und Ersatzprobleme Einmalige Investition Mehrmalige Investition bei endlichem Planungshorizont bei unendlichem Planungshorizont Ersatzprobleme Grundlagen der Finanzierung Finanzierungsbegriff Finanzierungsformen im Überblick Das Grundproblem der Finanzierung Die Geschichte von Don Pedro und Holy Joe Methodische Schlussfolgerungen Beteiligungsfinanzierung Aktienarten Gründung Die Kapitalerhöhung der Aktiengesellschaft Ordentliche Kapitalerhöhung Das genehmigte Kapital Bedingte Kapitalerhöhung Kapitalerhöhung aus Gesellschaftsmitteln Die Kapitalherabsetzung der Aktiengesellschaft Die buchmäßige (reine) Sanierung Sanierung durch Zuführung neuer Mittel Sanierung durch Einziehung von Aktien Langfristige Fremdfinanzierung: Fremdfinanzierung und Leverage Einteilungen Der Leverage-Effekt Weitere Formeln Zahlenbeispiel Das Leveragerisiko

3 Investition und Finanzierung Inhaltsverzeichnis 10 Tilgungsrechnung Grundbegriffe der Tilgungsrechnung Grundgleichungen Ratentilgung Annuitätentilgung Zahlenbeispiel Langfristige Fremdfinanzierung Berechnung zur Verzinsung Anleiheformen Kurzfristige Fremdfinanzierung Lieferantenkredit Kundenanzahlungen Kontokorrentkredit Diskontkredit Lombardkredit Akzeptkredit Avalkredit Akkreditiv Rembourskredit Negoziationskredit Forfaitierung Kreditsubstitute Factoring Leasing Leasing bei vollkommenen Kapitalmarkt Zahlenbeispiel Innenfinanzierung Selbstfinanzierung Finanzierung durch Abschreibungen Finanzierung aus Abschreibungen - der Lohmann-Rutchi-Effekt Finanzierung durch Rückstellungen

4 Investition und Finanzierung 1 Finanzmathematische Grundlagen 1 Finanzmathematische Grundlagen 1.1 Zeitwert des Geldes Gegenwärtige Güter sind in aller Regel mehr wert als künftige Güter gleicher Art und Zahl K 0 = heutige Zahlung bei t=0 und K 1 = morgige Zahlung bei t=1 K 1 K 0 dann wird K 0 vorgezogen K 1 > K 0 dann ist indifferenz möglich Im Indifferenzfall: q= K 1 K 0 mit q>1 oder 1+i= K 1 K 0 mit i>1 je größer i ist, desto besser ist es, das Geld morgen auszahlen zu lassen Bestimmungsgründe des Zinses: Die menschliche Ungeduld Die günstige Anlagemöglichkeit Nominalzinsen sind immer positiv, Realzinsen können auch negativ werden: Bsp.: heute 1000 e im 1. Jahr 1050 e =+5% nominal aber: bei Inflation über 5% sind die tausend Euro heute mehr wert als die 1050 in einem Jahr = negativer Realzins Annahme: Der Zins sei in seiner Höhe vorgegeben und stets positiv 1.2 Zinsrechnung Die vier Fragen der Zinsrechnung: 1. Anfangskapital K 0 2. Zinssatz i 3. Laufzeit n 4. Endkapital K n 4

5 Investition und Finanzierung 1 Finanzmathematische Grundlagen Einfache Zinsrechnung K n = K 0 + i K 0 + i K i K 0 K n = K 0 (i n + 1) K 0 = Kn 1+i n i = 1 n ( Kn K 0 1) n = 1 i ( Kn K 0 1) Zinseszinsen K 1 = K 0 (1 + i) K 2 = K 1 (1 + i)... K n = K n 1 (1 + i) K n = K 0 (1 + i) n K 0 = K n (1 + i) n i = n K n K 0 1 lnk n = lnk 0 + n ln(1 + i) n = ln( Kn K 0 ) ln(1+i) Gemischte Verzinsung n=n 1 (Zinseszins)+n 2 (einfache Zinsen) n 1 =int(n)=ganzzahliger Anteil von n n 2 = n n 1 =Bruchteil von n (kleiner 1) K n = K 0 (1 + i) n 1 (1 + n 2 i) K n (1+i) n 1 (1+n 2 i) K 0 = i=...kaum berechenbar (iterativ) n = n 1 + n 2 1. Schritt: n 2 (1 + i n 2 ) = K n K 0 (1+i) n 1 K n n 2 = 1 i ( K 0 (1+i) 1) n 1 2.Schritt: n 1 n 1 = int(n 2 ) = int( Kn ln K 0 ln(1+i) Unterjährliche Verzinsung Variablen ändern: m = Zinsperioden pro Jahr (z.b. monatlich m=12) j = Zinssatz pro Zinsperiode N = Laufzeit in Zinsperidoen (N=n*m) Einfache Verzinsung: K N = K 0 (1 + N j) Zinseszinsen: K N = K 0 (1 + j) N ) (integer rundet jede Zahl ab auf eine ganze Zahl 5

6 Investition und Finanzierung 1 Finanzmathematische Grundlagen Gemischte Verzinsung: K N = K 0 (1 + j) N 1 (1 + N 2 j) Relativer, nomineller und konformer Zins Variante A j=unterjährlicher, relativer Zins; Periodenzins (gegeben) i nom = nomineller Jahreszins zum Periodenzins j i nom =m*j (einfacher Zins) i*=konformer Jahreszins zum Periodenzins j K 0 (1 + i ) n = K 0 (1 + j) m n i = (1 + j) m 1 (1 + i ) n = Effektivzins, gibt die Bank an Variante B i= Jahreszins (gegeben) j nom =nominaler Periodenzins zum Jahreszins i j nom = i m j*=konformer Periodenzins zum Jahreszins i K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + j) m n i = (1 + i m )m 1 Tabelle 1: Übersichtstabelle nomineller und konformer Zins gegeben/gesucht relativ nominell konform relativ j m*j (1 + j) m 1 i nominell m i (1 + i m )m 1 m konform 1 + i 1 m ( m 1 + i 1) i* Kontinuierliche Verzinsung Es gilt: (1 + i ) = (1 + j) m = (1 + inom m )m Für m=1 gilt: i = j = i nom Was passiert bei m? Bei bestehendem i nom gilt: i lim m j = lim nom m m = 0 limi = lim((1 + inom m )m 1) Da gilt: lim(1 + x m )m = e x ist limi = e inom 1 Geht m gilt r (Momentanverzinsung)= i nom und man schreibt: i = e r 1 und r=ln(i+1) r ist der Jahreszins, der effektiv herauskommt, bei nur einer Periode wäre r=0 1.3 Rentenrechnung Bisher: einmalige Zahlungen K Jetzt: mehrmalige, identische Zahlungen r 6

7 Investition und Finanzierung 1 Finanzmathematische Grundlagen Variante A nachschüssig: Geld am Ende der Periode (ein Zinsvorgang weniger als bei vorschüssig) Schaubild siehe Anlage Variante B vorschüssig: Geld am Beginn der Periode, z.b. Miete, Versicherung Schaubild siehe Anlage Symbole zur Rentenrechnung i = jährlicher (nomineller) Zinssatz n = Laufzeit der Rente (in Jahren) r = Rentenzahlung R 0 = Rentenbarwert R n = Rentenneuwert m r = Rentenperioden pro Jahr m z = Zinsperioden pro Jahr Grundbegriffe zur Rentenrechnung Rentenhöhe: gleichbleibend veränderlich regelmäßig: arithmetisch (steigt um 5 Euro), geometrisch (steigt um 5%) unregelmäßig: nicht Teil der Rentenrechnung Rentendauer: endlich unsicher (Bsp. Lebensversicherung) ewig (damit oberer Grenzwert) Rentenzahlung: vorschüssig nachschüssig Renten- und Zinsperiode: m 1 =1 und m z =1 (als Standard!) Es gibt unterjährliche Verzinsung, aber keine unterjährliche Rentenzahlung 7

8 Investition und Finanzierung 1 Finanzmathematische Grundlagen Barwert einer nachschüssigen Rente Barwert=was ist das Geld, z.b. einer monatlichen Rente über 10 Jahre, insgesamt heute wert? n R0 N = r q t t=1 (1) mit q=1+i R N 0 = r q 1 + r q q n = r (q 1 + q q n ) (2) q R N 0 = r (1 + q 1 + q q 1 n ) (3) q R N 0 R N 0 = r (1 q n ) R N 0 (q 1) = r (1 q n ) R0 N = r 1 q n i =Rentenbarwertfaktor (4) (5) (6) Für endliche n: R N 0 = r qn 1 i q n (7) =nachschüssiger Rentenbarwertfaktor Hiervon können die Rentenhöhe r, der Zinssatz i und die Laufzeit n abgeleitet werden. Für n : lim n R N 0 = lim( r i r i q n ) = r i (8) =obere Grenze für Rentenzahlung Endwert einer nachschüssigen Rente Endwert=wieviel ist das Geld, z.b. einer monatlichen Rente über 10 Jahre, insgesamt nach 10 Jahre wert? In der Zinsrechnung: K N = K 0 q N Rn N = R0 N q N = r qn 1 i q n qn = r qn 1 i (9) Zusammenfassung siehe Anlage Nr.1 8

9 Investition und Finanzierung 1 Finanzmathematische Grundlagen Rentenhöhe (Annuität) Aus dem Barwert: r = R N 0 i qn q n 1 Letzteres ist der nachschüssige Annuitätenfaktor Aus dem Endwert: r = Rn N q n i qn q n 1 = i RN n q n 1 (10) (11) Ich gebe entweder jetzigen Einzahlungsbetrag an oder den gesamt zu zahlenden Betrag: daraus wird monatliche Rente errechnet (Versicherungsbeispiel) Laufzeit einer nachschüssigen Rente Aus dem Barwert: n = ln1 ln(r i RN 0 ) lnq Aus einer bestimmten eingezahlten Summe wie lange kann ich Rente einer bestimmten Höhe beziehen? Zinssatz: Der Zinssatz ist nur iterativ ausrechenbar über Nullstellensuche Zinssatz berechnen: (12) R N 0 = r (1 + i)n 1 i (1 + i) n Näherungsverfahren: 1. Definition einer Funktion f(i): (13) f(i) = R N 0 + r (1 + i)n 1 i (1 + i) n (14) 2. Berechnung von i: a) Regula falsi (ableitungsfrei) i k+1 = i k b) Newtonverfahren i k i k 1 f(i k ) f(i k 1 ) f(i k) (15) i k+1 = i k f(i k) f (i k ) f(i) = R N 0 + r qn 1 i q n (16) (17) 9

10 Investition und Finanzierung 1 Finanzmathematische Grundlagen f (i) = r q + n i qn+1 i 2 q n+1 (18) Ewige nachschüssige Renten: n : R0 N = r i Annuität: r=i R0 n Zinssatz: i= r R0 N Laufzeit: n= Endwert: Rn N = Sich regellos ändernde Renten Rentenendwert: R n = q n n r t q t t=1 Rentenbarwert: R 0 = n r t q t t=1 (19) (20) Sich regelmäßig ändernde Renten - arithmetisch Wenn die Differenz zwischen zwei benachbarten Rentenzahlungen eine Konstante ist (r, r+d, r+2d,...) Rentenendwert: R n = r qn 1 i Rentenbarwert: + d i (qn 1 i n) (21) R 0 = r qn 1 iq n + d i (qn 1 iq n nq n ) (22) Sich regelmäßig ändernde Renten - geometrisch Wenn der Quotient aus je zwei benachbarten Gliedern Der Zahlungsreihe eine Konstante ist (r, r*g, r g 2 ) Rentenendwert: R n = r qn g n (wennq g) (23) q g R n = rnq n 1 (wennq = g) Rentenbarwert: R 0 = r q n g n (q g) q n (24) (25) 10

11 Investition und Finanzierung 2 Grundlagen Sich regelmäßig ändernde -ewige- Renten Arithmetisch-Rentenbarwert: R 0 = (r + d i ) 1 i Geometrisch-Rentenbarwert: Für 0<w (Wachstumsrate)<i (Zinssatz): R 0 = r w i (26) (27) 2 Grundlagen 3 Dynamische Investitionsrechnung 3.1 Grundlagen Investitionsrechnungen sind Methoden, mit denen die erwarteten Konsequenzen von Investitionen in Bezug auf quantifizierbare Interessen beurteilt werden können. Über Investitionen entscheiden heißt stets, über Investitionshandlungen zu urteilen. Investition ist eine betriebliche Tätigkeit, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten t Aus- und Einzahlungen (z t < 0, z t > 0) verursacht, wobei dieser Vorgang immer mit einer Auszahlung beginnt. Finanzierung ist eine Handlung, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten t Ein- und Auszahlungen verursacht, wobei dieser Vorgang immer mit einer Einzahlung beginnt. Investitionen sind echte Alternativen: Nein = Programmentscheidungen Ja = Einzelentscheidungen Verwendungsdauer der Investitionsobjekte Nein = Investitionsdauerentscheidungen Ja = Wahlentscheidungen Investitionsrechnungen orientieren sich immer an monetären Zielen. Nicht-monetäre Ziele müssen grundsätzlich außerhalb der Investitionsrechnung berücksichtigt werden. Jede Investitionsrechnung lässt sich entweder auf das Ziel Vermögensmaximierung oder auf das Ziel Einkommensmaximierung zurückzuführen. 1. Die qunatifizierten Konsequenzen sind in Bezug auf monetäre Ziele zu bewerten. 2. Die nicht-quantifizierten Konsequenzen sind in Bezug auf monetäre und nicht-monetäre Ziele zu bewerten. 3. Die Ergebnisse der ersten und zweiten Stufe sind miteinander zu verknüpfen (Nutzwertanalyse) 11

12 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Investitionsrechnungen sind symbolische Entscheidungsmodelle. 3.2 Wahlentscheidungen-Dynamische Verfahren Zielsetzung des Investors: Wir gehen immer davon aus, dass der Investor den Gewinn maximieren will. Mit Ausnahme des Abschnitts über die statischen Investitionsrechnungen werden wir stets zwei Varianten der langfristigen Gewinnmaximierung berücksichtigen, nämlich Entnahme- und Endwertmaximierung. Datenbeschaffung: Wir unterstellen immer, dass der Investor die zur Lösung seines Problems erforderlichen Informationen vollständig beschaffen kann. Investitionsrechnungen sind Methoden zur Auswertung vorhandener Daten. Probleme und Methoden der Datenbeschaffung werden daher im folgenden nicht erörtert. Sicherheit: wir setzen immer voraus, dass der Investor keinerlei Unsicherheit kennt. Alle Probleme, die sich für die Investitionsrechnung daraus ergeben mögen, dass nicht genau bekannt ist, was in der Zukunft geschehen wird, bleiben in den folgenden Kapiteln erstmal unbeachtet. Merkmale Drei Stichworte: Zielsetzung des Investors Investitionen als echte Handlungsalternativen zeitliche Struktur der Zahlungsreihen Vollständiger Finanzplan Reale Investitionen stellen in der Regel von sich aus keine echten Alternativen dar. Daher bleibt nichts anderes übrig, als die unvollständigen Projekte in geeigneter Weise zu echten Investitionsentscheidungen zu vervollständigen. Tabelle 2.7: Ausgangsdaten für Finanzpläne Problem liquider Mittel:Unvollständige Finanzpläne für 2 Investitionen Tabelle 2: Tabelle 2.7: Ausgangsdaten für Finanzpläne Zeitpunkt t Projekt A Projekt B B müsste Kredit dafür aufnehmen Problem Planungshorizont Bei 3 Perioden: B hätte ein Leerjahr Bei 2 Perioden: A hat noch keine Anzahlung erhalten 12

13 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Tabelle 3: Unvollständige Finanzpläne Zeitpunkt t Liquide Mittel 1100 Projekt A Überschuss Liquide Mittel 1100 Projekt B Überschuss Reale Ergänzungsmaßnahmen 1. Kredit in t=0 mit maximal 400, Zinssatz 20%, Tilgung in 3 gleichen Raten (Annuitätendarlehen) 2. Kredit in t=2 für 1 Jahr zu 15% (max. 300) 3. Weitere Sachinvestition in t=0 mit der Zahlungsreihe (-200, 150, 100) 4. Finanzinvestition in t=2 zu 12% für 1 Jahr 5. keine weiteren Investitions- oder Finanzierungsmöglichkeiten Vollständiger Finanzplan Tabelle 4: Vollständiger Finanzplan: A Zeitpunkt t Liquide Mittel 1100 Projekt A Kredit (20%) Zusatzinvestition Kassenhaltung Kredit (15%) Entnahmen Endvermögen 1133 A=1133 > B=1120 Alternative für Projekt A Jetzt: A=1120 < B=1028 Reale Ergänzungsmaßnahmen komplizieren das System 13

14 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Tabelle 5: Vollständiger Finanzplan: B Zeitpunkt t Liquide Mittel 1100 Projekt B Kredit (20%) Kassenhaltung Finanzinvestition (12%) Entnahmen Endvermögen 1120 Tabelle 6: Alternativer Finanzplan: A Zeitpunkt t Liquide Mittel 1100 Projekt A Kredit (20%) Kassenhaltung Kassenhaltung Kredit (15%) Entnahmen Endvermögen

15 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Vollständige Finanzpläne: Einkommensstreben(=festes Endeinkommen, Entnahmen max.) Tabelle 7: Vollständiger Finanzplan: A (Einkommensstreben) Zeitpunkt t Liquide Mittel 1100 Projekt A Kredit (20%) Zusatzinvestition Kassenhaltung Kredit (15%) Entnahmen Endvermögen 1000 Tabelle 8: Vollständiger Finanzplan: B (Einkommensstreben) Zeitpunkt t Liquide Mittel 1100 Projekt A Kredit (20%) Kassenhaltung Finanzinvestition (12%) Entnahmen Endvermögen 1000 Ein Ziel führt dann zur optimalen Entscheidung, aber die Entscheidung über den Weg ist immer vom vorher bestimmten Ziel abhängig Mit Hilfe des vollständigen Finanzplans gelingt es, sich nicht vollständig gegenseitig ausschließende Investitionsprojekte zu echten Alternativen zu kompletieren. Tabelle 9: Entscheidungslogik Ziel: Vermögensstreben Identische Entnahmen Unterschiedlich hohe Endvermögen Ziel: Einkommensstreben Unterschiedlich hohe Entnahmeniveaus Identische Endvermögen In Bezug auf ein und dasselbe Investitionsprojekt lassen sich mehrere zulässige vollständige Finanzpläne aufstellen. 15

16 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Annahmen: Die Annahmen über Ergänzungs-Investitionen und -Finanzierungen müssen geeignet sein, optimale vollständige Finanzpläne in Bezug auf einzelne Investitionsprojekte schnell und methodisch einfach aufzustellen. Tabelle 2.13 Annahmen über Ergänzungsinvestitionen und -finanzierungen Tabelle 10: Ergänzungsinvestitionen und -finanzierungen Annahme über Ergänzungsinvestitionen Ergänzungsfinanzierungen Laufzeit Die Laufzeit beträgt genau eine Periode Die Laufzeit beträgt genau eine Periode Teilbarkeit Ergänzungsinvestitionen sind beliebig teilbar Ergänzungsfinanzierungen sind beliebig teilbar Limitierung Ergänzungsinvestitionen können stets in unbeschränktem Umfang durchgeführt werden Ergänzungsfinanzierungen sind entweder beschränkt oder unbeschränkt möglich Rendite/Kosten Mit Ergänzungsinvestitioenen wird ein vom Investitionsumfang völlig unabhängiger Habenzins verdient, der nicht notwendigerweise für jede Teilperiode des Planungsraums gleich ist Mit Ergänzungsfinanzierungen wird ein vom Investitionsumfang völlig unabhängiger Sollzins verdient, der nicht notwendigerweise für jede Teilperiode des Planungsraums gleich ist Tabelle 2.14: Kapitalmarktarten Tabelle 11: Kapitalmarktarten kein Finanzierungslimit Finanzierungslimit Sollzins=Habenszins (unrealistisch) vollkommener unbeschränkter Kapitalmarkt (Kapitalwertformel) vollkommener beschränkter Kapitalmarkt Sollzins>Habenzins (realistisch) unvollkommener unbeschränkter Kapitalmarkt unvollkommener beschränkter Kapitalmarkt Notation: t = Zeitindex T = Planungshorizont K t = Finanzmittelüberschuss in t M t = Basiszahlung in t G = Finanzierungslimit z t = Projektzahlungen 16

17 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung C t = Entnahmen in t (=f t *C) C = Entnahemniveau f t = Einkommenstrukturfaktor h t = Habenzins in t s t = Sollzins in t Tabelle zum Entnahmenniveau Tabelle 12: Berechnung der Entnahme t Einkommensstrukturfaktor f t 1,00 1,10 1,21 1,33 1,46 Entnahmen C t = f t C ,5 2196, Endwertmodelle Realisiere diejenige Investition, die das maximale Endvermögen verspricht! = max K T Satz 1: Der Finanzmittelüberschuss beziehungsweise -fehlbetrag K t eines beliebigen Zeitpunktes des Planungszeitraums ergibt sich immer als Summe folgender vier Arten von Zahlungen: Basizahlungen Entnahmen Investitionszahlungen Ein- oder Auszahlungen Satz 2: Der Finanzmittelüberschuss beziehungsweise -fehlbetrag des Zeitpunktes t=t entspricht dem gesuchten Endvermögen K T. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich aus der Unterstellung eines Unternehmens auf Zeit und der Vereinbahrung, dass alle Ergänzungsmaßnahmen eine Laufzeit von einer Periode haben. Satz 3: Wenn der Kapitalmarkt vollkommen ist, so bleibt die gleichzeitige Durchführung von Ergänzungs- Finanzierungen und -Investitionen ohne jede finanzielle Konsequenz. Ist der Kapitalmarkt dagegen unvollkommen (Sollzins größer Habenszins) so ist die gleichzeitige Durchführung von Ergänzungsmaßnahmen im Interesse der Vermögensmaximierung unbedingt zu vermeiden. Satz 4: Solange das Ende des Planungszeitraums noch nicht erreicht ist (t<t), sind Finanzmittelüberschüsse (C t > 0) als Ergänzungsinvestitionen anzulegen und Finanzmitteldefizite (C t <0) in Form von Ergänzungs-Finanzierungen auszugleichen. Rechenregeln für Vermögensmaximierung Unvollkommener Kapitalmarkt Der Investor kann beliebig viele Mittel in Form von Ergänzungs-Investitionen anlegen, aber nur in 17

18 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung beschränkter Höhe Ergänzungs-Finanzierungen vornehmen. Mit einer Ergänzungs-Investition verdient er Habenzinsen in Höhe von h t und eine Ergänzungs-Finanzierung kostet den Sollzins s t. Die Haben- Zinssätze sind immer kleiner als die Soll-Zinssätze. Tabelle 2.17: Ausgangsdaten eines Investors auf unvollk. Markt mit Endwertmax. G=350 Tabelle 13: Ausgangsdatentabelle t s t 0,12 0,10 0,10 h t 0,05 0,07 0,07 z t A z t B z t C z t M t f t *C Unterlassungsinvestition nie vergessen Hier gilt: Für jedes Projekt: max. K T t=0: K 0 = M 0 C 0 + z 0 t=1: K 0 > 0 K 1 = M 1 C 1 + z 1 + (1 + h 1 )K 0 K 0 < 0 K 1 = M 1 C 1 + z 1 + (1 + s 1 )K 0 Allgemein für t: K t 1 > 0 : K t = M t C t + z t + (1 + h t ) K t 1 K t 1 < 0 : K t = M t C t + z t + (1 + s t ) K t 1 Für alle t=0...t ergibt K T Tabelle 2.18 Vollständige Finanzpläne für 3 Investitionsalternativen bei unvoll., bes. Kapitalmarkt schon im Jahr 1 wird Finanzierungslimit G=350 erreicht, und B scheidet damit aus Vollkommener Finanzmarkt=Kapitalwertmethode Ergänzungs-Investitionen sowie -Finanzierungen sind in beliebigem Umfang möglich. Im Gegensatz zum unvollkommenen Kapitalmarkt ist der Habenzinssatz für Ergänzungs-Investitionen stets genauso groß wie der Sollzinssatz für Ergänzungs-Finanzierungen: h t = s t = i t Speziell bei flacher Zinskurve: h=s=i t=0 K 0 = M 0 f 0 C + z 0 t=1 K 1 = M 1 f 1 C + z 1 + (1 + i)k 0 18

19 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Tabelle 14: Vollständiger Finanzplan Projekt A Zeitpunkt t Basiszahlung Projekt A Ergänzungsinvestition (5%) Ergänzungsfinanzierung (10%) ,8 Ergänzungsinvestition (7%) -314,2 336,19 Entnahmen Endvermögen 1510,19 Tabelle 15: Vollständiger Finanzplan Projekt B Zeitpunkt t Basiszahlung Projekt C Ergänzungsinvestition (5%) Ergänzungsfinanzierung (10%) -428 Ergänzungsinvestition (7%) Entnahmen Endvermögen 1504,41 Tabelle 16: Vollständiger Finanzplan Projekt C Zeitpunkt t Basiszahlung Projekt C Ergänzungsfinanzierung ,4 (12%) Ergänzungsinvestition (7%) -519,6 555,97 Ergänzungsinvestition (7%) -691,97 740,41 Entnahmen Endvermögen 1504,41 19

20 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Tabelle 17: Vollständiger Finanzplan Projekt 0 Zeitpunkt t Basiszahlung Projekt A Ergänzungsinvestition (5%) Ergänzungsinvestition (7%) ,09 Ergänzungsinvestition (7%) -511,09 546,87 Entnahmen Endvermögen 1320,87 allgemein: K t = M t f t C + z t + (1 + i)k t 1 (28) K T = M T f T C + z T + (1 + i)k T 1 K T 1 = M T 1 f T 1 + z T 1 + (1 + i)k T 2... K 1 = M 1 f 1 C + z 1 + (1 + i)k 0 K 0 = M 0 f 0 C + z 0 Einsetzen ergibt: K T = (M T f T C + z T ) +(1 + i)(m T 1 f T 1 C + z T 1 ) +(1 + i) 2 (M T 2 f T 2 C + z T 2 ) (1 + i) T 1 (M 1 f 1 C + z 1 ) +(1 + i) T (M 0 f 0 C + z 0 ) K T = T (1 + i) T t (M t f t C + z t )(Nettoendwert) (29) t=0 Zusammenhang zwischen Endwert K T und Kapitalwert in t=0 NPV (net present value) (1 + i) T t = (1 + i) T (1 + i) t K T = (1 + i) T ( T (M t f C)(1 + i) t + t=0 Die einzelne Projekte unterscheiden sich lediglich in dem Ausdruck: T z t (1 + i) t ) (30) t=0 T NP V = z t (1 + i) t t=0 (31) 20

21 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Der Kapitalwert einer Investition ist die Summe aller mit dem Kalkulationszins auf den Zeitpunkt t=0 diskontierten Investitionszahlungen. Unter den Bedingungen eines vollkommenen Kapitalmarkts braucht ein Investor weder seine Basiszahlungen zu kennen noch eine Vorentscheidung hinsichtlich seiner Konsumentnahmen zu treffen um die optimale Investition bestimmen zu können. Er muss nur nach der Maxime handeln: realisiere die Investition mit dem maximalen Kapitalwert.! Rechenbeispiel: Es gilt: i=0,085=h=s (1 + i) T = (1, 085) 3 = 1, 2773 Tabelle 18: Endwertberechnung auf vollkommenen unbeschränktem Kapitalmarkt - Projekt A t (1 + i) t M t f t Y (M t f t Y )(1 + i) t z t z t (1 + i) t 0 1, , ,00 1 0, , ,66 2 0, , ,56 3 0, , , ,58 NPV=124,06 C 3,A =1,2773*(1067,58+124,06)=1522,08 Tabelle 19: Endwertberechnung auf vollkommenen unbeschränktem Kapitalmarkt - Projekt B t (1 + i) t M t f t Y (M t f t Y )(1 + i) t z t z t (1 + i) t 0 1, , ,00 1 0, , ,33 2 0, , ,35 3 0, , , ,58 NPV=138,60 C 3,B =1,2773*(1067,58+138,60)=1540,64 Tabelle 20: Endwertberechnung auf vollkommenen unbeschränktem Kapitalmarkt - Projekt C t (1 + i) t M t f t Y (M t f t Y )(1 + i) t z t z t (1 + i) t 0 1, , ,00 1 0, , ,33 2 0, , ,80 3 0, , , ,58 NPV=135,30 K 3,C =1,2773*(1067,58+135,30)=1536,43 21

22 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Tabelle 21: Auswertung des Beispiels K T NPV A 1522,08 124,06 B 1540,64 138,60 C 1536,43 135,30 U 1363,61 0 K 3,U =1,2773*(1067,58+0)=1363,61 Kapitalwert bei nicht-flacher Zinskurve Bei Kassakredite: NP V = T z t (1 + i 0,t ) t t=0 i 0,t = t Kt K 0 1 (32) (33) Bei Terminkredite: NP V = T z t t=0 T =0 t (1 + i r 1,T ) 1 = T =0 t (1 + i r 1,T ) 1 (34) 1 (1 + i 1,0 )(1 + i 0,1 )(1 + i 1,2 )...(1 + i t 1,t ) (35) Entnahmemodelle Ziel ist max Y Realisiere diejenige Investition, die das maximale Einkommensniveau verspricht. Rechenregeln für Einkommensmaximierung Unvollkommener Kapitalmarkt Der Einkommensstrukturfaktor f t ist hier von entscheidender Bedeutung: Beispiele: f t =(0,1,1,...,1) (konstant, Einkommensmax. i.e.s.) f t = (0, 1, 1.1,...(1, 1) T ) (geometrisch-wachsend) f t =(0,1,0.5,1.3,...) (unregelmäßig) Spezialfälle: f t =(0,0,...,0,1) (Vermögensendwertmax.) f t =(1,0,...,0,0) ( Kapitalwertmax. ) Berechnung des max. Einkommensniveaus (iterativ) 1. Ausgangspunkt: zwei Entnahmeniveaus 22

23 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Tabelle 22: Auswertung des Beispiels Zeitpunkt Basiszahlungen Investitionsprojekt Zeitstruktur der Entnahmen 1,0 1,2 1,0 1,2 1,4 1,6 Haben-Zinssätze 0,07 0,07 0,07 0,08 0,08 Soll-Zinssätze 0,11 0,11 0,12 0,12 0,12 C mit K T1 (C) > K T C mit K T2 (C) < K T 2. alle weiteren Schritte mit linearer Interpolation C K+1 = C K + (K T K T1 )(C K ) 3. C K+1 = { C K+1 sonst C K C K K T2 (C K ) K T1 (C K ) wennk T (C K+1 ) > K T1 C K (36) C K+1 = { C K+1 sonst wennk T (C K+1 ) < K T2 C K (37) Beispiel: T=5 Jahre mit Endvermögen K 5 =1500 1a. C=150 (f t =(0,1,...,1)) K 5 =1922,03 1b. C=250 K 5 =1150,30 2. C 2 =150+( ,03)* K 5 =1504,51 C = 204, 69 C = , ,03 =204,69 3. C 3 =204,69+( ,51)* , , ,51 =205,27 K 5 =1499,97 23

24 Investition und Finanzierung 3 Dynamische Investitionsrechnung Konflikt Vermögensmax. und Einkommensmax. s=0,4 h=0,1 1) max. K T sei C=40 2) max. C sei K T =250 zu 1) K A 2 =890,40 K B 2 =933,60 B>A zu 2) C A =215,93 C B =196,79 A>B Abbildung 2.2 Tabelle 23: Beispiel für Konflikt t M A B Vollkommener Kapitalmarkt=Annuitätenmethode h=s=i Aus der Formel für den Endwert bei Endwertmaximierung ergibt sich mit Auflösen nach C: C = Mt (1 + i) T t K T NP V ft (1 + i) T t + ft (1 + i) t (38) wobei der erste Ausdruck die Entnahme der Unterlassungalternative darstellt (gleich für alle Investitionen) und der zweite Ausdruck die Zusatzentnahme bei Durchführung der Investition darstellt. Wenn ein Investor unter Bedingungen des vollk. Kapitalmarkts sein Entnahmeniveau maximieren will, so handelt er vernünftig, wenn er das Projekt mit dem größten positiven Kapitalwert auswählt. Auf dem vollk. Kapitalmarkt sind Vermögensmaximierung und Einkommensmaximierung (und Kapitalwertmax.) immer komplementäre Ziele. Bsp. Tabelle mit T=3, K 3 =1300, i=0,085, f=(1,1,1,1) und Tabelle 2.25, Tabelle 2.26 Hat der Einkommensstrukturvektor die Form (0,1,1,...1) so gilt: Zusatzentnahme= NP V C = Wegen der Annahme des Einkommensstrukturvektors: ft(1+i) t c = NP V (1 + i) t (39) 24

25 Investition und Finanzierung 4 Statische Investitionsrechnung Aus der Rentenrechnung: (1 + i) t = (1 + i)t 1 i (1 + i) T (40) C = i (i + 1)T (1 + i) T 1 NP V wobei der erste Ausdruck nachschüssiger Annuitätenfaktor Die Annuitätenmethode ist mit der Kapitalwertmethode vollkommen äquivalent (41) 4 Statische Investitionsrechnung Statische Verfahren... sind in der Praxis beliebt arbeiten mit periodisierten Erfolgsgrößen (Kosten, Erlöse,...) betrachten eine fiktive Durchschnittsmethode vergleichen Investitionsprojekte vernachlässigen Ergänzungsmaßnahmen vergleichen keine vollständigen Handlungsalternativen 4.1 Kostenvergleichsrechnung MINIMIERE DIE DURCHSCHNITTLICHEN KOSTEN! Voraussetzungen: Erlöse aller Alternativen gleich hoch Nutzungsdauern gleich lang Kapitaleinsatz gleich hoch SONST: Fehlentscheidungen wahrscheinlich Notation: I 0 Anschaffungspreis K f fixe Kosten (ohne AfA (Abschreibung auf Anlagevermögen), ohne Zinsen) K v variable Kosten pro Leistungseinheit (LE) AL Auslastung (LE/Jahr) T Nutzungsdauer RW Restwert P Preis pro LE 25

26 Investition und Finanzierung 4 Statische Investitionsrechnung Gesamtkostenvergleich 1. laufende Kosten: K l = K f + K v AL 2. durchschnittliche Abschreibung: AfA= I 0 RW T 3. durchschnittliche Kapitalbildung: KB= I 0+RW +AfA 2 (Kapital wird in Umsatz tranformiert, zeigt wie viel Kapital in Investitionen gebunden ist)(erklärung der Formel und anderer als Anlage Nr1) 4. durchschnittliche Grenzkosten: K=K l + AfA + i KB Stückkostenvergleich StK= K AL Beispiele Investition in einen PKW mit i=0,1 Tabelle 24: Investitionsdaten A B I K f 14000/J 14000/J K v 0,2/km 0,25/km AL 30000km/J 32000km/J T 2 Jahre 3 Jahre RW P (Umsatz) 1/km 1/km mehrere der Voraussetzungen hier verletzt Tabelle 25: Im Beispiel A B K l AfA KB K Tabelle 26: Stückkostenvergleich A 0,95/km B 0,948/km B>A und wird damit bevorzugt 26

27 Investition und Finanzierung 4 Statische Investitionsrechnung Gesamtkosten als lineare Funktion der Auslastung: K = K l + AfA + i KB = (K f + K v AL) + AfA + i KB K A = ,2*AL und K B = ,25*AL Die kritische Auslastung liegt bei K A = K B : ,2*AL= ,25*AL AL=6000km (d.h. ab da wird A besser) Zur kritischen Auslastung siehe Anlage Gewinnvergleichsrechnung MAXIMIERE DEN DURCHSCHNITTLICHEN GEWINN Voraussetzung: Nutzungsdauern gleich lang Kapitaleinsatz gleich hoch SONST: Fehlentscheidungen wahrscheinlich Notation: 1. Umsatzerlöse: U=P*AL 2. durchschnittlicher Gewinn: G=U-K Beispiele: da P=1 Euro B>A Tabelle 27: Gewinnvergleich A B U K G Rentabilitätsrechnung MAXIMIERE DIE DURCHSCHNITTLICHE RENDITE! Voraussetzungen: Nutzungsdauern gleich lang Kapitaleinsatz gleich hoch 27

28 Investition und Finanzierung 4 Statische Investitionsrechnung Notation: 1. durchschnittlicher (kalkulatorischer Gewinn): G=U-K (Gewinn nach Zinsen) bzw. G v =U-K+i*KB (Gewinn vor Zinsen) 2. durchschnittliche Kapitalbindung: KB= I 0+RW +AfA 2 3. durchshcnittliche Rendite: R = G KB >0 (Rendite nach Zinsen) bzw. R v = Gv KB >i (Rendite vor Zinsen) Im Beispiel: Rendite nach Zinsen: B>A Tabelle 28: Renditevergleich A B G KB R 0,0818 0,0892 Zum Vergleich: Rendite vor Zinsen A>B Tabelle 29: zweiter Renditevergleich A B I R 0,0675 0, Amortisationsrechnung MINIMIERE DIE AMORTISATIONSZEIT! Voraussetzung: Kapitaleinsatz gleich hoch SONST: Fehlentscheidung wahrscheinlich Besonderheit: Einzige statische Methode bei der die zeitliche Struktur eine Rolle spielt! Beispiel: 28

29 Investition und Finanzierung 4 Statische Investitionsrechnung Tabelle 30: Amortisationsbeispiel A B a t e t a t e t Durchschnittsmethode Notation: 1. Durchschnittlicher Rückfluss pro Jahr: RF=G+AfA+i*KB oder mit Ein- und Auszahlungen: RF= 1 T (et a t ) 2. Amortisationszeit nach Durchschnittsmethode: t = I 0 RF Beispiele: A: I 0 =200 RF A = 1 8 (365 90) = 34, 375; t A = ,375 =5,82 Jahre B: I 0 =150 RF B = 1 8 ( ) = 38; t B = =3,95 Jahre B<A Kumulationsmethode Gesucht wird die Amortisationszeit t** für die folgende Bedingungen erfüllt sind: (e t a t ) < 0 t 1 t=0 und: t t=0 (e t a t ) 0 (42) (43) 29

30 Investition und Finanzierung 4 Statische Investitionsrechnung mit z t = e t a t Ergebnis: 3 < t A < 4 und 5 < tb < 6 Tabelle 31: Amortisationsbeispiel A B t a t et zt a t et zt Dynamische Methode Gesucht wird die Amortisationszeit t*** für die folgende Bedingung erfüllt sind: t 1 t=0 (e t a t )(1 + i) t < 0 und: t (e t a t )(1 + i) t 0 t=0 (44) (45) Beispiel: NP V A =9,68 5<t A <6 NP V B =40,75 6<t B <7 Entscheidung aufgrund der Amortisationsrechnung falsch, aber mit anderen Zusammen zur Abschätzung des Risikos sicher sinnvoll 4.5 Beurteilung Vorteil: 30

31 Investition und Finanzierung 4 Statische Investitionsrechnung Tabelle 32: Dynam. Amort.rechnung A A z t q t z t q t zt q t ,909 64,55-135, ,826 50,41-85, ,751 37,57-47, ,683 22,54-24, ,621 18,01-6, ,564 10,16 3, ,513 4,11 7, ,467 2,33 9,68 Tabelle 33: Dynam. Amort.rechnung B B z t q t z t q t zt q t ,909 27,27-122, ,826 23,97-98, ,751 21,79-76, ,683 17,08-59, ,621 17,39-42, ,564 25,40-17, ,513 30,79 13, ,467 27,06 40,75 31

32 Investition und Finanzierung 5 Interner Zinsfuss und Differenzinvestition Datenbeschaffung und Rechnung sind einfach in der Praxis angewandt Nachteile: Zielsetzung des Investors bleibt unklar (Kostenminimierung ist kein richtiges Ziel) Ungenauigkeit durch Verdichtung der Daten zeitliche Struktur der Zahlungsströme vernachlässigt Zinseszinswirkung bleiben unberücksichtigt korrelierte Vergleichbarkeit der Alternativen wegen fehlender Ergänzungen nicht möglich 5 Interner Zinsfuss und Differenzinvestition 5.1 Begriff des internen Zinsfußes Der interne Zinsfuß r einer Investition ist derjenige Kalkulationszins i=r der den Kapitalwert dieser Investition genau null werden lässt. zt (1 + i) t = 0giltfri = r (46) d.h. i wird angepasst hier. Mathematisch gesehen ist das ein Polynom n-ten Grades mit maximal T Nullstellen. Wähle die Investition, die den höchsten internen Zinsfuß hat 5.2 Berechnung des internen Zinsfußes Einperiodenfall z 0 + z 1 (1 + r) 1 = 0 *(1+r) z 0 (1 + r) + z 1 = 0 r = z 1 z 0 1 (47) (48) (49) 32

33 Investition und Finanzierung 5 Interner Zinsfuss und Differenzinvestition Zweiperiodenfall z 0 + z 1 (1 + r) 2 : 1 (1 + r) + z 1 2 (1 + r) 2 = 0 (50) z 0 (1 + r) 2 + z 1 (1 + r) + z 2 = 0 (51) r 1,2 = 1 z 1 ± 1 z1 2 2z 0 2z 0z 2 0 (52) Mehrperiodenfall: Newtonverfahren Hier hilft nur ein Iterationsverfahren zur Ermittlung von r. Wir wählen das Newtonverfahren mit folgender Rechenregel für die schrittweise Berechnung: r k+1 = r k NP V (r k) NP V (r k ) mit: (53) NP V (r) = z t (1 + r) t ; NP V (r) = t z t (1 + r) t 1 (54) Ein intelligenter Anfang ist jeweils r k =0 Beispiel zum Newtonverfahren Wir betrachten die Zahlungsreihe (-100, 30, 50,40) und erhalten die Kapitalwertfunktion: NP V (r) = z t (1 + r) t = (1 + r) (1 + r) (1 + r) 3 (55) sowie deren erste Ableitung: NP V (r) = t z t (1 + r) t 1 = 30(1 + r) 2 100(1 + r) 3 120(1 + r) 4 (56) 5.3 Eigenschaften: Fehlentscheidung, Existenz, Mehrdeutigkeit Fehlentscheidung: Beispiel für T=1 Wir betrachten die beiden Investitionen (in Mio. Euro) I A = ( 1, 10) und I B = ( 10, 25) r A = = 900% und r B = = 150% r A > r B, d.h. A hat die sehr viel höhere Rendite Bei angenommenem Zinssatz von 10%: NP V A = (1, 1) 1 = 8, 09 und NP V B = (1, 1) 1 = 12, 73 NP V A < NP V B Fehlentscheidung aufgrund von fehlender Ergänzungsmaßnahmen wenn man nur die Rendite betrachtet. 33

34 Investition und Finanzierung 5 Interner Zinsfuss und Differenzinvestition Mehrdeutigkeit: Beispiel für T=2 nach Paul Samuelson Wir betrachten die Investition I=(-1000, 5000, -6000) und erhalten: r 1,2 = ± ( 1000)( 6000) = 1 + 2, 5 ± 0, 5 (57) r 1 = 1, 0; r 2 = 2, 0 1. Finanzplan für r 1 =100% 2. Finanzplan für r 2 =200% Tabelle 34: 1. Finanzplan t 0 t 1 t 2 Basiszahlung 1000 Investition Ergänzung Saldo Der Methode liegt zugrunde, dass man den internen Zinsfuß auch auf dem Kapitalmarkt bekommen könnte... Tabelle 35: 2. Finanzplan t 0 t 1 t 2 Basiszahlung 1000 Investition Ergänzung Saldo Nichtexistenz: Beispiel für T= Wir betrachten die Investition I=(-1000, 3000, -2500) und erhalten: r 1,2 = ± ( 1000)( 2500) = 1 + 1, 5 ± 0, 5 1 (58) r 1 = 0, 5 0, 5j und r 2 = 0, 5 + 0, 5j mit j = 1 Es existiert kein reellwertiger Zinsfuß! Siehe dazu Anlage Nr Was ist eine Normalinvestition Normalinvestitionen besitzen folgende Eigenschaften: 34

35 Investition und Finanzierung 5 Interner Zinsfuss und Differenzinvestition Die Zahlungsreihe beginnt mit Nettoauszahlungen Danach folgen ausschließlich Einzahlungsüberschüsse Die Summe der Einzahlungen ist größer als die Summe der Auszahlungen Unter diesen Bedingungen gilt: Normalinvestitionen besitzen stets einen eindeutigen positiven internen Zinsfuß! Kapitalwertfunktion einer Normalinvestition Die erste Asymptote liegt bei -1, die zweite bei z 0 < 0, dazwischen liegt die Nullstelle 5.5 Interner Zinsfuß und Ergänzungsinvestitionen Bisher haben wir nur technische Probleme der internen Zinsfußmethode diskutiert! Aus der Perspektive der zugrundeliegenden Finanzpläne können wir mindestens weitere vier ökonomische Probleme entdecken: Implizite Wiederanlageprämisse: jedes Investitionsprojekt hat einen anderen Zinssatz für Ergänzungen? Jedes Investitionsprojekt hat seine eigene Unterlassung? Unterschiedliche Nutzungsdauern führen zu Fehlern? Unterschiedliche Anschaffungszahlungen ebenfalls? Ergebnis: Selbst bei Lösung aller technischen Probleme führt die interne Zinsfußmethode zu ökonomisch falschen Entscheidungen! 5.6 Der modifizierte interne Zinsfuß nach Baldwin (1959) Baldwin (1959) hat einen modifizierten internen Zinsfuß vorgeschlagen. Seine Berechnung erfolgt in mehreren Schritten: Zunächst wird eine duchschnittliche Rentabilität r definiert Sodann werden Ein- und Auszahlungen getrennt z t = e t a t Wir berechnen den Endwert der Einzahlungen = wie bis zum Ende anlegen E = e t (1 + r) T t (59) 35

36 Investition und Finanzierung 5 Interner Zinsfuss und Differenzinvestition sowie den Barwert der Auszahlungen = wie am Anfang zu zahlen A = a t (1 + r) t (60) Daraus ergibt sich der gesamte Barwert: NP V = A + E(1 + r) T = 0 (61) mit dem modifizierten internen Zinsfuß r Wir erhalten schließlich die Baldwinrendite einer Investition r = T E A 1 (62) Berechnungsbeispiel: r wird geschätzt Wir betrachten die beiden Investitionen: I A =(-24,7,7,7,7,7,11) I B =(-10,8,6,4.5) und berechnen die Endwerte der Rückflüsse mit der Durchschnittsrendite r=0,12 und die Baldwinrendite r E A = 6 e A t (1.12) 6 t = (63) t=1 r A = = E B = 3 e B t (1.12) 3 t = (64) t=1 r B = = Kritik Vorteile Das Problem der Wiederanlageverzinsung wird gelöst Mehrdeutigkeit bzw. Nichtexistenz werden vermieden Statt eines abstrakten Kapitalwerts wird jeweils eine anschauliche Rendite ermittelt Berücksichtigt, dass beide Ergebnisse auf GLEICHEM Kapitalmarkt betreiben Nachteile Probleme der unterschiedlichen Anschaffungszahlungen und Nutzungsdauern bestehen weiter 36

37 Investition und Finanzierung 5 Interner Zinsfuss und Differenzinvestition Aufwändigere Rechnung als beim Kapitalwertkriterium Problem des unvollständigen Finanzplans Zwei letzte Rettungsversuche Ergänzung der fehlenden Nutzungsdauer bei I B 10 + ( )( )(1 + r B ) 6 = 0 r B = = > r A (65) Zusätzliche Ergänzung der Anfangsauszahlung bei I B (( )( ) + (14)( ))(1 + r B ) 6 = 0 r B = = < r A = (66) 5.7 Kalkulationszinsfuß und Differenzinvestition Die Wahl des Kalkulationszinsfußes kann die Rangfolge der Kapitalwerte alternativer Investitionen verschieben. Wir betrachten die beiden Investitionen: I A =(-1400,500,500,500,500) I B =(-1000,700,600) Es ergeben sich die folgenden Kapitalwerte: Die Rangfolge zwischen I A und I B verändert sich hier zwischen 10% und 15% Tabelle 36: 2. Finanzplan 0% 5% 10% 15% 20% NP V A (i) 600,00 372,98 184,93 27,49-105,63 NP V B (i) 300,00 210,88 132,23 62,38 0,00 Siehe Anlage Nr.4: Der Schnittpunkt ist i*. Bis dorthin überwiegt I A, danach I B. Als Nullstellen sind die internen Zinsfüße ablesbar. Rechts von den internen Zinsfüßen wählt man die Unterlassungalternativen. Der kritische Zinsfuß liegt bei i*=0, Berechnet wird er über die Nullstelle der Differenzinvestition: Diese berechnet sich dadurch dass man I A I B rechnet: δ I=(-400,-200,-100,500,500). Der kritische Zinssatz ist also der interne Zinsfuß der Differenzinvestition. Er kann als Zusatzinformation unter den bekannten Vorbehalten den Vergleich zweier Investitionsalternativen erleichtern. 37

38 Investition und Finanzierung 6 Nutzungsdauer- und Ersatzprobleme 6 Nutzungsdauer- und Ersatzprobleme 6.1 Einmalige Investition Übersicht: Lösungsweg 1 1. Definition der Alternative 2. Ermittlung der Zahlungsreihen 3. Berechnung der Kapitalwerte Lösungsweg 2 1. Berechnung des zeitlichen Grenzgewinns 2. Analyse des Grenzgewinns oder Berechnung der zeitlichen Grenzrendite Lösungsweg 3 Retrograde Rechnung nach dem Prinzip der dynamischen Programmierung Beispiel zur Erklärung Man sieht: der Wiederverkaufswert L t sinkt am Anfang stark, danach weniger stark. Tabelle 37: Nutzungsdauerproblem t z t L t Es gilt: technische Lebensdauer wirtschaftliche Lebensdauer z t ist das Ergebnis der Investition Zu Lösungsweg 1 Tabelle 38: Zahlungsreihen der Nutzungsdauern n

39 Investition und Finanzierung 6 Nutzungsdauer- und Ersatzprobleme Tabelle 39: Kapitalwertberechnung Nutzungsdauer n Kapitalwert NPV , , , , , ,95 Lösungsweg 2 Aus der obigen Tabelle sieht man dass beim Diskontieren Doppelarbeit bis auf die letzte Periode der kürzeren Reihe macht Dazu die Alternative ist der Grenzgewinn: NP V = NP V n NP V n 1 ( n t=0 n 1 z t (1 + i) t + L n (1 + i) n ) ( z t (1 + i) t + L n 1 (1 + i) n+1 (67) t=0 = (z n + L n )(1 + i) n L n 1 (1 + i) n+1 (68) =Nettozahlung Periode n - Liquidationserlös der Periode n-1 Zeitlicher Grenzgewinn (auf Periode 0 bezogen) NP V = (z n + L n )(1 + i) n L n 1 (1 + i) n+1 (69) aufgezinster zeitlicher Grenzgewinn (auf Periode n bezogen) (1 + i) n NP V = z n + L n L n 1 (1 + i) (70) Berechnung mittels Tabelle Bei aufgezinstem zeitlichem Grenzgewinn: bei einem Vorzeichenwechsel + nach -: Entscheidung klar bei zwei Vorzeichenwechsel + nach - nach +: Problem des Vergleichs da unterschiedliche Bezugszeitpunkte Problem durch Abzinsen auf zeitlichen Grenzgewinn lösbar zeitliche Grenzrendite i z n + L n L n 1 L n 1 (71) 39

40 Investition und Finanzierung 6 Nutzungsdauer- und Ersatzprobleme Nutz ungsdauer Tabelle 40: Zeitliche Grenzgewinne von Nutzungsdaueralternativen Nettozahlung des letzten Jahres Liquidations erlös des Vorjahres Liquidationserlös des Vorjahres (ein Jahr aufgezinst) zeitlicher Grenzgewinn (aufgezinst) Abzin sungs faktor zeitlicher Grenzgewinn NP V n z n + L n L n 1 L n 1 (1 + i) (1+i) n NP V (1 + i) n (1) (2) (3) (4) (5)=(2)-(4) (6) (7)=(5)*(6) , , , , , , , , , , ,5645-5,64 Investitione abbrechen sobald zeitliche Grenzrendite (i) < Kalkulationszinsfuß Lösungsweg 3 Schaubild siehe Anlage 2 H 5 =max (L5; z6+l6 1+i )=max(100; 90,91)=100 ich beende H 4 =max (L4; z5+h5 1+i )=max(200; 180,81)=200 ich beende H 3 =max (L3; z4+h4 1+i )=max(300; 363,64)=363,64 ich führe weiter... bis t=0: der Abbruch dann beim ersten beenden von t=0 aus 6.2 Mehrmalige Investition Investitionsketten=Investitionsfolgen: Identische Investitionsketten liegen vor wenn die einzelnen Projekte einer Folge von Investitionen (bezogen auf den jeweiligen Investitionszeitpunkt)alle den gleichen Kapitalwert haben. Das setzt nicht notwendigerweise voraus, dass alle Projekte identische Zahlungsreihen besitzen. Aus Gründen der Vereinfachung wird im weiteren aber immer der Speziallfall betrachtet, dass alle Projekte identische Zahlungsreihen besitzen. Beispiele: Tabelle 41: identische Zahlungsreihen mit identischen Kapitalwerte (unabh. von i) t

41 Investition und Finanzierung 6 Nutzungsdauer- und Ersatzprobleme Tabelle 42: nicht identische Zahlungsreihen mit identischen Kapitalwerten für i=0,10 t Von nicht-identischen Investitionsketten sprechen wir dann, wenn die Kapitalwerte der Kettenprojekte voneinander abweichen. Beispiel: Tabelle 43: Nicht identische Investitionskette t Möglichkeiten bei mehrmaligen Investitionen: 1) sinnvoll bei Unternehmung auf Zeit Tabelle 44: Möglichkeiten Planungs horizont Investitionskette identisch nicht identisch endlich Ketteneffekt (1) unendlich (2) nicht sinnvoll 2) sinnvoll bei Unternehmung auf Dauer bei endlichem Planungshorizont Beispiel Nichtidentische Investitionsketten Alternativenbaum siehe Anlage 3 Man geht den Weg der Vollenumeration, d.h. man berechnet den Kapitalwert jeder der Möglichkeiten des Alternativenbaums. Siehe Tabelle 3.6. Beste Strategie ist danach A-B-B (Strategie 4). Geht nur für kurzen Zeitraum und begrenzte Anzahl an Möglichkeiten identische Investitionsketten (einmalige Ersetzung) d.h. die einzelnen Projekte einer Folge von Investitionen haben den gleichen NPV 41

42 Investition und Finanzierung 6 Nutzungsdauer- und Ersatzprobleme Tabelle 45: Zahlungsreihen und Liquidationserlöse Projektzahlungen ohne Liquidationserlöse t Projekt A Projekt B Projekt C Liquidationserlöse Projekt A Projekt B Projekt C Rückwärtsrechnung: Bestimme n opt 2 (opt. ND ohne Nachfolger entspricht einmaliger Investition) Bestimme n 1 Drei Verfahren: a. Kapitalwertkonzept NP V ges = NP V (n 1 ) + NP V (n opt 2 ) q n1 (72) b. zeitlicher Grenzgewinn NP V ges = (z n1 + L n1 L n1 1 q i NP V (n 2 )) q n1 (73) c. zeitliche Grenzrendite i z n + L n L n 1 NP V (n 2 ) + L n 1 (74) bei unendlichem Planungshorizont Identische Investitionsketten Berechnung des Kettenkapitalwerts: mit (1+i)=q, n=länge der Investition und k=anzahl der Investitionen-1: K.NP V = NP V n + NP V n (q) n + NP V n q 2n... + NP V n q kn (1) = NP V n (1 + q n + q 2n...q kn ) (2) q n K.NP V = NP V n (q n + q 2n... + q kn + q kn n ) (2-1) q n K.NP V K.NP V = NP V n (q ( k+1)n ) 42