Geometrie-Dossier Der Satz des Pythagoras

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1 Geometrie-Doier Der Satz de Pythagora Name: Inhalt: Wer war Pythagora? Der Satz de Pythagora mit Beweien Anwendung de Satz von Pythagora in der Ebene Anwendung de Satz von Pythagora im Raum Kontruktion von Strecken und Flächen in wahrer Gröe und Getalt Verwendung: Diee Geometriedoier orientiert ich am Unterricht und liefert eine Theorie-Zuammenfaung. Bei Kontruktionen ind natürlich viele Wege möglich, hier wurde al Muterlöung jeweil ein möglicht einfacher Weg gewählt. einfache Aufgaben ind mit einem gekennzeichnet chwierigere Aufgaben ind mit einem gekennzeichnet. Die Aufgaben müen in der Freizeit (oder in der Hauaufgabentunde) gelöt werden. Sie können jederzeit zur Kontrolle abgegeben werden, die Löungen können aber auch elbtändig verglichen werden. Fragen dürfen natürlich auch immer getellt werden. Achtung: Kontruktionen unbedingt mit Zirkel, Matab, gepitztem Bleitift durchführen. Feine Striche verwenden! Beachten: Kontruktionen: Löungen rot (weitere Löungen in ähnlichen Farben, orange, gelb, etc.) Skizzen: Gegebene GRÜN, Geuchte ROT. Ret Bleitift oder chwarzer Fineliner. Sichtbarkeit: In Raumbildern alle nicht ichtbare Kanten getrichelt dartellen. Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 1

2 1. Wer war Pythagora Eine kurze Biographie Pythagora it un heute al Teil der geometrichen Berechnung in Dreiecken ein Begriff. Damit bechäftigen wir un ja im Moment auch in den Geometrie- Stunden. Doch Pythagora war für viele Bereiche eine ganz wichtige Perönlichkeit, deren Einflu und Anehen zahlreiche Wienchaftzweige beeinflute und ogar förderte. Dazu ein (leicht gekürzter) Artikel au Microoft Encarta : Pythagora wurde in Samo (Griechenland) geboren. Vermutlich tudierte er die Lehren der vorokratichen Philoophen Thale, Anaximander, Pherekyde und Anaximene. Danach unternahm er Reien durch Ägypten und Babylonien. Angeblich oll eine Abneigung gegen den Tyrannen Polykrate den Philoophen 53 bzw. 531 v. Chr. au Samo vertrieben haben. Um 530 v. Chr. ließ er ich in Kroton nieder, einer griechichen Kolonie im Süden Italien. Hier gründete er die Schule der Pythagoreer, einen Krei mit ittlich-religiöem, politichem und wienchaftlichem Impul. Er tarb um 500 v. Chr. vermutlich in Metapont. Die Philoophie de Pythagora exitiert allein in den Nachchriften einer Schüler, die ihn al aboluten Weien verehrten. Vermutlich gehen auch viele ihrer Gedanken auf ihn zurück. Die Pythagoreer bechreiben den nach ihnen bzw. den nach ihrem Lehrer, Pythagora von Samo, benannten Lehratz. Ihre Erkenntni war allerding verchiedenen Quellen zufolge chon den Babyloniern Jahre vor Pythagora bekannt. Augehend von Pythagora glaubten die Pythagoreer an eine Reihe von Myterien. So gingen ie von der Unterblichkeit und Wiedergeburt der menchlichen Seele au ein Gedanke, der päter etwa von Platon wieder aufgegriffen wurde. Darüber hinau bechäftigte ich der Krei der Pythagoreer vertärkt mit mathematichen Fragen. So untertrichen ie etwa die mathematiche Ordnung der (göttlich gechaffenen) Welt. Für ihre Zahlentheorie wurde da Verhältni der geraden zu den ungeraden Werten owie die Bedeutung von Quadrat- und Primzahlen zentral. Von dieem arithmetichen Standpunkt au entwickelten ie ein Zahlenmodell, da ie al letzte Prinzip der Proportionen, der Ordnung und der Harmonie de Univerum anahen. Durch ihre Studien chufen ie die Bai der Mathematik. In der Atronomie waren die Pythagoreer die Erten, die die Erde al Kugel betrachteten und die harmoniche Ordnung der Himmelkörper mit Hilfe ihrer Zahlenlehre zu erklären uchten. Überdie meinten ie, die Planeten und Sterne eien durch Intervalle voneinander getrennt, die den harmonichen Klängen von Saiten entprächen. Die Bewegung der Planeten erzeuge dann die o genannte Sphärenmuik.. Der Satz de Pythagora mit Beweien Zuert einmal, um alle andere vorweg zu nehmen, möchte ich den berühmten Satz de Pythagora an den Anfang diee Kapitel tellen: A b c b C a a B In rechtwinkligen Dreiecken it der Flächeninhalt de Hypotenuenquadrate gleich der Summe der beiden Kathetenquadrate. Wie in der Zeichnung erichtlich it da Dreieck angechrieben und zwar o, da c die Hypotenue, a und b die Katheten ind. Entprechend bedeutet der Satz von Pythagora in unerem Beipiel, da c a + b = c Quadrat über der Kathete a Quadrat über der Kathete b Quadrat über der Hypotenue c Zur Erinnerung: Hypotenue: Kathete(n): It die dem rechten Winkel gegenüberliegende (längte) Seite eine rechtwinkligen Dreieck. Sind die beiden dem rechten Winkel anliegenden (kürzeren) Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Nun möchte ich dieen Satz etwa weiter auführen und vor allem zwei Beweie dazu liefern. Doier Pythagora.doc A.Räz Seite

3 a) Ein erter Bewei für den Satz von Pythagora: Der erte Bewei für den Satz von Pythagora verläuft über eine geometriche Flächenbelegung. Augehen wollen wir von der normalen Pythagora Figur mit einem rechtwinkligen Dreieck und den entprechenden Quadraten über den Katheten und über der Hypotenue. b C a Auf die folgende Weie zeigen wir jetzt, da wir au den beiden Kathetenquadraten, owie dem Hypethenuenquadrat jeweil gleich groe Figuren legen können. Die ieht dann o au: a A c B b c Diee Quadrat beteht au vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken und den beiden Kathetenquadraten. Diee Quadrat beteht au vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken und dem Hypotenuenquadrat. Da ich alo gleiche Flächen einereit au vier blauen Dreiecken und den Kathetenquadraten, owie vier gleichen blauen Dreiecken und dem Hypotenuenquadrat legen laen, bedeutet da, da da grüne Hypotenuenquadrat und die beiden Kathetenquadraten (rot und gelb) gleiche Flächen belegen. Darum alo mu alo auch hier gelten: a + b = c (q.e.d.) (q.e.d. bedeutet: Quod Erat Demontrandum, wa lateinich it und bedeutet: Wa zu beweien war ). b) Ein zweiter Bewei für den Satz von Pythagora: Der zweite Bewei für den Satz von Pythagora verläuft ebenfall über eine geometriche Flächenbelegung. In dieem Fall aber zeigen wir, da wir die rote und die gelbe Fläche (alo a und b ) direkt in die grüne Fläche (c ) überführen können. Auganglage 1. Flächenverchiebung. Flächenverchiebung 3. Flächenverchiebung 4. Flächenverchiebung 5. Flächenverchiebung Wir können alo den Flächeninhalt von den beiden Kathetenquadraten a und b volltändig in die Fläche de Hypotenuenquadrate überführen. E gilt alo (einmal mehr): a + b = c (q.e.d.) Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 3

4 3. Berechnungen mit dem Satz von Pythagora in der Ebene Der Satz von Pythagora gilt alo in rechtwinkligen Dreiecken. Da bedeutet, da wir in jedem rechtwinkligen Dreieck au zwei bekannten Seitenlängen die dritte Seitenlänge berechnen können. a) Formeln: Die Formeln ind innvollerweie mit den Namen Hypotenue und Kathete zu lernen, denn dann it man unabhängig davon, wie ein Dreieck angechrieben it. Daneben tehen die normalen Formeln mit a, b, c, wobei c in dieem Fall die Hypotenue dartellt. Hypotenue = (kurze Kathete) + (lange Kathete) (Grundformel, c = a + b ) (kurze Kathete) = Hypotenue - (lange Kathete) (abgel. Formel, b = c - a ) (lange Kathete) = Hypotenue - (kurze Kathete) (abgel. Formel, a = c - b ) 1. Berechnung der Hypotenue (hier c): C Gegeben: Katheten a und b b = 5cm a=1cm Geucht: Hypotenue c ( Hypotenue = (kurze Kathete) + (lange Kathete) ) Formel: c = a + b alo c= a +b A B Berechnung: c= 1 +5 = = 169 = 13 cm. Berechnung der kurzen Kathete (hier b): C Gegeben: Kathete a und Hypotenue c a=3cm Geucht: Kathete b ( (kurze Kathete) = Hypotenue - (lange Kathete) ) Formel: b = c - a alo b= c - a A c = 5 cm B Berechnung: b= 5-3 = 5-9 = 16 = 4 cm 3. Berechnung der langen Kathete (hier a): C Gegeben: Kathete b und Hypotenue c a=9cm Geucht: Kathete a ((lange Kathete) = Hypotenue - (kurze Kathete) ) Formel: a = c - b alo a= c - b A c= 15 cm B Berechnung: a= 15-9 = 5-81 = 144 = 1 cm b) Zahlentrippel: In all dieen Beipielen it die Rechnung ganzzahlig aufgegangen. Natürlich gibt e unzählige Beipiele, wo da Ergebni ein Zahl mit zahlreichen Kommatellen ergibt. Vielfach lät man e dann auch al Wurzelterm tehen. Wenn wie in uneren Beipielen die Summe au zwei Quadraten von zwei ganzen Zahlen gerade wieder ein Quadrat einer ganzzahligen Zahl ergibt, pricht man von pythagoräichen Zahlentrippeln. Natürlich gelten auch alle Vielfachen der Trippel wiederum al Trippel (3 4 5 und und uw.) Einige Zahlentrippel: (davon gibt e wie geagt Tauende, darum nur einige wenige Beipiele): Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 4

5 c) Anwendungen de Satz von Pythagora in der Ebene: 1. Die Diagonale im Quadrat d Wir tellen fet, da e ich bei einem Quadrat um zwei zuammengeetzte rechtwinklige Dreiecke handelt. Da Stichwort rechtwinklige Dreieck mu in unerem Kopf ofort den Link zum Satz von Pythagora erzeugen. Im rechtwinkligen Dreieck ABC bildet die Quadrat-Diagonale d gerade die Hypotenue. Somit gilt: Pythagora heit: Suche nach rechtwinkligen Dreiecken (hier ind ie farblich hervorgehoben) d Hypotenue = (kurze Kathete) + (lange Kathete) überetzt mit den entprechenden Seitenbechriftungen heit die hier: d = + alo d = + = = = = E gilt alo: Die Diagonale im Quadrat it gerade al die Quadrateite. d = und entprechend = d mal länger. Die Höhe im gleicheitigen Dreieck h Wir tellen fet, da bei einem gleicheitigen Dreieck die Höhe gerade durch den Mittelpunkt der Bai geht. Somit teilt die Höhe da Dreieck in zwei gleiche, rechtwinklige Dreiecke, deren kurze Kathete gerade die Hälfte der Hypotenue aumacht. Die Höhe h bildet in dieem rechtwinkligen Dreieck die längere Kathete. Somit gilt: (lange Kathete) = Hypotenue - (kurze Kathete) Pythagora heit: Suche nach rechtwinkligen Dreiecken (hier ind ie farblich hervorgehoben) überetzt mit den entprechenden Seitenbechriftungen heit die hier: h = ( ) alo h = - ( ) = - 4 = = 3 4 = 3 4 = 3 4 = 3 = 3 h E gilt alo: Die Höhe im gleicheitigen Dreieck it gerade länger al die Dreieckeite. 3 mal h = 3 und entprechend = h 3 Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 5

6 Berechnungen mit Pythagora in der Ebene: 1. Vervolltändige die untentehende Tabelle für da rechtwinklige Dreieck ABC (runde auf Stellen nach dem Komma oder lae Wurzelterme tehen) a= b= c= a= b= c= a) 15 cm 6 cm e) 13 cm cm b) 148 cm 81 cm f) 3 cm 15.5 cm c) 15 cm 19.5 cm g) cm cm d) 16 cm.5 cm h) 19.5 cm 59 cm. Berechne die Höhe h im gleichchenklig-rechtwinkligen Dreieck ABC. h AB = 16 cm BC = 11.31cm 3. Berechne den Umfang und die Fläche de gegebenen Dreieck. 6 cm 5 cm 10 cm 4. Berechne im Rechteck PQRS die fehlende Gröe: PQ QR PR a) 1 1 b) c) d) 6x 8x 5. Berechne im gleichchenkligen Dreieck die Baihöhe, wenn ein Schenkel 8 cm und die Bai 48 cm mit.. Skizze: Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 6

7 6 cm 6. Im Rhombu EFGH kennt du die Länge der Seite (= cm) und die Länge der Diagonale EG (EG = 3cm). Berechne die Länge der Diagonale FH owie den Flächeninhalt de Rhombu. 7. Berechne im Rhomboid ABCD (mit Diagonalenchnittpunkt M) die Länge der Strecke DM, wenn AB = 6cm, AM = cm und die Fläche 83 cm beträgt. Skizze: 8. Berechne im rechtwinkligen Trapez ABCD die Längen der Strecken DC, AD owie DE. A = 16.5 cm 9 cm 5 cm 9. Berechne den Inhalt der rot markierten Fläche (B und C ind Seitenmittelpunkte) 9 cm Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 7

8 1cm 1cm 10. In eine Quadrat mit Seitenlänge 8cm wird ein kleinere Quadrat eingechrieben (iehe Skizze). Berechne den Flächeninhalt de kleinen Quadrate. 1cm 1cm 8cm 11. Einem Quadrat it ein Rechteck mit den Seitenlängen 10cm und 4cm eingechrieben. Berechne den Flächeninhalt de umchriebenen Quadrate 10cm 4cm 1. Welchen Durchmeer mu der Baumtamm (hier al Krei dargetellt) mindeten haben, damit man einen Balken mit einem rechteckigen Querchnitt (16 x 6 cm) darau auägen kann? 13. Welchen Durchmeer mu der Baumtamm (hier al Krei dargetellt) mindeten haben, damit man einen Balken mit quadratichem Querchnitt (Kantenlänge 8cm) auägen kann? Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 8

9 14. Einem Quadrat mit Seitenlänge 10 cm it ein kleinere Quadrat eingechrieben (iehe Skizze). Berechne den Flächeninhalt der rot markierten Fläche. 140 cm 10 cm 15. Berechne Fläche und Umfang de abgebildeten Trapeze. 1 m 8 m 36 m 16. Berechne die Länge der Strecke x x Eine Grundtückfläche beteht au einem gleichchenkligen Trapez und einem rechtwinkligen Dreieck (wie auf der Zeichnung erichtlich). Berechne den Flächeninhalt de ganzen Grundtücke. 86 m 34 m 34 m m 90 m 64 m Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 9

10 4. Berechnungen mit dem Satz von Pythagora im Raum Der Satz von Pythagora gilt alo in rechtwinkligen Dreiecken. Da bedeutet, da wir in jedem rechtwinkligen Dreieck au zwei bekannten Seitenlängen die dritte Seitenlänge berechnen können. Die haben wir ja chon im Kapitel zuvor fetgetellt. Im Raum gilt aber genau da Gleiche: Wir müen auch im Raum auf die Suche nach rechtwinkligen Dreiecken gehen, damit wir dann in dieen Dreiecken den Satz von Pythagora anwenden können. Zum Teil brauchen wir auf dem Weg zur Löung einige Zwichenchritte. Doch Schritt für Schritt kommen wir in verchiedenen rechtwinkligen Dreiecken zum Ziel. Muteraufgabe: Berechne die Länge der Strecke f im dreieitigen, geraden Prima 3.5m f f 3.5m 15 m 15 m 5m Da gelbe Dreieck it rechtwinklig. Seine beiden Katheten ind bekannt (3.5m und.5 m, da da gelbe Dreieck gerade die Hälfte der Grundeite de liegenden Prima aumacht.. Somit kann mit Pythagora gerechnet werden. Die geuchte Strecke in einem rechtwinkligen Dreieck einbetten 5m diee Streckenlänge fehlt noch! Im gefunden Dreieck überprüfen, welche Strecken bekannt ind, welche für die Berechnung noch fehlen. 3.5m g f 15 m Die fehlende Strecke wieder in einem Dreieck einbetten. 3.5m 5m g f 15 m 5m Wir rechnen jetzt der Reihe nach: 1. Die blaue Strecke g it im gelben Dreieck Hypotenue. Die Berechnung lautet omit: g= = = 18.5 (nicht weiter aurechnen!). Jetzt wecheln wir in grüne Dreieck, dort it g Kathete und die geuchte Strecke f it Hypotenue. E gilt alo: f = 15 +g = 15 +( 18.5) = = 43.5 = m Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 10

11 6 cm Berechnungen mit Pythagora im Raum 1. Berechne die Länge der Körperdiagonale AG owie die Länge der Strecke PB (P: Kantenmittelpunkt) in einem Quader mit den Seitenlängen. a) AB= 1cm, BC = 9 cm, CG = 8cm b) AB= 16cm, BC = 5 cm, CG =7cm. Die Punkte M 1, M und M 3 ind Kantenmittelpunkte. a) Berechne da Volumen de hier abgebildeten Körper b) Berechne die Oberfläche de Körper M1 M M3 8 cm 1 cm Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 11

12 3. In einem Würfel von 10 cm Kantenlänge wurden durch zwei Schnitte (jeweil parallel zur Kante JK) zwei gleiche, dreieitige Primen weg gechnitten. Der abgebildete Körper ABCDEFGHIJKL it dabei übrig geblieben. a) Berechne die Oberfläche diee Körper b) Berechne die Länge der Strecke DJ (gerundet auf Kommatellen) c) Zeichne die Schnittfläche ein, die entteht, wenn man durch den Mittelpunkt von IL owie den Punkt A und den Punkt K eine Schnittebene legt. 6 cm 4 cm 4 cm 3 cm 4 cm 3 cm 4. Berechne die Länge de Streckenzuge PGRQP (runde auf Kommatellen). Beachte dabei, da P, Q und R Kantenmittelpunkte ind, zudem meen die Kantenlängen de Quader 1cm (AB), 8cm (BC) und 6cm (CG). Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 1

13 5. Berechnung und Kontruktionen von Strecken und Flächen in wahrer Form und Gröe Wie chon im erten Geometrie-Jahr (und im Kapitel Würfel und Quader) geht e bei dieem Problem wiederum darum, eine im Raumbild verzerrte Strecke oder Fläche in wahrer Form und Gröe zu kontruieren. Zuätzlich kommt jetzt aber noch die Komponente der Berechnung dieer Strecken und Flächen vor. Einmal mehr machen wir un dabei auf die Suche nach (rechtwinkligen) Dreiecken, worin wir die entprechenden Strecken einbetten. Nun kann mit Pythagora berechnet und danach die gefundenen Dreiecke kontruiert werden. Und chwupp liegen auch die geuchten Strecken in wahrer Gröe vor. Beipiel: a) Berechne den Flächeninhalt der Diagonalfläche ACGE (auf zwei Kommatellen gerundet) b) Berechne die Länge der rot markierten Strecke im Würfel c) Kontruiere die Fläche ACGE und die Strecke AM in wahrer Form und Gröe a) Flächeninhalt von ACGE: Fläche = Länge Breite = EG CG. EG fehlt un noch, im rechtwinkligen Dreieck EFG kann diee Strecke aber mit Pythagora berechnet werden. 10cm EG = = = 00 = cm Somit it die Fläche = = cm Achtung: Runden ert ganz zum Schlu!!!! 10cm Fragen / Bemerkungen: 10cm b) Länge der Strecke AM1: Die Strecke AM1 befindet ich im rechtwinkligen Dreieck AEM1. Diee hat die beiden Kathetenlängen AE = 10cm und EM1 = Entprechend berechnet ich die mit Pythagora: AM1 = 10 +( ) = = = 150 = 1.5 cm Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 13

14 c) Kontruktion der Fläche und der Strecke in wahrer Form und Gröe (hier au Platzgründen im Matab 1:) 1. Da rechtwinklige Dreieck EFG in wahrer Gröe herauzeichnen. (EF = 10cm, FG = 10cm) 10cm 10cm 10cm. Die Fläche ACEG it ein Rechteck. Sie hat alo rechte Winkel. Diee werden jetzt eingezeichnet (Senkrechte zu EG!!). Danach meen wir die Kantenlänge AE = 10cm ab und können die Fläche ACEG volltändig einzeichnen. 3. Die Strecke AM1 verläuft vom Punkt M1 au. Dieer it der Mittelpunkt von EG. Alo können wir ihn kontruieren und einzeichnen. Danach müen wir dieen Punkt nur noch mit A verbinden und chon haben wir AM1 in wahrer Gröe. Wichtiger Tipp: Die Kontruktion folgt alo genau dem Berechnungweg. Wir brauchen die genau gleichen rechtwinkligen Dreiecke, in denen wir Pythagora anwenden und zeichnen ie Schritt für Schritt auf. (Die Kontruktion wird verchachtelt, weil wir, obald eine Strecke kontruiert it, diee gleich für die nächte Kontruktion verwenden!) Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 14

15 4cm Berechnung und Kontruktion von Strecken und Flächen in wahrer Form und Gröe. 1. Berechne den Flächeninhalt der Fläche ABGH und die Länge der Strecke AM. Kontruiere danach die Fläche ABGH und die Strecke AM in wahrer Form und Gröe. 4cm 4cm 4cm. Berechne den Flächeninhalt der Fläche DHM 1M und die Länge der Strecke DM. Kontruiere danach die Fläche DHM 1M und die Strecke DM in wahrer Form und Gröe. (Kontruktion auf nächter Seite!) 5cm 3cm Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 15

16 3. Berechne die Länge der Strecke M1M und kontruiere ie in wahrer Gröe (AB=4cm, BC=3cm, CG=cm). Doier Pythagora.doc A.Räz Seite 16